CN103971160B - 基于复杂网络的粒子群优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种基于复杂网络的粒子群优化方法，用于解决现实世界的多目标优化问题。本方法根据无标度网络的产生机制建立种群网络拓扑，确定寻优空间、种群规模、粒子的位置和速度，根据适应函数计算适应值，记录粒子的历史最好位置和历史邻居最好位置以及全局历史最好位置，每次迭代更新粒子的位置和速度，重新计算适应值，直到迭代完成，输出全局最好位置。本发明还提供了四种指标来评价中心粒子和非中心粒子的优化性能：邻域中的影响力；传递信息的能力；适应值的优劣；保持种群活跃性的能力。本发明能有效避免陷入局部最优，平衡应用粒子群算法进行目标求解的收敛速度和优化效果。

Description

基于复杂网络的粒子群优化方法

技术领域

本发明涉及计算机技术领域，具体涉及一种基于复杂网络的粒子群优化方法，用于解决现实世界的多目标优化问题，例如用于空管领域，解决航班起降排序问题。

背景技术

现实世界的很多优化问题属于多目标优化问题，多个相互竞争目标的优化结果是得到一组可行解。例如资产投资的多目标优化，物资调用车辆路径的优选，新产品的优化设计，产品生产调度等等方面。例如，对于航班起降排序问题，问题的求解空间由所有可能的航班起降的时间序列组成，空间的每一点为一个时间序列(也即一种航班起降排序方法)，每一点在每一维度上的坐标为一架飞机的起飞或降落的时间。根据不同的目的，建立不同的目标函数，例如：极小化总空中延误，极小化总起飞/降落时间等等，种群粒子在求解空间中寻找优解。

智能优化算法(Intelligent Optimization Algorithm)，又称智能计算(Intelligent Computation)，是通过模拟或揭示某些自然现象或过程发展而来的优化算法，其思想和内容涉及数学、物理学、生物学和计算机科学等学科，它不依赖梯度信息，具有全局、并行、高效的优化性能，鲁棒性和通用性强，为解决大规模非线性问题提供了新的思路和手段。现实世界的优化问题常常为大规模非线性问题，目前可采用智能优化算法来解决。

粒子群算法是由Kennedy和Eberhart于1995年开发的一种模仿鸟类群体行为的智能优化算法，基本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解。PSO的优势在于简单容易实现并且没有许多参数的调节，但是也存在容易陷入局部最优、早熟收敛或停滞等问题。

众所周知，系统的结构决定系统的功能，更合理、更有效的系统结构可以使得系统以更低的成本代价获得更好的系统功能。复杂网络作为一门研究复杂系统的新兴学科，可以将任何的复杂系统抽象成为由互相作用的个体组成的网络。复杂网络是指具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络。对于粒子群算法，每一个粒子可以看成网络中的一个点，每一对可以传递信息的粒子间视为有边相连，这些点和连边构成了种群的网络拓扑。现有种群的网络结构通常为全连通网络或规则网络，典型代表为环形网络。全连通网络中任意粒子与其余粒子都有连边，具有最快的收敛速度，可是也因此具有一定的“盲目性”，容易陷入局部最优。环形网络中每个粒子只与其相邻的两个粒子有连边，种群的信息传递速度较慢，可以有效地避免全连通网络的“盲目”收敛，对复杂问题可以取得较好的优化效果，但是其收敛速度也因此受到很大的影响。

目前将PSO用于解决多目标优化问题属于一个研究热点，例如航班起降排序问题，将粒子的坐标代入目标函数，以适应值评判解的好坏，根据种群的拓扑结构和PSO的更新规则不断进化，直到取得满意解或达到最大优化代数。但是，由于目前PSO应用中，种群的网络结构的限制，使得获取结果的收敛速度降低或者容易陷入局部最优。

发明内容

本发明针对目前采用PSO进行多目标优化时，由于种群网络结构使得收敛速度过快或者容易陷入局部最优的问题，提供了一种新型的基于复杂网络的粒子群优化方法。本发明的粒子群优化方法中采用了一种新型的种群网络拓扑——无标度网络，来平衡进行多目标优化时种群的收敛速度和优化效果。

本发明的基于复杂网络的粒子群优化方法，包括以下步骤：

第一步，确定寻优空间，设置种群规模，随机设置各粒子的位置和速度。

第二步，根据无标度网络的产生机制建立种群网络拓扑，具体建立方法是：设当前存在的连通网络中有m₀个粒子，对于新加入的粒子，将该粒子与已存在的网络中的m个节点连接，m小于m₀，新加入粒子与网络中已存在的节点i相连接的概率P_i为：

其中，K_i、K_j分别为网络中已存在的节点i、节点j的度；

设种群共有N个粒子，N个粒子按照所述建立方法形成种群网络。

第三步，确定当前各粒子的适应值，更新各粒子的历史最好位置和历史邻居最好位置，以及全局历史最好位置。

第四步，判断是否达到迭代终止条件，若是，则执行第六步，否则继续执行第五步。

第五步，更新各粒子的位置和速度，然后转第三步执行。

第六步，将全局历史最好位置输出，结束本方法。

本发明提供了四种指标来评价中心粒子和非中心粒子的优化性能：邻域中的影响力；传递信息的能力；适应值的优劣；保持种群活跃性的能力。

本发明的优点和积极效果在于：本发明提出的一种基于无标度网络的种群拓扑结构的粒子群优化方法，能够有效避免陷入局部最优，提高了粒子群算法的优化性能，平衡应用粒子群算法进行目标求解的收敛速度和优化效果，针对空管领域的航班起降排序问题，能够获取合理、较优的航班起降序列；通过分析种群优化性能以及优化机理，本发明还提供了评价中心粒子和非中心粒子的优化性能的指标，根据计算的指标值，可对应到优化过程中，评价并调整粒子在优化过程中的作用和影响力，或通过添加粒子以引导粒子优化。

附图说明

图1是标准PSO的流程示意图；

图2是本发明基于无标度网络的PSO的流程示意图；

图3是三种网络拓扑的种群优化方法对测试函数Rastrigin进行优化的示意图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

发明的粒子群优化方法中采用了一种新型的种群网络拓扑——无标度网络，来平衡进行多目标优化时种群的收敛速度和优化效果。1999年Barabási与Albert的研究揭示出了大量现实网络无标度特性，即网络的度分布满足幂律分布，也就是无标度网络的特点。所谓一个网络的度分布，是指网络中一个随机选择的节点的度的概率分布。节点的度是指与这个节点相连的节点数。

现有技术在进行PSO时候，选取种群网络为全连通网络或者规则网络。如图1所示，为标准PSO的基本流程。首先，进行初始化设置，设置粒子数，并赋予每个粒子随机位置和速度；其次，根据目标函数计算各粒子的适应值，找出各粒子的历史最好位置和邻居中的历史最好位置，以及全局的历史最好位置；然后，根据PSO速度和位置的计算公式，更新粒子速度和位置，继续进行目标函数计算，直到达到最大优化代数，最后输出全局最好值。由于所基于的种群网络为全连通网络或者规则网络，将存在结果陷入局部最优，或者收敛速度低的问题。

下面结合航班起降排序问题来说明本发明的基于复杂网络的粒子群优化方法，如图2所示，为本发明方法的整体流程图。

第一步，根据具体问题确定寻优空间，设置种群规模，随机设置各粒子的位置和速度。

设置种群的规模为N，粒子i的位置为速度为其中，R^D为问题的解空间，本发明实施例R^D由所有可能的航班起降的时间序列组成。D表示粒子的维度，本发明实施例中D为飞机的数量。x_i ^d表示第d架飞机的起飞时间。v_i ^d为种群优化时粒子i中第d个元素对应的速度。i＝1,2…,N。

第二步，根据无标度网络的产生机制建立种群网络拓扑。

将N个粒子按照无标度网络的产生机制建立种群网络拓扑。每个粒子作为网络中的一个节点，通过无标度网络生成机制随机生成种群的网络。

本发明采用的是Barabási–Albert(BA)无标度网络，是由Barabási和Albert在1999年提出的。BA无标度网络的产生机制主要包括“增长”和“优先连接”两部分：即从一个具有m₀(m₀>1)个节点的连通网络开始，每次引入一个新的节点并且连接到m个已存在的节点上，这里m小于m₀；一个新节点与一个已经存在的节点i相连接的概率P_i与节点i的度K_i满足如下关系：

其中，K_j为已存在的m₀个节点中的节点j的度。

无标度网络的一个重要的特性是其度分布服从幂率分布。因此，无标度网络具有较强的异质性，少量的节点(中心节点)具有大量的连边，类似于全连通网络中的节点，而大量节点(非中心节点)的连边却很少，类似于环形网络中的节点。

第三步，确定当前各粒子的适应值，更新各粒子的历史最好位置和历史邻居最好位置，以及全局的历史最好位置。

设粒子i的历史最好位置为p_i，粒子i的历史邻居最好位置为p_g，全局历史最好位置为p_best。

本发明分别选用了五个粒子群算法常用的五种测试函数作为目标函数，包括Sphere函数、Rosenbrock函数、Rastrigin函数、Griewank函数和Quartic函数，五个目标函数都是寻找最小值的问题。其中，Sphere和Rosenbrock函数是单峰函数，寻优难度相对较低；Rastrigin和Griewank函数是多峰函数，种群易陷入局部最优，因此可以检验解决较难问题的能力；Quartic函数含噪声的目标函数，同时也是单峰函数。这五个测试函数可以较为全面的反应了粒子群算法在各种场景设置下的优化性能。如表1所示，给出了五个目标函数的公式、维数、初始化范围和达标阈值。本发明实施例中，所有目标函数都是30维的求极小值的函数，优化范围是各个目标函数的解空间，最优值是粒子在解空间中可以取得的最好值，达优阈值是判断寻优是否成功的标准，同时达到阈值所用的代数也可以衡量种群收敛的速度。

表1五个目标函数

其中，D为30，random[0,1)表示区间[0,1)中的随机值，分别表示对应目标函数计算的粒子i的适应值。

根据选择的目标函数计算粒子的适应值，适应值越小表示粒子的位置越好。

将当前迭代的粒子i的适应值和粒子i的历史最好位置对应的适应值进行比较，其中较小适应值对应的位置作为新的粒子i的历史最好位置。第一次迭代时，各粒子的历史最好位置为自身当前的位置。

选取当前迭代的粒子i的邻居节点的最小适应值，将该最小适应值与粒子i的历史邻居最好位置的适应值进行比较，并将其中较小适应值对应的位置作为新的粒子i的历史邻居最好位置。第一次迭代时，选取粒子i的邻居节点的最小适应值对应的位置作为粒子i的历史邻居最好位置。

比较当前所有粒子的适应值，选取其中最小适应值，将该最小适应值与全局历史最好位置的适应值进行比较，将其中较小适应值对应的粒子位置作为全局历史最好位置。第一次迭代时，全局历史最好位置为所有粒子中最小适应值所对应的粒子位置。

第四步，判断是否达到迭代终止条件，若是，则执行第六步，否则继续执行第五步。

迭代终止条件可由用户设定，例如，设定最大迭代次数，当达到最大迭代次数时，结束迭代。

第五步，更新各粒子的位置和速度，然后转第三步执行。

利用下面公式来更新下一次迭代中粒子i的位置和速度。

其中，为粒子i的第d个元素更新后的速度，粒子i的第d个元素更新后的位置，也就是更新的第d架飞机的起飞时间，p_i ^d为粒子i的历史最好位置p_i的第d个元素，p_g ^d为粒子i的历史邻居最好位置的第d个元素，c₁为自我学习因子，c₂为社会学习因子，r₁和r₂是两个[0，1]间的随机量。χ是收缩因子，用于控制整个种群的收敛速度。本发明实施例设置c₁＝c₂＝2.05，χ＝0.7298。

公式(2)中括号的第一部分v_i ^d是记忆部分，代表着粒子对此前运动状态的保持，使其根据自身状态进行惯性运动；第二部分c₁×r₁×(p_i ^d-x_i ^d)是自我认知部分，代表着粒子对自身寻优经验的思考，引导粒子向自身曾经取得的最好位置飞行；第三部分c₂×r₂×(p_g ^d-x_i ^d)是社会认知部分，代表着粒子对邻居信息的认知，同时也表示粒子间的信息共享和相互作用，引导粒子向邻居曾经取得的最好位置飞行。

粒子i在下一代迭代时，i＝1,2…,N。将更新后的粒子的位置和速度代入第三步中继续执行。

第六步，将全局历史最好位置输出，结束迭代过程。

本发明使用下面的评价指标来衡量粒子群优化方法的性能，包括：

达优代数：优化过程中，种群最优适应值首次达到阈值时的代数值；

达优率：多次试验中，成功达到阈值的次数占总实验次数的百分比；

最终优化值：达到最大优化代数时种群的最优适应值；

综合性能评价指标：记录种群对多个测试函数优化1000代时的适应值结果，分别归一化到(0，1)间，取得每个函数的中值，再求所有函数中值的平均值。

其中，达优代数用来衡量寻优收敛的速度，达优率可以反映寻优的成功率，最终优化值是经过整个优化过程，可以取得的最好优化值，而综合性能评价指标可以反映种群在特定拓扑条件下对多个测试函数的综合优化效果。

粒子群算法是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解的，并且无标度网络具有较强的异质性，如果把具有大量连边的粒子成为中心粒子，其余粒子为非中心粒子，那么，中心粒子和非中心粒子在优化过程中应该发挥着不同的作用。

本发明还提供了以下几个影响优化性能的指标来分析中心粒子和非中心粒子在优化过程中的作用：

1、邻域中的影响力：

计算粒子i的所有邻居(与该粒子有连边的粒子)的平均度值(粒子的平均连边数)K_i'；计算粒子i在优化过程中学习的邻居粒子的平均度值K_i″，计算公式为：其中t为当前的优化代数，T为优化的最大优化代数，K_i″(t)为第t代时粒子i学习的邻居粒子的度值。如果K_i″大于K_i'，则粒子倾向于向邻居中度值较大的粒子学习，也就是说中心粒子在邻域中的影响力较大，反之亦然。

2、传递信息的能力：

评价每个粒子在优化过程中传递信息的能力，L_i(t)表示粒子i在第t代传递信息的次数，为度值为K的所有粒子在第t代的平均传递次数，其中ρ_K为度值为K的粒子集合，n_K为度值为K的粒子个数，I_K为粒子进入稳态后的平均传递次数。通过观察I_K(t)随代数t的变化，可以得到不同度值粒子在传递信息能力上对种群贡献的变化趋势，I_K则为这种贡献进入稳态的平均值，I_K值越大，表示粒子对种群信息传递能力的贡献越大。

3、适应值的优劣：

计算度值为K的所有粒子在第t代的平均适应值R_K(t)，为了结果显示的更加清晰明显，计算度值为K的所有粒子在第t代的相对适应值其中为度值为种群粒子最大值K_max的所有粒子的平均适应值。因为本发明选取的目标函数都是求极小值的函数，所以R_K(t)或R_K'(t)越小表示其适应值越好。

4、保持种群活跃性的能力：

众所周知，优化算法寻优的过程就是不断发现“更优值”的过程，种群发现越多的“更优值”，种群就越活跃，有助于取得更好的优化性能。这里，“更优值”的定义为粒子i在第t代的适应值R_i(t)好于邻居曾经取得的最好值p_g(t-1)，此时，粒子i在第t代发现“更优值”的次数B_i(t)为1，反之为0。定义为整个种群在第t代保持活跃性的总贡献，为度值为K的粒子对种群活跃性的平均贡献。

本发明提出的上述4个评价中心粒子和非中心粒子的优化性能的指标，对于现实问题的分析和解决都有一定的作用和意义。首先，如果将现实问题中各元素的相互关系抽象成虚拟网络，那么其中绝大多数网络都是异质性网络，而非同质性网络(全连通或规则网络)，各个元素在现实问题中的作用和地位是截然不同的，对应到优化过程中，如何评价并调整这些元素在优化过程中的作用和影响力也是非常重要的，而本发明上面提出的4个评价中心粒子和非中心粒子作用的指标则可以很好的完成这个任务，例如：1)本发明提供的4个指标可以评价不同度值粒子在优化中的作用，如果希望增强或削弱某些粒子的作用，那么就可以根据所得到的指标值人为的干涉这些粒子；2)如果不希望直接干涉现实问题中的元素，可以在优化过程中添加虚拟的、现实不存在的元素：如果添加度值较大的中心粒子，那么可以得出，这个粒子可以在邻域中具有较强的影响力、较强的信息传递能力、较好的适应值，这样的粒子对于种群优化的进程具有很强的引导作用，如果添加度值较小的非中心粒子，则可以有效的增强种群的活跃性，增加粒子的度值和数目都可以参考所提供的指标。同时，也可以根据本发明提供的指标观察优化性能改变后的效果，进行进一步的调整。

将本发明提供的基于无标度网络的种群优化方法，与现有的基于全连通网络或者环形网络的种群优化方法进行比较，目标函数分别为上面表1所示的五种函数。其中，F-PSO表示全连通网络结构的种群优化方法，SF-PSO表示无标度网络结构的种群优化方法，R-PSO表示环形网络结构的种群优化方法。

表2给出了三种种群优化方法的性能对比。指标R表示最终优化值，所有测试函数都是寻找最小值的问题，所以结果越小越好，最小值已标黑。指标S表示综合评价指标，衡量种群优化方法在五个测试函数上的综合优化效果，同样是越小越好，最小值已标黑。

表2：三种种群优化方法的性能对比

表3是三种种群优化方法的收敛速度对比。指标Q表示达优代数，用来评定收敛速度，表3中最小值已标黑。

表3：三种种群优化方法的收敛速度

图3是三种种群优化方法对测试函数Rastrigin进行优化的示意图；横坐标为当前优化代数t，最大值为5000代，纵坐标为最终优化值R。

从表2中可以看出，本发明的种群优化方法可以取得比其他两种种群优化方法更优的优化性能。根据“no free lunch”的理论，在某一方面得到更好的效果，在另一方面必然要付出一定的代价，而本发明的种群优化方法付出的代价就是收敛速度比全连通网络稍慢，如表3所示，但相对于环形网络，收敛速度是比较快的，这是可以接受的。图3形象地表示了三种拓扑结构下种群优化方法的优化过程：全连通拓扑收敛最快，但是易陷入局部最优，最终结果较差；环形网络拓扑可以取得较好的优化结果，但是收敛速度太慢，无标度网络拓扑可以很好的平衡收敛速度和优化性能，在较快的收敛速度下，可以取得很好的优化效果。

Claims (1)

1.一种基于复杂网络的粒子群优化方法，用于空管领域的航班起降排序问题，其特征在于，该方法包括如下步骤：

第一步，确定寻优空间，设置种群规模，随机设置各粒子的位置和速度；

设粒子i的位置为速度为其中，R^D由所有可能的航班起降的时间序列组成，D表示粒子的维度，取值为飞机的数量；x_i ^d表示第d架飞机的起飞时间，v_i ^d为种群优化时粒子i中第d个元素对应的速度，i＝1,2…,N，N为种群的规模；

第二步，根据无标度网络的产生机制建立种群网络拓扑，具体建立方法是：设当前存在的连通网络中有m₀个粒子，对于新加入的粒子，将该粒子与已存在的网络中的m个节点连接，m小于m₀，新加入粒子与网络中已存在的节点i相连接的概率P_i为：

$P_i=K_i/{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{m_0}{K}_j$

其中，K_i、K_j分别为网络中已存在的节点i、节点j的度；

设种群共有N个粒子，N个粒子按照所述建立方法形成种群网络；

第三步，确定当前各粒子的适应值，更新各粒子的历史最好位置和历史邻居最好位置，以及全局历史最好位置；

第四步，判断是否达到迭代终止条件，若是，则执行第六步，否则继续执行第五步；

第五步，更新各粒子的位置和速度，然后转第三步执行；

在无标度网络中，根据如下四种指标来评价中心粒子和非中心粒子的优化性能，具体是：

(1)邻域中的影响力；

确定粒子i的所有邻居的平均度值K_i'，i＝1,2…,N；确定粒子i在优化过程中学习的邻居的平均度值K_i”，其中t为当前的优化代数，T为最大优化代数，K_i”(t)为第t代时粒子i学习的邻居的度值；如果K_i”大于K_i'，则粒子i倾向于向邻居中度值较大的粒子学习；

(2)传递信息的能力；

确定各粒子i在第t代传递信息的次数为L_i(t)，则度值为K的所有粒子在第t代的平均传递次数其中ρ_K为度值为K的粒子集合，n_K为度值为K的粒子个数；观察I_K(t)随代数t的变化，得到不同度值粒子在传递信息能力上对种群贡献的变化趋势，I_K值越大，表示粒子对种群信息传递能力的贡献越大；

(3)适应值的优劣；

获取度值为K的所有粒子在第t代的平均适应值R_K(t)，设为最大度值K_max的所有粒子的平均适应值，则度值为K的所有粒子在第t代的相对适应值对于目标函数为求极小值的函数，R_K(t)或R_K'(t)越小表示适应值越好；

(4)保持种群活跃性的能力；

定义整个种群在第t代保持活跃性的总贡献度值为K的粒子对种群活跃性的平均贡献B_i(t)为粒子i在第t代发现更优值的次数，确定方法是：当粒子i在第t代的适应值R_i(t)好于邻居曾经取得的最好值p_g(t-1)时，B_i(t)为1，否则B_i(t)为0；

根据粒子四种指标，在希望增强或削弱某些粒子的作用时，人为干涉粒子；或者在优化过程中添加虚拟元素：如果添加度值较大的中心粒子，这个粒子在邻域中具有较强的影响力、较强的信息传递能力、较好的适应值，引导种群优化的进程；如果添加度值较小的非中心粒子，则增强种群的活跃性；

第六步，将全局历史最好位置输出，结束本方法。