CN103490955A - 基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法，其主要分为训练和估计两个阶段，在训练阶段，源节点向多个目的节点发送背靠背探测包获取路径数据，然后利用路径数据估计出时变链路丢包率的先验信息，并建立卡尔曼滤波器的状态转移方程；估计阶段在不需要发送探测包的条件下，利用状态转移方程和网络背景流所得到的路径数据，通过反馈控制的方法完成时变链路丢包率的递归计算和估计；通过引入卡尔曼滤波模型来估计时变网络的链路丢包率，得到的链路丢包率估计结果，具有均方误差最小这个特性，并且具有很好的估计精度，能够实时地反应时变网络链路丢包率的时变特性。

Description

基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法

技术领域

本发明属于网络测量技术，具体涉及一种基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法的设计。 

背景技术

随着互联网技术的快速发展，网络的规模和复杂性日益提高，为了成功地设计、管理和优化网络，就必须实时、准确地了解网络链路性能参数，例如链路丢包率、链路时延等，及其动态变化情况。传统方法通常假设网络中所有节点都可以协作，对网络链路性能参数进行直接测量，但在实际中，很多节点出于对网络性能和安全等因素的考虑，往往不愿意协作，使得传统方法在实际应用中可能失效。与传统网络方法不同，网络层析成像方法在不需要中间节点协作的条件下，可以通过在网络边缘节点之间发送探测包来获取端到端的性能参数，然后利用统计学等方法推断得到网络链路性能参数，受到了国内外学术界和工业界的广泛关注。现有大多数网络层析成像方法都是假设网络链路状态在一段较长时间内平稳，网络链路性能参数在这段时间内保持不变，因此又把这一类方法称为平稳网络层析成像方法，但在实际中，由于真实网络流量的高突发性，网络链路状态会频繁地发生变化，而平稳网络链路丢包率估计结果成立的前提就是网络链路状态的平稳性，故平稳网络链路丢包率估计方法不适合长时间的测量，其估计结果也很难反映出真实网络内部链路丢包率时变特性 

链路丢包率估计是网络层析成像的一个重要方面，目前虽然网络测量领域已经存在一些非平稳网络链路丢包率估计的相关研究，如GHITA D,NGUYEN H,KURANT M,et al.Netscope:Practical network loss tomography[C]//Proc.IEEE INFOCOM,San Diego,CA,USA,March,2010:1-9，但是很多稳网络链路丢包率估计方法得到的估计结果都不能有效地反应实际网络链路丢包率的时变特性，且估计结果不具备均方误差最小这个特性，使得测量得到的网络链路丢包率不能接近于实际的网络链路丢包率。 

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对现有技术中网络链路丢包率估计方法精确度不高的缺点而提出一种基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法。 

本发明解决其技术问题采用的技术方案是：基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法，具体包括： 

S1、准备先验数据：由源节点向目的节点对发送背靠背探测包，得到时变路径传输概率Y，根据Y=AX，得到时变链路传输概率X，其中A为已知的网络链路的路由矩阵； 

S2、训练阶段：根据所述步骤S1中得到的时变路径传输概率Y、时变链路传输概率X 以及卡尔曼滤波模型：X_k+1=C_kX_k+W_k，Y_k=A_kX_k+V_k得到C_k、Q_k、R_k； 

其中，X_k、Y_k分别表示在时刻k下的链路传输概率的对数向量和路径传输概率的对数向量，用{t₁,t₂.…t_T}表示测量时间内的等间距时刻，用{1,2,...,T}来表示k的取值范围{t₁,t₂.…t_T}，其中k∈{1,2,...,T}，且1≤k≤T，C_k为在时刻k下的状态转移矩阵，A_k为在时刻k下的路由矩阵，W_k表示时刻k下时变网络链路丢包率估计过程中的随机噪声，V_k表示时刻k下时变网络路径丢包率估计过程中的观测噪声； 

所述Q_k为时刻k下的随机噪声W_k的协方差矩阵，R_k为时刻k下的观测噪声V_k的协方差矩阵，设定在测量周期内，状态转移矩阵C_k和路由矩阵A_k恒定不变，即C_k=C，A_k=A，随机噪声W_k和观测噪声V_k的协方差矩阵是常量，即Q_k=Q，R_k=R,选出一组与真实值最接近的Q、R值； 

S3、获取观测数据：在网络中加入路径级Pareto分布的用户数据报协议UDP流和路径级文件传输协议FTP应用传输控制协议TCP流作为背景流量，获取在时刻k下路径的传输概率

S4、估计阶段：采用反馈控制的方式来完成过程状态的递归计算和估计，包括两个过程： 

1、时间预测过程：根据上一时刻k下链路传输概率的估计值

和系统误差协方差矩阵的估计值P_k|k，向前预测当前时刻k+1下链路传输概率的预估值

和误差协方差矩阵的预估值P_k+1|k，计算结果组成当前时刻下状态更新的先验值，预测过程为： 

${\hat{X}}_{k+1|k}=C{\hat{X}}_{k|k}$

P_k+1|k=CP_k|kC^T+Q，其中，C^T为状态转移矩阵C的转置矩阵； 

2、状态校正过程：计算当前时刻下k+1的卡尔曼滤波增益K_k+1，由步骤S3所获取的在时刻k下路径的传输概率

得到当前时刻的观测向量

校正预测过程中链路传输概率向量的预估值

得到链路传输概率的后验估计值

最后对误差协方差矩阵P_k+1|k的预估值进行更新校正,得到当前时刻下误差协方差矩阵的后验估计值P_k+1|k+1，校正过程为： 

K_k+1=P_k+1|kA^T［AP_k+1|kA^T]^-1

${\hat{X}}_{k+1|k+1}={\hat{X}}_{k+1|k}+K_{k+1}[{\stackrel{..}{Y}}_{k+1}-A{\hat{X}}_{k+1|k}]$

其中，A^T为路由矩阵A的转置矩阵，I为单位向量矩阵，(I-K_k+1A)^T为(I-K_k+1A)矩阵的转置矩阵； 

由于在系统的初始状态存在两个初值条件：

其中，X=(X₁，X₂，…X_N)^T表示步骤S1中得到的链路传输概率的先验数据，初始链路传输概率为链路传输概率的先验平均值，当完成以上所述时间预测过程和状态校正过程两步之后，整个系统的状态估计过程将再次重复，直到整个测量周期结束或者估计误差超过门限而导致卡尔曼滤波模型的系数需要重新训练为止； 

S5、误差计算：定义路径估计误差

为：误差门限值T_e为：其中，M为路径条数，K_i为第i条路径所包含的链路条数，γ(i,j)为第i条路径上第j条链路传输概率估计结果所允许的最大误差。当满足

时，需要重新测量卡尔曼滤波模型系数；若

时，无需对卡尔曼滤波模型系数进行重新测量，直接进行下一时刻的时间更新和状态更新过程。 

进一步的，时变路径传输概率Y=(Y₁，Y₂，…Y_M)^T表示M条从源节点到目的节点路径传输概率的对数向量,所述M表示路径条数；时变链路传输概率X=(X₁，X₂，…X_N)^T表示N条链路传输概率的对数向量,所述N表示链路条数；其中所述N>M。 

进一步的，在所述步骤S2中最接近真实值的Q、R选取过程为： 

将误差向量函数定义为：

即T个时刻链路传输概率余量平方和的均值，其中，X表示链路传输概率的先验数据,求解使得误差向量函数最小的状态转移矩阵C，即：C=argminf(C,X)； 

求得的C后，根据W_k=X_k+1-CX_k,1≤k≤T-1和V_k=Y_k-AX_k，1≤k≤T求得Q和R，Q和R的训练初值分别为：

其中

为W_k转置向量矩阵，

为V_k转置向量矩阵,在系数训练阶段，首先由训练初值Q₀和R₀出发，利用卡尔曼滤波估计算 法来进行训练，通过不断调整Q和R的值来与一个先验数据进行比较，选取一组与先验数据最接近的Q和R。 

本发明的有益效果：本发明基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法主要分为训练和估计两个阶段，在训练阶段，源节点向多个目的节点发送背靠背探测包获取路径数据，然后利用路径数据估计出时变链路丢包率的先验信息，并建立卡尔曼滤波器的状态转移方程；估计阶段在不需要发送探测包的条件下，利用状态转移方程和网络背景流所得到的路径数据，通过反馈控制的方法完成时变链路丢包率的递归计算和估计；通过引入卡尔曼滤波模型来估计时变网络的链路丢包率，得到的链路丢包率估计结果，具有均方误差最小这个特性，并且具有很好的估计精度，能够实时地反应时变网络链路丢包率的时变特性；在训练阶段通过发送背靠背包建立卡尔曼滤波的状态转移方程，而在估计阶段则不需要发送探测包，因此可以在对网络影响较小的条件下，获得时变的链路丢包率。 

附图说明

图1为本发明实施例的基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法的流程框图； 

图2为本发明实施例的基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法中搭建的树状拓扑结构示意图； 

图3为本发明实施例的基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法中链路2模拟的链路丢包率曲线； 

图4为本发明实施例的基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法中链路4模拟的链路丢包率曲线； 

图5为本发明实施例的基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法中链路7模拟的链路丢包率曲线。 

具体实施方式

下面结合附图和具体的实施例对本发明作进一步的阐述。 

如图1所示为本发明实施例的基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法，其具体包括， 

S1、准备先验数据：由源节点向目的节点对发送背靠背探测包，得到时变路径传输概率Y，根据Y=AX，得到时变链路传输概率X，其中A为已知的网络链路的路由矩阵； 

与大多数网络层析成像方法类似，本发明把网络拓扑定义为一个逻辑树状拓扑T=(V,E)，其中V和E分别表示该树状拓扑中的节点和链路的集合，节点集合V中包含一个源节点S、多个中间节点和一系列目的节点D={D₁,D₂,...,D_M}，其中M表示目的节点的数 目，对于D中的第i个目的节点，定义P=(S,D_i)为从源节点到该目的节点D_i的路径，用K_i表示路径P=(S,D_i)上链路的数目，用e_i,j表示该路径上的第j条链路，因此得到路径P=(S,D_i)上链路集合为

为了方便估计，通常把链路丢包率估计问题转换为链路传输概率估计问题，即数据包被成功传输的概率，若丢包率为γ，那么传输概率则为α=1-γ，考虑源节点S向目的节点D_i发送探测包，若源节点发送探测包的数目为s_i，目的节点D_i收到的来自源节点的探测包数目为r_i，那么该路径的传输概率为p_i=r_i/s_i；路径P=(S,D_i)的传输概率为该路径上相应链路传输概率之积，因此

其中α_i,j是该路径上链路e_i,j的传输概率，两边同时取对数可得等式

联立所有这一形式的等式可得到逻辑树的链路传输概率估计的一般数学模型：Y=AX，其中，Y=(Y₁,Y₂,...,Y_M)^T表示M条从源节点到目的节点路径传输概率的对数向量，它可以通过端到端测量得到，所述M表示路径条数；X=(X₁,X₂,...,X_N)^T表示N条链路传输概率的对数向量，是需要估计的参数所述N表示链路条数；A表示路由矩阵，其中元素取值为0或者1，主要取决于路径是否包含链路，若第i条路径包含第j条链路，则元素A_i,j就取1，否则A_i,j取0，在本发明申请方案中假定路由矩阵A是不会发生变化。在一般网络中，链路的数目往往大于路径的数目，即M<N,因此式Y=AX是一个欠定的方程，没有唯一解。为了获得链路传输概率，通常通过设计合理的探测包发送方式，在本发明申请方案中采用背靠背包对式Y=AX进行扩展，从而使式Y=AX中有效方程的数目大于未知的需估计的链路传输概率的数目。 

S2、训练阶段：根据所述步骤S1中得到的时变路径传输概率Y、时变链路传输概率X以及卡尔曼滤波模型：X_k+1=C_kX_k+W_k，Y_k=A_kX_k+V_k得到C_k、Q_k、R_k； 

其中，X_k、Y_k分别表示在时刻k下的链路传输概率的对数向量和路径传输概率的对数向量，用{t₁,t₂....t_T}表示测量时间内的等间距时刻，用{1,2,...,T}来表示k的取值范围{t₁,t₂....t_T}，其中k∈{1,2,...,T}，且1≤k≤T，C_k为在时刻k下的状态转移矩阵，A_k为在时刻k下的路由矩阵，W_k表示时刻k下时变网络链路丢包率估计过程中的随机噪声，V_k表示时刻k下时变网络路径丢包率估计过程中的观测噪声； 

所述Q_k为时刻k下的随机噪声W_k的协方差矩阵，R_k为时刻k下的观测噪声V_k的协方差 矩阵，设定在测量周期内，状态转移矩阵C_k和路由矩阵A_k恒定不变，即C_k=C，A_k=A，随机噪声W_k和观测噪声V_k的协方差矩阵是常量，即Q_k=Q，R_k=R； 

将误差向量函数定义为：

即T个时刻链路传输概率余量平方和的均值，其中，X表示链路传输概率的先验数据,求解使得误差向量函数最小的状态转移矩阵C，即：C=argminf(C,X)； 

求得的C后，根据W_k=X_k+1-CX_k,1≤k≤T-1和V_k=Y_k-AX_k，1≤k≤T求得Q和R，Q和R的训练初值分别为：其中

为W_k转置向量矩阵，

为V_k转置向量矩阵,在系数训练阶段，首先由训练初值Q₀和R₀出发，利用卡尔曼滤波估计算法来进行训练，通过不断调整Q和R的值来与一个先验数据进行比较，选取一组与先验数据最接近的Q和R。 

S3、获取观测数据：在网络中加入路径级Pareto分布的用户数据报协议UDP流和路径级文件传输协议FTP应用传输控制协议TCP流作为背景流量，获取在时刻k下路径的传输概率

S4、估计阶段：采用反馈控制的方式来完成过程状态的递归计算和估计，包括两个过程： 

1、时间预测过程：根据上一时刻k下链路传输概率的估计值

和系统误差协方差矩阵的估计值P_k|k，向前预测当前时刻k+1下链路传输概率的预估值和误差协方差矩阵的预估值P_k+1|k，计算结果组成当前时刻下状态更新的先验值，预测过程为： 

${\hat{X}}_{k+1|k}=C{\hat{X}}_{k|k}$

P_k+1|k=CP_k|kC^T+Q，其中，C^T为状态转移矩阵C的转置矩阵； 

2、状态校正过程：计算当前时刻下k+1的卡尔曼滤波增益K_k+1，由步骤S3所获取的在时刻k下路径的传输概率

得到当前时刻的观测向量校正预测过程中链路传输概率向量的预估值

得到链路传输概率的后验估计值

最后对误差协方差矩阵P_k+1|k的预估值进行更新校正,得到当前时刻下误差协方差矩阵的后验估计值P_k+1|k+1，校正过程为： 

K_k+1=P_k+1|kA^T[AP_k+1|kA^T]^-1

${\hat{X}}_{k+1|k+1}={\hat{X}}_{k+1|k}+K_{k+1}[{\stackrel{..}{Y}}_{k+1}-A{\hat{X}}_{k+1|k}]$

其中，A^T为路由矩阵A的转置矩阵，I为单位向量矩阵，(I-K_k+1A)^T为(I-K_k+1A)矩阵的转置矩阵； 

由于在系统的初始状态存在两个初值条件：

其中，X=(X₁，X₂，…X_N)^T表示步骤S1中得到的链路传输概率的先验数据，初始链路传输概率为链路传输概率的先验平均值，当完成以上所述时间预测过程和状态校正过程两步之后，整个系统的状态估计过程将再次重复，直到整个测量周期结束或者估计误差超过门限而导致卡尔曼滤波模型的系数需要重新训练为止； 

S5、误差计算：定义路径估计误差为：

误差门限值T_e为：其中，M为路径条数，K_i为第i条路径所包含的链路条数，γ(i,j)为第i条路径上第j条链路传输概率估计结果所允许的最大误差。当满足

时，需要重新测量卡尔曼滤波模型系数；若

时，无需对卡尔曼滤波模型系数进行重新测量，直接进行下一时刻的时间更新和状态更新过程。 

为了本领域技术人员能够理解并且实施本发明，下面将结合具体的实施例对本发明基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法进行详细说明： 

本发明采用NS-2来搭建如图2所示的树状拓扑结构，其中包含11个节点，10条链路和6条路径，其中节点0为源节点，节点1-4为中间节点，节点5-10为目的节点，所有的链路都采用FIFO（First In First Out）队列的队列模式，并采用队尾丢包（Drop-Tail）模式，链路的具体参数参见表1。 

表1 各链路参数设置 

链路	L1	L2	L3	L4	L5
						速率（Mbps）	60	20	10	10	30
时延（ms）	10	10	10	10	10
						队列长度（packet）	80	30	20	20	40

[0055] 

链路	L6	L7	L8	L9	L10
						速率（Mbps）	10	10	5	5	10
时延（ms）	10	10	5	5	10
						队列长度（packet）	20	30	20	20	20

为了模拟实际网络环境，在网络节点之间加入随机的UDP和TCP流，其中UDP流的数目为200，每条UDP流都服从Pareto分布，包的大小为1000bytes，burst时间为200ms，idle时间为200ms，发送速率为0.5Mb。流的启动时间以及终止时间随机；TCP流的数目为200，每条TCP流都采用路径级的FTP应用TCP流，包大小为1200bytes，发送速率为0.2Mb，流的启动时间和终止时间随机。 

在仿真中,本发明实施例采用发送背靠背包的方式获取先验数据，背靠背包采用CBR（Constant Bit Rate）形式的UDP流发送，包对中的包大小设置为50Bytes，每隔1ms发送一次背靠背包组，包组之间的发送间隔为10ns。首先由源节点0向目的节点对（5,6）、（6,7）、（7,8）、（8,9）和（9,10）发送背靠背探测包，计算出如图2所示树状拓扑的路由矩阵和链路传输概率的先验值。然后通过背景流量，利用卡尔曼滤波的时间更新和状态更新方程，对时变网络环境下链路的传输概率进行预测和校正，最终估计出时变网络环境下的链路丢包率。 

本发明实施例从如图2所示的树状拓扑的中十条链路中任意选取了三条链路的丢包率估计结果进行比较，其中，图3为链路2模拟的链路丢包率曲线，图4为链路4模拟的链路丢包率曲线，图5为链路7模拟的链路丢包率曲线，由图3、图4、图5可知，基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率估计方法相较于平稳网络层析成像方法，估计结果能够更好地逼近实际的链路丢包率曲线，能够较好地反映出非平稳网络环境下链路丢包率的变化情况，且估计误差较小。 

为了得到链路丢包率的估计值与真实值之间的整体偏离程度，本发明申请方案采用均方根相对误差（Root Mean Square Relative Error）来评价估计方法的性能，其表达式为： 

其中，α_k=1-X_k表示第k个时刻实际的链路丢包率， 

表示相应时刻估计得到的链路丢包率。 

表2 估计的链路丢包的RMSRE值 

链路

L1

L2

L3

L4

L5

L6

[0063] 

RMSRE	0.0704	0.0698	0.1372	0.1142	0.0854	0.2575
							链路	L7	L8	L9	L10	均值	-
RMSRE	0.1099	0.1010	0.1381	0.1015	0.1185	-

从表2可以看出，基于卡尔曼滤波的非平稳网络链路丢包率估计方法得到的链路丢包率                                                   值及其均值都比较小，说明链路丢包率的估计值与真实值的整体偏离程度不大。 

Claims (3)

1.基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法，其特征在于，具体包括： 

S1、准备先验数据：由源节点向目的节点对发送背靠背探测包，得到时变路径传输概率Y，根据Y=AX，得到时变链路传输概率X，其中A为已知的网络链路的路由矩阵； 

S2、训练阶段：根据所述步骤S1中得到的时变路径传输概率Y、时变链路传输概率X以及卡尔曼滤波模型：X_k+1=C_kX_k+W_k，Y_k=A_kX_k+V_k得到C_k、Q_k、R_k； 

其中，X_k、Y_k分别表示在时刻k下的链路传输概率的对数向量和路径传输概率的对数向量，用{t₁,t₂....t_T}表示测量时间内的等间距时刻，用{1,2,...,T}来表示k的取值范围{t₁,t₂....t_T}，其中k∈{1,2,...,T}，且1≤k≤T，C_k为在时刻k下的状态转移矩阵，A_k为在时刻k下的路由矩阵，W_k表示时刻k下时变网络链路丢包率估计过程中的随机噪声，V_k表示时刻k下时变网络路径丢包率估计过程中的观测噪声； 

所述Q_k为时刻k下的随机噪声W_k的协方差矩阵，R_k为时刻k下的观测噪声V_k的协方差矩阵，设定在测量周期内，状态转移矩阵C_k和路由矩阵A_k恒定不变，即C_k=C，A_k=A，随机噪声W_k和观测噪声V_k的协方差矩阵是常量，即Q_k=Q，R_k=R,选出一组与真实值最接近的Q、R值； 

S3、获取观测数据：在网络中加入路径级Pareto分布的用户数据报协议UDP流和路径级文件传输协议FTP应用传输控制协议TCP流作为背景流量，获取在时刻k下路径的传输概率

S4、估计阶段：采用反馈控制的方式来完成过程状态的递归计算和估计，包括两个过程： 

（1）、时间预测过程：根据上一时刻k下链路传输概率的估计值

和系统误差协方差矩阵的估计值P_k|k，向前预测当前时刻k+1下链路传输概率的预估值

和误差协方差矩阵的预估值P_k+1|k，计算结果组成当前时刻下状态更新的先验值，预测过程为： 

P_k+1|k=CP_k|kC^T+Q，其中，C^T为状态转移矩阵C的转置矩阵； 

（2）、状态校正过程：计算当前时刻下k+1的卡尔曼滤波增益K_k+1，由步骤S3所获取的在时刻k下路径的传输概率

得到当前时刻的观测向量

校正预测过程中链路传输概率向 量的预估值

得到链路传输概率的后验估计值

最后对误差协方差矩阵P_k+1|k的预估值进行更新校正,得到当前时刻下误差协方差矩阵的后验估计值P_k+1|k+1，校正过程为： 

K_k+1=P_k+1|kA^T[AP_k+1|kA^T]^-1

其中，A^T为路由矩阵A的转置矩阵，I为单位向量矩阵，(I-K_k+1A)^T为(I-K_k+1A)矩阵的转置矩阵； 

由于在系统的初始状态存在两个初值条件：

其中，X=(X₁，X₂，…X_N)^T表示步骤S1中得到的链路传输概率的先验数据，初始链路传输概率

为链路传输概率的先验平均值，当完成以上所述时间预测过程和状态校正过程两步之后，整个系统的状态估计过程将再次重复，直到整个测量周期结束或者估计误差超过门限而导致卡尔曼滤波模型的系数需要重新训练为止； 

S5、误差计算：定义路径估计误差

为：

误差门限值T_e为：

其中，M为路径条数，K_i为第i条路径所包含的链路条数，γ(i,j)为第i条路径上第j条链路传输概率估计结果所允许的最大误差。当满足

时，需要重新测量卡尔曼滤波模型系数；若

时，无需对卡尔曼滤波模型系数进行重新测量，直接进行下一时刻的时间更新和状态更新过程。 

2.如权利要求1所述的基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法，其特征在于，时变路径传输概率Y=(Y₁，Y₂，…Y_M)^T表示M条从源节点到目的节点路径传输概率的对数向量,所述M表示路径条数；时变链路传输概率X=(X₁，X₂，…X_N)^T表示N条链路传输概率的对数向量,所述N表示链路条数；其中所述N>M。 

3.如权利要求1或2所述的基于卡尔曼滤波的时变网络链路丢包率的估计方法，其特征在于，在所述步骤S2中最接近真实值的Q、R选取过程为： 

将误差向量函数定义为：

即T个时刻链路传输概率余量平方和的均值，其中，X表示链路传输概率的先验数据,求解使得误差向量函数最小的状 态转移矩阵C，即：C=argminf(C,X)； 

求得的C后，根据W_k=X_k+1-CX_k,1≤k≤T-1和V_k=Y_k-AX_k，1≤k≤T求得Q和R，Q和R的训练初值分别为：

其中

为W_k转置向量矩阵，

为V_k转置向量矩阵,在系数训练阶段，首先由训练初值Q₀和R₀出发，利用卡尔曼滤波估计算法来进行训练，通过不断调整Q和R的值来与一个先验数据进行比较，选取一组与先验数据最接近的Q和R。 

Images