CN103955587B - 一种压电复合材料层合壳压电弹性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了压电复合材料层合壳压电弹性分析方法，根据旋转张量分解概念建立压电复合材料层合壳的三维壳体分析模型；基于变分渐近法将三维壳体分析模型拆分为渐近修正二维壳面模型和沿壳体参考面法线方向的一维翘曲函数分析，对渐近修正壳面模型进行近似能量推导及Reissner‑Mindlin形式转换，将Reissner‑Mindlin模型作为求解器输入到计算机的二维壳体分析中，利用二维壳体分析得到的二维壳体全局响应和翘曲函数重构压电复合材料层合壳沿厚度方向的三维应变场，对压电复合材料层合壳压电弹性进行分析。本发明不需任何动力学假设,使计算过程大为简化，计算量小，占用计算机资源少。

Description

一种压电复合材料层合壳压电弹性分析方法

技术领域

本发明涉及材料力学性能分析领域，具体涉及一种压电复合材料层合壳压电弹性分析方法。

背景技术

近年来，智能结构因其具有强度高、刚度大、重量轻、振动衰减等特性，越来越受人们的关注。在众多用于作动器和传感器的智能材料中(如形状记忆合金、磁流变材料、压电材料等)，压电材料所受关注最大，原因在于：(1)可直接将电子信号与应变相关联，反之亦然，因此，可集驱动和传感于一身；(2)有较宽的频率响应范围，适合各种实时控制和监测。而且在很多情况下，压电材料与特定的各向异性材料结合可最大化智能结构的“智能”。虽然大多数研究一直集中在同温条件下压电材料结构性能，对其压电弹性的研究也在持续增长。

工程实际中所用到层合压电壳是在常规复合材料层合壳中埋入或在表面粘贴压电材料铺层所形成。利用压电层的作动/传感和承载功能，使结构具有控制振动、保持形状及对内部操作的自检和补偿功能。近年来，以压电介质和常规复合材料形成的层合壳智能结构受到了越来越多的重视。层合压电壳具有一般复合材料叠层结构特征，因此各国学者通常采用复合材料层合壳理论分析此类问题。然而，整体型层合壳理论不能预先满足横剪应力层间连续条件。为了准确计算层间应力，通常采用平衡方程后处理方法。而且，以压电层和复合材料叠合而成的层合智能结构存在多场耦合问题，分析此类问题更加复杂。大多数分析理论都是利用壳体厚度很小这一特点，基于三维压电弹性理论推导出来的。现有文献中的分析理论和方法大多基于先验性位移假设，如经典层合理论(CLT)、一阶剪切变形理论(FOSDT)、高阶理论(HOT)、锯齿理论(ZZT)以及层合理论(Layerwise theories)。层合理论是准三维弹性理论，可通过复杂的理论推导和大量的数值计算得到较可靠的结果，但随着压电智能结构层数的增加这种理论的自由度也增加，即全部自由度依赖于壳的层数，因此对于多层结构，层合理论效率很低；其它基于先验性假设模型在预测中厚度层状壳体的应力分布是不可行的，主要原因在于这些理论假设位移为C^∞函数，而实际上位移函数可能是不连续函数。

从数学的角度看，简化分析源于利用壳体结构厚度相对面内变形和曲率半径很小的特点，将厚度坐标作为独立变量从控制偏微分方程中消除。简化分析产生的近似是不避免的，但其它不必要的假设应尽量避免。如对于圆柱壳的小应变分析，可合理假设厚度h相对面内变形波长l和参考面曲率半径R很小；但大多数现有板壳分析方法对位移场作先验性假设就显得不够严谨，若将其应用于对压电复合材料层合壳的压电弹性分析中，容易导致分析结果存在较大误差的问题。

发明内容

针对现有技术中存在的上述不足，本发明提供一种计算量小，占用计算机资源少，且效率高的压电复合材料层合壳的压电弹性分析方法，解决现有技术中对压电复合材料层合壳压电弹性分析的分析方法中存在的分析效率低、精度差，尤其是沿厚度方向的应力分布无法精确预测之不足的问题。

为解决上述技术问题，实现发明目的，本发明采用的技术方案如下：

一种压电复合材料层合壳压电弹性分析方法，包括以下步骤：

1)基于旋转张量分解概念建立压电复合材料层合壳的几何非线性方程，构建压电复合材料层合壳的三维壳体分析模型；

2)利用变分渐近法将三维壳体分析模型拆分为渐近修正二维壳面模型和沿壳体参考面法线方向的一维翘曲函数分析；

3)对渐近修正二维壳面模型进行近似能量推导及Reissner-Mindlin形式转换，得到Reissner-Mindlin模型；

4)将Reissner-Mindlin模型作为求解器输入到计算机的二维壳体分析中，利用二维壳体分析得到的二维壳体全局响应和翘曲函数重构压电复合材料层合壳沿厚度方向的三维应变场，对压电复合材料层合壳压电弹性进行分析。

作为上述方案的进一步优化，所述步骤1具体为：基于旋转张量分解概念建立压电复合材料层合壳的几何非线性方程，构建压电复合材料层合壳的三维壳体分析模型：

式中，Π为压电复合材料层合壳的总能量泛函，J_Ω为压电复合材料层合壳的电焓，为荷载所做的虚功；

其中，τ为壳体顶面表面力的荷载集度矩阵，w⁺为荷载沿x_i坐标在壳体顶面产生的翘曲变形值矩阵，β为壳体底面表面力的荷载集度矩阵，w^-为荷载沿x_i坐标在壳体底面产生的翘曲变形值矩阵，p为体力的荷载集度矩阵，w为荷载沿x_i坐标在壳体内产生的翘曲变形值矩阵；h为壳体厚度，x₃为与参考曲面垂直的横法向坐标；上标T表示转置矩阵；

式中：D为弹性刚度矩阵，Γ为合壳产生的三维应变场，d为压电弹性常数矩阵，ε为电场矢量，ρ为壳体初始曲率参数。

作为上述方案的进一步优化，所述步骤2具体为：利用变分渐近法对三维壳体分析模型拆分为渐进修正二维壳面模型和沿壳面参考面法线方向的一维翘曲函数分析，得到零阶，一阶近似能量泛函Π₀,Π₁：

式中，为广义二维应变量；A为二维刚度矩阵；A_R为考虑壳体初始曲率修正后的拉伸刚度矩阵，B_αβ为考虑壳体初始曲率修正后的弯曲刚度矩阵；α＝1,2,β＝1,2，A_α,A_β均为壳体中二维壳面基向量的拉梅参数，(x₁,x₂)为压电复合材料层合壳参考面的曲线坐标，N_ε为给定电场下的应力合力；F为考虑壳体初始曲率修正后荷载产生的合力，F_ε为考虑壳体初始曲率修正后电场产生的合力，上标T表示转置矩阵。

作为上述方案的进一步优化，所述步骤3具体为：对渐近修正模型进行近似能量推导及Reissner-Mindlin形式转换，得到Reissner-Mindlin模型；

式中，为修正后的总能量泛函，γ为横剪应变，为Reissner-Mindlin模型的应变量，

作为上述方案的进一步优化，所述步骤4具体为：将Reissner-Mindlin模型作为求解器输入到计算机的二维壳体分析中，利用二维壳体分析得到的二维壳体全局响应和翘曲函数重构压电复合材料层合壳沿厚度方向的三维应变场Γ：

式中，S为形函数，分别为零阶和一阶渐近修正节点位移值，为积分算子矩阵，

相比于现有技术，本发明具有如下优点：

1、本发明提供的压电复合材料层合壳压电弹性分析方法，完全从三维壳体分析中解耦出来,得到的二维本构模型可作为求解器输入二维壳体分析中,不需任何动力学假设,使计算过程大为简化。

2、本发明提供的压电复合材料层合壳压电弹性分析方法，采用变分渐近法来求解压电复合材料壳体结构的未知翘曲函数，精确度较高。

3、本发明建立的压电复合材料层合壳压电弹性分析方法属于单层壳模型，计算量小，可节省2～3阶计算量，计算效率高于三维有限元解。

4、本发明提供的压电复合材料层合壳压电弹性分析方法，只需建立单层壳模型，划分单元与节点，较三维有限元大为减少，占用计算机资源少。

附图说明

图1为本发明提供的压电复合材料层合壳压电弹性分析方法的流程图。

图2为本发明具体实施例中建立在压电复合材料层合壳的几何模型。

图3为本发明具体实施例中提供的压电复合材料层合壳的几何构型。

图4为本发明具体实施例中算例1中壳体沿壳体厚度方向的σ₁₁的分布图。

图5为本发明具体实施例中算例1中壳体沿壳体厚度方向的σ₁₂的分布图。

图6为本发明具体实施例中算例1中壳体沿壳体厚度方向的σ₂₂的分布图。

图7为本发明具体实施例中算例1中壳体沿壳体厚度方向的σ₁₃的分布图。

图8为本发明具体实施例中算例1中壳体沿壳体厚度方向的σ₂₃的分布图。

图9为本发明具体实施例中算例1中壳体沿壳体厚度方向的σ₃₃的分布图。

图10为本发明具体实施例中算例2中壳体沿壳体厚度方向的σ₁₁的分布图。

图11为本发明具体实施例中算例2中壳体沿壳体厚度方向的σ₁₂的分布图。

图12为本发明具体实施例中算例2中壳体沿壳体厚度方向的σ₂₂的分布图。

图13为本发明具体实施例中算例2中壳体沿壳体厚度方向的σ₁₃的分布图。

图14为本发明具体实施例中算例2中壳体沿壳体厚度方向的σ₂₃的分布图。

图15为本发明具体实施例中算例3中壳体沿壳体厚度方向的σ₁₁的分布图。

图16为本发明具体实施例中算例3中壳体沿壳体厚度方向的σ₁₂的分布图。

图17为本发明具体实施例中算例3中壳体沿壳体厚度方向的σ₂₂的分布图。

图18为本发明具体实施例中算例3中壳体沿壳体厚度方向的σ₁₃的分布图。

图19为本发明具体实施例中算例3中壳体沿壳体厚度方向的σ₂₃的分布图。

具体实施方式

1、三维能量方程。

压电复合材料层合壳压电弹性分析方法的流程图如图1所示。对于具有较小厚度h和光滑曲面的圆柱壳体，如图2、3所示，可取壳体中面作为参考面。参考面的几何形状可由一组笛卡尔正交曲线坐标(x₁,x₂)表示。不失一般性，选择曲率线为曲线坐标以简化方程。为唯一确定任一点在壳体内的位置，选择与参考曲面垂直的横法向坐标x₃作为正则坐标。b₁,b₂,b₃分别为沿x₁,x₂,x₃坐标方向的单位矢量。先做如下表述： 尖括号表示沿壳体厚度方向的积分。

变形前壳体内任一质点的位置矢量为：

式中：r为固定点O到参考面上确定点的位置矢量。为固定点O到坐标(x₁,x₂,x₃)在未变形壳参考面确定点p的位置矢量。

取未变形壳体中面为参考面，有：

与壳体平面坐标(x₁,x₂)有关的二维基向量a₁,a₂按惯例定义为：

由式(3)定义可得Lamé参数A₁,A₂为：

沿坐标(x₁,x₂)的单位向量b₁,b₂可表示为：

单位向量b₁,b₂构成正交三元基，

由式(3)可得到给定坐标下三维协变基向量g_i，i＝1,2,3：

未变形状态逆变量gⁱ向量的显式表达式为

式中，k₁₁为沿x₁轴方向的面外曲率，k₂₂为沿x₂轴方向的面外曲率。

壳体变形后的位置向量由转换为 为固定点O到坐标(x₁,x₂,x₃)在变形壳参考面确定点p^*的位置矢量。变形后的壳体可通过引入与变形形状相关的三元基向量Β_i唯一确定。值得注意的是：Β_i仅是为表示物理向量和张量方便引入的工具，不一定与变形壳曲面坐标相切。Β_i和b_j之间的关系由方向余弦函数矩阵确定，为方向余弦函数矩阵中第i行第j列的数据，i＝1,2,3,j＝1,2,3：

位置向量可表示为：

式中：R为固定点O到变形壳面(x₁,x₂)确定点的位置矢量。w_i是法线单元的翘曲分量，这里并不做先验性假设，而是视为未知的三维函数求解，以考虑局部翘曲变形在内的所有变形。

翘曲的引入使式(9)有六次冗余，需六个约束来求解方程，可通过在与(R,B_i,w_i)间建立一一对应的关系以消除冗余。与式(2)类似，可定义在壳的中面，这样，翘曲函数须满足如下三个约束：

另两个约束可通过将B₃选择为与变形壳面垂直确定。这种选择与Kirchhoff-love假设无关。在Kirchhoff-love假设中，不考虑绕横法线的局部变形。而根据现有方法，可考虑所有变形，并作如下假设：①将除经典壳理论除外的所有变形都归结为壳曲变形；②假设应变很小；③由翘曲引起的绕法线微分单元的相对旋转与应变同阶(大位移小应变问题)。

基于旋转张量分解概念，由局部小旋转的条件，Jauman-Biot-Cauchy应变分量Γ_ij可表示为：

Γ_ij＝(F_ij+F_ji)/2-δ_ij (11)

式中：δ_ij为Kronecker符号；F_ij,F_ji均为变形梯度张量的混合基分量，

F_ij＝B_i·G_kg^k·b_j (12)

式中：变形后的协变基k＝1,2,3，x_k为x_i中i＝1,2,3的取值，可由下列二维广义应变ε_αβ,K_ij得到：

R_,α＝A_α(B_α+ε_αβB_β),B_i,α＝A_α(-K_αβB_β×B₃+K_α3B₃)×B_i (13)

式中：ε_αβ为n阶二维平面应变；K_ij为变形曲面的曲率，为变形前几何曲率k_ij和翘曲曲率κ_ij之和，K_ij＝k_ij+κ_ij；ε_αβ和K_ij统称为二维广义应变，α＝1,2、β＝1,2，B_β、B_α均为B_i中i＝1,2的取值，K_αβ为K_ij中i,j为1,2的取值，K_α3为K_ij中j＝3,i＝1,2的取值。

对大多数中厚度壳体的h/R～10^-1(h为壳体厚度，R为壳面曲率半径)，此时需对h/R阶次项进行几何细化修正。此外，数值算例表明二维壳模型在h/l～0.5阶次内可得到满意的结果，因此需进行h/l,(h/l)²阶修正(l为壳体的长度值)。考虑的壳体几何构型为R＞l²/h，可不计入h²/(Rl)阶修正。表明κ₂₁-κ₁₂是n/R,nh/l²阶项，仅对三维应变分量的n(h/R)²,nh³/(l²R)阶项有贡献，已超出了本发明近似的范围。值得强调的是，这些几何近似条件适用于大多数工程中使用的壳体结构。

做上述近似分析后，保留h/R,h/l,(h/l)²阶项的三维应变场Γ可表示为：

式中：

w₁,w₂,w₃分别为荷载沿x₁,x₂,x₃坐标产生的翘曲变形值，Γ_h,Γ_lα,Γ_Rh,均为积分算子矩阵。

为完善三维能量方程，需提供与三维应变和应力相关的本构模型。本发明中壳体变形产生的电场变化以及电场之间的相互作用暂不考虑，因此采用的三维本构模型是不含电场二次项的线性电焓J：

式中：V为三维壳体变形前所占空间；Ω为变形前参考面面域，上标T表示转置矩阵。

单位面积上由变形产生的电焓J_Ω为：

式中：O(h²/R²)表示高于h²/R²阶项，D为6×6阶弹性材料矩阵；d为6×3阶压电弹性常数矩阵，ε为电场矢量；材料系数矩阵D,d是满序的，但若压电层合壳各层相对自身中面单斜对称，且绕局部法线旋转，则无论铺层倾角如何变化，材料矩阵中的一些元素始终为零，如d可改写为

式中，d_ijk为压电弹性常数，k＝1,2,3。

为得到机械荷载所做虚功，可引入实际变形的拉格朗日变分：

式中：δ为变分符号，上划线用于表明该虚功不需要对泛函精确变分，参考面的虚拟位移为

式中，u为变形前由曲面坐标(x₁,x₂)确定点到变形后确定点的位置矢量。

参考面的虚拟旋转为：

式中，为中i＝1,2时的取值。

由于应变很小，可完全地忽略虚拟旋转中翘曲与荷载的乘积项，得到荷载τ_iB_i,β_iB_i,p_iB_i(分别作用在壳体顶、底面和厚度方向)所做的总的虚功为：

式中：p_i为体力的荷载集度，τ_i为壳体顶面表面力的荷载集度，β_i表示壳体底面表面力的荷载集度，为荷载沿x_i坐标在壳体顶面产生的翘曲变形值，为荷载沿x_i坐标在壳体底面产生的翘曲变形值，τ_α，β_α，p_α分别为τ_i，β_i，p_i中i＝1,2时的取值。

引入列阵τ,β,p，可将式(23)改写为矩阵形式：

式中：为由构成的矩阵，ψ为由构成的矩阵，τ为由τ_i构成的矩阵，w⁺为由构成的矩阵，β为由β_i构成的矩阵，w^-为由构成的矩阵，p为由p_i构成的矩阵，w为由w_i构成的矩阵。f,m为广义力和力矩矩阵，其定义分别为：

因为荷载阶数为h/l阶或更高，为与近似相一致，在虚功中舍弃h/R阶项。根据虚功原理，问题的完整表述为：

至此得到三种虚拟量：虚拟位移虚拟旋转和变化的翘曲场dw。前两个虚拟量可由二维壳理论分析，dw是在建模过程中唯一需要确定的未知量。尽管对非线性问题(尤其是大位移问题)，体系常常是非保守的，但控制未知翘曲函数的是线性保守弹性力学系统。因此，可将控制翘曲问题转换为能量泛函Π的最小化问题：

δΠ＝0 (27)

式中：

其中，τ为壳体顶面表面力的荷载集度矩阵，w⁺为荷载沿x_i坐标在壳体顶面产生的翘曲变形值矩阵，β为壳体底面表面力的荷载集度矩阵，w^-为荷载沿x_i坐标在壳体底面产生的翘曲变形值矩阵，p为体力的荷载集度矩阵，w为荷载沿x_i坐标在壳体内产生的翘曲变形值矩阵；上标T表示转置矩阵；

至此，建立了由二维广义应变量和翘曲函数表征的分析压电复合材料壳体压电弹性性能的三维能量方程，但该方程只是原三维压电弹性问题的另一表达形式。若直接进行求解，将会遇到与求解原三维壳体压电弹性问题相同的困难。若壳体由多层各向异性复合材料构成，该计算过程将变得十分繁琐。本发明借助渐近变分法通过对能量泛函中的主导变分项渐近修正，近似计算翘曲函数，使计算得到简化。

2、降维分析。

为将原三维问题严格降维为二维模型，需用二维方程准确重现三维结构能量。降维模型只能是近似的，但可利用壳体的小参数h/l,h/R渐近修正降维模型，使精度损失降至最低。为减少渐近分析中小参数量，各分量的阶数可估计为：

ε_αβ～hκ_αβ～n,f₃～μ(h/l)²n,f_α～μ(h/l)n,m_α～μh(h/l)n,dε～n (29)

式中：μ为弹性材料常量的阶数，d为压电弹性常数，ε为电场常数。

为建立圆柱壳的广义Reissner-Mindlin模型，需构建一个由渐近修正到O(h/R)和O(h²/R²)阶二维能量泛函表示的压电壳体模型为：

∏＝μn²[O(1)+O(h/R)+O(h/l)+O(h²/l²)] (30)

式中，O(1)表示高于1阶项，O(h/R)表示高于h/R阶项，O(h/l)表示高于h/l阶项，O(h²/l²)表示高于h²/l²阶项。

为能处理多层结构，并与二维有限元求解器相容，可将沿法线方向的翘曲场用一维有限元离散化为：

w＝S(x₃)V(x₁,x₂) (31)

式中：S为形函数，V为沿横向法线方向的翘曲场节点值。

式(31)代入式(28)，得到近似精度范围内以离散形式表示的能量泛函为：

式中：L为荷载相关项，S⁺为壳体顶面的形函数，S-为壳体底面的形函数。

新引入的与几何形状和材料属性有关的矩阵为：

式(10)翘曲函数的离散形式为：

V^THψ＝0 (35)

式中：H＝<S^TS>，ψ为初始曲率为零E的内核矩阵，ψ^THψ＝I，I为单位矩阵。

现在问题转换为式(35)约束下的式(32)最小化问题。变分渐近法要求根据泛函的不同阶数找出主导项。由于应变很小，总势能泛函中仅翘曲是变化的，只需找到含有翘曲的主导项。式(32)零阶近似后泛函的主导项为：

式中：E₀,ε_h0分别为式(34)中公式E,ε_h中ρ＝1(无几何修正)的对应矩阵。

最小化式(36)的零阶翘曲函数为：

式中，为零阶广义翘曲节点值，V_ε为电场产生的翘曲节点值，V₀为沿横法线方向的零阶渐近修正翘曲节点值。

将式(37)代回式(32)，得到渐近修正到μn²阶的零阶近似泛函Π₀为：

式中：A是二维刚度矩阵，N_ε为给定电场下的应力合力

式中，D_∈∈0,ε_∈0分别为式(34)中公式D_∈∈,ε_∈中ρ＝1(无几何修正)的对应矩阵。

式(38)未考虑初始曲率产生的几何修正，其形式与经典压电弹性壳理论一致，但未引用Kirchhoff-Love假设。零阶近似模型可准确预测薄壳结构的全局变形和面内分量，但对中厚壳体结构，还需利用小参数h/R,h/l对能量泛函进行更高阶修正，以准确预测面外应力和应变分量(σ_i3,Γ_i3)。首先对泛函进行h/R阶修正以考虑壳体初始曲率的影响(对大多数工程应用精度已经足够)：

式中：Π_R为修正后的能量泛函。

式中：E^*为式(34)中公式E中用ρ-1代替ρ得到的对应矩阵，为式(34)中公式中用ρ-1代替ρ得到的对应矩阵，为式(34)中公式中用ρ-1代替ρ得到的对应矩阵，为式(34)中公式中用ρ-1代替ρ得到的对应矩阵，为式(34)中公式ε_h中用ρ-1代替ρ得到的对应矩阵。

其次，为考虑横剪变形，需推导修正到(h/l)²阶的能量泛函，这需要计算h/l阶翘曲函数。对零阶翘曲用(h/l)V₀阶V₁摄动为：

V＝V₀+V₁ (42)

式中，V₁为沿横法线方向的一阶渐近修正翘曲节点值。

将式(42)代回式(32)，得到一阶近似能量泛函的主导项为：

式中：

式(29)的载荷阶数与不同阶数的翘曲函数有关。为获得不考虑边界效应的壳体内解，可使用相对面内坐标的部分积分以方便推导。

一阶翘曲可由下式求解：

式中，V_1α为一阶修正翘曲节点值，V_1L为一阶荷载节点值，V_1ε为一阶翘曲节点值。

最后，得到渐近修正到μ(h/l)²n,μnh/R阶的总能量泛函Π₁为：

式中：F_ε为电场产生的合力；

3、Reissner-Mindlin模型转换。

尽管式(46)渐近修正到O(h²/l²),O(h/R)阶，但因包含复杂、超过必要的边界条件很难直接应用。为得到实用的能量泛函，可将这种近似能量转换为工程实际中常用的Reissner-Mindlin模型形式。

在Reissner-Mindlin模型中，需增加2个横向剪切量γ＝[2γ₁₃ 2γ₂₃]^T作为独立自由度，将其纳入到横法线方向的旋转变量中。同时引入与Reissner-Mindlin变形壳有关的三元基二维应变可重新定义为：

式中：均为古典广义应变量。可由B_i和γ唯一确定,均为中i＝1,2的取值。

Reissner-Mindlin形式应变量和关系为：

式中：

将式(30)代入式(46)，可得到Reissner-Mindlin应变量表示的修正到二阶的总能量泛函为：

4、重构关系

由上述推导可知：构建的广义Reissner-Mindlin形式压电壳体模型尽可能接近于渐近修正总能量泛函。推导的本构模型可用于构建二维壳体能量泛函，但还不足以准确计算压电复合材料壳的二维位移场。此外，降维模型的保真度取决于预测原三维场变量分布的准确性。因此，还需提供重构关系以完善降维模型，本方法将Reissner-Mindlin模型作为求解器输入到计算机软件ABAQUS的二维壳体分析中，利用二维壳体分析得到的二维壳体全局响应和翘曲函数重构压电复合材料层合壳沿厚度方向的三维应变场，这里的重构关系是指通过二维变量和x₃来重构三维位移、应变和应力场。

对修正到h/R,h²/l²阶的能量泛函，可重构含所有h/l项和部分h/R项的三维场。由式(1)、(8)、(9)得到重构的三维变形场：

式中：U_3d,u_2d分别为三维和二维壳的变形列阵；是得到的全局旋转张量。

由式(14)重构的三维应变场：

然后，可由材料本构定律得到三维应力σ。

σ＝DΓ (55)

为了验证本发明的准确性和有效性，利用压电复合材料圆柱壳的柱形弯曲问题进行分析，并与三维有限元精确解、一阶剪切变形理论解(FOSDT)和古典层合理论解(CLT)进行对比验证。

考虑外层为压电材料，内层为石墨/环氧复合材料，其材料属性如表1所示。

表1压电和复合材料有效材料属性

注：下标L表示平行纤维方向，下标T表示垂直纤维方向。E_L为平行纤维方向的弹性模量，E_T为垂直纤维方向的弹性模量，G_LT为平行纤维方向的剪切模量，G_TT为垂直纤维方向的剪切模量，v₁₂为平行纤维方向的泊松比，v₁₂为垂直纤维方向的泊松比，由上述材料属性可求取弹性材料矩阵D。

如图3所示，壳体沿x₁方向的最大坐标x_1max＝Rφ，沿x₂方向无限长，壳体厚度为1mm，圆柱半径为R＝10mm，ψ＝π/3。采用的坐标系为x₂∈[0,∞),x₃∈[-h/2,h/2]。压电层厚度为0.1mm，复合层厚度为0.4mm。铺层倾角由顶至底为[0。/-45。/45。/0。]。

算例1：壳体表面作用正弦型分布载荷：

重构的应力如图4～9所示。由于σ₁₁,σ₁₂,σ₂₂,σ₃₃是x₁的正弦函数，应力分布绘于x₁＝π/6处；而σ₁₃,σ₂₃是x₁的余弦函数，应力分布绘于x₁＝π/3处。

由图中可看出：对于面内应力分量σ₁₁,σ₁₂,σ₂₂(σ₁₁为沿x₁轴方向的三维应力，σ₁₂为x₁-x₂平面内的三维应力，σ₂₂为沿x₂轴方向的三维应力)，本发明解精度高于CLT、FOSDT；横剪应力σ₁₃,σ₂₃(σ₁₃为x₁-x₃平面内的三维应力，σ₂₃为x₂-x₃平面内的三维应力)，CLT由于不考虑横剪应力，其值为零，FOSDT精度太低，仅有VAM与精确解吻合较好；横法向应力σ₃₃由于是二阶量，本发明解与精确解相差较大，这需要更高阶近似；所有的应力分量都满足层间连续和自由边界条件，原因在于将重构关系中初始曲率的影响限制在平面应力分量中。表2列出了三维有限元解与本发明解计算规模与时间比较。

表2三维有限元解与本发明解计算规模与时间比较

由表2可见，本发明提供的压电复合材料圆柱壳弹性分析方法，通过与三维有限元精确解对比分析表明：采用变分渐近法重构的壳体结构的三维场分布精确度高。计算量小，可节省2～3阶计算量，计算效率高于三维有限元解，并且，只需建立单层壳模型，划分单元和节点较三维有限元大为减少，占用计算机资源少。

算例3：计算规定电势φ＝100sin(3x₁)和机械荷载作用下结构内产生的应力。由变分渐近法重构的沿厚度方向的应力分布如图15～19。

由图中可看出：本发明解和精确解之间有很好的一致性。从数学上讲，算例3是算例2和算例1的线性迭加，之前的线性理论已达到验证的目的。但需要指出的是：本发明不仅限于线性理论，在电和机械荷载耦合作用下仍能达到相同的精度；尽管CLT和FOSDT计算的面内应力分量结果与精确解一致，但CLT无法得到横剪应力，而FOSDT得到的结果误差较大。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种压电复合材料层合壳压电弹性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)基于旋转张量分解概念建立压电复合材料层合壳的几何非线性方程，构建压电复合材料层合壳的三维壳体分析模型；

2)利用变分渐近法将三维壳体分析模型拆分为渐近修正二维壳面模型和沿壳体参考面法线方向的一维翘曲函数分析；

3)对渐近修正二维壳面模型进行近似能量推导及Reissner-Mindlin形式转换，得到Reissner-Mindlin模型；

4)将Reissner-Mindlin模型作为求解器输入到计算机的二维壳体分析中，利用二维壳体分析得到的二维壳体全局响应和翘曲函数重构压电复合材料层合壳沿厚度方向的三维应变场，对压电复合材料层合壳压电弹性进行分析；

所述步骤1具体为：基于旋转张量分解概念建立压电复合材料层合壳的几何非线性方程，构建压电复合材料层合壳的三维壳体分析模型：

式中，Π为压电复合材料层合壳的总能量泛函，J_Ω为压电复合材料层合壳的电焓，为荷载所做的虚功；

其中，τ为壳体顶面表面力的荷载集度矩阵，w⁺为荷载沿x_i坐标在壳体顶面产生的翘曲变形值矩阵，β为壳体底面表面力的荷载集度矩阵，w^-为荷载沿x_i坐标在壳体底面产生的翘曲变形值矩阵，p为体力的荷载集度矩阵，w为荷载沿x_i坐标在壳体内产生的翘曲变形值矩阵；h为壳体厚度，x₃为与参考曲面垂直的横法向坐标；上标T表示转置矩阵；

$J_{\mathrm{\&Omega;}}=\frac{1}{2}{\&Integral;}_{-h/2}^{h/2}({\mathrm{\&Gamma;}}^{T}D\mathrm{\&Gamma;}-{\mathrm{\&Gamma;}}^{T}Dd\mathrm{\&epsiv;}){\mathrm{\&rho;dx}}_3;$

式中：D为弹性刚度矩阵，Γ为合壳产生的三维应变场，d为压电弹性常数矩阵，ε为电场矢量，ρ为壳体初始曲率参数；

所述步骤2具体为：利用变分渐近法对三维壳体分析模型拆分为渐进修正二维壳面模型和沿壳面参考面法线方向的一维翘曲函数分析，得到零阶，一阶近似能量泛函Π₀,Π₁：

$2{\&Pi;}_0={\stackrel{\&CenterDot;}{U}}^{T}A\stackrel{\&CenterDot;}{U}-2{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}^T{N}_{\mathrm{\&epsiv;}};$

$2{\&Pi;}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{U}}^T{A}_R\stackrel{\&CenterDot;}{U}+{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}_{;\mathrm{\&alpha;}}^T{B}_{\mathrm{\&alpha;}\mathrm{\&beta;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}_{;\mathrm{\&beta;}}-2{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}^T(F_{\mathrm{\&epsiv;}}+F);$

式中，为广义二维应变量；A为二维刚度矩阵；A_R为考虑壳体初始曲率修正后的拉伸刚度矩阵，B_αβ为考虑壳体初始曲率修正后的弯曲刚度矩阵；α＝1,2,β＝1,2，A_α,A_β均为壳体中二维壳面基向量的拉梅参数，(x₁,x₂)为压电复合材料层合壳参考面的曲线坐标，N_ε为给定电场下的应力合力；F为考虑壳体初始曲率修正后荷载产生的合力，F_ε为考虑壳体初始曲率修正后电场产生的合力，上标T表示转置矩阵；

所述步骤3具体为：对渐近修正模型进行近似能量推导及Reissner-Mindlin形式转换，得到Reissner-Mindlin模型；

式中，为修正后的总能量泛函，γ为横剪应变，为Reissner-Mindlin模型的应变量，

所述步骤4具体为：将Reissner-Mindlin模型作为求解器输入到计算机的二维壳体分析中，利用二维壳体分析得到的二维壳体全局响应和翘曲函数重构压电复合材料层合壳沿厚度方向的三维应变场Γ：

$\mathrm{\&Gamma;}={\mathrm{\&Gamma;}}_{h}S(V_0+{\stackrel{\&OverBar;}{V}}_1)+{\mathrm{\&Gamma;}}_{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}\stackrel{\&CenterDot;}{U}+{\mathrm{\&Gamma;}}_{l_{\mathrm{\&alpha;}}}{\mathrm{SV}}_{0;\mathrm{\&alpha;}}+{\mathrm{\&Gamma;}}_{Rh}{V}_0+{\mathrm{\&Gamma;}}_{R\stackrel{\&CenterDot;}{U}}\stackrel{\&CenterDot;}{U};$

式中，S为形函数，V₀,分别为零阶和一阶渐近修正节点位移值，Γ_h,Γ_Rh,为积分算子矩阵，