CN103487211B - 一种测量小型飞行器转动惯量与惯性积的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种测量小型飞行器转动惯量与惯性积的方法。它基于双悬线的方法，不需要预先精确测量出飞机质心位置即可完成测量，同时具有较理想的精度，只需要细绳、胶带、秒表、细杆等简单的材料，通过简单的操作即可完成复杂飞行器的转动惯量的测量。该方法有三个步骤：步骤一，飞行器的安装与平衡的调整；步骤二，测量出飞行器三条机体轴对应的主轴转动惯量；步骤三，改变飞行器摆转姿态，通过公式求解出惯性积。

Description

一种测量小型飞行器转动惯量与惯性积的方法

技术领域

本发明涉及一种测量小型飞行器转动惯量与惯性积的方法，该发明属于测量技术领域。

背景技术

目前，小型飞行器的转动惯量可以通过专业的转动惯量测量设备测量，这种方法成本高昂。其次是通过实验方法测量，主要的测量方法有三线摆、扭摆、复摆等。对于三线摆和扭摆，精度高但是装置相对复杂，同时不易于飞行器的安装，而对于复摆则精度相对较低。所以设计一种简捷的、方便的、能保证足够精度的测量小型飞行器转动惯量与惯性积的方法，是非常有意义和实用价值的。

发明内容

本发明的目的是提供一种测量小型飞行器转动惯量与惯性积的方法。它解决常规方法不易安装或者精度太低的问题。所谓不易安装是指飞行器的几何形状复杂，要测量某机体轴对应的转动惯量，首先需要对飞机质心的精确定位，然后要调整飞机姿态使该机体的轴与旋转轴重合，而对质心的定位和飞机的姿态的固定都是不容易实现的。

本发明中转动惯量的测量是基于双线摆的原理，双线摆模型如图1所示，线长为L，两线距离为d，摆锤到细杆中心距离为c，杆和摆锤的总质量为m₀，H为中心竖直旋转轴。令细杆绕H轴旋转一个小角度后放手，这时双线摆的双摆锤会在一椭圆柱体的表面摆动。设双线摆绕竖直转动轴转过一初始的角度θ₀，双线摆将上升一定的高度，则由于绳的拉力和重力的作用下，将自由摆动，在忽略阻尼状态下，系统的动能和势能将相互转化，但总量将保持为一恒定的值，可视为一无休止的循环摆动。设重力加速度为g，I₀为杆和摆锤的总转动惯量，T₀为摆动周期，转动惯量可由如下公式计算得到：

$I_0=\frac{m_0{\mathrm{gd}}^2}{16{\mathrm{\π}}^{2}L}{T_0}^2---\left(1\right)$

根据公式（1），实验时测出细绳悬挂的总质量m₀，竖直线长L，两线之间距离d，然后让杆绕竖直中心轴旋转一小角度（10°以内），测量摆动周期T₀，g取本地重力加速度，即可求出细杆绕旋转轴的转动惯量I₀。

除了细杆，该方法也适用于所有复杂几何外形物体转动惯量的测量。当将复杂几何外形的物体挂在图1所示的悬线上时，物体只受到三个竖直方向平行力的作用——重力和两条悬线的拉力。根据力矩平衡的原理，物体平衡后这三个平行力会处于同一平面内。所以如果使两悬线的中心轴线过物体质心，就可以测出物体在该姿态下，过质心竖直轴的转动惯量。

下面介绍惯性积的测量原理，惯性积和转动惯量不同，并不能通过实验直接测量，只能通过公式间接求得。要表示出惯性积，首先要指定特定的轴系，如图2所示，以固定翼飞机为例，我们直接取用机体坐标系（中心在质心上，指向机头为x轴，沿着机翼向右为y轴，指向机腹下方为z轴），则物体任意轴H的转动惯量可通过下面的公式表示

$\begin{array}{c}{I}_H=I_{\mathrm{xx}}{\cos }^2\mathrm{\α}+I_{\mathrm{yy}}{\cos }^2\mathrm{\β}+I_{\mathrm{zz}}{\cos }^2\mathrm{\γ}-2I_{\mathrm{xy}}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\\ -2I_{\mathrm{yz}}\cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}-2I_{\mathrm{xz}}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}\end{array}---\left(2\right)$

其中α,β,γ分别为机体xyz轴与转动轴H的夹角，I_xx,I_yy,I_zz为机体轴对应的转动惯量。在I_xx,I_yy,I_zz已测出的情况下，通过调整飞行器姿态来设定α,β,γ为特定值，测出当前姿态下的转动惯量I_H，即可反求解出对应的惯性积。例如，保持机体y轴沿水平方向，H为过质心的竖直轴，则有β=90°，代入公式（2），可以化简为

I_H=I_xxcos²α+I_zzcos²γ-2I_xzcosαcosγ(3)

于是可以推导得

$I_{\mathrm{xz}}=\frac{I_{\mathrm{xx}}{\cos }^2\mathrm{\α}+I_{\mathrm{zz}}{\cos }^2\mathrm{\γ}-I_H}{2\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}}---\left(4\right)$

所以在已测出I_xx，I_zz的情况下，我们只需再测出姿态角度α、γ，和当前姿态下对应的转动惯量I_H，就可以利用（4）求解出惯性积I_xz。同理利用公式（2），配置悬挂姿态使α=90°即让飞行器在完全水平状态下绕机体x轴转动一个角度，可以方便测出I_yz；使γ=90°可以方便测量出I_xy。

本发明一种测量小型飞行器转动惯量与惯性积的方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：飞行器的安装与平衡调整（可参照图4）

1）质心位置粗略确定：根据几何对称性，和用手、眼感知重量分布可大致确认质心位置。

2）下悬挂点配置：下悬挂点指悬线的下端点，它们直接固定在飞行器上，调整两点在飞行器上位置，保证两点等高，均匀分布在质心两侧。通过改变两点在飞行器上的位置，可以改变飞行器稳定时的姿态，从而测量不同轴对应的转动惯量。对于一些飞机造型比较特殊，下悬挂点不易配置的情况，可以通过轻杆、钢丝和胶带等较轻材料搭建架子来解决。

3）上悬挂点配置：调整上悬挂点保证两点高度相同，且两点间距离与下悬挂点两点间的距离相等。

4）细绳配置：让细绳连接上下悬挂点，细绳应该保持竖直，且两侧绳子长度相等。

步骤二：三大主轴转动惯量测量

通过步骤一完成飞行器姿态的稳定，然后让飞机水平旋转一个小角度（绕过重心的铅垂线），测量来回旋摆周期。周期T₀可以通过用秒表测量双线摆通过若干个峰值的总时间，然后取均值求得。结合测量出的细绳长L和两绳间宽度d，以及飞行器质量m₀，代入公式即可求得这一姿态下竖直旋转轴的转动惯量。通过将姿态调整到机体xyz轴分别为竖直旋转轴，即可测出三大主轴的转动惯量I_xx,I_yy,I_zz。

步骤三：惯性积的测量

由于常规飞机都是关于中心面对称的，所以与y轴相关的惯性积都为0，只需要测量惯性积I_xz即可。在此以测量惯性积I_xz为例子，如图2所示以固定翼为例，令飞行器在完全水平的姿态下，绕机体轴y轴旋转（俯仰）一定角度，可以保证β=90°，同时机体x轴、机体z轴和转轴H共面。由于机体x轴和y轴互相垂直，只需要测出α或β其中之一即可。然后再测出此时的转动惯量I_H，结合步骤二测出的机体x轴和z轴的主轴转动惯量I_xx和I_zz，代入公式（4）即可求解出I_xz，即 $I_{\mathrm{xz}}=\frac{I_{\mathrm{xx}}{\cos }^2\mathrm{\α}+I_{\mathrm{zz}}{\cos }^2\mathrm{\γ}-I_H}{2\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}}.$

优点及功效：本发明提供了一种小型飞行器转动惯量与惯性积的测量方法。它保证精度的同时解决了飞行器的安装困难的问题。只需要细绳、胶带、秒表、细杆等简单的材料，通过简单的操作即可完成复杂飞行器的转动惯量的测量。

附图说明

图1：双线摆的示意图

图2：惯性积测量示意图

图3：方形瓷砖转动惯量测量图

图4a：固定翼飞机机体z轴偏航转动惯量测量主视图

图4b：固定翼飞机机体z轴偏航转动惯量测量俯视图

图4c：固定翼飞机机体z轴偏航转动惯量测量右视图

图5：下悬挂点的配置图

图6：固定翼飞机机体x轴滚转转动惯量测量主视图

图7：固定翼飞机机体y轴俯仰转动惯量测量主视图

图8：固定翼飞机惯性积测量右视图

图9a：为六旋翼机体z轴转动惯量测量主视图

图9b：为六旋翼机体x轴转动惯量测量主视图

图9c：为六旋翼机体y轴转动惯量测量主视图

图10：六旋翼惯性积测量左视图

图11：本发明流程框图

图中符号说明如下：

图1中的符号说明：d为两绳之间间距，L为绳长，c为圆柱体到中心线距离。

图2中的符号说明：o为质心，xyz为机体轴系，H为竖直转动轴，α,β,γ分别为机体xyz轴与转动轴H的夹角。

图4中的符号说明：1.水平硬杆2.上悬挂点3.悬线4.下悬挂点5.套环6.质心G.重力。

图5中的符号说明：4.下悬挂点6.质心7.细杆8.纤维胶带

（多幅图中出现相同字母表示的意义相同，不再重复说明）

具体实施方式

本发明提供了一种测量小型飞行器转动惯量与惯性积的方法。为验证其测量精度和实用性，进行了如下实验。

（1）双线摆法精度验证

图1为双线摆的示意图，为了验证双线摆法的测量精度，对规则的方形瓷砖进行了测量与验证。首先对于矩形物体的转动惯量可用如下公式计算出来

$I=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)---\left(5\right)$

其中m为质量，a,b分别为矩形的长与宽。

实验一：长方形瓷砖：m=0.465kg，宽b=0.101m，长a=0.298m，根据公式（5）计算得理论转动惯量I₀=0.003836kg·m²。安装如图3所示，由于长方形瓷砖的质心在对称中心上，下悬挂点直接取在短边的中点，再细微调整挂点的位置直到砖面水平，然后按要求配置好上悬挂点和细绳即可完成安装。这种情况下两绳间距d=a=0.298m，测得L=0.814m，测量50个周期，三次时间分别为55.1s、55.3s、55.1s，取平均值得T₀=1.1033s，带入公式（1），求得I₁=0.003833kg·m²，相对误差

实验二：在实验一基础上将L缩短为0.666m，此时理论转动惯量I₀不变。测50个周期两次分别为50.0s，50.2s，测40个周期一次为40.1s，计算结果为I₁=0.0038485kg·m²，求得相对误差0.3%。

实验三：在下边再加上一块瓷砖，粘合在一起，此时质量加倍m=0.930kg，理论I₀=0.007714kg·m²，测得50个周期50.4s，100个周期100.9s。计算得到转动惯量为I₁=0.007831kg·m²，求得相对误差1.52%。

从上述实验可以看出双线摆的测量精度较高，多次测量相对误差都能保持在2%以内，可以达到需求精度。

后续用同样的方法又对其他的规则几何物体进行了验证，误差都非常小，最大不超过2%。（2）实物小固定翼飞机的转动惯量与惯性积的测量

图2为惯性积测量示意图。本次测量选用天行者固定翼无人机，其测量安装如图4a-图4c所示。飞机基本参数如下：质量m₀=1.700kg，翼展b₀=1.65m，机身长度l₀=1.16m，北京重力加速度取g=9.8017m/s²。

见图11，本发明一种测量小型飞行器转动惯量与惯性积的方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：飞行器的安装与平衡调整

以测量转动惯量I_zz为例：

1）确定质心位置：估算出飞机质心所在位置为飞机中心对称平面内，在机身全长1/3处，距离机翼顶端10cm左右位置。

2）配置下悬挂点：如图5所示，沿飞机机体轴向关于飞机中心平面对称安放两细杆，细杆中心位置由飞机质心位置初步确定，细杆两端用纤维胶带固定，这样将细绳两端分别绑在细杆上。

3）配置上悬挂点：设置好水平硬杆，并在硬杆上套上可调节相对位置的套环，以便灵活配置上悬挂点距离。

4）配置细绳：让细绳连接四个悬挂点，调整硬杆上套环距离，保证细绳保持竖直，上下绳间距离相等。微调下悬挂点在细杆上的位置，直到飞机面完全水平。完成平衡调节后，用胶带加固各个悬挂点。

步骤二：三大主轴转动惯量测量

首先测得绳间距离d=36.4cm，单侧绳长L=66.0cm。将飞机绕竖直中心轴转动一个大约5°的小角度后放手，测得摆动20个周期的时间为62.35s，所以双线摆周期T₀=3.1175s。将上述数据代入公式（1）得到I_zz=0.20587kg·m²。同理将飞机安装为所需姿态，可测得其余两大主轴的转动惯量：如图6所示将悬挂点选在了机头左右两侧，让机体x轴与竖直旋转轴重合，可测得I_xx=0.10972kg·m²；如图7所示将悬挂点选在机身侧面，可测得I_yy=0.14981kg·m²。图8为固定翼飞机惯性积测量图。

步骤三：惯性积的测量

在图4测量I_zz的安装姿态的基础上，将两个下部悬挂点整体向机头平移一段距离，平衡后如图7所示机头将抬起，角度α可以通过用圆规测量飞机上的某水平安定面与竖直悬线之间的夹角测得，也可通过倾角传感器精确测量。本次实验选用了前者，具体采用的方法是，用一张长方形硬纸，让其长边与飞机上的水平安定面重合，然后用一条浸润墨水的细线下边吊上重物形成竖直悬线，让竖直悬线与纸板接触，用圆规测量印上的线与方纸板长边夹角即可。为减小误差，令α为一个较大值α=39°，求得γ=129°，同时测得此时的转动惯量，结合步骤二测出的I_xx和I_zz，代入公式（4）即可求得惯性积I_xz=0.02546kg·m²。

（3）在多旋翼上的测量效果

多旋翼机外形具有良好的对称性，质心一般就在对称中心。由于旋翼机大多由架子结构组成的，测量时可以直接将下悬挂点固定在旋翼机机身的架子上，而上悬挂点和细绳配置与固定翼相同，所以双线摆在旋翼机上测量步骤相对固定翼要简单。

我们对一架六旋翼飞行器进行了转动惯量测量，其基本参数如下：质量m₀=1.340kg，直径D=62cm，高度h_craft=21cm。如图9a所示，我们将下悬挂点设在旋翼机对称悬臂的架子上，其余步骤与固定翼配置方法相同，最后测得I_zz=0.05872kg·m²。其余两轴的转动惯量可用同样方法测出，安装方法参照图9b和图9c，测量结果如下：I_xx=0.03355kg·m²，I_yy=0.0302kg·m²。

本次使用的六旋翼对称性较好，惯性积理论上很小，为了验证惯性积的测量方法在六旋翼上同样方便，我们也对六旋翼的惯性积进行了测量。以测量I_xz为例，如图10所示，将下悬挂点选在旋翼的底部支架上，平衡后六旋翼相对于水平姿态将绕y轴旋转一定角度。然后测量得到α=49°，γ=41°，测出此时的转动惯量I_H=0.047856kg·m²，结合已测出的I_xx和I_zz代入公式（4）求得惯性积I_xz=3.08×10^-5kg·m²≈0。可见由于本次选用六旋翼对称性良好，惯性积约等于0，实际与理论吻合很好。

Claims (1)

1.一种测量小型飞行器转动惯量与惯性积的方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：飞行器的安装与平衡调整

1)质心位置粗略确定：根据几何对称性，和用手、眼感知重量分布大致确认质心位置；

2)下悬挂点配置：下悬挂点指悬线的下端点，它们直接固定在飞行器上，调整两点在飞行器上位置，保证两点等高，均匀分布在质心两侧；通过改变两点在飞行器上的位置，改变飞行器稳定时的姿态，从而测量不同轴对应的转动惯量；对于一些飞行器造型比较特殊，下悬挂点不易配置的情况，通过轻杆、钢丝和胶带较轻材料搭建架子来解决；

3)上悬挂点配置：调整上悬挂点保证两点高度相同，且两点间距离与下悬挂点两点间的距离相等；

4)细绳配置：让细绳连接上下悬挂点，细绳应该保持竖直，且两侧绳子长度相等；

步骤二：三大主轴转动惯量测量

通过步骤一完成飞行器姿态的稳定，然后让飞行器绕过重心的铅垂线水平旋转一个小角度，测量来回旋摆周期；周期T₀通过用秒表测量双线摆通过复数个峰值的总时间，然后取均值求得；结合测量出的细绳长L和两绳间宽度d，以及飞行器质量m₀，代入公式(1)即求得这一姿态下竖直旋转轴的转动惯量；通过将姿态调整到机体xyz轴分别为竖直旋转轴，即测出三大主轴的转动惯量I_xx,I_yy,I_zz；

步骤三：惯性积的测量

由于常规飞行器都是关于中心面对称的，所以与y轴相关的惯性积都为0，只需要测量惯性积I_xz即可；在此以测量惯性积I_xz为例，以固定翼为例，令飞行器在完全水平的姿态下，绕机体轴y轴旋转预定角度，保证β＝90°，同时机体x轴、机体z轴和转轴H共面；由于机体x轴和z轴互相垂直，只需要测出α或γ其中之一即可；然后再测出此时的转动惯量I_H，结合步骤二测出的机体x轴和z轴的主轴转动惯量I_xx和I_zz，代入公式(2) $I_{xz}=\frac{I_{xx}{\cos }^2\mathrm{\α}+I_{zz}{\cos }^2\mathrm{\γ}-I_H}{2cos\mathrm{\α}cos\mathrm{\γ}},$ 即求解出I_xz。