CN103577659A - 电炉变压器轴向预紧力对固有振动频率影响的分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电炉变压器轴向预紧力对固有振动频率影响的分析方法，即本方法通过对大型电炉变压器绕组的振动测试实验和简化等效数学建模，得到变压器绕组的运动方程式，推导并定性阐述变压器绕组轴向预紧力变化对变压器绕组固有振动频率的影响，同一类型变压器绕组的固有振动频率与轴向预紧力呈单调递增关系，即预紧力增大，绕组的固有振动频率就变大。因此可通过测得变压器绕组的振动加速度幅值，求得施加在绕组上的轴向预紧力，从而可以建立变压器绕组轴向预紧力与变压器故障的关系数据库，从而为变压器故障诊断提供依据。

Description

电炉变压器轴向预紧力对固有振动频率影响的分析方法

技术领域

本发明涉及一种电炉变压器轴向预紧力对固有振动频率影响的分析方法。

背景技术

变压器是电力系统中最为重要的设备之一，根据大量国家电网事故统计分析，变压器大多数故障起源于出口短路故障，其故障的发展过程大致可以归纳为绕组在强大的短路电流冲击下发生轻微松动或变形，由于绕组的松动和变形具有累积效应，随着受冲击次数的增加，变压器绕组的变形程度不断扩大，导致绕组振动加剧，机械强度下降，直至绕组的抗短路能力显著下降，当再次遭受短路事故时，将承受不住巨大的短路冲击电动力而发生损坏事故。另外，绕组变形使匝间距离发生改变将导致绕组局部场强显著增大，使绝缘性能的下降，引起局部放电并不断增大，从而导致绕组局部的绝缘老化速度加快，并诱发严重的事故；或在遇到雷电过电压或操作过电压时发生匝间及饼间击穿，导致突发性损坏事故的发生。

因此，变压器在遭受短路冲击后形成的松动和变形是引发事故发生的一大主要原因，正确地对变压器绕组松动和变形进行检测和评估，能及早地发现故障隐患，及时采取技术措施，避免发生运行事故，延长变压器的实际使用寿命，同时保障电网的安全运行。

冶金企业大量的电炉变压器、整流变压器其工作状况与电力变压器相比更为严峻，主要原因在于其冲击负荷的特征对变压器造成的损伤极为严重，而电力变压器受短路冲击情况非常少见，因此钢铁厂电炉变压器、整流变压器的绕组松动及变形问题是变压器运行中发生事故的最主要的原因。一般变压器绕组故障测试的方法大致有短路阻抗法、低压脉冲法和频响分析法等上述的三种方法都已经在电力检测部门得到了广泛的应用，特别是频响分析法和低压脉冲法，但是这些方法都是从电的角度上来考虑故障诊断的方法。考虑到变压器在发生绕组故障时，整个系统的机械结构性能也会和电特性因素一样发生相应的变化，比如系统的刚度、阻尼等，结构特性带来的变化最直接的反映就是变压器振动的特性在绕组上发生变化，因此从机械结构上来考虑有其可行性。从电力系统历年故障统计数据来看，发生过大型变压器常规电气测试数据合格，但最终在受到短路冲击后绕组损坏的事例。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种电炉变压器轴向预紧力对固有振动频率影响的分析方法，本方法通过对大型变压器绕组的振动测试实验和理论建模推导来定性阐述绕组轴向预紧力变化对变压器绕组固有振动频率的影响，通过测得变压器绕组的振动加速度的幅值，求得施加在绕组上的轴向预紧力，建立变压器绕组轴向预紧力与变压器故障的关系数据库，达到变压器故障诊断的目的。

为解决上述技术问题，本发明电炉变压器轴向预紧力对固有振动频率影响的分析方法包括如下步骤：

步骤一、建立变压器绕组振动的受力分析与简化等效数学模型，根据电磁场理论，作用在变压器绕组上的电动力与电流的平方成正比：

F＝bi²                                           (1)

式(1)中：F为变压器绕组的电动力，i为变压器绕组的电流，b为作用在变压器绕组上的磁感应强度；在变压器稳定运行时，变压器绕组的电流为：

i＝I_mcosωt                                      (2)

式(2)中：I_m为电流最大值，ω为电源频率，t为变压器运行时间；

根据式(1)和式(2)，由于有

得到：

$F={{\mathrm{bI}}^2}_m(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{\ωt})---\left(3\right)$

步骤二、当电动力作用在绕组上时，设定绕组由绝缘垫块隔开的多个线段组成，并被压紧在变压器铁轭夹件之间，将绕组视为由有弹性联系的线段组成的机械系统，根据变压器绕组的结构，认为铁芯的刚度为无穷大，压板为刚性，线饼为集中质量，绝缘垫块及绕组端部为弹性元件，其中线段的质量为m，线段之间的绝缘垫块的刚度系数为K，绕组两个端部的绝缘垫块与压紧装置的刚度系数分别为K_B和K_H，并设定线段之间的阻尼系数为C，得到各线段的运动方程组：

$\left.\begin{array}{c}m\frac{d^2{z}_1}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_1}{\mathrm{dt}}+K_B{z}_1+K(z_1-z_2)=F_1+\mathrm{mg}\\ m\frac{d^2{z}_2}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_2}{\mathrm{dt}}-K(z_1-z_2)+K(z_2-z_3)=F_2+\mathrm{mg}\\ m\frac{d^2{z}_3}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_3}{\mathrm{dt}}-K(z_2-z_3)+K(z_3-z_4)=F_3+\mathrm{mg}\\ .................................................\\ m\frac{d^2{z}_n}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_n}{\mathrm{dt}}-K(z_{n-1}-z_n)+K_H{z}_n=F_n+\mathrm{mg}\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式(4)中：z₁、z₂、z₃、z_n分别为第一、第二、第三、第n个线段相对于本身原先位置的位移，F₁、F₂、F₃、F_n分别为第一、第二、第三、第n个线段所受的电动力，g为重力加速度；

步骤三、求解方程组(4)，得到绕组任意点的位移与时间的函数，然后求出在过渡过程中作用在绕组任意点上的电动力，由于方程组(4)中的线段数通常很大，因此近似设定z₁＝z₂＝z₃＝...＝z_n＝z，将方程组(4)相加并做如下标记：

$\left.\begin{array}{c}{C}^{\′}=\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}C=\mathrm{nC}\\ K^{\′}=K_B+K_H\\ M=\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}m=\mathrm{nm}\\ F=\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{F}_n\end{array}\right\}---\left(5\right)$

式(5)中：C′为绕组的阻尼系数，n为绕组的线段数量，K′为绕组两端部的刚度系数，M为绕组的质量；

则得到绕组的运动方程式： $M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=F+\mathrm{Mg}---\left(6\right)$

步骤四、通过式(6)得到整个绕组的运动规律以及作用于变压器铁轭夹件上的电动力，将式(3)代入式(6)得到：

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z={{\mathrm{bI}}^2}_m(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{\ωt})+\mathrm{Mg}---\left(7\right)$

式(7)中K′为变量，其与变压器绝缘的压缩程度有关，故式(7)的通解等于齐次方程式的通解与等式右端方程式的特解之和，齐次方程式为：

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=0---\left(8\right)$

式(8)的特征方程式具有下列形式：

Mr²+C′r+K′＝0                                (9)

由此得出： $r=-\frac{C^{\′}}{2M}\±\sqrt{{\left(\frac{C^{\′}}{2M}\right)}^2-\frac{K^{\′}}{M}}---\left(10\right)$

由于绕组在油浸变压器或空气变压器的阻尼系数小，因此通常

由此方程式(8)的根是个复数，其解具有如下形式：

$z_0={\mathrm{Ae}}^{-\frac{C^{\′}t}{2M}\sin (\mathrm{\μt}+\mathrm{\θ})}---\left(11\right)$

式(11)中：A和θ决定于起始条件的积分常数，z₀为齐次方程式(8)的通解，A为绕组线段振动加速度信号的幅值，θ为电源初始相位角，

设 $\mathrm{\μ}=\sqrt{\frac{K^{\′}}{M}-{\left(\frac{C^{\′}}{2M}\right)}^2}---\left(12\right)$

式(12)中μ为绕组的固有振动频率，将

忽略不计，

则 $\mathrm{\μ}=\sqrt{\frac{K^{\′}}{M}}---\left(13\right)$

即变压器绕组固有振动频率与绕组两端部刚度系数的平方根成正比；

步骤五、对于方程式(7)右边的常数项，得到下列方程式

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=\frac{1}{2}{{\mathrm{bI}}^2}_m+\mathrm{Mg}---\left(14\right)$

式(14)其特解是一常数D即

z₁是方程式(14)的一个特解，

对于方程式(7)右边的变量项，得到下列方程式

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=\frac{1}{2}{{\mathrm{bI}}^2}_m\cos 2\mathrm{\ωt}---\left(15\right)$

式(15)其特解具有如下形式：z₂＝Gcos(2ωt+ψ)z₂是上述方程式(15)的特解，

上式中， $G=\frac{{\mathrm{bI}}_m^2}{\sqrt{{(K^{\′}-4{\mathrm{M\ω}}^2)}^2+{4C}^{\′2}{\mathrm{\ω}}^2}}$

$\tan \mathrm{\ψ}=-\frac{{2C}^{\′}\mathrm{\ω}}{K^{\′}-4{\mathrm{M\ω}}^2}$

式中：G、ψ分别是式(15)特解z₂的常数，与绕组线圈的磁感应强度b、电流最大值Im、电源频率ω有关，

由此式(7)的通解为：

$z=z_0+z_1+z_2={\mathrm{Ae}}^{-\frac{C^{\′}t}{2M}\sin (\mathrm{\μt}+\mathrm{\θ})}+G\cos (2\mathrm{\ωt}+\mathrm{\ψ})+D---\left(16\right)$

z为变压器绕组线圈任意点线段的位移，

式(16)中，A和θ由下列起始条件求出：当t＝0时，z＝0、

步骤六、由式(16)得到变压器绕组线段位移之后，将式(16)对时间t进行两次求导，并考虑实际中

得到绕组振动加速度a表达式如下：

$a=\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}=-{\mathrm{\ωHAe}}^{\frac{C^{\′}t}{2M}}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\δ}+\mathrm{\θ})-{4\mathrm{\ω}}^{2}G\sin (2\mathrm{\ωt}+\mathrm{\ψ})---\left(17\right)$

式(17)中， $H=\sqrt{{\mathrm{\ω}}^2+{\left(\frac{C^{\′2}}{M}\right)}^2}\≈\mathrm{\ω}$ $\mathrm{\δ}=\arctan \frac{C^{\′}}{\mathrm{\ωM}}\≈0$ 式中H、δ为简化起见，是式(16)对时间t两次求导后所得的常数项，

因此最终得到绕组振动加速度a的表达式如下：

$a=-{\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{Ae}}^{\frac{C^{\′}t}{2M}}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\θ})-{4\mathrm{\ω}}^{2}G\sin (2\mathrm{\ωt}+\mathrm{\ψ})---\left(18\right)$

步骤七、通过式(18)得到变压器绕组振动加速度的振幅及随时间的变化，绕组加速度a的表达式中含有绝缘的刚度系数K′且为变量，其与变压器的轴向预紧力有关，根据刚度系数K′在不同轴向预紧力的变化，推导出要改变变压器绕组的固有振动频率所应采取的措施以及变压器轴向预紧力值对振动加速度的影响；

步骤八、由式(18)得到，绕组受电动力作用所引起的振动加速度的幅值为：

$A={4\mathrm{\ω}}^{2}G=\frac{{4\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{bI}}_m^2}{\sqrt{{(K^{\′}-{4\mathrm{M\ω}}^2)}^2+{4C}^{\′2}{\mathrm{\ω}}^2}}---\left(19\right)$

式(19)中，K′与绕组的轴向预紧力有关，其余参数认为是定值，因此根据式(19)分析得到绕组轴向预紧力与振动加速度幅值之间的关系，从而确定需施加于变压器绕组轴向预紧力的值。

由于本发明电炉变压器轴向预紧力对固有振动频率影响的分析方法采用了上述技术方案，即本方法通过对大型电炉变压器绕组的振动测试实验和简化等效数学建模，得到变压器绕组的运动方程式，推导并定性阐述变压器绕组轴向预紧力变化对变压器绕组固有振动频率的影响，同一类型变压器绕组的固有振动频率与轴向预紧力呈单调递增关系，即预紧力增大，绕组的固有振动频率就变大。因此可通过测得变压器绕组的振动加速度幅值，求得施加在绕组上的轴向预紧力，从而可以建立变压器绕组轴向预紧力与变压器故障的关系数据库，从而为变压器故障诊断提供依据。

附图说明

下面结合附图和实施方式对本发明作进一步的详细说明：

图1为本发明电炉变压器轴向预紧力对固有振动频率影响的分析方法中变压器绕组等效模型的示意图；

图2为变压器短路冲击试验中A相的示意图；

图3为变压器短路冲击试验中B相的示意图；

图4为变压器短路冲击试验中C相的示意图。

具体实施方式

本发明电炉变压器轴向预紧力对固有振动频率影响的分析方法包括如下步骤：

步骤一、建立变压器绕组振动的受力分析与简化等效数学模型，根据电磁场理论，作用在变压器绕组上的电动力与电流的平方成正比：

F＝bi²                                            (1)

式(1)中：F为变压器绕组的电动力，i为变压器绕组的电流，b为作用在变压器绕组上的磁感应强度；在变压器稳定运行时，变压器绕组的电流为：

i＝I_mcosωt                                       (2)

式(2)中：I_m为电流最大值，ω为电源频率，t为变压器运行时间；

根据式(1)和式(2)，由于有得到：

$F={{\mathrm{bI}}^2}_m(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{\ωt})---\left(3\right)$

步骤二、如图1所示，当电动力作用在绕组上时，设定绕组由绝缘垫块隔开的多个线段组成，并被压紧在变压器铁轭夹件之间，将绕组视为由有弹性联系的线段组成的机械系统，根据变压器绕组的结构，认为铁芯的刚度为无穷大，压板为刚性，线饼为集中质量，绝缘垫块及绕组端部为弹性元件，其中线段的质量为m，线段之间的绝缘垫块的刚度系数为K，绕组两个端部的绝缘垫块与压紧装置的刚度系数分别为K_B和K_H，并设定线段之间的阻尼系数为C，得到各线段的运动方程组：

$\left.\begin{array}{c}m\frac{d^2{z}_1}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_1}{\mathrm{dt}}+K_B{z}_1+K(z_1-z_2)=F_1+\mathrm{mg}\\ m\frac{d^2{z}_2}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_2}{\mathrm{dt}}-K(z_1-z_2)+K(z_2-z_3)=F_2+\mathrm{mg}\\ m\frac{d^2{z}_3}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_3}{\mathrm{dt}}-K(z_2-z_3)+K(z_3-z_4)=F_3+\mathrm{mg}\\ .................................................\\ m\frac{d^2{z}_n}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_n}{\mathrm{dt}}-K(z_{n-1}-z_n)+K_H{z}_n=F_n+\mathrm{mg}\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式(4)中：z₁、z₂、z₃、z_n分别为第一、第二、第三、第n个线段相对于本身原先位置的位移，F₁、F₂、F₃、F_n分别为第一、第二、第三、第n个线段所受的电动力，g为重力加速度；

步骤三、求解方程组(4)，得到绕组任意点的位移与时间的函数，然后求出在过渡过程中作用在绕组任意点上的电动力，由于方程组(4)中的线段数通常很大，因此近似设定z₁＝z₂＝z₃＝...＝z_n＝z，将方程组(4)相加并做如下标记：

$\left.\begin{array}{c}{C}^{\′}=\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}C=\mathrm{nC}\\ K^{\′}=K_B+K_H\\ M=\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}m=\mathrm{nm}\\ F=\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{F}_n\end{array}\right\}---\left(5\right)$

式(5)中：C′为绕组的阻尼系数，n为绕组的线段数量，K′为绕组两端部的刚度系数，M为绕组的质量；

则得到绕组的运动方程式： $M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=F+\mathrm{Mg}---\left(6\right)$

步骤四、通过式(6)得到整个绕组的运动规律以及作用于变压器铁轭夹件上的电动力，将式(3)代入式(6)得到：

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z={{\mathrm{bI}}^2}_m(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{\ωt})+\mathrm{Mg}---\left(7\right)$

式(7)中K′为变量，其与变压器绝缘的压缩程度有关，故式(7)的通解等于齐次方程式的通解与等式右端方程式的特解之和，齐次方程式为：

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=0---\left(8\right)$

式(8)的特征方程式具有下列形式：

Mr²+C′r+K′＝0                                    (9)

由此得出： $r=-\frac{C^{\′}}{2M}\±\sqrt{{\left(\frac{C^{\′}}{2M}\right)}^2-\frac{K^{\′}}{M}}---\left(10\right)$

由于绕组在油浸变压器或空气变压器的阻尼系数小，因此通常

由此方程式(8)的根是个复数，其解具有如下形式：

$z_0={\mathrm{Ae}}^{-\frac{C^{\′}t}{2M}\sin (\mathrm{\μt}+\mathrm{\θ})}---\left(11\right)$

式(11)中：A和θ决定于起始条件的积分常数，z₀为齐次方程式(8)的通解，A为绕组线段振动加速度信号的幅值，θ为电源初始相位角，

设 $\mathrm{\μ}=\sqrt{\frac{K^{\′}}{M}-{\left(\frac{C^{\′}}{2M}\right)}^2}---\left(12\right)$

式(12)中μ为绕组的固有振动频率，将

忽略不计，

则 $\mathrm{\μ}=\sqrt{\frac{K^{\′}}{M}}---\left(13\right)$

即变压器绕组固有振动频率与绕组两端部刚度系数的平方根成正比；

步骤五、对于方程式(7)右边的常数项，得到下列方程式

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=\frac{1}{2}{{\mathrm{bI}}^2}_m+\mathrm{Mg}---\left(14\right)$

式(14)其特解是一常数D即

z₁是方程式(14)的一个特解，

对于方程式(7)右边的变量项，得到下列方程式

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=\frac{1}{2}{{\mathrm{bI}}^2}_m\cos 2\mathrm{\ωt}---\left(15\right)$

式(15)其特解具有如下形式：z₂＝Gcos(2ωt+ψ)z₂是上述方程式(15)的特解，

上式中， $G=\frac{{\mathrm{bI}}_m^2}{\sqrt{{(K^{\′}-4{\mathrm{M\ω}}^2)}^2+{4C}^{\′2}{\mathrm{\ω}}^2}}$

$\tan \mathrm{\ψ}=-\frac{{2C}^{\′}\mathrm{\ω}}{K^{\′}-4{\mathrm{M\ω}}^2}$

式中：G、ψ分别是式(15)特解z₂的常数，与绕组线圈的磁感应强度b、电流最大值Im、电源频率ω有关，

由此式(7)的通解为：

$z=z_0+z_1+z_2={\mathrm{Ae}}^{-\frac{C^{\′}t}{2M}\sin (\mathrm{\μt}+\mathrm{\θ})}+G\cos (2\mathrm{\ωt}+\mathrm{\ψ})+D---\left(16\right)$

 z为变压器绕组线圈任意点线段的位移，

式(16)中，A和θ由下列起始条件求出：当t＝0时，

步骤六、由式(16)得到变压器绕组线段位移之后，将式(16)对时间t进行两次求导，并考虑实际中

得到绕组振动加速度a表达式如下：

$a=\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}=-{\mathrm{\ωHAe}}^{\frac{C^{\′}t}{2M}}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\δ}+\mathrm{\θ})-{4\mathrm{\ω}}^{2}G\sin (2\mathrm{\ωt}+\mathrm{\ψ})---\left(17\right)$

式(17)中， $H=\sqrt{{\mathrm{\ω}}^2+{\left(\frac{C^{\′2}}{M}\right)}^2}\≈\mathrm{\ω}$ $\mathrm{\δ}=\arctan \frac{C^{\′}}{\mathrm{\ωM}}\≈0$ 式中H、δ为简化起见，是式(16)对时间t两次求导后所得的常数项，

因此最终得到绕组振动加速度a的表达式如下：

$a=-{\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{Ae}}^{\frac{C^{\′}t}{2M}}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\θ})-{4\mathrm{\ω}}^{2}G\sin (2\mathrm{\ωt}+\mathrm{\ψ})---\left(18\right)$

步骤七、通过式(18)得到变压器绕组振动加速度的振幅及随时间的变化，绕组加速度a的表达式中含有绝缘的刚度系数K′且为变量，其与变压器的轴向预紧力有关，根据刚度系数K′在不同轴向预紧力的变化，推导出要改变变压器绕组的固有振动频率所应采取的措施以及变压器轴向预紧力值对振动加速度的影响；

步骤八、由式(18)得到，绕组受电动力作用所引起的振动加速度的幅值为：

$A={4\mathrm{\ω}}^{2}G=\frac{{4\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{bI}}_m^2}{\sqrt{{(K^{\′}-{4\mathrm{M\ω}}^2)}^2+{4C}^{\′2}{\mathrm{\ω}}^2}}---\left(19\right)$

式(19)中，K′与绕组的轴向预紧力有关，其余参数认为是定值，因此根据式(19)分析得到绕组轴向预紧力与振动加速度幅值之间的关系，从而确定需施加于变压器绕组轴向预紧力的值。

本方法通过对大型变压器绕组的振动测试实验和理论建模推导来定性阐述绕组轴向预紧力变化对变压器绕组固有频率的影响，研究当电动力作用在变压器绕组上时，变压器绕组的动态过程，将其视为由有弹性联系的实体(线段)所组成的机械系统，即将变压器内绝缘垫块视为弹簧；由于在变压器内绝缘垫块所能承受的只是压力，而不是拉力，似乎视为弹簧不可取，但是如果绕组线圈是被压紧的话，那么这种假定是合理的，从而建立其简化的等效数学建模，通过数学建模推导出变压器轴向预紧力对固有振动频率的影响，指导变压器轴向预紧力值的设定以及提供变压器故障诊断的依据。

对于一台质量良好的变压器，绕组以2ω为基频振动，应该保证有足够的预紧力使得绕组的固有振动频率远离电动力的强迫振动频率，以保证变压器的可靠运行。

实际情况下，变压器运输过程中由于碰撞可能会造成绕组的预紧力减小；变压器绕组制造过程中高度的差异或运行中绝缘垫块的老化，造成绕组轴向收缩，安匝不平衡，在受突发短路电动力作用时，绕组产生轴向位移，促使高低压绕组之间的高度差逐步扩大，导致绕组安匝不平衡加剧。这样漏磁造成的绕组轴向力逐步增大，绕组不对称增加，绕组因预紧力减小而成松弛状态，这将会使绕组的刚度K′减小，从而(K′-4Mω²)减小，这将引起在电动力作用下绕组运动的加速度幅值增大，而且振动加速度值当K′减小到与4Mω²相等时达到最大。从以上的论述得出：在变压器的运行过程中，绕组预紧力的变化可以通过振动加速度幅值的变化反映出来，特别是当变压器固有振动频率接近电动力的强迫振动频率时，加速度幅值会达到非常大的数值，因此可以通过测量绕组甚至变压器的振动加速度幅值，将其正常预紧力的振动信号作为一个标准及判断依据用作绕组松动时的故障判断依据。

利用本方法对多台变压器进行短路冲击状态下的变压器振动信号测试，如图2、图3和图4所示，变压器每相绕组经过三次短路冲击后短路阻抗变化最大仅0.20％，远低于标准规定的3％变化的范围。从振动加速度烈度指数上来看，绕组松动和变形具有明显的累积效应，C相的振动加速度烈度指数明显最高，A相次之，B相最小。经吊芯后发现，C相松动最为明显，仅为原预紧力的27.3％；A相次之为原预紧力的36.4％，但A相第三次冲击的振动加速度烈度指数增量近100％，可以设想其耐冲击能力已有明显的下降；B相则每次振动烈度增量较小且趋于平缓，其耐冲击性能最好。通过以上的试验结果分析，可以看到利用本方法依据振动加速度幅值检测变压器故障的灵敏度相当高，且非常适合于判别连续冲击电流作用下变压器绕组的状态。检测灵敏度远远高于同期测量的短路阻抗变化，发现了短路阻抗法或频响分析法无法作出判别的变压器绕组松动和扭曲变形示例。

Claims (1)

1.一种电炉变压器轴向预紧力对固有振动频率影响的分析方法，其特征在于本方法包括如下步骤：

步骤一、建立变压器绕组振动的受力分析与简化等效数学模型，根据电磁场理论，作用在变压器绕组上的电动力与电流的平方成正比：

F＝bi²                                           (1)

式(1)中：F为变压器绕组的电动力，i为变压器绕组的电流，b为作用在变压器绕组上的磁感应强度；在变压器稳定运行时，变压器绕组的电流为：

i＝I_mcosωt                                      (2)

式(2)中：I_m为电流最大值，ω为电源频率，t为变压器运行时间；

根据式(1)和式(2)，由于有

得到：

$F={{\mathrm{bI}}^2}_m(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{\ωt})---\left(3\right)$

步骤二、当电动力作用在绕组上时，设定绕组由绝缘垫块隔开的多个线段组成，并被压紧在变压器铁轭夹件之间，将绕组视为由有弹性联系的线段组成的机械系统，根据变压器绕组的结构，认为铁芯的刚度为无穷大，压板为刚性，线饼为集中质量，绝缘垫块及绕组端部为弹性元件，其中线段的质量为m，线段之间的绝缘垫块的刚度系数为K，绕组两个端部的绝缘垫块与压紧装置的刚度系数分别为K_B和K_H，并设定线段之间的阻尼系数为C，得到各线段的运动方程组：

$\left.\begin{array}{c}m\frac{d^2{z}_1}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_1}{\mathrm{dt}}+K_B{z}_1+K(z_1-z_2)=F_1+\mathrm{mg}\\ m\frac{d^2{z}_2}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_2}{\mathrm{dt}}-K(z_1-z_2)+K(z_2-z_3)=F_2+\mathrm{mg}\\ m\frac{d^2{z}_3}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_3}{\mathrm{dt}}-K(z_2-z_3)+K(z_3-z_4)=F_3+\mathrm{mg}\\ .................................................\\ m\frac{d^2{z}_n}{\mathrm{dt}}+C\frac{{\mathrm{dz}}_n}{\mathrm{dt}}-K(z_{n-1}-z_n)+K_H{z}_n=F_n+\mathrm{mg}\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式(4)中：z₁、z₂、z₃、z_n分别为第一、第二、第三、第n个线段相对于本身原先位置的位移，F₁、F₂、F₃、F_n分别为第一、第二、第三、第n个线段所受的电动力，g为重力加速度；

步骤三、求解方程组(4)，得到绕组任意点的位移与时间的函数，然后求出在过渡过程中作用在绕组任意点上的电动力，由于方程组(4)中的线段数通常很大，因此近似设定z₁＝z₂z₃＝...＝z_n＝z，将方程组(4)相加并做如下标记：

$\left.\begin{array}{c}{C}^{\′}=\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}C=\mathrm{nC}\\ K^{\′}=K_B+K_H\\ M=\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}m=\mathrm{nm}\\ F=\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{F}_n\end{array}\right\}---\left(5\right)$

式(5)中：C′为绕组的阻尼系数，n为绕组的线段数量，K′为绕组两端部的刚度系数，M为绕组的质量；

则得到绕组的运动方程式： $M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=F+\mathrm{Mg}---\left(6\right)$

步骤四、通过式(6)得到整个绕组的运动规律以及作用于变压器铁轭夹件上的电动力，将式(3)代入式(6)得到：

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z={{\mathrm{bI}}^2}_m(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{\ωt})+\mathrm{Mg}---\left(7\right)$

式(7)中K′为变量，其与变压器绝缘的压缩程度有关，故式(7)的通解等于齐次方程式的通解与等式右端方程式的特解之和，齐次方程式为：

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=0---\left(8\right)$

式(8)的特征方程式具有下列形式：

Mr²+C′r+K′＝0                                   (9)

由此得出： $r=-\frac{C^{\′}}{2M}\±\sqrt{{\left(\frac{C^{\′}}{2M}\right)}^2-\frac{K^{\′}}{M}}---\left(10\right)$

由于绕组在油浸变压器或空气变压器的阻尼系数小，因此通常

由此方程式(8)的根是个复数，其解具有如下形式：

$z_0={\mathrm{Ae}}^{-\frac{C^{\′}t}{2M}\sin (\mathrm{\μt}+\mathrm{\θ})}---\left(11\right)$

式(11)中：A和θ决定于起始条件的积分常数，z₀为齐次方程式(8)的通解，A为绕组线段振动加速度信号的幅值，θ为电源初始相位角，

设 $\mathrm{\μ}=\sqrt{\frac{K^{\′}}{M}-{\left(\frac{C^{\′}}{2M}\right)}^2}---\left(12\right)$

式(12)中μ为绕组的固有振动频率，将

忽略不计，

则 $\mathrm{\μ}=\sqrt{\frac{K^{\′}}{M}}---\left(13\right)$

即变压器绕组固有振动频率与绕组两端部刚度系数的平方根成正比；

步骤五、对于方程式(7)右边的常数项，得到下列方程式

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=\frac{1}{2}{{\mathrm{bI}}^2}_m+\mathrm{Mg}---\left(14\right)$

式(14)其特解是一常数D  即

z₁是方程式(14)的一个特解，

对于方程式(7)右边的变量项，得到下列方程式

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}+C^{\′}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+K^{\′}z=\frac{1}{2}{{\mathrm{bI}}^2}_m\cos 2\mathrm{\ωt}---\left(15\right)$

式(15)其特解具有如下形式：z₂＝Gcos(2ωt+ψ)z₂是上述方程式(15)的特解，

上式中， $G=\frac{{\mathrm{bI}}_m^2}{\sqrt{{(K^{\′}-4{\mathrm{M\ω}}^2)}^2+{4C}^{\′2}{\mathrm{\ω}}^2}}$

$\tan \mathrm{\ψ}=-\frac{{2C}^{\′}\mathrm{\ω}}{K^{\′}-4{\mathrm{M\ω}}^2}$

式中：G、ψ分别是式(15)特解z₂的常数，与绕组线圈的磁感应强度b、电流最大值Im、电源频率ω有关，

由此式(7)的通解为：

$z=z_0+z_1+z_2={\mathrm{Ae}}^{-\frac{C^{\′}t}{2M}\sin (\mathrm{\μt}+\mathrm{\θ})}+G\cos (2\mathrm{\ωt}+\mathrm{\ψ})+D---\left(16\right)$

z为变压器绕组线圈任意点线段的位移，

式(16)中，A和θ由下列起始条件求出：当t＝0时，z＝0、

步骤六、由式(16)得到变压器绕组线段位移之后，将式(16)对时间t进行两次求导，并考虑实际中

得到绕组振动加速度a表达式如下：

$a=\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}=-{\mathrm{\ωHAe}}^{\frac{C^{\′}t}{2M}}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\δ}+\mathrm{\θ})-{4\mathrm{\ω}}^{2}G\sin (2\mathrm{\ωt}+\mathrm{\ψ})---\left(17\right)$

式(17)中， $H=\sqrt{{\mathrm{\ω}}^2+{\left(\frac{C^{\′2}}{M}\right)}^2}\≈\mathrm{\ω}$ $\mathrm{\δ}=\arctan \frac{C^{\′}}{\mathrm{\ωM}}\≈0$ 式中H、δ为简化起见，是式(16)对时间t两次求导后所得的常数项，

因此最终得到绕组振动加速度a的表达式如下：

$a=-{\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{Ae}}^{\frac{C^{\′}t}{2M}}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\θ})-{4\mathrm{\ω}}^{2}G\sin (2\mathrm{\ωt}+\mathrm{\ψ})---\left(18\right)$

步骤七、通过式(18)得到变压器绕组振动加速度的振幅及随时间的变化，绕组加速度a的表达式中含有绝缘的刚度系数K′且为变量，其与变压器的轴向预紧力有关，根据刚度系数K′在不同轴向预紧力的变化，推导出要改变变压器绕组的固有振动频率所应采取的措施以及变压器轴向预紧力值对振动加速度的影响；

步骤八、由式(18)得到，绕组受电动力作用所引起的振动加速度的幅值为：

$A={4\mathrm{\ω}}^{2}G=\frac{{4\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{bI}}_m^2}{\sqrt{{(K^{\′}-{4\mathrm{M\ω}}^2)}^2+{4C}^{\′2}{\mathrm{\ω}}^2}}---\left(19\right)$

式(19)中，K′与绕组的轴向预紧力有关，其余参数认为是定值，因此根据式(19)分析得到绕组轴向预紧力与振动加速度幅值之间的关系，从而确定需施加于变压器绕组轴向预紧力的值。

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