CN103776748B - 宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法 - Google Patents

Abstract

一种宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法，包括如下步骤：步骤a，提供多孔介质的样本，测量多孔介质的孔隙度（φ）和颗粒半径（R）；步骤b，根据多孔介质的孔隙度（φ）和颗粒半径（R）计算多孔介质在分形模型中的结构参数；步骤c，测量宾汉姆流体的特性参数；步骤d，根据宾汉姆流体的特性参数计算宾汉姆流体在多孔介质中的平均毛细压差步骤e，根据多孔介质的结构参数、宾汉姆流体的特性参数及宾汉姆流体在多孔介质中的平均毛细压差及动力压差（Δp_m）计算宾汉姆流体的有效渗透率（K_e）。上述宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法可提高预测的精度，并可提高采油效率。

Description

宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法

【技术领域】

本发明涉及一种原油在多孔介质（地下岩石）中的有效渗透率的预测方法，特别是涉及一种宾汉姆流体型的原油在多孔介质（地下岩石）中的有效渗透率的预测方法。

【背景技术】

多孔介质可分为天然多孔介质和人造多孔介质。天然多孔介质又分为地下多孔介质和生物多孔介质，前者如岩石和土壤；后者如人体和动物体内的微细血管网络和组织间隙以及植物体的根、茎、枝、叶等。

多孔介质内部的孔隙极其微小。储集石油和天然气的砂岩地层的孔隙直径大多在不足1微米到500微米之间；毛细血管内径一般为5～15微米；肺泡-微细支气管系统的孔隙直径一般为200微米左右或更小；植物体内输送水分和糖分的孔隙直径一般不大于40微米。

多孔介质的孔隙度（孔隙率）为多孔介质内的微小空隙的总体积与该多孔介质的外表体积的比值。在常见的非生物多孔介质中，鞍形填料和玻璃纤维等的孔隙度最大达83％～93％；煤、混凝土、石灰石和白云石等的孔隙度最小，可低至2％～4％；与地下流体资源等能源、资源有关的砂岩的孔隙度大多为12％～30％，土壤的孔隙度为43％～54％，砖的孔隙度为12％～34％，皮革的孔隙度为56％～59％，均属中等数值；动物的肾、肺、肝等脏器的血管系统的孔隙度亦为中等数值。孔隙度是影响多孔介质内流体容量和流体渗流状况的重要参量。

多孔介质中流入不同的流体时，其浸润性不同，所谓湿润性为在固体和两种流体（两种非互溶液体或液体与气体）的三相接触面上出现的流体浸润固体表面的一种物理性质。浸润现象是三相的表面分子层能量平衡的结果。表面层的能量通常用极性表示，浸润性也可用固体液体之间的极性差来表示。极性差愈小，就愈易浸润。例如，金属表面的极性较小，水的极性比油脂的极性大，金属表面往往容易被油湿而不易被水湿，因此可称金属具有亲油性或憎水性；玻璃和石英的表面极性较大，容易被水浸润而不易被油脂浸润，因此可称玻璃和石英具有亲水性或憎油性。

在一定条件下，浸润性与温度、压力等因素有关。流体的性质等因素也可能影响固体表面的浸润性。例如，含有表面活性物质的流体与固体表面接触后，可能改变后者的浸润性。有些固体表面的浸润性呈现复杂的状态，例如，由于曾经与不同的液体接触，在同一块储油岩石上可能出现亲油表面和亲水表面同时存在的现象。

浸润性对多孔介质中流体运动的规律及有关的生产过程有重要影响。例如，储油岩石的浸润性不同，则渗流力学计算方法、油田开发原则和生产控制措施都不同。

多孔介质中存在毛细管压力，即，多孔介质的微小空隙中的任何两种非互溶流体分界面的两侧存在的压力差，即非浸润相的压力与浸润相的压力之差。毛细管压力取决于流体的表面张力、浸润角和界面的曲率。在流体互相驱替过程中，毛细管压力可以是驱动力，也可以是流动的阻力。浸润相在毛细管压力作用下，可以自发地驱替非浸润相，即渗汲作用。毛细管压力的存在影响多孔介质内的流体运动规律，因此是渗流力学及有关的工程技术必须考虑的问题。例如，在油田开发中，毛细管压力影响油层的有效渗透率和油层的采收率；利用毛细管压力曲线可确定多孔介质内的孔隙分布和流体分布，计算多孔介质的相渗透率以及油层的采收率等。

渗透率为多孔介质的一个较为重要的结构参数，表示多孔介质渗透性强弱的量。多孔介质允许流体通过相互连通的微小空隙流动的性质称为渗透性。常见的多孔介质均具有一定的渗透性。渗透率与多孔介质的另一物理性质-----孔隙度之间不存在固定的函数关系，而与孔隙大小及其分布等因素有直接关系。渗透率值由达西渗流定律确定。物理系统的渗透率计量单位为平方厘米，而工程上常用达西和千分达西，即千分之一达西。一个达西等于9.8697×10^-9平方厘米。具有工业价值的砂岩油层的绝对渗透率值从几个到3000千分达西，大多数砂岩油层的渗透率为200～1000千分达西；砖的渗透率为5～220千分达西；土壤的渗透率一般为0.29～14达西。

渗透率可分三类：绝对渗透率，是通常以空气通过多孔介质测定的渗透率值；有效渗透率，是考虑了流体性质及其运动特征的渗透率，例如，二相或多相流体渗流时，多孔介质对每一相流体的渗透率总是小于绝对渗透率，称为相渗透率；相对渗透率，即相渗透率与绝对渗透率的比值。相渗透率由多相渗流的达西公式计算。实验证明，相渗透率值与该相流体在空隙中所占的体积百分比即该相的饱和度等因素有关。相对渗透率与饱和度之间的关系曲线称为多孔介质的相对渗透率曲线。

渗透性是多孔介质的基本物理的力学性质之一。渗透率是渗流力学及有关的工程技术的一项重要基础数据，它表征渗流过程的特征。以地下流体资源和能源为例，地层渗透率愈大，生产能力及采收率也愈大。

石油开采与地下岩石的渗透率有密切相关的关系，石油是一种非牛顿流体，例如，宾汉姆流体。因此，预测宾汉姆流体在地下岩石中的有效渗透率对石油开采有重要意义。目前，国外已经有相关预测方式，例如，美国雪佛龙公司申请的申请号为CN200680052503.7、发明名称为“利用溶气驱重油进行储层模拟的方法、系统和程序存储设备”的中国专利。

由于地下岩石的孔隙尺寸较小，因此，宾汉姆流体类型的石油在地下岩石中流通时的毛细管压差较大。然而，目前的宾汉姆流体的预测方法大多没有考虑毛细管压差这一重要因素，使得预测结果偏差较大。

【发明内容】

鉴于上述状况，有必要提供一种预测较为精确的宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法。

一种宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法，所述宾汉姆流体的本构方程为：

$\mathrm{\τ}={\mathrm{\τ}}_0+\mathrm{\μ}\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}};$

其中，式中τ为切应力，τ₀为所述宾汉姆流体的屈服应力，μ为所述宾汉姆流体的粘度，是剪切速率；

所述预测方法包括如下步骤：

步骤a，提供所述多孔介质的样本，测量所述多孔介质的孔隙度（φ）和颗粒半径（R）；

步骤b，根据所述多孔介质的孔隙度（φ）和颗粒半径（R）计算所述多孔介质在分形模型中的结构参数，所述结构参数包括最小孔隙半径（r_min）、最大孔隙半径（r_max）、毛细管的直线长度（L₀）、流体路径的弯曲度（Γ）、毛细管的迂曲度分形维数（D_T）、孔隙分形维数（D_f），其分别由如下公式计算得出：

$r_{\max }=\frac{R}{4}[\sqrt{2(\frac{1-0342\mathrm{\φ}}{1-\mathrm{\φ}}-1)}+\sqrt{\frac{2\mathrm{\π}(1-0.342\mathrm{\φ})}{\sqrt{3}(1-\mathrm{\φ})}}-2];$

$\frac{r_{\min }}{r_{\max }}=\frac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{\frac{1-\mathrm{\φ}}{1-0.342\mathrm{\φ}}};$

$L_0=R\sqrt{\frac{2\mathrm{\π}(1-0.342\mathrm{\φ})}{\sqrt{3}(1-\mathrm{\φ})}};$

$\mathrm{\Γ}=\frac{1}{2}[1+\frac{1}{2}\sqrt{1-\mathrm{\φ}}+\sqrt{1-\mathrm{\φ}}\frac{\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{\φ}}}-1)}^2+\frac{1}{4}}}{1-\sqrt{1-\mathrm{\φ}}}];$

$D_T=1+\frac{\ln \mathrm{\Γ}}{\ln \frac{L_0}{{2r}_{\mathrm{av}}}};$

$r_{\mathrm{av}}=\frac{D_f{r}_{\min }}{D_f-1}[1-{\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{D_f-1}];$

$D_f=2-\frac{\ln \mathrm{\φ}}{\ln \frac{r_{\min }}{r_{\max }}};$

步骤c，测量所述宾汉姆流体的特性参数，所述特性参数包括所述宾汉姆流体的屈服应力（τ₀）、所述宾汉姆流体的粘度（μ）、所述宾汉姆流体的表面张力（T）、所述宾汉姆流体与所述多孔介质的孔壁之间的接触角（θ）；

步骤d，根据所述宾汉姆流体的表面张力（T）、所述宾汉姆流体与所述多孔介质的孔壁之间的接触角（θ）、所述多孔介质的孔隙度（φ）按照如下公式计算所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的平均毛细压差

$\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{p_c}=\frac{2T\cos \mathrm{\θ}{D}_f(1-\mathrm{\φ})}{r_{\min }\mathrm{\φ}(1+D_f)};$

步骤e，根据所述多孔介质的结构参数、所述宾汉姆流体的特性参数及所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的平均毛细压差及动力压差（Δp_m）按照如下公式计算所述宾汉姆流体的有效渗透率（K_e）：

K_e＝K₁+K₂-K₃；

其中， $K_1=\frac{{r_{\max }}^{1+D_T}\mathrm{\φ}(2-D_f){\mathrm{\τ\Δp}}_m}{2^{4-D_T}{L_0}^{D_T-1}(3+D_T-D_f)(1-\mathrm{\φ})(\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_0)({\mathrm{\Δp}}_m+\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{p_c})};$

$K_2=\frac{{r_{\max }}^{D_T}(2-D_f)\mathrm{\τ}\cos \mathrm{\θT}}{2^{3-D_T}{L_0}^{D_T-1}(2+D_T-D_f)(\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_0)({\mathrm{\Δp}}_m+\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{p_c})};$

$K_3=\frac{r_{\max }{L}_0\mathrm{\τ\φ}(2-D_f){\mathrm{\τ}}_0}{4(3-D_f)(1-\mathrm{\φ})(\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_0)({\mathrm{\Δp}}_m+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\‾}{p}}_c)}.$

上述宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法，考虑了毛细管的压差对有效渗透率的影响，并且结合分形模型准确预测有效渗透率，从而提高预测的精度；当采用水驱采油时的动力压差发生变化时，依照上述宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法可实时预测有效渗透率的变化，以便于对石油开采进行实时控制，从而提高采油效率。

在其中一个实施例中，在步骤e之前，还包括步骤f：根据所述多孔介质的结构参数、所述宾汉姆流体的特性参数及圆周率（π）按照如下公式计算所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的横截面积的流量（Q）；

$Q=\frac{\mathrm{\π}{D}_f{r_{\max }}^{3+D_T}{\mathrm{\Δp}}_m}{2^{4-D_T}\mathrm{\μ}{L_0}^{D_T}(3+D_T-D_f)}+\frac{{\mathrm{\πD}}_f{r_{\max }}^{2+D_T}T\cos \mathrm{\θ}(1-\mathrm{\φ})}{2^{3-D_T}{{\mathrm{\μL}}_0}^{D_T}\mathrm{\φ}(2+D_T-D_f)}-\frac{\mathrm{\π}{D}_f{r_{\max }}^3{\mathrm{\τ}}_0}{4\mathrm{\μ}(3-D_f)}.$

在其中一个实施例中，在步骤e之前，还包括步骤g：根据所述多孔介质的结构参数、所述宾汉姆流体的特性参数及施加在所述多孔介质的样本两端的动力压差（Δp_m）按照如下公式计算所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的平均流速（V）；

$V=\frac{{r_{\max }}^{1+D_T}\mathrm{\φ}(2-D_f){\mathrm{\Δp}}_m}{2^{4-D_T}{{\mathrm{\μL}}_0}^{D_T}(3+D_T-D_f)(1-\mathrm{\φ})}+\frac{{r_{\max }}^{D_T}(1-D_f)T\cos \mathrm{\θ}}{2^{3-D_T}{{\mathrm{\μL}}_0}^{D_T}(2+D_T-D_f)}-\frac{r_{\max }\mathrm{\φ}(2-D_f){\mathrm{\τ}}_0}{4\mathrm{\μ}(3-D_f)(1-\mathrm{\φ})}.$

【附图说明】

图1为采用本发明的预测方法预测宾汉姆流体的平均流速与实验数据的比较分析图；

图2为采用本发明的预测方法预测平均毛细压差随孔隙度的变化关系图；

图3为采用本发明的预测方法预测的有效渗透率随孔隙度的变化关系图。

【具体实施方式】

为了便于理解本发明，下面将参照相关附图对本发明进行更全面的描述。附图中给出了本发明的较佳的实施例。但是，本发明可以以许多不同的形式来实现，并不限于本文所描述的实施例。相反地，提供这些实施例的目的是使对本发明的公开内容的理解更加透彻全面。

除非另有定义，本文所使用的所有的技术和科学术语与属于本发明的技术领域的技术人员通常理解的含义相同。本文中在本发明的说明书中所使用的术语只是为了描述具体的实施例的目的，不是旨在于限制本发明。本文所使用的术语“及／或”包括一个或多个相关的所列项目的任意的和所有的组合。

本发明的宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法基于分形理论发明创造的。下面先结合分形理论建立宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的分形模型，然后再阐述本发明的宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法。

宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率模型建立方式如下：

（1）宾汉姆流体的特性参数

宾汉姆流体的本构方程为：

$\mathrm{\τ}={\mathrm{\τ}}_0+\mathrm{\μ}\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}---\left(1\right)$

式中τ是切应力，τ₀是屈服应力，μ为宾汉姆流体的粘度，是剪切速率。对于宾汉姆流体，在其所受到的切应力达到屈服应力以前，其性质类似于固体是不流动的；当切应力大于屈服应力时流体才开始流动，以后其应力－应变关系与牛顿流体类似。当τ₀＝0时宾汉姆流体简化为牛顿流体。

（2）宾汉姆流体在多孔介质中的横截面积的流量

宾汉姆流体通过半径为r的单根毛细管中的流量为：

$q\left(r\right)=\frac{{\mathrm{\πr}}^4}{8\mathrm{\μ}}\frac{\mathrm{\Δp}}{L_t}[1-\frac{4}{3}\left(\frac{{2\mathrm{\τ}}_0/r}{\mathrm{\Δp}/L_t}\right)+\frac{1}{3}{\left(\frac{{2\mathrm{\τ}}_0/r}{\mathrm{\Δp}/L_t}\right)}^4]---\left(2\right)$

由于且满足启动压力梯度不变，式（2）可以简化为：

$q\left(r\right)=\frac{{\mathrm{\πr}}^4}{8\mathrm{\μ}}\frac{\mathrm{\Δp}}{L_t}(1-\frac{{2\mathrm{\τ}}_0/r}{\mathrm{\Δp}/L_t})---\left(3\right)$

其中Δp为毛细管两端的压差，此处考虑到毛细压差作用，Δp＝Δp_m+Δp_c，Δp_m为动力压差，Δp_c为表面张力引起的毛细压差。毛细压差的表达式为：

${\mathrm{\Δp}}_c=\frac{2T\cos \mathrm{\θ}}{r}\frac{1-\mathrm{\φ}}{\mathrm{\φ}}---\left(4\right)$

式中T为液体的表面张力，θ为固液之间的接触角，φ为多孔介质的孔隙度。

式（3）中L_t为毛细管通道的弯曲长度，其分形幂规律为：

$L_t=L_0^{D_T}{\left(2r\right)}^{1-D_T}---\left(5\right)$

其中D_T为毛细管的迂曲度分形维数，L₀为毛细管的直线长度，L_t≥L₀，上式表明L_t与r有关，r越大，L_t越小，即半径越大的毛细管其弯曲程度越小。

结合式（3）～（5），宾汉姆流体通过单根毛细管中的流量为：

$q\left(r\right)=\frac{{\mathrm{\πr}}^{3+D_T}{\mathrm{\Δp}}_m}{2^{4-D_T}{{\mathrm{\μL}}_0}^{D_T}}+\frac{{\mathrm{\πr}}^{2+D_T}T\cos \mathrm{\θ}(1-\mathrm{\φ})}{2^{3-D_T}{{\mathrm{\μL}}_0}^{D_T}\mathrm{\φ}}-\frac{\mathrm{\π}\·r^3{\mathrm{\τ}}_0}{4\mathrm{\μ}}---\left(6\right)$

多孔介质中的孔隙半径大于或等于r的累积孔隙数目与孔隙大小分布服从如下的标度关系：

$N={\left(\frac{r_{\max }}{r}\right)}^{D_f}---\left(7\right)$

式中r和r_max分别为孔隙半径和最大孔隙半径，D_f为孔隙分形维数。从（7）式可以得到孔隙半径从r_min到r_max之间的孔隙总数为：

$N_t={\left(\frac{r_{\max }}{r_{\min }}\right)}^{D_f}---\left(8\right)$

将（7）式对r微分，得到孔隙半径在r和r+dr区间里的孔隙数目：

$-\mathrm{dN}=D_f{r}_{\max }^{D_f}{r}^{-(D_f+1)}\mathrm{dr}---\left(9\right)$

其中，-dN＞0，表明孔隙数目随着孔尺寸的增加而减小。

对式（6）在整个孔隙范围内进行积分，得到通过多孔介质某一横截面的总流量为：

$\begin{array}{c}Q=-{\∫}_{r_{\min }}^{r_{\max }}q\left(r\right)\mathrm{dN}\\ =\frac{{\mathrm{\πD}}_f{r_{\max }}^{3+D_T}{\mathrm{\Δp}}_m}{2^{4-D_T}{{\mathrm{\μL}}_0}^{D_T}(3+D_T-D_f)}[1-{\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{3+D_T-D_f}]\\ +\frac{{\mathrm{\πD}}_f{r_{\max }}^{2+D_T}T\cos \mathrm{\θ}(1-\mathrm{\φ})}{2^{3-D_T}{{\mathrm{\μL}}_0}^{D_T}\mathrm{\φ}(2+D_T-D_f)}[1-{\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{2+D_T--D_f}]-\frac{{\mathrm{\πD}}_f{r_{\max }}^3{\mathrm{\τ}}_0}{4\mathrm{\μ}(3-D_f)}[1-{\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{3-D_f}]\end{array}---\left(10\right)$

式中，1＜D_T＜2，1＜D_f＜2，得3+D_T-D_f＞1，2+D_T-D_f＞1和3-D_f＞1，通常所以有： ${\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{3+D_T-D_f}<<1,{\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{2+D_T-D_f}<<1$ 和 ${\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{3-D_f}<<1.$ 那么式（10）可以简化为：

$Q=\frac{\mathrm{\&pi;}{D}_f{r_{\max }}^{3+D_T}{\mathrm{\&Delta;p}}_m}{2^{4-D_T}\mathrm{\&mu;}{L_0}^{D_T}(3+D_T-D_f)}+\frac{{\mathrm{\&pi;D}}_f{r_{\max }}^{2+D_T}T\cos \mathrm{\&theta;}(1-\mathrm{\&phi;})}{2^{3-D_T}{{\mathrm{\&mu;L}}_0}^{D_T}\mathrm{\&phi;}(2+D_T-D_f)}-\frac{\mathrm{\&pi;}{D}_f{r_{\max }}^3{\mathrm{\&tau;}}_0}{4\mathrm{\&mu;}(3-D_f)}---\left(11\right)$

（3）宾汉姆流体在多孔介质中的平均流速

多孔介质横截面的总面积A表示为：

$A=\frac{A_p}{\mathrm{\&phi;}}=\frac{-{\&Integral;}_{r_{\min }}^{r_{\max }}{\mathrm{\&pi;r}}^2\mathrm{dN}}{\mathrm{\&phi;}}=\frac{{\mathrm{\&pi;D}}_f{r_{\max }}^2[1-{\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{2-D_f}]}{\mathrm{\&phi;}(2-D_f)}=\frac{{\mathrm{\&pi;D}}_f{r_{\max }}^2(1-\mathrm{\&phi;})}{\mathrm{\&phi;}(2-D_f)}---\left(12\right)$

其中A_p是孔隙总面积，多孔介质的孔隙度可以表示为用式（11）除以（12），得到宾汉姆流体通过多孔介质的平均流速：

$V=\frac{{r_{\max }}^{1+D_T}\mathrm{\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&Delta;p}}_m}{2^{4-D_T}{{\mathrm{\&mu;L}}_0}^{D_T}(3+D_T-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})}+\frac{{r_{\max }}^{D_T}(1-D_f)T\cos \mathrm{\&theta;}}{2^{3-D_T}{{\mathrm{\&mu;L}}_0}^{D_T}(2+D_T-D_f)}-\frac{r_{\max }\mathrm{\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&tau;}}_0}{4\mathrm{\&mu;}(3-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})}.---\left(13\right)$

（4）宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率

流体在单根毛细管管壁处的切应力：

${\mathrm{\&tau;}}_w=\frac{r}{2}\frac{\mathrm{\&Delta;p}}{L_t}=\frac{r}{2}\frac{{\mathrm{\&Delta;p}}_m+{\mathrm{\&Delta;p}}_c}{L_t}---\left(14\right)$

考虑到实际毛细管是弯曲的和弯曲流线的分形特性，将上式在整个孔隙范围内进行积分可得总的切应力为：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&tau;}=-{\&Integral;}_{r_{\min }}^{r_{\max }}{\mathrm{\&tau;}}_w\mathrm{dN}\\ =\frac{D_f{r_{\max }}^{D_T}[1-{\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{D_T-D_f}]{\mathrm{\&Delta;p}}_m}{2^{2-D_T}{L_0}^{D_T}(D_T-D_f)}+\frac{D_{f}T\cos \mathrm{\&theta;}(1-\mathrm{\&phi;}){r_{\max }}^{D_T-1}[1-{\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{D_T-D_f-1}]}{2^{1-D_T}\mathrm{\&phi;}{L_0}^{D_T}(D_T-D_f-1)}\end{array}---\left(15\right)$

如果D_T＜D_f，那么分子分母都为负数，τ值为正数。

由本构方程（1）可写出宾汉姆流体的表观粘度：

${\mathrm{\&mu;}}_a=\frac{\mathrm{\&tau;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}}=\frac{\mathrm{\&tau;\&mu;}}{\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_0}.---\left(10\right)$

非牛顿流体满足的广义达西定律：

$V=\frac{K_e}{{\mathrm{\&mu;}}_a}\frac{\mathrm{\&Delta;p}}{L_0},---\left(7\right)$

其中K_e是宾汉姆流体的有效渗透率，达西定律描述的是流体通过多孔介质的宏观渗流现象，因此压力梯度可写成其中为多孔介质中的平均毛细压差。

式（9）除以（8）得到：

$-\frac{\mathrm{dN}}{N_t}=D_f{r}_{\min }^{D_f}{r}^{-(D_f+1)}\mathrm{dr}=f\left(r\right)\mathrm{dr}---\left(18\right)$

式中的为孔隙分布的概率密度函数。

结合式（4）和（18），得多孔介质中的平均毛细压差：

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_c={\&Integral;}_{r_{\min }}^{r_{\max }}{\mathrm{\&Delta;p}}_{c}f\left(r\right)\mathrm{dr}=\frac{2T\cos \mathrm{\&theta;}{D}_f(1-\mathrm{\&phi;})}{r_{\min }\mathrm{\&phi;}(1+D_f)},---\left(19\right)$

上式可以看出，多孔介质中的平均毛细压差与孔隙度、接触角、最小孔隙半径和孔隙分形维数有关。

联立式（13）、（16）和（17）得多孔介质中宾汉姆流体的有效渗透率：

K_e＝K₁+K₂-K₃, （20）

其中， $K_1=\frac{{r_{\max }}^{1+D_T}\mathrm{\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&tau;\&Delta;p}}_m}{2^{4-D_T}{L_0}^{D_T-1}(3+D_T-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})(\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_0)({\mathrm{\&Delta;p}}_m+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&OverBar;}{p_c})}---\left(21\right)$

$K_2=\frac{{r_{\max }}^{D_T}(2-D_f)\mathrm{\&tau;}\cos \mathrm{\&theta;T}}{2^{3-D_T}{L_0}^{D_T-1}(2+D_T-D_f)(\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_0)({\mathrm{\&Delta;p}}_m+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&OverBar;}{p_c})}---\left(22\right)$

$K_3=\frac{r_{\max }{L}_0\mathrm{\&tau;\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&tau;}}_0}{4(3-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})(\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_0)({\mathrm{\&Delta;p}}_m+\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_c)}---\left(23\right)$

上式可以看出宾汉姆流体的有效渗透率不仅与多孔介质的结构参数（φ、D_f、D_T、L₀、r_min、r_max）和介质两端的压差有关，而且与流体参数（τ₀、T、θ）有关。式（21）表示动力压差对渗透率的影响，式（22）表示毛细压差对渗透率的影响，式（23）表示屈服应力对渗透率的影响。

式（20）中当τ₀＝0时简化为牛顿流体：

$\begin{array}{c}{K}_e=\frac{{r_{\max }}^{1+D_T}\mathrm{\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&Delta;p}}_m}{2^{4-D_T}{L_0}^{D_T-1}(3+D_T-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})(\mathrm{\&Delta;}{p}_m+\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_c)}\\ +\frac{{r_{\max }}^{D_T}(2-D_f)\cos \mathrm{\&theta;T}}{2^{3-D_T}{L_0}^{D_T-1}(2+D_T-D_f)({\mathrm{\&Delta;p}}_m+\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_c)}\end{array}---\left(24\right)$

（5）多孔介质的结构参数

多孔介质的宏观结构参数如下：

$r_{\max }=\frac{R}{4}[\sqrt{2(\frac{1-0342\mathrm{\&phi;}}{1-\mathrm{\&phi;}}-1)}+\sqrt{\frac{2\mathrm{\&pi;}(1-0.342\mathrm{\&phi;})}{\sqrt{3}(1-\mathrm{\&phi;})}}-2]---\left(25\right)$

$\frac{r_{\min }}{r_{\max }}=\frac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{\frac{1-\mathrm{\&phi;}}{1-0.342\mathrm{\&phi;}}}---\left(26\right)$

$L_0=R\sqrt{\frac{2\mathrm{\&pi;}(1-0.342\mathrm{\&phi;})}{\sqrt{3}(1-\mathrm{\&phi;})}}---\left(27\right)$

流体路径的弯曲度Γ和分形维数表示为：

$\mathrm{\&Gamma;}=\frac{1}{2}[1+\frac{1}{2}\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}+\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}\frac{\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}}-1)}^2+\frac{1}{4}}}{1-\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}}]---\left(28\right)$

$D_T=1+\frac{\ln \mathrm{\&Gamma;}}{\ln \frac{L_0}{{2r}_{\mathrm{av}}}}---\left(29\right)$

$r_{\mathrm{av}}=\frac{D_f{r}_{\min }}{D_f-1}[1-{\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{D_f-1}]---\left(30\right)$

$D_f=2-\frac{\ln \mathrm{\&phi;}}{\ln \frac{r_{\min }}{r_{\max }}}---\left(31\right)$

其中r_av表示平均孔隙半径，分形模型（13）和（20）中：对于实验给出的孔隙度φ和颗粒半径R，就可以根据方程（25）～（31）计算出多孔介质的结构参数，平均毛细压差由（19）式来计算，总切应力τ由（15）式来计算。

基于以上的宾汉姆流体在多孔介质中的渗透率模型，本发明的宾汉姆流体在多孔介质中的渗透率预测方法，包括如下步骤：

步骤a，提供所述多孔介质的样本，测量所述多孔介质的孔隙度φ和颗粒半径R；

步骤b，根据所述多孔介质的孔隙度φ和颗粒半径R计算所述多孔介质在分形模型中的结构参数，所述结构参数包括最小孔隙半径r_min、最大孔隙半径r_max、毛细管的直线长度L₀、流体路径的弯曲度Γ、毛细管的迂曲度分形维数D_T、孔隙分形维数D_f，其分别由如下公式计算得出：

$r_{\max }=\frac{R}{4}[\sqrt{2(\frac{1-0342\mathrm{\&phi;}}{1-\mathrm{\&phi;}}-1)}+\sqrt{\frac{2\mathrm{\&pi;}(1-0.342\mathrm{\&phi;})}{\sqrt{3}(1-\mathrm{\&phi;})}}-2];$

$\frac{r_{\min }}{r_{\max }}=\frac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{\frac{1-\mathrm{\&phi;}}{1-0.342\mathrm{\&phi;}}};$

$L_0=R\sqrt{\frac{2\mathrm{\&pi;}(1-0.342\mathrm{\&phi;})}{\sqrt{3}(1-\mathrm{\&phi;})}};$

$\mathrm{\&Gamma;}=\frac{1}{2}[1+\frac{1}{2}\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}+\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}\frac{\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}}-1)}^2+\frac{1}{4}}}{1-\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}}];$

$D_T=1+\frac{\ln \mathrm{\&Gamma;}}{\ln \frac{L_0}{{2r}_{\mathrm{av}}}};$

$r_{\mathrm{av}}=\frac{D_f{r}_{\min }}{D_f-1}[1-{\left(\frac{r_{\min }}{r_{\max }}\right)}^{D_f-1}];$

$D_f=2-\frac{\ln \mathrm{\&phi;}}{\ln \frac{r_{\min }}{r_{\max }}};$

步骤c，测量所述宾汉姆流体的特性参数，所述特性参数包括所述宾汉姆流体的屈服应力τ₀、所述宾汉姆流体的粘度μ、所述宾汉姆流体的表面张力T、所述宾汉姆流体与所述多孔介质的孔壁之间的接触角θ；

步骤d，根据所述宾汉姆流体的表面张力T、所述宾汉姆流体与所述多孔介质的孔壁之间的接触角θ、所述多孔介质的孔隙度φ按照如下公式计算所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的平均毛细压差

$\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&OverBar;}{p_c}={\&Integral;}_{r_{\min }}^{r_{\max }}{\mathrm{\&Delta;p}}_{c}f\left(r\right)\mathrm{dr}=\frac{2T\cos \mathrm{\&theta;}{D}_f(1-\mathrm{\&phi;})}{r_{\min }\mathrm{\&phi;}(1+D_f)};$

步骤e，根据所述多孔介质的结构参数、所述宾汉姆流体的特性参数及所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的平均毛细压差及动力压差Δp_m按照如下公式计算所述宾汉姆流体的有效渗透率K_e：

K_e＝K₁+K₂-K₃；

其中， $K_1=\frac{{r_{\max }}^{1+D_T}\mathrm{\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&tau;\&Delta;p}}_m}{2^{4-D_T}{L_0}^{D_T-1}(3+D_T-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})(\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_0)({\mathrm{\&Delta;p}}_m+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&OverBar;}{p_c})};$

$K_2=\frac{{r_{\max }}^{D_T}(2-D_f)\mathrm{\&tau;}\cos \mathrm{\&theta;T}}{2^{3-D_T}{L_0}^{D_T-1}(2+D_T-D_f)(\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_0)({\mathrm{\&Delta;p}}_m+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&OverBar;}{p_c})};$

$K_3=\frac{r_{\max }{L}_0\mathrm{\&tau;\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&tau;}}_0}{4(3-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})(\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_0)({\mathrm{\&Delta;p}}_m+\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_c)}.$

进一步地，若需要预测所述宾汉姆流体在多孔介质中的流量，则在步骤e之前，还包括步骤f：根据所述多孔介质的结构参数、所述宾汉姆流体的特性参数及圆周率π按照如下公式计算所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的横截面积的流量Q；

$Q=\frac{\mathrm{\&pi;}{D}_f{r_{\max }}^{3+D_T}{\mathrm{\&Delta;p}}_m}{2^{4-D_T}\mathrm{\&mu;}{L_0}^{D_T}(3+D_T-D_f)}+\frac{{\mathrm{\&pi;D}}_f{r_{\max }}^{2+D_T}T\cos \mathrm{\&theta;}(1-\mathrm{\&phi;})}{2^{3-D_T}{{\mathrm{\&mu;L}}_0}^{D_T}\mathrm{\&phi;}(2+D_T-D_f)}-\frac{\mathrm{\&pi;}{D}_f{r_{\max }}^3{\mathrm{\&tau;}}_0}{4\mathrm{\&mu;}(3-D_f)}.$

进一步地，若需要预测所述宾汉姆流体在多孔介质中的平均流速，则在步骤e之前，还包括步骤g：根据所述多孔介质的结构参数、所述宾汉姆流体的特性参数及施加在所述多孔介质的样本两端的动力压差Δp_m按照如下公式计算所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的平均流速V；

$V=\frac{{r_{\max }}^{1+D_T}\mathrm{\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&Delta;p}}_m}{2^{4-D_T}{{\mathrm{\&mu;L}}_0}^{D_T}(3+D_T-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})}+\frac{{r_{\max }}^{D_T}(1-D_f)T\cos \mathrm{\&theta;}}{2^{3-D_T}{{\mathrm{\&mu;L}}_0}^{D_T}(2+D_T-D_f)}-\frac{r_{\max }\mathrm{\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&tau;}}_0}{4\mathrm{\&mu;}(3-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})}.$

以下结合具体的实验及模拟分析来论证本发明的宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法的可靠性。

图1为采用本发明的预测方法预测宾汉姆流体的平均流速与实验数据的比较分析图。实验数据来自于Chase等人的科技论文（Chase G G,DachavijitP2003Sep.Sci.Tech.38745）。实验中使用的宾汉姆流体为Carbopol水溶液，其流体参数为τ₀＝9Pa，μ＝0.05Pa·s，T＝0.044N·m和θ＝57°。实验中采用的固定床的结构参数R＝0.211cm，φ＝0.37。

由图1可知，采用本发明的预测方法预测宾汉姆流体的平均流速的预测结果与实验基本吻合，说明了采用本发明的预测方法的正确性。并且，从图1可以看出流速随着压力梯度的增加而增加，这与实际情况相吻合。

图2为采用本发明的预测方法预测平均毛细压差随孔隙度的变化关系图。从图2可以看出毛细压差随着孔隙度的减小，平均毛细压差迅速增大，特别是当孔隙度较低时毛细压差变化比较显著，这也与实际情况相吻合。

图3为采用本发明的预测方法预测的有效渗透率随孔隙度的变化关系图。从图3可以看出，有效渗透率随着孔隙度的增加而增加，随着屈服应力的增加而减小。屈服应力越大，流体流动所要克服的启动压力就越大，导致了渗透率的降低，这也与实验数据吻合的非常好。其中，实验数据来源于Trevino等人的科技论文（Trevino L,Rupel K,et al.,1991Polym.Compos.12,20）。

表1双弥散多孔介质在不同的孔隙度时毛细压差对渗透率的影响

表1是针对双弥散多孔介质，采用本发明的预测方法预测的结果。可以看到，毛细压差对渗透率的贡献随着孔隙度的增大而迅速减小，这与实际情况也是相符的。在低孔隙度时毛细压差对渗透率的影响比较大，不能忽略，但在高孔隙度部分，毛压差对渗透率的影响比较小，甚至可以忽略。

上述宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法，考虑了毛细管的压差对有效渗透率的影响，并且结合分形模型准确预测有效渗透率，从而提高预测的精度。当采用水驱采油时的动力压差发生变化时，依照上述宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法可实时预测有效渗透率的变化，以便于对石油开采进行实时控制，从而提高采油效率。

以上所述实施例仅表达了本发明的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明专利的保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (1)

1.一种宾汉姆流体在多孔介质中的有效渗透率的预测方法，所述宾汉姆流体的本构方程为：

$\mathrm{\&tau;}={\mathrm{\&tau;}}_0+\mathrm{\&mu;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}};$

其中，式中τ为切应力，τ₀为所述宾汉姆流体的屈服应力，μ为所述宾汉姆流体的粘度，是剪切速率；

其特征在于，所述多孔介质为双弥散多孔介质，所述预测方法包括如下步骤：

步骤a，提供所述多孔介质的样本，测量所述多孔介质的孔隙度φ和颗粒半径R；

步骤b，根据所述多孔介质的孔隙度φ和颗粒半径R计算所述多孔介质在分形模型中的结构参数，所述结构参数包括最小孔隙半径r_min、最大孔隙半径r_max、毛细管的直线长度L₀、流体路径的弯曲度Γ、毛细管的迂曲度分形维数D_T、r_av表示平均孔隙半径、孔隙分形维数D_f，其分别由如下公式计算得出：

$r_{max}=\frac{R}{4}\&lsqb;\sqrt{2(\frac{1-0.342\mathrm{\&phi;}}{1-\mathrm{\&phi;}}-1)}+\sqrt{\frac{2\mathrm{\&pi;}(1-0.342\mathrm{\&phi;})}{\sqrt{3}(1-\mathrm{\&phi;})}}-2\&rsqb;;$

$\frac{r_{min}}{r_{\max }}=\frac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{\frac{1-\mathrm{\&phi;}}{1-0.342\mathrm{\&phi;}}};$

$L_0=R\sqrt{\frac{2\mathrm{\&pi;}(1-0.342\mathrm{\&phi;})}{\sqrt{3}(1-\mathrm{\&phi;})}};$

$\mathrm{\&Gamma;}=\frac{1}{2}\&lsqb;1+\frac{1}{2}\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}+\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}\frac{\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}}-1)}^2+\frac{1}{4}}}{1-\sqrt{1-\mathrm{\&phi;}}}\&rsqb;;$

$D_T=1+\frac{ln\mathrm{\&Gamma;}}{ln\frac{L_0}{2r_{av}}};$

$r_{av}=\frac{D_f{r}_{min}}{D_f-1}\&lsqb;1-{\left(\frac{r_{min}}{r_{\max }}\right)}^{D_f-1}\&rsqb;;$

$D_f=2-\frac{ln\mathrm{\&phi;}}{ln\frac{r_{min}}{r_{max}}};$

步骤c，测量所述宾汉姆流体的特性参数，所述特性参数包括所述宾汉姆流体的屈服应力τ₀、所述宾汉姆流体的粘度μ、所述宾汉姆流体的表面张力T、所述宾汉姆流体与所述多孔介质的孔壁之间的接触角θ；

步骤d，根据所述宾汉姆流体的表面张力T、所述宾汉姆流体与所述多孔介质的孔壁之间的接触角θ、所述多孔介质的孔隙度φ按照如下公式计算所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的平均毛细压差

$\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&OverBar;}{p_c}=\frac{2T{\mathrm{cos\&theta;D}}_f(1-\mathrm{\&phi;})}{r_{\min }\mathrm{\&phi;}(1+D_f)};$

步骤e，根据所述多孔介质的结构参数、所述宾汉姆流体的特性参数及所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的平均毛细压差及动力压差Δp_m按照如下公式计算所述宾汉姆流体的有效渗透率K_e：

K_e＝K₁+K₂-K₃；

其中，

$K_2=\frac{{r_{\max }}^{D_T}(2-D_f)\mathrm{\&tau;}cos\mathrm{\&theta;}T}{2^{3-D_T}{L_0}^{D_T-1}(2+D_T-D_f)(\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_0)({\mathrm{\&Delta;p}}_m+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&OverBar;}{p_c})};$

$K_3=\frac{r_{\max }{L}_0\mathrm{\&tau;}\mathrm{\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&tau;}}_0}{4(3-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})(\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_0)({\mathrm{\&Delta;p}}_m+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&OverBar;}{p_c})};$

其中，在步骤e之前，还包括步骤f：根据所述多孔介质的结构参数、所述宾汉姆流体的特性参数及圆周率π按照如下公式计算所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的横截面积的流量Q；

$Q=\frac{{\mathrm{\&pi;D}}_f{r_{\max }}^{3+D_T}{\mathrm{\&Delta;p}}_m}{2^{4-D_T}{{\mathrm{\&mu;L}}_0}^{D_T}(3+D_T-D_f)}+\frac{{\mathrm{\&pi;D}}_f{r_{\max }}^{2+D_T}Tcos\mathrm{\&theta;}(1-\mathrm{\&phi;})}{2^{3-D_T}{{\mathrm{\&mu;L}}_0}^{D_T}\mathrm{\&phi;}(2+D_T-D_f)}-\frac{{\mathrm{\&pi;D}}_f{r_{max}}^3{\mathrm{\&tau;}}_0}{4\mathrm{\&mu;}(3-D_f)};$

其中，在步骤e之前，还包括步骤g：根据所述多孔介质的结构参数、所述宾汉姆流体的特性参数及施加在所述多孔介质的样本两端的动力压差Δp_m按照如下公式计算所述宾汉姆流体在所述多孔介质中的平均流速V；

$V=\frac{{r_{\max }}^{1+D_T}\mathrm{\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&Delta;p}}_m}{2^{4-D_T}{{\mathrm{\&mu;L}}_0}^{D_T}(3+D_T-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})}+\frac{{r_{\max }}^{D_T}(2-D_f)Tcos\mathrm{\&theta;}}{2^{3-D_T}{{\mathrm{\&mu;L}}_0}^{D_T}(2+D_T-D_f)}-\frac{r_{max}\mathrm{\&phi;}(2-D_f){\mathrm{\&tau;}}_0}{4\mathrm{\&mu;}(3-D_f)(1-\mathrm{\&phi;})}.$