CN103532890A - 一种对复数信道矩阵的svd分解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种适合于硬件实现的复数信道信道矩阵SVD分解方法。在多输入多输出（MIMO）无线通信系统中，信道矩阵是复数矩阵，一种常见的预编码方法是对信道矩阵进行SVD分解。复数矩阵在求SVD分解时涉及到大量的角度运算，这在实际硬件中复杂度很高，会消耗大量的资源。本发明提出一种简化算法，使用各种三角恒等式的推导将三角函数变成了矩阵中元素实部与虚部值的函数。用少量的乘、除法和开平方的等基本运算代替了大量的求三角函数的工作。

Description

一种对复数信道矩阵的SVD分解方法

技术领域

本发明属于多输入多输出（MIMO）无线通信技术领域，具体涉及到对复数信道矩阵进行SVD分解的实现方法。

背景技术

近年来，预编码技术在MIMO通信系统中成为研究的热点。在预编码技术中，接收端将估计出的信道状态信息（CSI）通过反馈信道反馈给发射机，发射机对信道信息进行处理得到预编码矩阵，用以对信息进行预处理，可以简化接收机的设计，同时能提供满空间分集，从而增加接收机上的信噪比（SNR）。

Yue Wang，Kevin Cunningham and Prawat Nagvajara在Singular Value DecompositionHardware for MIMO：State of the Art and Custom Design一文中总结了一种经典的2×2复数矩阵SVD分解的方法，并指出，只要将该2×2基本模块进行并行迭代运算就能计算出更高阶方阵的复数SVD分解。经过仿真验证，该方法性能优异，输出结果与Matlab结果误差不超过2％。然而，该方法涉及到大量的三角函数运算，在实际硬件上实现时计算量巨大，仅2×2子模块就要消耗数十个CORDIC IP核。

FPGA（Filed-Programmable Gate Array），即现场可编程门阵列，作为专用集成电路领域的一种半定制电路，即解决了定制电路的不足，而且克服了可编程器件门电路数太少的缺点。利用FPGA实现MIMO通信系统，具有快速低延迟以及低功耗等特性。但是基于SVD分解的预编码算法需要花费大量的逻辑资源，而FPGA的资源是有限的，因此寻求低复杂度和高效准确的算法是非常有必要的。

发明内容

针对背景技术中提出的问题，本发明提出了一种针对2×2复数矩阵SVD分解子模块的优化算法，包括如下步骤：

（1）对2×2复数矩阵H进行一次双边酉变换，得到矩阵V₁；

（2）对步骤（1）的结果进行一次双边Jacobi旋转，得到矩阵V₂和R；

（3）从步骤（2）的结果R得到两个幅角，从而得到矩阵V₃

（4）对步骤（2）的结果R中的幅值X、Z、W进行一系列三角恒等变换，计算出 $\cos \left(\frac{1}{2}\right[\arctan \left(\frac{X}{Z-W}\right)-\arctan \left(\frac{X}{Z+W}\right)\left]\right)$ 和 $\sin \left(\frac{1}{2}\right[\arctan \left(\frac{X}{Z-W}\right)-\arctan \left(\frac{X}{Z+W}\right)\left]\right),$ 从而得到矩阵V₄，具体步骤如下：

1）从矩阵R中求得R_1,1和R_1,2的幅值W和X；

2）令

定义变量λ₁、x₁、y₁，分别表示为角度α的三角函数表达式；

3）定义变量c₁、s₁，分别表示为角度

的余弦和正弦值；

4）令

并定义变量c₂、s₂，重复步骤2）和3），求得角度

的余弦和正弦值；

5）对c₁、s₁、c₂、s₂用两角之差正余弦公式求得最终V₄中的元素。

（5）用V₁·V₂·V₃·V₄得到最终的V矩阵。

相对于现有技术，本发明的有益效果是：

本发明利用三角函数恒等变换，用基本运算代替了直接的三角函数运算，能有效降低预编码在硬件中实现的复杂度。

附图说明

图1为对2×2复数矩阵进行SVD分解的实现步骤。

具体实施方式

考虑一个2×2的复数矩阵H

$H=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{Ae}}^{{\mathrm{i\θ}}_a}& {\mathrm{Be}}^{{\mathrm{i\θ}}_b}\\ {\mathrm{Ce}}^{{\mathrm{i\θ}}_c}& {\mathrm{De}}^{{\mathrm{i\θ}}_d}\end{array}\right]$

如图1所示，可通过如下步骤计算得到它完整的SVD分解：

（1）对H进行一次双边酉变换，把矩阵的第二行变为实数：

其中

${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}=-\frac{{\mathrm{\θ}}_d+{\mathrm{\θ}}_c}{2}$     ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\β}}=-\frac{{\mathrm{\θ}}_d-{\mathrm{\θ}}_c}{2}$

θ_a′＝θ_a-θ_c   θ_b′＝θ_b-θ_d

（2）对（1）的结果进行一次双边Jacobi旋转，将元素C消去：

其中

θ_φ＝0即 $U_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ψ}}=\arctan \left(\frac{C}{D}\right)(\frac{\mathrm{\π}}{2}\≤{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ψ}}\≤\frac{\mathrm{\π}}{2})$

（3）再次对（2）的结果使用双边酉变换，把矩阵的第一行变为实数：

其中

${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ξ}}=-\frac{{\mathrm{\θ}}_w+{\mathrm{\θ}}_x}{2}$     ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\η}}=\frac{{\mathrm{\θ}}_w-{\mathrm{\θ}}_x}{2}$

（4）最后，再做一次双边Jacobi旋转，实现最终的对角化

其中

$\tan ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\λ}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ρ}})=\frac{X}{Z-W}$     $\tan ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\λ}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ρ}})=\frac{X}{Z+W}$

计算矩阵V₄时，需要先求反正切函数得到角度，再用角度求正、余弦值，这在硬件中实现是复杂的。可以通过步骤（2）中的矩阵 $R=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{We}}^{{\mathrm{i\θ}}_w}& {\mathrm{Xe}}^{{\mathrm{i\θ}}_x}\\ 0& Z\end{array}\right]$ 直接通过三角恒等变换求出 ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ρ}}=\frac{1}{2}[\arctan \left(\frac{X}{Z-W}\right)-\arctan \left(\frac{X}{Z+W}\right)]$ 和 ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\λ}}=\frac{1}{2}[\arctan \left(\frac{X}{Z-W}\right)+\arctan \left(\frac{X}{Z+W}\right)],$ 具体过程如下：

令 $\mathrm{\α}=\arctan \left(\frac{X}{Z-W}\right)$     $\mathrm{\β}=\arctan \left(\frac{X}{Z+W}\right)$

则 ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ρ}}=\frac{\mathrm{\α}}{2}-\frac{\mathrm{\β}}{2}$

$W=\sqrt{{\left(\mathrm{Re}\right\{R_{\mathrm{1,1}}\left\}\right)}^2+{\left(\mathrm{Im}\right\{R_{\mathrm{1,1}}\left\}\right)}^2},$ $X=\sqrt{{\left(\mathrm{Re}\right\{R_{\mathrm{1,2}}\left\}\right)}^2+{\left(\mathrm{Im}\right\{R_{\mathrm{1,2}}\left\}\right)}^2},$ Z＝R_2,2

${\mathrm{\λ}}_1=\frac{Z-W}{X}=\cot \mathrm{\α}(-\frac{\mathrm{\π}}{2}\≤\mathrm{\α}\≤\frac{\mathrm{\π}}{2})$

$x_1=\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}_1^2}=\sqrt{1+{\cot }^2\mathrm{\α}}=\frac{1}{\left|\sin \mathrm{\α}\right|}$

$y_1=\frac{1}{\left|{\mathrm{\τ}}_1\right|+x_1}=\frac{1}{|\frac{\cos \mathrm{\α}}{\sin \mathrm{\α}}+\frac{1}{\sin \mathrm{\α}}|}=\frac{\left|\sin \mathrm{\α}\right|}{\cos \mathrm{\α}+1}$

$c_1=\frac{1}{\sqrt{1+y_1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{{\sin }^2\mathrm{\α}}{{(\cos \mathrm{\α}+1)}^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{{(\cos \mathrm{\α}+1)}^2+{\sin }^2\mathrm{\α}}{{(\cos \mathrm{\α}+1)}^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{2(\cos \mathrm{\α}+1)}{{(\cos \mathrm{\α}+1)}^2}}}$

$=\sqrt{\frac{\cos \mathrm{\α}+1}{2}}=\sqrt{\frac{(2{\cos }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}-1)+1}{2}}=\left|\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}\right|=\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}(-\frac{\mathrm{\π}}{4}\≤\frac{\mathrm{\α}}{2}\≤\frac{\mathrm{\π}}{4})$

$s_1=y_1\·c_1=\frac{\left|\sin \mathrm{\α}\right|}{\cos \mathrm{\α}+1}\·\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}=\frac{2\left|\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\right|{\cos }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}{({2\cos }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}-1)+1}=\left|\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\right|$

若λ₁＜0，s₁＝-s₁，即

同理也可以求得

所以

${\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ρ}}=\cos (\frac{\mathrm{\α}}{2}-\frac{\mathrm{\β}}{2})=\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \frac{\mathrm{\β}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\sin \frac{\mathrm{\β}}{2}=c_1\·c_2+s_1\·s_2$

${\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ρ}}=\sin (\frac{\mathrm{\α}}{2}-\frac{\mathrm{\β}}{2})=\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \frac{\mathrm{\β}}{2}-\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}\sin \frac{\mathrm{\β}}{2}=s_1\·c_2-c_1\·s_2$

即 $V_4=\left[\begin{array}{cc}{s}_1\·c_2-c_1\·s_2& c_1\·s_2-s_1\·c_2\\ s_1\·c_2-c_1\·s_2& s_1\·c_2-c_1\·s_2\end{array}\right]$

最终

U^H＝U₄·U₃·U₂·U₁

V＝V₁·V₂·V₃·V₄

即

$U^H\mathrm{HV}=\mathrm{\Σ}=\left[\begin{array}{cc}P& 0\\ 0& Q\end{array}\right]$

由于无线通信协议（如802.11ac）中规定，使用SVD分解的预编码方案的预编码矩阵为V矩阵，因此本专利仅考虑V矩阵的实现，而其中着重对矩阵V₄的实现方式进行了扩展与优化。U矩阵的求解与V矩阵类似，如要实际实现，只需复用求解V矩阵的模块即可。矩阵V₁、V₂、V₃的求解仍然需要用到少量的CORDIC核。由于更高阶复方阵的SVD分解要用到基本2×2模块，因此只要对该基本模块的使用都视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种对复数信道矩阵的SVD分解方法，其中，所述复数信道矩阵为2×2复数矩阵H，所述方法包括以下步骤：

（1）对2×2复数矩阵H进行一次双边酉变换，得到矩阵V₁；

（2）对步骤（1）的结果进行一次双边Jacobi旋转，得到矩阵V₂和R；

（3）从步骤（2）的结果R得到两个幅角，从而得到矩阵V₃；

（4）对步骤（2）的结果R中的幅值X、Z、W进行一系列三角恒等变换，计算出 $\cos \left(\frac{1}{2}\right[\arctan \left(\frac{X}{Z-W}\right)-\arctan \left(\frac{X}{Z+W}\right)\left]\right)$ 和 $\sin \left(\frac{1}{2}\right[\arctan \left(\frac{X}{Z-W}\right)-\arctan \left(\frac{X}{Z-W}\right)\left]\right),$ 从而得到矩阵V₄，步骤（4）的具体步骤如下：

1）从矩阵R中求得R_1,1和R_1,2的幅值W和X；

2）令

定义变量λ₁、x₁、y₁，分别表示为角度α的三角函数表达式；

3）定义变量c₁、s₁，分别表示为角度

的余弦和正弦值；

4）令

并定义变量c₂、s₂，重复步骤2）和3），求得角度

的余弦和正弦值；

5）对c₁、s₁、c₂、s₂用两角之差正余弦公式求得最终V₄中的元素；

（5）用V₁·V₂·V₃·V₄得到最终的V矩阵。

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