CN103530521A - 基于傅立叶级数和arma模型的日照温度时程模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于傅立叶级数和ARMA模型的日照温度时程模拟方法，包括如下步骤：步骤10）采集日照温度样本：将温度传感器配接到温度采集系统中，然后利用温度传感器对测点的日照温度进行采集，形成日照温度样本；步骤20）确定日照温度样本的日变化特征曲线：利用日照温度样本的日变化特征规律，采用3阶傅里叶级数对其进行表达；步骤30）确定日照温度样本的年变化特征曲线：采用ARMA(p,q)模型对日照温度样本的典型年变化曲线进行拟合；步骤40）在此基础上进行日照温度样本的时程模拟。该模拟方法可有效解决日照温度采集数据严重不足的难题，为日照温度在各学科领域中的研究提供重要支持。

Description

基于傅立叶级数和ARMA模型的日照温度时程模拟方法

技术领域

本发明涉及一种基于傅立叶级数和ARMA模型的日照温度时程模拟方法。

背景技术

日照温度作为重要气候环境因素之一，在我国农业科学、生物科学、环境科学、建筑科学等重要研究领域中均有所涉及，其中一个重要问题是日照温度采集个数难以满足研究需求量，例如，在对桥梁结构钢箱梁进行温度疲劳效应分析时，需要获得桥梁结构在整个服役期内的日照温度作用全过程，如果仅通过日照温度的样本采集方法是很难做到的。因此，若能解决实际研究中日照温度采集个数严重不足的这一难题，具有十分重要的意义。

然而，目前致力于解决这一问题的相关研究方法较少，可分为以下几种：①基于热传导和有限元基本原理的研究，这一研究方法涉及到复杂的热传导理论以及需要建立精细有限元分析模型，其热传导参数、材料物理参数取值及边界条件的设定可能会与真实环境存在偏差，导致日照温度计算结果失真；②基于数值逆变换抽样方法和温度样本调整方法的研究，这一研究方法先根据实测日照温度样本的概率分布模型进行数值抽样，后根据日变化特征和年变化特征对抽样结果进行调整，其存在的问题是一部分抽样结果可能不会满足日变化特征这一要求。因此，为解决实际研究中日照温度采集个数严重不足的这一难题，有必要提出一种新方法。

发明内容

发明目的：针对现有技术中关于解决实际研究中日照温度采集个数严重不足这一问题存在的缺陷，提供一种基于傅立叶级数和ARMA模型的日照温度时程模拟的新方法。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

基于傅立叶级数和ARMA模型的日照温度时程模拟方法，包括如下步骤：

步骤10）采集日照温度样本

将温度传感器配接到温度采集系统中，然后利用温度传感器对测点的日照温度进行采集，温度传感器将获取的日照温度信息传递到温度采集系统中，形成日照温度样本；日照温度样本包含不同时刻对应的温度值，温度值的时间间隔为Δt分钟，温度值的时间长度为N天；

步骤20）：确定日照温度样本的日变化特征曲线

（21）日照温度样本在第n天第i个时刻的温度值采用T_i,n表示，其中i=1,2,…,1440/Δt，n=1,2,…,N，计算日照温度样本的所有天数在第i个时刻的温度均值

${\stackrel{\‾}{T}}_i=\left(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,n}\right)/N---\left(1\right)$

（22）利用3阶傅立叶级数对温度均值

的时程变化进行描述：

${\stackrel{\‾}{T}}_i=a_0+\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}[a_j\cos \left(\mathrm{\ωij}\right)+b_j\sin \left(\mathrm{\ωij}\right)]---\left(2\right)$

式中，a₀、a_j、b_j和ω均为待估参数，j=1,2,3，将式（1）计算得到的温度均值Ti代入式（2）并利用最小二乘法，最终确定待估参数的值，并得到日照温度样本的日变化特征曲线；

步骤30）：确定日照温度样本的年变化特征曲线

（31）利用式（3-1）计算日变化温度均值

并进一步利用式（3-2）对温度样本T_i,n进行零均值化调整，得到

${\stackrel{\‾}{M}}_n=\underset{i=1}{\overset{1440/\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,n}---(3-1)$

$T_{i,n}^{*}=T_{i,n}-{\stackrel{\‾}{M}}_n---(3-2)$

（32）选取

所有天数在第1个时刻的温度时程序列

作为典型年变化曲线，并对其进行零均值化调整后得到

${\stackrel{\‾}{T}}_{1,n}=T_{1,n}^{*}-{\stackrel{\‾}{T}}_1---\left(4\right)$

（33）对

进行0.05显著性水平下的单位根检验，若

接受存在单位根的原假设，则对

进行m阶差分处理得到差分序列D_m：

$D_m={(1-B)}^m{\stackrel{\‾}{T}}_{1,n}---\left(5\right)$

式中，B为滞后算子，m为使得差分序列D_m拒绝存在单位根原假设的最小值；

若

拒绝存在单位根的原假设，则对式（5）中m的取值为0，即

（34）计算D_m的自相关函数

和偏相关函数

其中k为滞后期，k∈N⁺：

若

和

均表现出拖尾性质，认为D_m服从混合ARMA(p,q)模型：

$(1-\underset{g=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_g{B}^g)D_m\left(t\right)=(1-\underset{h=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_h{B}^h)\mathrm{\ϵ}\left(t\right)---\left(6\right)$

式中，p、q为模型阶数，φ_g为自回归系数、θ_h为滑动平均系数，g=1,2,…,p，h=1,2,…,q，D_m(t)为差分序列D_m中的第t个值、ε(t)为白噪声序列中的第t个值；

若

表现出拖尾性质，而表现出截尾性质，则取q=0，式（6）退化为纯自回归模型，认为D_m服从AR(p)模型；

若

表现出截尾性质，而

表现出拖尾性质，则取p=0，式（6）退化为纯滑动平均模型，认为D_m服从MA(q)模型；

（35）根据AIC定阶准则确定p、q值，并利用预测误差法确定φ_g、θ_h值，代入式（6）确定ARMA(p,q)模型；

（36）利用ARMA(p,q)模型对残差序列D_m进行模拟得到

对进行m阶差分逆运算得到与

相对应的模拟序列

并进一步利用下式得到与

相对应的模拟序列

绘制

得到日照温度样本的年变化特征曲线：

${\tilde{T}}_{1,n}^{*}={\stackrel{\widetilde{\‾}}{T}}_{1,n}+{\stackrel{\‾}{T}}_1---\left(7\right)$

步骤40）：进行日照温度样本的时程模拟

日照温度样本在第n天第i个时刻的温度模拟值采用

表示，通过下式求得

${\tilde{T}}_{i,n}={\tilde{T}}_{1,n}^{*}\·{\stackrel{\‾}{T}}_i/{\stackrel{\‾}{T}}_1+{\stackrel{\‾}{M}}_n---\left(8\right)$

即为日照温度样本的模拟时程。

有益效果：本发明提供的基于傅立叶级数和ARMA模型的日照温度时程模拟方法，与现有技术相比具有如下优势：①本发明所采用的方法立足于日照温度样本实测值，与基于热传导和有限元基本原理的研究方法相比，模拟结果更加真实准确；②本发明所采用的方法利用3阶傅里叶级数对日变化特征曲线进行表达，同时采用ARMA(p,q)模型对典型年变化曲线进行拟合，与基于数值逆变换抽样方法和温度样本调整的研究方法相比，不会出现部分日照温度模拟值不满足日变化特征的情况。因此，本方法对于解决实际研究中日照温度采集个数严重不足的这一难题，更加真实准确，可为日照温度在各学科领域中的研究提供重要支持。

附图说明

图1为实施例润扬大桥北汊斜拉桥的整体结构正视图；

图2为实施例润扬大桥北汊斜拉桥的整体结构俯视图；

图3为本发明实施例润扬大桥北汊斜拉桥的钢箱梁局部构件；

图4为本发明实施例钢箱梁的温度传感器布置图；

图5为本发明实施例温度时间序列T_i,n按温度值出现的先后顺序绘制图；

图6为本发明实施例温度均值

的变化趋势；

图7为本发明实施例对温度均值

的拟合曲线；

图8为本发明实施例日变化温度均值

的变化曲线；

图9为本发明实施例调整后的

按温度值出现的先后顺序绘制图：

图10为本发明实施例温度时程序列

的变化曲线；

图11为本发明实施例

的变化曲线；

图12为本发明实施例D_m的自相关函数

图；

图13为本发明实施例D_m的偏相关函数

图；

图14为本发明实施例E的自相关函数

图；

图15为本发明实施例E的偏相关函数

图；

图16为本发明实施例模拟序列

的变化曲线；

图17为本发明实施例模拟序列

的变化曲线；

图18为本发明实施例模拟样本

按温度模拟值出现先后顺序的绘制图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

本案提供的基于傅立叶级数和ARMA模型的日照温度时程模拟方法，利用温度传感器采集日照温度样本，对其日变化特征曲线采用3阶傅立叶级数表达，同时采用ARMA(p,q)模型对日照温度样本的典型年变化曲线进行拟合，在此基础上进行日照温度样本的时程模拟。该模拟方法可有效解决日照温度采集数据严重不足的难题，为日照温度在各学科领域中的研究提供重要支持。具体包括如下步骤：

步骤10）采集日照温度样本

将温度传感器配接到温度采集系统中，然后利用温度传感器对测点的日照温度进行采集，温度传感器将获取的日照温度信息传递到温度采集系统中，形成日照温度样本；日照温度样本包含不同时刻对应的温度值，温度值的时间间隔为Δt分钟，温度值的时间长度为N天；

步骤20）：确定日照温度样本的日变化特征曲线

（21）日照温度样本在第n天第i个时刻的温度值采用Ti,n表示，其中i=1,2,…,1440/Δt，n=1,2,…,N，计算日照温度样本的所有天数在第i个时刻的温度均值

${\stackrel{\‾}{T}}_i=\left(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,n}\right)/N---\left(1\right)$

（22）利用3阶傅立叶级数对温度均值

的时程变化进行描述：

${\stackrel{\‾}{T}}_i=a_0+\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}[a_j\cos \left(\mathrm{\ωij}\right)+b_j\sin \left(\mathrm{\ωij}\right)]---\left(2\right)$

式中，a₀、a_j、b_j和ω均为待估参数，j=1,2,3，将式（1）计算得到的温度均值Ti代入式（2）并利用最小二乘法，最终确定待估参数的值，并得到日照温度样本的日变化特征曲线；

步骤30）：确定日照温度样本的年变化特征曲线

（31）利用式（3-1）计算日变化温度均值并进一步利用式（3-2）对温度样本T_i,n进行零均值化调整，得到

${\stackrel{\‾}{M}}_n=\underset{i=1}{\overset{1440/\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,n}---(3-1)$

$T_{i,n}^{*}=T_{i,n}-{\stackrel{\‾}{M}}_n---(3-2)$

（32）选取

所有天数在第1个时刻的温度时程序列

作为典型年变化曲线，并对其进行零均值化调整后得到

${\stackrel{\‾}{T}}_{1,n}=T_{1,n}^{*}-{\stackrel{\‾}{T}}_1---\left(4\right)$

（33）对

进行0.05显著性水平下的单位根检验，若

接受存在单位根的原假设，则对

进行m阶差分处理得到差分序列D_m：

$D_m={(1-B)}^m{\stackrel{\‾}{T}}_{1,n}---\left(5\right)$

式中，B为滞后算子，m为使得差分序列D_m拒绝存在单位根原假设的最小值；

若

拒绝存在单位根的原假设，则对式（5）中m的取值为0，即

（34）计算D_m的自相关函数

和偏相关函数

其中k为滞后期，k∈N⁺：

若和

均表现出拖尾性质，认为D_m服从混合ARMA(p,q)模型：

$(1-\underset{g=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_g{B}^g)D_m\left(t\right)=(1-\underset{h=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_h{B}^h)\mathrm{\ϵ}\left(t\right)---\left(6\right)$

式中，p、q为模型阶数，φ_g为自回归系数、θ_h为滑动平均系数，g=1,2,…,p，h=1,2,…,q，D_m(t)为差分序列D_m中的第t个值、ε(t)为白噪声序列中的第t个值；

若

表现出拖尾性质，而

表现出截尾性质，则取q=0，式（6）退化为纯自回归模型，认为D_m服从AR(p)模型；

若

表现出截尾性质，而

表现出拖尾性质，则取p=0，式（6）退化为纯滑动平均模型，认为D_m服从MA(q)模型；

（35）根据AIC定阶准则确定p、q值，并利用预测误差法确定φ_g、θ_h值，代入式（6）确定ARMA(p,q)模型；

（36）利用ARMA(p,q)模型对残差序列D_m进行模拟得到

对进行m阶差分逆运算得到与

相对应的模拟序列

并进一步利用下式得到与

相对应的模拟序列

绘制

得到日照温度样本的年变化特征曲线：

${\tilde{T}}_{1,n}^{*}={\stackrel{\widetilde{\‾}}{T}}_{1,n}+{\stackrel{\‾}{T}}_1---\left(7\right)$

步骤40）：进行日照温度样本的时程模拟

日照温度样本在第n天第i个时刻的温度模拟值采用

表示，通过下式求得

${\tilde{T}}_{i,n}={\tilde{T}}_{1,n}^{*}\·{\stackrel{\‾}{T}}_i/{\stackrel{\‾}{T}}_1+{\stackrel{\‾}{M}}_n---\left(8\right)$

即为日照温度样本的模拟时程。

下面以润扬大桥扁平钢箱梁为分析对象，说明本发明的具体实施过程：

（1）润扬大桥北汊斜拉桥的整体结构如图1和图2所示，其钢箱梁局部构件如图3所示，在钢箱梁的桥面板和底板上共布置8个温度传感器(C₁～C₈)，如图4所示，利用温度传感器对测点日照温度进行为期1年的数据采集（采样频率为每1min一次），并将获取的日照温度信息传递到温度采集系统中，形成日照温度样本。

（2）选取测点C₁进行分析，以天为单位筛选良态气候下的典型日照温度值，筛选结果共计108天，在此基础上以10min钟为基本时距对日照温度值进行均值化处理，以温度均值代表此时距内的日照温度值，此时有Δt=10，N=108，处理后的温度时间序列T_i,n按温度值出现的先后顺序绘制如图5所示，i=1,2,...,144，n=1,2,...,108。

（3）根据步骤20）的第（21）步计算温度均值其变化趋势如图6所示，可以看出近似正弦曲线变化，在此基础上利用式（2）进行3阶傅立叶级数拟合，其拟合曲线如图7所示，与图6对比可以看出拟合效果很好，其拟合参数值如表1所示：

表1傅立叶级数的参数估计值a₀、a_j、b_j和ω

参数	a0	a1	a2	a3	b1	b2	b3	ω
									估计值	-0.0420	-1.9670	0.7878	-0.3888	-5.0030	1.1920	-0.3344	0.0422

（4）根据步骤30）的第（31）步计算日变化温度均值

其变化曲线如图8所示，在此基础上对T_i,n进行零均值化调整，调整后的按温度值出现的先后顺序绘制如图9所示，可以看出调整后的以零为中心上下波动；

（5）选取

所有天数在第1个时刻的温度时程序列

其变化曲线如图10所示，对其进行零均值化调整后得到

的变化曲线如图11所示。

（6）对进行0.05显著性水平下的单位根检验，检验结果为拒绝存在单位根的原假设，则对式（4）中m的取值为0，不再对进行差分处理，即

7）计算D_m的自相关函数

和偏相关函数

取k=35，和

图分别如图12和图13所示，由两图可以看出和图均表现出拖尾性质，则认为D_m服从混合ARMA(p,q)模型；

（8）根据AIC准则求得模型阶数p=17，q=20，并利用预测误差法确定

θ_h值如表2～5所示；

表2

参数估计值（g=1,2,...,9）

表3

参数估计值（g=10,11,...,17）

表4θ_h参数估计值（h=1,2,...,10）

表5θ_h参数估计值（h=11,12,...,20）

（9）计算ARMA(p,q)模型与差分序列D_m之间的残差序列E，对E进行自相关函数

和偏相关函数

检验，其中s=35，图和

图分别如图14、15所示，可以看出

和

均落在95％的置信区间内，初步判定ARMA(p,q)模型适当；

（10）进一步对E进行0.05显著性水平下的LBQ白噪声检验，检测结果为E接受白噪声序列的原假设，最终判定ARMA(p,q)模型适当；

（11）利用ARMA(17,20)模型对残差序列D_m进行模拟得到

其变化曲线如图16所示，由于未进行差分（m=0），则

进一步利用式（7）得到模拟序列

其年变化特征曲线如图17所示；

（12）在此基础上利用式（8）进行日照温度样本的时程模拟得到

其变化曲线按温度模拟值出现的先后顺序绘制如图18所示。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.基于傅立叶级数和ARMA模型的日照温度时程模拟方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤10）采集日照温度样本

将温度传感器配接到温度采集系统中，然后利用温度传感器对测点的日照温度进行采集，温度传感器将获取的日照温度信息传递到温度采集系统中，形成日照温度样本；日照温度样本包含不同时刻对应的温度值，温度值的时间间隔为Δt分钟，温度值的时间长度为N天；

步骤20）：确定日照温度样本的日变化特征曲线

（21）日照温度样本在第n天第i个时刻的温度值采用T_i,n表示，其中i=1,2,…,1440/Δt，n=1,2,…,N，计算日照温度样本的所有天数在第i个时刻的温度均值

${\stackrel{\‾}{T}}_i=\left(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,n}\right)/N---\left(1\right)$

（22）利用3阶傅立叶级数对温度均值

的时程变化进行描述：

${\stackrel{\‾}{T}}_i=a_0+\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}[a_j\cos \left(\mathrm{\ωij}\right)+b_j\sin \left(\mathrm{\ωij}\right)]---\left(2\right)$

式中，a₀、a_j、b_j和ω均为待估参数，j=1,2,3，将式（1）计算得到的温度均值Ti代入式（2）并利用最小二乘法，最终确定待估参数的值，并得到日照温度样本的日变化特征曲线；

步骤30）：确定日照温度样本的年变化特征曲线

（31）利用式（3-1）计算日变化温度均值并进一步利用式（3-2）对温度样本T_i,n进行零均值化调整，得到

${\stackrel{\‾}{M}}_n=\underset{i=1}{\overset{1440/\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,n}---(3-1)$

$T_{i,n}^{*}=T_{i,n}-{\stackrel{\‾}{M}}_n---(3-2)$

（32）选取

所有天数在第1个时刻的温度时程序列

作为典型年变化曲线，并对其进行零均值化调整后得到

${\stackrel{\‾}{T}}_{1,n}=T_{1,n}^{*}-{\stackrel{\‾}{T}}_1---\left(4\right)$

（33）对

进行0.05显著性水平下的单位根检验，若

接受存在单位根的原假设，则对

进行m阶差分处理得到差分序列D_m：

$D_m={(1-B)}^m{\stackrel{\‾}{T}}_{1,n}---\left(5\right)$

式中，B为滞后算子，m为使得差分序列D_m拒绝存在单位根原假设的最小值；

若拒绝存在单位根的原假设，则对式（5）中m的取值为0，即

（34）计算D_m的自相关函数

和偏相关函数

其中k为滞后期，k∈N⁺：

若

和均表现出拖尾性质，认为D_m服从混合ARMA(p,q)模型：

$(1-\underset{g=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_g{B}^g)D_m\left(t\right)=(1-\underset{h=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_h{B}^h)\mathrm{\ϵ}\left(t\right)---\left(6\right)$

式中，p、q为模型阶数，φ_g为自回归系数、θ_h为滑动平均系数，g=1,2,…,p，h=1,2,…,q，D_m(t)为差分序列D_m中的第t个值、ε(t)为白噪声序列中的第t个值；

若

表现出拖尾性质，而

表现出截尾性质，则取q=0，式（6）退化为纯自回归模型，认为D_m服从AR(p)模型；

若

表现出截尾性质，而

表现出拖尾性质，则取p=0，式（6）退化为纯滑动平均模型，认为D_m服从MA(q)模型；

（35）根据AIC定阶准则确定p、q值，并利用预测误差法确定φ_g、θ_h值，代入式（6）确定ARMA(p,q)模型；

（36）利用ARMA(p,q)模型对残差序列D_m进行模拟得到对

进行m阶差分逆运算得到与

相对应的模拟序列并进一步利用下式得到与

相对应的模拟序列

绘制

得到日照温度样本的年变化特征曲线：

${\tilde{T}}_{1,n}^{*}={\stackrel{\widetilde{\‾}}{T}}_{1,n}+{\stackrel{\‾}{T}}_1---\left(7\right)$

步骤40）：进行日照温度样本的时程模拟

日照温度样本在第n天第i个时刻的温度模拟值采用

表示，通过下式求得

${\tilde{T}}_{i,n}={\tilde{T}}_{1,n}^{*}\·{\stackrel{\‾}{T}}_i/{\stackrel{\‾}{T}}_1+{\stackrel{\‾}{M}}_n---\left(8\right)$

即为日照温度样本的模拟时程。

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