CN103529702A - 批次过程的预测函数容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种批次过程的预测函数容错控制方法。本发明方法建立了批次处理过程的非最小状态空间模型，在该模型中联合了状态变量和输出跟踪误差，同时结合预测函数控制方法来更好地处理批次生产过程中可能遇到的未知扰动和执行器故障的问题。本发明不仅保证了系统在未知扰动和执行器故障情况下有良好的跟踪性能，同时也保证了形式简单并满足实际工业过程的需要。

Description

批次过程的预测函数容错控制方法

技术领域

本发明属于工业自动化技术领域，涉及一种批次过程的预测函数容错控制控制方法。

背景技术

随着市场经济的高速发展，工业生产过程的趋势逐渐从少品种、大批量向多品种、小批量改变，批次处理过程是高效生产小批量产品的首选方法。在化工生产过程中，由于存在摩擦、油污染、饱和等特性，执行器在执行过程中不可避免地会出现一些故障，这导致它很难达到指定或预期的位置。在生产过程中，如果有故障没有被检测出并且立即被纠正，过程的控制性能就会恶化，甚至会导致严重的安全问题，因此提出一种新的控制方法来解决执行器执行过程中可能遇到的问题从而保持系统的控制性能是十分必要的。

发明内容

本发明的目的是针对化工批次生产过程中可能遇到的未知扰动和执行器故障的问题，提出一种批次过程的预测函数容错控制方法。该方法建立了批次处理过程的非最小状态空间模型，在该模型中联合了状态变量和输出跟踪误差，同时结合预测函数控制方法来更好地处理批次生产过程中可能遇到的未知扰动和执行器故障的问题。该方法不仅保证了系统在未知扰动和执行器故障情况下有良好的跟踪性能，同时也保证了形式简单并满足实际工业过程的需要。

本发明的技术方案是通过数据采集、模型建立、预测机理、优化等手段，确立了一种批次过程的预测函数容错控制方法，利用该方法可有效提高系统在未知扰动和执行器故障情况下的控制性能。

本发明方法的步骤包括：

步骤(1).建立被控对象的非最小状态空间模型，具体方法是：

a.利用实时数据驱动的方法建立过程模型，具体方法是：建立批次过程的实时运行数据库，通过数据采集装置采集实时过程运行数据将采集的实时过程运行数据作为数据驱动的样本集合

其中，

表示第i组工艺参数的输入数据，y(i)表示第i组工艺参数的输出值，N表示采样总数；以该对象的实时过程运行数据集合为基础建立基于最小二乘法的离散差分方程形式的受控自回归滑动平均模型：

$\widehat{\mathrm{\θ}}={[a_1,a_2,b_1,b_2,]}^T$

其中，y_L(k)表示k时刻预测模型的工艺参数的输出值，θ表示通过辨识得到的模型参数的集合，

表示预测模型的工艺参数的过去时刻的输入和输出数据的集合，u(k)表示k时刻工艺参数对应的控制变量，d+1为实际过程的时滞，Τ为矩阵的转置符号。

采用的辨识手段为：

其中，

和P为辨识中的两个矩阵，

为遗忘因子，为单位矩阵。

b.将a步骤中得到的过程模型转换为差分方程的形式：

Δy(k)+M₁Δy(k-1)+M₂Δy(k-2)＝N₁Δu(k-1)+N₂Δu(k-2)

其中，Δ为差分算子，M₁,M₂,N₁,N₂为通过模型转换得到的相关系数。引入中间变量Δm(k)，Δm(k)满足：

$\mathrm{\Δm}\left(k\right)=\frac{\mathrm{\Δu}\left(k\right)}{1+M_1{z}^{-1}+M_2{z}^{-2}};$ $\frac{\mathrm{\Δy}\left(k\right)}{\mathrm{\Δm}\left(k\right)}=N_1{z}^{-1}+N_2{z}^{-2}$

将上面的差分方程改写成

Δm(k)+M₁Δm(k-1)+M₂Δm(k-2)＝Δu(k)

Δy(k)＝N₁Δm(k-1)+N₂Δm(k-2)

c.选取Δm(k-1),Δm(k-2)为相变量形式，即

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}_1\left(k\right)=\mathrm{\Δm}(k-2)\\ \mathrm{\Δ}{x}_2\left(k\right)=\mathrm{\Δm}(k-1)\end{array}\right.$

其中，Δx₁(k),Δx₂(k)为系统k时刻的各个状态变量。

d.进一步将b步骤的差分方程模型转换为状态空间模型：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}(k+1)=\mathrm{A\Δx}\left(k\right)+\mathrm{B\Δu}\left(k\right)\\ \mathrm{\Δy}(k+1)=\mathrm{C\Δx}(k+1)\end{array}\right.$

其中，

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -M_2& -M_1\end{array}\right);$ $B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

$C=[N_2,N_1]$

$\mathrm{\Δx}(k+1)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}_1(k+1)\\ \mathrm{\Δ}{x}_2(k+2)\end{array}\right\};$ $\mathrm{\Δx}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}_1\left(k\right)\\ \mathrm{\Δ}{x}_2\left(k\right)\end{array}\right\}$

e.将d步骤中得到的差分状态空间模型转换为包含状态变量和输出跟踪误差的新状态空间模型，形式如下：

g(k+1)＝A_mg(k)+B_mΔu(k)+C_mΔr(k+1)

式中，

$g(k+1)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}(k+1)\\ e(k+1)\end{array}\right];$ $\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\left(k\right)\\ e\left(k\right)\end{array}\right]$

$A_m=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ \mathrm{CA}& 1\end{array}\right);$ $B_m=\left[\begin{array}{c}B\\ \mathrm{CB}\end{array}\right];$ $C_m=\left(\begin{array}{c}O\\ -1\end{array}\right)$

e(k)为k时刻理想输出与实际输出之间的差值,O为适合维数的矩阵，Δr(k+1)为k+1时刻设定值的增量。

步骤(2).设计被控对象的预测函数容错控制器，具体方法是：

a．选取预测函数控制方法的基函数，表示出在未来k+i时刻的控制输入，形式如下：

u(k+i)＝V_iΥ

V_i＝[f₁(i),f₂(i),…,f_N(i)],(i＝0,1,…,P-1)

Υ＝[μ₁,μ₂,…,μ_N]^T

其中，u(k+i),u_n,f_n(i)分别表示第k+i时刻的控制输入、第n个线性相关系数以及第n个基函数在k+i时刻的函数值。

b.结合a步骤中的控制输入和新的状态空间模型，得到未来P步的预测输出状态向量为：

G＝Fg(k)-Gu(k-1)+ΦΥ+SΔR

其中

$F=\left[\begin{array}{c}{A}_m\\ {A_m}^2\\ \·\\ \·\\ \·\\ {A_m}^P\end{array}\right],$ $G=\left[\begin{array}{c}{B}_m\\ A_m{B}_m\\ {A_m}^2{B}_m\\ \·\\ \·\\ \·\\ {A_m}^P{B}_m\end{array}\right],$

$\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{c}{B}_m{V}_0\\ (A_m{B}_m-B_m)V_0+B_m{V}_1\\ ({A_m}^2{B}_m-A_m{B}_m)V_0+(A_m{B}_m-B_m)T_1+B_m{V}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ \underset{k=1}{\overset{P-1}{\mathrm{\Σ}}}({A_m}^{k}B-{A_m}^{k-1}{B}_m)V_{P-1-k}+B_m{V}_{P-1}\end{array}\right]$ $G=\left[\begin{array}{c}g(k+1)\\ g(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ g(k+P)\end{array}\right],$ $\mathrm{\ΔR}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δr}(k+1)\\ \mathrm{\Δr}(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ \mathrm{\Δr}(k+P)\end{array}\right]$

P为预测步长。

c.选取批次处理过程的目标函数，形式如下：

$J=\underset{j=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}^T(k+j)Q_{j}g(k+j)$

其中，加权矩阵Q_j＝diag{q_jx1,q_jx2,…,q_jxn,q_ju1,q_ju2,…,q_jud,q_je},1≤j≤P；

q_jx1,q_jx2,…,q_jxn、q_ju1,q_ju2,…,q_jud、q_je分别与过程状态、过程控制输入增量、过

程输出跟踪误差的调节有关。

d.通过c步骤中的目标函数求解出最优控制向量，其形式为：

Υ＝-(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

其中，Q＝diag{Q₁,Q₂,…,Q_p}；

e.根据d步骤中得到的最优控制向量计算出各个线性相关系数，其形式如下：

μ₁＝-(1,0,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₁g(k)+h_u1u(k-1)-m₁ΔR

μ₂＝-(0,1,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₂g(k)+h_u2u(k-1)-m₂ΔR

.

.

.

μ_N＝-(0,0,…,1)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h_Ng(k)+h_uNu(k-1)-m_NΔR

f.计算出当前时刻的控制量u(k)：

$u\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_j{f}_j\left(0\right)=-\mathrm{Hz}\left(k\right)+H_{u}u(k-1)-\mathrm{M\ΔR}$

其中，

$H=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_j$

$H_u=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_{\mathrm{uj}}$

$M=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)m_j$

g.将得到的控制量u(k)作用于被控对象。

h．在下一时刻，依照a到g的步骤继续求解新的控制量u(k+1)，依次循环。

本发明提出的批次过程的预测函数容错控制方法，弥补了传统容错控制方法的不足，有效地保证了系统在未知扰动和执行器故障情况下的良好跟踪性能。

具体实施方式

以注塑过程中的注射速度控制为例，对本发明作进一步说明：

在注塑过程的注射速度控制中，需要注射速度跟踪给定的参考轨迹，调节手段为控制比例阀的开度。

步骤(1).建立注射速度过程的非最小状态空间模型，具体方法是：

a．建立注射速度过程的实时运行数据库。通过数据采集装置采集实时过程运行数据将采集的实时过程运行数据作为数据驱动的样本集合

其中，i表示控制比例阀阀门第i组开度数据，y(i)表示第i组实际输出的注射速度，N表示采样总数；以注射速度过程的实时过程运行数据集合为基础建立基于最小二乘法的离散差分方程形式的受控自回归滑动平均模型：

$\widehat{\mathrm{\θ}}={[a_1,a_2,b_1,b_2]}^T$

其中，y_L(k)表示k时刻注射速度的输出值，θ表示通过辨识得到的模型参数的集合，

表示注射速度过程预测模型的过去时刻的输入和输出数据的集合，u(k)表示k时刻注射速度过程中控制比例阀阀门的开度，d+1为对应注射速度过程的时滞，Τ为矩阵的转置符号。

采用的辨识手段为：

其中，和P为辨识中的两个矩阵，

为遗忘因子，

为单位矩阵。

b.将a步骤中得到的注射速度过程的模型转换为差分方程模型形式：

Δy(k)+M₁Δy(k-1)+M₂Δy(k-2)＝N₁Δu(k-1)+N₂Δu(k-2)

其中，Δ为差分算子，M₁,M₂,N₁,N₂为通过模型转换得到的相关系数。引入中间变量Δm(k)，Δm(k)满足：

$\mathrm{\Δm}\left(k\right)=\frac{\mathrm{\Δu}\left(k\right)}{1+M_1{z}^{-1}+M_2{z}^{-2}};$ $\frac{\mathrm{\Δy}\left(k\right)}{\mathrm{\Δm}\left(k\right)}=N_1{z}^{-1}+N_2{z}^{-2}$

将上面的差分方程改写成

Δm(k)+M₁Δm(k-1)+M₂Δm(k-2)＝Δu(k)

Δy(k)＝N₁Δm(k-1)+N₂Δm(k-2)

c.选取Δm(k),Δm(k-1)为相变量形式，即

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}_1\left(k\right)=\mathrm{\Δm}(k-2)\\ \mathrm{\Δ}{x}_2\left(k\right)=\mathrm{\Δm}(k-1)\end{array}\right.$

其中，Δx₁(k),Δx₂(k)为系统k时刻的各个状态变量。

d.结合c步骤中选取的相变量将注射速度过程的差分方程模型转换为状态空间模型：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}(k+1)=\mathrm{A\Δx}\left(k\right)+\mathrm{B\Δu}\left(k\right)\\ \mathrm{\Δy}(k+1)=\mathrm{C\Δx}(k+1)\end{array}\right.$

其中，

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -M_2& -M_1\end{array}\right);$ $B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\Δx}(k+1)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}_1(k+1)\\ \mathrm{\Δ}{x}_2(k+2)\end{array}\right\};$ $\mathrm{\Δx}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}_1\left(k\right)\\ \mathrm{\Δ}{x}_2\left(k\right)\end{array}\right\}$

e.将d步骤中得到的注射速度过程的状态空间模型转换为包含状态变量和输出跟踪误差的新的非最小状态空间模型，形式如下：

g(k+1)＝A_mg(k)+B_mΔu(k)+C_mΔr(k+1)

式中，

$g(k+1)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}(k+1)\\ e(k+1)\end{array}\right];$ $g\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\left(k\right)\\ e\left(k\right)\end{array}\right]$

$A_m=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ \mathrm{CA}& 1\end{array}\right);$ $B_m=\left[\begin{array}{c}B\\ \mathrm{CB}\end{array}\right]$

e(k)为k时刻理想注射速度与实际注射速度之间的差值，O为适合维数的矩阵，Δr(k+1)为k+1时刻注射速度设定值的增量。

步骤(2).设计注塑机注射速度过程的预测函数容错控制器，具体方法：

a．选取预测函数控制方法的基函数，表示出在未来k+i时刻阀门开度的控制输入，形式如下：

u(k+i)＝V_iΥ

V_i＝[f₁(i),f₂(i),…,f_N(i)],(i＝0,1,…,P-1)

Υ＝[μ₁,μ₂,…,μ_N]^T

其中，u(k+i),u_n,f_n(i)分别表示k+i时刻阀门开度的控制输入、第n个线性相关系数以及第n个基函数在k+i时刻的函数值。

b.结合a步骤中的控制输入和新的非最小状态空间模型，得到未来P步的预测输出状态向量为：

G＝Fg(k)-Gu(k-1)+ΦΥ+SΔR

其中，

$F=\left[\begin{array}{c}{A}_m\\ {A_m}^2\\ \·\\ \·\\ \·\\ {A_m}^P\end{array}\right],$ $G=\left[\begin{array}{c}{B}_m\\ A_m{B}_m\\ {A_m}^2{B}_m\\ \·\\ \·\\ \·\\ {A_m}^P{B}_m\end{array}\right],$

$\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{c}{B}_m{V}_0\\ (A_m{B}_m-B_m)V_0+B_m{V}_1\\ ({A_m}^2{B}_m-A_m{B}_m)V_0+(A_m{B}_m-B_m)T_1+B_m{V}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ \underset{k=1}{\overset{P-1}{\mathrm{\Σ}}}({A_m}^{k}B-{A_m}^{k-1}{B}_m)V_{P-1-k}+B_m{V}_{P-1}\end{array}\right]$

$G=\left[\begin{array}{c}g(k+1)\\ g(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ g(k+P)\end{array}\right],$ $\mathrm{\ΔR}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δr}(k+1)\\ \mathrm{\Δr}(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ \mathrm{\Δr}(k+P)\end{array}\right]$

P为预测步长。

c.选取注射速度过程的目标函数，形式如下：

$\underset{j=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}^T(k+j)Q_j(k+j)$

其中，加权矩阵Q_j＝diag{q_jx1,q_jx2,…,q_jxn,q_ju1,q_ju2,…,q_jud,q_je},1≤j≤P；q_jx1,q_jx2,…,q_jxn、q_ju1,q_ju2,…,q_jud、q_je分别与注射过程状态、注射过程控制输入增量、注射过程输出跟踪误差有关。

d.通过c步骤中的目标函数求解出注射速度的最优控制向量，其形式为：

Υ＝-(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

其中，Q＝diag{Q₁,Q₂,…,Q_p}；

e.由d步骤中得到的最优控制向量计算出注射速度过程的各个线性相关系数，其形式如下：

μ₁＝-(1,0,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₁g(k)+h_u1u(k-1)-m₁ΔR

μ₂＝-(0,1,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₂g(k)+h_u2u(k-1)-m₂ΔR

.

.

.

μ_N＝-(0,0,…,1)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h_Ng(k)+h_uNu(k-1)-m_NΔR

f.计算出k时刻的阀门开度最优控制量u(k)为：

$u\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_j{f}_j\left(0\right)=-\mathrm{Hz}\left(k\right)+H_{u}u(k-1)-\mathrm{M\ΔR}$

其中，

$H=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_j$

$H_u=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_{\mathrm{uj}}$

$M=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)m_j$

g.将f步骤中得到的阀门开度控制量u(k)作用于注射速度过程的控制比例阀。

d．在下一时刻，依照a到g的步骤继续求解新的阀门开度控制量u(k+1)，依次循环。

Claims (1)

1.批次过程的预测函数容错控制方法，其特征在于该方法的具体步骤是：

步骤(1).建立被控对象的非最小状态空间模型，具体是：

1-a.利用实时数据驱动的方法建立过程模型，具体是：建立批次过程的实时运行数据库，通过数据采集装置采集实时过程运行数据，将采集的实时过程运行数据作为数据驱动的样本集合

其中，

表示第i组工艺参数的输入数据，y(i)表示第i组工艺参数的输出值，N表示采样总数；以该对象的实时过程运行数据集合为基础建立基于最小二乘法的离散差分方程形式的受控自回归滑动平均模型：

$\widehat{\mathrm{\θ}}={[a_1,a_2,b_1,b_2]}^T$

其中，y_L(k)表示k时刻预测模型的工艺参数的输出值，θ表示通过辨识得到的模型参数的集合，

表示预测模型的工艺参数的过去时刻的输入和输出数据的集合，u(k)表示k时刻工艺参数对应的控制变量，d+1为实际过程的时滞，Τ为矩阵的转置符号；

采用的辨识手段为：

其中，

和P为辨识中的两个矩阵，

γ为遗忘因子，

为单位矩阵；

1-b.将1-a步骤中得到的过程模型转换为差分方程的形式：

Δy(k)+M₁Δy(k-1)+M₂Δy(k-2)＝N₁Δu(k-1)+N₂Δu(k-2)

其中，Δ为差分算子，M₁,M₂,N₁,N₂为通过模型转换得到的相关系数；

引入中间变量Δm(k)，Δm(k)满足：

$\mathrm{\Δm}\left(k\right)=\frac{\mathrm{\Δu}\left(k\right)}{1+M_1{z}^{-1}+M_2{z}^{-2}};$ $\frac{\mathrm{\Δy}\left(k\right)}{\mathrm{\Δm}\left(k\right)}=N_1{z}^{-1}+N_2{z}^{-2}$

将上面的差分方程改写成

Δm(k)+M₁Δm(k-1)+M₂Δm(k-2)＝Δu(k)

Δy(k)＝N₁Δm(k-1)+N₂Δm(k-2)

1-c.选取Δm(k-1),Δm(k-2)为相变量形式，即

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}_1\left(k\right)=\mathrm{\Δm}(k-2)\\ \mathrm{\Δ}{x}_2\left(k\right)=\mathrm{\Δm}(k-1)\end{array}\right.$

其中，Δx₁(k),Δx₂(k)为系统k时刻的各个状态变量；

1-d.进一步将1-b步骤的差分方程模型转换为状态空间模型：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}(k+1)=\mathrm{A\Δx}\left(k\right)+\mathrm{B\Δu}\left(k\right)\\ \mathrm{\Δy}(k+1)=\mathrm{C\Δx}(k+1)\end{array}\right.$

其中，

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -M_2& -M_1\end{array}\right);$ $B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

$C=[N_2,N_1]$

$\mathrm{\Δx}(k+1)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}_1(k+1)\\ \mathrm{\Δ}{x}_2(k+2)\end{array}\right\};$ $\mathrm{\Δx}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}_1\left(k\right)\\ \mathrm{\Δ}{x}_2\left(k\right)\end{array}\right\}$

1-e.将1-d步骤中得到的差分状态空间模型转换为包含状态变量和输出跟踪误差的新状态空间模型，形式如下：

g(k+1)＝A_mg(k)+B_mΔu(k)+C_mΔr(k+1)

式中，

$g(k+1)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}(k+1)\\ e(k+1)\end{array}\right];$ $g\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\left(k\right)\\ e\left(k\right)\end{array}\right]$

$A_m=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ \mathrm{CA}& 1\end{array}\right);$ $B_m=\left[\begin{array}{c}B\\ \mathrm{CB}\end{array}\right];$ $C_m=\left(\begin{array}{c}O\\ -1\end{array}\right)$

e(k)为k时刻理想输出与实际输出之间的差值,O为适合维数的矩阵，Δr(k+1)为k+1时刻设定值的增量；

步骤(2).设计被控对象的预测函数容错控制器，具体是：

2-a.选取预测函数控制方法的基函数，表示出在未来k+i时刻的控制输入，形式如下：

u(k+i)＝V_iΥ

V_i＝[f₁(i),f₂(i),…,f_N(i)],(i＝0,1,…,P-1)

Υ＝[μ₁,μ₂,…,μ_N]^T

其中，u(k+i),u_n,f_n(i)分别表示第k+i时刻的控制输入、第n个线性相关系数以及第n个基函数在k+i时刻的函数值；

2-b.结合2-a步骤中的控制输入和新的状态空间模型，得到未来P步的预测输出状态向量为：

G＝Fg(k)-Gu(k-1)+ΦΥ+SΔR

其中

$F=\left[\begin{array}{c}{A}_m\\ {A_m}^2\\ \·\\ \·\\ \·\\ {A_m}^P\end{array}\right],$ $G=\left[\begin{array}{c}{B}_m\\ A_m{B}_m\\ {A_m}^2{B}_m\\ \·\\ \·\\ \·\\ {A_m}^P{B}_m\end{array}\right],$

$\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{c}{B}_m{V}_0\\ (A_m{B}_m-B_m)V_0+B_m{V}_1\\ ({A_m}^2{B}_m-A_m{B}_m)V_0+(A_m{B}_m-B_m)T_1+B_m{V}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ \underset{k=1}{\overset{P-1}{\mathrm{\Σ}}}({A_m}^{k}B-{A_m}^{k-1}{B}_m)V_{P-1-k}+B_m{V}_{P-1}\end{array}\right]$

$G=\left[\begin{array}{c}g(k+1)\\ g(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ g(k+P)\end{array}\right],$ $\mathrm{\ΔR}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δr}(k+1)\\ \mathrm{\Δr}(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ \mathrm{\Δr}(k+P)\end{array}\right]$

P为预测步长；

2-c.选取批次处理过程的目标函数，形式如下：

$J=\underset{j=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}^T(k+j)Q_{j}g(k+j)$

其中，加权矩阵Q_j＝diag{q_jx1,q_jx2,…,q_jxn,q_ju1,q_ju2,…,q_jud,q_je},1≤j≤P；

q_jx1,q_jx2,…,q_jxn、q_ju1,q_ju2,…,q_jud、q_je分别与过程状态、过程控制输入增量、过程输出跟踪误差的调节有关；

2-d.通过2-c步骤中的目标函数求解出最优控制向量，其形式为：

Υ＝-(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

其中，Q＝diag{Q₁,Q₂,…,Q_p}；

2-e.根据2-d步骤中得到的最优控制向量计算出各个线性相关系数，其形式如下：

μ₁＝-(1,0,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₁g(k)+h_u1u(k-1)-m₁ΔR

μ₂＝-(0,1,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₂g(k)+h_u2u(k-1)-m₂ΔR

.

.

.

μ_N＝-(0,0,…,1)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fg(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h_Ng(k)+h_uNu(k-1)-m_NΔR

2-f.计算出当前时刻的控制量u(k)：

$u\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_j{f}_j\left(0\right)=-\mathrm{Hz}\left(k\right)+H_{u}u(k-1)-\mathrm{M\ΔR}$

$H=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_j$

其中， $H_u=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_{\mathrm{uj}}$

$M=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)m_j$

2-g.将得到的控制量u(k)作用于被控对象；

2-h.在下一时刻，依照2-a到2-g的步骤继续求解新的控制量u(k+1)，依次循环。