CN103780268A - 一种基于优化稀疏lu分解的ldpc编码算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法，与现有技术相比，得到的矩阵L和U具有更好的稀疏性，降低了存储空间和编码算法的复杂度，本发明可以直接获得LU分解后的下三角矩阵L和上三角矩阵U。根据类似E和COL_ORDER(i)的构造方法，可以通过向量row和col构造矩阵W和V。同时，本发明所提的编码算法和优化稀疏的LU分解可以推广到其他LDPC码应用场景。采用紧凑的存储方案，也进一步降低了存储空间，在CMMB标准实际应用中具有较好的前景。

Description

一种基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法

技术领域

本发明涉及一种基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法。

背景技术

LDPC码是一种逼近Shannon极限(0.0045dB)的信道编码，具有极低的错误平台(Error Floor)。CMMB标准中设计的LDPC码校验矩阵十分特殊，编码算法需要针对该校验矩阵进行优化设计。相关学者深入研究了CMMB标准中的LDPC编码算法，其编码算法主要基于LU分解。优化稀疏LU分解可保证编码算法的低复杂度和低存储空间，是CMMB标准中LDPC码编码算法的研究重点。

文献1“江瑶，门爱东.二种CMMB系统中的LDPC编码优化算法[EB/OL].中国科技论文在线，2011”研究了基于LU分解的编码算法和近似下三角编码算法的性能。从资源消耗和编码效率的角度，基于“最小行重中最小列重法”可以获得较为稀疏的矩阵下三角矩阵L和上三角矩阵U。

文献2“张鹏，杨刚，杨霏，刘昌银.基于改进LU分解的CMMB标准中LDPC编码器设计[电视技术，2010，34(4)，p.33-35]”提出了一种改进的LU分解算法，将校验矩阵进行初等变换得到一个梯形矩阵，然后对梯形矩阵的下半部分B′进行LU分解。由于B′具有更小的维度，LU分解得到的下三角矩阵L′和上三角矩阵U′中元素″1″数量相对较小，但是，考虑到梯形矩阵的上半部分元素″1″的存储，整体稀疏性不一定是最优的。

文献3“Jia-ning Su，Zhou Jiang，Ke Liu，et al.An Efficient Low ComplexityLDPC Encoder Based on LU Factorization with Pivoting[6th InternationalConference On ASIC，2005，vol.1，p.107-110]”利用列主元Gauss消去法进行LU分解，相对传统LU分解，能够降低下三角矩阵L和上三角矩阵U中元素″1″的个数，但是，该LU分解算法不是最优的。

文献4“Peng Wang，Yongen Chen.Low-complexity Real-time LDPC EncoderDesign for CMMB[International Conference on Intelligent Information Hiding andMultimedia Signal Processing，2008，p.1209-1212]”设计了一种低复杂度实时LDPC编码器，提出采用优化的部分主元LU分解。但是，文献没有给出具体的优化方案，且该方案的稀疏分解并不是最优的。

文献5“Zeng Zhibin.A High-efficieny LDPC Encoder for CMMB withDynamic Programming[4th International Conference on Intelligent ComputationTechnology and Automation，2011，vol.2，p.337-340].”基于动态规划进行LDPC编码器设计，可以获得较为稀疏的矩阵下三角矩阵L和上三角矩阵U，发明者尝试实现文中所提算法，没有得到相应的结果。

文献6“Hang Yin，Weitao Du，Nanhao Zhu.Design of Improved LDPC Encoderfor CMMB Based on SIMD Architecture[IEEE International Conference onInformation Science and Technology，2013，p.123-126]”设计了一种基于SIMD架构的改进LDPC编码器，文中给出了LU分解的结果，但是未说明具体实现的算法。

文献7“Radford M.Neal.Sparse Matrix Methods and Probabilistic InferenceAlgorithms[EB/OL].[2013-11-26]”中采用行重-列重乘积最小化作为优化手段，即在选取交换元时，采用prod_i，j＝(wr_i-1)×(wc_j-1)作为优化规则，其中，wr_i和wc_j为矩阵中i行j列元素″1″对应的第i行行重和第j列列重。不难发现，采用这种优化规则存在一些问题。例如，假设wr_i1＝wr_i2＝1，i1＜i2，wc_j1＞wc_j2，j1＜j2，采用此优化规则，i1行j1列的元素″1″被选中作为主元。事实上，由于j2列具有更小的列重，i2行j2列的元素″1″更适合被选中作为主元。

发明内容

本发明的目的在于解决上述现有技术的不足，提出一种基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法，该算法改进了优化准则，进行稀疏LU分解，以进一步降低编码算法的复杂度和存储空间。

为了实现上述目的，本发明所采用的技术方案包括以下步骤：

1)优化稀疏LU分解

步骤1.初始化row[i]＝i和col[i]＝i，i＝0，1，…，M-1；初始化下三角矩阵L＝I_M×M为单位阵；初始化上三角矩阵U＝H_p；初始化n＝0，rr＝n+1；其中，row和col为分别记录行、列交换操作的向量，维度为M×1；

步骤2.统计上三角矩阵U第n行到第(M-1)行的行重，记录在wr；统计上三角矩阵U第n列到第(M-1)列的列重，记录在wc；其中，wr和wc为分别记录行重、列重的向量，维度为M×1；

步骤3.从上三角矩阵U第n列到第(M-1)列、第n行到第(M-1)行中，根据公式prod_i，j＝wr_i×wc_j查找行重和列重乘积最小值对应的元素″1″，相应列、行索引记为nc和nr；

步骤4.列交换，

交换上三角矩阵U的第nc列和第n列；行交换，

交换上三角矩阵U的第nr行和第n行，交换下三角矩阵L的第nr行和第n行；

步骤5.如果U(rr，n)＝1，将上三角矩阵U的第n行加到第rr行，下三角矩阵L的第n行加到第rr行；

步骤6.rr＝rr+1，如果rr＜M，返回步骤5，否则，进行下一步骤；

步骤7.令n＝n+1，如果n＜M-1，返回步骤2，否则，算法结束；

2)基于优化稀疏LU分解进行LDPC编码算法。

所述的下三角矩阵L和上三角矩阵U，维度为M×M。

所述的步骤2)中，基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法具体为：

由CMMB标准可知，输出编码是经过比特映射向量进行重排的；假设K表示信息比特长度，N表示信息比特长度，M＝N-K表示信息比特长度；输出码字C＝(c₀，c₁，…，c_N-1)^T，信息比特S＝(s₀，s₁，…，s_K-1)^T和校验比特P＝(p₀，p₁，…，p_N-1-K)^T；其中，C、S和P均为列向量，T表示矩阵转置；C、S和P之间由比特映射向量给出，定义如下：

$c_{\mathrm{COL}\_\mathrm{ORDER}\left(i\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{p}_i& 0\≤i\≤N-1-K\\ s_{i+K-N}& N-K\≤i\≤N-1\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，COL_ORDER(i)为比特映射向量；假设对输出码字C按照COL_ORDER(i)进行反映射，得到系统码字C_sys＝[P^T S^T]^T；输出码字C满足校验方程

H×C＝0   (2)

其中，H为校验矩阵；将码字C按照公式(1)和比特映射向量COL_ORDER(i)进行反映射，获得系统码字C_sys与C满足的关系

E×C＝C_sys   (3)式(3)中，

是置换矩阵，任意一行或者一列仅有一个元素″1″，其他元素均为″0″，且满足E^-1＝E^T，其中，e_i(i＝0，1，…，N-1)为一单位行向量，第COL_ORDER(i)个元素为1，其他元素均为0；

将公式(3)代入公式(2)，得到

H×E^-1×C_sys＝H×E^T×C_sys＝0   (4)

定义H_e＝H×E^T为等效校验矩阵，H_e是校验矩阵H按照比特映射向量COL_ORDER(i)进行列重排的矩阵；进一步定义H_e＝(H_p H_s)，其中，H_p对应于校验比特的子矩阵，维度为M×M；H_s对应于信息比特的子矩阵，维度为M×K；因此，公式(4)变为

$\left(H_p{H}_s\right)\×\left(\begin{array}{c}P\\ S\end{array}\right)=0\⇒H_{p}P=H_{s}S---\left(5\right)$

LDPC编码算法是基于公式(5)右侧的等式进行的，对H_p进行LU分解，得到：

WH_pV＝LU   (6)

式(6)中，W和V是H_p的行、列置换矩阵，通过row和col按照矩阵E的构造方式进行构造，与矩阵E具有相同的特性；L和U为下三角和上三角矩阵；由于W和V均为满秩矩阵，H_p则表示为

H_p＝W^TLUV^T   (7)

将公式(7)代入公式(5)，编码方程变为

$W^T{\mathrm{LUV}}^{T}P=H_{s}S\⇒{\mathrm{LUV}}^{T}P=W{H}_{s}S---\left(8\right)$

基于公式(8)，设计CMMB标准中LDPC编码算法如下：

a)定义矩阵A₀＝WH_s为矩阵H_s的置换矩阵，根据公式(8)计算x₀＝A₀S；

b)定义列向量y₀＝UV^TP，利用前向替换方法求解方程Ly₀＝x₀；

c)定义列向量y₁＝V^TP，利用后向替换方法求解方程Uy₁＝y₀；

d)对方程y₁＝V^TP进行求解，可得P＝Vy₁，即对向量y₁按照置换矩阵V进行置换即可得到校验比特P；

e)至此，得到系统码字C_sys＝[P^T S^T]^T，再根据公式(3)求解输出码字C＝E^TC_sys，即通过对C_sys按照置换关系E^T进行置换即得到C。

还包括以下步骤：

3)紧凑的存储方案

根据LDPC编码算法，整个编码过程需要存储的矩阵包括A₀、L、U、V和E^T；V和E^T为置换矩阵，而且满足以下关系

$C=E^T\left(\begin{array}{c}P\\ S\end{array}\right)=E^T\left(\begin{array}{c}{\mathrm{Vy}}_1\\ S\end{array}\right)=E^T\left(\begin{array}{cc}V& 0\\ 0& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ S\end{array}\right)---\left(9\right)$

其中，I为单位矩阵；由于V是置换矩阵， $\left(\begin{array}{cc}V& 0\\ 0& I\end{array}\right)$ 也是一个置换矩阵，且置换矩阵与置换矩阵的乘积仍然是一个置换矩阵，即 $T=E^T\left(\begin{array}{cc}V& 0\\ 0& I\end{array}\right)$ 也是一个置换矩阵；因此，公式(9)可以表示为

$C=T\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ S\end{array}\right)---\left(10\right).$

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明提出的基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法，与现有技术相比，得到的矩阵L和U具有更好的稀疏性，降低了存储空间和编码算法的复杂度，本发明可以直接获得LU分解后的下三角矩阵L和上三角矩阵U。根据类似E和COL_ORDER(i)的构造方法，可以通过向量row和col构造矩阵W和V。同时，本发明所提的编码算法和优化稀疏的LU分解可以推广到其他LDPC码应用场景。

进一步的，本发明采用紧凑的存储方案，也进一步降低了存储空间，在CMMB标准实际应用中具有较好的前景。

附图说明

图1为本发明矩阵H_pLU分解得到的矩阵L和U中元素“1”散点图；其中，码率为R＝1/2，图1-(a)为矩阵L中元素“1”散点图，图1-(b)为矩阵U中元素“1”散点图；

图2为本发明矩阵H_pLU分解得到的矩阵L和U中元素“1”散点图；其中，码率为R＝3/4，图2-(a)为矩阵L中元素“1”散点图，图2-(b)为矩阵U中元素“1”散点图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明确，下面结合附图和实施例对本发明进一步详细描述。

本发明分三部分进行描述：基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法、紧凑存储方案和稀疏LU分解算法。

I.基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法

由CMMB标准可知，采用的LDPC码不是系统码，即输出编码是经过比特映射向量进行重排的。假设K表示信息比特长度，N表示信息比特长度，M＝N-K表示信息比特长度；输出码字C＝(c₀，c₁，…，c_N-1)^T，信息比特S＝(s₀，s₁，…，s_K-1)^T和校验比特P＝(p₀，p₁，…，p_N-1-K)^T(C、S和P均为列向量，T表示矩阵转置)。C、S和P之间由比特映射向量给出，定义如下：

$c_{\mathrm{COL}\_\mathrm{ORDER}\left(i\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{p}_i& 0\≤i\≤N-1-K\\ s_{i+K-N}& N-K\≤i\≤N-1\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，COL_ORDER(i)为比特映射向量。

进一步假设对输出码字C按照COL_ORDER(i)进行反映射，可以得到系统码字C_sys＝[P^T S^T]^T，这一点对于简化编译码算法十分重要。

针对CMMB标准中的LDPC编码器，本发明采用基于LU分解的编码算法。输出码字C满足校验方程

H×C＝0   (2)

其中，H为校验矩阵。为了简化编码算法，将码字C按照公式(1)和比特映射向量COL_ORDER(i)进行反映射，获得系统码字C_sys，与C满足关系

E×C＝C_sys   (3)

式(3)中，

是置换矩阵，任意一行或者一列仅有一个元素″1″，其他元素均为″0″，且满足E^-1＝E^T，其中，e_i(i＝0，1，…，N-1)为一单位行向量，第COL_ORDER(i)个元素为1，其他元素均为0。

将公式(3)代入公式(2)，可以得到

H×E^-1×C_sys＝H×E^T×C_sys＝0   (4)

定义H_e＝H×E^T为等效校验矩阵，由置换矩阵E的定义可知，H_e是校验矩阵H按照比特映射向量COL_ORDER(i)进行列重排的矩阵。进一步定义H_e＝(H_p H_s)，其中，H_p对应于校验比特的子矩阵，维度为M×M；H_s对应于信息比特的子矩阵，维度为M×K。因此，公式(4)变为

$\left(H_p{H}_s\right)\×\left(\begin{array}{c}P\\ S\end{array}\right)=0\⇒H_{p}P=H_{s}S---\left(5\right)$

LDPC编码算法正是基于公式(5)右侧的等式进行的。对H_p进行LU分解，可以得到：

WH_pV＝LU   (6)

式(6)中，W和V是H_p的行、列置换矩阵，具有和E相同的特性；L和U为下三角和上三角矩阵。由于W和V均为满秩矩阵，H_p可以表示为

H_p＝W^TLUV^T   (7)

将公式(7)代入公式(5)，编码方程变为

$W^T{\mathrm{LUV}}^{T}P=H_{s}S\⇒{\mathrm{LUV}}^{T}P=W{H}_{s}S---\left(8\right)$

基于公式(8)，设计CMMB标准中LDPC编码算法如下：

1)定义矩阵A₀＝WH_s为矩阵H_s的置换矩阵，根据公式(8)计算x₀＝A₀S；

2)定义列向量y₀＝UV^TP，利用前向替换方法求解方程Ly₀＝x₀；

3)定义列向量y₁＝V^TP，利用后向替换方法求解方程Uy₁＝y₀；

4)对方程y₁＝V^TP进行求解，可得P＝Vy₁，即对向量y₁按照置换矩阵V进行置换即可得到校验比特P；

5)至此，我们得到系统码字C_sys＝[P^T S^T]^T，再根据公式(3)求解输出码字C＝E^TC_sys，即通过对C_sys按照置换关系E^T进行置换即可得到C。

II.紧凑的存储方案

根据上述LDPC编码算法，整个编码过程需要存储的矩阵包括A₀、L、U、V和E^T。考虑到V和E^T为置换矩阵，而且满足以下关系

$C=E^T\left(\begin{array}{c}P\\ S\end{array}\right)=E^T\left(\begin{array}{c}{\mathrm{Vy}}_1\\ S\end{array}\right)=E^T\left(\begin{array}{cc}V& 0\\ 0& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ S\end{array}\right)---\left(9\right)$

其中，I为单位矩阵；由于V是置换矩阵， $\left(\begin{array}{cc}V& 0\\ 0& I\end{array}\right)$ 也是一个置换矩阵，且置换矩阵与置换矩阵的乘积仍然是一个置换矩阵，即 $T=E^T\left(\begin{array}{cc}V& 0\\ 0& I\end{array}\right)$ 也是一个置换矩阵。因此，公式(9)可以表示为

$C=T\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ S\end{array}\right)---\left(10\right)$

由公式(10)可知，计算输出码字C，不需要构造向量C_sys，进一步简化了编码算法。对于置换矩阵可以用一个向量来表示，如同E和COL_ORDER(i)之间的关系。定义Q为置换矩阵T的对应的置换向量，用以代替V和E^T进行存储。至此，整个编码过程需要存储的矩阵只包括A₀、L、U和Q，降低了所需存储空间。

III.稀疏LU分解算法

本发明采用基于优化准则prod_i，j＝wr_i×wc_j的一种优化稀疏LU分解算法。该算法中相关变量定义：向量row和col记录行、列交换操作，维度为M×1；向量wr和wc分别记录行重、列重，维度为M×1；下三角矩阵L和上三角矩阵U，维度为M×M。详细分解步骤如下：

步骤1.初始化row[i]＝i和col[i]＝i，i＝0，1，…，M-1；初始化下三角矩阵为单位阵，即L＝I_M×M，初始化上三角矩阵U＝H_p；初始化n＝0，rr＝n+1。

步骤2.统计矩阵U第n行到第(M-1)行的行重，记录在wr；统计矩阵U第n列到第(M-1)列的列重，记录在wc。

步骤3.从矩阵U第n列到第(M-1)列、第n行到第(M-1)行中，根据公式prod_i，j＝wr_i×wc_j查找行重和列重乘积最小值对应的元素″1″，相应列、行索引记为nc和nr。

步骤4.列交换，

交换矩阵U的第nc列和第n列；行交换，

交换矩阵U的第nr行和第n行，交换矩阵L的第nr行和第n行。

步骤5.如果U(rr，n)＝1，将上三角矩阵U的第n行加到第rr行，下三角矩阵L的第n行加到第rr行；

步骤6.rr＝rr+1，如果rr＜M，返回步骤5，否则，到下一步骤。

步骤7.令n＝n+1，如果n＜M-1，返回步骤2，否则，算法结束。

根据上述LU分解算法，可以直接获得LU分解后的下三角矩阵L和上三角矩阵U。根据类似E和COL_ORDER(i)的构造方法，可以通过向量row和col构造公式(6)中矩阵W和V。

实施例

表1列举了本发明所提编码算法所需存储的矩阵及其维度。

表1存储的矩阵及向量

与其他算法相比，本发明所提算法需要存储的矩阵由A₀、L、U、V和E^T变为A₀、L、U和Q，降低了存储空间。

图1和图2显示了在Matlab仿真下基于本发明所提算法，码率分别为R＝1/2和R＝3/4时矩阵H_p进行优化LU分解得到的矩阵L和U中元素“1”散点图。由图可以看出，采用本发明所提优化LU分解，可以有效的保持矩阵L和U的稀疏性，尤其是矩阵U具有极其优异的稀疏性，元素“1”主要集中在对角线和右下角。

表2给出了CMMB标准下本发明所提优化LU分解算法与其他LU分解算法性能的对比，包括传统的列主元Gauss消去法LU分解和文献1、2、4、5、6中LU分解，考核指标为矩阵L和U中元素″1″的个数。

表2矩阵L和U中元素“1”的个数对比

由表2可以清楚的看到，相比Gauss消去法LU分解和文献1、4、6中LU分解，本发明所提LU分解可以更好的保持矩阵L和U的稀疏性。与文献2的结果相比，由于文献2中只对梯形矩阵的下半部分B′进行LU分解，B′具有更小的维度，因此，LU分解得到的L′和U′元素″1″数量相对较小。但是，考虑到梯形矩阵的上半部分非零元素的存储，即使上半部分为对角矩阵，需要额外增加d＝2544(当R＝1/2时)和d＝1776(当R＝3/4时)元素″1″的个数，此时，实际元素″1″的个数大于本发明所提的LU分解算法。对于文献5的结果，发明者没有重现出结果，在表2中列出了文献中给出的结果。可以看出，只有在R＝1/2时，矩阵L中元素″1″的个数小于本发明所提分解方案，其他情况，R＝1/2时的矩阵U和R＝3/4时的矩阵L、U的稀疏性均不如本发明所提优化LU分解方案。总体来说，相对其他文献中的算法，本发明所提优化稀疏LU分解得到的L和U具有更好的稀疏性，进一步降低了存储空间和编码算法的复杂度。

Claims (4)

1.一种基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法，其特征在于，包括以下步骤：

1)优化稀疏LU分解

步骤1.初始化row[i]＝i和col[i]＝i，i＝0，1，…，M-1；初始化下三角矩阵L＝I_M×M勾单位阵；初始化上三角矩阵U＝H_p；初始化n＝0，rr＝n+1；其中，row和col为分别记录行、列交换操作的向量，维度为M×1；

步骤2.统计上三角矩阵U第n行到第(M-1)行的行重，记录在wr；统计上三角矩阵U第n列到第(M-1)列的列重，记录在wc；其中，wr和wc为分别记录行重、列重的向量，维度为M×1；

步骤3.从上三角矩阵U第n列到第(M-1)列、第n行到第(M-1)行中，根据公式prod_i，j＝wr_i×wc_j查找行重和列重乘积最小值对应的元素″1″，相应列、行索引记为nc和nr；

步骤4.列交换，

交换上三角矩阵U的第nc列和第n列；行交换，交换上三角矩阵U的第nr行和第n行，交换下三角矩阵L的第nr行和第n行；

步骤5.如果U(rr，n)＝1，将上三角矩阵U的第n行加到第rr行，下三角矩阵L的第n行加到第rr行；

步骤6.rr＝rr+1，如果rr＜M，返回步骤5，否则，进行下一步骤；

步骤7.令n＝n+1，如果n＜M-1，返回步骤2，否则，算法结束；

2)基于优化稀疏LU分解进行LDPC编码算法。

2.根据权利要求1所述的基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法，其特征在于：所述的下三角矩阵L和上三角矩阵U，维度为M×M。

3.根据权利要求1所述的基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法，其特征在于：所述的步骤2)中，基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法具体为：

由CMMB标准可知，输出编码是经过比特映射向量进行重排的；假设K表示信息比特长度，N表示信息比特长度，M＝N-K表示信息比特长度；输出码字C＝(c₀，c₁，…，c_N-1)^T，信息比特S＝(s₀，s₁，…，s_K-1)^T和校验比特P＝(p₀，p₁，…，p_N-1-K)^T；其中，C、S和P均为列向量，T表示矩阵转置；C、S和P之间由比特映射向量给出，定义如下：

$c_{\mathrm{COL}\_\mathrm{ORDER}\left(i\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{p}_i& 0\≤i\≤N-1-K\\ s_{i+K-N}& N-K\≤i\≤N-1\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，COL_ORDER(i)为比特映射向量；假设对输出码字C按照COL_ORDER(i)进行反映射，得到系统码字C_sys＝[P^T S^T]^T；输出码字C满足校验方程

H×C＝0   (2)

其中，H为校验矩阵；将码字C按照公式(1)和比特映射向量COL_ORDER(i)进行反映射，获得系统码字C_sys与C满足的关系

E×C＝C_sys   (3)

式(3)中，

是置换矩阵，任意一行或者一列仅有一个元素″1″，其他元素均为″0″，且满足E^-1＝E^T，其中，e_i(i＝0，1，…，N-1)为一单位行向量，第COL_ORDER(i)个元素为1，其他元素均为0；

将公式(3)代入公式(2)，得到

H×E^-1×C_sys＝H×E^T×C_sys＝0   (4)

定义H_e＝H×E^T为等效校验矩阵，H_e是校验矩阵H按照比特映射向量COL_ORDER(i)进行列重排的矩阵；进一步定义H_e＝(H_p H_s)，其中，H_p对应于校验比特的子矩阵，维度为M×M；H_s对应于信息比特的子矩阵，维度为M×K；因此，公式(4)变为

$\left(H_p{H}_s\right)\×\left(\begin{array}{c}P\\ S\end{array}\right)=0\⇒H_{p}P=H_{s}S---\left(5\right)$

LDPC编码算法是基于公式(5)右侧的等式进行的，对H_p进行LU分解，得到：

WH_pV＝LU   (6)

式(6)中，W和V是H_p的行、列置换矩阵，通过row和col按照矩阵E的构造方式进行构造，与矩阵E具有相同的特性；L和U为下三角和上三角矩阵；由于W和V均为满秩矩阵，H_p则表示为

H_p＝W^TLUV^T   (7)

将公式(7)代入公式(5)，编码方程变为

$W^T{\mathrm{LUV}}^{T}P=H_{s}S\⇒{\mathrm{LUV}}^{T}P=W{H}_{s}S---\left(8\right)$

基于公式(8)，设计CMMB标准中LDPC编码算法如下：

a)定义矩阵A₀＝WH_s为矩阵H_s的置换矩阵，根据公式(8)计算x₀＝A₀S；

b)定义列向量y₀＝UV^TP，利用前向替换方法求解方程Ly₀＝x₀；

c)定义列向量y₁＝V^TP，利用后向替换方法求解方程Uy₁＝y₀；

d)对方程y₁＝V^TP进行求解，可得P＝Vy₁，即对向量y₁按照置换矩阵V进行置换即可得到校验比特P；

e)至此，得到系统码字C_sys＝[P^T S^T]^T，再根据公式(3)求解输出码字C＝E^TC_sys，即通过对C_sys按照置换关系E^T进行置换即得到C。

4.根据权利要求3所述的基于优化稀疏LU分解的LDPC编码算法，其特征在于，还包括以下步骤：

3)紧凑的存储方案

根据LDPC编码算法，整个编码过程需要存储的矩阵包括A₀、L、U、V知E^T；V和E^T为置换矩阵，而且满足以下关系

$C=E^T\left(\begin{array}{c}P\\ S\end{array}\right)=E^T\left(\begin{array}{c}{\mathrm{Vy}}_1\\ S\end{array}\right)=E^T\left(\begin{array}{cc}V& 0\\ 0& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ S\end{array}\right)---\left(9\right)$

其中，I为单位矩阵；由于V是置换矩阵， $\left(\begin{array}{cc}V& 0\\ 0& I\end{array}\right)$ 也是一个置换矩阵，且置换矩阵与置换矩阵的乘积仍然是一个置换矩阵，即 $T=E^T\left(\begin{array}{cc}V& 0\\ 0& I\end{array}\right)$ 也是一个置换矩阵；因此，公式(9)可以表示为

$C=T\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ S\end{array}\right)---\left(10\right).$

Images