CN103632037B - 一种基于工作假期的服务器平均等待时间的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于工作假期的服务器平均等待时间的计算方法，针对网络服务器在两个不同工作模式-工作期与工作假期下服务，当服务器在两个服务速率的模式下，等待服务的数据包有一定的耐心时间，在此情况下给出了请求的到达率、工作期服务率、工作假期服务率、工作假期时长参数、顾客的耐心时间时长参数与平均的队长和平均系统逗留时间相互之间的关系，提供了一种计算出平均队长和系统逗留时间的方法,提高了计算的准确度。

Description

一种基于工作假期的服务器平均等待时间的计算方法

技术领域

本发明总体涉及网络服务器性能的计算，特别涉及基于带有工作假期和耐心时间的排队模型的网络服务器性能的近似计算方法。

背景技术

近年来，休假排队已经得到了广泛深入的研究。休假排队的研究成果已应用到很多领域,像计算机系统,通信网络,生产制造系统。在各种各样的休假排队模型中,服务员在假期中完全停止服务,但是他可以从事辅助工作。

图1所示的是一个光纤局域网，现考虑该网络环境下的以下问题：此光纤网络连接着n个分布式网络。第i（i=1,2…,n）个分布式网络通过接入路由器i和对应的端口p_i连接到光纤局域网。光纤局域网通过网关路由器连接到主干网。端口p_i（i=1,2…,n）有一个可调的光发射器和接收器，并且可以通过一定的带宽来传送数据。对于光纤网络的带宽的分配问题，最简单的解决方法是当第i个接入路由器向网关路由传送数据时，其余n-1个接入路由停止向网关路由传送数据（也就是说第i个接入路由器占用所有的带宽）；当第i个接入路由传送完毕时，第i+1个接入路由开始传送数据。Servi和Finn提出了另一种新的光纤网络带宽分配方法（（L.D.Servi,S.G.Finn.M/M/1queueswithworkingvacations(M/M/1/WV)[J].PerformanceEvaluation,2002,50:41-52）），即将光纤网络的带宽分成两部分，一部分带宽按照前述简单的方法，接入路由依次向网关路由传送数据，而另一部分带宽则是被所有接入路由器均分，故每个接入路由器传送数据的速率为这两部分之和。这样的传送方式设置了低速运行期，在一定程度上减小了成本，节约了能源，而且在多重工作假期的基础上，缩短了休假时间，增加了系统闲期。

此光纤网络连接着n个分布式网络。第i（i=1,2…,n）个分布式网络通过接入路由器i和对应的端口p_i连接到光纤局域网。光纤局域网通过网关路由器连接到主干网。端口p_i（i=1,2…,n）有一个可调的光发射器和接收器，并且可以通过一定的带宽来传送数据。对于光纤网络的带宽的分配问题，最简单的解决方法是当第i个接入路由器向网关路由传送数据时，其余n-1个接入路由停止向网关路由传送数据（也就是说第i个接入路由器占用所有的带宽）；当第i个接入路由传送完毕时，第i+1个接入路由开始传送数据。Servi和Finn[1]提出了另一种新的光纤网络带宽分配方法，即将光纤网络的带宽分成两部分，一部分带宽按照前述简单的方法，接入路由依次向网关路由传送数据，而另一部分带宽则是被所有接入路由器均分，故每个接入路由器传送数据的速率为这两部分之和。这样的传送方式设置了低速运行期，在一定程度上减小了成本，节约了能源，而且在多重工作假期的基础上，缩短了休假时间，增加了系统闲期。

Servi和Finn首先解决了带有多重工作假期的M/M/1的排队模型，通过利用母函数的方法得到了平均系统人数和顾客平均等待时间的表达式，并举出实例说明带有工作假期的排队模型在生活中的应用，同时也为以后的研究奠定了基础。随后，Wu,Takagi利用半Markov过程的理论，将工作假期引入M/G/1排队模型（D.Wu,H.Takagi.M/G/1 queue withmultiple working vacations[J].Performance Evaluation,2006,63:654-681）。其中服务时间与工作假期的分布都服从一般分布。得到了工作期和工作假期的队长，和平均等待时间。在2008年Tian,Zhang和Wang利用拟生灭过程和矩阵几何解的方法分析了关于单个工作假期的M/M/1系统（N.Tian,X.Zhang,K.Wang.The M/M/1 Queue with Single WorkingVacation[J].International Journal of Information and ManagementSciences,2008,19(4):621-634），得到了在平稳状态的系统人数分布和有效时间，更得到了平均繁忙期和和平均繁忙周期，最后得出平稳指数结构的随机分解。2011年，Gao,Fu和Liu利用补充向量法考虑了关于单个工作假期的M/G/1系统（S.Gao,Y.Fu,Z.Liu.An M/G/1 Queue Systemwith Single Working Vacation[J].Information Engineering and  Computer Science (ICIECS),2010,2156-7379），导出了在平稳状态条件下任一离去时刻的队长分布，表明了队长的条件随机分解，同时导出了一些系统的性能指标。卢国云，徐秀丽，王继利，刘春平在2011年研究单重工作休假和休假中断的M/G/1排队系统（卢国云，徐秀丽，王继利等.带单重工作休假和休假中断的M/G/1排队系统.郑州大学学报，2011,43(3):6-10），得到了其嵌入Markov链的转移概率矩阵，采用M/G/1型结构矩阵解析法，得到离去时刻稳态队长的母函数的解析表达式。2005年Y.Baba考虑了关于多个工作假期的G/M/1系统（Y.Baba,Analysis ofa GI/M/1 Queue with Multiple Working Vacations[J] OperationsResearch Letters 2005,33(2):p.201-209.），利用矩阵几何法导出在平稳状态条件下到达和任一时刻的系统人数，任一顾客在系统中的逗留时间。

由于顾客耐心时间在通信系统、呼叫中心和生产-库存系统中的应用，因此，一部分对其产生了浓厚的兴趣。Plam是第一个考虑带有顾客耐心时间的M/M/C排队模型（C.Palm.Methods of judging the annoyancecaused by congestion[J].Tele,1953,4:189-208），其中假设顾客耐心时间服从独立的指数分布。随后，众多学者通过放松条件将顾客耐心时间扩展到各个方向。E.Altman和U.Yechiali在2006年利用母函数的方法分析研究了关于完全休假（在假期内不进行任何服务）和顾客耐心时间排队模型的处理(E.Altman,U.Yechiali.Analysis of customers’impatience in queues with server vacations[J].Queuing Systems,2006,52:261-279)，综合分析了在单个服务器M/M/1和M/G/1以及多个服务器M/M/C加入单个和多个服务器完全假期以及顾客耐心时间，并获得了各种不同形式的结果。在M/M/1和M/G/1两个系统中得到主要性能指标的具体表达形式，而在多个服务器系统M/M/C中推出一个2c次的多项式，通过求解它的根可得到系统的主要性能指标，尤其是得到顾客在单个服务者假期离弃系统的比例要小于多个服务器完全假期的性质。

然而，当服务器在两个服务速率的模式下时，工作期与工作假期分别对应一个快，一个慢的服务速率。到达的请求有一定耐心时间。到目前为止针对以上系统尚没有合适的计算模型和方法。

发明内容

本发明提出了一种服务器平均等待时间的计算方法，针对网络服务器在两个不同工作模式-工作期与工作假期下服务，当服务器在两个服务速率的模式下，等待服务的数据包有一定的耐心时间，在此情况下给出平均队长，平均等待时间段的计算方法,提高了计算的准确度。

本发明解决上述技术问题的技术方案是通过以下方式实现的：

一种基于工作假期的服务器平均等待时间的计算方法，用于在服务器处于两个服务速率的模式时，计算数据包的平均等待时间，服务规则为FCFS的经典M/M/1排队系统中同时引入单重工作假期和耐心时间，工作假期的时间长度和耐心时间服从指数分布。方法包括以下步骤：

（一）：令L表示系统中的顾客数，J=0代表系统处于工作假期状态，J=1为正常工作状态，获取系统平衡状态时的概率：

P_jn=P{J=j,L=n}，其中(j=0或1;n为0或正整数)；

（二）：基于带有单重工作假期和顾客耐心时间的M/M/1排队系统来获得平均队长E[L]：

$E\left[L\right]=\frac{({\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ})\mathrm{\γ}{G}_0^{\′\′}\left(1\right)+2{\mathrm{\γ\μ}}_b{G}_0^{\′}\left(1\right)+2\mathrm{\γ}{\mathrm{\μ}}_b{P}_{00}}{2{({\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ})}^2}+\frac{(\mathrm{\λ}-{\mathrm{\μ}}_v)G_0\left(1\right)+{\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}}{\mathrm{\γ}+\mathrm{\ξ}};$

其中λ为符合泊松分布的请求到达率，μ_b为工作期服务率，μ_v为工作假期服务率且满足μ_b＞μ_v，γ为工作假期时长参数，ξ为顾客的耐心时间时长参数；

（三）：获得顾客平均等待时间段E[S]：

$E\left[S\right]=\frac{E\left[L\right]}{\mathrm{\λ}};$

其中S为一个顾客从到达系统到离去系统的总逗留时间，无论该顾客是否得到服务；

（四）：令S_served表示一个顾客完成服务的总逗留时间，S_jn为一个顾客到达状态为(j,n)且在不离弃系统的条件下在系统中的逗留时间：

$E\left[S_{\mathrm{served}}\right]=\frac{E\left[L_1\right]+P_{1.}}{{\mathrm{\μ}}_b}+\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{0n}E\left[S_{0n}\right]$

利用上述拟合参数，本发明给出了请求的到达率、工作期服务率、工作假期服务率、工作假期时长参数、顾客的耐心时间时长参数与平均的队长和平均系统逗留时间相互之间的关系。提供了一种计算出平均的队长和系统逗留时间的方法。从而为网络服务器的各项性能指标的设计提出指导。后续实验表明了本发明计算方法的正确性和精确性。

附图说明

本发明的主题被特别指出，并在权利要求中清楚地进行了声明。本发明的前述或其他对象、特征和优点将从如下具体实施例并结合附图中显而易见。

图1是现有技术中的光纤局域网的网络结构示意图。

图2说明了利用带有工作假期的排队模型来进行近似的状态转移图。

图3是根据本发明实施例的工作假期平均队长E[L₀]与工作假期服务率μ_v和顾客的耐心时间时长参数ξ的关系示意图。

图4是根据本发明实施例的平均队长E[L]与工作假期服务率μ_v和顾客的耐心时间时长参数ξ的关系示意图。

图5是根据本发明实施例的工作假期平均队长E[L₀]与工作假期服务率μ_v和工作假期时长参数γ的关系示意图。

图6是根据本发明实施例的平均队长E[L₀]与工作假期服务率μ_v和工作假期时长参数γ的关系示意图。

具体实施方式

下面参照附图进一步描述本发明的优选实施例。当考虑到每一个接入路由器的吞吐量,平均队长和数据包平均等待时间时，这个系统可以由带有工作假期的排队模型来进行近似。这个模型如图2所示。当接入路由器在上述较窄的带宽下传输数据的时段定义为工作假期；当接入路由器在上述较宽的带宽下传输数据的时段定义为工作期。图2中，L表示系统中的顾客数，J=0代表系统处于工作假期状态，J=1为正常工作状态，则P_jn=P{J=j,L=n}，(j=0,1;n=0,1,2,3...)为系统平衡状态时的概率。那么{J,L}是一个二维状态的Markov过程。

从工作期到工作假期的转换是这样的，在工作期中以较宽的带宽进行数据传输直到系统中没有数据包时，系统则转入工作假期。

从工作假期到工作期的转换方式有两种：多工作假期与单工作假期。也就是说，工作假期结束之时如果系统中没有数据包等待服务，接入路由器转入另一个新的工作假期的话（若有数据到达则以较窄的带宽进行数据传输），这种方式叫做多工作假期；否则，当以一个工作假期结束之时，系统中没有数据包等待服务，接入路由器转入等候状态，当有一个数据包到达时则以较宽的带宽进行数据传输（即工作期），这种方式叫单工作假期。

本发明的服务器性能计算方法在一个泊松到达率为λ、服务规则为FCFS的经典M/M/1排队系统中同时引入单重工作假期和耐心时间，工作假期的时间长度服从参数为γ的指数分布，正常服务状态下服务率为μ_b，工作假期时为μ_v，且μ_b＞μ_v。如果服务者从工作假期回到系统时，系统中没有顾客，则服务器要一直等到第一个顾客的到达，而在工作假期时顾客是有耐心的，并且耐心时间是服从参数为ξ的指数分布。如果在顾客的耐心时间内，顾客没有得到服务，则其离开这个系统，并且永远不会返回，我们称这样的排队模型为带有单重工作假期和耐心时间的排队模型。

具体地，本发明的技术方案中涉及的要点具体说明如下：

1.状态的定义及状态平衡方程

令L表示系统中的顾客数，J=0代表系统处于工作假期状态，J=1为正常工作状态，则P_jn=P{J=j,L=n}(j=0,1;n=0,1,2,3...)为系统平衡状态时的概率。那么{J,L}是一个二维状态的Markov过程，状态转移如图2所示。

则可得到下列平衡方程组:

$j=0\left\{\begin{array}{cc}n=0& (\mathrm{\γ}+\mathrm{\λ})P_{00}=(\mathrm{\ξ}+{\mathrm{\μ}}_v)P_{01}+{\mathrm{\μ}}_b{P}_{11}\\ n\≥1& (\mathrm{\λ}+\mathrm{\γ}+{\mathrm{\μ}}_v+\mathrm{n\ξ})P_{0n}=\mathrm{\λ}{P}_{0,n-1}+[{\mathrm{\μ}}_v+(n+1)\mathrm{\ξ}]P_{0,n+1}\end{array}\right.,---\left(1\right)$

$j=1\left\{\begin{array}{cc}n=0& {\mathrm{\λP}}_{10}={\mathrm{\γP}}_{00}\\ n\≥1& (\mathrm{\λ}+{\mathrm{\μ}}_b)P_{1n}={\mathrm{\λP}}_{1,n-1}+{\mathrm{\γP}}_{0n}+{\mathrm{\μ}}_b{P}_{1,n+1}\end{array}.---\right.\left(2\right)$

定义概率母函数如下所示：

$G_j\left(z\right)=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{jn}}{z}^n,j=\mathrm{0,1}.$

对方程（1）的n个方程两边同时乘以zⁿ然后相加重新排列得

$[{\mathrm{\λz}}^2-(\mathrm{\λ}+\mathrm{\γ}+{\mathrm{\μ}}_v)+{\mathrm{\μ}}_v]G_0\left(z\right)+\mathrm{\ξz}(1-z)G_0^{\′}\left(z\right)={\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}(1-z)-{\mathrm{\μ}}_b{P}_{11}z.---\left(3\right)$

其中同理，由方程（2）可得

$[{\mathrm{\λz}}^2-(\mathrm{\λ}+{\mathrm{\μ}}_b)z+{\mathrm{\μ}}_b]G_1\left(z\right)+{\mathrm{\λzG}}_0\left(z\right)={\mathrm{\μ}}_b{P}_{10}(1-z)+{\mathrm{\μ}}_b{P}_{11}z.---\left(4\right)$

2.稳态队长

当ξ≠0和ξ≠1时，方程（3）可化为

$G_0^{\′}\left(z\right)+[-\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ξ}}-\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\ξ}(1-z)}+\frac{{\mathrm{\μ}}_v}{\mathrm{\ξ}}]G_0\left(z\right)=\frac{{\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}}{\mathrm{\ξz}}-\frac{{\mathrm{\μ}}_b{P}_{11}}{\mathrm{\ξ}(1-z)}.---\left(6\right)$

两边同时乘以

$e^{\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ξ}}z}{(1-z)}^{\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\ξ}}}{z}^{\frac{{\mathrm{\μ}}_v}{\mathrm{\ξ}}},$

可得

$\frac{d}{\mathrm{dz}}\left[e^{-\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ξ}}z}{(1-z)}^{\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\ξ}}}{z}^{\frac{{\mathrm{\μ}}_v}{\mathrm{\ξ}}}{G}_0\left(z\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\ξ}}(\frac{{\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}}{z}-\frac{{\mathrm{\μ}}_b{P}_{11}}{1-z})e^{-\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ξ}}z}{(1-z)}^{\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\ξ}}}{z}^{\frac{{\mathrm{\μ}}_v}{\mathrm{\ξ}}}.---\left(7\right)$

从0到z积分可得

$G_0\left(z\right)=\frac{-{\mathrm{\μ}}_b{P}_{11}{k}_1\left(z\right)+{\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}{k}_2\left(z\right)}{\mathrm{\ξ}{e}^{-\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ξ}}z}{(1-z)}^{\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\ξ}}}{z}^{\frac{{\mathrm{\μ}}_v}{\mathrm{\ξ}}}}.---\left(8\right)$

其中

$k_1\left(z\right)={\∫}_0^z{e}^{-\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ξ}}x}{(1-x)}^{\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\ξ}}-1}{x}^{\frac{{\mathrm{\μ}}_v}{\mathrm{\ξ}}}\mathrm{dx},$

$k_2\left(z\right)={\∫}_0^z{e}^{-\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ξ}}x}{(1-x)}^{\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\ξ}}}{x}^{\frac{{\mathrm{\μ}}_v}{\mathrm{\ξ}}-1}\mathrm{dx}.$

由方程（8）可知，G₀(z)是关于P₀₀和P₁₁的函数。同时从方程（2）和（4）可得G₁(z)是关于G₀(z)，P₀₀和P₁₁的函数。因此只要知道了和P₁₁,则G₀(z)和G₁(z)就可以得到，知道了G₀(z)和G₁(z)，分别对G₀(z)和P₀₀G₁(z)求z=1处的导数，就可以得出此系统的平均队长。

结论1：带有单重工作假期和顾客耐心时间的M/M/1排队系统的平均队长

$E\left[L\right]=\frac{({\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ}){\mathrm{\γG}}_0^{\′\′}\left(1\right)+2\mathrm{\γ}{\mathrm{\μ}}_b{G}_0^{\′}\left(1\right)+2{\mathrm{\γ\μ}}_b{P}_{00}}{2{({\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ})}^2}+\frac{(\mathrm{\λ}-{\mathrm{\μ}}_v)G_0\left(1\right)+{\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}}{\mathrm{\γ}+\mathrm{\ξ}}.$

证明：令 $P_{j.}=G_j\left(1\right)=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{jn}},E\left[L_j\right]=G_j^{\′}\left(1\right)\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{nP}}_{\mathrm{jn}},j=\mathrm{0,1}.$

由方程（3）可得

μ_bP₁₁=γG₀(1)=γP₀.    (9)

根据方程（8）可知

$G_0\left(1\right)=\frac{e^{\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ξ}}}}{\mathrm{\ξ}}[-{\mathrm{\μ}}_b{P}_{11}{k}_1\left(1\right)+{\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}{k}_2\left(1\right)]\underset{z\→1}{\lim }{(1-z)}^{-\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\ξ}}}.---\left(10\right)$

因为 $G_0\left(1\right)=P_{0.}=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{0n}>0,$ 且 $\underset{z\→1}{\lim }{(1-z)}^{-\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\ξ}}}=\∞,$ 则必有

-μ_bP₁₁k₁(1)+μ_vP₀₀k₂(1)=0.    (11)

即

$P_{00}=\frac{{\mathrm{\μ}}_b{P}_{11}{k}_1\left(1\right)}{{\mathrm{\μ}}_v{k}_2\left(1\right)}=\frac{{\mathrm{\γG}}_0\left(1\right)k_1\left(1\right)}{{\mathrm{\μ}}_v{k}_2\left(1\right)}.---\left(12\right)$

同时方程（4）可写为

$G_1\left(z\right)=\frac{\mathrm{\γz}{G}_0\left(z\right)+{\mathrm{\μ}}_b{P}_{10}z-{\mathrm{\μ}}_b{P}_{11}z-{\mathrm{\μ}}_b{P}_{10}}{(\mathrm{\γz}-{\mathrm{\μ}}_b)(1-z)}.---\left(13\right)$

利用L’Hopital法则可得

$G_1\left(1\right)=\frac{{\mathrm{\μ}}_b{P}_{10}+{\mathrm{\γG}}_0^{\′}\left(1\right)}{{\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ}}.---\left(14\right)$

即

$E\left[L_0\right]=G_0^{\′}\left(1\right)=\frac{{\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ}}{\mathrm{\γ}}{P}_{1.}-\frac{P_{00}}{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}_b.---\left(15\right)$

另一方面，由方程（3）可知

$E\left[L_0\right]=\underset{z\→1}{\lim }{G}_0^{\′}\left(z\right)=\frac{({\mathrm{\μ}}_v-\mathrm{\λ})G_0\left(1\right)+{\mathrm{\γG}}_0^{\′}\left(1\right)-{\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}}{-\mathrm{\ξ}},---\left(16\right)$

即

$G_0^{\′}\left(1\right)=\frac{(\mathrm{\λ}-{\mathrm{\μ}}_v)G_0\left(1\right)+{\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}}{\mathrm{\γ}+\mathrm{\ξ}}.---\left(17\right)$

利用P_1.+P_0.=1以及方程（15）和（17）可推出

$G_0\left(1\right)=\frac{(\mathrm{\λ\ξ}{\mathrm{\μ}}_b+\mathrm{\λ\γ}{\mathrm{\μ}}_b-{\mathrm{\ξ\λ}}^2-{\mathrm{\γ\λ}}^2){\mathrm{\μ}}_v{k}_2\left(1\right)}{(\mathrm{\λ\ξ}{\mathrm{\μ}}_b+{\mathrm{\λ\γ\μ}}_b-{\mathrm{\λ\γ\μ}}_v-{\mathrm{\ξ\λ}}^2){\mathrm{\μ}}_v{k}_2\left(1\right)+({{\mathrm{\μ}}_b\mathrm{\γ}}^2+{\mathrm{\γ\ξ\μ}}_b+{\mathrm{\λ\γ\μ}}_v){\mathrm{\γk}}_1\left(1\right)}.---\left(18\right)$

其中

$P_{00}=\frac{{\mathrm{\γk}}_1\left(1\right)}{{\mathrm{\μ}}_v{k}_2\left(1\right)}{G}_0\left(1\right).---\left(19\right)$

由方程（13）可知

$E\left[L_1\right]=\frac{({\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ}){\mathrm{\γG}}_0^{\′\′}\left(1\right)+2{\mathrm{\γ\μ}}_b{G}_0^{\′}\left(1\right)+2{\mathrm{\γ\μ}}_b{P}_{00}}{2{({\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ})}^2}.---\left(20\right)$

从方程（3）可得

$G_0^{\′\′}\left(1\right)=\frac{2\mathrm{\λ}{G}_0\left(1\right)+2(\mathrm{\λ}-\mathrm{\γ}-\mathrm{\ξ}-{\mathrm{\μ}}_v)G_0^{\′}\left(1\right)}{\mathrm{\γ}+2\mathrm{\ξ}}.---\left(21\right)$

因此平均队长

E[L]=E[L₀]+E[L₁].    (22)

从方程（15）可知到达平稳的充要条件是λ＜μ_b，否则E[L₀]=-P₀₀＜0。

3.逗留时间

结论2：定义S为一个顾客从到达系统到离去系统的总逗留时间，无论该顾客是否得到服务。通过Little法则可知平均等待时间段

$E\left[S\right]=\frac{E\left[L\right]}{\mathrm{\λ}}=\frac{E\left[L_0\right]+E\left[L_1\right]}{\mathrm{\λ}}.---\left(23\right)$

结论3：令S_served表示一个顾客完成服务的总逗留时间，S_jn为一个顾客到达状态为(j,n)且在不离弃系统的条件下在系统中的逗留时间。

$E\left[S_{\mathrm{served}}\right]=\frac{E\left[L_1\right]+P_{1.}}{{\mathrm{\μ}}_b}+\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{0n}E\left[S_{0n}\right].$

证明：显然，n=0,1,2,3…

现在计算E[S_0n]，当J=0，n≥1时

$E\left[S_{0n}\right]=\frac{\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\θ}}_{n+1}}(\frac{1}{{\mathrm{\θ}}_{n+1}}+E[S_{1n}\left]\right)+\frac{\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\θ}}_{n+1}}(\frac{1}{{\mathrm{\θ}}_{n+1}}+E[S_{0n}\left]\right)+$

$\frac{\mathrm{n\ξ}+{\mathrm{\μ}}_v}{{\mathrm{\θ}}_{n+1}}(\frac{1}{{\mathrm{\θ}}_{n+1}}+E[S_{0,n-1}\left]\right).---\left(24\right)$

且

θ_n=γ+λ+nξ+μ_v，n=0,1,2,3…

上述方程右面第二项表示一个新到达的顾客没有改变系统中现有顾客的逗留时间，而第三项表示当系统中有n+1位等待顾客时，其中一个顾客离开系统，而我们所考虑的不是离开的系统的那个顾客，因此离去顾客的概率为

因此

$[\mathrm{\γ}+(n+1)\mathrm{\ξ}+{\mathrm{\μ}}_v]E\left[S_0\right]=\frac{{\mathrm{\θ}}_n}{{\mathrm{\θ}}_{n+1}}+\frac{\mathrm{\γ}(n+1)}{{\mathrm{\μ}}_b}+(\mathrm{n\ξ}+{\mathrm{\μ}}_v)E\left[S_{0,n-1}\right].---\left(25\right)$

同时

$E\left[S_{00}\right]=\frac{\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\θ}}_1}(\frac{1}{{\mathrm{\θ}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{\μ}}_b})+\frac{\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\θ}}_1}(\frac{1}{{\mathrm{\θ}}_1}+E[S_{00}\left]\right)+\frac{{\mathrm{\μ}}_v}{{\mathrm{\θ}}_1^2},---\left(26\right)$

即

$E\left[S_{00}\right]=\frac{1}{\mathrm{\γ}+\mathrm{\ξ}+{\mathrm{\μ}}_v}(\frac{{\mathrm{\θ}}_0}{{\mathrm{\θ}}_1}+\frac{\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\μ}}_b}).---\left(27\right)$

将上式代入方程（24）可得

$E\left[S_{0n}\right]=\frac{1}{\mathrm{\γ}+(n+1)\mathrm{\ξ}+{\mathrm{\μ}}_v}[\frac{{\mathrm{\θ}}_n}{{\mathrm{\θ}}_{n+1}}+\frac{(n+1)\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\μ}}_b}]+$

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{\mathrm{\γ}+(i+1)\mathrm{\ξ}+{\mathrm{\μ}}_v}[\frac{{\mathrm{\θ}}_i}{{\mathrm{\θ}}_{i+1}}+\frac{(i+1)\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\μ}}_b}]\underset{j=i}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}\frac{\mathrm{j\ξ}+{\mathrm{\μ}}_v}{\mathrm{\γ}+(j+1)\mathrm{\ξ}+{\mathrm{\μ}}_v}.---\left(28\right)$

最后，利用E[S_1n]可推出

$E\left[S_{\mathrm{served}}\right]=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{1n}E\left[S_{1n}\right]+\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{0n}E\left[S_{0n}\right].---\left(29\right)$

即

$E\left[S_{\mathrm{served}}\right]=\frac{E\left[L_1\right]+P_{1.}}{{\mathrm{\μ}}_b}+\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{0n}E\left[S_{0n}\right].---\left(30\right)$

其中P_1.=1-P_0.。

为了对上述计算方法的正确性和精确性进行验证，做了以下实验

1.当到达率λ=4，工作期服务率μ_b=5，工作假期时长参数γ=2，ξ=0.5,1.5,2.5时，计算了工作假期服务率μ_v与工作假期的平均队长E[L₀]的关系。如图3所示，随着μ_v的增加，即服务速率越来越快，工作假期的平均队长E[L₀]一直在减小；然而，当μ_v固定，随着ξ增大，即顾客耐心时间的均值减小，工作假期的平均队长E[L₀]减小；同时，我们也可以看出ξ的变化对于E[L₀]的影响比较敏感。同样的利用以上参数，计算了μ_v与平均队长E[L]的关系。如图4所示。随着μ_v的增加，即服务速率越来越快，系统平均队长E[L]一直在减小；然而，当μ_v固定，随着ξ增大，即顾客耐心时间的均值减小，系统平均队长E[L]减小。同时，我们也可以看出ξ的变化对于E[L]的影响比较敏感，对图3和图4比较发现，ξ的变化对于E[L₀]的敏感程度要高于E[L]。

2.当到达率λ=4，工作期服务率μ_b=5，工作假期时长参数γ=0.5,1.5,2.5，ξ=0.5时，计算了工作假期服务率μ_v与工作假期的平均队长E[L₀]的关系。如图5所示，随着μ_v的增加，即服务速率越来越快，工作假期的平均队长E[L₀]一直在减小，并且随着γ的增大，服务速率μ_v对于工作假期的平均队长E[L₀]的影响也变得越来越小；然而，当μ_v固定，随着γ增大，即工作假期的平均长度减小，工作假期的平均队长E[L₀]减小。同时，我们也可以看出γ的变化对于E[L₀]的影响敏感程度不是太大。同样的利用以上参数，计算了μ_v与平均队长E[L]的关系。如图6所示。随着μ_v的增加，即服务速率越来越快，系统平均队长E[L]一直在减小，并且随着γ的增大，服务速率μ_v对于系统平均队长E[L]的影响也变得越来越小；然而，当μ_v＜3，随着γ增大，即工作假期的平均长度减小，系统平均队长E[L]减小，当μ_v超过3时，随着γ增大，系统平均队长反而E[L]增加。同时，我们也可以看出γ的变化对于E[L]的影响更小，对图5和图6比较发现，γ的变化对于E[L₀]的敏感程度要高于E[L]。

针对网络服务器在两个不同工作模式-工作期与工作假期下服务。工作期与工作假期分别对应一个快，一个慢的服务速率。到达的请求有一定耐心时间。到目前为止针对以上系统尚没有合适的理论计算模型和方法。本专利用泊松过程拟合到达过程，用不同参数的指数分布拟合服务时间，工作假期时间，和请求的耐心时间。利用上述拟合参数，本发明给出了请求的到达率λ，工作期服务率μ_b，工作假期服务率μ_v，工作假期时长参数γ，顾客的耐心时间时长参数ξ与平均的队长E[L]和平均系统逗留时间E[S]相互之间的关系。提供了一种计算出平均的队长和系统逗留时间的方法。从而为网络服务器的各项性能指标的设计提出指导。

本发明的实施例可实现为硬件、固件、软件或其任意组合。此外，软件优选地实现为应用程序，有形地实施于程序存储单元或有形计算机可读介质上，其由部件或某些设备和/或设备的组合构成。该应用程序可上传至包括任意合适的体系结构的机器，并由其执行。优选地，该机器实现为计算机平台，具有诸如一个或多个中央处理单元（CPU）、存储器和输入输出接口等硬件。该计算机平台还可包括操作系统和微指令代码。本文描述的多个过程和功能即可为微指令代码的一部分，也可为应用程序的一部分，或其任意组合，其由CPU执行，无论所述计算机或处理器是否明显示出。另外，其他多种外围单元可连接至该计算机平台，如附加的数据存储单元和打印单元。服务器的全部或部分可合并成一个或多个集成服务器。此外，非暂存计算机可读介质为除暂时传播信号以外的任一种计算机可读介质。显示部分和微型显示部分可显示于显示区域，其可为浏览器或互联网移动应用的其他合适的图形用户界面，即可为通用的，也可为定制的，以在上文中详细描述。

本文陈述的所有示例意图用于教导的目的，以帮助读者理解本发明的原理和发明人提出的概念以改进技术，并且应被解释为未对所述特别陈述的示例和条件进行限制。而且，本文陈述本发明原理、方面和实施例的表述及其具体实施例意图包括结构上和功能上的等同物。此外，该等同物旨在包括目前已知的等同物以及未来发展的等同物，即发展的实现相同功能的任意要素，与结构无关。

Claims (1)

1.一种基于工作假期的服务器平均等待时间的计算方法，用于在服务器处于两个服务速率的模式时计算数据包的服务器平均等待时间，其中服务器的服务规则符合M/M/1排队系统，其特征在于，该方法利用单重工作假期和耐心时间来计算平均队长和服务器平均等待时间；

其中计算平均队长具体包括以下步骤：

(一)：令L表示系统中的顾客数，J＝0代表系统处于工作假期状态，J＝1为正常工作状态，获取系统平衡状态时的概率：

P_jn＝P{J＝j，L＝n)，其中(j＝0或1；n为0或正整数)；

(二)：获得平均队长E[L]：

$E\left[L\right]=\frac{({\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ}){\mathrm{\γG}}_0^{\′\′}\left(1\right)+{2\mathrm{\γ\μ}}_b{G}_0^{\′}\left(1\right)+{{2\mathrm{\γ\μ}}_{b}P}_{00}}{2{({\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ})}^2}+\frac{(\mathrm{\λ}-{\mathrm{\μ}}_v)G_0\left(1\right)+{\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}}{\mathrm{\γ}+\mathrm{\ξ}};$

其中λ为请求到达率，μ_b为工作期服务率，μ_v为工作假期服务率，γ为工作假期时长参数，ξ为顾客的耐心时间时长参数；且分别有：

$G_0\left(1\right)=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{0n};$

$G_0^{\′}\left(1\right)=\frac{(\mathrm{\λ}-{\mathrm{\μ}}_v)G_0\left(1\right)+{\mathrm{\μ}}_v{P}_{00}}{\mathrm{\γ}+\mathrm{\ξ}};$

$G_0^{\′\′}\left(1\right)=\frac{{2\mathrm{\λG}}_0\left(1\right)+2(\mathrm{\λ}-\mathrm{\γ}-\mathrm{\ξ}-{\mathrm{\μ}}_v)G_0^{\′}\left(1\right)}{\mathrm{\γ}+2\mathrm{\ξ}};$

其中λ符合泊松分布，γ与ξ分别符合指数分布，且满足μ_b＞μ_v；

其中服务器平均等待时间通过以下方式来计算：

(三)：获得顾客平均等待时间段E[S]：

$E\left[S\right]=\frac{E\left[L\right]}{\mathrm{\λ}};$

其中S为一个顾客从到达系统到离去系统的总逗留时间，无论该顾客是否得到服务；

(四)：令S_served表示一个顾客完成服务的总逗留时间，S_jn为一个顾客到达状态为(j，n)且在不离弃系统的条件下在系统中的逗留时间：

$E\left[S_{\mathrm{served}}\right]=\frac{E\left[L_1\right]+P_1}{{\mathrm{\μ}}_b}+\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}E\left[S_{0n}\right];$

其中工作期的平均等待时间 $E\left[L_1\right]=\frac{({\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ}){\mathrm{\γG}}_0^{\′\′}\left(1\right)+{2\mathrm{\γ\μ}}_b{G}_0^{\′}\left(1\right)+{2\mathrm{\γ\μ}}_b{P}_{00}}{2{({\mathrm{\μ}}_b-\mathrm{\λ})}^2};$

$P_1=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{1n}.$