CN103675833A - 导航卫星轨道确定改进的代数技术 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种用于导航卫星轨道确定改进的代数技术。本技术也适用于一般卫星。技术特征在于：通过代数技术取代传统的数值积分技术获得变分方程的代数解，从而无需数值积分变分方程就可以确定卫星受摄运动的观测方程，然后通过常规平差滤波方法确定力函数参数和卫星轨道的初始开普勒六个根数，从而确定导航卫星的轨道或对导航卫星轨道进行改进。由于本发明发明可以用代数技术取代数值积分技术获得变分方程的解，从而使定轨或轨道改进的计算量大大地减少，不再需要处处使用积分器。本发明的技术方法适合用于星上北斗导航卫星轨道的自行定轨和轨道改进，而不需要携带功能强大的计算机。另外本发明所用技术计算方法简单，程序硬件容易实现，所以本技术发明对星上轨道确定改进非常有意义。

Description

导航卫星轨道确定改进的代数技术

技术领域

本发明涉及一种利用代数技术确定卫星轨道和对卫星轨道进行改进的方法和技术，涉及卫星导航定位技术领域，涉及导航卫星测量定轨领域，属于大地测量与卫星导航定位学科，属于天体测量与天体力学以及天体动力学学科。

背景技术

导航卫星的轨道确定和改进的关键问题在于卫星运动方程和变分方程的求解和应用。

当卫星轨道初值和力函数模型参数精密知道的情况下，卫星轨道的确定和预报就是初值问题(1)。在直角坐标系下，该初值问题无法获得理论解即理论的轨道描述，所以只能用数值积分求解，需要积分器，需要较大的计算能力，很难实时，无法对运动进行定性分析，无法星上自行定轨应用。

当卫星轨道初值和力学模型参数都不精确知道的时候，微分初值问题(1)就转化为变分初值问题(4,5),同样只能用数值积分求解，需要积分器，需要较大的计算能力，很难实时，无法对运动进行定性分析，无法星上自行定轨应用。

上述现有数值理论方法技术都存在计算量大，需要积分器，很难实时，无法定性分析的缺点，还会误差积累，无法用于实时长期导航卫星星上的自行定轨。

发明内容

要解决的技术问题

为了使得能够自行星上定轨和轨道改进，本发明提出一种代数技术能使导航卫星轨道的确定和改进都可以不需要依靠数值积分方法，从而通过代数技术建立卫星观测方程，并对之进行拟合平差滤波，实现实时星上自行定轨。利用本发明进行卫星定轨和轨道改进可以实现北斗系统的自主能力，减少对星上巨大计算能力的依赖，从而提高北斗系统在实战中的生存能力，从而提高北斗应用的范围，并具有计算简单、精度高，成本降低等优点。

技术方案

本发明的技术特征在于：根据代数技术，获得转移矩阵的解，从而可以直接组成卫星观测方程，通过拟合平差滤波获得轨道确定和改进，具体步骤如下：

步骤1：求取非精密轨道初值和无精密轨道摄动力学模型参数情况下的初步轨道。

步骤2：根据轨道初值不精确和力学模型参数不精确的精密定轨需要，将轨道微分方程的初值问题转化为变分方程的初值问题。

步骤3：根据数学推导，将变分方程的一阶初值问题转化为变分方程的二阶初值问题，从而使一阶初值问题的维数从6×(6+n)转化为二阶初值问题的维数2×(6+n)。

步骤4：根据变分方程的二阶初值问题的列独立性质，将整个问题的解决转化为解决其中一列的问题。

步骤5：根据代数离散微分的定义，对二阶初值问题(11,12)进行简化，使得问题的解决更加简明容易。

步骤6：将离散数值微分定义代入初值问题(11,12),使问题最优简化。

步骤7：将最优简化的初值问题(15,16)表达为初值问题的矩阵形式(17),从而确定其具有唯一解。

步骤8：获得变分方程的代数解（18），获得所需要的时刻的解。

步骤9：根据精密的轨道初值和精密的力模型参数，根据(2)确定和预报精密的导航卫星轨道。

有益效果

本发明提出的利用代数理论技术确定转移矩阵，并利用对卫星观测的拟合平差滤波从而确定卫星轨道或对卫星轨道进行改进的技术和方法，解决了天体力学和轨道理论中的变分方程求解问题，使卫星定轨变成了对卫星观测值进行拟合的简单过程，从而不需要积分器，不需要用积分器求解变分方程，适合于星上自行实时定轨的应用。可提高导航卫星的定轨精度从而提高导航卫星的定位精度。另外本发明技术计算简化，可以有效用于实时星载应用。

附图说明

图1为轨道面内的摄动力两分量示意图。

其中o是轨道椭圆的焦点，f是真近点角，(f_r,f_α,f_h)是摄动是力的三个分量，前两个分量是在轨道面内，第一个分量是径向分量，第二个分量与第一个垂直且指向卫星运动方向，第三个分量与前两个分量构成右手系

图2为发明技术的实施步骤的示意框图。

具体实施方式

现结合实施例对本发明作进一步描述（见图2）：

本实施例的定轨轨道改进技术包括九个部分：获得非精密初轨和无精密力模型参数下的初轨，将轨道微分方程的初值问题转化为变分方程的初值问题，将变分方程的一阶初值问题转化为二阶初值问题，将整个问题的解决转化为解决一列的问题，给出和代入代数离散微分的定义，将初值问题表达为矩阵形式,确定获得其唯一所需时刻的解，据精密初轨和力参数确定预报精密轨道。

其中理论微分和偏导数的求法原理与高等数学中的方法原理相同。

其中数值微分和偏导数的求法原理与高等数学中的方法原理相同。

其中理论推导和矩阵表述与高等代数中的方法原理相同。

将二阶变分初值问题，转化为一阶变分初值问题。

将整个变分初值矩阵问题，转化为一列变分初值列问题。

将连续问题离散化。

获得唯一解。

最终获得精密初轨和力参数，确定预报精密轨道。

由上述实施例可以看出，导航卫星轨道确定改进的代数技术，主要利用一系列的转化简化离散化，从而可以根据观测，通过拟合平差滤波确定卫星轨道，而不需要数值积分方法。

由于不需要数值积分，所以不需要积分器，使得计算量大幅度减低，从而使得本发明在星上的实时应用成为可能。

利用本发明进行卫星定轨和轨道改进可以实现北斗系统的自主能力，减少对计算能力的依赖，从而提高北斗系统在实战中的生存能力，从而提高北斗应用的范围，并具有精度高，成本降低等优点。

可见，利用导航卫星轨道确定改进的代数技术可以使导航卫星系统的作用精度有很大的提高。

综合上述所获结果，即本发明所述发明的导航卫星轨道确定改进的代数技术，构成了一个完整的非常重要的轨道确定改进技术。

Claims (10)

1.导航卫星轨道确定改进的代数技术，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：轨道问题是通过数值积分，求解导航卫星运动微分方程的初值问题，即

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\stackrel{\·}{\→}}{X}\left(t\right)=\stackrel{\→}{F}\\ \stackrel{\→}{X}\left(t_0\right)={\stackrel{\→}{X}}_0\end{array}\right.,\left(1\right)$

获得受摄导航卫星轨道的解，即

$\stackrel{\→}{X}\left(t\right)=\stackrel{\→}{X}\left(t_0\right)+\underset{t_0}{\overset{t}{\∫}}\stackrel{\→}{F}\mathrm{dt},---\left(2\right)$

其中

是瞬时卫星状态矢量,是初始卫星状态矢量（初始时刻记为t₀，初始卫星状态矢量亦记为是状态矢量

和时刻t的函数，且

$\stackrel{\→}{X}=\left(\begin{array}{c}\stackrel{\→}{r}\\ \stackrel{\stackrel{\·}{\→}}{r}\end{array}\right)\mathrm{and},\stackrel{\→}{F}=\left(\begin{array}{c}\stackrel{\stackrel{\·}{\→}}{r}\\ \stackrel{\→}{f}/m\end{array}\right),---\left(3\right)$

其中

是各种作用在卫星上的力矢量的和（见图1），m是卫星的质量，

与

是卫星的位置和速度矢量；

步骤2：当力函数中含有未知参数，而且初始轨道根数不精确知道，需要通过观测联合确定精密初轨和力参数时，导航卫星轨道确定问题，就从上述(1)的微分方程初值问题，转化为如下的变分初值问题，即

$\frac{\mathrm{d\Φ}(t,t_0)}{\mathrm{dt}}=D\left(t\right)\mathrm{\Φ}(t,t_0)+C\left(t\right)---\left(4\right)$

$\mathrm{\Φ}(t,t_0)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Ψ}(t,t_0)\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ψ}}(t,t_0)\end{array}\right),\left(5\right)$

其中Φ(t,t₀)称为转移矩阵,它是卫星运动方程(即(1)中第一式相对于全部未知数矢量

的偏导数，（其维数为6×(6+n),其中n是力函数中未知参数的个数），即

$\frac{\∂\stackrel{\stackrel{\·}{\→}}{X}}{\∂\stackrel{\→}{y}}=\frac{\∂\stackrel{\→}{F}}{\∂\stackrel{\→}{y}}=\frac{\∂\stackrel{\→}{F}}{\∂\stackrel{\→}{X}}\frac{\∂\stackrel{\→}{X}}{\∂\stackrel{\→}{y}}+{\left(\frac{\∂\stackrel{\→}{F}}{\∂\stackrel{\→}{y}}\right)}^{*},---\left(6\right)$

其中星号上标表示

相对于

中显参数矢量的偏导数,并且

$D\left(t\right)=\left(\frac{\∂\stackrel{\→}{F}}{\∂\stackrel{\→}{X}}\right)=\left(\begin{array}{cc}{0}_{3\×3}& E_{3\×3}\\ \frac{1}{m}\frac{\∂f}{\∂\stackrel{\→}{r}}& \frac{1}{m}\frac{\∂f}{\∂\stackrel{\stackrel{\·}{\→}}{r}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{0}_{3\×3}& E_{3\×3}\\ A\left(t\right)& B\left(t\right)\end{array}\right),---\left(7\right)$

$C\left(t\right)={\left(\frac{\∂\stackrel{\→}{F}}{\∂\stackrel{\→}{y}}\right)}^{*}=\left(\begin{array}{cc}{0}_{3\×6}& 0_{3\×n}\\ 0_{3\×6}& \frac{1}{m}\frac{\∂\stackrel{\→}{f}}{\∂\stackrel{\→}{Y}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{0}_{3\×(6+n)}\\ G\left(t\right)\end{array}\right),---\left(8\right)$

其中E是单位矩阵，0是零矩阵，其下表为维数。注意到力参数不是时间t的函数，所以(6)中的微分顺序可以调换，于是有(4)；

步骤3：将(5,7,8)式代入(4)可以获得(4，5)的另外一种变分方程的初值问题的表达式，即

$\frac{d^2\mathrm{\ψ}(t,t_0)}{{\mathrm{dt}}^2}=A\left(t\right)\mathrm{\ψ}(t,t_0)+B\left(t\right)\frac{\mathrm{d\ψ}(t,t_0)}{\mathrm{dt}}+G\left(t\right),---\left(9\right)$

Φ(t₀,t₀)＝(E_6×60_6×n),   (10)

其中(9)具有维数3×(6+n)。由于矩阵A(t)和B(t)均是3×3矩阵,微分方程是列独立的，即与列j无关。这样问题(9)就只需要讨论其中一个列的解就可以了。

步骤4：对列j,(9)和(10)是

$\frac{d^2{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^2}=\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(A_{\mathrm{ik}}\left(t\right){\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{kj}}\left(t\right)+B_{\mathrm{ik}}\left(t\right)\frac{d{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{kj}}\left(t\right)}{\mathrm{dt}})+G_{\mathrm{ij}}\left(t\right),i=\mathrm{1,2,3},---\left(11\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_0\right)\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{ij}}\left(t_0\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}\\ {\mathrm{\δ}}_{(i+3)j}\end{array}\right),i=,\mathrm{1,2,3},{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{kj}}=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{ifk}=j\\ 0& \mathrm{ifk}\≠j\end{array}\right.,---\left(12\right)$

其中下标ij标记矩阵中的相应元素。对于时间区间[t₀,t]和差分的步长h=(t–t₀)/m,有t_n=t₀+nh,n=1,…,m，其中m为总步长数。

步骤5：根据离散数值微分有如下关系式

$\frac{d^2{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{t=t_n}=\frac{{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_{n+1}\right)-2{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_n\right)+{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_{n-1}\right)}{h^2},i=\mathrm{1,2,3},---\left(13\right)$

$\frac{{\mathrm{d\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}{|}_{t=t_n}=\frac{{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_{n+1}\right)-{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_{n-1}\right)}{2h},{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t\right){|}_{t=t_n}={\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_n\right),i=\mathrm{1,2,3}.---\left(14\right)$

步骤6：利用(13,14),初值问题(10-11)变成

${\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_0\right)={\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_0\right),{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_1\right)={\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_0\right)+h{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{ij}}\left(t_0\right),i=\mathrm{1,2,3}.\left(15\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_{n+1}\right)-2{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_n\right)+{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ij}}\left(t_{n-1}\right)}{h^2}=\\ \underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(A_{\mathrm{ik}}\left(t_n\right){\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{kj}}\left(t_n\right)+B_{\mathrm{ik}}\left(t_n\right)\frac{{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{kj}}\left(t_{n+1}\right)-{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{kj}}\left(t_{n-1}\right)}{2h})+G_{\mathrm{ij}}\left(t_n\right),i=\mathrm{1,2,3},---\left(16\right)\end{array}$

其中n=1,2,…,m-1.对i=1,2,3和顺序号n,有三个方程和三个未知量在时刻t_n+1,于是初值问题按顺序具有唯一解。

步骤7：方程(16)可被改写为矩阵形式

$(\frac{E}{h^2}-\frac{B\left(t_n\right)}{2h})\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_{1j}\left(t_{n+1}\right)\\ {\mathrm{\ψ}}_{2j}\left(t_{n+1}\right)\\ {\mathrm{\ψ}}_{3j}\left(t_{n+1}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{R}_1\\ R_2\\ R_3\end{array}\right),---\left(17\right)$

其中

$\left(\begin{array}{c}{R}_1\\ R_2\\ R_3\end{array}\right)=(\frac{2E}{h^2}+A\left(t_n\right))\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_{1j}\left(t_n\right)\\ {\mathrm{\ψ}}_{2j}\left(t_n\right)\\ {\mathrm{\ψ}}_{3j}\left(t_n\right)\end{array}\right)-(\frac{E}{h^2}+\frac{B\left(t_n\right)}{2h})\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_{1j}\left(t_{n-1}\right)\\ {\mathrm{\ψ}}_{2j}\left(t_{n-1}\right)\\ {\mathrm{\ψ}}_{3j}\left(t_{n-1}\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{G}_{1j}\left(t_n\right)\\ G_{2j}\left(t_n\right)\\ G_{3j}\left(t_n\right)\end{array}\right).$

对n=1,…,m-1,方程(17)可解且解唯一。注意三个矩阵

$(\frac{E}{h^2}-\frac{B\left(t_n\right)}{2h}),(\frac{2E}{h^2}+A\left(t_n\right)),(\frac{E}{h^2}+\frac{B\left(t_n\right)}{2h})$

是列独立无关的；

步骤8：方程(17)的解矢量是

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_{1j}\left(t_{n+1}\right)\\ {\mathrm{\ψ}}_{2j}\left(t_{n+1}\right)\\ {\mathrm{\ψ}}_{3j}\left(t_{n+1}\right)\end{array}\right)\mathrm{and}\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{1j}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{2j}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{3j}\end{array}\right),n=1,...,m-1,---\left(18\right)$

其中速度矢量可以根据定义(13，14)获得。解出了全部列j的方程，初值问题(9)和(10)的解就获得了，值得注意的是，需要的值是时刻t_n的值，它们可以从时刻t_n+1和t_n-1的值取平均而获得；

步骤9：在获得卫星轨道精确初值和力函数的参数后，卫星轨道的预报可根据(2)式获得，从而达到了利用代数技术定轨的目的，实现了星上减少大量计算量从而大大降低对星上计算能力的需求，从而使常规非常困难几乎不太可能的任务得以实现。

2.根据权利要求1所述，其特征在于：根据卫星轨道受摄运动的微分初值问题（1），可以通过数值积分确定和预报卫星轨道（步骤1）。

3.根据权利要求1所述，其特征在于：当卫星轨道初值不精确知道和摄动力模型参数不精确知道时，卫星轨道初值转变为变分方程的初值问题（4，5）（步骤2）。

4.根据权利要求1所述，其特征在于：根据数学推导，将变分初值问题(4,5)转化为变分初值问题（9，10），从而把一阶变分初值问题转化为二阶变分初值问题，把一阶变分初值问题的维数从6×(6+n)转化为二阶变分初值问题的维数3×(6+n)（步骤3）。

5.根据权利要求1所述，其特征在于：二阶变分初值问题(9,10)的列独立性质，将整个问题的解决转化为解决其中一列的问题，使问题的解决极大简化为问题(11,12)（步骤4）。

6.根据权利要求1所述，其特征在于：根据代数离散微分的定义，对二阶初值问题(11,12)进行简化（步骤5）。

7.根据权利要求1所述，其特征在于：将离散数值微分定义代入初值问题(11,12),从而获得最优简化的二阶初值问题(15,16)（步骤6）。

8.根据权利要求1所述，其特征在于：将最优简化的初值问题(15,16)表达为变分初值问题的矩阵形式(17),从而可以看出其具有唯一解（步骤7）。

9.根据权利要求1所述，其特征在于：获得变分方程初值问题的代数解（18）从而进一步获得所需要的时刻的解（步骤8）。

10.根据权利要求1所述，其特征在于：根据精密的轨道初值和精密的力模型参数，根据(2)确定和预报精密的导航卫星轨道（步骤9）。

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