CN103647277A - 一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，在电力系统基本运行方式下，确定该电力系统可能发生谐振的低频振荡模式对及其对应的摄动参数；以可能发生谐振的模式对的特征值在复平面上的距离作为目标函数，通过优化的方法进行求解；当目标函数小于设定值，就认为满足一阶模态谐振发生的基本条件，即找到了潜在的一阶模态谐振点，并获得谐振点处的摄动参数值及相应的谐振模式。本发明需求性高，原理简单清晰，实用性强，查找全面且效率高。

Description

一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法

技术领域

本发明涉及电力系统及其自动化技术领域，尤其涉及一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法。

背景技术

电力系统一个重要的特点是其固有振荡模式非常密集。对于有N台发电机的电力系统，一般存在N-1个机电振荡模式【倪以信,陈寿孙,张宝霖.动态电力系统的理论和分析[M].北京:清华大学出版社,2002.】。现代电力系统由于其规模庞大和电网间的互联，发电机数以千计，因而存在着大量的低频振荡模式。这些模式的振荡频率分布在0.1～2.5Hz这一较小的范围内，势必造成很多低频振荡模式的频率非常接近，它们密集分布在复平面上的某个区域内，形成特征值簇。密集模式将影响电力系统的动态特性，导致系统发生模态不稳定的现象【赵书强,陈慷,马燕峰,等.密集型固有振荡模式电力系统的模态分析[J].电力系统自动化,2011,35(21):6-11.】，即系统参数较小的变化可能导致模态形状发生较大的改变，进而影响模式的可控性和可观性。

随着系统参数的变化，密集振荡模式的电力系统可能会出现特征值非常接近的现象【邓集祥,许自然,纪晶.基于正则形理论的电力系统2阶模态谐振的研究[J].中国电机工程学报,2006,26(24):5-11.】，此时就认为系统发生了一阶模态谐振。参与谐振的两个模式会相互作用，对电力系统的稳定性产生影响【方勇,杨洪耕,肖先勇.电力系统二阶共振点稳定模式的最简正规形分析[J].电力系统自动化,2013,37(4):41-46.】。根据谐振点处系统状态矩阵能否被对角化，一阶模态谐振分为弱谐振和强谐振【Dobson I,Barocio E.Perturbations of weakly resonantpower system electromechanical modes.IEEE Transactions on Power Systems[J],2005,20(1):1486-1495.】。若其不能被对角化，则为强谐振，否则为弱谐振。当系统发生强谐振时，随着系统参数的变化，密集模式会相互作用，其特征值呈近似直角迅速改变移动方向，一旦某个特征值越过虚轴，系统将失去稳定【Dobson I,Zhang J F,Greene S,etc.Is strong modal resonancea precursor to power system oscillations?IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Fundamental Theory and Applications[J],2001,48(3):340-349.】。当发生弱谐振的时候，随着系统参数的改变，谐振模式的特征值并不改变运动方向，系统不会失去稳定。

文献【邓集祥,刘艳.低频振荡强谐振机理的研究.中国高等学校电力系统及其自动化专业第26届学术年会论文集,2010,中国上海】分析了一阶模态谐振发生的条件以及谐振点附近特征值的变化轨迹，用3机5节点这个算例系统验证了发生强谐振后，系统的某个振荡模式极易穿过虚轴，导致系统失去稳定。鉴于此，文献【Dobson I,Zhang J F,Greene S,etc.Is strongmodal resonance a precursor to power system oscillations?IEEE Transactions on Circuits andSystems I:Fundamental Theory and Applications[J],2001,48(3):340-349.】认为，一阶模态强谐振可能是系统发生低频振荡的前奏。从目前已经查阅到的文献看，可能导致一阶模态谐振和模态不稳定的摄动参数，主要有发电机惯性时间常数T_J和暂态电抗x'_d【赵书强,陈慷,马燕峰,等.密集型固有振荡模式电力系统的模态分析[J].电力系统自动化,2011,35(21):6-11.】、机端电压V_t和有功出力P_g的变化【邓集祥,刘艳.低频振荡强谐振机理的研究.中国高等学校电力系统及其自动化专业第26届学术年会论文集,2010,中国上海】等。

为了全面理解一阶模态谐振和模态不稳定现象，深入分析其对电力系统稳定性的影响，最基本的工作就是查找到系统的密集模式和潜在的谐振点。对于大规模互联电力系统而言，数以千计的发电机导致摄动参数和密集模式的数量十分巨大，因而迫切需要谐振点的有效查找方法。然而，目前在这方面只有试探性的查找方法【邓集祥,刘艳.低频振荡强谐振机理的研究.中国高等学校电力系统及其自动化专业第26届学术年会论文集,2010,中国上海】。

发明内容

本发明的目的就是为了解决上述问题，提供一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法。它具有需求性高、原理简单清晰、实用性强、查找全面且效率高的优点，采用如下技术方案：在基本运行方式下，确定该电力系统可能发生谐振的低频振荡模式对及其对应的摄动参数；以可能发生谐振的模式对在复平面上的距离作为目标函数，以摄动参数为自变量，通过优化的方法进行求解；当目标函数小于设定值时，就认为满足一阶模态谐振发生的基本条件，获得谐振点处的摄动参数值及相应的谐振模式。

基于一阶模态谐振发生的条件（参与谐振的两个模式在复平面上的距离非常接近），将一阶模态谐振点的查找转换为如下的非线性优化模型：

min obj=|λ_m-λ_n|m∈S_E,n∈S_E,（m,n）∈S_R    （1）

$\begin{array}{c}s.t.\\ P_{\mathrm{gi}}-P_{\mathrm{di}}=U_i\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}{U}_j(G_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})i,j\∈S_B\end{array}---\left(2\right)$

$Q_{\mathrm{gi}}-Q_{\mathrm{di}}=U_i\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}{U}_j(G_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})i,j\∈S_B---\left(3\right)$

Au_m＝λ_mu_m    （4）

Au_n＝λ_nu_n    （5）

Im(λ_m)·Im(λ_n)＞0    （6）

$p_k^{\min }\≤p_k\≤p_k^{\max }k\∈S_P---\left(7\right)$

Re(λ_l)＜0 l∈S_E    （8）

式中：obj表示两个模式之间的距离；P_gi为节点i上发电机的有功出力；Q_gi为节点i上发电机的无功出力；P_di为节点i上的有功负荷；Q_di为节点i上的无功负荷；U_i和θ_i分别为节点i的电压幅值和相角；θi_j=θ_i-θ_j，表示节点i和节点j之间的电压相角差；Gi_j和Bi_j分别为线路i-j的电导和电纳；A为线性化系统状态矩阵；u_m和u_n分别为对应于可能发生谐振的模式λ_m和λ_n的右特征向量；p_k为摄动参数，p_k ^max和p_k ^min分别为其上、下限值；Re(·)和Im(·)分别表示取实部和虚部操作。S_R、S_B、S_P、S_E分别为可能发生模态谐振的模式对集合、系统所有节点集合、摄动参数集合、系统全部特征值集合。总得来说，式（1）为目标函数，式（2）和（3）为潮流约束，式（4）和（5）为特征关系方程式，式（7）为摄动参数的取值范围约束；式（8）表示系统所有的特征值均位于左半复平面，即摄动参数的变化不应使系统失稳；式（6）将式（1）中的两个模式限定在上（或下）半复平面中。

本发明采用具有全局寻优能力的自适应粒子群优化算法【Zhang W,Liu Y.Multi-objectivereactive power and voltage control based on fuzzy optimization strategy and fuzzy adaptive particleswarm[J].International Journal of Electrical Power and Energy Systems,2008,30(9):525-532.】来有效的求解优化模型（1）～（6）。

一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，主要分为以下具体步骤：

步骤（1）：获取电力系统在基本运行方式下的全部特征值或部分关键特征值；

步骤（2）：根据步骤（1）的特征值计算结果，确定可能发生谐振的模式对集合S_R，并确定S_R中每个模式对的摄动参数，组成集合S_P；

步骤（3）：从S_R中任意选择一个模式对，二者均取虚部为正的特征值λ_m和λ_n，其中，λ表示特征值，下标m和n用于区分不同的特征值；

步骤（4）：从S_P中选择λ_m和λ_n对应的摄动参数p_k；

步骤（5）：摄动参数p_k在取值范围内变化，计算参数摄动后系统的全部特征值或部分关键特征值；

步骤（6）：匹配与追踪步骤（3）中选择的模式对；

步骤（7）：计算目标函数obj＝|λ_m-λ_n|；

步骤（8）：判断迭代是否收敛，若是，则进入步骤（9），否则转入步骤（5）；

步骤（9）：判断目标函数obj是否足够小，若是，则进入步骤（10），否则转入步骤（11）；

步骤（10）：判断一阶模态谐振的类型，是强谐振还是弱谐振，进入步骤（11）；

步骤（11）：判断S_P中是否还存在λ_m和λ_n对应的其它类型的摄动参数，若存在，则转入步骤（4），否则进入步骤（12）；

步骤（12）：判断S_R中是否还存在其它模式对待查找，若是，转入步骤（3），否则结束。

所述步骤（2）中确定可能发生谐振的模式对集合S_R及其对应的摄动参数集合S_P。S_R中的模式对包括有两种可能的情况：a.都是机电振荡模式，b.一个是机电振荡模式，另一个是控制模式。对于情况a的摄动参数，允许是集合S_R中模式对的共同强相关机组的基本物理参数或运行参数；对于情况b的摄动参数，一般选择机组调节器的控制参数；

所述步骤（3）中从S_R中任意选择一个模式对和步骤（4）中从S_P中选择的摄动参数p_k必须是对应的。

所述步骤（5）中如果摄动参数影响系统的潮流分布，则摄动参数变化后需要重新进行潮流计算，然后再计算参数摄动后系统的全部特征值或部分关键特征值。

所述步骤（6）中匹配与追踪模式对的方法根据所述步骤（2）的两种情况而各不相同。

所述步骤（7）中的目标函数obj=|λ_m-λ_n|表示两个特征值在复平面上的距离，它将作为判断一阶模态谐振是否发生的重要指标；

所述步骤（8）中迭代收敛的条件包括迭代次数是否达到上限（如300次）或每两次迭代目标函数间的差值是否小于某个门槛值（如1×10^-5）；

所述步骤（9）中判断迭代收敛时的目标函数值obj足够小的方法是将obj与一个很小的正数ε（如1×10^-2）相比较，如果obj小于ε，就认为找到了谐振点，相应地，电力系统将发生一阶模态谐振；

所述步骤（10）中一阶模态谐振类型的方法是根据谐振点附近谐振模式的特征值随摄动参数变化的运动轨迹来判断。

所述步骤（11）查找一个谐振模式对的多个不同摄动参数的谐振点；所述步骤（12）查找多个谐振模式对的谐振点。

本发明的有益效果：

1、需求性高：由背景技术可知，一阶模态谐振在实际的大规模互联电力系统中出现的可能性很大，而且会产生模态不稳定的现象，这将从根本上影响参与因子、灵敏度等量的计算准确性，从而使设计的阻尼控制器失效甚至起反作用。本发明正是充分考虑一阶模态谐振的危害，只有查找到一阶模态谐振，才能从根本上避免这种谐振的发生。

2、原理简单清晰：一阶模态谐振发生的基本条件为两个模式的频率和阻尼比非常接近，反映到复平面上就是两个模式的特征值之间的距离足够小。将这个距离作为优化的目标函数，通过改变摄动参数的取值，使目标函数尽可能小，能采用任何一种智能优化算法进行求解，当目标函数小于设定值时，就认为找到了一阶模态谐振点，并获得谐振点处的摄动参数值及对应的谐振模式。

3、实用性强：本发明充分考虑了电力系统一阶模态谐振不仅会发生在两个机电振荡模式之间，还会发生在一个机电振荡模式和一个控制模式之间，而且选择的摄动参数都是实际系统中易发生变化的运行参数和控制参数，那么通过本方法找到的一阶模态谐振点具有实际指导意义和应用价值，为电力从业人员提供借鉴。

4、查找全面且效率高：本发明根据待研究的系统在基本运行方式下的模式，确定可能发生谐振的模式对集合S_R及对应的摄动参数集合S_P，并在具体实施的过程中，遍历S_R和S_P的每一个元素，能够找到多个谐振模式对的多个不同摄动参数的谐振点。这样，通过本方法可以比较全面的找到系统所有谐振点，计算出所有谐振点对应的摄动参数值以及参与谐振的模式对。同时，优化算法可以使本方法的耗时明显减小，相比于试探查找方式，效率大大提高。附图说明

图1为一阶模态谐振点查找的流程图；

图2为P_g4不变，P_g8变化时，模式M2和M3的变化轨迹；

图3为谐振点附近，P_g8小幅度变化时，模式M2和M3的变化轨迹；

图4为P_g8不变，P_g4变化时，模式M2和M3的变化轨迹；

图5为谐振点附近，P_g4小幅度变化时，模式M2和M3的变化轨迹；

图6(a)为基本运行方式下，机电模式M2的变化轨迹；

图6(b)为基本运行方式下，机电模式M3的变化轨迹；

图7(a)为谐振点处，机电模式M2的变化轨迹；

图7(b)为谐振点处，机电模式M3的变化轨迹；

图8(a)为谐振点处，参与谐振的机电模式的振荡模态图；

图8(b)为谐振点处，参与谐振的控制模式的振荡模态图。

需要说明的是，图2～图5的横轴表示模式特征值的阻尼，单位为1/s，纵轴表示模式特征值的频率，单位为rad/s，标记“x”表示模式M2的特征值在上复平面上的位置，标记“o”表示模式M3的特征值在上复平面上的位置。

图6(a)～图8(b)所示的振荡模态图以罗盘图的形式呈现，在各个运行点，以振荡模态中幅值最大的分量作为模值参考，对所有的分量进行归一化处理；以初始运行方式下，振荡模态幅值最大的分量的相角设为相位参考，取为0°，并在参数摄动的过程中保持不变。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

具体流程框图如图1所示，利用流程图使发明内容中的一阶模态谐振点查找的步骤更加清晰直观，便于理解和分析，而且图1中左侧的标号1～11与发明内容中的步骤（1）～步骤（11）一一对应，对于图1中的内容可以参考步骤（1）～步骤（11）。

一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，详细步骤如下：

步骤（1）：开始，求解所研究的电力系统在基本运行方式下的全部特征值或部分关键特征值；特别是频率在0.1～2.5Hz这个范围内的振荡模式；

步骤（2）：根据步骤（1）的特征值计算结果，确定可能发生谐振的模式对集合S_R，并确定S_R中每个模式对对应的摄动参数，形成摄动参数集合S_P；

步骤（3）：从模式对集合S_R中任意选择一个模式对，假设其中一个模式的特征值为λ_m和λ_m ^*，另一个模式的特征值为λ_n和λ_n ^*，需要特别说明的是λ_m和λ_n的虚部大于零，即位于复平面的上半部分，而λ_m ^*和λ_n ^*的虚部小于零，即位于复平面的下半部分；

步骤（4）：从S_P中选择λ_m和λ_n对应的一组摄动参数p_k；令迭代次数t等于1；

步骤（5）：在取值范围[p_k ^min,p_k ^max]内，参数p_k摄动，变为p_k ^t，它表示第t次迭代后的摄动参数值。如果摄动参数变化改变了系统的潮流分布，则需要重新进行潮流计算，然后再计算参数摄动后系统的全部特征值或部分关键特征值；否则不用重新计算潮流，而直接计算参数摄动后系统的全部特征值或部分关键特征值；

步骤（6）：匹配与追踪步骤（3）中选择的特定模式对，获得摄动参数变为p_k ^t后原特征值λ_m对应的新特征值λ_m ^t，以及原特征值λ_n对应的新特征值λ_n ^t，所以依然满足关系Im(λ_m ^t)·Im(λ_n ^t)>0；

步骤（7）：计算第t次迭代后的目标函数obj^t=|λ_m ^t-λ_n ^t|，其含义是特征值λ_m ^t和λ_n ^t在复平面上的距离；

步骤（8）：根据迭代次数t是否达到上限（如300次）或每两次迭代目标函数间的差值是否小于门槛值（如1×10^-5），判断迭代是否收敛。如果迭代收敛，则进入步骤（9），否则，迭代次数t加1，转入步骤（5），参数继续摄动；

步骤（9）：将迭代收敛时的目标函数值obj^t与一个很小的正数ε（如1×10^-2）相比较，如果obj^t大于ε，说明在本参数摄动下这个模式对无法发生一阶模态谐振，进入步骤（11）；如果obj^t小于ε，就认为这两个模式之间的距离足够小，即找到了一阶模态谐振点，记录此时的谐振模式对和摄动参数值，进入步骤（10）；

步骤（10）：判断一阶模态谐振的类型，根据谐振点附近谐振模式的特征值随摄动参数变化的运动轨迹区分是强谐振还是弱谐振，即强谐振时，随着摄动参数的变化，谐振模式的特征值呈近似直角迅速改变移动方向，弱谐振时，随着摄动参数的改变，谐振模式的特征值并不改变运动方向；进入步骤（11）；

步骤（11）：判断S_P中是否还有λ_m和λ_n对应的其它摄动参数，若有则转入步骤（4），查找一个谐振模式对的多个不同摄动参数的谐振点，否则，进入步骤（12）；

步骤（12）：判断S_R中是否还存在其它待查找的模式对，若有则转入步骤（3），否则结束。

所述步骤（2）中确定可能发生谐振的模式对集合S_R及其对应的摄动参数集合S_P。S_R中的模式对包括有两种可能的情况：a.都是机电模式，b.一个是机电模式，另一个是控制模式。

情况a中可能发生谐振的两个模式的选取方法为：

步骤a1)：在基本运行方式下，用机电回路相关比【倪以信,陈寿孙,张宝霖.动态电力系统理论与分析[M].北京:清华大学出版社,2002.】识别出系统的全部机电模式；

步骤a2)：考虑到一阶模态谐振发生的条件，选择在复平面上距离较近的两个机电模式，组成了一个可能发生谐振的模式对；

步骤a3)：用参与因子【王锡凡,方万良,杜正春.现代电力系统分析[M].北京:科学出版社,2003.】分别识别两个机电模式的强相关机组，并确保有多台（至少2台）强相关机组共同参与这两个机电模式。强相关机组的具体含义参照文献【闫常友,周孝信,田芳,等.电力系统在线小干扰主导特征模式识别及强相关机组选择方法[J].电网技术,2009(13):42-47.】；

步骤a4)：重复步骤a2)和步骤a3)，形成可能发生一阶模态谐振的模式对集合S_R。

对于情况a的摄动参数类型，允许是集合S_R中各模式对对应的强相关机组的基本物理参数或运行参数。

情况b中可能发生谐振的两个模式的选取原则为：

步骤b1)：选定摄动参数，一般选择某台机组调节器的控制参数；

步骤b2)：根据控制模式对摄动参数的灵敏度模值远高于其它模式的特点，找出最大一个的控制模式；

步骤b3)：根据摄动参数所属的机组，确定其参与程度较高的一个机电模式；该机电模式和步骤b2)中选择的控制模式组成了一个可能发生谐振的模式对；

步骤b4)：重复以上的步骤，形成可能发生模态谐振的模式对集合S_R。

所述步骤（3）中从S_R中任意选择一个模式对和步骤（4）中从S_P中选择的摄动参数p_k必须是对应的。

所述步骤（5）中如果摄动参数会影响系统的潮流分布，则当摄动参数变化后需要重新进行潮流计算，然后再计算参数摄动后系统的全部特征值或部分关键特征值。

所述步骤（6）中匹配与追踪模式对的方法根据所述步骤（2）的两种情况而各不相同：

情况a，根据步骤（2）中情况a的模式对选取方法，设基本运行方式下共有s台强相关机组共同参与了这两个机电模式，那么这s台机组参与这两个机电模式的因子模值之和将大于参与其它机电模式的因子模值之和。由于摄动参数的变化范围不大，在基本运行方式对应的参数值附近，所以根据特征值摄动理论【齐朝晖,亚历山大·斯若尼亚.哈密顿系统的稳定性边界[J].应用数学和力学,2002,23(2):173-178】，摄动参数发生小幅度的变化后，依然满足这s台机组参与谐振模式的因子模值之和大于参与其它机电模式的因子模值之和。因此，可以利用这个关系进行情况a的模式匹配。

情况b，由于摄动参数是与控制模式相关的控制参数，所以不论摄动参数如何变化，控制模式对摄动参数的灵敏度的模值都很大，而且比其它模式对摄动参数的灵敏度模值要大得多，这样就能跟踪到相应的控制模式。对于机电振荡模式，首先确定基本运行方式下它的多台强相关机组，而且这些强相关机组参与该机电模式的因子模值之和大于其它机电模式的因子模值之和。因此，同样能利用这些强相关机组参与该机电模式的因子模值之和大于参与其它机电模式的因子模值之和这个关系，进行情况b机电模式的匹配。

示例：

为了验证本发明中提出的基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，下面利用新英格兰10机39节点系统的分析结果来阐述该方法的正确性和可行性，同样分情况a和情况b来说明。

英格兰10机39节点系统中所有发电机采用4阶模型，励磁系统采用IEEE DC1A模型，系统的详细参数见文献【Rogers G.Power system oscillations[M].Boston:Kluwer Academic,2000.】。基本运行方式下，右下子系统经由断面（16-15,16-17）向系统其余部分输送有功功率3.91p.u.。在粒子群优化算法中，粒子群的规模设定为30。算法的收敛条件为：相邻两次迭代对应的目标函数的差值小于1×10^-5或总迭代次数超过300。

1.谐振模式都是机电模式

基本运行方式下，经过小干扰稳定计算，得到系统全部9个机电振荡模式，如表1所示。

表1基本运行方式下，系统的机电振荡模式

根据可能发生谐振的两个模式对的选取原则，确定可能发生模态谐振的模式对集合S_R及其共同参与的强相关机组，如表2第1～3列所示，与各个模式对相对应的摄动参数集合S_P如表2第4列所示。

表2模式对集合S_R及摄动参数集合S_P

序号	模式对	共同参与的强相关机组	摄动参数集合SP
				1	M1-M3	G7	Vt36、Pg7
2	M2-M3	G4、G8	Vt33、Vt37、Pg4、Pg8
				3	M5-M6	G1、G6、G7	Vt30、Vt35、Vt36、Pg1、Pg6、Pg7
4	M7-M8	G5、G9	Vt34、Vt38、Pg5、Pg9

对表2所示的S_R中的第2个模式对进行分析。摄动参数选择为发电机G4和G8的有功出力P_g4和P_g8。利用本发明提出的谐振点查找方法，查找潜在的一阶模态谐振点。

1.1模式匹配

基本运行方式下，发电机G4和G8的有功出力分别为6.32p.u.和5.40p.u.。发电机G4有功出力的上、下限分别设置为7.32p.u.和5.32p.u.，发电机G8有功出力的上、下限分别为6.40p.u.和4.40p.u.。此时，发电机G4和G8参与所有机电振荡模式的因子模值如表3所示。

表3基本运行方式下，发电机G4和G8的参与因子模值

发电机	M1	M2	M3	M4	M5	M6	M7	M8	M9
										G4	0.002135	0.027378	0.379059	7.05E-05	1.17E-03	0.004605	1.92E-03	0.017919	0.023097
G8	5.37E-04	0.401618	0.018773	1.06E-04	2.47E-02	0.006903	0.001025	0.007117	0.006919
										合计	2.67E-03	0.428996	0.397832	0.000177	0.025891	0.011508	0.002948	0.025036	0.030015

由表3可知，在所有的机电模式中，发电机G4和G8参与模式M2和M3的因子模值之和最大。为了进一步验证本发明提出的模式匹配的可行性与正确性，下面以谐振点优化查找过程中出现的多组摄动参数为例，对迭代过程中发电机G4和G8参与M2和M3因子的模值进行分析。迭代过程中，摄动参数的部分取值和参与谐振的模式如表4所示。

表4迭代过程中摄动参数的部分取值

由表4可知，随着迭代次数的增加，谐振模式之间的距离不断减小，最终谐振点处对应的摄动参数分别为P_g4=7.0513p.u.和P_g8=4.6554p.u.。由于这两个模式特征值已经非常靠近，满足一阶模态谐振发生的条件，所以通过本方法可以很快很准确的找到一阶模态谐振点。迭代10次后、100次后、140次后和迭代收敛时，发电机G4和G8参与所有机电模式的因子模值分别如表5～表8所示。

表5第10次迭代后，发电机G4和G8的参与因子模值

发电机	M1	M2	M3	M4	M5	M6	M7	M8	M9
										G4	5.62E-03	0.169761	0.226529	2.66E-05	0.001192	0.003554	0.001861	0.017577	0.025507
G8	8.46E-05	0.237041	0.17619	8.34E-05	0.026173	0.00905	0.001108	0.007439	0.005446
										合计	5.71E-03	0.406801	0.40272	0.00011	0.027365	0.012604	0.00297	0.025017	0.030953

表6第100次迭代后，发电机G4和G8的参与因子模值

发电机	M1	M2	M3	M4	M5	M6	M7	M8	M9
										G4	0.005673	0.176946	0.219271	2.63E-05	0.001189	0.003548	0.00186	0.017565	0.025546
G8	8.53E-05	0.228891	0.184294	8.29E-05	2.62E-02	0.009031	0.001091	7.45E-03	0.005449
										合计	5.76E-03	0.405837	0.403566	0.000109	0.027365	0.012579	0.002952	0.02502	0.030995

表7第140次迭代后，发电机G4和G8的参与因子模值

发电机	M1	M2	M3	M4	M5	M6	M7	M8	M9
										G4	0.005703	2.09E-01	1.87E-01	2.61E-05	0.001188	3.55E-03	0.00186	0.017556	0.025571
G8	8.59E-05	0.194882	0.218281	8.25E-05	0.026174	0.009014	0.001079	0.007465	0.005453
										合计	5.79E-03	0.404152	0.405182	0.000109	0.027362	0.012559	0.002939	0.025021	0.031024

表8迭代收敛时，发电机G4和G8的参与因子模值

发电机	M1	M2	M3	M4	M5	M6	M7	M8	M9
										G4	0.005707	2.06E-01	1.90E-01	2.60E-05	0.001187	3.54E-03	0.00186	0.017555	0.025575
G8	8.61E-05	0.198098	0.215063	8.25E-05	0.026174	0.00901	0.001077	0.007466	0.005453
										合计	5.79E-03	0.404216	0.405108	0.000109	0.027361	0.012555	0.002936	0.025021	0.031028

由表5～表8可知，在迭代求解的过程中，在所有机电振荡模式中，发电机G4和G8参与模式M2和M3的因子模值之和是最大的，证明了本方法中的模式匹配方法是可行的。

1.2谐振点附近，特征值的变化轨迹

由上节可知，当发电机G4和G8的有功出力分别为7.0513p.u.和4.6554p.u.时，模式M2和M3的特征值将非常接近，系统会发生一阶强模态谐振。下面分两种情况来分析谐振前后，这两个模式的变化轨迹。

（1）将发电机G4的有功出力固定为7.0513p.u.，使G8的有功出力从4.4004p.u.增加到4.9104p.u.，步长为0.005，模式M2和M3的变化轨迹如图2所示，模式M2和M3的特征值刚开始相距较远，随着发电机G8增加有功出力，模式M2向左移动，而模式M3向右移动。在这个过程中它们的频率变化不大，但阻尼比变化较大。接近到一定程度后，模式M2反方向向虚轴靠近，而模式M3向左移动。

下面对谐振点（发电机G8的机端电压P_g8=4.6554p.u.）附近的特征值进行局部放大，即将增加P_g8从4.6004p.u.以0.001为步长变化到4.7104p.u.的特征值。模式M2和M3的变化轨迹如图3所示，这两个模式在谐振前后随着摄动参数的增加移动方向近似成90度，这是一阶模态强谐振很重要的性质。图中标记的两点处，发电机G8的有功出力为4.6554p.u.，它们分别为模式M2和M3变化轨迹的转折点，也是二者相距最近的点。这进一步证明了这是一阶模态谐振点。结合图2可知，在参数均匀变化情况下，谐振点附近，特征值对参数变化非常敏感。

（2）将发电机G8的有功出力固定为4.6554p.u.，使发电机G4的有功出力从6.3113p.u.增加到7.3113p.u.，步长为0.005，模式M2和M3的变化轨迹如图4所示，模式M2起初位于图4右下方，随着发电机G4有功出力的增加，逐渐朝左上方向移动；模式M3起初位于图4左上方，随着参数的变化，逐渐向右移动，即其频率基本不变，而阻尼比减小。模式M2和M3接近到一定程度后，M2反方向朝右上方向移动，而M3反方向朝左移动。

对于发电机G4有功出力谐振点（P_g4=7.0513p.u.）附近的特征值进行局部放大，即P_g4从7.0003p.u.以0.001为步长增加到7.1023p.u.。模式M2和M3的变化轨迹如图5所示，这两个模式在谐振前后随着摄动参数的增加移动方向近似成90度，这是一阶模态谐振很重要的性质。图中标记的两点处，发电机G4的有功出力为7.0513p.u.，这也是M2和M3变化轨迹的转折点，也是两者相距最近的点。这进一步证明了这是一阶模态谐振点。结合图4可知，在参数均匀变化情况下，谐振点附近，特征值对参数变化非常敏感。

1.3模态比较

基本运行方式下，模式M2和M3的振荡模态图分别如图6(a)和图6(b)所示，模式M2在基本运行方式下表现为G8相对于G1、G4的振荡，而且G8对应的模态幅值远大于其他机组对应的模态幅值；模式M3表现为G4、G8相对于G5、G6和G7的振荡，而且G4对应的模态幅值远大于其他机组对应的模态幅值。

谐振点处，模式M2和M3的振荡模态图分别如图7(a)和图7(b)所示，谐振点处的模式M2和M3的模态一致：发电机G1和G8对应的模态相角相差180°，G4和G5、G7对应的模态相角相差180度，而且G4和G8对应的模态幅值均较大。这是一阶模态谐振的一个重要特点，即两个谐振模式的模态基本一致。

将图7(a)与图6(a)相比较会发现，G5、G6和G7在模式M2的参与程度增大，G4对应的模态幅值增大明显，相对于G8的相角也有所变化；将图7(b)与图6(b)相比较会发现，G1的参与模式M3程度增强，G8对应的模态幅值增大明显，而G4的模态幅值有所减小。

2.谐振模式为机电模式和控制模式

为了计算方便，只在特定的机组上增加原动机模型，这里在G6上增加原动机模型，那么参与谐振的控制模式选定为G6的原动机中调速器对应的控制模式，摄动参数则为G6上原动机中调速器PI环节的参数K_P和T_I。进行小干扰稳定分析后，系统的机电模式和G6的参与因子模值如表14所示：

表14基本运行方式下，系统机电振荡模式及其模态

模式	特征值	模态	G6参与因子模值
				M1	-0.3228±j8.8603	G6vs G7	0.190761
M2	-0.3271±j8.7709	G8vs G1、G4	0.000402
				M3	-0.2791±j8.5658	G4、G8vs G5、G6	0.034708
M4	-0.2190±j7.6153	G2vs G3	0.003018
				M5	-0.0752±j7.0935	G1、G8vs G6、G7、G9	0.074314
M6	-0.1864±j6.8467	G1、G6、G7vs G2、G5、G9	0.158925
				M7	-0.2097±j6.2004	G2、G3vs G5、G9	0.000549
M8	-0.2507±j5.9475	G9vs G4、G5	0.004109
				M9	-0.2545±j3.7391	G10vs G1～G9	0.046406

由表14可知，G6在机电模式M1的参与程度最大，因此可以选择M1作为参与谐振的机电模式。本方法的迭代过程如表15所示：

表15迭代求解过程

迭代次数	最小目标函数	KP	TI
				10	0.54862	2.7140	0.0345
20	0.46581	2.7578	0.0348
				30	0.46581	2.7578	0.0348
40～130	0.18102	2.8392	0.0342
				140	0.16186	2.8438	0.0343
150	0.06746	2.8401	0.0344
				160	0.024107	2.8415	0.0344
200	0.015578	2.8416	0.0344
				250（收敛）	0.0013712	2.8417	0.0344

由表15可知，迭代收敛时，摄动参数K_P=2.8417和T_I=0.0344，将这两个参数重新代入系统，并计算全系统的特征值。将优化后得到的结果代入系统，计算全系统的特征值，其中频率在0.1～2.5Hz的模式如表16所示：

表16谐振点处，全系统的低频振荡模式

表16中，根据机电回路相关比可知，第1、3～10个是机电模式，分别与基本运行方式下的机电模式M1～M9对应。接着依据它们的模态，可以确定各自的振荡形式。其中，第1、6、7个模式中，G6是强相关机组。为了确定这些模式中哪个是所匹配的控制模式，需要求解各模式特征值对参数K_P和T_I的灵敏度，各灵敏度的模值如表17所示：

表17谐振点处，各模式特征值对参数K_P和T_I的灵敏度模值

由表17可知，由于第2个模式的特征值对参数K_P和T_I的灵敏度模值比其它的要大，所以可以确定它就是控制模式CM。表17中第1个和第2个模式，它们的频率非常接近，阻尼比也相差不大，因而可以判断这两个模式参与了一阶模态谐振，进一步分析可知，谐振发生在机电模式M1和控制模式CM之间。因此，通过基于优化的谐振点查找方法可以找到相应的谐振点。谐振点处，G6参与所有机电模式的因子模值如表18所示：

表18谐振点处，所有机电模式中G6的参与因子模值

机电模式	G6的参与因子模值
		M1	1.052584
M2	0.000049
		M3	0.015377
M4	0.002677
		M5	0.051009
M6	0.208215
		M7	0.000408
M8	0.003872
		M9	0.040609

由表18可知，谐振点处，G6参与机电模式M1的参与程度更大，与其它机电模式的差别进一步扩大。

谐振点处，参与谐振的这两个模式的振荡模态图分别如图8(a)和图8(b)所示，参与谐振的这两个模式的振荡模态基本一致，都表现为G6相对于G4和G7的振荡，这是一阶模态谐振的一个重要的特点，反过来证明了本发明查找到的确实是一阶模态谐振点。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (10)

1.一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，其特征是，在电力系统基本运行方式下，确定该电力系统可能发生谐振的低频振荡模式对及其对应的摄动参数；以可能发生谐振的模式对的特征值在复平面上的距离作为目标函数，通过优化的方法进行求解，当目标函数小于设定值，就认为满足一阶模态谐振发生的基本条件，即找到了潜在的一阶模态谐振点，并获得谐振点处的摄动参数值及相应的谐振模式。

2.如权利要求1所述的一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，其特征是，主要分为以下具体步骤：

步骤（1）：获取电力系统在基本运行方式下所需全部特征值或部分关键特征值；

步骤（2）：根据步骤（1）的特征值，确定可能发生谐振的模式对集合S_R，并选择模式对集合S_R中每个模式对对应的摄动参数集合S_P；

步骤（3）：从模式对集合S_R中任意选择一个模式对，它们对应的虚部为正的特征值分别为λ_m和λ_n，λ表示特征值，下标m和n用于区分不同的特征值；

步骤（4）：从摄动参数集合S_P中选择λ_m和λ_n对应的摄动参数p_k；

步骤（5）：摄动参数p_k摄动，并计算参数摄动后系统的全部特征值或部分关键特征值；

步骤（6）：匹配与追踪步骤（3）中选择的模式对；

步骤（7）：计算目标函数obj=|λ_m-λ_n|；

步骤（8）：判断迭代是否收敛，若是，则进入步骤（9），否则转入步骤（5）；

步骤（9）：判断obj是否足够小，若是，则进入步骤（10），否则转入步骤（11）；

步骤（10）：判断一阶模态谐振的类型，是强谐振还是弱谐振，进入步骤（11）；

步骤（11）：判断S_P中是否还存在λ_m和λ_n对应的其它摄动参数，若存在，则转入步骤（4），否则进入步骤（12）；

步骤（12）：判断S_R中是否还存在其它模式对待查找，若是，转入步骤（3），否则结束。

3.如权利要求1所述的一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，其特征是，所述步骤（2）中确定可能发生谐振的模式对集合S_R及其对应的摄动参数集合S_P；S_R中的模式对包括有两种可能的组合：a.都是机电振荡模式，b.一个是机电模式，另一个是控制模式；

情况a中可能发生谐振的两个模式的选取方法为：

步骤a1)：在基本运行方式下，用机电回路相关比识别出系统的全部机电模式；

步骤a2)：考虑到一阶模态谐振发生的条件，选择在复平面上距离较近的两个机电模式，组成了一个可能发生谐振的模式对；

步骤a3)：用参与因子分别识别两个机电模式的强相关机组，并确保有多台（至少2台）强相关机组共同参与这两个机电模式；

步骤a4)：重复步骤a2)和步骤a3)，形成可能发生一阶模态谐振的模式对集合S_R；

对于情况a的摄动参数类型，允许是集合S_R中各模式对对应的强相关机组的基本物理参数或运行参数；

情况b通常是机电振荡模式与强相关发电机的调节器对应的控制模式之间的谐振；因此，可能发生谐振的两个模式的选取原则为：

步骤b1)：选定摄动参数，一般选择某台机组调节器的控制参数；

步骤b2)：根据控制模式对摄动参数的灵敏度模值远高于其它模式的特点，找出最大一个的控制模式；

步骤b3)：根据摄动参数所属的机组，确定其参与程度较高的一个机电模式；该机电模式和步骤b2)中选择的控制模式组成了一个可能发生谐振的模式对；

步骤b4)：重复以上的步骤，形成可能发生模态谐振的模式对集合S_R。

4.如权利要求1所述的一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，其特征是，所述步骤（3）中从S_R中任意选择一个模式对和步骤（4）中从S_P中选择的摄动参数p_k必须是对应的。

5.如权利要求1所述的一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，其特征是，所述步骤（5）中参数摄动如果影响系统的潮流，需要重新进行潮流计算，然后再计算参数摄动后系统的全部特征值或部分关键特征值。

6.如权利要求1或3所述的一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，其特征是，所述步骤（6）中匹配与追踪模式对的原则根据所述步骤（2）的两种情况而各不相同：

情况a，根据步骤（2）中情况a的模式对选取方法，设基本运行方式下共有s台强相关机组共同参与了这两个机电模式，那么这s台机组参与这两个机电模式的因子模值之和将大于参与其它机电模式的因子模值之和；由于摄动参数的变化范围不大，在基本运行方式对应的参数值附近，所以根据特征值摄动理论，摄动参数发生小幅度的变化后，依然满足这s台机组参与谐振模式的因子模值之和大于参与其它机电模式的因子模值之和关系；因此，能够利用这个关系进行情况a的模式匹配；

情况b，由于摄动参数是与控制模式相关的控制参数，所以不论摄动参数如何变化，控制模式对摄动参数的灵敏度的模值都很大，而且比其它模式对摄动参数的灵敏度模值要大得多，这样就能跟踪到相应的控制模式；对于机电振荡模式，首先确定基本运行方式下它的多台强相关机组，而且这些强相关机组参与该机电模式的因子模值之和大于其它机电模式的因子模值之和；因此，同样能利用“这些强相关机组参与该机电模式的因子模值之和大于参与其它机电模式的因子模值之和”这个关系进行情况b机电模式的匹配。

7.如权利要求1所述的一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，其特征是，所述步骤（7）中的目标函数obj=|λ_m-λ_n|表示两个特征值之间的距离，将作为判断一阶模态谐振是否发生的一个重要的指标。

8.如权利要求1所述的一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，其特征是，所述步骤（9）中判断迭代收敛时的目标函数值obj足够小的方法是将obj与一个很小的正数ε相比较，如果obj小于ε，就认为找到了谐振点，电力系统将发生一阶模态谐振。

9.如权利要求1所述的一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，其特征是，所述步骤（10）判断一阶模态谐振类型的依据是，强谐振时，随着摄动参数的变化，谐振模式的特征值呈近似直角迅速改变移动方向；弱谐振时，随着摄动参数的改变，谐振模式的特征值并不改变运动方向。

10.如权利要求1所述的一种基于优化的电力系统一阶模态谐振点的查找方法，其特征是，所述步骤（11）查找一个谐振模式对的多个不同摄动参数的谐振点；所述步骤（12）查找多个谐振模式对的谐振点。

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