CN104063897A - 基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法,包括以下步骤：步骤1，将已知的高光谱数据的三维立方体重新排列为矩阵；步骤2，以随机卷积变换作为线性观测矩阵，构建多向量测量模型，对每一波段进行独立采样，生成测量向量矩阵；步骤3，将高光谱图像在稀疏变换域分解为谱间的关联成分和差异成分，构建包含关联成分和差异成分的图稀疏正则化的联合重建模型；步骤4，提出联合重建模型求解的交替方向乘子迭代算法，获得变换域的关联成分和差异成分，然后合并关联成分和差异成分，得到重建的高光谱数据。本发明提供的方法对卫星高光谱遥感数据进行压缩时压缩程度高、精度高。

Description

基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法

技术领域

本发明属于遥感图像处理领域，具体涉及一种基于图稀疏正则化多测量向量模型的卫星高光谱图像压缩感知重建方法。

背景技术

随着遥测技术的发展，高光谱遥感图像的光谱分辨率与空间分辨率越来越高，可以用来有效探测和识别地物类别，在地物识别、地质调查等方面具有广阔的应用前景。然而高的空间和光谱分辨率也生成了大量的测量数据，给高光谱遥感探测数据的存储、传输以及后续处理带来了困难。特别是星载高光谱传感器连续工作将生成海量的数据，导致在带宽有限的卫星信道上存储和传输非常困难。因此，在存储和传输高光谱数据前需要对其进行压缩。传统技术一般采用预测、变换、矢量量化等压缩算法，通过建模高光谱数据在空间和光谱两个维度的相关性，去除数据间的冗余，进而实现数据的有效压缩。然而随着人们对信息需求量的急剧增加，这种高冗余采样再压缩的过程造成极大的资源浪费，给低功耗、资源有限的星上应用带来巨大压力。

压缩感知是一种新颖的信号获取理论，该理论融合了传统的采样与压缩过程，利用信号的稀疏性或可压缩性先验，编码端对信号进行非自适应的线性随机测量，解码端通过求解一个非线性优化问题，能够从远低于Nyquist采样率的测量向量高概率重构出原信号，大幅减少了数据量，降低了数据冗余度，并且编码端计算简单的感知模式也非常适合资源受限的星上处理。目前已有学者对卫星高光谱图像的压缩感知问题进行了积极研究，形成了一些新的压缩采样与重建方法，如：有学者将全变差模型独立应用于高光谱图像的每一光谱波段数据，约束其空间光滑性进行高光谱压缩重建；有学者采用三维张量小波联合约束高光谱数据的稀疏性，利用光谱维的分片光滑先验进行高光谱压缩重建等。但是上述技术依然存有问题：(1)忽略了高光谱图像的多波段结构，编码端测量过程中将多通道的高光谱信号重排为长向量进行单次压缩采样，该种耦合(稠密)的测量方式不利于高光谱测量装置的硬件实现，并且无法针对每个谱段的统计特性进行自适应采样；(2)解码时的重建模型只利用了光谱波段之间的相关性，对于光谱波段内的空间相关性并未得到充分利用，导致高光谱数据重建的精度和效率都不高。上述问题使得卫星高光谱图像的压缩感知重建技术离实际应用还有一定的距离。

发明内容

为了克服现有技术所存在的问题，本发明提供一种对卫星高光谱遥感数据进行压缩时压缩程度高、精度高的卫星高光谱图像压缩感知重建方法。

一种基于图稀疏正则化多测量向量模型的卫星高光谱图像压缩感知重建方法，包括星上编码端高光谱数据随机测量和地面解码端压缩感知重建；

所述星上编码端高光谱数据随机测量过程为：

步骤1，将已知的高光谱数据的三维立方体重新排列为矩阵X；

步骤2，以随机卷积变换作为线性观测矩阵，构建多向量测量模型，对每一波段进行独立采样，生成测量向量矩阵Y；

所述地面解码端压缩感知重建过程为：

步骤3，将高光谱图像在稀疏变换域分解为谱间的关联成分和差异成分，构建包含关联成分和差异成分的图稀疏正则化的联合重建模型；

步骤4，提出联合重建模型求解的交替方向乘子迭代算法，获得变换域的关联成分和差异成分，然后合并关联成分和差异成分，得到重建的高光谱数据。

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：(1)本发明在编码端从多个测量向量恢复多个未知的稀疏信号，可以大幅度提高源信号恢复的成功率；(2)在解码端将高光谱数据矩阵在稀疏变换域分解为关联成分和差异成分，关联成分中当前波段图像可以由其相邻波段图像预测得到，表示多波段数据间的空谱联合相关部分，通过图结构化稀疏模式进行有效表征，差异成分为预测去相关以后的残差图像，相比较于原通道图像，残差图像更加稀疏，进而构建图稀疏正则化的联合重建模型，并提出模型求解的交替方向乘子迭代算法，将原问题转化为多个子问题的迭代求解，并通过引入辅助变量与线性化技巧使得每一子问题均存在解析解，降低了模型求解的复杂度，本发明适合低功耗、资源有限的星载应用，有利于促进星载遥感器的轻型化设计。

下面结合附图详细说明本发明提供的基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法。

附图说明

图1是本发明基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法流程示意图；

图2是本发明星上编码端高光谱数据随机测量流程示意图；

图3是本发明地面解码端高光谱数据压缩感知重建流程示意图。

具体实施方式

结合图1，一种基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法，包括星上编码端高光谱数据随机测量和地面解码端压缩感知重建；

所述星上编码端高光谱数据随机测量过程为：

步骤1，将已知的高光谱数据的三维立方体重新排列为矩阵X；

由于高光谱图像包含几十至几百个谱段，本发明是将一种多波段三维体高光谱图像的每一波段内的图像按列拉为一列向量，然后合并每个波段的列向量组成新的数据矩阵X

$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \·\·\·& {x_{1n}}_2\\ x_{21}& x_{22}& \·\·\·& x_{{2n}_2}\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ x_{n_{1}1}& x_{n_{1}2}& \·\·\·& x_{n_1{n}_2}\end{array}\right],$ n₁为高光谱数据的像元个数，n₂为光谱波段数目；

数据矩阵X的列向量是将第u个光谱波段数据按列重新排列后得到的列向量，列向量可以表示为 $X_u=\left(\begin{array}{c}{x}_{1u}\\ x_{2u}\\ \·\·\·\\ x_{n_{1}u}\end{array}\right),$ u∈[1,n₂]。

步骤2，以随机卷积变换作为线性观测矩阵，构建多向量测量模型，对每一波段进行独立采样，生成测量向量矩阵Y

Y＝ΦX，

其中Y为对数据矩阵X进行压缩测量后生成的测量矩阵，y_v∈R^m为第v个波段的测量向量，R为实数集，总采样数m*n₂远小于n₁*n₂，采样率为其中矩阵为随机卷积变换算子。

所述地面解码端压缩感知重建过程为：

步骤3，将高光谱图像在稀疏变换域分解为谱间的关联成分Z和差异成分E，构建包含关联成分和差异成分的图稀疏正则化的联合重建模型，并约束差异成分的稀疏性；

联合重建模型为：

$[Z,E]=\arg \underset{Z,E}{\min }{\left|\right|Z\left|\right|}_1+\mathrm{vec}{\left(Z\right)}^T\mathrm{Lvec}\left(Z\right)+\mathrm{\λ}{\left|\right|E\left|\right|}_1$

s.t.Y＝ΦΨ(Z+E)，

其中，λ||E||₁表示对差异成分E的稀疏性的约束，vec(Z)^TLvec(Z)表示对图正则化稀疏约束；

为小波变换字典，s为字典中的基函数个数；||·||₁为矩阵的l₁范数，l1范数为矩阵中各元素的绝对值之和；λ为图稀疏正则化参数；L为规范化拉普拉斯矩阵，计算方法为L＝I-D^-1/2WD^1/2，I为单位矩阵，W为相似性矩阵，D为对角矩阵，对角元素 $D_{\mathrm{\φ\φ}}=\underset{\mathrm{\η}}{\mathrm{\Σ}}{W}_{\mathrm{\φ},\mathrm{\η}},$ $L\∈R^{{{\mathrm{sn}}_2}^{*}{\mathrm{sn}}_2},$ $D\∈R^{{{\mathrm{sn}}_2}^{*}{\mathrm{sn}}_2},$ $I\∈R^{{{\mathrm{sn}}_2}^{*}{\mathrm{sn}}_2},$ $W\∈R^{{{\mathrm{sn}}_2}^{*}{\mathrm{sn}}_2};$

矩阵Z、E为数据矩阵X在高光谱图像的稀疏变换域分解为关联矩阵Z和差异矩阵E；其中 $Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{\mathrm{1,1}}& z_{\mathrm{1,2}}& \·\·\·& z_{1,n_2}\\ z_{\mathrm{2,1}}& z_{\mathrm{2,2}}& \·\·\·& z_{2,n_2}\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ z_{s,1}& z_{s,2}& \·\·\·& z_{s,n_2}\end{array}\right],$ $E=\left[\begin{array}{cccc}{e}_{\mathrm{1,1}}& e_{\mathrm{1,2}}& \·\·\·& e_{1,n_2}\\ e_{\mathrm{2,1}}& e_{\mathrm{2,2}}& \·\·\·& e_{2,n_2}\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ e_{s,1}& e_{s,2}& \·\·\·& e_{s,n_2}\end{array}\right];$

在对图正则化稀疏约束中，记Z'是Z经过vec(Z)线性映射后得到的向量， ${Z\′=}^{\left(\begin{array}{c}{z^{\′}}_1\\ {z^{\′}}_2\\ \·\·\·\\ {z^{\′}}_i\\ \·\·\·\\ {z^{\′}}_{s^{*}{n}_2}\end{array}\right),}$ 其中i∈[1，n₂]，h∈[1,s]，记录Z'中每个系数z'_i在同一尺度同一方向的波段内与前后相邻波段间的系数的索引集合N(i)，并计算权重w_i,j，w_i,j为N(i)每个索引对应的系数与z'_i的欧氏距离作高斯衰减计算得到，所以依据谱图理论，图正则化稀疏约束等价于如下二次函数形式 $\mathrm{vec}{\left(Z\right)}^T\mathrm{Lvec}\left(Z\right)=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈N\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}{w}_{i,j}({z^{\′}}_i-{z^{\′}}_j).$

作为本发明的一个优选方案，可以采用变量交替迭代方法对上述联合重建模型进行迭代求解获得重建的高光谱数据稀疏变换域的关联成分Z和差异成分E，如图3所示，具体计算过程为步骤4。

步骤4，提出联合重建模型求解的交替方向乘子迭代算法，获得变换域的关联成分和差异成分，然后合并关联成分和差异成分，得到重建的高光谱数据，具体过程为：

步骤4.1，对联合重建模型引入辅助变量并添加等式约束，将联合重建模型转化为如下的等价模型：

$[Z,E,J]=\arg \underset{Z,E,J}{\min }{\left|\right|Z\left|\right|}_1+\mathrm{vec}{\left(J\right)}^T\mathrm{Lvec}\left(J\right)+\mathrm{\λ}{\left|\right|E\left|\right|}_1$

s.t.Y＝ΦY(Z+E),J＝Z

步骤4.2，初始化等价模型的参数和初始变量E＝0,Z＝0,辅助变量J＝0；正则因子a和β在取值范围(0,0.1]内取任意值；正则化参数用于收敛条件RelErr1判断的参数ε₁在取值范围(0,0.1]内取任意值，用于收敛条件RelErr2判断的参数ε₂在取值范围(0,0.1]内取任意值；

步骤4.3，设k为迭代次数，初始时k＝0；更新辅助变量J，计算公式为

$J^{k+1}={(L+\mathrm{\βI})}^{-1}({\mathrm{\βZ}}^k+M_1^k),$

其中，M₁为拉格朗日乘子；

步骤4.4，通过软阈值收缩更新关联成分Z，计算公式为

$Z^{k+1}=\mathrm{sign}\left(Z_c\right)\left(\mathrm{abs}(Z_c-1/\mathrm{\β})\right)$

其中， $Z_c=Z^k-\frac{\mathrm{\&beta;}(Z^k-J^{k+1}+M_1^k/\mathrm{\&beta;})+\mathrm{\&beta;}{\mathrm{\&psi;}}^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}(\mathrm{\&Phi;\&psi;}(Z^k+E^k)-Y+M_2^k/\mathrm{\&beta;})}{\mathrm{\&beta;}},$ sign(Z_c)是符号函数，当Z_c<0时，sign(Z_c)＝-1；当Z_c＝0时，sign(Z_c)＝0；当Z_c>0时，sign(Z_c)＝1，Ψ^*Φ^*为ΦΨ的共轭转置矩阵，M₁和M₂为拉格朗日乘子；

步骤4.5，通过软阈值收缩更新差异成分E，计算公式为

$E^{k+1}=\mathrm{sign}\left(E_c\right)(\mathrm{abs}\left(E_c\right)-\mathrm{\&lambda;}/\mathrm{\&beta;}),$

其中， $E_c=E^k-\mathrm{\&beta;}{\mathrm{\&psi;}}^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}(\mathrm{\&Phi;\&psi;}(Z^k+E^k)-Y+M_2^k/\mathrm{\&beta;})/\mathrm{\&beta;},$ abs(E_c)表示取E_c的绝对值；sign(E_c)是符号函数，当E_c<0时，sign(E_c)＝-1；当E_c＝0时，sign(E_c)＝0；当E_c>0时，sign(E_c)＝1；

步骤4.6，更新拉格朗日乘子M₁和M₂，计算公式为

$M_1^{k+1}=M_1^k+\mathrm{\&gamma;}(Z^{k+1}-J^{k+1}),$

$M_2^{k+1}=M_2^k+\mathrm{\&gamma;}(\mathrm{\&Phi;\&psi;}(Z^{k+1}+E^{k+1})-Y),$

其中，和为更新后的拉格朗日乘子；

步骤4.7，采取序贯策略更新正则因子γ，计算公式为

$\mathrm{\&gamma;}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&rho;\&gamma;}& \max \{\frac{{\left|\right|\mathrm{\&Phi;\&psi;}(Z^{k+1}+E^{k+1})-Y\left|\right|}_F}{{\left|\right|\mathrm{\&Phi;\&psi;}(Z^k+E^k)-Y\left|\right|}_F},\frac{{\left|\right|Z^{k+1}-J^{k+1}\left|\right|}_F}{{\left|\right|Z^k-J^k\left|\right|}_F}\}>\mathrm{\&alpha;}\\ \mathrm{\&gamma;}& \mathrm{othervise}\end{array}\right.,$

其中，||·||_F为矩阵的F范数，F范数为矩阵每个元素的平方求和后开根号；ρ>1为倍数因子；逐步增大γ，当k→∞时，γ将趋于稳定，使得等式约束趋于成立；

步骤4.8，更新收敛性条件RelErr1和RelErr2，计算公式为

$\mathrm{RelErr}1=\max ({\left|\right|Z^{k+1}-Z^k\left|\right|}_F,{\left|\right|E^{k+1}-E^k\left|\right|}_F,{\left|\right|J^{k+1}-J^k\left|\right|}_F)/{\left|\right|Y\left|\right|}_F,$

$\mathrm{RelErr}2=\max ({\left|\right|M_1^{k+1}-M_1^k\left|\right|}_F,{\left|\right|M_2^{k+1}-M_2^k\left|\right|}_F)/{\left|\right|Y\left|\right|}_F;$

步骤4.9，如果RelErr1>ε₁且RelErr2>ε₂，转至步骤4.3，k←k+1；否则，将更新后的关联成分Z^k+1和差异成分E^k+1合并并与小波字典相乘获得重建的高光谱数据矩阵，即X_new＝Ψ(Z^k+1+E^k+1)；

将重建的高光谱数据矩阵按照步骤1的规则重新排列得到重拍后的高光谱图像。

Claims (5)

1.一种基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法，其特征在于，包括星上编码端高光谱数据随机测量和地面解码端压缩感知重建；

所述星上编码端高光谱数据随机测量过程为：

步骤1，将已知的高光谱数据的三维立方体重新排列为矩阵X；

步骤2，以随机卷积变换作为线性观测矩阵，构建多向量测量模型，对每一波段进行独立采样，生成测量向量矩阵Y；

所述地面解码端压缩感知重建过程为：

步骤3，将高光谱图像在稀疏变换域分解为谱间的关联成分和差异成分，构建包含关联成分和差异成分的图稀疏正则化的联合重建模型；

步骤4，提出联合重建模型求解的交替方向乘子迭代算法，获得变换域的关联成分和差异成分，然后合并关联成分和差异成分，得到重建的高光谱数据。

2.根据权利要求1所述的基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法，其特征在于，步骤1中将多波段三维体的高光谱图像的每一波段内的图像按列拉为一列向量，合并每个波段的列向量组成新的数据矩阵X

$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {x_{1n}}_2\\ x_{21}& x_{22}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& x_{{2n}_2}\\ \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\\ x_{n_{1}1}& x_{n_{1}2}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& x_{n_1{n}_2}\end{array}\right],$ n₁为高光谱数据的像元个数，n₂为光谱波段数目。

3.根据权利要求1所述的基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法，其特征在于，步骤2中所述的多向量测量模型为

Y＝ΦX，

其中Y为生成的测量矩阵，矩阵Φ为线性随机测量算子，Y与Φ的维数均为m×n₂，行秩m<n₁。

4.根据权利要求1所述的基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法，其特征在于，步骤3中的联合重建模型为：

$[Z,E]=\arg \underset{Z,E}{\min }{\left|\right|Z\left|\right|}_1+\mathrm{vec}{\left(Z\right)}^T\mathrm{Lvec}\left(Z\right)+\mathrm{\&lambda;}{\left|\right|E\left|\right|}_1$

s.t.Y＝ΦY(Z+E)，

其中，矩阵Z、E为数据矩阵X在高光谱图像的稀疏变换域分解为关联矩阵Z和差异矩阵E；其中 $Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{\mathrm{1,1}}& z_{\mathrm{1,2}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& z_{1,n_2}\\ z_{\mathrm{2,1}}& z_{\mathrm{2,2}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& z_{2,n_2}\\ \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\\ z_{s,1}& z_{s,2}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& z_{s,n_2}\end{array}\right],$ $E=\left[\begin{array}{cccc}{e}_{\mathrm{1,1}}& e_{\mathrm{1,2}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& e_{1,n_2}\\ e_{\mathrm{2,1}}& e_{\mathrm{2,2}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& e_{2,n_2}\\ \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\\ e_{s,1}& e_{s,2}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& e_{s,n_2}\end{array}\right];$

其中，Ψ为维数为n₁×s的小波变换字典，s为字典中的基函数个数；||·||₁为矩阵的l₁范数，l₁范数为矩阵中各元素的绝对值之和；λ为图稀疏正则化参数；L为规范化拉普拉斯矩阵。

5.根据权利要求1所述的基于图稀疏正则化的卫星高光谱图像压缩感知重建方法，其特征在于，步骤4的具体过程为：

步骤4.1，对联合重建模型引入辅助变量J，并添加等式约束，将联合重建模型转化为如下的等价模型：

$[Z,E,J]=\arg \underset{Z,E,J}{\min }{\left|\right|Z\left|\right|}_1+\mathrm{vec}{\left(J\right)}^T\mathrm{Lvec}\left(J\right)+\mathrm{\&lambda;}{\left|\right|E\left|\right|}_1$

s.t.Y＝ΦΨ(Z+E),J＝Z

步骤4.2，初始化等价模型的参数和初始变量E＝0,Z＝0,辅助变量J＝0；正则因子a和β在取值范围(0,0.1]内取任意值；正则化参数用于收敛条件RelErr1判断的参数ε₁在取值范围(0,0.1]内取任意值，用于收敛条件RelErr2判断的参数ε₂在取值范围(0,0.1]内取任意值；

步骤4.3，更新辅助变量J，计算公式为

$J^{k+1}={(L+\mathrm{\&beta;I})}^{-1}({\mathrm{\&beta;Z}}^k+M_1^k),$

其中，k为迭代次数，初始时k＝0，M₁为拉格朗日乘子；

步骤4.4，通过软阈值收缩更新关联成分Z，计算公式为

$Z^{k+1}=\mathrm{sign}\left(Z_c\right)\left(\mathrm{abs}(Z_c-1/\mathrm{\&beta;})\right)$

其中， $Z_c=Z^k-\frac{\mathrm{\&beta;}(Z^k-J^{k+1}+M_1^k/\mathrm{\&beta;})+\mathrm{\&beta;}{\mathrm{\&psi;}}^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}(\mathrm{\&Phi;\&psi;}(Z^k+E^k)-Y+M_2^k/\mathrm{\&beta;})}{\mathrm{\&beta;}},$ sign(Z_c)是符号函数，当Z_c<0时，sign(Z_c)＝-1；当Z_c＝0时，sign(Z_c)＝0；当Z_c>0时，sign(Z_c)＝1，Ψ^*Φ^*为ΦΨ的共轭转置矩阵，M₁和M₂为拉格朗日乘子；

步骤4.5，通过软阈值收缩更新差异成分E，计算公式为

$E^{k+1}=\mathrm{sign}\left(E_c\right)(\mathrm{abs}\left(E_c\right)-\mathrm{\&lambda;}/\mathrm{\&beta;}),$

其中， $E_c=E^k-\mathrm{\&beta;}{\mathrm{\&psi;}}^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}(\mathrm{\&Phi;\&psi;}(Z^k+E^k)-Y+M_2^k/\mathrm{\&beta;})/\mathrm{\&beta;},$ abs(E_c)表示取E_c的绝对值；sign(E_c)是符号函数，当E_c<0时，sign(E_c)＝-1；当E_c＝0时，sign(E_c)＝0；当E_c>0时，sign(E_c)＝1；

步骤4.6，更新拉格朗日乘子M₁和M₂，计算公式为

$M_1^{k+1}=M_1^k+\mathrm{\&gamma;}(Z^{k+1}-J^{k+1}),$

$M_2^{k+1}=M_2^k+\mathrm{\&gamma;}(\mathrm{\&Phi;\&psi;}(Z^{k+1}+E^{k+1})-Y),$

其中，和为更新后的拉格朗日乘子；

步骤4.7，采取序贯策略更新正则因子γ，计算公式为

$\mathrm{\&gamma;}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&rho;\&gamma;}& \max \{\frac{{\left|\right|\mathrm{\&Phi;\&psi;}(Z^{k+1}+E^{k+1})-Y\left|\right|}_F}{{\left|\right|\mathrm{\&Phi;\&psi;}(Z^k+E^k)-Y\left|\right|}_F},\frac{{\left|\right|Z^{k+1}-J^{k+1}\left|\right|}_F}{{\left|\right|Z^k-J^k\left|\right|}_F}\}>\mathrm{\&alpha;}\\ \mathrm{\&gamma;}& \mathrm{othervise}\end{array}\right.,$

其中，||·||_F为矩阵的F范数，F范数为矩阵每个元素的平方求和后开根号；ρ>1为倍数因子；

步骤4.8，更新收敛性条件RelErr1和RelErr2，计算公式为

$\mathrm{RelErr}1=\max ({\left|\right|Z^{k+1}-Z^k\left|\right|}_F,{\left|\right|E^{k+1}-E^k\left|\right|}_F,{\left|\right|J^{k+1}-J^k\left|\right|}_F)/{\left|\right|Y\left|\right|}_F,$

$\mathrm{RelErr}2=\max ({\left|\right|M_1^{k+1}-M_1^k\left|\right|}_F,{\left|\right|M_2^{k+1}-M_2^k\left|\right|}_F)/{\left|\right|Y\left|\right|}_F;$

步骤4.9，如果RelErr1>ε₁且RelErr2>ε₂，转至步骤4.3，k←k+1；否则，将更新后的关联成分Z^k+1和差异成分E^k+1合并后与小波字典相乘获得重建的高光谱数据。