CN103698266B - 基于复变函数逼近的钢筋腐蚀电化学特征时域分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于复变函数逼近的钢筋腐蚀电化学特征时域分析方法。首先，给定待分析的电化学等效电路，进而建立腐蚀电化学系统的传递函数；其次，采用分式多项式的复变函数迭代逼近传递函数；第三，在满足给定精度的前提下，将所确定的分式多项式进行分解，并对各分项进行Laplace逆变换，从而得到时域响应计算公式；最后，可根据需求随意给定待分析的电化学等效电路，对传递函数中各参数进行分析。本发明相较于传统的方法具有能够分析所有复杂等效电路的功能，此外能够在时域内实现快速分析；此外，所建立的复变函数逼近算法，同样可应用于电子、电气、粘弹性材料本构等更广阔的领域。

Description

基于复变函数逼近的钢筋腐蚀电化学特征时域分析方法

技术领域

本发明涉及一种基于复变函数逼近的钢筋腐蚀电化学特征时域分析方法。

背景技术

钢筋混凝土结构因其取材容易、成本较低，在我国建筑结构中得以广泛的应用。钢筋腐蚀是降低钢混结构耐久性并造成重大损失的最主要原因。Metha教授曾经指出，导致混凝土结构发生破坏的因素复杂，但主要原因有3个，包括钢筋腐蚀、冰冻损害和服役环境的耦合作用，其中钢筋腐蚀因素位居首位。美国调查资料显示美国有253000座钢筋混凝土桥梁内部纵筋出现严重的腐蚀；日本由于钢筋腐蚀引起的钢筋混凝土结构损坏约占21.4％，大量的海工结构因Cl-的侵蚀服役20年左右性能便急剧恶化，日本政府每年要花费400亿日元用于建筑结构的加固改造，给国民经济造成严重影响；我国仅2002年底公路危桥就达9597座。近期，我国再次投入数以万亿计的资金发展基础设施建设，占据相当比例的钢混结构的耐久性问题，势必成为影响国民经济发展和社会和谐稳定的战略性课题。钢筋腐蚀的危害之大出乎人们意料，随着全球气候与环境的恶化，这一问题势必呈现出日益加剧的态势，钢混结构钢筋腐蚀问题正引起全世界广泛关注。

混凝土中钢筋腐蚀过程本质上是电化学过程，因此电化学理论成为研究钢筋腐蚀的直接、本质的方法，而基于电化学理论的钢筋腐蚀监测的实现还有待于关键科学问题的突破。国内外针对钢筋腐蚀机理的揭示、电化学特性的表征腐蚀测量器件等进行了大量探索，并取得了丰硕成果，这些研究为全面、深入掌握钢筋腐蚀特征奠定了坚实基础。然而，腐蚀监测是依据钢筋腐蚀过程中所体现出的电化学特征，识别钢筋所处腐蚀状态的过程，这与通常大量的腐蚀电化学特性的研究具有本质区别。综上，目前针对钢混结构的钢筋腐蚀问题已经进行了大量探索，还处于研究腐蚀特征的阶段。

等效电路(EquivalentCircuit，EC)是腐蚀电化学系统的传递函数，通过建立钢混体系合理的EC，进而应用其解析钢混体系在给定激励作用下的响应，即可明确钢筋腐蚀的特征。在给定激励下，应用通用等效电路R_c((R_ctZ_w)Z_CPE解析钢混体系腐蚀电化学特征的相关研究，主要集中于频域及时域内。时域测试方法具有仪器设备简单、测试周期短等明显优势，然而一直以来腐蚀电化学系统时域响应的准确分析存在较大困难。主要问题在于表征钢筋混凝土钢筋腐蚀的等效电路中包含弥散和扩散项，其中弥散效应主要是由于钢混界面的非均质性引起，而扩散项主要由于阴极反应的O₂受控于其在混凝土内的扩散过程。弥散效应的存在导致腐蚀电化学传递函数中包含常相位角元件(ConstantPhaseElement，CPE)，该元件的阻抗表达式的指数中包含待定参数，从而进一步导致传递函数无法应用传统的快速傅里叶或Laplace逆变换的其时域响应，最终无法对腐蚀电化学传递函数的时域响应进行分析。

为此，采用复变函数逼近论解决上述关键问题，为分析含弥散与扩散项的腐蚀电化学传递函数提供可行方法，具有重要的理论与实用价值和广阔的应用前景。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于复变函数逼近的钢筋腐蚀电化学特征时域分析方法。本方法采用复变分式多项式函数在频域内逼近钢筋混凝土结构腐蚀电化学传递函数，进而采用Laplace逆变换获得传递函数在时域内的响应，从而实现时域响应的参数影响分析方法。

一种基于复变函数逼近的钢混结构钢筋腐蚀电化学特征的时域分析方法，如下：

(1)建立R_c((R_ctZ_w)Z_CPE等效电路的传递函数如下：

其中，G(jω)-导纳；I(jω)和U(jω)分别为激励电流和对应的电压响应，或电流响应和对应的激励电压；R_c-混凝土电阻；R_ct-钢混界面处钢筋腐蚀电化学反应电阻；Y_OQ-常相位角元件基本导纳；β-常相位角元件指数；Y_OW-Warburg阻抗基本导纳；

(2)建立复变函数逼近用分式多项式函数如下：

$G{\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}^{*}=\frac{I\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}{U\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}=\frac{p_0+p_1{\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}^1+p_2{\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}^2+...+p_n{\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}^n}{1+q_1{\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}^1+q_2{\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}^2+...+q_n{\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}^m}=\frac{P\sqrt{\left(\mathrm{j\ω}\right)}}{Q\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}---\left(2\right)$

其中，-逼近函数；P=[p₁，p₂，…p_n]和Q=[q₁，q₂，…q_m](m≥n)系数∈R；

再将上式进行分式拆分为下式(3)的形式：

$G{\left(\sqrt{\mathrm{j\ω}}\right)}^{*}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\frac{m_i}{\sqrt{j{\mathrm{\ω}}_i}-r_i}---\left(3\right)$

根据上述理论框架，下面详述电流响应的求的过程。拟合函数与等效电路传递函数在频率为ω_k处的误差可以定义为：

${\mathrm{\ϵ}}_k=G\left(j{\mathrm{\ω}}_k\right)-\frac{P\sqrt{\left(j{\mathrm{\ω}}_k\right)}}{Q\left(\sqrt{j{\mathrm{\ω}}_k}\right)}---\left(4\right)$

通过限定各个频率处的误差|ε_k|²的和，即可得通过最小化误差和到P(jω)和Q(jω)中的p、q系数；

(3)时域响应的计算方法

所得的逼近函数与激励电压阶跃在频域内的卷积可分解为如下两类表达形式：

$L^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{j\ω}}\right)=U\left(t\right)---\left(5\right)$

其中U(t)为Heaviside阶跃函数，其表达式为

$U\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& t<0\\ 0.5& t=0\\ 1& t>0\end{array}\right.---\left(6\right)$

另一种形式及其拉普拉斯逆变换的表达形式为：

$L^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}-p_i)}\right)=\exp (-z^2)\mathrm{erfc}(-\mathrm{jz})---\left(7\right)$

其中z的表达式为：

$z=-j{r}_i\sqrt{t}---\left(8\right)$

erfc(x)为高斯误差函数，表达式为：

$\mathrm{erfc}\left(x\right)=1-\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\&pi;}}}{\&Integral;}_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{dt}---\left(9\right)$

通过上述两类表达式进行Laplace逆变换，然后求和即得到阶跃激励下通用传递函数(1)的时域响应表达式；

最后根据需求给定待分析的电化学等效电路，对传递函数中各参数进行分析。

本发明的有益效果：

本发明相较于传统的方法具有能够分析所有复杂等效电路的功能，此外能够在时域内实现快速分析；此外，所建立的复变函数逼近算法，同样可应用于电子、电气、粘弹性材料本构等更广阔的领域。

附图说明

图1复变函数逼近算法流程图；

图2恒电位阶跃激励下β对R_c((R_ctZ_w)Z_CPE的时域响应的影响图；

图3恒电位阶跃激励下Y_OQ对R_c((R_ctZ_w)Z_CPE的时域响应的影响图；

图4恒电位阶跃激励下Y_OW对R_c((R_ctZ_w)Z_CPE的时域响应的影响图。

具体实施方式

本发明涉及的是一种基于复变函数逼近的钢筋腐蚀电化学特征时域分析方法，具体地说是采用复变函数逼近论在频域内逼近钢混结构腐蚀电化学传递函数，进而通过对逼近函数进行Laplace逆变换得到一定激励作用下钢混结构钢筋腐蚀在时域内的响应函数，从而能够对各个电化学对时域响应的影响进行分析。

下面结合附图举例对本发明做更详细的描述：一种基于复变函数逼近的钢混结构钢筋腐蚀电化学特征的时域分析方法，如下：

(1)建立R_c((R_ctZ_w)Z_CPE等效电路的传递函数如下：

其中，G(jω)-导纳；I(jω)和U(jω)分别为激励电流和对应的电压响应，或电流响应和对应的激励电压；R_c-混凝土电阻；R_ct-钢混界面处钢筋腐蚀电化学反应电阻；Y_OQ-常相位角元件基本导纳；β-常相位角元件指数；Y_OW-Warburg阻抗基本导纳；

(2)建立复变函数逼近用分式多项式函数如下：

$G{\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}^{*}=\frac{I\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}{U\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}=\frac{p_0+p_1{\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}^1+p_2{\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}^2+...+p_n{\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}^n}{1+q_1{\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}^1+q_2{\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}^2+...+q_n{\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}^m}=\frac{P\sqrt{\left(\mathrm{j\&omega;}\right)}}{Q\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}---\left(2\right)$

其中，-逼近函数；P=[p₁，p₂，…p_n]和Q=[q₁，q₂，…q_m](m≥n)系数∈R；

再将上式进行分式拆分为下式(3)的形式：

$G{\left(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}\right)}^{*}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{m_i}{\sqrt{j{\mathrm{\&omega;}}_i}-r_i}---\left(3\right)$

根据上述理论框架，下面详述电流响应的求的过程。拟合函数与等效电路传递函数在频率为ω_k处的误差可以定义为：

${\mathrm{\&epsiv;}}_k=G\left(j{\mathrm{\&omega;}}_k\right)-\frac{P\sqrt{\left(j{\mathrm{\&omega;}}_k\right)}}{Q\left(\sqrt{j{\mathrm{\&omega;}}_k}\right)}---\left(4\right)$

通过限定各个频率处的误差|ε_k|²的和，即可得通过最小化误差和到P(jω)和Q(jω)中的p、q系数；

(3)时域响应的计算方法

所得的逼近函数与激励电压阶跃在频域内的卷积可分解为如下两类表达形式：

$L^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{j\&omega;}}\right)=U\left(t\right)---\left(5\right)$

其中U(t)为Heaviside阶跃函数，其表达式为

$U\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& t<0\\ 0.5& t=0\\ 1& t>0\end{array}\right.---\left(6\right)$

另一种形式及其拉普拉斯逆变换的表达形式为：

$L^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}(\sqrt{\mathrm{j\&omega;}}-p_i)}\right)=\exp (-z^2)\mathrm{erfc}(-\mathrm{jz})---\left(7\right)$

其中z的表达式为：

$z=-j{r}_i\sqrt{t}---\left(8\right)$

erfc(x)为高斯误差函数，表达式为：

$\mathrm{erfc}\left(x\right)=1-\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\&pi;}}}{\&Integral;}_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{dt}---\left(9\right)$

通过上述两类表达式进行Laplace逆变换，然后求和即得到阶跃激励下通用传递函数(1)的时域响应表达式；

最后根据需求给定待分析的电化学等效电路，对传递函数中各参数进行分析。

采用Maltab语言实现上述理论算法的程序化，图1给出了算法编写的流程。首先，根据具体需求给定相应的传递函数，本例中给出了通用等效电路R_c((R_ctZ_w)Z_CPE如式(1)的传递函数；其次，设置复变函数逼近用分式多项式型式，定义分子与分母中对应的参数组；第三，给定控制误差值，然后分子与分母的次数每增加一次，计算遍历所有采样点的逼近函数值与传递函数给定值之间的误差和，如果误差小于控制误差，那么迭代过程结束，否则继续增加分子与分母的次数，直至误差范围满足要求；第四，对上步中确定的逼近函数与激励电压阶跃在频域内的卷积进行诸如式(5)～(8)的分解过程，然后对照标准Laplace逆变换表，得到时域响应计算公式。

图2、3和4分别为采用上述计算流程，分别针对β、Y_OQ和Y_OW对时域响应的影响，进行分析的结果。其中，图2的工况为：R_c=5×10³Ω·cm²，R_ct=2×10³Ω·cm²，Y_0Q=10^-3S^β/(Ω·cm²)andY_0W=2×10^-3S^1／2／(Ω·cm²)；βischangedfrom0.6to1.0；图3的工况为：R_c=10⁴Ω·cm²，R_ct=10³Ω·cm²，β＝0.75andY_0W=2×10^-3S^1／2／(Ω·cm²)；Y_0Qischangedfrom1.0×10^-2S^β／(Ω·cm²)to1.0×10^-4S^β/(Ω·cm²)；图4的工况为：R_c=10³Ω·cm²，R_ct=10⁴Ω·cm²，β＝0.75andY_OQ＝10^-4S^β/(Ω·cm²).Y_0Wischangedfrom2.0×10³S^1/2／(Ω·cm²)to1.0×10^-3S^1／2／(Ω·cm²).通过分析结果可以看出，所建立的算法能够准确地给出不同参数作用下R_c((R_ctZ_w)Z_CPE等效电路的影响。

需要指出的是，所建立的复变函数逼近算法，同样能够对更复杂的等效电路进行分析；此外，能够对更加丰富的激励形式作用下的等效电路响应进行分析；第三，采用Matlab程序化语言，能够非常便捷地实现算法的软件化。

Claims (1)

1.一种基于复变函数逼近的钢混结构钢筋腐蚀电化学特征的时域分析方法，其特征在于：

(1)建立R_c((R_ctZ_w)Z_CPE等效电路的传递函数如下：

其中，G(jω)-导纳；I(jω)和U(jω)分别为激励电流和对应的电压响应，或电流响应和对应的激励电压；R_c-混凝土电阻；R_ct-钢混界面处钢筋腐蚀电化学反应电阻；Y_OQ-常相位角元件基本导纳；β-常相位角元件指数；Y_OW-Warburg阻抗基本导纳；

(2)建立复变函数逼近用分式多项式函数如下：

$G{\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}^{*}=\frac{I\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}{U\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}=\frac{p_0+p_1{\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}^1+p_2{\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}^2+...+p_n{\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}^n}{1+q_1{\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}^1+q_2{\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}^2+...+q_n{\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}^m}=\frac{P\sqrt{\left(j\mathrm{\&omega;}\right)}}{Q\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}---\left(2\right)$

其中，-逼近函数；p＝[p₁，p₂，…p_n]和q＝[q₁，q₂，…q_m]系数∈R，是逼近函数分子和分母上复变多项式的对应系数，m≥n；

再将上式进行分式拆分为下式(3)的形式：

$G{\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\right)}^{*}=\underset{i=1}{\overset{k}{\&Sigma;}}\frac{m_i}{\sqrt{{\mathrm{j\&omega;}}_i}-r_i}---\left(3\right)$

根据上述理论框架，下面详述电流响应的计算过程，拟合函数与等效电路传递函数在频率为ω_k处的误差定义为：

${\mathrm{\&epsiv;}}_k=G\left({\mathrm{j\&omega;}}_k\right)-\frac{P\sqrt{\left({\mathrm{j\&omega;}}_k\right)}}{Q\left(\sqrt{{\mathrm{j\&omega;}}_k}\right)}---\left(4\right)$

通过限定各个频率处的误差|ε_k|²的和，即通过最小化误差和得到P(jω)和Q(jω)中的p、q系数；

(3)时域响应的计算方法

对进行拉普拉斯逆变换，即得瞬态电压阶跃激励条件下的电流响应I(t)，逼近函数与阶跃电压激励在频域内的卷积的Laplace逆变换分解为下式(5)与(7)两类表达形式：

$L^{-1}\left(\frac{1}{j\mathrm{\&omega;}}\right)=U\left(t\right)---\left(5\right)$

其中U(t)为Heaviside阶跃函数，其表达式为

$U\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& t<0\\ 0.5& t=0\\ 1& t>0\end{array}\right.---\left(6\right)$

另一种形式及其拉普拉斯逆变换的表达形式为：

$L^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}\left(\sqrt{j\mathrm{\&omega;}}-p_i\right)}\right)=\exp (-z^2)erfc(-jz)---\left(7\right)$

其中z的表达式为：

$z=-{\mathrm{jr}}_i\sqrt{t}---\left(8\right)$

erfc(x)为高斯误差函数，表达式为：

$erfc\left(x\right)=1-\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\&pi;}}}{\&Integral;}_0^x{e}^{-t^2}dt---\left(9\right)$

根据式(5)和(7)给出的Laplace逆变换计算方法，对时域响应的分项显示表达式结果进行求和，即得到瞬态电压阶跃激励下通用传递函数(1)的时域响应表达式；

最后根据需求给定待分析的电化学等效电路，对传递函数中各参数进行分析。