CN103927742A - 基于深度图像的全局自动配准建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于深度图像的全局自动配准建模方法，所述方法包括：利用三维激光扫描仪采集不同视角的深度图像；深度图像预处理；基于全等三点的邻接深度图像的自动配准；基于全局特征点集的多个深度图像的全局配准；基于转轴估计的配准结果反馈；深度图像的融合等步骤。本发明的优越效果在于，依据边长和角度信息，通过全等三点实现邻接深度图像的自动粗配准，降低了噪声对配准结果的影响。通过选择稳定度高、几何属性稳定的对应点及其对应关系的度量函数，建立了基于全局特征点集的多个深度图像配准的方法，提高了多视深度图像配准的准确性。基于转轴估计的配准结果反馈方法相比较于欧式距离的度量方法，更容易评估配准结果的准确性。

Description

基于深度图像的全局自动配准建模方法

技术领域

本发明涉及计算机图形学、数字几何处理领域，具体涉及一种基于深度图像的全局自动配准建模方法。 

背景技术

随着三维数字采集设备的快速发展，三维激光扫描仪或结构光扫描仪等非接触式设备已经被广泛应用于三维数字建模，然而由于扫描设备的视域范围有限，每次采集的深度图像位于不同的局部坐标系下，因此仅通过单次扫描不能实现模型的完整重建，需要通过寻找不同深度图像间重叠区域的对应关系，实现在深度图像重叠区域距离最小的约束下，将不同坐标系下的深度图像变换到统一的全局坐标系下，实现多视数据配准建模，配准的精度直接决定模型重建的质量，较差的配准结果将导致融合后的模型细节变得模糊，错误的配准结果将导致建模失败。多视数据配准的核心是计算多视深度图像间的变换矩阵，通过相邻深度图像间重叠区域的特征间的对应关系，求解深度图像间的变换关系。寻找特征对应和计算变换矩阵是多视深度图像配准的两个难点。目前多视深度图像配准主要研究两个方面的内容：（1）两个深度图像间的配准，计算两个深度图像间准确的变换关系，该问题是多视深度图像配准的基础，保证了多视深度图像配准的正确性。两个深度图像间的配准，根据初始位置是否已知，又分为粗配准和精确配准。粗配准方法主要利用特征不变量计算深度图像的变换矩阵，精确配准是在粗配准的基础上，精确估计深度图像间的旋转和平移矩阵，该方法通过不断迭代，精确估计旋转和平移变换矩阵使得两个深度图像间重叠区域的距离最小。（2）多个深度图像间的配准。在两个深度图像配准的基础上确保配准的误差平均分布在各个深度图像之间，消除累积误差。 

Bernardini等设计了一套数字化采集方案，他通过手工标定的方法实现了深度图像的半自动配准，同时引入基于图像的配准方法提高了ICP算法的精度，该方法在建模过程中需要人工交互参与。Castellan等定义基于特征统计的描述符，Li等提出基于尺度空间的描述符，Reyes等提出基于张量投票的特征提取方法实现深度图像间特征的对应。韦虎等提出了两个深度图像间的配准算法，首先根据深度图像包含的像素信息和网格顶点处的曲率值将深度图像映射为一副二维图像；然后使用SIFT算法寻找邻接两幅深度图像所对应的二维图像的匹配点，根据第一步深度图像与二维图像的映射关系获得两幅深度图像的匹配点；最后采用投票 和预配准方法去除误匹配，实现相邻深度图像的配准。杨棽等提出了一种包含二维纹理图像和不包含纹理图像信息的两幅和多幅深度图像的自动配准算法。首先，从扫描数据中提取纹理图像，针对不包含纹理图像的扫描数据则根据深度图像的几何不变量直接生成纹理图像；然后，利用SIFT算法找出匹配像素对的候选集；使用RANSAC算法根据三维几何信息的约束找出候选集中正确的匹配像素对和相对应的匹配顶点对，并通过匹配点对集计算深度图像的变换矩阵；最后使用改进的ICP算法进行精确配准。上述方法的配准结果取决于二维图像对应的准确性。Sharp等通过将每个深度图像看成单个结点，深度图像间的重叠区域作为边，从而构建出无向图，通过多次迭代实现多个深度图像的配准。Pottmann等将点的运动看成是螺旋运动，将运动轨迹表示为通过牛顿迭代法计算6×(n-1)个实现具有较好局部和全局收敛的配准算法。Brown等提出multi-way ICP算法实现多个深度图像的同时配准，提高了配准的速度和准确性。齐越等使用伪逆矩阵最小化的方法迭代地优化每个深度图像的变换矩阵。该类方法需要在全局空间中优化距离度量函数计算每个深度图像的变换矩阵。 

发明内容

本发明的目的是提供一种基于深度图像的全局自动配准建模方法，有效解决深度图像建模过程中需要人工交互、累计误差影响配准精度的问题，将应用于文物数字化建模、虚拟现实等领域。 

为实现上述目的，本发明采用了以下的技术方案： 

基于深度图像的全局自动配准建模方法，包括以下步骤： 

步骤一：利用三维激光扫描仪采集不同视角的深度图像； 

步骤二：深度图像预处理； 

步骤三：基于全等三点的邻接深度图像的自动配准； 

步骤四：基于全局特征点集的多个深度图像的全局配准； 

步骤五：基于转轴估计的配准结果反馈； 

步骤六：深度图像的融合。 

进一步地，所述步骤三包括以下具体步骤： 

步骤3.1：深度图像的等间距采样； 

步骤3.2：在采样后的深度图像scan_j上找出与A、B、C三点分别对应的a、b、c三点，进而建立一系列由顶点构成的三元组间的对应； 

步骤3.3：利用三元组间的对应，求解从scan_i到scan_j配准的刚性变换矩阵Ti； 

步骤3.4：验证T_i是否为最优解，达到最大公共点集或者到达迭代最大次数时终止； 

较佳地，步骤3.2中所选择的不共线的三个点A、B、C，其边长|AB|、|AC|、|BC|的值应与深度图像scan_i和scan_j覆盖区域的长度尽可能接近； 

进一步地，所述步骤四包括以下具体步骤： 

步骤4.1：在步骤三的基础上，选择具有稳定度高、几何属性稳定的对应点集，定义能够评价特征点集对应关系准确性的度量函数； 

步骤4.2：深度图像边缘轮廓的自动提取； 

步骤4.3：基于已经建立的邻接深度图像间的对应点和深度图像的边缘轮廓点集，计算待建模物体的全局特征点集； 

步骤4.4：将每个深度图像的对应点和与其对应的全局特征点作为输入，采用最近点迭代算法和薄板样条函数实现每个深度图像的变换。其中非刚性配准方法用于消除配准过程中产生的误差。 

进一步地，所述步骤五包括以下具体步骤： 

步骤5.1：根据计算获得的深度图像的旋转矩阵，计算转轴和旋转角度； 

步骤5.2：定义旋转轴度量函数，评价建模的准确度。 

本发明所述的基于深度图像的全局自动配准建模方法，是对多视深度图像配准方法的扩展，适用于可放置在旋转云台上的物体的三维建模。 

本发明相对于现有技术具有如下的优点和积极效果： 

（1）依据边长和角度信息，通过全等三点实现邻接深度图像的自动粗配准，降低了噪声对配准结果的影响。能够通过选择稳定度高、几何属性稳定的对应点以及对应关系的度量函数，保证了点集对应的准确性。 

（2）基于全局特征点集的非刚性配准方法克服了刚性配准方法使得多个深度图像配准后局部细节变模糊的不足。同时，由于仅由深度图像的对应点与估计生成的全局点间进行非刚性配准，一方面降低了全部深度图像优化过程中计算量大的不足，另一方面，克服了由于设备校准误差、镜头误差、不同传感器和物体移动造成的数据误差的问题。 

（3）基于转轴估计的配准结果反馈方法，能够有效评价配准结果的有效性。由于待建模物体被放置在云台上，云台转动过程中转轴保持稳定，因此通过比较每个深度图像旋转过程中转轴的方向，即可反馈配准结果的准确性，相比较于欧式距离度量的方法，更容易调整配 准结果。 

附图说明

图1本发明所述基于深度图像的全局自动配准建模方法流程图； 

图2a至图2b为所采集获得的两组颅骨的深度图像； 

图3a至图3c为两个邻接深度图像自动配准的结果； 

图4a至图4h为基于全局特征点的多视深度图像配准方法的结果。 

具体实施方式

以下结合附图对本发明的几个优选实施例进行详细描述，但本发明并不仅仅限于这些实施例。本发明涵盖任何在本发明的精髓和范围上做的替代、修改、等效方法以及方案。为了使公众对本发明有彻底的了解，在以下本发明优选实施例中详细说明了具体的细节，而对本领域技术人员来说没有这些细节的描述也可以完全理解本发明。 

本发明的具体步骤如下： 

1.利用三维激光扫描仪从不同视角采集深度图像 

1.1.搭建扫描环境，将待扫描物体放置在旋转云台上； 

1.2.制定扫描顺序，例如先按照顺时针顺序转动云台，采集不同视角的深度图像，然后再分别采集物体顶部和底部的深度图像； 

1.3.根据扫描顺序，建立深度图像间的邻接关系图。 

2.深度图像预处理 

2.1.深度图像中扫描背景等干扰数据的去除，利用数据的连通性实现无用数据的去除，如果当前区域包含的三角片的个数小于阈值或者边界长度小于阈值则删除该区域包含的干扰数据； 

2.2.深度图像的噪声消除，利用双边滤波器实现深度图像去噪。 

3.基于全等三点的邻接深度图像的自动配准 

3.1.深度图像等间距采样； 

3.2.深度图像间对应点寻找。在采样后的深度图像scan_i上随机选择不共线的三个点A、B、C作为待配准点，然后依据对应点之间的距离和对应的两条边之间的夹角保持不变的约束条件，在采样后的深度图像scan_j上找出与A、B、C三点分别对应的a、b、c三点，即满足|AB|=|ab|、|AC|=|ac|、|BC|=|bc|、∠ABC＝∠abc、∠ACB＝∠acb、∠BAC＝∠bac； 

较佳地，其边长|AB|、|AC|、|BC|的值应与深度图像scan_i和scan_j覆盖区域的长度尽可能接近； 

深度图像scan_j上a、b、c三点采用如下的方法进行选取：在深度图像scan_j上计算所有两个顶点间的距离，记作：其中v₁,v₂表示顶点坐标，为两个顶点v₁,v₂之间的长度，A，B为选定的顶点，为两个顶点A，B之间的长度；（a）对于集合P中的每一个(v₁,v₂)，那么它与对应待配准深度图像scan_i中线段ab的对应关系有两种，即v₁v₂对应ab或者v₁v₂对应ba；（b）在scan_j上分别计算与点a距离为|AC|的点集合P₁＝{v||va|＝|AC|,V∈scan_j}，与点b距离为|BC|的点集合P₂＝{v||vc|＝|BC|,v∈scan_j}，做集合P₁与P₂的交集为P₃，即P₃＝P₁∩P₂；（c）ab两点与候选集P₃中的每一个点c_i都能够构成一个三角形abc_i，所述三角形abc_i都有可能是scan_i上的三角形ABC对应的三角形；（d）通过步骤（b）到（d）找到在scanj上所有可能与三角形ABC对应的三角形集合S＝{(a,b,c)}。对于|AB|、|AC|、|BC|值的选择，利用两幅深度图像的重叠率f进行估算，重叠率f是指待配准深度图像上的点与配准图像上对应点的总数占待配准深度图像点的比率。f通过先验知识获得，给定f初始值为0.9，然后以f=0.9,0.7,0.5···进行多次配准，最后选择最优结果作为最终配准结果。由于待建模物体扫描时都是绕转轴旋转，进一步减少候选对应点集S的大小，根据待配准三点A、B、C的相对位置来对集合S进行优化缩小。将深度图像投影在二维平面空间，使用该投影图像包围盒上的向量作为深度图像的主方向，其中e为底边的中点，f为上边的中点。令与的夹角为θ，那么当与的夹角大于θ+ε时，从S中剔除候选点，缩小候选点集S的大小。 

3.3.对每对由全等三点构成的三元组对求解从scan_i到scan_j配准的刚性变换矩阵T_i； 

根据scan_i的特征点（A，B，C）及scan_j上的所有对应点候选集S，采用RANSAC算法在所有刚性变换中找到最优解。对于RANSAC算法的最大迭代次数L，根据两幅深度图像的中点重合的概率进行计算获得。对于给定的两幅深度图像scan_i和scan_j，深度图像scan_j经过刚性变换T_i后，当scan_i和scan_j上的点之间距离小于给定阈值δ时，实现两幅深度图像的自动粗配准。实验中，δ定义为两个深度图像间最短距离的二分之一。具体步骤如下： 

Step1：在scan_i上选取三个点A、B、C； 

Step2：在scan_j上寻找所有与A、B、C三个点有可能相对应的三点集合S＝{(A_i',B_i',C_i')}； 

Step3：对集合S中的每个三元组都求解从scan_j到scan_i配准的刚性变换矩阵T_i； 

Step4：验证T_i是否是最优解，达到最大公共点集或者到达迭代最大次数则终止，否则转Step1。 

4.基于全局特征点集的多个深度图像的全局配准 

4.1.采用最近点迭代算法提高邻接深度图像配准的精度。选择稳定度高、几何属性稳定的对应点集，定义能够评价特征点集对应关系的度量函数，提高邻接深度图像配准的准确性。 

特征点集对应关系的度量函数采用现有技术计算，其结果表示为以下公式： 

${\mathrm{DRMS}}^{\text{2}}(P,Q)=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\right||p_i-p_j||-||q_i-q_j|\left|\right)}^2$

其中p={p_i}，i=1，…,n和Q={q_i},i=1，…,n分别表示深度图像scan_i和scanj的对应点集。 

依照本发明较佳实施例所述的建模方法，所述步骤4.1中稳定点的选择以现有技术计算，结果表示为以下公式： 

$\left(\begin{array}{cc}{({\mathrm{pt}}_1\×n_1)}^T& n_1^T\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ {({\mathrm{pt}}_k\×n_k)}^T& n_k^T\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{pt}}_1\×n_1& \·\·\·& {\mathrm{pt}}_k\×n_k\\ n_1& \·\·\·& n_k\end{array}\right)$

其中pt_i表示深度图像的第i个顶点，n_i表示深度图像的第i个顶点对应的法线。协方差矩阵C的特征值对应着刚性变换的平移、旋转共六个自由度。当特征值很小时，则当前点存在平移或者旋转变换表面，该点并不稳定。通过选择pt_i点的k阶邻域，根据此邻域中的邻接顶点集计算协方差矩阵C的6个特征值和特征向量，实验中如果pt_i的6个特征值都大于0.1，则认为pt_i为稳定点。 

4.2.深度图像边缘轮廓的自动提取。由于深度图像边缘轮廓的几何属性并不稳定，因此为了保证配准结果的正确性，配准点集需要去除上述轮廓点集。 

4.3.计算待建模物体的全局特征点集。假设scan_i为选定深度图像，Neighscan_j为其邻接深度图像，则经过邻接深度图像的两两配准后Neighsc_jan向scan_i的刚性变换为 scan_i与Neighscan_j对应特征点集分别为和 全局特征点存在两种情况：（1）位于深度图像的公共区域，该区域表示为Region＝{scan_i∩Neighscan_j}；（2）仅属于单个深度图像的区域。针对第一种情况，考虑到连续变换的情况，全局特征点为： 

针对第二种情况，考虑到连续变换的情况，则全局特征点为： 

$M_{{\mathrm{scan}}_i}={\mathrm{\ΣT}}_{{\mathrm{Neighscan}}_j,{\mathrm{scan}}_i}\·P_{{\mathrm{Neighscan}}_j}$

综合两种情况scan_i的全局特征点集为： 

${\mathrm{Ptscan}}_i=\{F_{{\mathrm{scan}}_j}\∪M_{{\mathrm{scan}}_i}|i=\mathrm{1,2,3},...,n\}.$

计算过程中可固定scan₀为锚点，其余深度图像scan_i依次向scan₀配准，重复上述步骤，即可计算模型的全局特征点集。 

5.基于转轴估计的配准结果反馈 

计算转轴及旋转角度的公式为： 

$\left\{\begin{array}{c}{u}_x=\frac{m_{32}-m_{23}}{2\sin \left(\mathrm{\β}\right)}\\ u_y=\frac{m_{13}-m_{31}}{2\sin \left(\mathrm{\β}\right)}\\ u_z=\frac{m_{21}-m_{12}}{2\sin \left(\mathrm{\β}\right)}\\ \mathrm{\β}=\mathrm{ar}\cos \left(\frac{1}{2}(m_{11}+m_{22}+m_{33}-1)\right)\end{array}\right.$

其中刚性变换为 $\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}& m_{12}& m_{13}& 0\\ m_{21}& m_{22}& m_{23}& 0\\ m_{31}& m_{31}& m_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$ 旋转轴为u，绕轴旋转角为β。 

6.深度图像的融合 

首先通过定义距离阈值，删除相邻深度图像间完全重叠的三角形，同时删除相交的边界三角形；然后将删除冗余后的邻接深度图像通过过渡网格相连接，生成单层模型，其基本过程包括确定轮廓上的起止点及其对应关系和确定轮廓点间的连接关系两个步骤。 

实施例： 

（1）两个深度图像的自动配准 

实验中使用VIVID910三维激光扫描仪采集多组颅骨数据的深度图像。采集数据时将颅骨置于一个云台上，通过旋转云台来采集颅骨模型的深度图像，根据扫描数据产生的连续性直接构造颅骨深度图像的拓扑图，进而对配准建模的过程进行简化。每幅深度图像中包含了约4～9万个顶点。在Xeon2.66GHz CPU3.0GB内存的图形工作站上，两幅深度图像的粗配准时间、配准的结果如表1所示，a0和a1，b0和b1分别为图2a所示颅骨和图2b所示颅 骨的两幅深度图像。当两幅深度图像的覆盖率高时，配准速度快；当两幅深度图像覆盖率较低时，算法运行速度减慢。 

图2为利用三维激光扫描仪采集的两组骨颅骨模型的深度图像，其中图2a为由8幅深度图像组成的颅骨模型，图2b为由4幅深度图像组成的颅骨模型。 

图3为两幅深度图像自动配准的结果，其中图3a为采集获得的深度图像，图3b为邻接深度图像自动粗配准的结果，图3c为邻接深度图像精确配准的结果。 

表1深度图像两两自动配准结果 

（2）多视深度图像的全局配准 

图4给出了多个碎片全局特征点结果，图4a为scan₀、scan₁、scan₂三个相邻深度图像配准结果及全局特征点，图4b为scan₁、scan₂、scan₃配准结果及全局特征点，图4c为scan₂、scan₃、scan₄配准结果及全局特征点，图4d为scan₃、scan₄、scan₅配准结果及全局特征点，图4e为scan₄、scan₅、scan₀配准结果及全局特征点，图4f为scan₅、scan₀、scan₁配准结果及全局特征点，图4g为全局特征点，图4h为多视数据配准结果。 

（3）转轴估计 

邻接深度图像的转轴方向为表2所示。 

表2转轴方向估计结果 

序号	转轴方向(x,y,z)
		scan0与scan1配准	(0.113742，0.985345，0.127114)
scan1与scan2配准	(0.116518，0.985753，0.121305)

本发明优选实施例只是用于帮助阐述本发明。优选实施例并没有详尽叙述所有的细节，也不限制该发明仅为所述的具体实施方式。显然，根据本说明书的内容，可作很多的修改和变化。本说明书选取并具体描述这些实施例，是为了更好地解释本发明的原理和实际应用，从而使所属技术领域技术人员能很好地利用本发明。在不背离本发明的实质内容的情况下，本领域技术人员能够做出的任何显而易见的改进、替换或变型均属于本发明的保护范围。 

Claims (8)

1.一种基于深度图像的全局自动配准建模方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：利用三维激光扫描仪采集不同视角的深度图像；

步骤2：深度图像预处理；

步骤3：基于全等三点的邻接深度图像的自动配准；

步骤4：基于全局特征点集的多个深度图像的全局配准；

步骤5：基于转轴估计的配准结果反馈；

步骤6：深度图像的融合。

2.按照权利要求1所述的基于深度图像的全局自动配准建模方法，其特征在于：步骤3，进一步包括以下步骤：

步骤3.1：深度图像的等间距采样；

步骤3.2：在采样后的深度图像scan_j上找出与A、B、C三点分别对应的a、b、c三点，进而建立一系列由顶点构成的三元组间的对应；

步骤3.3：利用三元组间的对应，求解从scan_i到scan_j配准的刚性变换矩阵T_i；

步骤3.4：验证T_i是否为最优解，达到最大公共点集或者到达迭代最大次数时终止。

3.按照权利要求2所述的基于深度图像的全局自动配准建模方法，其特征在于：所述步骤3.2进一步包括：所选择的不共线的三个点A、B、C，其边长|AB|、|AC|、|BC|的值应与深度图像scan_i和scan_j覆盖区域的长度尽可能接近。

4.按照权利要求1所述的基于深度图像的全局自动配准建模方法，其特征在于：所述步骤4进一步包括以下具体步骤：

步骤4.1：在步骤三的基础上，选择具有稳定度高、几何属性稳定的对应点集，定义能够评价特征点集对应关系准确性的度量函数；

步骤4.2：深度图像边缘轮廓的自动提取；

步骤4.3：基于已经建立的邻接深度图像间的对应点和深度图像的边缘轮廓点集，计算待建模物体的全局特征点集；

步骤4.4：将每个深度图像的对应点和与其对应的全局特征点作为输入，采用最近点迭代算法和薄板样条函数实现每个深度图像的变换。其中非刚性配准方法用于消除配准过程中产生的误差。

5.按照权利要求4所述的基于深度图像的全局自动配准建模方法，其特征在于：

步骤4.1所述定义能够评价特征点集对应关系准确性的度量函数采用的计算公式如下：

${\mathrm{DRMS}}^{\text{2}}(P,Q)=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\right||p_i-p_j||-||q_i-q_j|\left|\right)}^2$

其中P={p_i}，i=1，…,n和Q={q_i},i=1，…,n分别表示深度图像scaW_i和scaa_j的对应点集。

6.按照权利要求4所述的基于深度图像的全局自动配准建模方法，其特征在于：

步骤4.1所述选择具有稳定度高、几何属性稳定的对应点集，稳定点的选择由以下公式计算：

$\left(\begin{array}{cc}{({\mathrm{pt}}_1\×n_1)}^T& n_1^T\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ {({\mathrm{pt}}_k\×n_k)}^T& n_k^T\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{pt}}_1\×n_1& \·\·\·& {\mathrm{pt}}_k\×n_k\\ n_1& \·\·\·& n_k\end{array}\right)$

其中pt_i表示深度图像的第i个顶点，n_i表示深度图像的第i个顶点对应的法线，协方差矩阵C的特征值对应着刚性变换的平移、旋转共六个自由度，当特征值小时，则当前点存在平移或者旋转变换表面，该点并不稳定，通过选择pt_i点的k阶邻域，根据此邻域中的邻接顶点集计算协方差矩阵C的6个特征值和特征向量，实验中如果pt_i的6个特征值都大于0.1，则认为pt_i为稳定点。

7.按照权利要求1所述的基于深度图像的全局自动配准建模方法，其特征在于：步骤5所述基于转轴估计的配准结果反馈，进一步包括以下具体步骤：

步骤5.1：根据计算获得的深度图像的旋转矩阵，计算转轴和旋转角度；

步骤5.2：定义旋转轴度量函数，评价建模的准确度。

8.按照权利要求7所述的基于深度图像的全局自动配准建模方法，其特征在于：步骤5所述基于转轴估计的配准结果反馈，计算转轴和旋转角度的计算公式如下：

计算转轴及旋转角度的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_x=\frac{m_{32}-m_{23}}{2\sin \left(\mathrm{\β}\right)}\\ u_y=\frac{m_{13}-m_{31}}{2\sin \left(\mathrm{\β}\right)}\\ u_z=\frac{m_{21}-m_{12}}{2\sin \left(\mathrm{\β}\right)}\\ \mathrm{\β}=\mathrm{ar}\cos \left(\frac{1}{2}(m_{11}+m_{22}+m_{33}-1)\right)\end{array}\right.$

其中：刚性变换为 $\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}& m_{12}& m_{13}& 0\\ m_{21}& m_{22}& m_{23}& 0\\ m_{31}& m_{31}& m_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$ 旋转轴为u，绕轴旋转角为β。