CN103823958A - 求解SiO2/p+Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法 - Google Patents

Abstract

一种求解SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法，包括以下步骤：（1）利用MEMS工艺制作的Si₃N₄/p⁺Si/Si三层悬臂梁结构，其各层杨氏模量和厚度是已知，设杨氏模量比γ₁=E₁/E₂,γ₂=E₃/E₂，厚度比r₁=h₁/h₂，r₂=h₃/h₂，其中E₁，E₂，E₃，h₁，h₂，h₃分别依次表示硅衬底、p型硅膜、二氧化硅膜的杨氏模量和厚度；（2）在一定的工艺条件下，经过加工制造和后处理过程，不同材料膜所产生的残余应力是可以通过查询相关文献得到的，硅衬底、二氧化硅膜的残余应变为均匀残余应变ε_res,1，ε_res,3，而p⁺Si层由于沿厚度方向B浓度不同而导致产生沿厚度非均匀分布的残余应变，这个残余应变可以表示成一个多项式形式其中z表示沿厚度方向坐标，α为该多项式的阶数；（3）计算Si₃N₄/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率κ_ben。

Description

求解SiO2/p+Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法

技术领域

本发明涉及一种求解三层MEMS结构各层残余应力与其结构变形的方法。

背景技术

在MEMS（微机电制造系统）器件中，硅的硼掺杂工艺常用来提升硅的导电性能，改变硅的压阻特性，所制得的P型硅层常用来作为各类压阻型传感器的压阻层。一类MEMS压阻型加速度传感器利用SiO₂/p⁺Si/Si三层悬臂梁结构和一个质量块来测量器件加速度，其中硅基底为主要结构层，P型硅为压阻层，通过测量该层的阻值变化就可以计算出悬臂梁的变形从而得到加速度值，最上层为二氧化硅膜，用来作为绝缘层来保障器件的稳定性。

然而由于各种原因，经过加工制造和后处理过程，这类多层悬臂梁结构各层中通常表现出较大的残余应力(应变)，应力（应变）的不协调则会导致结构的弯曲变形影响结构的测量性能。因此各层膜内残余应力与该结构变形的关系的表征就显得至关重要。通常我们采用Stoney公式来作为表征方法，但是Stoney公式的适用必须基于许多苛刻的假设，比方说Stoney公式的假设要求（1）各层膜的残余应力是沿厚度均匀分布的；（2）衬底与薄膜的杨氏模量相近。由于中间层的残余应力沿厚度非均匀分布，且各层的杨氏模量相差较大，该压阻式加速度传感器中的SiO₂/p⁺Si/Si三层结构的变形无法用Stoney公式去表征。

发明内容

为了解决现有技术由于各层残余应力分布不均匀而导致的SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的变形问题，本发明提出了一种求解SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法.

一种求解SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法，包括以下步骤：

（1）利用MEMS工艺制作的SiO₂/p⁺Si/Si三层悬臂梁结构，其各层杨氏模量和厚度是已知，设杨氏模量比γ₁=E₁/E₂,γ₂=E₃/E₂，厚度比r₁=h₁/h₂，r₂=h₃/h₂，其中E₁，E₂，E₃，h₁，h₂，h₃分别依次表示硅衬底、p型硅膜、二氧化硅膜的杨氏模量和厚度;

（2）在一定的工艺条件下，经过加工制造和后处理过程，不同材料膜所产生的残余应力是可以通过查询相关文献得到的，硅衬底、二氧化硅膜的残余应变为均匀残余应变ε_res,1，ε_res,3，而p⁺Si层由于沿厚度方向硼浓度不同而导致产生沿厚度非均匀分布的残余应变，这个残余应变可以表示成一个多项式形式

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2}\left(z\right)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2,k}{\left[\frac{z-h_1}{h_2}\right]}^k,h_1\≤z\≤h_1+h_2$

其中z表示沿厚度方向坐标，α为该多项式的阶数。

（3）Si₃N₄/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率κ_ben可通过以下步骤计算得出：

3.1计算出由每层膜各阶残余应变所引起的悬臂梁结构弯曲曲率κ_ben,k

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}=\frac{6}{(k+1)(k+2)h_2}\frac{I_1}{I_2}$

其中

$\begin{array}{c}{I}_1=k({\mathrm{\γ}}_1{r_1}^2{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1,k}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2,k}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3,k})({\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2)\\ +(k+2)[-{\mathrm{\γ}}_1{r}_1(r_1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+1+2{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1,k}\\ +({\mathrm{\γ}}_1{r_1}^2+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2,k}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2({\mathrm{\γ}}_1{r_1}^2+2{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1{r}_2+r_2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3,k}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{I}_2={\mathrm{\γ}}_1^2{r}_1^4+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^3+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^3{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^3\\ +4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^3+{\mathrm{\γ}}_2^2{r}_2^4+6{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2+6{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2^2\\ +12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^2+6{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2\end{array}$

这里由于第1,3结构的残余应变是沿厚度均匀分布的，所以有ε_res,i,k=ε_res,i,k=1,3，ε_res,i表示第i层结构的残余应变，σ_res,i表示第i层结构的残余应力，ε_res,i=σ_res,i/E_i,i=1,2,3

3.2将每层膜各阶残余应变所引起的悬臂梁结构弯曲曲率κ_ben,k相加就得到了SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率κ_ben

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben}}=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}$

本发明所用的Stoney延伸公式推导过程如下：

假设有n层膜粘连而成的三维结构，受到沿厚度方向任意分布的残余应力，如图1。有约束状态下各层中初始应变的存在，在约束消失后会导致整个结构产生变形。本专利中，多层结构的力学分析基于以下几个假设：(i)每一层结构的厚度相对于其长度足够小；(ii)材料具有均匀性，各向同性，线性弹性；(iii)结构近边界的边缘效应可以忽略不计；(iv)平行于界面的各层材料的包括杨氏模量在内的所有材料特性保持不变；(v)线应变和角应变无限小。并且，残余应变ε_res表示残余应力σ_res在无约束下引起的潜在弹性变形。根据假设(ii)和(iii)，残余应变和残余应力之间的关系可表示为ε_res=σ_res/E，在悬臂梁结构中E是材料杨氏模量；在板结构中E表示双轴模量。第i层膜的残余应变沿厚度方向分布特性可以表示成一个多项式函数：

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i}\left(z\right)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}{\left[\frac{z-z_i}{h_i}\right]}^k,z_i\≤z\≤z_{i+1}---\left(1\right)$

其中，h_i和

分别表示第i层的厚度以及第i层底面的位置,k表示阶数。从上式的物理意义上讲，第i层膜0阶残余应变ε_res,i,0可能由薄膜-衬底热膨胀系数失调产生；而一些局部效应，如沿膜厚度的原子扩散，原子喷丸效应，沿膜厚度的晶粒尺寸变化，间隙或置换缺陷，都会导致残余应变梯度的产生。

下面只对式(1)中k阶的残余应力进行讨论。如果将各层剥离，每层结构都有各自的变形，但由于各层在界面位置要表现出相同的位移，各层在粘连面处都会有内力和内力矩产生。如图2所示，第i层中有作用在顶面与第i+1层之间的内力N_i,k和作用在底面与第i-1层之间的内力N_i-1,k。同样的，第i层中与相邻层之间的内力矩可用M_i,k和M_i-1,k表示。根据定义有N_0,k=N_n,k=0，M_0,k=M_n,k=0。

分别用ε_aix,i,k和κ_ben,i,k表示在第i层由式(1)中k阶的残余应变引起的轴应变和弯曲曲率，

则沿厚度方向的变形应变ε_def,i,k(z)可表示为

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{def},i,k}\left(z\right)={\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{axi},i,k}-{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},i,k}(z-z_i-\frac{h_i}{2}),z_i\≤z\≤z_{i+1}---\left(2\right)$

各层的轴变形（拉伸或压缩）ε_axi,i,k由该层的内力和平均残余应变

决定，

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{axi},i,k}=-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}}-\frac{N_{i,k}-N_{i-1,k}}{E_i{h}_{i}b}---\left(3\right)$

其中，b表示多层结构的宽度，E_i表示第i层膜的杨氏模量，第i层膜k阶平均残余应变

为

$\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}}=\frac{1}{h_i}{\∫}_{z_i}^{z_{i+1}}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}{\left(\frac{z-z_i}{h_i}\right)}^k\mathrm{dz}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}}{k+1}---\left(4\right)$

根据梁理论，第i层膜k阶弯曲曲率κ_ben,i,k与弯曲刚度E_iI_i，弯曲力矩M_i,k的关系如下：

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},i,k}=\frac{M_{i,k}}{E_i{I}_i}---\left(5\right)$

其中

是截面转动惯量。除了相邻层之间的内力、内力矩外，影响各层弯曲力矩的还有该层的梯度残余应变，即

$M_{i,k}=\frac{(N_{i-1,k}+N_{i,k})h_i}{2}+(M_i-M_{i-1})+\stackrel{\‾}{M_{i,k}}---\left(6\right)$

其中

表示梯度残余应变中k阶残余应变导致第i层膜产生的弯矩

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{M_{i,k}}={\∫}_{z_i}^{z_{i+1}}{E}_{i}b{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}{\left(\frac{z-z_i}{h_i}\right)}^k(z-z_i-\frac{h_i}{2})\mathrm{dz}\\ =\frac{E_i{\mathrm{bh}}_i^2}{2}\frac{{\mathrm{k\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}}{(k+1)(k+2)}\end{array}---\left(7\right)$

由于各层粘连在一起，故每一层都具有相同的弯曲曲率，即

κ_ben,i,k=κ_ben,k             (8)

根据式(5)(6)(8)中可以得到

$\begin{array}{c}{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}{E}_i{I}_i=\stackrel{\‾}{M_{i,k}}+\frac{(N_{i-1,k}+N_{i,k})h_i}{2}\\ +(M_i-M_{i-1})\end{array}---\left(9\right)$

式(9)可进一步推导出

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{E}_i{I}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{M_{i,k}}+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(N_{i-1,k}+N_{i,k})h_i---\left(10\right)$

粘连层的变形应变必须满足连续性，即

ε_def,i,k(z_i+1)=ε_def,i+1,k(z_i+1),1≤i≤n-1          (11)

综合式(2)(3)(11)可得

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}\frac{h_{i+1}+h_i}{2}=\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i+1,k}}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}}+\frac{N_{i+1,k}-N_{i,k}}{E_{i+1}{h}_{i+1}b}-\frac{N_{i,k}-N_{i-1,k}}{E_i{h}_{i}b}---\left(12\right)$

联立式(10)(12)(n个方程组成的线性方程组)可解得弯曲曲率κ_ben,k和内力N_i,k(1≤i≤n-1)。将各项κ_ben,k相加就得到该多层结构的总曲率κ_ben，即

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben}}=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}---\left(13\right)$

在图3三层MEMS悬臂梁结构中，设杨氏模量比γ₁=E₁/E₂,γ₂=E₃/E₂，厚度比r₁=h₁/h₂，r₂=h₃/h₂。可根据式(10)(12)(13)计算得到三层悬臂梁弯曲曲率：

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}=\frac{6}{(k+1)(k+2)h_2}\frac{I_1^{*}}{I_2}---\left(14a\right)$

其中

I₂分别为

$\begin{array}{c}{I}_1^{*}=k({\mathrm{\γ}}_1{r_1}^2{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1,k}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2,k}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3,k})({\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2)\\ +(k+2)[-{\mathrm{\γ}}_1{r}_1(r_1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+1+2{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1,k}\\ +({\mathrm{\γ}}_1{r_1}^2+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2,k}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2({\mathrm{\γ}}_1{r_1}^2+2{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1{r}_2+r_2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3,k}]\end{array}---\left(14b\right)$

$\begin{array}{c}{I}_2={\mathrm{\γ}}_1^2{r_1}^4+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^3+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^3{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^3\\ +4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^3+{\mathrm{\γ}}_2^2{r}_2^4+6{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2+6{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2^2\\ +12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^2+6{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2\end{array}---\left(14c\right)$

三层悬臂梁结构总弯曲曲率可通过累加残余应变中各阶部分独立引起κ_ben,k而获得，即

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben}}={\mathrm{\Σ}}_{k=0}^{\mathrm{\α}}{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}---\left(15\right)$

本发明的优点是:可以解决梯度残余应力下三层结构的变形问题，对三层膜结构中各层杨氏模量比与厚度比并无严格要求，同时保证了比较高的准确性，可应用于类似于压阻式加速度传感器中Si₃N₄/p⁺Si/Si三层结构那样衬底与薄膜杨氏模量相差较大且厚度接近的情况。

附图说明

图1为本发明的多层膜结构及残余应力分布简图

图2为本发明的各层膜受力分析

图3为本发明的三层MEMS悬臂梁结构示意图

图4为本发明的SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构示意图

图5为本发明的SiO₂/p⁺Si/Si三层悬臂梁结构变形的ANSYS仿真（Y轴位移）

具体实施方式：

参照附图，进一步说明本发明：

一种求解SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法，包括以下步骤：

（1）利用MEMS工艺制作的Si₃N₄/p⁺Si/Si三层悬臂梁结构，其各层杨氏模量和厚度是已知，设杨氏模量比γ₁=E₁/E₂,γ₂=E₃/E₂，厚度比r₁=h₁/h₂，r₂=h₃/h₂，其中E₁，E₂，E₃，h₁，h₂，h₃分别依次表示硅衬底、p型硅膜、二氧化硅膜的杨氏模量和厚度;

（2）在一定的工艺条件下，经过加工制造和后处理过程，不同材料膜所产生的残余应力是可以通过查询相关文献得到的，硅衬底、二氧化硅膜的残余应变为均匀残余应变ε_res,1，ε_res,3，而p⁺Si层由于沿厚度方向B浓度不同而导致产生沿厚度非均匀分布的残余应变，这个残余应变可以表示成一个多项式形式

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2}\left(z\right)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2,k}{\left[\frac{z-h_1}{h_2}\right]}^k,h_1\≤z\≤h_1+h_2$

其中z表示沿厚度方向坐标，α为该多项式的阶数。

（3）Si₃N₄/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率κ_ben可通过以下步骤计算得出：

3.1计算出由每层膜各阶残余应变所引起的悬臂梁结构弯曲曲率κ_ben，k

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}=\frac{6}{(k+1)(k+2)h_2}\frac{I_1}{I_2}$

其中

$\begin{array}{c}{I}_1=k({\mathrm{\γ}}_1{r_1}^2{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1,k}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2,k}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3,k})({\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2)\\ +(k+2)[-{\mathrm{\γ}}_1{r}_1(r_1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+1+2{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1,k}\\ +({\mathrm{\γ}}_1{r_1}^2+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2,k}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2({\mathrm{\γ}}_1{r_1}^2+2{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1{r}_2+r_2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3,k}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{I}_2={\mathrm{\γ}}_1^2{r}_1^4+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^3+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^3{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^3\\ +4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^3+{\mathrm{\γ}}_2^2{r}_2^4+6{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2+6{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2^2\\ +12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^2+6{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2\end{array}$

这里由于第1,3结构的残余应变是沿厚度均匀分布的，所以有ε_res,i,k=ε_res,i,k=1,3，ε_res,i表示第i层结构的残余应变，σ_res,i表示第i层结构的残余应力，ε_res,i=σ_res,i/E_i,i=1,2,3

3.2将每层膜各阶残余应变所引起的悬臂梁结构弯曲曲率κ_ben,k相加就得到了SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率κ_ben

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben}}=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}$

附图4表示一个SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构，底层硅、中间层P型硅、上层二氧化硅的厚度依次为h₁=20μm，h₂=2μm，h₃=1μm。硅、P型硅、二氧化硅的杨氏模量依次为E₁=179GPa，E₂=179GPa，E₃=70GPa。在一定的工艺条件下，可知道各层材料的残余应力。若在某一工艺条件下，硅、二氧化硅层的残余应力分别为σ_res,1=30MPa,σ_res,3=200MPa，P型硅由于沿厚度方向硼浓度不同而导致产生沿厚度非均匀分布的残余应力，这个残余应力可以表示成一个多项式形式

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{res},2}\left(z\right)=-21+551\left(\frac{z-h_1}{h_2}\right)-1988{\left(\frac{z-h_1}{h_2}\right)}^2+3765{\left(\frac{z-h_1}{h_2}\right)}^3\\ -3333{\left(\frac{z-h_1}{h_2}\right)}^4+1092{\left(\frac{z-h_1}{h_2}\right)}^5\end{array}$

应力应变的转换关系式为ε_res,i=σ_res,i/E_i,i=1,2,3

将上述数据代入式（15）和（14c），可计算得该SiO₂/p⁺Si/Si悬臂梁结构的弯曲曲率κ_ben=1.73×10^-5(μm)^-1。、利用ANSYS进行限元仿真，采用SOLID183单元，模型中悬臂梁臂长为100μm。由于无法在有限元软件中输入梯度残余应力，这里将p⁺硅薄膜沿厚度等分成20份，每份都具有均匀的残余应力：

${\mathrm{\σ}}_{j1}={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{res},2}(\frac{j_1{h}_2}{20}+h_1),1\≤j_1\≤20$

三层悬臂梁结构的最大挠度仿真结果为ω_max=0.0854μm，如图5所示。考虑在x=0处的边界条件ω|_x=0=0和dω/dx|_x=0=0，悬臂梁沿长度方向的位移可表示为ω(x)=κ_benx²/2，x表示沿悬臂梁长度方向的坐标，该悬臂梁弯曲曲率的仿真结果κ_ben,sim=1.61×10^-5(μm)^-1。可见，用上述表征方法计算得到的解析解与仿真结果相当吻合的。

因为理论上通过改变制造工艺过程，可以大概地控制SiO₂/p⁺Si/Si三层膜结构各层中的残余应力，所以在这种表征方法的指导下，可以通过对制造工艺过程的控制使得该结构的变形达到最小。上述表征方法对压阻式加速度传感器中的SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的工艺最优化提供了一定的理论支撑。

Claims (1)

1.求解SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法，包括以下步骤： 

（1）利用MEMS工艺制作的SiO₂/p⁺Si/Si三层悬臂梁结构，其各层杨氏模量和厚度是已知，设杨氏模量比γ₁=E₁/E₂,γ₂=E₃/E₂，厚度比r₁=h₁/h₂，r₂=h₃/h₂，其中E₁，E₂，E₃，h₁，h₂，h₃分别依次表示硅衬底、p型硅膜、二氧化硅膜的杨氏模量和厚度; 

（2）在一定的工艺条件下，经过加工制造和后处理过程，不同材料膜所产生的残余应力是可以通过查询相关文献得到的，硅衬底、二氧化硅膜的残余应变为均匀残余应变ε_res,1，ε_res,3，而p⁺Si层由于沿厚度方向B浓度不同而导致产生沿厚度非均匀分布的残余应变，这个残余应变可以表示成一个多项式形式 

其中z表示沿厚度方向坐标，α为该多项式的阶数。 

（3）Si₃N₄/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率κ_ben可通过以下步骤计算得出： 

（3.1）计算出由每层膜各阶残余应变所引起的悬臂梁结构弯曲曲率κ_ben,k

其中 

这里由于第1,3结构的残余应变是沿厚度均匀分布的，所以有ε_res,i,k=ε_res,i,k=1,3，ε_res,i表示第i层结构的残余应变，σ_res,i表示第i层结构的残余应力，ε_res,i=σ_res,i/E_i,i=1,2,3 

（3.2）将每层膜各阶残余应变所引起的悬臂梁结构弯曲曲率κ_ben,k相加就得到了SiO₂/p⁺Si/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率κ_ben

。

Images