CN103794118A - 二维大变形演示仪 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种二维大变形演示仪，该演示仪包括4根滑动钢条形成“井”字形，可在手动螺杆的带动下，在面内沿滑动钢条的垂直方向滑动；滑动钢条上放置多个滑动挂钩，挂钩一端与演示变形用的高弹性橡胶薄膜连接；滑动钢条上设有螺杆，滑动钢条上部设有面板，通过螺杆钢板与面板连接，使滑动钢条只能在相对面板的平面内直线平动；面板上有刻度和镂空的观察孔，用于观察橡胶薄膜的平面大变形。本发明的优点在于：能真实演示大变形和其中包含的旋转效果；试验操作直观；仪器容易操作；不易损坏。

Description

二维大变形演示仪

技术领域

本发明涉及一种对二维大变形下的应变进行演示和操作的试验装置，按国际专利分类表划分属于物理部，仪器分部，教育大类，教育或显示用具小类，科学、医学或数学用的模型大组，固体小组的技术领域。

背景技术

由于数学处理上的区别，固体力学中的应变在理论上分为大应变和小应变两种。小应变可采用一次求导的方式得到，计算公式成立的应变范围一般在5％以内，且不允许变形中包含较大的转动。大应变计算则必须考虑旋转效应，且计算不能使用线性求导直接得到。

绝大多数固体材料在使用过程中均处于小应变范围，教学中可以通过电子应变仪进行演示，但电子应变仪的显示范围大部分只能达到±5％。严格来说，低于5％的演示在大变形的应变教学中没实用价值。其次，即使使用高延伸率应变片(应变量程可达到±20％)，对于理解真正的大变形也不够直观，而且容易损坏电子应变片。另外，实现大变形需要特殊设计的柔性试件和加载方式，应变片本身的刚度会对试件的变形产生不可忽视的影响。

在对固体力学理论的进一步学习中，又或者在研究超弹性材料(例如橡胶)的过程中，需要学生理解大应变的概念和计算方式。大变形下的应变计算不仅复杂，而且不容易理解透彻，一直以来都缺乏相应的演示仪器。

发明内容

本发明的目的在于提供一种供学生学习理解和操作验证大变形下应变计算的教学仪器。在采用了“井”字形滑动钢棍和滑动挂钩的设计后，能够在弹性薄片上直观的进行二维的大变形效果演示。采用本发明并结合理论学习，能够能对大应变理论的计算公式进行直接验证，并帮助学生理解大变形下应变定义中的旋转和主应变概念。

本发明的技术方案为：一种用于演示大变形应变的教学用具，4根滑动钢条形成“井”字形，可在手动螺杆的带动下，在面内沿滑动钢条的垂直方向滑动；滑动钢条上放置多个滑动挂钩，挂钩一端与演示变形用的高弹性橡胶薄膜连接；滑动钢条上设有螺杆，滑动钢条上部设有面板，通过螺杆钢板与面板连接，使滑动钢条只能在相对面板的平面内直线平动；面板上有刻度和镂空的观察孔，用于观察橡胶薄膜的平面大变形。

采用电动方式使螺杆旋转并带动滑动钢条运动。

使用卡口或自锁方式的拉杆代替螺杆，用于带动滑动钢条运动。

面板上有观察变形用的透明部分。

一种实验教学使用的二维大变形手动演示仪，该装置包括观测辅助装置，面板、机械运动装置和演示主体部件四个部分。

演示主体部件为一片高弹性的方形橡胶薄膜，在贴近四边边缘6～10毫米的位置用空心铆钉形成等距的单排拉孔，通过演示仪的机械运动装置进行双向拉伸来达到大变形演示的目的。

机械运动装置由4根滑动钢条、多个滑动挂钩(或可滑动的钢片架)和运动螺杆组成。4根滑动钢条在面板下部形成独立滑动的“井”字型，滑动挂钩可在滑动钢条上滑动并与橡胶薄膜拉孔连接。滑动钢条上的运动螺杆可通过旋转方式带动4根滑动钢条运动。

面板呈正方形，四边中部有用于限定机械运动装置的耳板，耳板上开螺纹孔，用于限定并配合运动螺杆的运动。面板中间开有圆形观察孔，用于学生进行变形的观查和测量。面板上印有指示位移和角度的刻度，位移刻度能指示当前方向的位移数值(或主应变数值)；角度刻度与观测辅助装置一起使用，用于测定应变中包含的转动。

观测辅助装置为观察片和方形印章。观察片为透明圆片，放置在面板的观察孔上，并可以在观察孔内转动。观察片边缘印有记号，用于设定大变形试验中计算出的旋转角度。观察片中间开方孔，方形印章可从方孔中通过，并在橡胶薄膜上盖出印章中刻好的单元边线图。

实际使用过程中，通过旋转限定在面板上的运动螺杆，使4根“井”字形滑动钢条两两做相向(或相背离)运动，滑动钢条上的滑动挂钩将滑动钢条的运动传递给高弹性薄膜，使薄膜在两个方向上相互独立的产生收缩(或拉伸)。学生可以通过面板上的观察孔和位移刻度直接观察操作产生的变形，并使用印章和角度刻度对比变形前后的单元形状以及变形中包含的旋转分量。

本发明的优点在于：演示主体部件能够实现二维主应力方向(两个相互垂直的方向)上独立的拉伸或压缩1倍的变形，足够在教学中提供大变形的直观演示。不需要贴应变片和特殊设计的加载试件，大变形效果的精确程度不受应变片刚度影响。能够读出或测定不同方向上的应变数值。能够直观看到并读出大变形下应变中的旋转分量。能够反复使用，演示主体部分即使损坏也易于补充。

附图说明

图1为本发明应变仪的面板三维图(侧上方视图)；

图2为本发明应变仪的机械运动装置三维图；

图3为滑动挂钩图与薄膜拉孔及滑动钢条的连接示意图；

图4为本发明应变仪的三维图(侧下方试图)；

图5a为应变理论中仅仅画出边界位置变形的示意图；

图5b为应变理论中画出2×2网格变形的示意图；

图5c为应变理论中画出4×4网格变形的示意图；

图6a为尺度1.0时一点处的实际变形与一阶近似的对比图；

图6b为尺度0.1时一点处的实际变形与一阶近似的对比图；

图6c为尺度0.01时一点处的实际变形与一阶近似的对比图；

图7为二维应变理论单位化后的变形与导数含义示意图；

图8为二维应变理论例1中偏导矩阵代表的变形示意图；

图9为二维应变理论例2中大变形下与应变对应的应力方向；

图10a为二维应变理论例3中，小变形理论对k=0.02时的应力解释；

图10b为二维应变理论例3中，小变形理论对k=2时的应力解释；

图11为二维应变理论例3中，大变形理论对k=2时的应力解释；

图12为使用应变演示仪对例3中的大变形操作时的图形变化。

示意图中的标号说明：

1——面板     2——滑动钢条   3——运动螺杆

4——滑动挂钩 5——高弹性薄膜 6——耳板

7——拉孔     8——定位橡皮套 9——微型滚动轴承

具体实施方式

试验的具体操作过程如下(详细的理论推导在配套的指导书中)：

1、将高弹性薄片与挂钩相连，套上定位橡皮套。

2、将运动螺杆旋至面板上的变形零点。

3、教师设定试验用的大变形，学生算出相应映射函数的偏导矩阵。

4、通过偏导矩阵数值计算主应变方向和主应变大小。

5、分解偏导矩阵，得到旋转矩阵和纯应变矩阵。

6、根据主应变方向，通过观察片和印章在薄膜上印出原始单元。

7、根据主应变大小，调节运动螺杆至主应变对应位置。

8、根据旋转矩阵，再次调整印章位置并在新方位处印出参考单元。

9、移开观察片，测量并验证变形的实际效果和计算的正确性。

10、验证主应变矩阵和纯应变矩阵间的张量关系。

二维应变理论和演示仪的使用

一、一点处的变形描述和位移函数的偏导矩阵

应变用于表示一点处的变形程度。具体的说是一点处微元的变形后形状对于变形前形状的几何改变特点。

大变形的宏观描述中，我们一般使用变长多少倍、长度增加百分之多少或角度变化来对变形的程度进行描述。在这种描述中，我们的比例基准都是原始长度或角度。类似的，在微观尺度上，我们依然采用变形量与原始尺寸之间的 比例加以描述，数值上表现为微(线)元端部位移(差)与微(线)元的原始尺寸之间的比例。

为得到二维应变的表达，需要知道每个点处的位移，称为位移函数位移函数为向量函数，包含两个投影函数u(x，y)和v(x，y)，记为

自变量为物质点在未变形时的坐标，函数值为该物质点在变形过程中的位移。值得注意的是，仅仅知道边界变化并不能说明每一点处的变形特点(即应变)。如图5所示(图中变形对应的位移函数为 $\stackrel{\‾}{U}(x,y)=(0.6x^2+0.2y-\mathrm{0.2,0.4}{y}^2-0.5x^2+0.1)).$

两点间的位移差等于

原始尺寸的向量表达为

两者之间的比例在数学上的相关概念为位移函数的偏导矩阵

$\stackrel{\‾}{R}(x,y)=\frac{\∂\stackrel{\‾}{U}}{\∂\stackrel{\‾}{x}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\∂u(x,y)}{\∂x}& \frac{\∂u(x,y)}{\∂y}\\ \frac{\∂v(x,y)}{\∂x}& \frac{\∂v(x,y)}{\∂y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{R}_{11}(x,y)& R_{12}(x,y)\\ R_{21}(x,y)& R_{22}(x,y)\end{array}\right)$

当某点(x^*，y^*)处的微面积元(正方形)的尺寸足够小时，变形后的形状将成为一个微小的平行四边形。若令该微小面积元四个顶点的原始坐标为：

$\left(\begin{array}{cc}C& D\\ A& B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(x^{*},y^{*}+\mathrm{\Δy})& (x^{*}+\mathrm{\Δx},y^{*}+\mathrm{\Δy})\\ (x^{*},y^{*})& (x^{*}+\mathrm{\Δx},y^{*})\end{array}\right)$

则经过位移函数表示的变形后，四个新顶点的坐标为：

$\left(\begin{array}{cc}{C}^{\′}& D^{\′}\\ A^{\′}& B^{\′}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(x^{*},y^{*}+\mathrm{\Δy})+\stackrel{\‾}{U}(x^{*},y^{*}+\mathrm{\Δy})& (x^{*}+\mathrm{\Δx},y^{*}+\mathrm{\Δy})+\stackrel{\‾}{U}(x^{*}+\mathrm{\Δx},y^{*}+\mathrm{\Δy})\\ (x^{*},y^{*})+\stackrel{\‾}{U}(x^{*},y^{*})& (x^{*}+\mathrm{\Δx},y)+\stackrel{\‾}{U}(x^{*}+\mathrm{\Δx},y^{*})\end{array}\right)$

在点(x^*，y^*)处采用一阶泰勒展开，并利用偏导矩阵的定义，新顶点和原始顶点之间的位移差可以近似写为：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}{C}^{\′}& D^{\′}\\ A^{\′}& B^{\′}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}C& D\\ A& B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{U}(x^{*},y^{*}+\mathrm{\Δy})& \stackrel{\‾}{U}(x^{*}+\mathrm{\Δx},y^{*}+\mathrm{\Δy})\\ \stackrel{\‾}{U}(x^{*},y^{*})& \stackrel{\‾}{U}(x^{*}+\mathrm{\Δx},y^{*})\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{U}(x^{*},y^{*})+\stackrel{\‾}{R}(x^{*},y^{*})\·\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\Δy}\end{array},\right)& \stackrel{\‾}{U}(x^{*},y^{*})\text{+}\stackrel{\‾}{R}(x^{*},y^{*})\·\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ \mathrm{\Δy}\end{array}\right)\\ \stackrel{\‾}{U}\stackrel{}{(x^{*},y^{*})}& \stackrel{\‾}{U}(x^{*},y^{*})+\stackrel{\‾}{R}(x^{*},y^{*})\·\left(,\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ 0\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}$

由于位移差中存在一个常矢量

其代表的含义是整体平移，因此，在一阶近似的情况下，真正的变形比较可以认为是以下两个四边形之间的比较：

移至原点的变形前正方形： $\left(\begin{array}{cc}(0,\mathrm{\Δy})& (\mathrm{\Δx},\mathrm{\Δy})\\ \left(\mathrm{0,0}\right)& (\mathrm{\Δx},0)\end{array}\right)$

经过平移的变形后四边形： $\left(\begin{array}{cc}(0,\mathrm{\Δy})+\stackrel{\‾}{R}(x^{*},y^{*})\·\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\Δy}\end{array}\right)& (\mathrm{\Δx},\mathrm{\Δy})+\stackrel{\‾}{R}(x^{*},y^{*})\·\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ \mathrm{\Δy}\end{array}\right)\\ \left(\mathrm{0,0}\right)& (\mathrm{\Δx},0)+\stackrel{\‾}{R}(x^{*},y^{*})\·\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ 0\end{array}\right)\end{array}\right)$

以图5所示变形为例，讨论原始位置在(0.2，0.2)处的点的变形程度。容易知道该点处的偏导矩阵为 $\stackrel{\‾}{R}\left(\mathrm{0.2,0.2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.24& 0.2\\ -0.2& 0.16\end{array}\right).$ 当微面积元的尺寸逐渐减小时，变形前微元(ABCD)、变形后的微元(A’B’C’D’)以及一阶近似下的四边形如图6所示。

由于要比较的两个四边形尺寸上并不需要具体数值规定(即Δx和Δy的数值足够小时并不影响对变形程度的描述)，不妨令Δx＝Δy＝1。此时在点(x^*，y^*)处，为了计算应变而进行比较的四边形坐标为： $\left(\begin{array}{cc}(R_{12},1+R_{22})& (1+R_{11}+R_{12},1+R_{21}+R_{22})\\ \left(\mathrm{0,0}\right)& (1+R_{11},R_{21})\end{array}\right),$ 两个四边形的坐标具体情况如图7所示。需要注意的是，R_ij均有正负号。其中(R₁₁，R₂₁)表示向量(R₁₂，R₂₂)表示向量

二、小变形情况下偏导矩阵中的数值含义

通常意义下，点(x^*，y^*)被认为处于小变形状态的条件有两个：(1)偏导矩阵

中的每一个数R_ij(x^*，y^*)<<1；(2)材料仍处于线弹性阶段。这里我们仅仅从几何上考虑，不讨论是否处于线弹性范围的问题。

在小变形条件下、考虑角度和R_ij的正负号，容易得知 $\&angle;{\mathrm{BAB}}^{\&prime;}=\arctan \left(\frac{R_{21}}{1+R_{11}}\right)\&ap;R_{21},\&angle;C^{\&prime;}\mathrm{AC}=\arctan \left(\frac{R_{12}}{1+R_{22}}\right)\&ap;R_{12},$ 且从图3容易看出以下结论：

(1)R₁₁(x^*，y^*)可以表示在点(x^*，y^*)处，x方向微线元

变形后的伸长百分比。即 $R_{11}(x^{*},y^{*})\&ap;{\mathrm{\&epsiv;}}_x=\frac{l_{A^{\&prime;}{B}^{\&prime;}}-l_{\mathrm{AB}}}{l_{\mathrm{AB}}}.$

(2)R₂₂(x^*，y^*)可以表示在点(x^*，y^*)处，y方向微线元

变形后的伸长百分比。即 $R_{22}(x^{*},y^{*})\&ap;{\mathrm{\&epsiv;}}_y=\frac{l_{A^{\&prime;}{C}^{\&prime;}}-l_{\mathrm{AC}}}{l_{\mathrm{AC}}}.$

(3)R₁₂(x^*，y^*)+R₂₁(x^*，y^*)可以表示在点(x^*，y^*)处，x和y方向微线元之间的 直角在变形后减少的弧度数。即 $R_{12}(x^{*},y^{*})+R_{21}(x^{*},y^{*})\&ap;\mathrm{\&gamma;}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-\&angle;B^{\&prime;}{A}^{\&prime;}{C}^{\&prime;}.$

由于这些偏导矩阵中的数字能够直观反映出变形程度以及相应方向的应 力的大小，因此在小变形情况下可以直接使用偏导矩阵中的分量来定义工程应变。

三、大变形情况下的应变定义问题

大变形的一般定义是满足下列两个条件之一：(1)偏导矩阵

中至少有一个数R_ij(x^*，y^*)=O(1)；(2)材料的变形超出线弹性阶段。同样在这里不讨论线弹性问题。

由于对变形的描述(应变)在力学中必须与应力相关联，而不仅仅是一种几何表达。因此大变形中偏导数值R_ij虽然能表示变形，但却不再具有小变形时 与应力简单相关的特性(见下面的反例)，因此不能简单使用偏导数值R_ij来定义应变。偏导数值R_ij与相应方向应力不能简单相关的原因是大变形的偏导矩阵包含有对旋转的描述。

例1：若某点处的偏导矩阵数值为 $\stackrel{\&OverBar;}{R}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}-1& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-0.293& -0.707\\ 0.707& -0.293\end{array}\right),$ 试画出变形图，并说明该偏导矩阵中的数字大小不可能与应力大小相关。

依据图7所示的几何含义，容易画出该点处微元的变形图如图8所示。容易看出该变形是一个刚体旋转，直观上可知：由该偏导矩阵决定的微元并没有发生任何实质上的变形，也即是该微元处的应力为0。因此，不论是0.293还是0.707，都不可能与应力大小相关，因此不能直接用于应变的定义。

对于大变形下的应变定义，一般情况下是直接从映射函数的一阶近似入手的。映射函数也是一个矢量函数，可以写为自变量为物质点在未变形时的坐标，函数值为该物质点在变形后的坐标。从定义可知，映射函数与位移函数之间存在下面的关系：(X(x，y)，Y(x，y))=(x+u(x，y)，y+v(x，y))。从映射函数与位移函数之间的关系可知，映射函数的偏导矩阵为 $\stackrel{\&OverBar;}{F}=\left(\begin{array}{cc}{F}_{11}& F_{12}\\ F_{21}& F_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+R_{11}& R_{12}\\ R_{21}& 1+R_{22}\end{array}\right),$ 且有 $\left(\begin{array}{c}\mathrm{dX}\\ \mathrm{dY}\end{array}\right)=\stackrel{\&OverBar;}{F}\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}\mathrm{dx}\\ \mathrm{dy}\end{array}\right).$ 即在某点处任意一个带方向的小线段，变形后的线段矢量等于该点的映射函数偏导矩阵点乘变形前的线段矢量。

使用映射函数的一个好处是，在纯转动的情况下，偏导矩阵将成为一个正交矩阵，而位移函数则无法做到直接与正交阵相等。在非纯转动时，我们可以将分解为两个矩阵，其中一个为刚体转动，另一个则理解为纯变形。对于纯变形矩阵，我们要求它是对称性矩阵，虽然并没有一个严格的理由，但从应力对称，数学形式等方面来看这是合理的。

点(x^*，y^*)处偏导矩阵

的数学分解表达式如下：

$\stackrel{\&OverBar;}{F}(x^{*},y^{*})=\stackrel{\&OverBar;}{Q}(x^{*},y^{*})\&CenterDot;\stackrel{\&OverBar;}{P}(x^{*},y^{*})=\left(\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\&theta;}& -\sin \\ \sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right)\&CenterDot;\left(\begin{array}{cc}1+{\mathrm{\&epsiv;}}_x& 0.5\mathrm{\&gamma;}\\ 0.5\mathrm{\&gamma;}& 1+{\mathrm{\&epsiv;}}_y\end{array}\right)$

其中

和

分别为前置刚体旋转矩阵和纯变形矩阵，θ为单元发生纯变形后再沿逆时针旋转过的角度。对于一个给定的

矩阵，

和

中的各项可以通过解方程得到。具体的手动计算步骤如下：

(1)由 ${\stackrel{\&OverBar;}{Q}}^T\&CenterDot;\stackrel{\&OverBar;}{F}=\left(\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&theta;}\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right)\&CenterDot;\left(\begin{array}{cc}{F}_{11}& F_{12}\\ F_{21}& F_{22}\end{array}\right)={\stackrel{\&OverBar;}{Q}}^T\&CenterDot;\stackrel{\&OverBar;}{Q}\&CenterDot;\stackrel{\&OverBar;}{P}=\stackrel{\&OverBar;}{P}=\left(\begin{array}{cc}1+{\mathrm{\&epsiv;}}_x& 0.5\mathrm{\&gamma;}\\ 0.5\mathrm{\&gamma;}& 1+{\mathrm{\&epsiv;}}_y\end{array}\right)$ 可知，若

要求

为对称矩阵，θ满足cosθ(F₁₂-F₂₁)+sinθ(F₂₂+F₁₁)=0，解为 $\mathrm{\&theta;}=\arctan \left(\frac{F_{21}-F_{12}}{F_{22}+F_{11}}\right).$

(2)将得到的θ代入(1)中即可得到工程应变ε_x、ε_y和γ。

例2：分析位移函数偏导矩阵为 $\stackrel{\&OverBar;}{R}=\left(\begin{array}{cc}0.24& 0.2\\ -0.2& 0.16\end{array}\right)$ 时(即图7所示的变形)，变形所代表的应变数值。

解：从矩阵中的数值可知为大变形计算，采用映射函数的方式分析如下：由映射函数与位移函数偏导矩阵关系可得：

$\stackrel{\&OverBar;}{F}=\left(\begin{array}{cc}1+R_{11}& R_{12}\\ R_{21}& 1+R_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1.24& 0.2\\ -0.2& 1.16\end{array}\right),$

转动过的角度为：

此时的sinθ＝-0.1644，cosθ=0.9864。

将θ代入

的表达式后与点乘可得：

$\stackrel{\&OverBar;}{P}=\left(\begin{array}{cc}0.9864& 0.1644\\ -0.1644& 0.9864\end{array}\right)\&CenterDot;\left(\begin{array}{cc}1.24& 0.2\\ -0.2& 1.16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1.256& 0.0066\\ 0.0066& 1.177\end{array}\right)$

即可以认为当前的变形相当于工程应变ε_x=0.256、ε_y=0.177和γ=0.0132。

值得注意的是，虽然此时的ε_x代表的依然是x方向微线元变形后沿x方向的位移分量伸长百分比，但使用胡克定律对应的应力却不再是沿x方向，而是经过

矩阵旋转后的新方向，在这道例题中，是沿x方向顺时针旋转9.5°(＝arctan0.1667)。具体参见图9。

为了更直观地认识这种定义，我们举一个比较特别的例子。

例3：当变形对应的位移函数偏导矩阵为 $\stackrel{\&OverBar;}{R}=\left(\begin{array}{cc}0& k\\ 0& 0\end{array}\right),$ k为有限实数时，试进行合理的应变分析。

解：当k<<1时，采用小变形定义，可以认为物质点在该处为纯剪切，工程应变可以定义为：ε_x=ε_y=0，γ=k。对应的应力σ_x=σ_y=0，τ=G·k。如图10a所示。这种解释与常识相吻合。

当k=O(1)时，例如k=2，如果还采用小变形的应变定义，就会发现上面的解释中正应力为0显然有错误，因为从变形图(图10b)中可以看出物质变形带有非常明显的拉伸特征。σ_x=σ_y=0是明显的错误，因此小变形下的应变解释并不合适。

按照前述大变形的解释，当k＝2时，映射函数的偏导矩阵分解可以写为(角度的计算参见例题2)：

若还认为应力与应变满足胡克定律，则此时的解释为：(1)材料在该点处的变形有一个较大的转动，转角大小为-45°；(2)ε_y＝1.121，表示材料在转动后的y方向，即原坐标系45°方向上强烈受拉，具体情况如图11所示；(3)ε_x＝-0.293，表示原坐标系-45°方向上受压(或受拉，取决于泊松比的情况)；(4)γ＝0.707，表示该物质点受到很大的剪应力的影响。请注意标注应力时图11与图10b之间的区别。

大变形应变的数学表达并没有难度，但在应用时需要考虑两个方面：(1)胡克定律的使用；(2)试验结果的拟合。对于不同材料和不同的应变定义，均应以这两点为最后的准绳。为了配合胡克定律，人们有时会在上述计算的基础上另行定义应变的数值，这里不再介绍。

四、主应力方向及如何产生任意变形

对于大变形应变的主方向定义，我们的目的是要与应力的主方向相一致。上面的定义可以满足这一要求。这里不做证明，仅通过例题加以验证。

各向同性材料的主方向是通过其特点来定义的，这个特点是：在该方向上，不存在剪切应力，对应于应变则表示两个相互垂直的线元在变形后依然保持相 互垂直。这个条件在实践中有明显的正确性，也是应变演示仪使用的基本原理。

由于 $\left(\begin{array}{c}\mathrm{dX}\\ \mathrm{dY}\end{array}\right)=\stackrel{\&OverBar;}{F}\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}\mathrm{dx}\\ \mathrm{dy}\end{array}\right),$ 设α为某一任意方向，则变形前的两个相互垂直的线元可以表示为为 $\left(\begin{array}{c}\cos \mathrm{\&alpha;}\\ \sin \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right){\mathrm{dl}}_1$ 和 $\left(\begin{array}{c}-\sin \mathrm{\&alpha;}\\ \cos \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right){\mathrm{dl}}_2,$ 变形后线元为 $\stackrel{\&OverBar;}{F}\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}\cos \mathrm{\&alpha;}\\ \sin \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right){\mathrm{dl}}_1$ 和 $\stackrel{\&OverBar;}{F}\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}-\sin \mathrm{\&alpha;}\\ \cos \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right){\mathrm{dl}}_2,$ 若该方向为主方向，则需要变形后线元相互垂直，即 ${(\stackrel{\&OverBar;}{F}\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}\cos \mathrm{\&alpha;}\\ \sin \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right){\mathrm{dl}}_1)}^T\&CenterDot;\stackrel{\&OverBar;}{F}\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}-\sin \mathrm{\&alpha;}\\ \cos \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right){\mathrm{dl}}_2=0.$ 而且外力的真实作用方向应该在两个变形后的线元方向上。

展开上式并化简可得主方向的特征方程为：

2(F₁₁F₁₂+F₂₁F₂₂)cos2α+sin2α(F₁₂ ²+F₂₂ ²-F₁₁ ²-F₂₁ ²)=0

由此可得，主方向的角度在未变形前为： $\mathrm{\&alpha;}=\frac{1}{2}\arctan \frac{2(F_{11}{F}_{12}+F_{21}{F}_{22})}{{F_{11}}^2+{F_{21}}^2-{F_{12}}^2-{F_{22}}^2}.$

该应变主方向上的正应变为 $\frac{\mathrm{Norm}(\stackrel{\&OverBar;}{F}\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}\cos \mathrm{\&alpha;}\\ \sin \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right){\mathrm{dl}}_1)-{\mathrm{dl}}_1}{{\mathrm{dl}}_1}=\mathrm{Norm}(\stackrel{\&OverBar;}{F}\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}\cos \mathrm{\&alpha;}\\ \sin \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right))-1,$ 同样的，另一个方向的正应变为 $\mathrm{Norm}(\stackrel{\&OverBar;}{F}\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}-\sin \mathrm{\&alpha;}\\ \cos \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right))-1.$

需要注意的是，变形后的拉压应力主方向与变形前应变主方向之间存在一个纯转动，并不能直接用变形前的应变主方向表示应力的主方向。

例4：如何通过主方向的拉压方式在应变演示仪上得到例3中k＝2时的变形?

解：已知 $\stackrel{\&OverBar;}{F}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),$ 则由公式可得对应的应变主方向为：

$\mathrm{\&alpha;}=\frac{1}{2}\arctan \frac{2(1\&times;2+0\&times;1)}{1^2+0^2-2^2-1^2}=\frac{1}{2}\arctan (-1)=-\frac{\mathrm{\&pi;}}{8}$

该主方向上的正应变为：

另一个主方向上的正应变为：

应变中包含的旋转角为θ=-45°(见例题3)。

由此，以应变仪的拉压方向为参考，使用印章以-α角度在薄膜上印出待观察的单位正方形ABCD，在应变仪的x方向上使薄膜收缩58.58％，同时在y方向上使薄膜伸长141.42％，此时的ABCD将变为A'B'C'D’。为了能看到如例题3所示的对比，需要将用于画图的单位正方形逆时针旋转-α-θ，即将印章逆时针转过67.5°后重新在薄膜上印出用于对比的原始构型EFGH，具体的变化情况如图12所示。同学们可以通过直尺和量角器自行验证变形前后单元的几何特征是否与例题3相吻合。

这道大变形例题中包含了两个角度，第一个角度α是拉压主应力与原始单元方向之间的夹角，配合主应变的计算后决定了单元的变形程度；第二个角度θ则是在大变形完成后，在不改变变形程度的情况下，对变形后单元进行的旋转，目的是为了在空间位置上与观察结果保持一致。因此，真正的主应力位置在θ+α方向上。在实验中，主应力就是仪器的两个拉伸方向。

Claims (4)

1.一种用于演示大变形应变的教学用具，其特征在于：4根滑动钢条形成“井”字形，可在手动螺杆的带动下，在面内沿滑动钢条的垂直方向滑动；滑动钢条上放置多个滑动挂钩，挂钩一端与演示变形用的高弹性橡胶薄膜连接；滑动钢条上设有螺杆，滑动钢条上部设有面板，通过螺杆钢板与面板连接，使滑动钢条只能在相对面板的平面内直线平动；面板上有刻度和镂空的观察孔，用于观察橡胶薄膜的平面大变形。

2.根据权利要求1所述大应变演示仪，其特征在于：采用电动方式使螺杆旋转并带动滑动钢条运动。

3.根据权利要求1所述大应变演示仪，其特征在于：使用卡口或自锁方式的拉杆代替螺杆，用于带动滑动钢条运动。

4.根据权利要求1所述大应变演示仪，其特征在于：面板上有观察变形用的透明部分。

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