CN103812382A - 一种宽频带压电能量俘获系统的非线性建模方法 - Google Patents

Abstract

一种宽频带压电能量俘获系统的非线性建模方法，使用力测量仪器直接测量宽频带压电能量俘获系统中的非线性回复力，采用多项式方程拟合系统中的非线性回复力数据，得到非线性回复力的表达式及表达式中的参数值，根据哈密顿原理、压电理论、Rayleigh‐Ritz原理、欧拉‐伯努利梁理论、电场常值分布理论和Rayleigh阻尼定理，推导得到宽频带压电能量俘获系统的非线性动力学模型表达式和模型中的参数值，本发明能够准确预测其非线性输出特性的模型，获得比较简单。

Description

一种宽频带压电能量俘获系统的非线性建模方法

技术领域

本发明属于压电振动能量发电技术领域，具体涉及一种宽频带压电能量俘获系统的非线性建模方法。

背景技术

近十几年来，电子技术、微型机电技术、传感器技术等得到了快速发展，越来越多的低功耗型无线传感器被应用到各种结构、设备或环境中。目前，这类传感器大多使用传统的不可充电的电池进行供电。然而，对该类传感器更换电池非常困难，特别是镶嵌在高山、轨道、桥梁、大型机械、建筑物等的内部的传感器，其供电的电池更换任务代价非常高。另外，当前传感器使用的电池不仅能量和寿命有限，而且使用完也存在环境污染等问题。如果能够俘获周围环境中的能量，就可以用来替代电池或者对电池进行充电。通常把利用周围环境中能量获取并转化为可利用能量的过程叫做能量俘获，能量俘获技术具有巨大的应用前景，因此受到了工程界和科学家的高度关注和深入研究。目前，能量俘获技术的种类很多，有太阳能发电、风能发电、温差发电、RF发电、人体发电、大气压差发电和振动发电等技术。

相比于其他能量源，振动能量相对稳定且广泛存在，不仅日常生活中的桥梁、车辆、工厂、路面等都存在大量的振动能量，而且家庭中也存在着各种振动能量源。振动能量俘获的方法有电磁、静电、压电等三种。其中，电磁装置产生的电压很低，幅值一般小于1V；静电俘获方法需要一个独立的电压源；压电振动能量俘获电压幅值高且无须外接电源，同时具有比电磁和静电两种方法更高的实际能量密度，因此是振动能量俘获中最为有效方法，非常适合为无线传感器供电等。

在压电振动能量俘获领域，悬臂梁式压电能量俘获系统具有能量密度高、装置简单、易于实现等优点，是最受关注的压电能量俘获系统之一。然而，传统的线性悬臂梁式压电能量俘获系统的有效频带过窄，与周围环境振动频率匹配差，俘获的能量严重受限于周围环境的振动频率，因而俘获能量的效率较低，很多情况下并不能满足实际需求。为了解决上述问题，目前主要有基于机械原理和引入磁场因素两大类方法来提高压电能量俘获系统的有效频带，但这两种方法都将传统的线性压电能量俘获系统调节为非线性的宽频带压电能量俘获系统。后者的精确建模非常困难，原因之一在于系统的非线性回复力模型的获得比较复杂。

发明内容

为了克服上述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供一种宽频带压电能量俘获系统的非线性建模方法，能够准确预测其非线性输出特性的模型，获得比较简单。

为了达到上述目的，本发明采取的技术方案为：

一种宽频带压电能量俘获系统的非线性建模方法，包括以下步骤：

1）使用力测量仪器直接测量宽频带压电能量俘获系统中的非线性回复力，所述宽频带压电能量俘获系统包括基于机械原理的悬臂梁式非线性压电能量俘获系统和磁耦合的悬臂梁式非线性压电能量俘获系统；

2）采用多项式方程拟合系统中的非线性回复力数据，得到非线性回复力的表达式及表达式中的参数值；

3）根据哈密顿原理、压电理论、Rayleigh-Ritz原理、欧拉-伯努利梁理论、电场常值分布理论和Rayleigh阻尼定理，推导得到宽频带压电能量俘获系统的非线性动力学模型表达式和模型中的参数值。

步骤3）的具体推导过程为：

当压电悬臂梁的力学边界条件为夹持、电学边界条件为短路，符合第2类压电方程，其表达式为：

$\left.\begin{array}{c}T=c_{E}S-e_{t}E\\ D=\mathrm{eS}+{\mathrm{\ϵ}}_{S}E\end{array}\right\}---\left(2\right)$

式中：S为应变；T为应力；E为电场强度；D为电位移矢量；e为压电应力常数张量；e_t为e的转置矩阵；c_E为电场强度为常数时压电材料的弹性刚度系数；ε_S为应变为常数时的介电常数；

根据哈密顿原理，压电悬臂梁拉格朗日函数的变分V.I在任何时间段t₁、t₂内应该恒为0，即有：

$V.I={\∫}_{t_1}^{t_2}[{\mathrm{\δE}}_k-{\mathrm{\δE}}_p+\mathrm{f\δx}]\mathrm{dt}=0---\left(3\right)$

式中：δ为变分符号；E_k、E_p、fδx分别为动能、势能、外部激励能；

由于悬臂梁端部质量块变形微小，将其视为集中质量，则式(3)中各量可表示为：

$\left.\begin{array}{c}{E}_k=0.5{\∫}_{V_s}{\mathrm{\ρ}}_s{\stackrel{\·}{u}}_t\stackrel{\·}{u}d{V}_s+0.5{\∫}_{V_p}{\mathrm{\ρ}}_p{\stackrel{\·}{u}}_t\stackrel{\·}{u}d{V}_p+0.5m_t{\stackrel{\·}{u}}_t\stackrel{\·}{u}\\ E_p=0.5{\∫}_{V_s}{S}_t\mathrm{Td}{V}_s+0.5{\∫}_{V_p}{S}_t\mathrm{Td}{V}_p-0.5{\∫}_{V_p}{E}_t\mathrm{Dd}{V}_p\\ \mathrm{f\δx}=\underset{i=1}{\overset{N_f}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\δu}\left(x_i\right)\·f_i\left(x_i\right)-\underset{j=1}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\δv}\·q_j\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式中：V_s、V_p分别为中间层体积、压电层体积；ρ_s、ρ_p分别为中间层密度、压电层密度；u为z方向挠度；m_t是端部集中质量；N_f和N_q分别为作用在悬臂梁的力的个数、电量的个数；u(x_i)和f_i(x_i)分别为x_i处的位移、作用在x_i处的力；v、q分别为作用在悬臂梁上的电压、电荷；下标s、p分别表示中间层、压电层；下标t只是表示对参数转置，没有其他含义；

将压电方程式(2)代入式(4)中，可得：

$E_p=\frac{1}{2}({\∫}_{V_s}{S}_t{c}_s\mathrm{Sd}{V}_s+{\∫}_{V_p}{S}_t{c}_E\mathrm{Sd}{V}_p-{\∫}_{V_p}{S}_t{e}_t\mathrm{Ed}{V}_p-{\∫}_{V_p}{E}_t\mathrm{eSd}{V}_p-{\∫}_{V_p}{E}_t{\mathrm{\ϵ}}_S\mathrm{Ed}{V}_p)$

式中：c_s为中间层的弹性刚度系数，得E_k和E_p的变分为：

${\mathrm{\δE}}_k=\frac{1}{2}{\∫}_{V_s}{\mathrm{\ρ}}_s\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{u}}_t\stackrel{\·}{u}d{V}_s+\frac{1}{2}{\∫}_{V_p}{\mathrm{\ρ}}_p\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{u}}_t\stackrel{\·}{u}d{V}_p+\frac{1}{2}{m}_t\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{u}}_t\stackrel{\·}{u}$

${\mathrm{\δE}}_p=\frac{1}{2}({\∫}_{V_s}\mathrm{\δ}{S}_t{c}_s\mathrm{Sd}{V}_s+{\∫}_{V_p}\mathrm{\δ}{S}_t{c}_E\mathrm{Sd}{V}_p-{\∫}_{V_p}\mathrm{\δ}{S}_t{e}_t\mathrm{Ed}{V}_p-{\∫}_{V_p}\mathrm{\δ}{E}_t\mathrm{eSd}{V}_p-{\∫}_{V_p}\mathrm{\δ}{E}_t{\mathrm{\ϵ}}_S\mathrm{Ed}{V}_p)$

将上式代入式(3)可得：

$V.I=\frac{1}{2}{\∫}_{t_1}^{t_2}\left[\begin{array}{c}{\∫}_{V_s}{\mathrm{\ρ}}_s\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{u}}_t\stackrel{\·}{u}d{V}_s+{\∫}_{V_p}{\mathrm{\ρ}}_p\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{u}}_t\stackrel{\·}{u}d{V}_p+m_t\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{u}}_t\stackrel{\·}{u}-\\ {\∫}_{V_s}\mathrm{\δ}{S}_t{c}_s\mathrm{Sd}{V}_s-{\∫}_{V_p}\mathrm{\δ}{S}_t{c}_E\mathrm{Sd}{V}_p+\\ {\∫}_{V_p}\mathrm{\δ}{S}_t{e}_t\mathrm{Ed}{V}_p+{\∫}_{V_p}\mathrm{\δ}{E}_t\mathrm{eSd}{V}_p+\\ {\∫}_{V_p}\mathrm{\δ}{E}_t{\mathrm{\ϵ}}_S\mathrm{Ed}{V}_p+\underset{i=1}{\overset{N_f}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\δu}\left(x_i\right)\·f_i\left(x_i\right)-\\ \underset{j=1}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\δv}\·q_j\end{array}\right]\mathrm{dt}=0---\left(5\right)$

为了求得式(5)的解，对系统做如下假设：

a.假设压电悬臂梁遵循Rayleigh-Ritz原理，即认为悬臂梁在x方向上各点的挠度是所分析的各阶模态的组合，得到 $u(x,t)=\underset{i=1}{\overset{N_m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_i\left(x\right)r_i\left(t\right)=\mathrm{\Φ}\left(x\right)r\left(t\right)---\left(6\right)$

式中：N_m为分析的模态数；φ_i(x)、Φ(x)分别为第i阶模态的振型函数、总的模态振型函数矩阵；r_i(t)是第i阶模态振型对应随时间变化的系数矩阵，其方向是沿z方向；r(t)总的模态振型函数矩阵对应的系数矩阵；

b.假设压电悬臂梁遵循欧拉-伯努利梁理论，即悬臂梁上某点的应力是该点的挠度关于悬臂梁长度的二阶导数和其与中性层距离的乘积

$S=-z\frac{{\∂}^{2}u(x,t)}{{\∂x}^2}=-\mathrm{z\Φ}{\left(x\right)}^{\′\′}r\left(t\right)---\left(7\right)$

式中：z为悬臂梁上的点到中性层的距离；

c.假设电场在压电片上的分布是常值，此时有

$E=\mathrm{\&psi;}\left(z\right)v\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-v/t_p& t_s/2<z<t_s/2+t_p\\ 0& -t_s/2<z<t_s/2\\ v/t_p& -t_s/2-t_p<z<-t_s/2\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中：t_s、t_p分别为中间层厚度、压电层厚度；

当悬臂梁自身电容大时具有好的输出特性时，z方向的电压常函数v(t)=v，场函数为：

$\mathrm{\&psi;}\left(z\right)=\left\{\begin{array}{cc}-1/t_p& t_s/2<z<t_s/2+t_p\\ 0& -t_s/2<z<t_s/2\\ 1/t_p& -t_s/2-t_p<z<-t_s/2\end{array}\right.---\left(9\right)$

将端部质量块看作集中质量，得到系统的质量矩阵为

$\left.\begin{array}{c}{M}_s={\&Integral;}_{V_s}{\mathrm{\&rho;}}_s\mathrm{\&Phi;}\left(x\right){\mathrm{\&Phi;}}_t\left(x\right)d{V}_s\\ M_p={\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&rho;}}_p\mathrm{\&Phi;}\left(x\right){\mathrm{\&Phi;}}_t\left(x\right)d{V}_p\\ M_t=m_t\mathrm{\&Phi;}\left(x_t\right){\mathrm{\&Phi;}}_t\left(x_t\right)\end{array}\right\}---\left(10\right)$

式中：M_s、M_p、M_t分别表示中间层质量矩阵、压电层质量矩阵、端部质量块质量矩阵；Φ(x_t)表示端部质量块在xt处的振型函数矩阵；下标t表示对矩阵的转置；则总的质量矩阵M=M_s+M_p+M_t，

机电耦合矩阵为

$\mathrm{\&Theta;}=-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{z\&Phi;}{\left(x\right)}^{\&prime;\&prime;}{e}_{31}^T\mathrm{\&psi;}\left(z\right)d{V}_p---\left(11\right)$

式中：

为31模式下的压电应力常数张量，

电容矩阵为

$C_p={\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&psi;}}_t\left(z\right){\mathrm{\&epsiv;}}_S\mathrm{\&psi;}\left(z\right)d{V}_p---\left(12\right)$

考虑到系统中存在阻尼，根据Rayleigh阻尼有

C＝αM+βK    (13)

式中：K为无磁场作用时线性压电悬臂梁的刚度矩阵；α、β分别为质量矩阵、刚度矩阵的加权系数，

由于系统产生的是电荷，输出端是连接负载的，因此，用电阻R表示负载，其电边界条件为

$v\left(t\right)=-R\stackrel{\&CenterDot;}{q}\left(t\right)---\left(14\right)$

由于悬臂梁在根部受到激励，等效为梁上均匀分布的惯性力，将方程(1)-(2)、(6)-(13)代入到方程(5)，得到系统各阶模态下的非线性动力学模型

$\left.\begin{array}{c}M\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}\left(t\right)+C\stackrel{\&CenterDot;}{r}\left(t\right)+F_r-\mathrm{\&Theta;v}\left(t\right)=F\\ \stackrel{\&CenterDot;}{v}\left(t\right)-{C_p}^{-1}{\mathrm{\&Theta;}}_{t}r\left(t\right)+{C_p}^{-1}{R}^{-1}v\left(t\right)=0\end{array}\right\}---\left(15\right)$

式中：F为外界激励力。

本发明的优点：宽频带压电能量俘获系统是一种具有较强非线性特性的动力学系统，能够准确预测其非线性输出特性的模型是设计宽频能量俘获系统的关键技术之一。本发明使用微型测力仪等力测量仪器直接测得悬臂梁处于不同位置时的回复力，并用多项式进行参数拟合以获得非线性回复力的表达式，系统的非线性回复力模型的获得比较简单，根据哈密顿原理、欧拉-伯努利梁理论和压电理论等，建立了考虑非线性回复力的系统模型。

附图说明

图1为实施例采用的非线性宽频带压电能量俘获系统示意图。

图2为图1系统的原理图。

图3为实施例在特定参数下非线性回复力的测量值和拟合曲线。

图4为实施例参数条件下的仿真图。

图5为实施例参数条件下实验图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细描述。

实验台简介：图1是一种磁耦合的非线性宽频带压电能量俘获系统示意图，以此为例，推导宽频带压电能量俘获系统的非线性模型，并进行实验验证。实验装置中，由激振器、信号发生器和功率放大器组成激励源发生系统，对压电磁耦合能量俘获系统进行激励。用示波器实时获取并显示系统产生的电压等实验数据。用微型测力仪测量系统的非线性回复力。图2所示为系统的结构原理图，整个结构由压电材料、中间金属层、悬臂梁端部磁铁、外部磁铁等组成。外部磁铁在悬臂梁运动的空间产生磁场，使得悬臂梁受到非线性磁场力的作用，从而将悬臂梁的线性刚度调节成非线性刚度，运动过程中将呈现出明显的非线性动力学特性。图2中，d表示两个外部磁铁在水平方向上的中心距，h表示悬臂梁端部磁铁与外部磁铁在竖直方向上的中心距，a表示外部磁铁与水平方向的夹角。

一种宽频带压电能量俘获系统的非线性建模方法，包括以下步骤：

1）使用力测量仪器直接测量宽频带压电能量俘获系统中的非线性回复力；

2）采用多项式方程拟合系统中的非线性回复力数据，得到非线性回复力的表达式及表达式中的参数值，如下：

F_r＝a₀+a₁z(t)+a₂z(t)²+...+a_nz(t)ⁿ    (1)

式中：F_r为系统总的非线性回复力；z(t)为悬臂梁端部沿z方向的瞬时位移；a₀,a₂,..a_n为多项式系数；

3）根据哈密顿原理、压电理论、Rayleigh-Ritz原理、欧拉-伯努利梁理论、电场常值分布理论和Rayleigh阻尼定理，推导得到宽频带压电能量俘获系统的非线性动力学模型表达式和模型中的参数值，

压电悬臂梁的力学边界条件为夹持、电学边界条件为短路，符合第2类压电方程，其表达式为：

$\left.\begin{array}{c}T=c_{E}S-e_{t}E\\ D=\mathrm{eS}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{S}E\end{array}\right\}---\left(2\right)$

式中：S为应变；T为应力；E为电场强度；D为电位移矢量；e为压电应力常数张量；e_t为e的转置矩阵；c_E为电场强度为常数时压电材料的弹性刚度系数；ε_S为应变为常数时的介电常数；

根据哈密顿原理，压电悬臂梁拉格朗日函数的变分V.I在任何时间段t₁、t₂内应该恒为0，即有：

$V.I={\&Integral;}_{t_1}^{t_2}[{\mathrm{\&delta;E}}_k-{\mathrm{\&delta;E}}_p+\mathrm{f\&delta;x}]\mathrm{dt}=0---\left(3\right)$

式中：δ为变分符号；E_k、E_p、fδx分别为动能、势能、外部激励能；

由于悬臂梁端部质量块变形微小，将其视为集中质量，则(3)中各量可表示为：

$\left.\begin{array}{c}{E}_k=0.5{\&Integral;}_{V_s}{\mathrm{\&rho;}}_s{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_s+0.5{\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&rho;}}_p{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_p+0.5m_t{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}\\ E_p=0.5{\&Integral;}_{V_s}{S}_t\mathrm{Td}{V}_s+0.5{\&Integral;}_{V_p}{S}_t\mathrm{Td}{V}_p-0.5{\&Integral;}_{V_p}{E}_t\mathrm{Dd}{V}_p\\ \mathrm{f\&delta;x}=\underset{i=1}{\overset{N_f}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&delta;u}\left(x_i\right)\&CenterDot;f_i\left(x_i\right)-\underset{j=1}{\overset{N_q}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&delta;v}\&CenterDot;q_j\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式中：V_s、V_p分别为中间层体积、压电层体积；ρ_s、ρ_p分别为中间层密度、压电层密度；u为z方向挠度；m_t是端部集中质量；N_f和N_q分别为作用在悬臂梁的力的个数、电量的个数；u(x_i)和f_i(x_i)分别为x_i处的位移、作用在x_i处的力；v、q分别为作用在悬臂梁上的电压、电荷；下标s、p分别表示中间层、压电层；下标t只是表示对参数转置，没有其他含义；

将压电方程式(2)代入式(4)中，可得：

$E_p=\frac{1}{2}({\&Integral;}_{V_s}{S}_t{c}_s\mathrm{Sd}{V}_s+{\&Integral;}_{V_p}{S}_t{c}_E\mathrm{Sd}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}{S}_t{e}_t\mathrm{Ed}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}{E}_t\mathrm{eSd}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}{E}_t{\mathrm{\&epsiv;}}_S\mathrm{Ed}{V}_p)$

式中：c_s为中间层的弹性刚度系数，得E_k和E_p的变分为：

${\mathrm{\&delta;E}}_k=\frac{1}{2}{\&Integral;}_{V_s}{\mathrm{\&rho;}}_s\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_s+\frac{1}{2}{\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&rho;}}_p\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_p+\frac{1}{2}{m}_t\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}$

${\mathrm{\&delta;E}}_p=\frac{1}{2}({\&Integral;}_{V_s}\mathrm{\&delta;}{S}_t{c}_s\mathrm{Sd}{V}_s+{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{S}_t{c}_E\mathrm{Sd}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{S}_t{e}_t\mathrm{Ed}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{E}_t\mathrm{eSd}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{E}_t{\mathrm{\&epsiv;}}_S\mathrm{Ed}{V}_p)$

将上式代入式(3)可得：

$V.I=\frac{1}{2}{\&Integral;}_{t_1}^{t_2}\left[\begin{array}{c}{\&Integral;}_{V_s}{\mathrm{\&rho;}}_s\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_s+{\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&rho;}}_p\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_p+m_t\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}-\\ {\&Integral;}_{V_s}\mathrm{\&delta;}{S}_t{c}_s\mathrm{Sd}{V}_s-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{S}_t{c}_E\mathrm{Sd}{V}_p+\\ {\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{S}_t{e}_t\mathrm{Ed}{V}_p+{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{E}_t\mathrm{eSd}{V}_p+\\ {\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{E}_t{\mathrm{\&epsiv;}}_S\mathrm{Ed}{V}_p+\underset{i=1}{\overset{N_f}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&delta;u}\left(x_i\right)\&CenterDot;f_i\left(x_i\right)-\\ \underset{j=1}{\overset{N_q}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&delta;v}\&CenterDot;q_j\end{array}\right]\mathrm{dt}=0---\left(5\right)$

为了求得(5)的解，对系统做如下假设：

a.假设压电悬臂梁遵循Rayleigh-Ritz原理，即认为悬臂梁在x方向上各点的挠度是所分析的各阶模态的组合，得到

$u(x,t)=\underset{i=1}{\overset{N_m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&phi;}}_i\left(x\right)r_i\left(t\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)r\left(t\right)---\left(6\right)$

式中：N_m为分析的模态数；φ_i(x)、Φ(x)分别为第i阶模态的振型函数、总的模态振型函数矩阵；r_i(t)是第i阶模态振型对应随时间变化的系数矩阵，其方向是沿z方向；r(t)总的模态振型函数矩阵对应的系数矩阵；

b.假设压电悬臂梁遵循欧拉-伯努利梁理论，即悬臂梁上某点的应力是该点的挠度关于悬臂梁长度的二阶导数和其与中性层距离的乘积

$S=-z\frac{{\&PartialD;}^{2}u(x,t)}{{\&PartialD;x}^2}=-\mathrm{z\&Phi;}{\left(x\right)}^{\&prime;\&prime;}r\left(t\right)---\left(7\right)$

式中：z为悬臂梁上的点到中性层的距离；

c.假设电场在压电片上的分布是常值，此时有

$E=\mathrm{\&psi;}\left(z\right)v\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-v/t_p& t_s/2<z<t_s/2+t_p\\ 0& -t_s/2<z<t_s/2\\ v/t_p& -t_s/2-t_p<z<-t_s/2\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中：t_s、t_p分别为中间层厚度、压电层厚度；

当悬臂梁自身电容大时具有好的输出特性时，z方向的电压常函数v(t)=v，场函数为：

$\mathrm{\&psi;}\left(z\right)=\left\{\begin{array}{cc}-1/t_p& t_s/2<z<t_s/2+t_p\\ 0& -t_s/2<z<t_s/2\\ 1/t_p& -t_s/2-t_p<z<-t_s/2\end{array}\right.---\left(9\right)$

将端部质量块看作集中质量，得到系统的质量矩阵为

$\left.\begin{array}{c}{M}_s={\&Integral;}_{V_s}{\mathrm{\&rho;}}_s\mathrm{\&Phi;}\left(x\right){\mathrm{\&Phi;}}_t\left(x\right)d{V}_s\\ M_p={\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&rho;}}_p\mathrm{\&Phi;}\left(x\right){\mathrm{\&Phi;}}_t\left(x\right)d{V}_p\\ M_t=m_t\mathrm{\&Phi;}\left(x_t\right){\mathrm{\&Phi;}}_t\left(x_t\right)\end{array}\right\}---\left(10\right)$

式中：M_s、M_p、M_t分别表示中间层质量矩阵、压电层质量矩阵、端部质量块质量矩阵；Φ(x_t)表示端部质量块在xt处的振型函数矩阵；下标t表示对矩阵的转置；则总的质量矩阵M=M_s+M_p+M_t，

机电耦合矩阵为

$\mathrm{\&Theta;}=-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{z\&Phi;}{\left(x\right)}^{\&prime;\&prime;}{e}_{31}^T\mathrm{\&psi;}\left(z\right)d{V}_p---\left(11\right)$

式中：

为31模式下的压电应力常数张量，

电容矩阵为

$C_p={\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&psi;}}_t\left(z\right){\mathrm{\&epsiv;}}_S\mathrm{\&psi;}\left(z\right)d{V}_p---\left(12\right)$

考虑到系统中存在阻尼，根据Rayleigh阻尼有

C＝αM+βK    (13)

式中：K为无磁场作用时线性压电悬臂梁的刚度矩阵；α、β分别为质量矩阵、刚度矩阵的加权系数，

由于系统产生的是电荷，输出端是连接负载的，因此，用电阻R表示负载，其电边界条件为

$v\left(t\right)=-R\stackrel{\&CenterDot;}{q}\left(t\right)---\left(14\right)$

由于悬臂梁在根部受到激励，等效为梁上均匀分布的惯性力。将方程(1)-(2)、(6)-(13)代入到方程(5)，得到系统各阶模态下的非线性动力学模型

$\left.\begin{array}{c}M\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}\left(t\right)+C\stackrel{\&CenterDot;}{r}\left(t\right)+F_r-\mathrm{\&Theta;v}\left(t\right)=F\\ \stackrel{\&CenterDot;}{v}\left(t\right)-{C_p}^{-1}{\mathrm{\&Theta;}}_{t}r\left(t\right)+{C_p}^{-1}{R}^{-1}v\left(t\right)=0\end{array}\right\}---\left(15\right)$

式中：F为外界激励力。

本发明非线性建模方法的验证：

设置三个参数d、h、a分别为62.60mm、11.14mm、7°，非线性回复力的测量数据和拟合曲线如图3所示。激励信号选取为正弦扫频信号，频率范围0-25Hz，加速度值为0.585g，频率变化速率分别为0.45Hz/秒（升频）和-0.45Hz/秒（降频）。

图4和图5为上述参数下的仿真和实验结果。当激励信号为升频的正弦信号扫频时，仿真中的最大电压为25.0V、跳跃频率为15.3Hz、有效频带宽度为11Hz，实验中的最大电压、跳跃频率和有效频带宽度与仿真中的值相近，分别为24.1V、14.4Hz和11Hz。当激励信号变为降频的正弦信号扫频，仿真中的最大电压、跳跃频率和有效频带宽度分别为17.8V、10.9Hz和6Hz，此时相应的实验值分别为18.6V、11.4Hz和7Hz，仿真与实验数据误差较小，当激励信号的频率大于跳跃频率时，压电磁耦合悬臂梁的振动较小。

上述结果表明，本发明提出的非线性建模方法可以准确描述宽频带压电能量俘获系统的动力学特性，仿真中得到的系统的跳跃频率、最大电压和有效频带等关键指标与实验结果基本一致。

Claims (2)

1.一种宽频带压电能量俘获系统的非线性建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

1）使用力测量仪器直接测量宽频带压电能量俘获系统中的非线性回复力，所述宽频带压电能量俘获系统包括基于机械原理的悬臂梁式非线性压电能量俘获系统和磁耦合的悬臂梁式非线性压电能量俘获系统；

2）采用多项式方程拟合系统中的非线性回复力数据，得到非线性回复力的表达式及表达式中的参数值；

3）根据哈密顿原理、压电理论、Rayleigh-Ritz原理、欧拉-伯努利梁理论、电场常值分布理论和Rayleigh阻尼定理，推导得到宽频带压电能量俘获系统的非线性动力学模型表达式和模型中的参数值。

2.根据权利要求1所述的一种宽频带压电能量俘获系统的非线性建模方法，其特征在于：步骤3）的具体推导过程为：

当压电悬臂梁的力学边界条件为夹持、电学边界条件为短路，符合第2类压电方程，其表达式为：

$\left.\begin{array}{c}T=c_{E}S-e_{t}E\\ D=\mathrm{eS}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{S}E\end{array}\right\}---\left(2\right)$

式中：S为应变；T为应力；E为电场强度；D为电位移矢量；e为压电应力常数张量；e_t为e的转置矩阵；c_E为电场强度为常数时压电材料的弹性刚度系数；ε_S为应变为常数时的介电常数；

根据哈密顿原理，压电悬臂梁拉格朗日函数的变分V.I在任何时间段t₁、t₂内应该恒为0，即有：

$V.I={\&Integral;}_{t_1}^{t_2}[{\mathrm{\&delta;E}}_k-{\mathrm{\&delta;E}}_p+\mathrm{f\&delta;x}]\mathrm{dt}=0---\left(3\right)$

式中：δ为变分符号；E_k、E_p、fδx分别为动能、势能、外部激励能；

由于悬臂梁端部质量块变形微小，将其视为集中质量，则式(3)中各量可表示为：

$\left.\begin{array}{c}{E}_k=0.5{\&Integral;}_{V_s}{\mathrm{\&rho;}}_s{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_s+0.5{\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&rho;}}_p{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_p+0.5m_t{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}\\ E_p=0.5{\&Integral;}_{V_s}{S}_t\mathrm{Td}{V}_s+0.5{\&Integral;}_{V_p}{S}_t\mathrm{Td}{V}_p-0.5{\&Integral;}_{V_p}{E}_t\mathrm{Dd}{V}_p\\ \mathrm{f\&delta;x}=\underset{i=1}{\overset{N_f}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&delta;u}\left(x_i\right)\&CenterDot;f_i\left(x_i\right)-\underset{j=1}{\overset{N_q}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&delta;v}\&CenterDot;q_j\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式中：V_s、V_p分别为中间层体积、压电层体积；ρ_s、ρ_p分别为中间层密度、压电层密度；u为z方向挠度；m_t是端部集中质量；N_f和N_q分别为作用在悬臂梁的力的个数、电量的个数；u(x_i)和f_i(x_i)分别为x_i处的位移、作用在x_i处的力；v、q分别为作用在悬臂梁上的电压、电荷；下标s、p分别表示中间层、压电层；下标t只是表示对参数转置，没有其他含义；

将压电方程式(2)代入式(4)中，可得：

$E_p=\frac{1}{2}({\&Integral;}_{V_s}{S}_t{c}_s\mathrm{Sd}{V}_s+{\&Integral;}_{V_p}{S}_t{c}_E\mathrm{Sd}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}{S}_t{e}_t\mathrm{Ed}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}{E}_t\mathrm{eSd}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}{E}_t{\mathrm{\&epsiv;}}_S\mathrm{Ed}{V}_p)$

式中：c_s为中间层的弹性刚度系数，得E_k和E_p的变分为：

${\mathrm{\&delta;E}}_k=\frac{1}{2}{\&Integral;}_{V_s}{\mathrm{\&rho;}}_s\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_s+\frac{1}{2}{\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&rho;}}_p\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_p+\frac{1}{2}{m}_t\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}$

${\mathrm{\&delta;E}}_p=\frac{1}{2}({\&Integral;}_{V_s}\mathrm{\&delta;}{S}_t{c}_s\mathrm{Sd}{V}_s+{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{S}_t{c}_E\mathrm{Sd}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{S}_t{e}_t\mathrm{Ed}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{E}_t\mathrm{eSd}{V}_p-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{E}_t{\mathrm{\&epsiv;}}_S\mathrm{Ed}{V}_p)$

将上式代入式(3)可得：

$V.I=\frac{1}{2}{\&Integral;}_{t_1}^{t_2}\left[\begin{array}{c}{\&Integral;}_{V_s}{\mathrm{\&rho;}}_s\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_s+{\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&rho;}}_p\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}d{V}_p+m_t\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_t\stackrel{\&CenterDot;}{u}-\\ {\&Integral;}_{V_s}\mathrm{\&delta;}{S}_t{c}_s\mathrm{Sd}{V}_s-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{S}_t{c}_E\mathrm{Sd}{V}_p+\\ {\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{S}_t{e}_t\mathrm{Ed}{V}_p+{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{E}_t\mathrm{eSd}{V}_p+\\ {\&Integral;}_{V_p}\mathrm{\&delta;}{E}_t{\mathrm{\&epsiv;}}_S\mathrm{Ed}{V}_p+\underset{i=1}{\overset{N_f}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&delta;u}\left(x_i\right)\&CenterDot;f_i\left(x_i\right)-\\ \underset{j=1}{\overset{N_q}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&delta;v}\&CenterDot;q_j\end{array}\right]\mathrm{dt}=0---\left(5\right)$

为了求得式(5)的解，对系统做如下假设：

a.假设压电悬臂梁遵循Rayleigh-Ritz原理，即认为悬臂梁在x方向上各点的挠度是所分析的各阶模态的组合，得到

$u(x,t)=\underset{i=1}{\overset{N_m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&phi;}}_i\left(x\right)r_i\left(t\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)r\left(t\right)---\left(6\right)$

式中：N_m为分析的模态数；φ_i(x)、Φ(x)分别为第i阶模态的振型函数、总的模态振型函数矩阵；r_i(t)是第i阶模态振型对应随时间变化的系数矩阵，其方向是沿z方向；r(t)总的模态振型函数矩阵对应的系数矩阵；

b.假设压电悬臂梁遵循欧拉-伯努利梁理论，即悬臂梁上某点的应力是该点的挠度关于悬臂梁长度的二阶导数和其与中性层距离的乘积

$S=-z\frac{{\&PartialD;}^{2}u(x,t)}{{\&PartialD;x}^2}=-\mathrm{z\&Phi;}{\left(x\right)}^{\&prime;\&prime;}r\left(t\right)---\left(7\right)$

式中：z为悬臂梁上的点到中性层的距离；

c.假设电场在压电片上的分布是常值，此时有

$E=\mathrm{\&psi;}\left(z\right)v\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-v/t_p& t_s/2<z<t_s/2+t_p\\ 0& -t_s/2<z<t_s/2\\ v/t_p& -t_s/2-t_p<z<-t_s/2\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中：t_s、t_p分别为中间层厚度、压电层厚度；

当悬臂梁自身电容大时具有好的输出特性时，z方向的电压常函数v(t)=v，场函数为：

$\mathrm{\&psi;}\left(z\right)=\left\{\begin{array}{cc}-1/t_p& t_s/2<z<t_s/2+t_p\\ 0& -t_s/2<z<t_s/2\\ 1/t_p& -t_s/2-t_p<z<-t_s/2\end{array}\right.---\left(9\right)$

将端部质量块看作集中质量，得到系统的质量矩阵为

$\left.\begin{array}{c}{M}_s={\&Integral;}_{V_s}{\mathrm{\&rho;}}_s\mathrm{\&Phi;}\left(x\right){\mathrm{\&Phi;}}_t\left(x\right)d{V}_s\\ M_p={\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&rho;}}_p\mathrm{\&Phi;}\left(x\right){\mathrm{\&Phi;}}_t\left(x\right)d{V}_p\\ M_t=m_t\mathrm{\&Phi;}\left(x_t\right){\mathrm{\&Phi;}}_t\left(x_t\right)\end{array}\right\}---\left(10\right)$

式中：M_s、M_p、M_t分别表示中间层质量矩阵、压电层质量矩阵、端部质量块质量矩阵；Φ(x_t)表示端部质量块在x_t处的振型函数矩阵；下标t表示对矩阵的转置；则总的质量矩阵M=M_s+M_p+M_t，

机电耦合矩阵为

$\mathrm{\&Theta;}=-{\&Integral;}_{V_p}\mathrm{z\&Phi;}{\left(x\right)}^{\&prime;\&prime;}{e}_{31}^T\mathrm{\&psi;}\left(z\right)d{V}_p---\left(11\right)$

式中：

为31模式下的压电应力常数张量，

电容矩阵为

$C_p={\&Integral;}_{V_p}{\mathrm{\&psi;}}_t\left(z\right){\mathrm{\&epsiv;}}_S\mathrm{\&psi;}\left(z\right)d{V}_p---\left(12\right)$

考虑到系统中存在阻尼，根据Rayleigh阻尼有

C＝αM+βK    (13)

式中：K为无磁场作用时线性压电悬臂梁的刚度矩阵；α、β分别为质量矩阵、刚度矩阵的加权系数，

由于系统产生的是电荷，输出端是连接负载的，因此，用电阻R表示负载，其电边界条件为

$v\left(t\right)=-R\stackrel{\&CenterDot;}{q}\left(t\right)---\left(14\right)$

由于悬臂梁在根部受到激励，等效为梁上均匀分布的惯性力，将方程(1)-(2)、(6)-(13)代入到方程(5)，得到系统各阶模态下的非线性动力学模型

$\left.\begin{array}{c}M\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}\left(t\right)+C\stackrel{\&CenterDot;}{r}\left(t\right)+F_r-\mathrm{\&Theta;v}\left(t\right)=F\\ \stackrel{\&CenterDot;}{v}\left(t\right)-{C_p}^{-1}{\mathrm{\&Theta;}}_{t}r\left(t\right)+{C_p}^{-1}{R}^{-1}v\left(t\right)=0\end{array}\right\}---\left(15\right)$

式中：F为外界激励力。

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