CN103955133A - 一种空间耦合参数系统的参数辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，包括如下步骤：步骤1，根据空间耦合参数系统的输入输出关系，建立包含耦合单元的多输入多输出空间复杂系统模型；步骤2，将空间复杂系统划分为若干个具有耦合参数的子系统，每个子系统的线性部分和非线性部分的待辨识参数均相同；步骤3，将每个子系统划分为线性子子系统和非线性子子系统，同一子系统下的线性子子系统和非线性子子系统之间利用两阶段递阶辨识对系统参数辨识，得到对应子系统的辨识结果；步骤4，按空间复杂系统子系统的划分顺序，将每个子系统的辨识结果传递到下一子系统，并替换上一子系统的上一时刻的辨识结果；步骤5，重复步骤3和步骤4直到达到辨识要求输出得到辨识结果。

Description

一种空间耦合参数系统的参数辨识方法

技术领域

本发明属于系统参数辨识领域，具体涉及一种空间耦合参数系统的参数辨识方法。

背景技术

空间复杂系统中往往会包含较多的相同结构的单元，例如类人机器人腕用六维加速度传感器和多臂空间机器人，这些构造单元可以视为一种包含耦合项的多输入多输出系统，这类系统被称为空间耦合参数系统。如果对该系统直接进行参数辨识，则会涉及到大量复杂矩阵的求逆问题，同时该大系统中可能存在线性项和非线性项，而非线性项中又可能涉及多个状态变量和参数变量，目前针对非线性系统一般采用参数化方法，但是该方法也会造成待辨识参数的维数和方法的计算量大大增加，如何将该系统分解成若干子系统，并控制子系统之间辨识参数的交互协调是目前系统参数辨识领域的热点问题。

目前针对该类多输入多输出系统采用的最常用的两种方法是递阶辨识和耦合辨识，该方法分别是丁峰等在1999年和2010年提出，并用以解决大系统结构复杂的参数耦合线性和非线性多变量系统等问题的辨识方法，递阶辨识方法是通过将一个辨识模型分解为多个维数较少，变量较少的子辨识模型，各个子辨识模型间存在耦合关联项，即一个子模型包含其他一些子模型的未知变量，在对各子系统未知参数进行辨识时，包含在其他子系统中的未知参数则用前一时刻的估计值代替，从而保证每个子系统的辨识方法能够实现。耦合辨识方法则是通过将一个辨识模型按照输出的数目分解成多个子系统，每个子系统是一个多输入单输出系统，再对每个子系统的参数进行依次辨识，任一子系统的待辨识参数用其顺序相邻子系统的估计值代替，从而保证每个子系统的辨识方法能够实现。但是现有技术中都是这两种方法的单独使用，没有这两种辨识方法如何结合从而增强系统参数辨识效果的方法。

发明内容

针对现有技术中存在的问题，本发明提供一种收敛速度较快，计算量小，辨识结果准确的空间耦合参数系统的参数辨识方法。

本发明是通过以下技术方案来实现：

一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，包括如下步骤：步骤1，根据空间耦合参数系统的输入输出关系，建立包含耦合单元的多输入多输出空间复杂系统模型；步骤2，将步骤1中建立的空间复杂系统划分为若干个具有耦合参数的子系统，每个子系统的线性部分和非线性部分的待辨识参数均相同；步骤3，将每个子系统划分为线性子子系统和非线性子子系统，同一子系统下的线性子子系统和非线性子子系统之间利用两阶段递阶辨识对系统参数辨识，得到对应子系统的辨识结果；步骤4，按步骤2中空间复杂系统子系统的划分顺序，将每个子系统的辨识结果传递到下一子系统，并替换上一子系统的上一时刻的辨识结果；步骤5，重复步骤3和步骤4直到达到辨识要求，满足终止条件后输出得到辨识结果。

优选的，步骤1中所述的空间复杂系统模型为：

A(z)Y(t)＝B(z)U(t)+C(z)F(U(t))+v(t)   (1)

其中，Y(t)＝[y₁(t),y₂(t),…,y_m(t)]^T是系统输出向量，U(t)＝[u₁(t),u₂(t),…,u_m(t)]^T是系统的输入向量,F(U(t))表示输入向量U(t)的非线性组合向量，z^-1为单位后移算子[z^-1y(t)＝y(t-1),zy(t)＝y(t+1)]，A(z)和B(z)是单位后移算子z^-1的常系数时不变多项式，C(z)为F(U(t))的系数矩阵，v(t)＝[v₁(t) v₂(t) …v_m(t)]^T是零均值白噪声序列，t表示采样时刻。

进一步，A(z)和B(z)表示为：

$A\left(z\right)=[1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+...+a_{n_a}{z}^{-n_a}]1---\left(2\right)$

$B\left(z\right)=[b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+...+b_{n_b}{z}^{-n_b}]1---\left(3\right)$

其中，1表示全为1的列，a_i,i＝1,2,...,n_a表示A(z)中延迟算子系数，b表示B(z)中延迟算子系数，z为延迟算子。

进一步，步骤2中所述的子系统为：

其中，表示子系统i的信息向量；为子系统线性部分参数，θ_ic＝[c₁,c₂,...,c_k]为子系统非线性部分参数；

F_i(U(t))＝[f₁(U_i(t)),f₂(U_i(t)),...,f_k(U_i(t))]，其中，f_j(U_i(t)),j∈[1,...,k]表示U_i(t)的一个组合项；U_i(t)＝{u_i(t),u_i(t-1),…,u_i(t-T)},i＝1,...,m，表示u_i(τ),τ＝t,...,t-T的集合，t表示采样时刻，T表示U_i(t)中时间序列长度；v_i(t)为子系统噪声，均为零均值白噪声序列。

进一步，步骤3中所述的线性子子系统和非线性子子系统分别为：

其中，为θ_ia在t-1时刻的估计值，为θ_ic在t-1时刻的估计值。

进一步，线性子子系统和非线性子子系统之间利用两阶段递阶辨识对系统参数辨识，得到的对应子系统的辨识结果如下：

其中，p₀为初始参数，I表示单位矩阵。

进一步，在步骤4中，按步骤2中空间复杂系统子系统的划分顺序，将每个子系统的辨识结果传递到下一子系统，并替换上一子系统的上一时刻的辨识结果如下：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{ia}}(t-1)=\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{ma}}(t-1)& i=1\\ {\widehat{\mathrm{\θ}}}_{(i-1)a}\left(t\right)& i\≠1\end{array}\right.---\left(13\right)$

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{ic}}(t-1)=\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{mc}}(t-1)& i=1\\ {\widehat{\mathrm{\θ}}}_{(i-1)c}\left(t\right)& i\≠1\end{array}\right.---\left(14\right).$

进一步，在步骤5中的终止条件为：

${\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left(t\right)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}(t-1)\left|\right|}_2+{\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}(t-1)\left|\right|}_2<\mathrm{\&epsiv;}---\left(15\right)$

其中，ε表示系统阈值， ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left(t\right)=[{\hat{a}}_1,{\hat{a}}_2,...,{\hat{a}}_{n_a},{\hat{b}}_1,{\hat{b}}_2,...,{\hat{b}}_{n_a},],{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)=[{\hat{c}}_1,{\hat{c}}_2,...,{\hat{c}}_k];$ 最后将输出表示空间复杂系统的辨识结果。

进一步，向量 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left(t\right)=[{\hat{a}}_1,{\hat{a}}_2,...{\hat{a}}_{n_a},{\hat{b}}_1,{\hat{b}}_2,...{,\hat{b}}_{n_b}]$ 和 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)=[{\hat{c}}_1,{\hat{c}}_2,...,{\hat{c}}_k]$ 得到的两个范数为：

${\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left|\right|}_2=\sqrt{{\hat{a}}_1^2+{\hat{a}}_2^2+...+{\hat{a}}_{n_a}^2+{\hat{b}}_1^2+{\hat{b}}_2^2+{\hat{b}}_{n_b}^2}---\left(16\right)$

${\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)\left|\right|}_2=\sqrt{{\hat{c}}_1^2+{\hat{c}}_2^2+...+{\hat{c}}_k^2}---\left(17\right).$

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

本发明将空间耦合参数系统表示成一种包含线性和非线性项的大系统，首先通过将该系统划分为若干参数耦合子系统，然后再将每个子系统分为线性子子系统和非线性子子系统，利用两阶段递阶耦合辨识得到子系统的辨识参数，最后利用子系统之间的辨识参数进行传递进而得到整个系统的辨识参数，通过将大系统分解、原耦合辨识和递阶辨识结合等步骤，将原来难以辨识的包含非线性项的多变量大系统划分为若干小的子系统进行分别辨识，由于小系统的辨识速度快，且多为单变量系统，从而避免了求矩阵逆等运算，进而达到增加收敛速度较快，减小计算量的目的，通过实仿真验表明该算法辨识结果准确度较高。

附图说明

图1为本发明所述的空间耦合参数系统辨识方法流程图。

图2为本发明所述的子子系统耦合两阶段递阶参数辨识示意图。

图3为本发明所述的子系统耦合辨识示意图。

图4为本发明所述的子系统1参数辨识结果示意图。

图5为本发明所述的子系统2参数辨识结果示意图。

具体实施方式

下面结合具体的实施例对本发明做进一步的详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。

本发明提出一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，其算法的流程图如图1所示，包括以下五个步骤：

步骤1，根据空间耦合参数系统的输入输出关系，建立包含耦合单元的多输入多输出空间复杂系统模型：

A(z)Y(t)＝B(z)U(t)+C(z)F(U(t))+v(t)  (1)

其中，Y(t)＝[y₁(t),y₂(t),…,y_m(t)]^T是系统输出向量，U(t)＝[u₁(t),u₂(t),…,u_m(t)]^T是系统的输入向量,F(U(t))表示输入向量U(t)的非线性组合向量，z^-1为单位后移算子[z^-1y(t)＝y(t-1),zy(t)＝y(t+1)]，A(z)和B(z)是单位后移算子z^-1的常系数时不变多项式：

$A\left(z\right)=[1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+...+a_{n_a}{z}^{-n_a}]1---\left(2\right)$

$B\left(z\right)=[b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+...+b_{n_b}{z}^{-n_b}]1---\left(3\right)$

其中，1表示全为1的列。C(z)为F(U(t))的系数矩阵，v(t)＝[v₁(t) v₂(t) …v_m(t)]^T是零均值白噪声序列，t表示采样时刻，a_i,i＝1,2,...,n_a表示A(z)中延迟算子系数，b表示B(z)中延迟算子系数，z为延迟算子。

步骤2，将步骤1中建立的空间复杂系统划分为m个具有耦合参数的子系统

其中，表示子系统i的信息向量，为子系统线性部分参数，θ_ic＝[c₁,c₂,...,c_k]为子系统非线性部分参数，且每个子系统的线性部分和非线性部分的待辨识参数均相同，F_i(U(t))＝[f₁(U_i(t)),f₂(U_i(t)),...,f_k(U_i(t))]，其中，f_j(U_i(t)),j∈[1,...,k]表示U_i(t)的一个组合项，U_i(t)＝{u_i(t),u_i(t-1),…,u_i(t-T)},i＝1,...,m，表示u_i(τ),τ＝t,...,t-T的集合，t表示采样时刻，T表示U_i(t)中时间序列长度；v_i(t)为子系统噪声，均为零均值白噪声序列。

步骤3，将每个子系统划分为2个子子系统，分别为线性子子系统和非线性子子系统，以第i个子系统为例，如图2所示：

其中，和分别为θ_ia和θ_ic在t-1时刻的估计值，子子系统之间利用两阶段递阶辨识对系统参数辨识：

其中，p₀为初始参数，I表示单位矩阵。

步骤4，按步骤2中空间复杂系统子系统的划分顺序，将每个子系统的辨识结果传递到下一子系统，并替换上一子系统的上一时刻的辨识结果，如图3所示

${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}(t-1)=\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ma}}(t-1)& i=1\\ {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{(i-1)a}\left(t\right)& i\&NotEqual;1\end{array}\right.---\left(13\right)$

${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}(t-1)=\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{mc}}(t-1)& i=1\\ {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{(i-1)c}\left(t\right)& i\&NotEqual;1\end{array}\right.---\left(14\right)$

步骤5，重复步骤3和步骤4直到达到辨识要求，满足终止条件后输出得到辨识结果，终止条件为，

${\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left(t\right)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}(t-1)\left|\right|}_2+{\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}(t-1)\left|\right|}_2<\mathrm{\&epsiv;}---\left(15\right)$

其中，ε表示系统阈值，向量 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left(t\right)=[{\hat{a}}_1,{\hat{a}}_2,...{\hat{a}}_{n_a},{\hat{b}}_1,{\hat{b}}_2,...{,\hat{b}}_{n_b}]$ 和 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)=[{\hat{c}}_1,{\hat{c}}_2,...{,\hat{c}}_k]$ 差值的2范数是和中各项元素差值平方之和再开根号，即

${\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left(t\right)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}(t-1)\left|\right|}_2=\sqrt{{({\hat{a}}_1\left(t\right)-{\hat{a}}_1(t-1))}^2+...+{({\hat{b}}_{n_b}\left(t\right)-{\hat{b}}_{n_b}(t-1))}^2}---\left(16\right)$

${\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}(t-1)\left|\right|}_2=\sqrt{{({\hat{c}}_1\left(t\right)-{\hat{c}}_1(t-1))}^2+...+{({\hat{c}}_k\left(t\right)-{\hat{c}}_k(t-1))}^2}---\left(17\right)$

最后将输出表示整个空间耦合参数系统的辨识结果。

针对本发明的方法，进行仿真验证，考虑下面多输入多输出非线性系统：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1\left(k\right)={4u}_1\left(k\right)+{3u}_1(k-1)+{2u}_1{\left(k\right)}^2{u}_1{(k-1)}^2+v_1\left(k\right)\\ y_2\left(k\right)={4u}_2\left(k\right)+{3u}_2(k-1)+{2u}_2{\left(k\right)}^2{u}_2{(k-1)}^2+v_2\left(k\right)\end{array}\right.---\left(18\right)$

要求根据系统的输入输出结果对系统参数θ＝[342]进行辨识，其中，输入信号为拟平稳序列E[u₁(k)]＝4，E[u₂(k)]＝3，系统噪声模型数据长度为2000，子系统1(x1)和子系统2(x2)的参数辨识过程如图4和图5所示，参数辨识分析的结果如表1所示，其中图4和图5的横坐标均表示辨识次数，纵坐标均表示辨识参数值，从图4和图5可以看出对系统(18)而言，本发明所采用的参数耦合递阶辨识方法收敛速度较快，500步之前辨识结果已经较为接近参数真实值，辨识效果较好，从表1可以看出对应子系统1(x1)和子系统2(x2)的参数的辨识误差的线性部分的平均值都在1～2％，非线性部分的辨识误差几乎为0，说明该方法具有较高的辨识精度。故本发明对多输入多输出耦合参数系统进行辨识，收敛速度较快，计算量小，辨识结果准确。

表1：子系统1和子系统2的参数辨识分析结果

	x1参数	x2参数	非线性项参数
				实际参数	4	3	2
辨识参数	3.9512	3.0552	1.9987
				辨识误差	0.0122	0.0184	0.00065

以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。

Claims (9)

1.一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，根据空间耦合参数系统的输入输出关系，建立包含耦合单元的多输入多输出空间复杂系统模型；

步骤2，将步骤1中建立的空间复杂系统划分为若干个具有耦合参数的子系统，每个子系统的线性部分和非线性部分的待辨识参数均相同；

步骤3，将每个子系统划分为线性子子系统和非线性子子系统，同一子系统下的线性子子系统和非线性子子系统之间利用两阶段递阶辨识对系统参数辨识，得到对应子系统的辨识结果；

步骤4，按步骤2中空间复杂系统子系统的划分顺序，将每个子系统的辨识结果传递到下一子系统，并替换上一子系统的上一时刻的辨识结果；

步骤5，重复步骤3和步骤4直到达到辨识要求，满足终止条件后输出得到辨识结果。

2.根据权利要求1所述的一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，其特征在于，步骤1中所述的空间复杂系统模型为：

A(z)Y(t)＝B(z)U(t)+C(z)F(U(t))+v(t)    (1)

其中，Y(t)＝[y₁(t),y₂(t),…,y_m(t)]^T是系统输出向量，U(t)＝[u₁(t),u₂(t),…,u_m(t)]^T是系统的输入向量,F(U(t))表示输入向量U(t)的非线性组合向量，z^-1为单位后移算子[z^-1y(t)＝y(t-1),zy(t)＝y(t+1)]，A(z)和B(z)是单位后移算子z^-1的常系数时不变多项式，C(z)为F(U(t))的系数矩阵，v(t)＝[v₁(t) v₂(t) … v_m(t)]^T是零均值白噪声序列，t表示采样时刻。

3.根据权利要求2所述的一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，其特征在于，所述的A(z)和B(z)表示为：

$A\left(z\right)=[1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+...+a_{n_a}{z}^{-n_a}]1---\left(2\right)$

$B\left(z\right)=[b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+...+b_{n_b}{z}^{-n_b}]1---\left(3\right)$

其中，1表示全为1的列，a_i,i＝1,2,...,n_a表示A(z)中延迟算子系数，b表示B(z)中延迟算子系数，z为延迟算子。

4.根据权利要求3所述的一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，其特征在于，步骤2中所述的子系统为：

其中，

表示子系统i的信息向量；

为子系统线性部分参数，θ_ic＝[c₁,c₂,...,c_k]为子系统非线性部分参数；

F_i(U(t))＝[f₁(U_i(t)),f₂(U_i(t)),...,f_k(U_i(t))]，其中，f_j(U_i(t)),j∈[1,...,k]表示U_i(t)的一个组合项；U_i(t)＝{u_i(t),u_i(t-1),…,u_i(t-T)},i＝1,...,m，表示u_i(τ),τ＝t,...,t-T的集合，t表示采样时刻，T表示U_i(t)中时间序列长度；

v_i(t)为子系统噪声，均为零均值白噪声序列。

5.根据权利要求4所述的一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，其特征在于，步骤3中所述的线性子子系统和非线性子子系统分别为：

其中，为θ_ia在t-1时刻的估计值，为θ_ic在t-1时刻的估计值。

6.根据权利要求5所述的一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，其特征在于，线性子子系统和非线性子子系统之间利用两阶段递阶辨识对系统参数辨识，得到的对应子系统的辨识结果如下：

其中，p₀为初始参数，I表示单位矩阵。

7.根据权利要求6所述的一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，其特征在于，步骤4中，按步骤2中空间复杂系统子系统的划分顺序，将每个子系统的辨识结果传递到下一子系统，并替换上一子系统的上一时刻的辨识结果如下：

${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}(t-1)=\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ma}}(t-1)& i=1\\ {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{(i-1)a}\left(t\right)& i\&NotEqual;1\end{array}\right.---\left(13\right)$

${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}(t-1)=\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{mc}}(t-1)& i=1\\ {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{(i-1)c}\left(t\right)& i\&NotEqual;1\end{array}\right.---\left(14\right).$

8.根据权利要求7所述的一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，其特征在于，步骤5中，终止条件为：

${\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left(t\right)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}(t-1)\left|\right|}_2+{\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}(t-1)\left|\right|}_2<\mathrm{\&epsiv;}---\left(15\right)$

其中，ε表示系统阈值， ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left(t\right)=[{\hat{a}}_1,{\hat{a}}_2,...,{\hat{a}}_{n_a},{\hat{b}}_1,{\hat{b}}_2,...,{\hat{b}}_{n_a},],{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)=[{\hat{c}}_1,{\hat{c}}_2,...,{\hat{c}}_k];$ 最后将输出表示空间复杂系统的辨识结果。

9.根据权利要求8所述的一种空间耦合参数系统的参数辨识方法，其特征在于，向量 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left(t\right)=[{\hat{a}}_1,{\hat{a}}_2,...{\hat{a}}_{n_a},{\hat{b}}_1,{\hat{b}}_2,...{,\hat{b}}_{n_b}]$ 和 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)=[{\hat{c}}_1,{\hat{c}}_2,...{\hat{c}}_k]$ 得到的两个范数为：

${\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ia}}\left|\right|}_2=\sqrt{{\hat{a}}_1^2+{\hat{a}}_2^2+...+{\hat{a}}_{n_a}^2+{\hat{b}}_1^2+{\hat{b}}_2^2+{\hat{b}}_{n_b}^2}---\left(16\right)$

${\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{ic}}\left(t\right)\left|\right|}_2=\sqrt{{\hat{c}}_1^2+{\hat{c}}_2^2+...+{\hat{c}}_k^2}---\left(17\right).$