CN103857876A - 用于执行井眼压裂作业的系统和方法 - Google Patents

Abstract

提供了用于执行油田作业的方法。该方法包括执行压裂作业。压裂作业包括在井眼附近产生多个裂缝和裂缝网络。裂缝网络包括多个裂缝和多个位于其附近的基质块。裂缝相互交叉并且流体连通。基质块位于多个裂缝附近。该方法还包括产生通过裂缝网络的流率，基于裂缝网络产生流体分布，以及执行开采作业，开采作业包括根据流体分布产生开采速度。

Description

用于执行井眼压裂作业的系统和方法

对先前申请的交叉引用

本申请是2009年6月5日提交的美国专利申请No.12/479,335的部分继续申请，通过引用将其全部内容合并于此。本申请还要求享受2011年7月28日提交的美国临时专利申请No.61/574,130的优先权，通过引用将其全部内容合并于此。

技术领域

本公开总体上涉及用于执行井场作业的方法和系统。更具体地说，本公开致力于用于执行压裂和开采作业的方法和系统，例如，调查地下地层以及表征地下地层中的水力裂缝网络。

背景技术

为了便于从油气井中回收油气，可以通过水力压裂这些井周围的地下地层。可以使用水力压裂来在地表下地层中创建裂纹，以使得油或气能够向井移动。通过一个或多个井眼，以高压、高流率将特别设计的流体(这里称为“压裂流体”或“压裂浆”)引入地层来压裂地层。根据地层中的自然应力，水力裂缝可以从井眼沿着两个相反的方向延伸几百英尺。在某些情况下，它们可以形成复杂的裂缝网络。

压裂流体可以承载有支撑剂，支撑剂是一定尺寸的颗粒，其可以与压裂流体混合以帮助提供用于油气的开采的有效导路，以便于油气从地层/储层流向井眼。支撑剂可以包括天然的砂粒或碎石；人造或特别设计的支撑剂，例如纤维、涂覆了树脂的砂石、或高强度陶瓷材料如烧结铝矾土。支撑剂异质或同质地聚集到裂缝中，以在地层中“撑”开新的裂纹或孔。支撑剂创建可渗透导路的面，通过该导路，开采流体可以流入井眼。优选地，压裂流体具有高粘度，并因此能够携带有效数量的支撑剂材料。

压裂流体可以由粘性流体实现，该粘性流体有时被称为“填充物”，被以足以在含油气地层中引起和传播裂缝的流率和压力注入到处理井中。“填充物”的注入一直继续到获得具有充足的几何结构的裂缝以使得能够放置支撑剂颗粒。在“填充物”之后，压裂流体可以包括压裂流体和支撑剂材料。压裂流体可以是凝胶、油基、水基、盐水、酸、乳剂、泡沫或任何其它类似的流体。压裂流体可以包含若干添加剂、增粘剂、减阻剂、失水添加剂、阻蚀剂等。为了保持支撑剂悬浮在压裂流体中，直到地层的所有间隔都被如期压裂的时间，支撑剂的密度可以接近所用压裂流体的密度。

支撑剂可以包括任何商业可得熔融材料，例如硅土或氧化物。熔融材料可以包括任何商业可得玻璃或高强度陶瓷产品。在放置支撑剂之后，可以将井关闭足以将压力释放到地层中的时间。这使得裂缝闭合，并且对支撑剂颗粒施加闭合应力。关闭时间长度可以从几分钟到几天变化。

当前的水力裂缝监控方法和系统可以映射裂缝在哪里产生以及裂缝的程度。一些微震监控方法和系统可以通过使用建模的行程时间和/或传播路径，将地震到达时间和极化信息映射到三维空间中，来处理地震事件位置。这些方法和系统可以用来推断水力裂缝随时间的传播。

传统水力裂缝模型还可以假定双翼型诱发裂缝。这些双翼裂缝可能不足以表达一些具有先前存在的自然裂缝的非常规储层中诱发的裂缝的复杂属性。已发布的模型可以基于对微震事件分布的监控来映射离散水力裂缝的复杂几何结构。

在一些情况下，模型可以不必因考虑泵送流体的量或者裂缝和注入流体之间以及裂缝之间的机械相互作用而受约束。一些约束模型可以提供对所涉及的机制的基本理解，但为了提供对水力裂缝传播的准确模拟，在数学描述和/或所需计算处理资源和时间方面可能复杂。

非常规地层，例如页岩，正在发展成为油气开采的源。曾经仅将岩石和密封视为源，现在页岩地层被视为具有紧致孔隙度和低渗透率的非常规储层。可以使用页岩地层的水力压裂来从储层进行增产或开采。

通过压裂增产创建的水力裂缝的模式可能是复杂的，并且形成裂缝网络，如关联微震事件分布所指示。已开发复杂水力裂缝网络(HFN)以表示所创建的水力裂缝。裂缝模型的例子在美国专利/申请No.6101447、7363162、7788074、20080133186、20100138196以及20100250215中提供。

由于HFN的复杂性，可以对从已增产的页岩储层的开采进行数值模拟。用于增产作业设计和作业后分析的数值模拟可能是耗时长久的，并且其可能不便于构建数值模型，不便于为增产作业的多种设计中的每一种执行循环。压裂作业的有效性和效率最终可以通过从增产储层的开采来判断。

发明内容

本申请公开了用于基于来自测量现场数据的传感器的输入，结合水力裂缝网络模型，表征对地下地层的水力压裂的方法和系统。裂缝模型使用现场数据，以显著简化裂缝模型的复杂性，并因此而显著减少提供地下地层的水力裂缝的准确特征所需要的处理资源和时间的方式，约束地下地层的水力裂缝的几何属性。这样的表征可以实时产生，以手动或自动操纵向地下地层供应压裂流体的地面和/或井下物理部件，从而例如通过优化针对该现场(或其它类似的压裂现场)的压裂计划来按期望调整水力压裂过程。

在一些实施例中，本公开的方法和系统用于在设计阶段设计井眼布置和水力压裂阶段，以便优化油气开采。在一些实施例中，本公开的方法和系统用于通过控制供应到地下地层的压裂流体的流率、成分和/或属性，来实时调整水力压裂过程。在一些实施例中，本公开的方法和系统用于通过实时修改地下地层中的裂缝尺寸来调整水力压裂过程。

本公开的方法和系统还用于帮助从井眼开采油气，以及帮助地下压裂(由此使所得到的裂缝尺寸、方向定位、取向和几何属性以及支撑剂在裂缝中的放置与所期望的结果更接近)。

另一方面，本公开涉及一种在穿透地下地层的井眼附近执行油田作业的方法。该方法包括执行压裂作业。压裂作业包括：在井眼附近产生多个裂缝；以及在井眼附近产生裂缝网络。裂缝网络包括多个裂缝和位于多个裂缝附近的多个基质块。裂缝相互交叉并且流体连通。基质块位于裂缝附近。该方法还包括：产生通过裂缝网络的流率；基于流率产生流体分布；以及执行开采作业，开采作业包括根据流体分布产生开采速度。

另一方面，本公开涉及一种在穿透地下地层的井眼附近执行油田作业的方法，该方法包括执行压裂作业。压裂作业包括：对井眼进行增产；以及在井眼附近产生裂缝网络。增产包括将流体注入地下地层，使得在井眼附近产生裂缝。裂缝网络包括裂缝和位于其附近的多个基质块。裂缝相互交叉并且流体连通。多个基质块位于裂缝附近。该方法还包括：在裂缝网络中放置支撑剂；产生通过裂缝网络的流率；基于流率产生流体分布；以及执行开采作业。开采作业包括根据流体分布产生开采速度。

另一方面，本公开涉及一种在穿透地下地层的井眼附近执行油田作业的方法。该方法包括：基于作业参数设计压裂作业；以及执行压裂作业。压裂作业包括在井眼附近产生裂缝网络。裂缝网络包括多个裂缝和多个基质块。裂缝相互交叉并且流体连通。基质块位于裂缝附近。该方法还包括：通过基于模拟的开采速度与实际数据的比较，来调整压裂作业，从而优化压裂作业；产生通过裂缝网络的流率；基于流率产生流体分布；以及执行开采作业。模拟的开采速度是根据裂缝网络产生的。开采作业包括根据流体分布产生开采速度。

提供此发明内容部分是为了介绍下面在详细描述中将进一步描述的构思的选集。此发明内容部分并不意图确定所要求保护的主题的关键或必要特征，也不意图用来帮助限定所要求保护的主题的范围。

附图说明

参考附图来描述用于表征井眼应力的系统和方法的实施例。在所有附图中，使用相同的附图标记来表示相同的特征和组件。

图1.1-1.4是图解井场处的各种油田作业的示意图；

图2.1-2.4是通过图1.1-1.4的作业收集的数据的示意图；

图3是根据本发明的示例性水力裂缝模型的几何属性的绘制图解；

图4是实施本公开的水力压裂现场的示意图；

图5.1和5.2，共同地，是图解由图4的水力压裂现场执行以根据本公开进行说明性处理井的压裂处理的操作的流程图；

图6.1-6.4图解了用于显现根据本公开在图4的说明性处理井的压裂处理期间，处理井和压裂的油气储层的属性的示例性显示屏；

图7.1-7.4图解了用于显现根据本公开在图4的说明性处理井的压裂处理期间和随后的关闭期间，处理井和压裂的油气储层的属性的示例性显示屏；

图8.1-8.3是图解井附近的椭圆水力裂缝网络的示意图；

图9是描绘支撑剂放置的示意图；

图10是分别图解图8.1的椭圆水力裂缝网络的截面图及其附近的基质块的详细视图；

图11是图解通过双重孔隙度介质的流体流动的示意图；

图12是描绘执行开采作业的方法的流程图；

图13.1和13.2是用于描绘通过介质的流体流动的各种示意图；

图14是描绘裂缝设计和优化的流程图；

图15是描绘开采后作业的流程图；以及

图16是描绘用于执行开采作业的方法的流程图。

具体实施方式

下面的描述包括实施这里的主题的技术的示例性系统、装置、方法和指令序列。然而，应当理解，所描述的实施例可以在没有这些具体细节的情况下实施。

本公开涉及用于执行压裂作业以估计和/或预测产量的技术。压裂作业涉及裂缝建模，裂缝建模利用椭圆和线网模型来估计产量。

图1.1-1.4图示了可以在井场执行的各种油田作业，图2.1-2.4图示了可以在井场收集的各种信息。图1.1-1.4图示了代表性油田或井场100的简化示意图，该代表性油田或井场100具有地下地层102，地下地层102中包含例如储层104，并且还图示了在井场100执行的各种油田作业。图1.1图示了由勘探工具如地震车106.1执行以测量地下地层的属性的勘探作业。勘探作业可以是用于产生声振动的地震勘探作业。在图1.1中，由源110产生的一种这样的声振动112在地层116中的多个水平层114处反射。可以由位于地球表面的传感器如地震检波器—接收器118接收声振动112，并且地震检波器118产生电输出信号，在图1.1中称为“所接收的数据”120。

响应于代表声振动112的不同参数(例如幅度和/或频率)的所接收的声振动112，地震检波器118可以产生包含有关地下地层的数据的电输出信号。可以提供所接收的数据120作为对地震车106.1的计算机122.1的输入数据，并且响应于输入数据，计算机122.1可以产生地震和微震数据输出124。可以对地震数据输出124进行存储、发送、或根据期望进行进一步处理如数据约减。

图1.2图示了由钻井工具106.2执行的钻井作业，其中钻井工具106.2由钻机128悬挂，并且被推进到地下地层102中，以形成井眼136或其它通道。可以使用泥浆坑130将钻井泥浆经由管线132抽吸到钻井工具中，以使钻井泥浆循环通过钻井工具上到井眼136并返回地表。钻井泥浆可以被过滤，然后返回泥浆坑。可以使用循环系统来存储、控制或过滤流动的钻井泥浆。在这个图示中，钻井工具被推进到地下地层以到达储层104。每个井可以以一个或多个储层为目标。钻井工具可以被适配以使用随钻测井工具测量井下属性。随钻测井工具还可以被适配以如图所示收取岩心样本133，或者被移除以便可以使用其它工具来收取岩心样本。

可以使用地面单元134来与钻井工具和/或场外作业进行通信。地面单元可以与钻井工具通信，以向钻井工具发送命令，并从钻井工具接收数据。地面单元可以具有计算机设备，以接收、存储、处理和/或分析来自作业的数据。地面单元可以收集钻井作业期间产生的数据，并产生可以被存储或发送的数据输出135。计算机设备，例如地面单元中的计算机设备，可以位于井场附近各种位置处和/或位于远距离处。

可以在油田附近放置诸如计量器的传感器(S)，以收集与先前描述的各种作业有关的数据。如图所示，传感器(S)可以放置在钻井工具中一个或多个位置处和/或位于钻机处，以测量钻井参数，如钻压、钻头扭矩、压力、温度、流率、成分、旋转速度和/或其它作业参数。传感器(S)还可以位于循环系统中的一个或多个位置中。

可以由地面单元和/或其它数据收集源来收集由传感器收集的数据，以进行分析或其它处理。可以单独使用或与其它数据结合使用由传感器收集的数据。可以将数据收集在一个或多个数据库和/或就地或场外发送。可以选择性地使用全部或选择的部分数据来对当前和/或其它井眼进行分析和/或预测作业。数据可以是历史数据、实时数据或其组合。可以实时使用实时数据，或将其存储以备以后使用。还可以将数据与历史数据或其它输入组合以进行进一步的分析。可以将数据存储在分离的数据库中，或者组合到单个数据库中。

可以使用所收集的数据来执行分析，如建模作业。例如，可以使用地震数据输出来执行地质、地球物理、和/或储层工程分析。可以使用储层、井眼、地面和/或处理后的数据来执行储层、井眼、地质、以及地球物理或其它模拟。来自作业的数据输出可以从传感器直接产生，或在一些预处理或建模之后产生。这些数据输出可以用作其它分析的输入。

数据可以被收集并存储在地面单元134处。一个或多个地面单元可以位于井场或者在远处连接到井场。地面单元可以是单个单元或多个单元的复杂网络，用于执行整个油田必要的数据管理功能。地面单元可以是手动或自动系统。地面单元134可以由用户操作和/或调整。

地面单元可以具有收发器137，以使得地面单元和当前油井的各个部分或其它位置处之间能够进行通信。地面单元134还可以具有或者功能性地连接到一个或多个控制器，以驱动井场100处的机械装置。然后地面单元134可以响应于所接收的数据向油田发送命令信号。地面单元134可以经由收发器接收命令，或者可以自己执行给控制器的命令。可以提供处理器以(本地或远程)分析数据，做出决定和/或驱动控制器。以这种方式，可以基于所收集的数据选择性地调整操作。可以基于该信息来优化部分操作，例如控制钻井、钻压、泵送速率或其它参数。这些调整可以基于计算机协议自动进行，和/或由操作员手动进行。在一些情况下，可以调整井规划以选择最佳操作条件，或者避免问题。

图1.3图示了由钻机128悬挂并进入图1.2的井眼136的电缆测井工具106.3执行的电缆测井作业。电缆测井工具106.3可以被适配以部署到井眼136中，用来产生测井曲线，执行井下测试和/或收集样本。电缆测井工具106.3可以用来提供另一种执行地震勘探作业的方法和设备。图1.3的电缆测井工具106.3可以例如具有爆炸性、放射性、电学或声学能量源144，该能量源144向周围的地下地层102及其中的流体发送电信号和/或从周围的地下地层102及其中的流体接收电信号。

电缆测井工具106.3可以可操作地连接到例如图1.1的地震车106.1的地震检波器118和计算机122.1。电缆测井工具106.3还可以向地面单元134提供数据。地面单元134可以收集在电缆测井作业期间产生的数据，并产生可以被存储或发送的数据输出135。电缆测井工具106.3可以位于井眼中各种深度，以提供勘察结果或与地下地层有关的其它信息。

可以在井场100附近放置诸如计量器的传感器(S)，以收集与先前描述的各种作业有关的数据。如图所示，传感器(S)放置在电缆测井工具106.3中，以测量涉及例如孔隙率、渗透率、流体成分和/或作业的其它参数。

图1.4图示了由从开采单元或“圣诞树”129部署并进入图3中完成的井眼136的开采工具106.4执行的开采作业，用于将流体从井下储层抽吸到地表设施142。流体从储层104通过套管(未示出)中的射孔并进入井眼136中的开采工具106.4，并经由集输管网146到地面设施142。

可以在油田附近放置诸如计量器的传感器(S)，以收集与先前描述的各种作业有关数据。如图所示，传感器(S)可以放置在开采工具106.4或相关设备如“圣诞树”129、集输管网、地面设施和/或开采设施中，以测量流体参数如流体成分、流率、压力、温度和/或开采作业的其它参数。

尽管仅示出了简化的井场配置，但应当理解油田或井场100可以覆盖具有一个或多个井场的陆地、海洋和/或水域的一部分。为了提高采收率或存储例如碳氢化合物、二氧化碳或水，开采也可以包括注入井(未示出)。一个或多个集输设施可以可操作地连接到一个或多个井场，以从井场选择性地收集井下流体。

应当理解，图1.2-1.4图示的工具不但可以测量油田属性而且可以测量非油田作业的属性，例如矿藏、含水层、储藏以及其它地下设施。而且，尽管图示了特定的数据获取工具，但是应当理解，可以使用能够感测诸如地下地层的地震双向行程时间、密度、电阻率、开采速度等和/或其地质信息的参数的各种测量工具(例如电缆测井、随钻测量(MWD)、随钻测井(LWD)、岩心采样等)。可以沿着井眼和/或监测工具在各种位置处放置各种传感器(S)，以收集和/或监测所期望的数据。还可以从场外位置处提供其它数据源。

图1.1-1.4的油田配置图示了井场100和通过这里提供的技术可以使用的各种作业的示例。油田的部分或全部可以在陆地上、水上和/或海上。而且尽管图示了在单个位置处测量单个油田的情况，但是可以以一个或多个油田、一个或多个处理设施、以及一个或多个井场的任何组合来利用储层工程。

图2.1-2.4分别是由图1.1-1.4的工具收集的数据的示例的图形表示。图2.1表示由地震车106.1收取的图1.1的地下地层的地震道202。地震道可以用于提供诸如在一段时间中的双向响应的数据。图2.2图示了由钻井工具106.2收取的岩心样本133。岩心样本可以用于提供诸如沿着岩心的长度方向上岩心样本的密度、孔隙率、渗透率或其它物理属性。可以在变化的压力和温度下对岩心中的流体执行密度和粘度的测试。图2.3图示了由电缆测井工具106.3收取的图1.3的地下地层的测井曲线204。电缆测井可以提供各种深度处地层的电阻率或其它测量。图2.4图示了在地面设施142处测量的流过图1.4的地下地层的流体的产量递减曲线或图表206。产量递减曲线可以提供作为时间t的函数的开采速度Q。

图2.1、2.3和2.4的各个图表图示了可以描述或提供有关地层或其中所包含的储层的物理特性的信息的静态测量。这些测量可以被分析以限定地层的属性，从而确定测量的精确度和/或检查错误。可以将各个测量中每个的图对齐或缩放，以进行属性的比较与核实。

图2.4图示了通过井眼对流体属性的动态测量。随着流体流过井眼，对流体属性如流率、压力、成分等进行测量。如下面所描述的，可以对静态和动态测量进行分析，并用于产生地下地层的模型，以确定其特性。也可以使用类似的测量来测量地层方面随时间的变化。

压裂作业

在一个方面，这些技术采用用于表征水力裂缝网络的模型，如下所述。这样的模型包括一组公式，这些公式将地层中由通过井眼注入的流体驱动的裂缝传播的复杂物理过程量化。在一个实施例中，这些公式是以12个模型参数提出的：井眼半径xw和井眼净压力pw-σc、流体注入速度q和持续时间tp、基质平面应变模量E、流体粘度μ(或其它用于非牛顿流体的流体参数)、限制应力差Δσ、裂缝网络尺寸h、a、e、以及裂缝间距dx和dy。

这里使用的各种裂缝网络可以具有自然和/或人造裂缝。为了便于从井眼开采，可以通过执行压裂作业来对井眼进行增产。例如，可以通过将流体泵送到地层中来产生水力裂缝网络。水力裂缝网络可以由两组相互垂直的平行平面裂缝表示。平行于x轴的裂缝可以以相同间距dy间隔开，平行于y轴的裂缝可以以间距dx间隔开，如图3所示。因此，每单位长度上，平行于x轴和y轴的裂缝的数量分别为

$n_x=\frac{1}{d_y}\mathrm{and}{n}_y=\frac{1}{d_x}.---\left(1\right)$

压裂流体随事件的泵送产生传播的裂缝网络，该裂缝网络可以由椭圆形式的膨胀体积来表示，该椭圆具有高度h、长轴a、短轴b或纵横比

$e=\frac{b}{a}.---\left(2\right)$

有裂缝的地下地层中注入流体的质量守恒控制方程如下：

$2\mathrm{\πex}\frac{\∂\left(\mathrm{\φ\ρ}\right)}{\∂t}+4\frac{\∂\left(\mathrm{Bx}{\mathrm{\ρ}\stackrel{\‾}{v}}_e\right)}{\∂x}=0,---\left(3a\right)$ 或

$\frac{2\mathrm{\πy}}{e}\frac{\∂\left(\mathrm{\φ\ρ}\right)}{\∂t}+4\frac{\∂}{\∂y}\left(\frac{\mathrm{By\ρ}{\stackrel{\‾}{v}}_e}{e}\right)=0,---\left(3b\right)$

对于不可压缩流体则分别为

$2\mathrm{\πex}\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}+4\frac{\∂\left(\mathrm{Bx}{\stackrel{\‾}{v}}_e\right)}{\∂x}=0,---\left(3c\right)$

或

$\frac{2\mathrm{\πy}}{e}\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}+4\frac{\∂}{\∂y}\left(\frac{\mathrm{By}{\stackrel{\‾}{v}}_e}{e}\right)=0,---\left(3d\right)$

其中，φ是地层的孔隙度，

ρ是注入流体的密度，

是垂直于椭圆边界的平均流体速度，以及

B是椭圆积分，由下式给出

$B=\frac{\mathrm{\π}}{2}[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2(1-e^2)-{\left(\frac{1.3}{2.4}\right)}^2\frac{{(1-e^2)}^2}{3}{-{\left(\frac{\mathrm{1.3.5}}{\mathrm{2.4.6}}\right)}^2\frac{{(1-e^2)}^3}{5}-\·\·\·}^{}].---\left(4\right)$

平均流体速度

可以近似表示为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{v}}_e\≈\frac{1}{2}[v_{\mathrm{ex}}(x,y=0)+v_{\mathrm{ey}}(x=0,y=\mathrm{ex})]\\ \≈\frac{1}{2}(1+e)v_{\mathrm{ex}}(x,y=0)\\ \≈\frac{1}{2}(1+1/e)v_{\mathrm{ex}}(x=0,y=\mathrm{ex})\end{array}---\left(5\right)$

其中

$v_{\mathrm{ex}}(x,y=0)=-{\left[\frac{k_x}{\mathrm{\μ}}\frac{\∂p}{\∂x}\right]}_{(x,y=0)},---\left(6a\right)$

$v_{\mathrm{ex}}(x=0,y=\mathrm{ex})=-{\left[\frac{k_y}{\mathrm{\μ}}\frac{\∂p}{\∂y}\right]}_{(x=0,y=\mathrm{ex})},---\left(6b\right)$

其中p是流体压力，

μ是流体粘度，

k_x和k_y分别是地层沿x方向和y方向的渗透率。

为了数学上简单，下面的公式以不可压缩流体为例给出，应当理解，通过使用注入流体的相应状态方程，可以考虑流体可压缩性。

使用公式(5)和(6)，控制方程(3)可以重写为

$2\mathrm{\πex}\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}-2\frac{\∂}{\∂x}\left(\frac{B(1+e){\mathrm{xk}}_x\∂p}{\mathrm{\μ}}\frac{\∂p}{\∂x}\right)=0,---\left(7a\right)$

或

$\frac{2\mathrm{\πy}}{e}\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}-2\frac{\∂}{\∂y}\left(\frac{B(1+e){\mathrm{yk}}_y}{e^2\mathrm{\μ}}\frac{\∂p}{\∂y}\right)=0.---\left(7b\right)$

水力裂缝的宽度w可以如下计算

$w=\frac{2l}{E}(p-{\mathrm{\σ}}_c)H(p-{\mathrm{\σ}}_c),$

$H(p-{\mathrm{\σ}}_c)=\left\{\begin{array}{cc}0& p\≤{\mathrm{\σ}}_c\\ 1& p>{\mathrm{\σ}}_c\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，H是单位阶跃函数，

σ_c是垂直于裂缝的限制应力，

E是地层的平面应变模量，

l是裂缝段的特征长度刻度，由下式表达

l=d+(h-d)H(d-h7)(9)

其中h和d分别是裂缝段的高度和长度。

当考虑相邻裂缝之间的机械相互作用时，假设被增产的地层的尺寸远大于椭圆的高度或裂缝的平均长度，平行于x轴的裂缝和平行于y轴的裂缝的宽度可以分别表示为

$w_x=\frac{{2d}_x}{A_{\mathrm{Ex}}E}(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}),---\left(10a\right)$

$w_y=\frac{{2d}_y}{A_{\mathrm{Ey}}E}(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})---\left(10b\right)$

其中σ_cx和σ_cy分别是沿x方向和y方向的限制应力，A_Ex和A_Ey是分别用于限定沿x轴和y轴的有效平面应变模量的系数。

对于复杂裂缝网络，系数A_Ex和A_Ey可以由下面的表达式近似表示

$A_{\mathrm{Ex}}=\frac{d_x[{2l}_x+(d_y-{2l}_x)H(d_y-{2l}_x)]}{d_y{l}_x},---\left(11a\right)$

$A_{\mathrm{Ey}}=\frac{d_y[{2l}_y+(d_x-{2l}_y)H(d_x-{2l}_y)]}{d_x{l}_y}.---\left(11b\right)$

其中，l_x和l_y分别是沿x轴和y轴的特征长度刻度。用于沿x轴的有效平面应变模量的系数(A_Ex)的值，可以针对d_x、d_y和h的不同情况，按下列表1-2中任何一个简化。用于沿y轴的有效平面应变模量的系数(A_Ey)的值，可以针对d_x、d_y和h的不同情况，按下列表3-5中任何一个简化。

表1-针对d_x、d_y和h的不同情况的系数A_Ex

表2-针对d_x、d_y和h的不同情况的系数A_Ex

表3-针对d_x、d_y和h的不同情况的系数A_Ey

表4a-针对d_x、d_y和h的不同情况的系数A_Ey

表4b-针对d_x、d_y和h的不同情况的系数A_Ey

表5-针对d_x、d_y和h的不同情况的系数A_Ey

有裂缝的地层的孔隙度的增加量(Δφ)可以如下计算

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ\φ}=n_x{w}_x+n_y{w}_y-n_x{n}_y{w}_x{w}_y\\ \≈\frac{{2d}_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}E}(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})+\\ \frac{{2d}_y}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}E}(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})\end{array}---\left(12\right)$

沿x轴的裂缝渗透率(k_x)和沿y轴的裂缝渗透率(k_y)可以分别如下沿x轴和y轴确定

$\begin{array}{c}{k}_x=\frac{n_x{w}_x^3}{12}\\ =\frac{{2d}_x^3}{{3E}^3{d}_y{A}_{\mathrm{Ex}}^3}{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}^{3}H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}),\end{array}---\left(13a\right)$

以及

$\begin{array}{c}{k}_y=\frac{n_y{w}_y^3}{12}\\ =\frac{{2d}_y^3}{{3E}^3{d}_x{A}_{\mathrm{Ey}}^3}{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}^{3}H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}),\end{array}---\left(13b\right)$

对于p>σ_cy和与沿x轴的裂缝渗透率相比可忽略的原始地层渗透率，可以使用公式(13a)将控制方程(7a)对渗透率(k_x)从x_w积分到x，从而得到

$4{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}^3\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}=\frac{{3A}_{\mathrm{Ex}}^3{d}_y{E}^3\mathrm{\μ}}{(1+e){\mathrm{Bd}}_x^{3}x}\left(2\mathrm{\π}{\∫}_{x_w}^x\∂\mathrm{\φ}\mathrm{esds}-q\right).---\left(14a\right)$

类似地，对于p>σ_cx，可以使用公式(12b)将控制方程(7b)对渗透率(k_y)从x_w积分到y，从而得到

$4{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}^3\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dy}}=\frac{{3e}^2{A}_{\mathrm{Ey}}^3{d}_x{E}^3\mathrm{\μ}}{(1+e){\mathrm{Bd}}_y^{3}y}(2\mathrm{\π}{\∫}_{x_w}^y\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}\frac{s}{e}\mathrm{ds}-q).---\left(14b\right)$

在公式(13a)和(13b)中，x_w是井眼的半径，q是经由井眼注入地层的流体注入速率。注入速率q被作为常数处理，并且被量化为每单位时间每井眼单位长度的体积量。

公式(14a)可从x被积分到a，得到沿x轴的裂缝内的净压力的解，如下

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}={\left[\frac{3}{(1+e)B}{\∫}_x^a\frac{A_{\mathrm{Ex}}^3{d}_y{E}^3\mathrm{\μ}}{d_x^{3}r}(q-2\mathrm{\π}{\∫}_{x_w}^r\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}\mathrm{esds})\mathrm{dr}\right]}^{1/4}.---\left(15a\right)$

公式(14b)可以从y被积分到b，得到沿y轴的裂缝内的净压力的解，如下

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}={\left[\frac{{3e}^2}{(1+e)B}{\∫}_y^b\frac{A_{\mathrm{Ey}}^3{d}_x{E}^3\mathrm{\μ}}{d_y^{3}r}(q-2\mathrm{\π}{\∫}_{x_w}^r\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}\mathrm{ds})\mathrm{dr}\right]}^{1/4}.---\left(15b\right)\·$

对于一致的σc、E、μ、n和d，公式(15a)简化为

$\begin{array}{c}p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}=A_{\mathrm{px}}{[q\ln \left(\frac{a}{x}\right)-2\mathrm{\πe}{\∫}_x^a\left({\∫}_{x_w}^r\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}\mathrm{sds}\right)\frac{1}{r}\mathrm{dr}]}^{1/4}\\ A_{\mathrm{px}}={\left(\frac{{3A}_{\mathrm{Ex}}^3{d}_y{E}^3\mathrm{\μ}}{(1+e){\mathrm{Bd}}_x^3}\right)}^{1/4}.\end{array}---\left(16a\right)$

类似地，公式(15b)简化为

$\begin{array}{c}p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}=e^{1/2}{A}_{\mathrm{py}}{[q\ln \left(\frac{b}{y}\right)-\frac{2\mathrm{\π}}{e}{\∫}_y^b\left({\∫}_{x_w}^r\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}\mathrm{sds}\right)\frac{1}{r}\mathrm{dr}]}^{1/4}\\ A_{\mathrm{py}}={\left(\frac{{3A}_{\mathrm{Ey}}^3{d}_x{E}^3\mathrm{\μ}}{(1+e){\mathrm{Bd}}_y^3}\right)}^{1/4}.\end{array}---\left(16b\right)$

井眼压力p_w由下面的表达式给出

$p_w={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}+A_{\mathrm{px}}{[q\ln \left(\frac{a}{x_w}\right)-2\mathrm{\πe}{\∫}_{x_w}^r\left({\∫}_{x_w}^r\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}\mathrm{sds}\right)\frac{1}{r}\mathrm{dr}]}^{1/4},---\left(17a\right)$

$p_w={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}+e^{1/2}{A}_{\mathrm{py}}{[q\ln \left(\frac{b}{x_w}\right)-\frac{2\mathrm{\π}}{e}{\∫}_{x_w}^b\left({\∫}_{x_w}^r\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}\mathrm{sds}\right)\frac{1}{r}\mathrm{dr}]}^{1/4}.---\left(17b\right)\·$

通过要求针对井眼压力p_w的两个表达式(17a、17b)相等，获得限制应力(Δσ_c)之间的差，在此称为“应力差”Δσ_c，如下

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ\σ}}_c={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}\\ =A_{\mathrm{px}}{[q\ln \left(\frac{a}{x_w}\right)-2\mathrm{\πe}{\∫}_{x_w}^a\left({\∫}_{x_w}^r\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}\mathrm{sds}\right)\frac{1}{r}\mathrm{dr}]}^{1/4}\\ -e^{1/2}{A}_{\mathrm{py}}{[q\ln \left(\frac{\mathrm{ea}}{x_w}\right)-\frac{2\mathrm{\π}}{e}{\∫}_{x_w}^{\mathrm{ea}}\left({\∫}_{x_w}^r\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}\mathrm{sds}\right)\frac{1}{r}\mathrm{dr}]}^{1/4}.\end{array}---\left(18\right)$

假定泄露可忽略且流体不可压缩，沿x轴从xw传播到a和沿y轴从xw传播到b的椭圆边缘所需的时间tp如下确定

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_p}{\mathrm{\π}}=e{\∫}_{x_w}^a\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_x\mathrm{xdx}+\frac{1}{e}{\∫}_{x_w}^b\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_y\mathrm{ydy}\\ =e{\∫}_{x_w}^a\frac{{2d}_x(p_x-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}E}\mathrm{xdx}+e{\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}\frac{{2d}_y(p_x-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}E}\mathrm{xdx}\\ +\frac{1}{e}{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^b[\frac{{2d}_x(p_y-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}{d_y{A}_{\mathrm{Ey}}E}+\frac{{2d}_y(p_y-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}E}]\mathrm{ydy},\end{array}---\left(19a\right)$

或

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_p}{\mathrm{\πe}}={\∫}_{x_w}^a[{\mathrm{\Δ\φ}}_x\left(x\right)+{\mathrm{\Δ\φ}}_y(y=\mathrm{ex})]\mathrm{xdx}\\ =\frac{2}{E}[{\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}(\frac{d_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}}+\frac{d_y}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}})(p_x-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})\mathrm{xdx}+{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a\frac{d_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}}(p_x-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})\mathrm{xdx}]\\ +\frac{2}{E}{\∫}_{x_w}^a(\frac{d_x}{d_{y{A}_{\mathrm{Ex}}}}+\frac{d_y}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}})(p_y-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})\mathrm{xdx}\\ +\frac{2\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c}{E}({\∫}_{x_w}^a\frac{d_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}}\mathrm{xdx}-{\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}\frac{d_y}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}}\mathrm{xdx}),\end{array}---\left(19b\right)$

其中x_σ被定义为x_w≤x_σ≤a，其中

P≤σ_cx，如果x≤x_σ

P＞σ_cx，如果x＞x_σ(19c)

P=σ_cx，如果x=x_σ.

针对x=x_σ处p=σ_cx的情况，公式(15a)可以重写如下

${\mathrm{\Δ\σ}}_c={\left[\frac{3}{(1+e)B}{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a\frac{A_{\mathrm{Ex}}^3{d}_y{E}^3\mathrm{\μ}}{d_x^{3}r}(q-2\mathrm{\π}{\∫}_{x_w}^r\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}\mathrm{esds})\mathrm{dr}\right]}^{1/4}\·---\left(20\right)$

开放裂缝的表面积可以如下计算

$\begin{array}{c}S\≈\mathrm{\πab}\×2{\mathrm{hn}}_x+{\mathrm{\πx}}_{\mathrm{\σ}}b\×2{\mathrm{hn}}_y,\\ =2\mathrm{\πeah}(\frac{a}{d_y}+\frac{x_{\mathrm{\σ}}}{d_x})\·\end{array}---\left(21\right)$

对于准稳态，控制方程(7a)和(7b)简化为

$-2B(1+e)\frac{{\mathrm{xk}}_x}{\mathrm{\μ}}\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}=q,---\left(22a\right)$

$-\frac{2B(1+e)}{e^2}\frac{{\mathrm{yk}}_y}{\mathrm{\μ}}\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dy}}=q\·---\left(22b\right)$

此外，对于准稳态，压力方程(15a)和(15b)简化为

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}={\left[\frac{3}{(1+e)B}{\∫}_x^a\frac{A_{\mathrm{Ex}}^3{d}_y{E}^3\mathrm{q\μ}}{d_x^{3}r}\mathrm{dr}\right]}^{1/4},---\left(23a\right)$

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}={\left[\frac{{3e}^2}{(1+e)B}{\∫}_y^b\frac{A_{\mathrm{Ey}}^3{d}_x{E}^3\mathrm{q\μ}}{d_y^{3}r}\mathrm{dr}\right]}^{1/4}\·---\left(23b\right)$

对于准稳态和σ_c、E、μ、n和d的一致属性，方程(16a)和(16b)简化为

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}=A_{\mathrm{px}}{\left(q\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4},---\left(24a\right)$

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}=e^{1/2}{A}_{\mathrm{py}}{\left(q\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4}.---\left(24b\right)$

相应地，对于准稳态，井眼压力方程(17a)和(17b)简化为

$p_w={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}+A_{\mathrm{px}}{\left(q\ln \frac{a}{x_w}\right)}^{1/4},---\left(25a\right)$

$p_w={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}+e^{1/2}{A}_{\mathrm{py}}{\left(q\ln \frac{\mathrm{ea}}{x_w}\right)}^{1/4}.---\left(25b\right)$

通过要求针对井眼压力pw的两个表达式(25a、25b)相等，获得

$\begin{array}{c}[1-e^{1/2}{A}_{\mathrm{ea}}\frac{d_x}{d_y}{\left(\frac{A_{\mathrm{Ey}}}{A_{\mathrm{Ex}}}\right)}^{3/4}](p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})=\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c,\\ A_{\mathrm{ea}}={\left[\frac{\ln (\mathrm{ea}/x_w)}{\ln (a/x_w)}\right]}^{1/4}.\end{array}---\left(26\right)$

对于准稳态和σ_c、E、μ、n和d的一致属性，方程(19a)和(19b)分别简化为

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_p}{\mathrm{\π}}=\frac{{\mathrm{eA}}_{\mathrm{\φ}}{d}_y^{1/4}{A}_{\mathrm{Ex}}^{3/4}}{d_x^{3/4}}[(\frac{d_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}}+\frac{d_y}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}}){\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+\frac{d_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}}{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ +\frac{A_{\mathrm{\φ}}{d}_x^{1/4}{A}_{\mathrm{Ey}}^{3/4}}{e^{1/2}{d}_y^{3/4}}(\frac{d_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}}+\frac{d_y}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}}){\∫}_{x_w}^b{\left(\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4}\mathrm{ydy}\\ +\frac{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c}{E}[\frac{d_x}{{\mathrm{ed}}_y{A}_{\mathrm{Ex}}}(b^2-x_w^2)-\frac{{\mathrm{ed}}_y}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}}(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)],\\ A_{\mathrm{\φ}}={\left[\frac{48\mathrm{q\μ}}{(1+e)\mathrm{BE}}\right]}^{1/4},\end{array}---\left(27a\right)$

和

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_p}{\mathrm{\πe}}=A_{\mathrm{\φ}}{\left(\frac{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}^3}{d_x^3}\right)}^{1/4}[(\frac{d_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}}+\frac{d_y}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}}{\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+\frac{d_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}}{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ +e^{1/2}{A}_{\mathrm{\φ}}{\left(\frac{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}^3}{d_y^3}\right)}^{1/4}(\frac{d_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}}+\frac{d_y}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}}){\∫}_{x_w}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}\\ +\frac{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c}{E}[\frac{d_x}{d_y{A}_{\mathrm{Ex}}}(a^2-x_w^2)-\frac{d_y}{d_x{A}_{\mathrm{Ey}}}(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)],\\ A_{\mathrm{\φ}}={\left[\frac{48\mathrm{q\μ}}{(1+e)\mathrm{BE}}\right]}^{1/4}.\end{array}---\left(27b\right)$

相应地，可以求解方程(20)以导出

$x_{\mathrm{\σ}}=\mathrm{aexp}[-\frac{1}{q}{\left(\frac{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c}{A_{\mathrm{px}}}\right)}^4].---\left(28\right)$

对于给定的x_σ，可以很容易地数值计算公式(27)的积分。

1.使用现场数据对模型参数的约束

一般而言，给定其它方程，可以求解方程(25a)、(26)和(27)以获得任何三个模型参数。可以使用来自压裂处理和关联微震事件的现场数据来约束上面描述的模型的某些几何和地质力学参数。在一个实施例中，给定井眼半径xw和井眼净压力pw-σc、流体注入速度q和持续时间tp、基质平面应变模量E、流体粘度μ和裂缝网络尺寸h、a、e，几何属性(dx和dy)以及应力差(Δσ_c)受到约束，如下所述。要注意的是，由于方程(27)中的xσ是使用方程(28)作为Δσc的函数计算的，求解过程必然是迭代属性的。

给定这些值，

是根据方程(25a)通过下面的方式确定的

$\begin{array}{c}\frac{d_x^3}{A_{\mathrm{Ex}}^3{d}_y}=d_0^2\\ d_0={\left[\frac{{3E}^3\mathrm{q\μ}\ln (a/x_w)}{{(p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}^4(1+e)B}\right]}^{1/2,}\end{array}---\left(29\right)$

如果(2d_y≥d_x≥d_y)，并且(d_x≤h)，方程(29)得到

$d_y=\sqrt{8d_0}.---\left(30\right)$

方程(26)和(27)分别变成

$[1-A_{\mathrm{ea}}{\left(\frac{{\mathrm{ed}}_y}{d_x}\right)}^{1/2}](p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})=\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c,---\left(31\right)$

和

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{\mathrm{\π}}=\frac{{\mathrm{eA}}_{\mathrm{\φ}}}{2^{1/4}{d}_y^{1/2}}[2{\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ +\frac{2^{3/4}{A}_{\mathrm{\φ}}}{e^{1/2}{d}_x^{1/2}}{\∫}_{x_w}^b{\left(\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4}\mathrm{ydy}+\frac{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c}{2E}[\frac{b^2-x_w^2}{e}-e(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)].\end{array}---\left(32\right)$

使用方程(30)，可以求解方程(31)和(32)，获得

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c=\{\frac{{\mathrm{qt}}_a}{\mathrm{\π}}-\frac{{\mathrm{eA}}_{\mathrm{\φ}}}{2^{1/4}{d}_y^{1/2}}[2{\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ -\frac{2^{3/4}{A}_{\mathrm{\φ}}}{e^{1/2}{d}_x^{1/2}}{\∫}_{x_w}^b{\left(\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4}\mathrm{ydy}\}\frac{2\mathrm{eE}}{b^2-x_w^2-e^2(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)},\end{array}---\left(33\right)$

和

$d_x=\sqrt{8}{d}_0{\mathrm{eA}}_{\mathrm{ea}}^2{\left(\frac{p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}}{p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c}\right)}^2.---\left(34\right)$

如果(h≥d_x＞2d_y)，方程(26)和(27)分别变成

$[1-\frac{e^{1/2}}{2^{3/4}}{A}_{\mathrm{ea}}{\left(\frac{d_x}{d_y}\right)}^{1/4}](p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})=\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c,---\left(35\right)$

和

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{\mathrm{\π}}=\frac{2^{3/4}{\mathrm{eA}}_{\mathrm{\φ}}}{d_y^{1/2}}[(\frac{1}{2}+\frac{d_y}{d_x}){\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+\frac{1}{2}{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ +\frac{A_{\mathrm{\φ}}{d}_x^{1/4}}{e^{1/2}{d}_y^{3/4}}(\frac{1}{2}+\frac{d_y}{d_x}){\∫}_{x_w}^b{\left(\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4}\mathrm{ydy}\\ +\frac{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c}{E}[\frac{1}{2e}(b^2-x_w^2)-\frac{{\mathrm{ed}}_y}{d_x}(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)].\end{array}---\left(36\right)$

与解(30)结合，并且用方程(35)代入Δσ_c，可以求解方程(36)以得到d_x，然后可以使用方程(35)计算Δσ_c。

如果(d_x＞h≥d_y)，方程(29)导出解(30)。此外，如果(d_x≤2d_y)，方程(26)和(27)导出解(33)和(34)。另一方面，如果(d_x＞2d_y)，方程(26)和(27)导出解(35)和(36)。

如果(d_x≥d_y)，并且(h＜d_y≤2h)，方程(29)导出解(30)。此外，如果(d_x≤2h)，方程(26)和(27)导出解(33)和(34)。另一方面，如果(d_x＞2h)，方程(26)和(27)分别变成

$[1-A_{\mathrm{ea}}{\left(\frac{{8e}^2{d}_0^2{d}_x}{h^3}\right)}^4](p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})=\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c,---\left(37\right)$

和

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{2\mathrm{\πe}}=\frac{A_{\mathrm{\φ}}}{{2d}_0^{1/2}}[(1+\frac{2h}{d_x}){\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ -\frac{h(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)(p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}{{\mathrm{Ed}}_x}[1-{\left(\frac{{8e}^2{d}_0^2{d}_x}{h^3}\right)}^4].\end{array}---\left(38\right)$

可以求解方程(38)以得到d_x，然后可以通过方程(37)计算Δσ_c。

如果(d_x≥d_y＞2h)，方程(29)导出

$d_y=\frac{h^3}{d_0^2}.---\left(39\right)$

方程(26)和(27)分别变成

$[1-e^{1/2}{A}_{\mathrm{ea}}{\left(\frac{d_0^2{d}_x}{h^3}\right)}^{7/4}](p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})=\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c,---\left(40\right)$

和

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{2\mathrm{\πe}}=\frac{A_{\mathrm{\φ}}{d}_0^{3/2}}{h^2}[(1+\frac{h^3}{d_0^2{d}_x}){\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ -\frac{h(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)(p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}{{\mathrm{Ed}}_x}[1-e^{1/2}{\left(\frac{d_0^2{d}_x}{h^3}\right)}^{7/4}].\end{array}---\left(41\right)$

可以求解方程(41)以得到d_x，然后可以通过方程(40)计算Δσ_c。

如果(d_x＜d_y≤2d_x)，并且(d_x≤h)，方程(29)、(26)和(27)导出解(30)、(33)和(34)。

如果(d_y＞2d_x)，并且(d_x≤h)，方程(29)、(26)和(27)分别变成

$d_x^3=d_0^2{d}_y,---\left(42\right)$

$[1-2^{3/4}{A}_{\mathrm{ea}}{\left(\frac{{\mathrm{ed}}_0}{d_x}\right)}^{1/2}](p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})=\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_c,---\left(43\right)$ 和

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{2\mathrm{\πe}}=\frac{A_{\mathrm{\φ}}{d}_0^{3/2}}{d_x^2}[(1+\frac{d_x^2}{{2d}_0^2}){\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ -\frac{(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2){\mathrm{\Δ\σ}}_c}{2E}.\end{array}---\left(44\right)$

可以求解方程(42)、(43)和(44)以得到d_x、d_y和Δσ_c。

如果(h＜d_x＜d_y≤2h)，方程(29)、(26)和(27)导出解(30)、(33)和(34)。

如果（h＜d_x≤2h＜d_y)，方程(29)导出解(39)。方程(26)和(27)分别变成

$[1-2^{3/4}{A}_{\mathrm{ea}}{\left(\frac{d_0}{d_x}\right)}^{1/2}](p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})={\mathrm{\Δ\σ}}_c---\left(45\right)$ 和

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{2\mathrm{\πe}}=\frac{A_{\mathrm{\φ}}{d}_0^{3/2}}{h^2}[(1+\frac{h^2}{{2d}_0^2}){\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ -\frac{2(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2){\mathrm{\Δ\σ}}_c}{E}\end{array}---\left(46\right)$

可以求解方程(45)和(46)，得到

${\mathrm{\Δ\σ}}_c=\frac{E}{2(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)}\left\{\frac{A_{\mathrm{\φ}}{d}_0^{3/2}}{h^2}\right[(1+\frac{h^2}{{2d}_0^2}){\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]-\frac{{\mathrm{qt}}_a}{2\mathrm{\πe}}\}---\left(47\right)$ 和

$d_x=2^{3/2}{\mathrm{ed}}_0{\left(\frac{p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}}{p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}-{\mathrm{\Δ\σ}}_c}\right)}^2---\left(48\right)$

如果(2h＜d_x＜d_y)，方程(29)导出解(39)，而方程(26)和(27)分别变成方程(40)和(41)。

在很多情况下，例如地层是页岩的情况下，裂缝网络可以包括多个平行等间距平面裂缝，其间距d通常小于裂缝高度h。在其它情况下，情况相反。这两种情况都可以得到显著的简化。下面给出一个例子。

2.针对间距dx和dy小于裂缝高度h的平行等间距平面裂缝的模型的 简化

假设裂缝间距d通常小于裂缝高度h，导出

$\begin{array}{c}{l}_x=d_x\\ l_y=d_y.\end{array}---\left(49\right)$

结果，方程(11a)和(11b)可以简化为

$A_{\mathrm{Ex}}=\frac{1}{d_y}[{2d}_x+(d_y-{2d}_x)H(d_y-{2d}_x)],---\left(50a\right)$

$A_{\mathrm{Ey}}=\frac{1}{d_x}[{2d}_y+(d_x-{2d}_y)H(d_x-{2d}_y)].---\left(50b\right)$

可以使用方程(50a)和(50b)来简化方程(10a)和(10b)，如下

$w_x=\frac{{2d}_x{d}_y(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}{[{2d}_x+(d_x-{2d}_x)H(d_y-{2d}_x)]E},---\left(51a\right)$

$w_y=\frac{{2d}_y{d}_x(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}{[{2d}_y+(d_x-{2d}_y)H(d_x-{2d}_y)]E}.---\left(51b\right)$

还可以使用方程(50a)和(50b)来简化方程(12)，如下

$\mathrm{\Δ\φ}=\frac{{2d}_x(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}{[{2d}_x+(d_y-{2d}_x)H(d_y-{2d}_x)]E}+\frac{{2d}_y(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}{[{2d}_y+(d_x-{2d}_y)H(d_x-{2d}_x)]E}.---\left(52\right)$

可以使用方程(50a)和(50b)来简化方程(13a)和(13b)，如下

$k_x=k_{x0}+\frac{{2d}_x^3{d}_y^2}{3{[{2d}_x+(d_y-{2d}_x)H(d_y-{2d}_x)]}^3{E}^3}{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}^{3}H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}),---\left(53a\right)$

$k_y=k_{y0}+\frac{{2d}_y^3{d}_x^2}{3{[{2d}_y+(d_x-{2d}_y)H(d_x-{2d}_y)]}^3{E}^3}{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}^{3}H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}).---\left(53b\right)$

在下面的情况下，这些方程可以简化。

情形I(2d_x≥d_y≥d_x/2)

在(2d_x≥d_y≥d_x/2)的情况下，方程(5Oa)和(5Ob)变成

$A_{\mathrm{Ex}}=\frac{{2d}_x}{d_y},---\left(54a\right)$

$A_{\mathrm{Ey}}=\frac{{2d}_y}{d_x}.---\left(54b\right)$

此外，方程(51a)和(51b)变成

$w_x=\frac{d_y(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}{E},---\left(55a\right)$

$w_y=\frac{d_x(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}{E}.---\left(55b\right)$

此外，方程(52)变成

$\mathrm{\Δ\φ}=\frac{1}{E}(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})+\frac{1}{E}(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}).---\left(56\right)$

此外，方程(53a)和(53b)变成

$k_x=k_{x0}+\frac{d_y^2}{{12E}^3}{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}^{3}H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}),---\left(57a\right)$

$k_y=k_{y0}+\frac{d_x^2}{{12E}^3}{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}^{3}H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}).---\left(57b\right)$

此外，方程(24a)和(24b)变成

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}=\frac{A_p}{d_y^{1/2}}{\left(q\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4},---\left(58a\right)$

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}=\frac{e^{1/2}{A}_p}{d_x^{1/2}}{\left(q\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4},---\left(58b\right)$

其中

$A_p={\left[\frac{{24E}^3\mathrm{\μ}}{(1+e)B}\right]}^{1/4}.---\left(59\right)$

此外，方程(25a)和(25b)变成

$p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}=\frac{A_p}{d_y^{1/2}}{\left(q\ln \frac{a}{x_w}\right)}^{1/4},---\left(60a\right)$

$p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}=\frac{e^{1/2}{A}_p}{d_x^{1/2}}{\left(q\ln \frac{\mathrm{ea}}{x_w}\right)}^{1/4},---\left(60b\right)$

并且此外，方程(26)变成

$[1-{\left(\frac{{\mathrm{ed}}_y}{d_x}\right)}^{1/2}{A}_{\mathrm{ea}}](p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})={\mathrm{\Δ\σ}}_c.---\left(61\right)$

可以求解方程(60a)以得到d_y，如下

$d_y=\frac{A_p^2}{{(p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}^2}{\left(q\ln \frac{a}{x_w}\right)}^{1/2}.---\left(62\right)$

在(2d_x≥d_x≥d_x/2)的情况下，方程(27)和(28)变成

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{\mathrm{\π}}=\frac{{\mathrm{eA}}_{\mathrm{\φ}}}{2^{1/4}{d}_y^{1/2}}[2{\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ +\frac{2^{3/4}{A}_{\mathrm{\φ}}}{e^{1/2}{d}_x^{1/2}}{\∫}_{x_w}^b{\left(\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4}\mathrm{ydy}+\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_c}{2E}[\frac{b^2-x_w^2}{e}-e(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)],\end{array}---\left(63a\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{\mathrm{\πe}}=\frac{2^{3/4}{A}_{\mathrm{\φ}}}{d_y^{1/2}}[{\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+\frac{1}{2}{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ +\frac{2^{3/4}{A}_{\mathrm{\φ}}{e}^{1/2}}{d_x^{1/2}}{\∫}_{x_w}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_c(a^2-x_{\mathrm{\σ}}^2)}{2E},\end{array}---\left(63b\right)$

并且

$x_{\mathrm{\σ}}=\mathrm{aexp}[-\frac{d_y^2}{q}{\left(\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_c}{A_p}\right)}^4].---\left(64\right)$

可以迭代求解方程(61)、(63)和(64)，以得到d_x和Δσ_c。

情形II(2d_x＜d_y)

在(2d_x＜d_y)的情况下，方程(5Oa)和(5Ob)变局

AE_x=1，（65a)

$A_{\mathrm{Ey}}=\frac{{2d}_y}{d_x}.---\left(65b\right)$

此外，方程(51a)和(51b)变成

$w_x=\frac{{2d}_x(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}{E}.---\left(66a\right)$

$w_y=\frac{d_x(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}{E}.---\left(66b\right)$

此外，方程(52)变成

$\mathrm{\Δ\φ}=\frac{{2d}_x}{d_{y}E}(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})+\frac{1}{E}(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}).---\left(67\right)$

此外，方程(53a)和(53b)变成

$k_x=k_{x0}+\frac{{2d}_x^3}{{3d}_y{E}^3}(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}{)}^{3}H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}),---\left(68a\right)$

$k_y=k_{y0}+\frac{d_x^2}{{12E}^3}{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}^{3}H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}).---\left(68b\right)$

此外，方程(24a)和(24b)变成

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}{=\left(\frac{d_y}{{8d}_x^3}\right)}^{1/4}{A}_p{\left(q\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4},---\left(69a\right)$

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}=\frac{e^{1/2}{A}_p}{d_x^{1/2}}{\left(q\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4},---\left(69b\right)$

此外，方程(25a)和(25b)变成

$p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}={\left(\frac{d_y}{{8d}_x^3}\right)}^{1/4}{A}_p{\left(q\ln \frac{a}{x_w}\right)}^{1/4},---\left(70a\right)$

$p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}=\frac{e^{1/2}{A}_p}{d_x^{1/2}}{\left(q\ln \frac{\mathrm{ea}}{x_w}\right)}^{1/4},---\left(70b\right)$

并且此外，方程(26)变成

$[1-{\left(\frac{{8e}^2{d}_x}{d_y}\right)}^{1/4}{A}_{\mathrm{ea}}](p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})={\mathrm{\Δ\σ}}_c.---\left(71\right)$

在(2d_x＜d_y)的情况下，方程(27)和(28)变成

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{\mathrm{\π}}=\frac{{\mathrm{eA}}_{\mathrm{\φ}}{d}_y^{1/4}}{{2d}_x^{3/4}}[(1+\frac{{2d}_x}{d_y}){\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+\frac{{2d}_x}{d_y}{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ +\frac{A_{\mathrm{\φ}}}{2^{1/4}{e}^{1/2}{d}_x^{1/2}}(1+\frac{{2d}_x}{d_y}){\∫}_{x_w}^b{\left(\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4}\mathrm{ydy}\\ +\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_c}{2E}[\frac{{2d}_x}{{\mathrm{ed}}_x}(b^2-x_w^2)-e(x^2-x_w^2)],\end{array}---\left(72a\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{\mathrm{\πe}}=A_{\mathrm{\φ}}{\left(\frac{d_y}{d_x^3}\right)}^{1/4}[(\frac{d_x}{d_y}+\frac{1}{2}){\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+\frac{d_x}{d_y}{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ +e^{1/2}{A}_{\mathrm{\φ}}\frac{2^{3/4}}{d_x^{1/2}}(\frac{d_x}{d_y}+\frac{1}{2}){\∫}_{x_w}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}\\ +\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_c}{E}[\frac{d_x}{d_y}(a^2-x_w^2)-\frac{1}{2}(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)],\end{array}---\left(72b\right)$

并且

$x_{\mathrm{\σ}}=\mathrm{aexp}[-\frac{{8d}_x^3}{{\mathrm{qd}}_y}{\left(\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_c}{A_p}\right)}^4].---\left(73\right)$

可以组合并迭代求解方程(70)、(71)、(72)和(73)，以得到d_x、d_y和Δσ_c。情形III(d_y＜d_x/2)

在(d_y＜d_x/2)的情况下，方程(50a)和(50b)变成

$A_{\mathrm{Ex}}=\frac{{2d}_x}{d_y},---\left(74a\right)$

A_Ey=1.(74b)

此外，方程(51a)和(51b)变成

$w_x=\frac{d_y(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}{E},---\left(75a\right)$

$w_y=\frac{{2d}_y(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}{E}.---\left(75b\right)$

此外，方程(52)变成

$\mathrm{\Δ\φ}=\frac{1}{E}(P-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})+\frac{{2d}_y}{d_{x}E}(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}).---\left(76\right)$

此外，方程(53a)和(53b)变成

$k_x=k_{x0}+\frac{d_y^2}{{12E}^3}{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}})}^{3}H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}),---\left(77a\right)$

$k_y=k_{y0}+\frac{{2d}_y^3}{{3d}_x{E}^3}{(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}})}^{3}H(p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}).---\left(77b\right)$

此外，方程(24a)和(24b)变成

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}=\frac{A_p}{d_y^{1/2}}{\left(q\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4},---\left(78a\right)$

$p-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}=e^{1/2}{A}_p{\left(\frac{d_x}{{8d}_y^3}\right)}^{1/4}{\left(q\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4},---\left(78b\right)$

此外，方程(25a)和(25b)变成

$p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}=\frac{A_p}{d_y^{1/2}}{\left(q\ln \frac{a}{x_w}\right)}^{1/4},---\left(79a\right)$

$p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cx}}=e^{1/2}{A}_p{\left(\frac{d_x}{{8d}_y^3}\right)}^{1/4}{\left(q\ln \frac{\mathrm{ea}}{x_w}\right)}^{1/4},---\left(79b\right)$

并且此外，方程(26)变成

$\left[1-{\left(\frac{e^2{d}_x}{{8d}_y}\right)}^{1/4}{A}_{\mathrm{ea}}\right](p_w-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cy}}){\mathrm{\Δ\σ}}_c.---\left(80\right)$

在(d_y＜d_x/2)的情况下，方程(27)和(28)变成

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{\mathrm{\π}}=\frac{{\mathrm{eA}}_{\mathrm{\φ}}}{2^{1/4}{d}_y^{1/2}}[(1+\frac{{2d}_y}{d_x}){\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ +\frac{A_{\mathrm{\φ}}{d}_x^{1/4}}{{2e}^{1/2}{d}_y^{3/4}}(1+\frac{{2d}_y}{d_x}){\∫}_{x_w}^b{\left(\ln \frac{b}{y}\right)}^{1/4}\mathrm{ydy}\\ +\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_c}{2E}[\frac{1}{e}(b^2-x_w^2)-\frac{{2\mathrm{ed}}_y}{d_x}(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)],\end{array}---\left(81a\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{qt}}_a}{\mathrm{\πe}}=A_{\mathrm{\φ}}\frac{2^{3/4}}{d_y^{1/2}}[(\frac{1}{2}+\frac{d_y}{d_x}){{\∫}_{x_w}^{x_{\mathrm{\σ}}}}^{}{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}+\frac{1}{2}{\∫}_{x_{\mathrm{\σ}}}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}]\\ +e^{1/2}{A}_{\mathrm{\φ}}{\left(\frac{d_x}{d_y^3}\right)}^{1/4}(\frac{1}{2}+\frac{d_y}{d_x}){\∫}_{x_w}^a{\left(\ln \frac{a}{x}\right)}^{1/4}\mathrm{xdx}\\ +\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_c}{E}[\frac{1}{2}(a^2-x_w^2)-\frac{d_y}{d_x}(x_{\mathrm{\σ}}^2-x_w^2)],\end{array}---\left(81b\right)$

并且

$x_{\mathrm{\σ}}=\mathrm{aexp}[-\frac{d_y^2}{q}{\left(\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_c}{A_p}\right)}^4].---\left(82\right)$

可以组合并迭代求解方程(79)、(80)、(81)和(72)，以得到d_x、d_y和Δσ_c。

图3图解了根据本公开用于对地下地层(这里称为“裂缝现场”)进行水力压裂的示例性操作设置。裂缝现场400可以位于陆地上或水环境中，并且可以包括延伸进入地下地层的处理井401以及延伸进入地下地层并且从处理井401偏离的监控井403。监控井403包括在其中彼此间隔开的地震检波器阵列405(例如三元件地震检波器)，如图所示。

在压裂作业中，将压裂流体从地表411泵送到处理井401，使得油气储层407中的周围地层破裂，并形成水力裂缝网络408。这样的压裂产生微震事件410，微震事件410发射压缩波(也称为“初波”或“P波”)和剪切波(也称为“次波”或“S波”)，压缩波和剪切波通过大地传播，并被监控井403的地震检波器接收器阵列405记录。

可以通过测量P波和S波的到达时间之差来计算到微震事件410的距离。而且，可以使用检查P波的粒子运动的矢端图分析来确定指向事件的方位角。通过使用阵列405的接收器之间的P波和S波到达延迟来约束事件410的深度。这些微震事件410的距离、方位角和深度值可以用于导出由压裂流体随时间而导致的破裂的几何边界或轮廓，例如由高度h、椭圆纵横比e和长轴a限定的椭圆边界，如图3所示。

现场401还包括用于将高压压裂流体供应到处理井401的压裂流体供应和泵送装置(未示出)。压裂流体可以在其中预先混合了支撑剂(以及可能的其它特殊组分)的情况下存储。可替换地，压裂流体可以在没有预先混合支撑剂或其它特殊组分的情况下存储，而支撑剂(和/或其它特殊组分)通过如美国专利No.7,516,793(通过引用将其全文合并于此)中所描述的过程控制系统，以受控的方式，混合到压裂流体中。处理井401还包括：示意性地示出的流率传感器S，用于测量供应给处理井的压裂流体的泵送速度；和井下压力传感器，用于测量处理井401中压裂流体的井下压力。

数据处理系统409链接到监控井403中的阵列405的接收器和处理井401的传感器S(例如流率传感器和井下压力传感器)。数据处理系统409可以与地面单元134合并，和/或与地面单元134一起工作。数据处理系统409执行图5中示出并在此描述的处理。如本领域技术人员将理解，数据处理系统409包括数据处理功能(例如，一个或多个微处理器、关联存储器、以及其它硬件和/或软件)，以实现这里描述的公开内容。

数据处理系统409可以由工作站或位于现场401的其它合适的数据处理系统来实现。可替换地，数据处理系统409可以由分布式数据处理系统实现，其中数据通过通信链接(典型地为卫星链接)(优选实时地)传送到远程位置，以进行这里描述的数据分析。数据分析可以在工作站或其它合适的数据处理系统(例如计算机簇或计算网格)执行。此外，本公开的数据处理功能可以存储在程序存储设备(例如一个或多个光盘或其它可手持非易失性存储设备、或可通过网络访问的服务器)上，并且按照需要加载到合适的数据处理系统上，以如这里所描述的在其上执行。

在步骤501，数据处理系统409存储(或从合适的测量装置输入)后续处理中使用的参数，包括正被压裂的油气储层407的平面应变模量E(杨氏模量)、被提供到处理井401的压裂流体的流体粘度（μ）、以及处理井的半径(xw)。

在步骤503-511，数据处理系统409被控制以操作相继的时间周期(每个被表示为Δt)，在该时间周期中压裂流体被提供到处理井401。

在步骤505，数据处理系统409处理由接收器阵列405在时间周期Δt中捕获的声信号，以推导出在时间周期Δt中通过压裂油气储层407而产生的微震事件的距离、方位角和深度。处理微震事件的距离、方位角和深度，以导出表征由压裂流体体随时间推移导致的破裂的轮廓的椭圆边界。在优选实施例中，椭圆边界由高度h、椭圆纵横比e和长轴a限定，如图3所示。

在步骤507，数据处理系统409获得在时间周期Δt中供应到处理井的压裂流体的流率q，流率q是由椭圆压裂地层的高度所除的泵送速率，并且导出时间周期Δt结束时压裂流体的净井下压力pw-σc。井眼净压力pw-σc可以根据下述公式，从地面处的压裂流体注入压力获得：

P_w-σ_c=P_surface-BHTP-P_pipe-P_perf+P_hydrostatic(b3)

其中p_surface是地面处的压裂流体注入压力；BHTP是井底处理压力；p_pipe是压裂流体被注入到处理井中时处理井的管子或套管的摩擦压力；这一摩擦压力依赖于压裂流体的类型和粘度、管的尺寸和注入速度；p_perf是通过用来将压裂流体注入到储层中的处理井的穿孔的摩擦压力；p_hydrostatic是因处理井中压裂流体柱的密度而导致的流体静力学压力。

井眼净压力p_w-σ_c也可以从处理开始时的BHTP和关闭期间开始时的注入压力p_surface导出。处理结束时的井眼净压力p_w-σ_c可以通过将这些值插入方程(83)，同时忽略关闭期间为零的摩擦压力p_pipe和p_perf，来计算。

在步骤509，数据处理系统409利用501中存储的参数(E、μ、xw)、限定步骤505中产生的破裂的椭圆边界的参数（h、e和a）、以及在步骤507中产生的流率q，泵送周期tp和净井下压力p_w-σ_c，结合这里描述的用于表征水力裂缝网络的模型，来求解相关几何属性，该相关几何属性表征时间周期Δt结束时的水力裂缝网络，例如参数dx和dy以及应力对比Δσc，如前所述。

在步骤511，结合这里描述的模型，使用在步骤509产生的表征水力裂缝网络的几何和地质力学属性(例如dx、dy、Δσc)，来产生作为时间和空间的函数来量化和模拟裂缝网络的传播的数据，例如来自方程(10a)和(10b)的水力裂缝的宽度w和从压裂地层的前端到末端所需的时间（如所诱发的微震事件的分布所指示），以达到来自公式(19)的某个距离。也可以结合该模型使用步骤509中产生的几何和地质力学属性，来导出表征在时间周期tp的破裂油气储层的数据，例如处理井中的压裂流体的净压力(来自方程(17a)和(17b)，或(25a)和(25b))、裂缝内的净压力(来自方程(16a)和(16b)，或(24a)和(24b))、裂缝孔隙度的改变(来自方程(12)的Δφ)、以及裂缝渗透率的改变(来自方程(13a)和(13b)的kx和ky)。

在可选的步骤513，使用步骤511中产生的数据进行压裂过程的实时显现和/或压裂计划的优化。可以使用下面描述的前向建模过程来检查各种处理场景。一般而言，一旦确定了一些参数，例如裂缝间距和应力差，就可以调整其它参数来优化处理。例如，可以调整压裂流体的注入速度和粘度或其它属性，以适应期望的结果。图6.1-6.4图解了处理井中压裂流体沿x轴的净压力改变、沿x轴的裂缝宽度w、沿x轴的孔隙度和渗透率的改变的实时显示的示例性显示屏。

在步骤515，确定是否已经完成针对最后的压裂时间周期的处理。如果没有完成，操作返回步骤503以便为下一个压裂时间周期重复步骤505-513的操作。如果完成了，则操作继续到步骤517。

在步骤517，使用这里描述的模型来产生量化和模拟在关闭期间作为时间和空间的函数的裂缝网络传播的数据，例如水力裂缝的宽度w和从压裂地层的前端和末端的距离随时间的变化。还可以使用该模型来导出表征关闭期间破裂的油气储层的数据，例如处理井中的压裂流体的净压力(来自方程(17a)和(17b)，或(25a)和(25b))、裂缝内的净压力(来自方程(16a)和(16b)，或(24a)和(24b))、裂缝孔隙度的改变(来自方程(12)的Δφ)、以及裂缝渗透率的改变(来自方程(13a)和(13b)的kx和ky)。

最后，在可选的步骤519，使用在步骤511中产生的数据和/或在步骤517中产生的数据来进行压裂后和/或优化压裂计划后，压裂过程和/或关闭期间的实时显现。图7.1-7.4分别图解了在压裂期间以及随后在关闭期间(从4小时的时刻开始)处理井中压裂流体的净压力作为时间的函数、压裂结束时和关闭期间裂缝内的净压裂作为距离的函数、压裂过程中及随后关闭期间压裂地层的前端和未端的距离随时间的变化、压裂结束时和关闭期间裂缝宽度作为距离的函数的实时显示的示例性显示屏。要注意的是，图7.3中的圆圈表示压裂过程中和随后的关闭期间，作为时间和到处理井的距离的函数的微震事件的位置。

可以使用这里描述的水力裂缝模型作为前向计算的部分，来在水力压裂处理的设计和计划阶段提供帮助。更特别地，对于在时间t=ti，给定长轴a=ai，可以根据下述程序进行计算：

1.如果t=t₀(i=0)，假设

，否则

2.从t=t_i-1，知道

，使用方程(18)来确定e

3.知道和e，使用方程(15a)和(15b)或方程(16a)和(16b)计算p-σ_cx和p-σ_cy

4.知道p-σ_cx和p-σ_cy，使用方程(12)计算Δφ

5.知道e和Δφ，使用方程(19)、或(27)和(28)计算t=t_i

6.知道At=ti-ti-l和Δφ，按Aφ/Δt计算

7.重复步骤2至6，直到整个计算过程收敛

对于i=1到N，执行上述过程，模拟所诱发的裂缝网络的传播直到前端位置a=a_N。同时获得对于x<a_N且t<t_N，净压力的分布、裂缝宽度、孔隙度和渗透率作为空间和时间的函数。

有利地，水力裂缝模型和基于该模型的压裂过程使用现场数据约束地下地层的水力裂缝的几何和地质力学属性，以减小裂缝模型的复杂性和提供地下地层的水力裂缝的表征所需的处理资源和时间。这样的表征可以实时产生，以手动或自动操作向地下地层提供压裂流体的地表和/或井下物理构件，以便例如通过针对现场(或针对其它类似的压裂现场)优化压裂计划，来按期望调整水力压裂过程。

开采作业

另一方面，这些技术采用裂缝模型来确定开采估计。例如可以通过应用HFN建模技术(例如具有椭圆结构的线网HFN模型的HFN建模技术)进行开采建模来做出这些估计。这些技术可以用于具有多重或复杂裂缝的情况，例如页岩或致密砂气储层。这些模型可以使用例如任意沿水力裂缝随时间变化的流体压力。相应的分析方案可以在时空域中表达。这样的方案可以在用于水力压裂增产作业设计、优化或作业后分析的高速应用中使用。

这些技术采用这样的分析方案，其提供使用椭圆形式的HFN来预测从储层如页岩储层的开采的手段。这样的预测可以涉及对用于预测或分析从嵌入了水力裂缝的油气储层的开采的分析模型的使用。该预测模型本质上可以是经验的或分析的。

经验预测的例子在美国专利No.7788074、6101447和6101447中提供，并且在Arps，“Analysis of Decline Curves”，SPE Journal Paper，Chapt,2,pp128-247(1944)中公开。经验预测可以涉及使用具有在储层寿命期间中分别用于不同流动体系的可调参数的各种类型的曲线对井开采的估计。

分析预测的例子在Van Everdingen等人，“The Application of the LaplaceTransformation to Flow Problems in Reservoirs”，Petroleum Transactions,AIME,Dec.1949，pp.305-324;van Kruysdijk等人,"Semianalytical Modeling ofPressure Transients in Fractured Reservoirs"SPE18169,SPE Tech.Conf.andExhibition,2-5Oct.1988,Houston,TX;Ozkan等人，"New Solutions forWell-Test-Analysis Problems:Part1-Analytical Considerations",SPE18615,SPE Formation Evaluation,Vol.6,No.3,SPE,Sept.1991;和Kikani,"Pressure-Transient Analysis of Arbitrarily Shaped Reservoirs With theBoundary-Element Method",SPE18159SPE Formation Evaluation March1992。另外的分析方案后来被de Swaan等人应用,"Analytic Solutions forDetermining Naturally Fractured Reservoir Properties by Well Testing,"SPEJrnl.,pp.117-22,Jun.1976;van Kruysdij等人在1989年英国剑桥召开的第二次关于油采收的数学的欧洲会议(2nd European Conf.on the Mathematics ofOil Recovery,Cambridge,UK,1989)上提出的"A Boundary Element Solutionof the Transient Pressure Response of Multiple Fractured Horizontal Wells";Larsen,"Pressure-Transient Behavior of Horizontal Wells WithFinite-Conductivity Vertical Fractures",SPE22076,Soc.of Petroleum Engr.,Intl.Arctic Tech.Conf.,29-31May1991,Anchorage,AL;Kuchuk等人，"Pressure Behavior of Horizontal Wells with Multiple Fractures',1994,Soc.ofPetroleum Engrs.,Inc.,Univ.of Tulsa Centennial Petroleum Engr.Symp.,29-31Aug.1994,Tulsa,OK;Chen等人,"A Multiple-fractured Horizontal Well in aRectangular Drainage Region",SPE Jrnl.37072,Vol.2,No.4,Dec.1997.pp.455-465;Brown等人,"Practical Solutions for Pressure Transient Responses ofFractured Horizontal Wells in Unconventional Reservoirs",SPE Tech.Conf.andExhibition in New Orleans,LA,2009;Bello,"Rate Transient Analysis in ShaleGas Reservoirs with Transient Linear Behavior",PhD Thesis,2009;Bello等人,"Multi-stage Hydraulically Fractured Horizontal Shale Gas Well Rate TransientAnalysis",North Africa Tech.Conf.and Exhibition,14-17Feb.2010,Cairo,Egypt;Meyer等人,"Optimization of Multiple Transverse Hydraulic Fracturesin Horizontal Wellbores",2010,SPE131732,SPE Unconventional Gas Conf.,23-25Feb.2010,Pittsburgh,PA,USA;和Thompson等人,"Advancements inShale Gas Production Forecasting-A Marcellus Case Study,"SPE144436,North American Unconventional Gas Conf.and Exhibition,14-16Jun.2011,The Woodlands,TX,USA。

分析方案可以包括通过求解描述储层地层中和通过裂缝的气流的偏微分方程来获得压力或开采速度解。作为示例，可以使用拉普拉斯变换和数值反演。在另一个例子中，可以使用拉普拉斯变换来在井眼从经受了恒压降或恒定开采速度的水平径向储层分别获得开采早期和后期的渐进解。可以使用格林函数和点源函数来求解拉普拉斯变换域中的常微分方程，然后通过数值反演将解变换回时空域以研究具有多重横向裂缝的水平井的开采。

分析方案还可以包括使用时空域。分析方案的另外的例子由Gringarten等人,"The Use of Source and Green's Functions in Solving Unsteady-FlowProblems in Reservoirs",Society of Petroleum Engineers Journal3818,October1973,Vol.13,No.5,pp.285-96;Cinco等人,"Transient Pressure Behavior for aWell With a Finite-Conductivity Vertical Fracture",SPE6014,Society ofPetroleum Engineers Journal,August15,1976;以及美国专利No.7363162提供。格林函数和点源函数可以对应于简化情况。这些函数中的一些可以用于研究从与垂直裂缝交叉的垂直井的开采。时空域分析解也可以提供具有指定流体源/沉的半无限储层中的流体压力。

线网HFN的模型和解

图8.1-8.3分别描绘了可用于水力压裂建模的HFN模型800.1、800.2和800.3的变换视图。可以使用上面描述的HFN技术来创建HFN模型。使用线网HFN模型800.1、800.2、800.3为例来描述所公开的模型针对水力压裂增产作业设计和作业后分析的应用。这些附图每个都描绘了其附近具有水力裂缝网络(HFN)822的井眼820。

HFN822是椭圆结构，其中多个垂直裂缝824与另外多个垂直裂缝826正交，形成线网构造。多个垂直裂缝限定HFN822的多个基质块828。HFN822是复杂裂缝网络，具有多个流体连通以便于流体在其间流动的交叉裂缝824和826。交叉裂缝可以通过压裂地层来产生。这里使用的裂缝可以是天然的和/或人造的。

如图8.1所示，HFN822具有沿小径的高度h、沿其短轴并与井眼820对齐的半径b、沿其长轴的半径a。图3中也示出了HFN的一些尺寸。

尽管图8.1-8.3描绘了复杂HFN模型800.1、800.2、800.3，但这些模型还可以用于具有单个或平行水力裂缝的储层。同样地，尽管井眼820被描绘为平行于垂直线穿过HFN822，但HFN822也可以在井眼820附近根据需要来定向。所公开的模型针对水力压裂增产作业设计和作业后分析的应用是使用线网HFN822为例进行描述的。对于具有单个或平行水力裂缝或非椭圆形裂缝网络的储层的应用可以以类似方式进行，但是要根据需要调整以适应相对更简单或更复杂的构造。

支撑剂放置

有关支撑剂在诸如图8.1-8.3的HFN822的HFN中的放置的信息可以用来量化从HFN的开采。可以在增产期间通过注入流体或处理流体注入一种或多种支撑剂，以使水力裂缝在压裂作业完成之后保持打开。

图9和图10分别描绘了HFN和HFN的裂缝周围的支撑剂放置的视图。图9示出了图8.2的HFN822沿线9-9截取的截面图。如此视图所示，支撑剂823位于井眼820中，并且沿主裂缝水平延伸通过井眼820，进入周围地层。同样如图9所示，支撑剂823可以以不同的传输图案827、829传输。

图10是其中有支撑剂延伸的裂缝827的图。流体从左向右流过裂缝827。支撑剂823由流体827携带，但是随着其从左向右行进而沉淀在裂缝的左侧。所描绘进入裂缝827左部的支撑剂827由较亮的阴影区域指示。

可以通过分析支撑剂的传输来限定支撑剂通过HFN的流动。对于N种支撑剂颗粒，每种的体积分数为V_p,i的情况下，总支撑剂体积分数为

$V_P=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{V}_{p,i}---\left(84\right)$

支撑剂沿着HFN的裂缝的放置涉及支撑剂的水平传输、垂直沉淀和可能的桥接。如图9所示，支撑剂类型i通过传输图案825沿所有方向传输。这可以如下以数学方式描述：

$2\mathrm{\&pi;\&gamma;x}\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&phi;V}}_{p,i}\right)}{\&PartialD;t}-\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;x}\left(\frac{2\mathrm{\&pi;\&gamma;x}{k}_x}{\mathrm{\&mu;}}\frac{\&PartialD;p}{\&PartialD;x}{V}_{p,i}\right)=0---\left(85\right)$

这一方程也描述了图10中流体的水平流动。

如果支撑剂保留在如图9中的传输图案829所指示的沿x轴的主裂缝中，那么支撑剂传输可以由下式描述

$\frac{\&PartialD;\left(w_x{V}_{p,i}\right)}{\&PartialD;t}-\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;x}\left(\frac{w_x^3}{12\mathrm{\&mu;}}\frac{\&PartialD;p}{\&PartialD;x}{V}_{p,i}\right)=0---\left(86\right)$

对于一致的水平体积流率q，上述方程分别简化为

$2\mathrm{\&pi;\&gamma;x}\frac{\&PartialD;\left({\mathrm{\&phi;V}}_{p,i}\right)}{\&PartialD;t}+\frac{\&PartialD;\left(q{V}_{p,i}\right)}{\&PartialD;x}=0---\left(87\right)$

对于仅沿着流道的传输，下面的方程适用：

$\frac{\&PartialD;\left(w_x{V}_{p,i}\right)}{\&PartialD;t}+\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;x}\left(\frac{q}{2\mathrm{\&pi;\&gamma;x}}{V}_{p,i}\right)=0---\left(88\right)$

当考虑流体泄露q_l时，上述方程分别变为

和

$\frac{\&PartialD;\left(w_x{V}_{p,i}\right)}{\&PartialD;t}+\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;x}\left(\frac{q-q_t}{2\mathrm{\&pi;\&gamma;x}}{V}_{p,i}\right)=0---\left(90\right)$

如图10所示，当支撑剂823被携带通过裂缝827时，还可能发生垂直沉淀。支撑剂沉淀可以由斯托克斯颗粒末端速度来量化

$v_{\mathrm{ps},i}=\frac{g({\mathrm{\&rho;}}_{p,i}-{\mathrm{\&rho;}}_f)d_{p,i}^2}{18{\mathrm{\&mu;}}_f}---\left(91\right)$

其中ρ_f和μ_f是悬浮流体的密度和粘度，ρ_p,i和d_p,i是支撑剂类型i的密度和平均颗粒直径。当支撑剂的尺寸或浓度太大时，可能发生支撑剂的桥接。这通过修改沉降速度来描述

v_ps，i=v_st，if(V_p,d_p，i，w)(92)

其中

$\begin{array}{c}f(V_p,d_{p,i},w)=\left\{\begin{array}{ccc}{(1-\frac{w_{\mathrm{cr},i}}{w})}^{0.25}& \mathrm{if}& w\&GreaterEqual;w_{\mathrm{cr},i}\\ 0& \mathrm{if}& w\&le;w_{\mathrm{cr},i}---\left(93\right)\end{array}\right.\\ \begin{array}{cc}{w}_{\mathrm{cr},i}=\min (B{\mathrm{cr}}_{},1+V_p\frac{B_{\mathrm{cr}}-1}{0.17})d_{p,i}& B_{\mathrm{cr}}=2.5\end{array}\end{array}$

阻碍因素可能考虑裂缝宽度、支撑剂尺寸及浓度、纤维、流动机制等效应。支撑剂移动可能进一步被诸如流体流动机制和纤维的出现的其它因素进一步阻碍。

开采

图11示出了沿线9-9截取的HFN822。如此视图中所示，HFN822被描绘为具有多个同心椭圆930和多个径向流线932。径向流线932起于井眼820附近的中心位置，并从那里沿径向延伸。径向流线932代表来自井眼820周围的地层的流体和去往井眼820的流体(如箭头所指示)的流动路径。HFN822也可以以如图3所示的格式表示。

由于基质的渗透率和HFN822的渗透率之间假定的对比，通过既包括HFN822又包括地层基质的储层的全局气体流动可以被划分为通过HFN822的气体流动和基质块828内部的气体流动。通过HFN822的气体流动的图案可以被描述为如图11所示近似为椭圆形的。

HFN822使用椭圆配置来提供基质流动和被明确处理的HFN流动之间的耦合。使用偏微分方程来描述基质块内的流体流动，并以分析的方式求解。通过椭圆线网HFN的三维气体流动可以近似描述为：

$\frac{{\&PartialD;p}_f}{\&PartialD;t}-\frac{1}{x}\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;x}\left({\mathrm{x\&kappa;}}_f\frac{{\&PartialD;p}_f}{\&PartialD;x}\right)=\frac{q_g}{{\mathrm{\&phi;}}_f\frac{{\&PartialD;p}_f}{\&PartialD;p}}---\left(94\right)$

其中t是时间，x是坐标，与椭圆的长轴对齐，p_f和ρ_f是流体压力和密度，φ_f和κx是HFN的孔隙度和压力扩散x分量，q_g是从基质流向HFN的气体流率。所涉及的所有属性可以是t或x或两者的函数。

对于每个时间t，使用方程(94)对流体压力的计算可以从椭圆储层域的最外环开始，并且HFN822在井眼820处的中心结束，或者以相反顺序进行。沿椭圆域边界的流体压力被取为储层在开采以前的流体压力。可以假定在该域之外没有发生开采。

在HFN之外，方程(94)名义上仍然适用，但是q_g=0，φ_f=φ_m，并且κ_f=κ_m，其中φ_m和κ_m是储层基质的孔隙度和压力扩散系数。给定q_g，有多种方式可用来求解方程(94)，分析的或数值的。由于HFN和流体属性的复杂本质，为了准确起见，可以使用数值方案。下面给出数值解的一个例子。

将包含HFN的椭圆储层域划分为N个环，从储层基质向第k个环的内边界和外边界所包含的HFN中的气体开采速度为

q_gk=q_gxkA_xk+q_gykA_yk(95)

其中A_xk和A_yk分别是环内部平行于长轴(x轴)和短轴(y轴)的裂缝的总表面积，q_gxk和q_gyk分别是从基质进入到平行于x轴和y轴的裂缝中的每单位裂缝表面积的相应的流体流率。井眼处的流体压力pf和气体开采速度可以通过针对任何用户指定的初始条件和边界条件以数值方式求解方程(94)并且将该模型与井眼流体流动模型耦合来获得。

第k个环内部包含的裂缝的总表面积可以如下计算

$\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xk}}={4h}_k[\underset{j=-N_{\mathrm{xo}}}{\overset{N_{\mathrm{xo}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{x_k^2-4{({\mathrm{jL}}_{\mathrm{my}}/\mathrm{\&gamma;})}^2}-\underset{j=-N_{\mathrm{xi}}}{\overset{N_{\mathrm{xi}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{x_{k-1}^2-4{({\mathrm{jL}}_{\mathrm{my}}/\mathrm{\&gamma;})}^2}]\\ A_{\mathrm{yk}}={4h}_k\mathrm{\&gamma;}[\underset{i=-N_{\mathrm{yo}}}{\overset{N_{\mathrm{yo}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{x_k^2-4{\left({\mathrm{iL}}_{\mathrm{mx}}\right)}^2}-\underset{i=-N_{\mathrm{yi}}}{\overset{N_{\mathrm{yi}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{x_{k-1}^2-4{\left({\mathrm{iL}}_{\mathrm{mx}}\right)}^2}]\end{array}---\left(96\right)$

其中，γ是椭圆HFN的纵横比，x_k和h_k是第k个环的位置和高度，L_mx和L_my分别是平行于x轴和y轴的相邻裂缝之间的距离，如图12所示。N_xo和N_xi分别是第k个环的外边界和内边界内的平行于x轴并在x轴任一侧的裂缝的数量，而N_yo和N_yi分别是第k个环的外边界和内边界内的平行于y轴并在y轴任一侧的裂缝的数量。

通过HFN822的气体流动的模式还可以基于通过如图12所示的单个基质块828的流体流动来描述。图12是图11的HFN822的一个框828的详细视图。如此视图中所示，基质块828内部气体流动的方向可以大致垂直于基质块828的边缘。假定流体流动为如箭头所指示的朝向框828的外边界1240的线性流动，无流动边界1242位于框828内。

矩形基质块828内部的流体流动可以大致描述为

$\begin{array}{c}\frac{{\&PartialD;p}_m}{\&PartialD;t}-{\mathrm{\&kappa;}}_m\frac{{\&PartialD;}^2{p}_m}{{\&PartialD;s}^2}=0\\ p_m(t,s)=p_r\\ p_m(t,L_s)=p_f\left(t\right)\\ \frac{{\&PartialD;p}_m}{\&PartialD;s}{|}_{s=0}=0\end{array}---\left(97\right)$

其中s是坐标，沿x轴和y轴对齐，L是裂缝表面和有效无流动边界之间的距离，pm是流体压力，pr是储层压力。可以求解方程(97)以获得从基质进入第k个环内部的裂缝的流体流率

$\begin{array}{c}{q}_{\mathrm{gxk}}={\mathrm{\&phi;}}_m\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&rho;}}_m}{\&PartialD;p}\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}{\&Integral;}_0^t\frac{{\mathrm{dp}}_{\mathrm{fk}}}{\mathrm{du}}[\frac{L_y}{2}\mathrm{erfc}\left(\frac{L_y}{4\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}_m}(t-u)}\right)+2\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_m(t-u)}{\mathrm{\&pi;}}}(1-e^{\frac{L_y^2}{{16\mathrm{\&kappa;}}_m(t-u)}})]\mathrm{du}\\ q_{\mathrm{gyk}}={\mathrm{\&phi;}}_m\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&rho;}}_m}{\&PartialD;p}\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}{\&Integral;}_0^t\frac{{\mathrm{dp}}_{\mathrm{fk}}}{\mathrm{du}}[\frac{L_x}{2}\mathrm{erfc}\left(\frac{L_x}{4\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}_m}(t-u)}\right)+2\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_m(t-u)}{{16\mathrm{\&kappa;}}_m(t-u)}}(1-e^{\frac{L_x^2}{{16\mathrm{\&kappa;}}_m(t-u)}})]\mathrm{du}\end{array}---\left(98\right)$

其中p_fk是驻留在第k个环内的裂缝中的流体的压力，ρ_m是驻留在基质中的流体的密度。p_fk和q_gk计算的耦合可以是明示的或隐含的。即使对其它时间是明示的，也可以对第一时间阶段是隐含的。

可以使用传统技术来描述通过双重孔隙度介质的流体流动的概念。一些这样的技术可以涉及具有恒定裂缝流体压力的1D压力解，并且通过识别基质、裂缝和其中的晶簇(如图13.1所示)来描绘实际储层，或者使用如图13.2所示的方糖表示来描绘储层。传统流体流动技术的例子在Warren等人,"TheBehavior of Naturally Fractured Reservoirs",SPE Journal,Vol.3,No.3,Sep.1963中描述。

可以用于这里描述的建模中的裂缝建模例子在Wenyue Xu等人,"QuickEstimate of Initial Production from Stimulated Reservoirs with ComplexHydraulic Fracture Network,"SPE146753,SPE Annual Tech.Conf.andExhibition,Denver,CO.,30Oct.-2Nov.,2011中提供，通过引用将其全文合并于此。

水力压裂设计及优化

对于规划的水力压裂作业的特定阶段的每个设计，可以应用线网压裂模型，使用储层地层属性和压裂作为参数作为输入，来产生HFN和相关联的支撑剂放置。使用上面描述的线网开采模型，包括裂缝网络和各个裂缝的几何属性以及沿着裂缝的支撑剂分布的结果可以用作开采增产的部分输入。

例如，对于所规划的作业的特定阶段的设计，水力压裂软件，例如从斯伦贝谢技术公司(见：www.slb.com)商业可得的MANGROVE^TM软件，可用于提供具有开采计算所需信息的HFN。可以使用上面描述的模型来计算从HFN的开采。然后可以结合其它经济学、环境和物流方面的考虑，比较和分析为各种设计计算的开采速度。然后可以针对更好的设计相应调整作业参数。可以为作业选择每个阶段的最佳设计。

图14描绘了涉及裂缝设计及优化的示例压裂作业1400。压裂作业1400包括1430–获得与地层参数(例如尺寸、应力等)有关的作业参数；以及1432–获得与增产参数如泵送(例如流率、时间)、流体(例如粘度、密度)和支撑剂参数(例如尺寸、材料)有关的作业参数。压裂作业1400还包括1434–根据所获得的参数产生地层参数图表1436(例如泥浆流率、支撑剂浓度随时间的变化)。

可以执行线网HFN和支撑剂放置增产1438以便基于图表1436和所获得的参数1430、1432对HFN建模。可以产生HFN822的显现1440.1及其支撑剂放置1440.2。然后可以执行线网开采增产1442。例如通过比较实际情况和增产结果对增产进行的分析1444的结果是评价压裂作业1400。如果满意，则开采作业可以执行，1446。如果不满意，可以分析作业设计，1448，并且可以对一个或多个作业参数做出调整，1450。然后可以重复压裂作业。

压裂后作业

可以使用储层属性和水力压裂处理数据，通过使建模的HFN与作业期间记录的微震事件云匹配，来获得有关所创建的HFN的信息，例如裂缝间距d_x和d_y以及应力各向异性Δσ。可以使用参考图3-7描述的水力裂缝建模技术来对HFN的生长和支撑剂放置进行模拟。可用的水力裂缝建模的例子在Wenyue Xu等人,"Characterization of Hydraulically-Induced FractureNetwork Using Treatment and Microseismic Data in a Tight-Gas SandFormation:A Geomechanical Approach",SPE125237,SPE Tight GasCompletions Conf.,15-17,Jun.2009,San Antonio,TX,USA;Wenyue Xu等人,"Characterization of Hydraulically-Induced Shale Fracture Network Using AnAnalytical/Semi-Analytical Model",SPE124697,SPE Annual Tech.Conf.andExh.,4-7October2009,New Orleans,LA;Wenyue Xu等人,"Fracture NetworkDevelopment and Proppant Placement During Slickwater Fracturing Treatmentof Barnett Shale Laterals",SPE135484,SPE Tech.Conf.and Exhibition,19-22Sept.2010,Florence,Italy;和Wenyue Xu等人,"Wiremesh:A Novel ShaleFracturing Simulator",SPE1322188,Intl.Oil and Gas Conf.and Exh.in China,10June2010,Beijing,China中提供，通过引用将其全部内容合并于此。可以使用上面描述的模型来计算从HFN模型800的开采，以帮助了解所完成的作业的有效性和效率。

图15描绘了裂缝后作业1500的示例。裂缝后作业涉及1550–获得作业参数，例如地层、微震、流体/支撑剂以及其它数据。从这个信息，可以确定1552井场参数，例如地层、作业、微震以及其它数据。还可以根据作业参数确定1554支撑剂数据。井场参数可以用来表征线网HFN1556。线网HFN可以以椭圆配置1558来配置。然后可以限定1560HFN参数(例如基质和椭圆尺寸)。可以使用HFN参数(例如尺寸、应力)和支撑剂参数来限定HFN模型(如显现1562.1所示)和支撑剂放置(如显现1562.2所示)。

然后可以基于HFN模型执行线网开采模拟1564。可以例如通过比较实际情况和模拟结果，来执行对模拟的分析1566，以评价压裂作业1400。如果满意，开采作业可以执行，1446。如果不满意，可以分析1448作业设计，并对一个或多个作业参数进行调整1450。然后可以重复压裂作业。

图16图解了执行开采作业的方法1600。这个方法1600描绘了如何将模型和解应用到通过水力压裂建模获得的线网HFN。该方法包括执行压裂作业1660。压裂作业包括1662–设计压裂作业；1664–优化压裂作业；1667–通过将流体注入地层来产生裂缝；1668–测量作业参数；以及1670–执行裂缝后作业。还方法还包括1672–在井眼附近产生裂缝网络。裂缝网络包括多个裂缝和多个基质块。裂缝相互交叉并且流体连通，多个基质块位于相互交叉的裂缝附近。

该方法还包括1674–在椭圆水力裂缝网络中放置支撑剂；1676–产生通过水力裂缝网络的流体分布；1678–执行开采作业，开采作业包括根据流体压力分布产生开采速度；以及1680–随时间流逝而重复。该方法的部分或全部可以以任何顺序执行，或这按需要重复。

已经参考一些实施例给出了前面的描述。本公开所属领域的技术人员将理解，可以在不实质性脱离本申请的原理、范围的情况下，实现所描述的结构和作业方法的变更和改变。相应地，前面的描述不应当被解释为仅属于所描述并在附图中示出的精确结构，而是应当被理解为与所附权利要求一致，并支持所附权利要求，权利要求具有其最完整最公平的范围。

这里已描述并图解了用于监控对地下油气地层及其上的延伸的水力压裂的方法和系统。尽管描述了本公开的特定实施例，但是并不意味着本公开限于这些特定实施例，因为期望本公开的范围如本领域将允许的范围一样宽，并且期望本说明书被同样的理解。因此，尽管提供了执行裂缝和开采作业的具体方法，但是可以根据需要结合本方法的部分的各种组合。同样，尽管公开了特定水力裂缝模型和用于得出这样的模型的假设，但是应当理解，可以利用其它水力裂缝模型和假设。因此，本领域技术人员应当理解，可以对所提供的公开进行其它修改，而不会脱离本公开所要求保护的精神和范围。

应当注意的是，在开发任何实际实施例时，必须做出大量特定于实现的决定，以实现开发者的特定目的，例如符合与系统相关的约束和与商业相关的约束，这些约束将对于每个实现而不同。此外，应当理解，这样的开发工作可能是复杂的，并且耗时的，然而对于本领域技术人员在本公开的启示下将只是例行的工作。此外，这里使用/公开的文章还可以包括一些它们引用的组分之外的组分。在本公开的发明内容部分及此详细描述中，每个数值应当被理解为由术语“大约”修饰一次(除非已明确地如此修饰)，然后再理解为没有如此修饰，除非上下文中相反指示。同样，在本公开的发明内容和此详细描述中，应当理解，所列出或描述为有用、适合等的浓度范围意在将该范围内的任何和每一个浓度，包括端点，考虑为已被陈述。例如，“范围从1到10”应当被理解为指示沿着大约1和大约10之间的连续统的每个可能数值。因此，即使该范围内明确识别了特定数据点，或者该范围内没有明确识别数据点，或者仅提到几个特定项目，应当明白，发明人认为该范围内的任何及所有数据点应当被考虑为已被指定，并且发明人掌握整个范围以及该范围内所有点的知识。

尽管上面仅描述了几个示例性实施例，但是本领域技术人员将容易地理解到，在示例性实施例内可能有许多修改而不实质上脱离本发明。相应地，所有这样的修改都意图包括在本公开如在所附权利要求书中所限定的范围之内。在权利要求书中，装置加功能的条款意图覆盖这里描述的执行所阐述的功能的结构，并且不但包括结构等同物，而且包括等同结构。因此，在固定木头部件的场境中，尽管钉子和螺丝钉可能不是结构等同物，因为钉子采用圆柱形表面来将木头部件固定在一起，而螺丝钉采用螺旋表面，但是钉子和螺丝钉可以是等同结构。除了权利要求明确使用表述“装置，用于……”和相关联的功能一起做出的限制，申请人明确表示不希望引用35U.S.C§112第6款来对这里的任何权利要求做出任何限制。

Claims (33)

1.一种在穿透地下地层的井眼附近执行油田作业的方法，该方法包括：

执行压裂作业，所述压裂作业包括：在所述井眼附近产生多个裂缝；以及在所述井眼附近产生裂缝网络，所述裂缝网络包括所述多个裂缝和位于所述多个裂缝附近的多个基质块，所述多个裂缝相互交叉并且流体连通，所述多个基质块位于所述多个裂缝附近；

产生通过所述裂缝网络的流率；

基于所述流率产生流体分布；以及

执行开采作业，所述开采作业包括根据所述流体分布产生开采速度。

2.根据权利要求1的方法，其中所述裂缝网络是椭圆形的。

3.根据权利要求1的方法，其中所述执行压裂作业包括：通过将流体注入所述地下地层来对所述地下地层进行增产。

4.根据权利要求1的方法，其中所述执行压裂作业包括：在所述井眼附近模拟水力压裂。

5.根据权利要求1的方法，还包括在所述裂缝网络中放置支撑剂。

6.根据权利要求1的方法，还包括基于作业参数设计压裂作业。

7.根据权利要求6的方法，其中所述作业参数包括地层参数、裂缝参数、增产参数、流体参数、泵送参数、支撑剂参数、微震参数、储层参数以及它们的组合。

8.根据权利要求1的方法，还包括：通过基于所述开采速度与实际数据的比较，来调整所述压裂作业，从而优化所述压裂作业。

9.根据权利要求1的方法，还包括：随时间推移而重复该方法。

10.根据权利要求1的方法，还包括执行作业后分析，所述作业后分析包括：基于作业参数产生线网水力裂缝网络；产生椭圆裂缝模型；产生裂缝参数；基于所产生的裂缝参数和支撑剂参数对所述椭圆压裂模型进行建模；以及执行开采模拟。

11.根据权利要求10的方法，其中所述裂缝参数包括：多个裂缝的末端处的空间坐标；裂缝位置处的传导率、平均传导率、高度、平均高度、储层压力、平均储层压力；所述裂缝位置处的渗透率、平均储层渗透率；及它们的组合。

12.根据权利要求10的方法，还包括：基于所述支撑剂参数对所述支撑剂布置建模。

13.根据权利要求1的方法，其中产生流率包括使流体经过所述裂缝网络，并通过所述多个基质块中的至少一个。

14.根据权利要求1的方法，其中所述执行开采作业包括：使用所述裂缝网络模拟开采。

15.根据权利要求1的方法，其中所述执行开采作业包括：将管子部署到井眼中，并且通过所述管子从所述井眼开采流体。

16.根据权利要求1的方法，其中所述流体分布包括流体压力分布、流体密度分布及它们的组合中的一种。

17.一种在穿透地下地层的井眼附近执行油田作业的方法，该方法包括：

执行压裂作业，所述压裂作业包括：对所述井眼进行增产；以及在所述井眼附近产生裂缝网络，所述增产包括将流体注入所述地下地层，使得在所述井眼附近产生多个裂缝，所述裂缝网络包括所述多个裂缝和位于所述多个裂缝附近的多个基质块，所述多个裂缝相互交叉并且流体连通，所述多个基质块位于所述多个裂缝附近；

在所述裂缝网络中放置支撑剂；

产生通过所述裂缝网络的流率；

基于所述流率产生流体分布；以及

执行开采作业，所述开采作业包括根据所述流体分布产生开采速度。

18.根据权利要求17的方法，其中所述放置包括：通过所述裂缝网络水平或垂直地传输支撑剂。

19.根据权利要求17的方法，其中所述放置包括：通过所述裂缝网络沿所有方向传输支撑剂。

20.一种在穿透地下地层的井眼附近执行油田作业的方法，该方法包括：

基于作业参数设计压裂作业；

执行所述压裂作业，所述压裂作业包括在所述井眼附近产生裂缝网络，所述裂缝网络包括所述多个裂缝和多个基质块，所述多个裂缝相互交叉并且流体连通，所述多个基质块位于所述多个裂缝附近；

通过基于模拟的开采速度与实际数据的比较，来调整所述压裂作业，从而优化所述压裂作业，所述模拟的开采速度是根据所述裂缝网络产生的；

产生通过所述裂缝网络的流率；

基于所述流率产生流体分布；以及

执行开采作业，所述开采作业包括根据所述流体分布产生开采速度。

21.根据权利要求20的方法，其中执行压裂作业包括：通过将流体注入所述地下地层，使得所述井眼附近产生裂缝，来对所述地下地层进行增产。

22.根据权利要求20的方法，其中所述作业参数包括地层参数、增产参数、裂缝参数、流体参数、泵送参数、支撑剂参数、微震参数、储层参数以及它们的组合中的至少一项。

23.根据权利要求20的方法，其中所述设计包括：根据所述作业参数产生支撑剂曲线。

24.根据权利要求23的方法，其中所述设计还包括：基于所述支撑剂曲线和所述作业参数产生线网裂缝网络并模拟支撑剂布置。

25.根据权利要求24的方法，还包括显现所述裂缝网络。

26.根据权利要求25的方法，还包括比较所述开采速度和实际数据。

27.根据权利要求26的方法，其中执行开采作业包括从所述井眼开采流体。

28.根据权利要求26的方法，还包括分析所设计的压裂作业。

29.根据权利要求27的方法，还包括：基于已分析过的所设计的压裂作业调整所述压裂作业；以及重复所述压裂作业。

30.根据权利要求28的方法，还包括重复所述作业。

31.根据权利要求20的方法，还包括在所述裂缝网络中放置支撑剂。

32.根据权利要求31的方法，还包括：根据所述作业参数确定支撑剂布置；以及根据所述支撑剂布置来执行放置。

33.根据权利要求20的方法，还包括执行作业后分析，所述作业后分析包括：基于所述作业参数产生线网水力裂缝网络；形成椭圆裂缝模型；产生裂缝参数；基于所产生的裂缝参数和支撑剂参数对所述椭圆裂缝网络进行建模；以及执行开采模拟。

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