CN104092447A - 一种双正交小波滤波器组的构造方法 - Google Patents

Abstract

一种双正交小波滤波器组的构造方法，包括下列步骤：根据要构造小波函数的要求，确定分解低通滤波器h(n)的长度N和重构低通滤波器的长度M，这里N和M为偶数；确定要构造对偶小波母函数和的消失矩阶数；根据公式组计算双正交完全重构滤波器组，获得一组与双正交完全重构滤波器组的系数；将上述结果带入双尺度方程，构造出一组双正交小波基和分解小波函数对应分解高通滤波器，重构小波函数对应重构高通滤波器。与常用的db、bior系列小波滤波器组相比,本发明运用所构造的双正交小波滤波器组对心音信号进行处理,能够获得更好的去噪效果,更精确的心音分类信息以及更小的重构误差率。

Description

一种双正交小波滤波器组的构造方法

技术领域

本发明涉及一种双正交小波滤波器组的构造方法，主要用于心音信号处理。

背景技术

音信号是人体中最重要的生理信号之一,是心脏在舒张和收缩运动过程中心肌、血液和瓣膜等机械振动产生的复合音,直接反映了大血管和心脏系统的机械运动状况和心脏各个部分的生理和病理信息。

在心音信号处理过程中,为了获取最佳结果,对心音信号去噪主要采用db系列小波,对信号进行分类主要采用更具对称性的coif系列小波,这种针对不同的功能选用不同小波基的方法柔性差,表现为同一个心音采用不同的小波基处理,不确定性因素会增多,获得的结果往往稳定性差,并且由于这些小波基都不具备完全对称型,会在心音信号处理的过程中引入相位失真,导致重构误码率增大。在心音特征提取和识别中,希望能构造一种专门用于心音信号处理的小波滤波器组,即可进一步提高去噪效果，由可以更好的表征心音个体特征的细节信息。

发明内容

技术问题：本发明的目的是提出双正交小波滤波器组的构造方法，利用构造的心音小波去有效提高去噪效果和表征心音个体特征的能力。

本发明提出根据一种构造滤波器长度为偶数的紧支撑双正交小波滤波器组的构造方法，并进一步心音信号的特点和任意双正交小波函数的构造步骤，构造出用于信号处理的小波滤波器组。相比常用的db、bior系列小波,本发明构造出的小波滤波器组，运用所构造的心音小波对心音信号进行处理,能够获得更好的去噪效果,更精确的心音分类信息以及更小的重构误差率,为心音特征提取和识别的深入研究提供了一种新方法,在表征心音个体特征的细节方面具有积极的意义。

技术方案：如果两个对偶小波母函数ψ(t)和满足如下的双正交关系，即

$\⟨{\mathrm{\ψ}}_{m,n}\left(t\right),{\widetilde{\mathrm{\ψ}}}_{j,k}\left(t\right)\⟩=\mathrm{\δ}(m-j)\mathrm{\δ}(n-k)---\left(1\right)$

同时，其对应的尺度函数满足如下的关系，即

$\⟨{\mathrm{\φ}}_{j,m}\left(t\right),{\widetilde{\mathrm{\φ}}}_{j,n}\left(t\right)\⟩=\mathrm{\δ}(m-n)---\left(2\right)$

这里，m和j代表尺度或伸缩因子，n和k代表平移因子。那么，称ψ(t)和构成了一对双正交小波基。

与正交小波多分辨率类似，要求双正交小波基的尺度函数满足下面的双尺度方程：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\φ}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}h\left(k\right)\mathrm{\φ}(2t-k)& \mathrm{\ψ}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}g\left(k\right)\mathrm{\φ}(2t-k\end{array})---\left(3\right)$

$\begin{array}{cc}\widetilde{\mathrm{\φ}}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\tilde{h}\left(k\right)\widetilde{\mathrm{\φ}}(2t-k)& \widetilde{\mathrm{\ψ}}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\tilde{g}\left(k\right)\widetilde{\mathrm{\φ}}(2t-k)---\left(4\right)\end{array}$

其中，φ(t)为分解尺度函数，对应分解低通滤波器，为重构尺度函数，对应重构低通滤波器，ψ(t)为分解小波函数，对应分解高通滤波器，为重构小波函数，对应重构高通滤波器。

引理1对于小波函数ψ(t)，如果

$\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{t}^k\mathrm{\&psi;}\left(t\right)\mathrm{dt}=\mathrm{0,0}\&le;k<\mathrm{\&rho;}---\left(5\right)$

则称小波ψ(t)具有ρ阶消失矩。

引理2小波函数ψ(t)具有ρ阶消失矩，等价于对应的尺度函数滤波器H(w)和它的前ρ-1阶导数在π点为0。其中{h(n)}为双正交分解低通滤波器。

由 $H\left(w\right)=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_k{e}^{-\mathrm{iwn}}\&DoubleRightArrow;H^{\left(n\right)}\left(w\right)=\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{ik})}^n{h}_k{e}^{-\mathrm{iwn}}\&DoubleRightArrow;---\left(6\right)$

$H(w=\mathrm{\&pi;})=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_k{e}^{-\mathrm{iwn}}=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k{h}_k=0---\left(7\right)$

$H^{\left(n\right)}(w=\mathrm{\&pi;})=\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{ik})}^n{h}_k{e}^{-\mathrm{iwn}}=\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k{(-\mathrm{ik})}^n{h}_k=0---\left(8\right)$

定理1双正交二通道滤波器组对任何输入信号实现精确重构当且仅当

$H^{*}(w+\mathrm{\&pi;})\tilde{H}\left(w\right)+G^{*}(w+\mathrm{\&pi;})\tilde{G}\left(w\right)=0---\left(9\right)$

$H^{*}\left(w\right)\tilde{H}\left(w\right)+G^{*}\left(w\right)\tilde{G}\left(w\right)=2---\left(10\right)$

这里，首先定义小波滤波器系数的傅立叶变换:

$H\left(w\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}h{e}^{-\mathrm{jwn}},G\left(w\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}g{e}^{-\mathrm{jwn}}$

$H^{*}\left(w\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{h}{e}^{-\mathrm{jwn}},G^{*}\left(w\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{g}{e}^{-\mathrm{jwn}}$

将 $g\left[k\right]={(-1)}^{n-1}{\tilde{h}}_{-n+1},\tilde{g}\left[k\right]={(-1)}^{n-1}{h}_{-n+1}$ 代入(10)式中得

$H^{*}\left(w\right)\tilde{H}\left(w\right)+H^{*}(w+\mathrm{\&pi;})\tilde{H}(w+\mathrm{\&pi;})=2---\left(11\right)$

$\&DoubleLeftRightArrow;h\left(n\right)*\tilde{h}\left(n\right)+e^{-\mathrm{in\&pi;}}h\left(n\right)*e^{-\mathrm{in\&pi;}}{(-1)}^{n-1}\tilde{h}\left(n\right)=2\mathrm{\&delta;}\left(n\right)---\left(12\right)$

由上式可推出下面的结论：

推论1假设一个小波的尺度滤波器系数为一个长为2N-1的序列a，则

a(N)＝1，a(2k)＝0  k＝1…(N-1)           (13)

定理2如果(h,g)和是完全重构滤波器组，其傅里叶变换是有界的。那么，和{h(n-2l),g(n-2l)}_l∈Z是l²(Z)的双正交里茨基。

V₀和之间的双正交性： $\&lang;\tilde{h}\left(k\right),h(k-2n)\&rang;=\mathrm{\&delta;}\left(n\right)---\left(14\right)$

W₀和之间的双正交性： $\&lang;\tilde{g}\left(K\right),g(k-2n)\&rang;=\mathrm{\&delta;}\left(n\right)---\left(15\right)$

和W₀之间的正交性：<h(k),g(k-2n)>＝0           (16)

和V₀之间的正交性： $\&lang;\tilde{g}\left(k\right),h(k-2n)\&rang;=0---\left(17\right)$

其中，V₀为双正交分解尺度初始空间，为双正交重构尺度初始空间，W₀为双正交分解小波初始空间，为双正交重构小波初始空间。

由h、的低通特性以及g、的高通特性可得

$\left\{\begin{array}{c}H(w=0)=\tilde{H}(w=0)=1\\ G(w=0)=\tilde{G}(w=0)=0\end{array}\right.\&DoubleRightArrow;\left\{\begin{array}{c}\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}h\left(n\right)=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{h}\left(n\right)=\sqrt{2}\\ \underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}g\left(n\right)=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{g}\left(n\right)=0\end{array}\right.---\left(18\right)$

将(7)、(8)、(13)、(14)、(15)、(16)、(17)、(18)式以及式 联立得到一个方程组：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}h\left(n\right)=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{h}\left(n\right)=\sqrt{2}\\ \underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}g\left(n\right)=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{g}\left(n\right)=0\\ \&lang;\tilde{h}\left(k\right),h(k-2n)\&rang;=\mathrm{\&delta;}\left(n\right)\\ H(w=\mathrm{\&pi;})=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_k{e}^{-\mathrm{iwn}}=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k{h}_k=0\\ H^{\left(n\right)}(w=\mathrm{\&pi;})=\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{ik})}^n{h}_k{e}^{-\mathrm{iwn}}=\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k{(-\mathrm{ik})}^n{h}_k=0\\ g\left(n\right)={(-1)}^{n-1}{\tilde{h}}_{-n+1}\\ \tilde{g}\left(n\right)={(-1)}^{n-1}{h}_{-n+1}\end{array}\right.---\left(19\right)$

其中，h(n)和分别为分解尺度滤波器系数和重构尺度滤波器系数，H(w)为低通滤波器；

令该方程为任意双正交完全重构滤波器组的构造方程组，将此方程组与式(13)结合可以求出尺度滤波器系数h(n)和的值，再带入双尺度方程(3)、(4)中，可得到分解小波函数ψ(t)与重构小波函数分解小波函数ψ(t)对应心音分解高通滤波器，重构小波函数对应心音重构高通滤波器，上述方法即任意双正交完全重构滤波器组的构造方法。

综上所述，一种双正交小波滤波器组的构造方法，设φ(t)、ψ(t)和为与双正交小波滤波器组h，g，对应的双正交尺度函数和小波函数，该方法包括下列步骤：

步骤1：根据要构造小波函数的要求，确定分解尺度滤波器h(n)的长度L＝N和重构尺度滤波器的长度L＝M，这里N和M为偶数，有h(n)＝{a₁,a₂,…a_N/2,a_N/2,…a₂,a₁}， $\tilde{h}\left(n\right)=\{b_1,b_2,b_3,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,b_{M/2},b_{M/2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,b_3,b_2,b_1\};$

步骤2：确定要构造对偶小波母函数ψ(t)和的消失矩阶数；

步骤3：计算双正交完全重构滤波器组：

将h(n)和代入下式：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}h\left(n\right)=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{h}\left(n\right)=\sqrt{2}\\ \underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}g\left(n\right)=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{g}\left(n\right)=0\\ \&lang;\tilde{h}\left(k\right),h(k-2n)\&rang;=\mathrm{\&delta;}\left(n\right)\\ H(w=\mathrm{\&pi;})=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_k{e}^{-\mathrm{iwn}}=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k{h}_k=0\\ H^{\left(n\right)}(w=\mathrm{\&pi;})=\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{ik})}^n{h}_k{e}^{-\mathrm{iwn}}=\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k{(-\mathrm{ik})}^n{h}_k=0\\ g\left(n\right)={(-1)}^{n-1}{\tilde{h}}_{-n+1}\\ \tilde{g}\left(n\right)={(-1)}^{n-1}{h}_{-n+1}\end{array}\right.---\left(19\right)$

和a(N)＝1，a(2k)＝0k＝1…(N-1)，这里从而获得一组双正交完全重构滤波器组的系数：h(n)，g(n)和

步骤4：将上述结果带入双尺度方程：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\&phi;}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}h\left(k\right)\mathrm{\&phi;}(2t-k)& \mathrm{\&psi;}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}g\left(k\right)\mathrm{\&phi;}(2t-k\end{array})$

$\begin{array}{cc}\widetilde{\mathrm{\&phi;}}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{h}\left(k\right)\widetilde{\mathrm{\&phi;}}(2t-k)& \widetilde{\mathrm{\&psi;}}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{g}\left(k\right)\widetilde{\mathrm{\&phi;}}(2t-k)\end{array}$

构造出一组双正交小波基ψ(t)和分解小波函数ψ(t)对应分解高通滤波器，重构小波函数对应重构高通滤波器。

作为本发明的进一步改进，根据心音子波函数和心音信号具有尽可能大的相似性原则，构造最优的用于处理心音信号的滤波器组。

所述步骤1中，取分解尺度滤波器h(n)和重构尺度滤波器的长度为L＝10；

所述步骤2中，取ψ(t)和的消失矩阶为5，因此有h(n)＝{a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₅,a₄,a₃,a₂,a₁}， $\tilde{h}\left(n\right)=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_5,b_4,b_3,b_2,b_1\};$

所述步骤3中：根据上步骤设置和公式(19)，计算重构滤波器组，有：

由该方程组可求得一组对应于滤波器系数的实数解：

$\left\{\begin{array}{c}h\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cccccccccc}0.0269& -0.0323& -0.2411& 0.0541& 0.8995& 0.8995& 0.0541& -0.2411& -0.0323& 0.0269\end{array}\right\}\\ \tilde{h}\left(n\right)=\{\left.\begin{array}{cccccccccc}0.0198& 0.0238& -0.0233& 0.1456& 0.5411& 0.5411& 0.1456& -0.0233& 0.0238& 0.0198\end{array}\right\}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}g\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cccccccccc}-0.0198& 0.0238& 0.0233& 0.1456& -0.5411& 0.5411& -0.1456& -0.0233& -0.0238& 0.0198\end{array}\right\}\\ \tilde{g}\left(n\right)=\{\left.\begin{array}{cccccccccc}0.0269& 0.0323& -0.2411& -0.0541& 0.8995& -0.8995& 0.0541& 0.2411& -0.0323& -0.0269\end{array}\right\}\end{array}\right.$

有益效果：与常用的db、bior系列小波滤波器组相比,本发明运用所构造的双正交小波滤波器组对心音信号进行处理,能够获得更好的去噪效果,更精确的心音分类信息以及更小的重构误差率,为心音特征提取和识别的深入研究提供了一种新方法,在表征心音个体特征的细节方面具有积极的意义。

附图说明

图1是本发明实施例1中的一组所构造的心音双正交小波滤波器。

具体实施方式

一种双正交小波滤波器组的构造方法，该滤波器组用于处理心音信号，设φ(t)、ψ(t)和为与双正交小波滤波器组h，g，对应的双正交尺度函数和小波函数，该方法包括下列步骤：

步骤1：选取要构造心音子波的滤波器长度。取分解低通滤波器h(n)和重构低通滤波器的长度为L＝10。

步骤2：相应的取ψ(t)和的消失矩阶数为5，因此有h(n)＝{a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₅,a₄,a₃,a₂,a₁}， $\tilde{h}\left(n\right)=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_5,b_4,b_3,b_2,b_1\};$

步骤3：计算心音小波重构滤波器组，有

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3+a_4{b}_4+a_5{b}_5=\frac{1}{2}\\ a_1{b}_3+a_2{b}_4+a_3{b}_5+a_4{b}_5+a_5{b}_4+a_5{b}_3+a_4{b}_2+a_3{b}_1=0\\ a_2-2_{a3}+3_{a4}-4_{a5}+5_{a5}-6_{a4}+7_{a3}-8_{a2}+9_{a1}=0\\ a_2-2^2{a}_3+3^2{a}_4-4^2{a}_5+5^2{a}_5-6^2{a}_4+7^2{a}_3-8^2{a}_2+9^2{a}_1=0\\ a_2-2^3{a}_3+3^3{a}_4-4^3{a}_5+5^3{a}_5-6^3{a}_4+7^3{a}_3-8^3{a}_2+9^3{a}_1=0\\ b_2-2_{b3}+3_{b4}-4_{b5}+5_{b5}-6_{b4}+7_{b3}-8_{b2}+9_{b1}=0\\ b_2-2^2{b}_3+3^2{b}_4-4^2{b}_5+5^2{b}_5-6^2{b}_4+7^2{b}_3-8^2{b}_2+9^2{b}_1=0\\ b_2-2^3{b}_3+3^3{b}_4-4^3{b}_5+5^3{b}_5-6^3{b}_4+7^3{b}_3-8^3{b}_2+9^3{b}_1=0\\ a_1{b}_2+a_2{b}_1=0\\ a_1{b}_4+a_2{b}_3+a_3{b}_2+a_4{b}_1=0\end{array}\right.$

由该方程组可求得一组实数解，h(n)对应分解低通滤波器系数，对应重构低通滤波器系数，g(n)对应分解高通滤波器系数，对应重构高通滤波器系数：

$\left\{\begin{array}{c}h\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cccccccccc}0.0269& -0.0323& -0.2411& 0.0541& 0.8995& 0.8995& 0.0541& -0.2411& -0.0323& 0.0269\end{array}\right\}\\ \tilde{h}\left(n\right)=\{\left.\begin{array}{cccccccccc}0.0198& 0.0238& -0.0233& 0.1456& 0.5411& 0.5411& 0.1456& -0.0233& 0.0238& 0.0198\end{array}\right\}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}g\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cccccccccc}-0.0198& 0.0238& 0.0233& 0.1456& -0.5411& 0.5411& -0.1456& -0.0233& -0.0238& 0.0198\end{array}\right\}\\ \tilde{g}\left(n\right)=\{\left.\begin{array}{cccccccccc}0.0269& 0.0323& -0.2411& -0.0541& 0.8995& -0.8995& 0.0541& 0.2411& -0.0323& -0.0269\end{array}\right\}\end{array}\right.$

步骤4，根据双尺度方程获得到一组心音双正交小波基和滤波器组，如附图1所示。包括：与心音分解小波函数对应的心音重构高通滤波器h(n)，和与心音重构小波函数对应的心音重构低通滤波器

利用心音小波、Db5小波和Bior5.5分别对同一个含噪心音信号进行去噪的效果如下表所示。从它们的信噪比SNR可见，心音小波具有更优越的去噪性能。

表1

Claims (2)

1.一种双正交小波滤波器组的构造方法，设φ(t)、ψ(t)和为与双正交小波滤波器组h，g，对应的双正交尺度函数和小波函数，其特征是：该方法包括下列步骤：

步骤1：根据要构造小波函数的要求，确定分解低通滤波器h(n)的长度L＝N和重构低通滤波器的长度为L＝M，这里N和M为偶数，有h(n)＝{a₁,a₂,…a_N/2,a_N/2,…a₂,a₁}， $\tilde{h}\left(n\right)=\{b_1,b_2,b_3,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,b_{M/2},b_{M/2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,b_3,b_2,b_1\};$

步骤2：确定要构造对偶小波母函数ψ(t)和的消失矩阶数；

步骤3：计算双正交完全重构滤波器组：

将h(n)和代入下式：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}h\left(n\right)=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{h}\left(n\right)=\sqrt{2}\\ \underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}g\left(n\right)=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{g}\left(n\right)=0\\ \&lang;\tilde{h}\left(k\right),h(k-2n)\&rang;=\mathrm{\&delta;}\left(n\right)\\ H(w=\mathrm{\&pi;})=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_k{e}^{-\mathrm{iwn}}=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k{h}_k=0\\ H^{\left(n\right)}(w=\mathrm{\&pi;})=\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{ik})}^n{h}_k{e}^{-\mathrm{iwn}}=\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k{(-\mathrm{ik})}^n{h}_k=0\\ g\left(n\right)={(-1)}^{n-1}{\tilde{h}}_{-n+1}\\ \tilde{g}\left(n\right)={(-1)}^{n-1}{h}_{-n+1}\end{array}\right.$

和a(N)＝1，a(2k)＝0k＝1…(N-1)，这里从而获得一组双正交完全重构滤波器组的系数：h(n)，g(n)和h(n)对应分解低通滤波器系数，对应重构低通滤波器系数，g(n)对应分解高通滤波器系数，对应重构高通滤波器系数；

步骤4：将上述得到的各滤波器系数带入双尺度方程：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\&phi;}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}h\left(k\right)\mathrm{\&phi;}(2t-k)& \mathrm{\&psi;}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}g\left(k\right)\mathrm{\&phi;}(2t-k\end{array})$

$\begin{array}{cc}\widetilde{\mathrm{\&phi;}}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{h}\left(k\right)\widetilde{\mathrm{\&phi;}}(2t-k)& \widetilde{\mathrm{\&psi;}}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}\tilde{g}\left(k\right)\widetilde{\mathrm{\&phi;}}(2t-k)\end{array}$

构造出一组双正交小波基ψ(t)和分解小波函数ψ(t)对应分解高通滤波器，重构小波函数对应重构高通滤波器。

2.根据权利要求1所述的双正交小波滤波器组的构造方法，其特征是：

所述步骤1中，取分解尺度滤波器h(n)和重构尺度滤波器的长度L＝10；

所述步骤2中，相应地取ψ(t)和的消失矩阶数为5，因此有h(n)＝{a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₅,a₄,a₃,a₂,a₁}， $\tilde{h}\left(n\right)=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_5,b_4,b_3,b_2,b_1\};$

所述步骤3中：根据以上步骤设置和公式(1)，计算双正交完全重构滤波器组，有：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3+a_4{b}_4+a_5{b}_5=\frac{1}{2}\\ a_1{b}_3+a_2{b}_4+a_3{b}_5+a_4{b}_5+a_5{b}_4+a_5{b}_3+a_4{b}_2+a_3{b}_1=0\\ a_2-2_{a3}+3_{a4}-4_{a5}+5_{a5}-6_{a4}+7_{a3}-8_{a2}+9_{a1}=0\\ a_2-2^2{a}_3+3^2{a}_4-4^2{a}_5+5^2{a}_5-6^2{a}_4+7^2{a}_3-8^2{a}_2+9^2{a}_1=0\\ a_2-2^3{a}_3+3^3{a}_4-4^3{a}_5+5^3{a}_5-6^3{a}_4+7^3{a}_3-8^3{a}_2+9^3{a}_1=0\\ b_2-2_{b3}+3_{b4}-4_{b5}+5_{b5}-6_{b4}+7_{b3}-8_{b2}+9_{b1}=0\\ b_2-2^2{b}_3+3^2{b}_4-4^2{b}_5+5^2{b}_5-6^2{b}_4+7^2{b}_3-8^2{b}_2+9^2{b}_1=0\\ b_2-2^3{b}_3+3^3{b}_4-4^3{b}_5+5^3{b}_5-6^3{b}_4+7^3{b}_3-8^3{b}_2+9^3{b}_1=0\\ a_1{b}_2+a_2{b}_1=0\\ a_1{b}_4+a_2{b}_3+a_3{b}_2+a_4{b}_1=0\end{array}\right.$

由该方程组可求得一组对应于各滤波器系数的实数解：

$\left\{\begin{array}{c}h\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cccccccccc}0.0269& -0.0323& -0.2411& 0.0541& 0.8995& 0.8995& 0.0541& -0.2411& -0.0323& 0.0269\end{array}\right\}\\ \tilde{h}\left(n\right)=\{\left.\begin{array}{cccccccccc}0.0198& 0.0238& -0.0233& 0.1456& 0.5411& 0.5411& 0.1456& -0.0233& 0.0238& 0.0198\end{array}\right\}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}g\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cccccccccc}-0.0198& 0.0238& 0.0233& 0.1456& -0.5411& 0.5411& -0.1456& -0.0233& -0.0238& 0.0198\end{array}\right\}\\ \tilde{g}\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cccccccccc}0.0269& 0.0323& -0.2411& -0.0541& 0.8995& -0.8995& 0.0541& 0.2411& -0.0323& -0.0269\end{array}\right\}\end{array}\right..$