CN104035455A - 一种测定复合材料剩余强度与剩余寿命的应力控制方法 - Google Patents

Abstract

一种测定复合材料剩余强度与剩余寿命的应力控制方法，该方法有三大步骤：步骤一、应力控制剩余强度模型；步骤二、应力控制剩余强度的随机模型；步骤三、模型参数估计。本发明简单实用、操作方便、计算精度高，能合理表征复合材料疲劳损伤。本发明在测试技术领域里具有较好的实用价值和广阔地应用前景。

Description

一种测定复合材料剩余强度与剩余寿命的应力控制方法

技术领域

本发明提供一种测定复合材料剩余强度与剩余寿命的应力控制方法，属于试验测试技术领域。

背景技术

复合材料剩余强度与剩余寿命测定方法是其疲劳寿命评估的重要前提，由于复合材料疲劳损伤的复杂性，难以采用单一方式定义复合材料损伤，因此，人们先后提出了各种基于刚度降、裂纹密度、裂纹长度等概念的疲劳损伤模型；然而，这些模型难以通过试验方法方便地测定，为此，本发明提出一种测定复合材料剩余强度与剩余寿命的应力控制方法，该方法简单实用、操作方便、计算精度高，能充分而合理地表征复合材料疲劳损伤物理特性与唯象的试验数据规律，具有重要的学术意义和工程应用价值。

发明内容

1、目的：本发明的目的是提供一种测定复合材料剩余强度与剩余寿命的应力控制方法，该方法具有简单实用、操作方便便、计算精度高，并能合理表征其损伤规律等优点。

2、技术方案：本发明一种测定复合材料剩余强度与剩余寿命的应力控制方法，该方法具体步骤如下：

步骤一、应力控制剩余强度模型

疲劳损伤导致强度下降，随时间变化的复合材料有效模量降可表示为

$\frac{\mathrm{dR}\left(n\right)}{\mathrm{dn}}=-\frac{f(r,s,\mathrm{\ω})}{R^{b-1}\left(n\right)}---\left(1\right)$

式中，f(r,s,ω)为最大疲劳应力s、加载频率ω和应力比r的函数。在不考虑加载顺序效应及不改变应力水平的情况下，对上式积分，得到

n＝f(r,s,ω)[R₀-R(n)]^b (2)

式中，R₀为拟合强度极限。对于给定的加载频率ω和应力比r，f(r,s,ω)＝f(s)，则式(2)为

n＝f(s)[R₀-R(n)]^b (3)

式(3)即为剩余强度R-疲劳应力s-疲劳应力循环次数n的关系曲面。根据S-N曲线规律，S-N曲线常采用幂函数式表示：

N＝C(S-S₀)^m (4)

式中，C和m为材料常数，S为疲劳强度，S₀为拟合疲劳极限。由式(4)可得

f(s)＝C(s-S₀)^m (5)

将式(5)代入式(3)，可获得应力控制剩余强度的方程

n＝C(s-S₀)^m[R₀-R(n)]^b (6)

步骤二、应力控制剩余强度的随机模型

将式(6)随机化，即得到应力控制剩余强度的随机模型

$n_p=C{(s-S_0)}^m{[R_0-R\left(n\right)]}^b\·\exp \left[u_p\hat{k}\mathrm{\σ}\right]---\left(7\right)$

$n_{\mathrm{p\γ}}=C{(s-S_0)}^m{[R_0-R\left(n\right)]}^b\·\exp \{\mathrm{\σ}\·[\hat{k}{u}_p+t_{\mathrm{\γ}}\sqrt{\frac{1}{n}+u_p^2({\hat{k}}^2-1)}\left]\right\}---\left(8\right)$

对式(6)随机化，并取对数，得到

Y＝a₀+a₁x₁+a₂x₂+U (9)

式中，Y＝lgn，a₀＝lgC，a₁＝m，a₂＝b，x₁＝lg(s-S₀)，x₂＝lg[R₀-R(n)]，U＝lgX(n)，且U为正态随机变量N[0,σ²]。由式(9)可知，Y为正态随机变量N[a₀+a₁x₁+a₂x₂,σ²]，则根据极大似然法，得到

$a_0=\stackrel{\‾}{y}-a_1{\stackrel{\‾}{x}}_1+a_2{\stackrel{\‾}{x}}_2---\left(10\right)$

$a_1=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(11\right)$

$a_2=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(12\right)$

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(y_i-a_0-a_1{x}_{1i}+a_2{x}_{2i})}^2}{l}}---\left(13\right)$

式中

$\stackrel{\‾}{y}=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i---\left(14\right)$

${\stackrel{\‾}{x}}_1=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{1i}---\left(15\right)$

${\stackrel{\‾}{x}}_2=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{2i}---\left(16\right)$

$L_{11}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{1i}-{\stackrel{\‾}{x}}_1)}^2---\left(17\right)$

$L_{22}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{2i}-{\stackrel{\‾}{x}}_2)}^2---\left(18\right)$

$L_{12}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(x_{1i}-{\stackrel{\‾}{x}}_1)(x_{2i}-{\stackrel{\‾}{x}}_2)---\left(19\right)$

L₂₁＝L₁₂ (20)

$L_{10}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(x_{1i}-{\stackrel{\‾}{x}}_1)(y_i-\stackrel{\‾}{y})---\left(21\right)$

$L_{20}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(x_{2i}-{\stackrel{\‾}{x}}_2)(y_i-\stackrel{\‾}{y})---\left(22\right)$

步骤三、模型参数估计

式(10)至式(12)是待定常数R₀和S₀的二元函数，因此，需要先求出的R₀和S₀值，再由式(10)至式(13)获得a₀、a₁、a₂和σ。具体的求解步骤如下：

(1)首先，令残差平方和函数

$Q(R_0,S_0)=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(y_i-a_0-a_1{x}_{1i}-a_2{x}_{2i})}^2---\left(23\right)$

(2)确定R₀和S₀的取值范围

R₀∈(R_max,R_max+Δ]

S₀∈[0,S_0min)

式中，R_max＝max{R₁,R₂,…,R_l}，其中R_i(i＝1,2,…,l)为剩余强度试验数据；Δ为一有限值；

S_0min＝min{s₁,s₂,…,s_l}，其中s_i(i＝1,2,…,l)为试验疲劳应力取值。

(3)给定一组R₀和S₀的初始值和，并分别给定R₀和S₀的取值步长Δ₁和Δ₂，按式(23)计算Q(R₀,S₀)的值，寻找Q(R₀,S₀)的最小值点对应的R₀和S₀值。

(4)再由上面求解的R₀和S₀值，按式(10)至式(13)得到a₀、a₁、a₂和σ，最终获得

$C={10}^{\stackrel{\‾}{y}-a_1{\stackrel{\‾}{x}}_1-a_2{\stackrel{\‾}{x}}_2}---\left(24\right)$

$m=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(25\right)$

$b=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(26\right)$

将式(24)至式(26)代入式(7)和式(8)即可。

3、优点及功效：本发明一种测定复合材料剩余强度与剩余寿命的应力控制方法，其特点是简单实用、操作方便、计算精度高。

附图说明

图1为是本发明所述方法的流程框图。

图中符号说明如下：Q为残差平方和函数，R₀、S₀、C、m和b均为待定常数。

具体实施方式

图1为本发明所述方法的流程框图，本发明分三大步骤实现，具体为：

步骤一、应力控制剩余强度模型

疲劳损伤导致强度下降，随时间变化的复合材料有效模量降可表示为

$\frac{\mathrm{dR}\left(n\right)}{\mathrm{dn}}=-\frac{f(r,s,\mathrm{\ω})}{R^{b-1}\left(n\right)}---\left(27\right)$

式中，f(r,s,ω)为最大疲劳应力s、加载频率ω和应力比r的函数。在不考虑加载顺序效应及不改变应力水平的情况下，对上式积分，得到

n＝f(r,s,ω)[R₀-R(n)]^b (28)

式中，R₀为拟合强度极限。对于给定的加载频率ω和应力比r，f(r,s,ω)＝f(s)，则式(28)为

n＝f(s)[R₀-R(n)]^b (29)

式(29)即为剩余强度R-疲劳应力s-疲劳应力循环次数n的关系曲面。根据S-N曲线规律，S-N曲线常采用幂函数式表示：

N＝C(S-S₀)^m (30)

式中，C和m为材料常数，S为疲劳强度，S₀为拟合疲劳极限。由式(30)可得

f(s)＝C(s-S₀)^m (31)

将式(31)代入式(29)，可获得应力控制剩余强度的方程

n＝C(s-S₀)^m[R₀-R(n)]^b (32)

步骤二、应力控制剩余强度的随机模型

将式(32)随机化，即得到应力控制剩余强度的随机模型

$n_p=C{(s-S_0)}^m{[R_0-R\left(n\right)]}^b\·\exp \left[u_p\hat{k}\mathrm{\σ}\right]---\left(33\right)$

$n_{\mathrm{p\γ}}=C{(s-S_0)}^m{[R_0-R\left(n\right)]}^b\·\exp \{\mathrm{\σ}\·[\hat{k}{u}_p+t_{\mathrm{\γ}}\sqrt{\frac{1}{n}+u_p^2({\hat{k}}^2-1)}\left]\right\}---\left(34\right)$

对式(32)随机化，并取对数，得到

Y＝a₀+a₁x₁+a₂x₂+U (35)

式中，Y＝lgn，a₀＝lgC，a₁＝m，a₂＝b，x₁＝lg(s-S₀)，x₂＝lg[R₀-R(n)]，U＝lgX(n)，且U为正态随机变量N[0,σ²]。由式(35)可知，Y为正态随机变量N[a₀+a₁x₁+a₂x₂,σ²]，则根据极大似然法，得到

$a_0=\stackrel{\‾}{y}-a_1{\stackrel{\‾}{x}}_1+a_2{\stackrel{\‾}{x}}_2---\left(36\right)$

$a_1=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(37\right)$

$a_2=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(38\right)$

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(y_i-a_0-a_1{x}_{1i}+a_2{x}_{2i})}^2}{l}}---\left(39\right)$

式中

$\stackrel{\‾}{y}=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i---\left(40\right)$

${\stackrel{\‾}{x}}_1=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{1i}---\left(41\right)$

${\stackrel{\‾}{x}}_2=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{2i}---\left(42\right)$

$L_{11}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{1i}-{\stackrel{\‾}{x}}_1)}^2---\left(43\right)$

$L_{22}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{2i}-{\stackrel{\‾}{x}}_2)}^2---\left(44\right)$

$L_{12}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(x_{1i}-{\stackrel{\‾}{x}}_1)(x_{2i}-{\stackrel{\‾}{x}}_2)---\left(45\right)$

L₂₁＝L₁₂ (46)

$L_{10}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(x_{1i}-{\stackrel{\‾}{x}}_1)(y_i-\stackrel{\‾}{y})---\left(47\right)$

$L_{20}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(x_{2i}-{\stackrel{\‾}{x}}_2)(y_i-\stackrel{\‾}{y})---\left(48\right)$

步骤三、模型参数估计

式(36)至式(38)是待定常数R₀和S₀的二元函数，因此，需要先求出的R₀和S₀值，再由式(36)至式(39)获得a₀、a₁、a₂和σ。具体的求解步骤如下：

(1)首先，令残差平方和函数

$Q(R_0,S_0)=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(y_i-a_0-a_1{x}_{1i}-a_2{x}_{2i})}^2---\left(49\right)$

(2)确定R₀和S₀的取值范围

R₀∈(R_max,R_max+Δ]

S₀∈[0,S_0min)

式中，R_max＝max{R₁,R₂,…,R_l}，其中R_i(i＝1,2,…,l)为剩余强度试验数据；Δ为一有限值；

S_0min＝min{s₁,s₂,…,s_l}，其中s_i(i＝1,2,…,l)为试验疲劳应力取值。

(3)给定一组R₀和S₀的初始值和，并分别给定R₀和S₀的取值步长Δ₁和Δ₂，按式(49)计算Q(R₀,S₀)的值，寻找Q(R₀,S₀)的最小值点对应的R₀和S₀值。

(4)再由上面求解的R₀和S₀值，按式(36)至式(39)得到a₀、a₁、a₂和σ，最终获得

$C={10}^{\stackrel{\‾}{y}-a_1{\stackrel{\‾}{x}}_1-a_2{\stackrel{\‾}{x}}_2}---\left(50\right)$

$m=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(51\right)$

$b=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(52\right)$

将式(50)至式(52)代入式(33)和式(34)即可。

Claims (1)

1.一种测定复合材料剩余强度与剩余寿命的应力控制方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一、应力控制剩余强度模型

疲劳损伤导致强度下降，随时间变化的复合材料有效模量降表示为

$\frac{\mathrm{dR}\left(n\right)}{\mathrm{dn}}=-\frac{f(r,s,\mathrm{\ω})}{R^{b-1}\left(n\right)}---\left(1\right)$

式中，f(r,s,ω)为最大疲劳应力s、加载频率ω和应力比r的函数；在不考虑加载顺序效应及不改变应力水平的情况下，对上式积分，得到

n＝f(r,s,ω)[R₀-R(n)]^b (2)

式中，R₀为拟合强度极限，对于给定的加载频率ω和应力比r，f(r,s,ω)＝f(s)，则式(2)为

n＝f(s)[R₀-R(n)]^b (3)

式(3)即为剩余强度R-疲劳应力s-疲劳应力循环次数n的关系曲面，根据S-N曲线规律，S-N曲线常采用幂函数式表示：

N＝C(S-S₀)^m (4)

式中，C和m为材料常数，S为疲劳强度，S₀为拟合疲劳极限；由式(4)得

f(s)＝C(s-S₀)^m (5)

将式(5)代入式(3)，获得应力控制剩余强度的方程

n＝C(s-S₀)^m[R₀-R(n)]^b (6)

步骤二、应力控制剩余强度的随机模型

将式(6)随机化，即得到应力控制剩余强度的随机模型

$n_p=C{(s-S_0)}^m{[R_0-R\left(n\right)]}^b\·\exp \left[u_p\hat{k}\mathrm{\σ}\right]---\left(7\right)$

$n_{\mathrm{p\γ}}=C{(s-S_0)}^m{[R_0-R\left(n\right)]}^b\·\exp \{\mathrm{\σ}\·[\hat{k}{u}_p+t_{\mathrm{\γ}}\sqrt{\frac{1}{n}+u_p^2({\hat{k}}^2-1)}\left]\right\}---\left(8\right)$

对式(6)随机化，并取对数，得到

Y＝a₀+a₁x₁+a₂x₂+U (9)

式中，Y＝lgn，a₀＝lgC，a₁＝m，a₂＝b，x₁＝lg(s-S₀)，x₂＝lg[R₀-R(n)]，U＝lgX(n)，且U为正态随机变量N[0,σ²]；由式(9)知，Y为正态随机变量N[a₀+a₁x₁+a₂x₂,σ²]，则根据极大似然法，得到

$a_0=\stackrel{\‾}{y}-a_1{\stackrel{\‾}{x}}_1+a_2{\stackrel{\‾}{x}}_2---\left(10\right)$

$a_1=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(11\right)$

$a_2=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(12\right)$

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(y_i-a_0-a_1{x}_{1i}+a_2{x}_{2i})}^2}{l}}---\left(13\right)$

式中

$\stackrel{\‾}{y}=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i---\left(14\right)$

${\stackrel{\‾}{x}}_1=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{1i}---\left(15\right)$

${\stackrel{\‾}{x}}_2=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{2i}---\left(16\right)$

$L_{11}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{1i}-{\stackrel{\‾}{x}}_1)}^2---\left(17\right)$

$L_{22}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{2i}-{\stackrel{\‾}{x}}_2)}^2---\left(18\right)$

$L_{12}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(x_{1i}-{\stackrel{\‾}{x}}_1)(x_{2i}-{\stackrel{\‾}{x}}_2)---\left(19\right)$

L₂₁＝L₁₂ (20)

$L_{10}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(x_{1i}-{\stackrel{\‾}{x}}_1)(y_i-\stackrel{\‾}{y})---\left(21\right)$

$L_{20}=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(x_{2i}-{\stackrel{\‾}{x}}_2)(y_i-\stackrel{\‾}{y})---\left(22\right)$

步骤三、模型参数估计

式(10)至式(12)是待定常数R₀和S₀的二元函数，因此，需要先求出的R₀和S₀值，再由式(10)至式(13)获得a₀、a₁、a₂和σ；具体的求解步骤如下：

(1)首先，令残差平方和函数

$Q(R_0,S_0)=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{(y_i-a_0-a_1{x}_{1i}-a_2{x}_{2i})}^2---\left(23\right)$

(2)确定R₀和S₀的取值范围

R₀∈(R_max,R_max+Δ]

S₀∈[0,S_0min)

式中，R_max＝max{R₁,R₂,…,R_l}，其中R_i(i＝1,2,…,l)为剩余强度试验数据；Δ为一有限值；

S_0min＝min{s₁,s₂,…,s_l}，其中s_i(i＝1,2,…,l)为试验疲劳应力取值；

(3)给定一组R₀和S₀的初始值和并分别给定R₀和S₀的取值步长Δ₁和Δ₂，按式(23)计算Q(R₀,S₀)的值，寻找Q(R₀,S₀)的最小值点对应的R₀和S₀值；

(4)再由上面求解的R₀和S₀值，按式(10)至式(13)得到a₀、a₁、a₂和σ，最终获得

$C={10}^{\stackrel{\‾}{y}-a_1{\stackrel{\‾}{x}}_1-a_2{\stackrel{\‾}{x}}_2}---\left(24\right)$

$m=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(25\right)$

$b=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(26\right)$

将式(24)至式(26)代入式(7)和式(8)即可。