CN103440680B - 一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法。将初始三角网格模型转化成原始四面体网格模型；施加旋转矩阵得到对齐后的四面体网格模型，根据表面法向朝向和四面体网格形变中的保形要求以及用户对几何特征的控制建立能量方程，用修改后的拉格朗日-牛顿法进行优化得到形变后的四面体网格；重复上述从施加旋转矩阵开始的步骤至形变后的四面体网格表面质量达到与表面保面积约束满足程度对应的要求后得到的形变后的四面体网格中抽取Polycube结构，修改退化部分，得到Polycube映射。本发明能从三角形网格自动生成Polycube映射，并与模型的初始朝向无关，而且能对细节丰富程度，特征对齐等需求施加灵活的控制和优化。

Description

一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法

技术领域

本发明涉及一种三维网格处理方法，尤其是涉及一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法。

技术背景

Polycube映射在计算机图形学领域有着广泛的应用，如纹理映射，交叉参数化，重网格化。然而从含有丰富细节的表面网格构建低失真的Polycube映射，在目前不管是全自动方法还是施加少量用户控制，都存在很大的挑战。

目前的Polycube生成方法有各自的不足：

1.需要用户指定拓扑结构。[可参考Yao,C.，AndLee,T.2008Adaptivegeometryimage.VisualizationandComputerGraphics，IEEETransactionson14,4,948-960]

2.假设模型的初始朝向较好。[可参考Gregsonetal.2011All-hexmeshgenerationviavolumetricpolycubedeformationInComputergraphicsforum，vol.30，WileyOnlineLibrary，1407-1416].

3.缺少用户控制。[可参考Gregsonetal.2011All-hexmeshgenerationviavolumetricpolycubedeformationInComputergraphicsforum，vol.30，WileyOnlineLibrary，1407-1416.Tarinietal.2004Polycube-maps.InACMTransactionsonGraphics(TOG)，vol.23，ACM，853-860]

发明内容

针对背景技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法，不仅能从三角形网格自动生成Polycube映射，并与模型的初始朝向无关，而且能施加用户控制。

本发明采用的技术方案包括如下步骤：

1）将初始的封闭三角网格模型用Netgen软件转化成原始四面体网格模型；

2）施加旋转矩阵R得到对齐后的四面体网格模型，对齐后的四面体网格模型顶点坐标为X₀；

3）对拉格朗日-牛顿法进行修改，舍弃表面保面积约束C(X)的海森，求解下述线性方程组来得到形变后的四面体网格顶点坐标X的增量ΔX，在对齐后的四面体网格模型顶点坐标X₀上累加增量ΔX得到形变后的四面体网格顶点坐标X：

$\left(\begin{array}{cc}H\left(X\right)& \▿C\left(X\right)\\ \▿C{\left(X\right)}^T& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\ΔX}\\ \mathrm{\λ}\end{array}\right)=\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}-g\left(X\right)\\ -C\left(X\right)\end{array}\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中g(X)为表示总能量的近似梯度，H(X)为表示总能量的近似海森，C(X)为表面保面积约束，λ为拉格朗日乘数，为表面保面积约束的雅克比矩阵，为表面保面积约束雅克比矩阵的转置；

4）根据表面法向朝向和四面体网格形变中的保形要求以及用户对几何特征的控制，建立如公式2所示的能量方程，再用步骤3）中修改后的拉格朗日-牛顿法对公式2的能量方程进行优化，从而得到形变后的四面体网格；

$\left\{\begin{array}{c}{\arg \min }_X{E}_{\mathrm{total}}=\mathrm{\α}{E}_1\left(X\right)+E_{\mathrm{\δ}}\left(X\right)+E_{\mathrm{\η}}+E_e\left(X\right)\\ s.t.C\left(X\right)=0\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，X表示形变后的四面体网格顶点坐标，E_total为总能量，E₁(X)表示表面法向对齐能量，E_δ(X)表示四面体网格在形变过程中的保形约束，E_η(X)表示几何特征控制能量，E_e(X)表示与表面边相关的区域光滑及特征保持能量，α表示表面法向对齐能量调节权重，argmin_X表示以X为变量的最优化能量，s.t.表示在约束下；

5）重复步骤2）～4）至形变后的四面体网格表面质量达到与表面保面积约束C(X)满足程度对应的要求；

6）从步骤5）中最终得到的形变后的四面体网格中抽取Polycube结构，修改其中的退化部分，得到Polycube映射。

所述的步骤2）中的旋转矩阵R通过对表面法向取面积加权的一范数，再沿表面积分得到全局法向对齐能量，同时约束旋转矩阵R为旋转变换，建立公式3求解得到：

${\arg \min }_R\frac{{\mathrm{\Σ}}_{b_i}{\left|\right|\mathrm{RA}(b_i,X)n(b_i,X)\left|\right|}_1}{{\mathrm{\Σ}}_{b_i}A(b_i,X)}+{\left|\right|R^{T}R-I\left|\right|}_2^2---\left(3\right)$

其中，b_i为三角形，A(b_i，X)代表三角形b_i在顶点坐标X下的面积，n(b_j，X)表示三角形b_i在顶点坐标X下归一化之后的法向，||.||₁表示L1范数，I为单位矩阵，argmin_R表示以R为变量的最优化能量。

所述的L1范数|x|通过以下公式4～公式6进行一种近似计算：

其中，ε为L1近似系数，为一范数|x|的近似梯度，为x的梯度，为L1范数|x|的近似海森，x为任意向量，为一范数的近似值，为的转置。

所述的步骤4）公式1中的表面法向对齐能量E₁(X)是对对齐后的四面体网格模型表面法向取面积加权的L1范数并沿表面积分得到的法向对齐能量，即采用公式7进行计算：

E₁(X)=Σ_bi||A(b_i，X)n(b_i，X)||₁（7）

其中，b_i为三角形，A(b_i，X)代表三角形b_i在顶点坐标X下的面积，n(b_i，X)表示三角形b_i在顶点坐标X下归一化之后的法向。

所述的步骤4）中的表面保面积约束C(X)用形变后的四面体网格的表面总面积与原始四面体网格模型的表面总面积相等作为硬约束，即采用公式8进行计算：

$C\left(X\right)={\mathrm{\Σ}}_{b_i}A(b_i,X)-{\mathrm{\Σ}}_{b_i}A(b_i,\stackrel{\‾}{X})---\left(8\right)$

其中，表示原始四面体网格模型的初始坐标，表示在坐标下b_i的面积。

所述的步骤4）公式1中的四面体网格在形变过程中的保形约束E_δ(X)采用公式9进行计算，作为形变光顺程度的度量：

$E_{\mathrm{\δ}}\left(X\right)={\mathrm{\Σ}}_{t_i}\frac{1}{2}{\left|\right|G_{i}X-\mathrm{polar}\left(G_{i}X\right)\left|\right|}_F^2---\left(9\right)$

其中，t_i是每一个四面体，G_i是梯度算子，polar(.)表示通过极分解得到的旋转矩阵，||.||_F是Frobenius范数。

所述的步骤4）公式1中的几何特征控制能量E_η(X)由公式10计算得到，

$E_{\mathrm{\η}}\left(X\right)={\mathrm{\Σ}}_{b_i{b}_j\mathrm{adjacent}}\mathrm{\η}(b_i,b_j,X)/{\mathrm{\Σ}}_{b_k}A(b_k,\stackrel{\‾}{X})---\left(10\right)$

其中，b_i，b_jadjocent表示以边相邻的三角形b_i，b_j，b_k为三角形，带面积加权的相邻法向差异及防翻转控制项η(b_i，b_j，X)采用下列公式11计算得到，

$\mathrm{\η}(b_i,b_j,X)=\frac{A(b_i,\stackrel{\‾}{X})+A(b_j,\stackrel{\‾}{X})}{3}(\mathrm{\β}{\left|\right|n(b_i,X)-n(b_j,X)\left|\right|}_2^2-\mathrm{\γ}\log [1+n(b_i,X)\·$

$n(b_j,X)\left]\right)---\left(11\right)$

其中，β为相邻法向差异调节系数，γ为防翻转控制调节系数，为在坐标下三角形b_j的面积，n(b_j，X)为在坐标X下三角形b_j的法向。

所述的步骤4）公式1中的与表面边相关的区域光滑及特征保持能量E_e(X)由公式12～公式14计算得到：

E_e(X)=ω₁E_ef(X)+ω₂E_es(X)（12）

E_ef(X)=Σ[n(b_i，X)·n(b_j，X)-1]²（13）

E_es(X)=Σ[n(b_i，X)·n(b_j，X)]²（14）

其中，E_ef是区域光滑能量，E_es是特征保持能量，ω₁为第一权重调节系数，ω₂为第二权重调节系数。

本发明的有益效果是：

本发明对输入三维模型的初始朝向不敏感，并可以施加用户对Polycube映射细节的控制，全自动优化出合适的polycube结构。相比背景技术，本发明采用的ARAP形变方法能得到形变更小的结果，本发明采用的一范数度量能得到和坐标轴对齐得更好的结果。

附图说明

图1是本发明方法的流程图。

图2是实施例兔子的初始封闭三角网格模型。

图3是实施例经过优化并抽取的兔子Polycube结构。

图4是实施例经过拓扑修改之后的兔子模型Polycube映射。

图5是实施例中相邻法向差异调节系数β取0.05的Polycube结构。

图6是实施例中相邻法向差异调节系数β取4的Polycube结构。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

如图1所示，本发明包括以下步骤：

1）将初始的封闭三角网格模型用Netgen软件转化成原始四面体网格模型；

2）施加旋转矩阵R得到对齐后的四面体网格模型，对齐后的四面体网格模型顶点坐标为X₀；

3）对拉格朗日-牛顿法进行修改，舍弃表面保面积约束C(X)的海森（Hessian），求解下述线性方程组来得到形变后的四面体网格顶点坐标X的增量ΔX，在对齐后的四面体网格模型顶点坐标X₀上累加增量ΔX得到形变后的四面体网格顶点坐标X：

$\left(\begin{array}{cc}H\left(X\right)& \▿C\left(X\right)\\ \▿C{\left(X\right)}^T& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\ΔX}\\ \mathrm{\λ}\end{array}\right)=\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}-g\left(X\right)\\ -C\left(X\right)\end{array}\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中g(X)为表示总能量的近似梯度，H(X)为表示总能量的近似海森Hessian，C(X)为表面保面积约束，λ为拉格朗日乘数，为表面保面积约束的雅克比矩阵(Jacobian)，为表面保面积约束雅克比矩阵的转置；

4）根据表面法向朝向和四面体网格形变中的保形要求以及用户对几何特征的控制，建立如公式2所示的能量方程，再用步骤3）中修改后的拉格朗日-牛顿法对公式2的能量方程进行优化，从而得到形变后的四面体网格；

$\left\{\begin{array}{c}{\arg \min }_X{E}_{\mathrm{total}}=\mathrm{\α}{E}_1\left(X\right)+E_{\mathrm{\δ}}\left(X\right)+E_{\mathrm{\η}}+E_e\left(X\right)\\ s.t.C\left(X\right)=0\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，X表示形变后的四面体网格顶点坐标，E_total为总能量，E₁(X)表示表面法向对齐能量，E_δ(X)表示四面体网格在形变过程中的保形约束，E_η(X)表示几何特征控制能量，E_e(X)表示与表面边相关的区域光滑及特征保持能量，α表示表面法向对齐能量调节权重，argmin_X表示以X为变量的最优化能量，s.t.表示在此约束下；

5）重复步骤2）～4）至形变后的四面体网格表面质量达到与表面保面积约束C(X)满足程度对应的要求；

6）从步骤5）中最终得到的形变后的四面体网格中抽取Polycube结构，修改其中的退化部分，得到Polycube映射。

所述的步骤2）中的旋转矩阵R通过对表面法向取面积加权的一范数，再沿表面积分得到全局法向对齐能量，同时约束旋转矩阵R为旋转变换，建立公式3求解得到：

${\arg \min }_R\frac{{\mathrm{\Σ}}_{b_i}{\left|\right|\mathrm{RA}(b_i,X)n(b_i,X)\left|\right|}_1}{{\mathrm{\Σ}}_{b_i}A(b_i,X)}+{\left|\right|R^{T}R-I\left|\right|}_2^2---\left(3\right)$

其中，b_i为三角形，A(b_i，X)代表三角形b_i在顶点坐标X下的面积，n(b_i，X)表示三角形b_i在顶点坐标X下归一化之后的法向，||.||₁表示L1范数，I为单位矩阵，argmin_R表示以R为变量的最优化能量。

所述的步骤3)中由于硬约束C(X)的海森（Hessian）可能不是半正定，所以不能直接用拉格朗日-牛顿法求解，为此所述的L1范数|x|通过以下公式4～公式6进行一种近似计算：

其中，ε为L1近似系数，为L1范数|x|的近似梯度，为x的梯度，为L1范数|x|的近似海森，x为任意向量，为一范数的近似值，为的转置。上述公式中，由于海森（Hessian）中第二项不一定是半正定的，为了提高数值稳定性，在此舍弃它，采用近似海森（Hessian）为公式4。

所述的步骤4）公式1中的表面法向对齐能量E₁(X)是对对齐后的四面体网格模型表面法向取面积加权的L1范数并沿表面积分得到的法向对齐能量，即采用公式7进行计算：

E₁(X)=Σ_bi||A(b_i，X)n(b_i，X)||₁（7）

其中，b_i为三角形，A(b_i，X)代表三角形b_i在顶点坐标X下的面积，n(b_i，X)表示三角形b_i在顶点坐标X下归一化之后的法向。

所述的步骤4）中的表面保面积约束C(X)用形变后的四面体网格的表面总面积与原始四面体网格模型的表面总面积相等作为硬约束，即采用公式8进行计算：

$C\left(X\right)={\mathrm{\Σ}}_{b_i}A(b_i,X)-{\mathrm{\Σ}}_{b_i}A(b_i,\stackrel{\‾}{X})---\left(8\right)$

其中，表示原始四面体网格模型的初始坐标，表示三角形b_i在顶点坐标X下的面积。

所述的步骤4）公式1中的四面体网格在形变过程中的保形约束E_δ(X)采用公式9进行计算，作为形变光顺程度的度量：

$E_{\mathrm{\δ}}\left(X\right)={\mathrm{\Σ}}_{t_i}\frac{1}{2}{\left|\right|G_{i}X-\mathrm{polar}\left(G_{i}X\right)\left|\right|}_F^2---\left(9\right)$

其中，t_i是每一个四面体，G_i是梯度算子，polar(.)表示通过极分解得到的旋转矩阵，||.||_F是Frobenius范数。上述的公式9采用“As-rigid-as-possible”方法，可参考[Alexaetal.2000As-rigid-aspossibleshapeinterpolation.InProceedingsofthe27^thannualconferenceonComputergraphicsandinteractivetechniques，ACMPress/Adison-WesleyPublishingCo.，157-164]。

所述的步骤4）公式1中的几何特征控制能量E_η(X)由公式10计算得到，

$E_{\mathrm{\η}}\left(X\right)={\mathrm{\Σ}}_{b_i,b_j\mathrm{adjacent}}\mathrm{\η}(b_i,b_j,X)/{\mathrm{\Σ}}_{b_k}A(b_k,\stackrel{\‾}{X})---\left(10\right)$

其中，b_i，b_jadjocent表示以边相邻的三角形b_i，b_j，b_k为三角形，带面积加权的相邻法向差异及防翻转控制项η(b_i，b_j，X)采用下列公式11计算得到，

$\mathrm{\η}(b_i,b_j,X)=\frac{A(b_i,\stackrel{\‾}{X})+A(b_j,\stackrel{\‾}{X})}{3}(\mathrm{\β}{\left|\right|n(b_i,X)-n(b_j,X)\left|\right|}_2^2-\mathrm{\γ}\log [1+n(b_i,X)\·$

$n(b_j,X)\left]\right)---\left(11\right)$

其中，β为相邻法向差异调节系数，通过调节β可以得到保留不同程度细节的polycube结果，如图5-6所示，γ为防翻转控制调节系数，为在坐标下三角形b_j的面积，n(b_j，X)为在坐标X下三角形b_j的法向。

所述的步骤4）公式1中的与表面边相关的区域光滑及特征保持能量E_e(X)由公式12～公式14计算得到，

E_e(X)=ω₁E_ef(X)+ω₂E_es(X)（12）

E_ef(X)=Σ[n(b_i，X)·n(b_j，X)-1]²（13）

E_es(X)=Σ[n(b_i，X)·n(b_j，X)]²（14）

其中，E_ef是区域光滑能量，E_es是特征保持能量，ω₁为第一权重调节系数，ω₂为第二权重调节系数。用户可以选择需要光滑的区域（模型表面部分三角形集合），在该区域上施加区域光滑能量，通过调节ω₁可以控制该区域的光滑程度。用户可以在需要保持特征的区域（模型表面部分边集合）添加特征保持能量，通过调节ω₂控制特征的保持程度。

所述的步骤3）的公式1中，由于是稠密的，在此采用Schurcomplement法[可参考Benzietal.2005Numericalsolutionofsaddlepointproblems.Actanumerica14，1,1-137]来求解上述线性系统，如公式：

$\mathrm{\λ}=-\frac{\▿C{\left(X\right)}^{T}H{\left(X\right)}^{-1}g\left(X\right)+C\left(X\right)}{\▿C{\left(X\right)}^{T}H{\left(X\right)}^{-1}\▿C\left(X\right)}---\left(15\right)$

$\mathrm{\ΔX}+-H{\left(X\right)}^{-1}g\left(X\right)-\mathrm{\λH}{\left(X\right)}^{-1}\▿C\left(X\right)---\left(16\right)$

所述的步骤4）公式2中的表面法向对齐能量调节权重α，由于表面三角形法向和坐标轴对齐要求会变得很大，但过大的α会影响其他能量项的作用，并且会使解陷入局部最小解，无法跳出。这里采用动态权重的方法，从较小的权重α=0.1开始优化，每步优化完后，增大α，α_k+1=2*α_k，并跳转步骤2。α_k，α_k+1分别表示第k，k+1步的α。每一步的收敛条件用残差的变化来衡量。记∈_j为第j个迭代后的残差，第i个迭代后的残差变化为Δ∈_i=|∈i-∈_i-1|，每一步的收敛条件为连续5个迭代的残差变化和小于初始残差∈₀的百分之一： 跳出α权重倍增循环的条件为达到预设循环次数或者满足全局收敛条件∈＜0.001。

所述的步骤5）中形变后的四面体网格表面质量达到与表面保面积约束C(X)满足程度对应的要求由公式17与公式18给出：

$d\left(\stackrel{\&OverBar;}{X}\right)<\&Element;---\left(17\right)$

$d\left(\stackrel{\&OverBar;}{X}\right)={\mathrm{\&Sigma;}}_{b_i}A(b_i,X){\left|\right|n(b_i,X)\left|\right|}_1-{\mathrm{\&Sigma;}}_{b_i}A(b_i,X)---\left(18\right)$

其中，表示与表面保面积约束C(X)满足程度对应的要求，∈是全局收敛系数。

所述步骤6）中抽取Polycube结构，并修改其中导致退化部分的方法如下：

根据表面每个三角形法向对齐轴不同，为每个表面三角形标记类型[可参考Gregsonetat.2011All-hexmeshgenerationviavolumetricpolycubedeformation.InComputergraphicsforum，vol.30，WileyOnlineLibrary，1407-1416]，以此抽取Polycube结构。在抽取出来的Polycube结果中，可能含有会导致四面体网格退化的部分，在此用一系列拓扑修改策略来修改：

a）根据每个三角形的类型不同，将表面三角形分成若干块，每一块中的三角形有相同的法向对齐类型，在块与块的边界上，用“straighten”法修改三角形的类型以去除退化。[可参考Gregsonetat.2011All-hexmeshgenerationviavolumetricpolycubedeformation.InComputergraphicsforum，vol.30，WileyOnlineLibrary，1407-1416]

b）对表面的块建立对偶图，根据每一块p的入度不同，分别处理：

i.对入度为1的块，将它的类型改为为与之相邻的块类型。

ii.对入度为2的块，在与之相邻的两块中寻找一个有较长公共边的块p_i，把块p的类型更改为p_i的类型。

c）为了使模型表面符合拓扑修改之后的类型，以修改之后的表面类型作为表面法向约束和E_δ联列建立优化方程，优化模型，得到最终形变后四面体网格。其中，表面法向约束为线性约束，即约束属于同一块的顶点在法向方向的坐标值相等。

本发明实施例如下：

1）采用兔子模型，输入兔子的初始封闭三角网格模型，并用Netgen软件转化成原始四面体网格模型，如图2；

2）施加旋转矩阵R得到对齐后的四面体网格模型，对齐后的四面体网格模型顶点坐标为X₀，其中L1近似系数ε取0.5；

3）对拉格朗日-牛顿法进行修改，舍弃表面保面积约束C(X)的海森（Hessian），求解下述线性方程组来得到形变后的四面体网格顶点坐标X的增量ΔX，在对齐后的四面体网格模型顶点坐标X₀上累加增量ΔX得到形变后的四面体网格顶点坐标X；

4）根据表面法向朝向和四面体网格形变中的保形要求以及用户对几何特征的控制，表面法向对齐坐标轴，内部四面体形变光顺等要求，建立如公式2所示的能量方程，再用步骤3）中修改后的拉格朗日-牛顿法对公式2的能量方程进行优化，从而得到形变后的四面体网格，其中兔子的表面法向对齐能量调节权重α取0.1，相邻法向差异调节系数β取8，防翻转控制调节系数γ设为1/100，选用不同的相邻法向差异调节系数β可以得到保留不同细节程度的polycube结构，如图5，图6所示，图5中β取0.05，图6中β取4；

5）重复步骤2）～4）至形变后的四面体网格表面质量达到与表面保面积约束C(X)满足程度对应的要求，其中全局收敛系数∈取0.001；

6）由最终得到的形变后的四面体网格中抽取polycube结构，得到如图3的兔子polycube结构，修改表面拓扑以去除退化，最终如图4。

上述具体实施方式用来解释说明本发明，而不是对本发明进行限制，在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法，其特点在于，包含如下步骤：

1)将初始的封闭三角网格模型用Netgen软件转化成原始四面体网格模型；

2)施加旋转矩阵R得到对齐后的四面体网格模型，对齐后的四面体网格模型顶点坐标为X₀；

3)对拉格朗日-牛顿法进行修改，舍弃表面保面积约束C(X)的海森，求解下述线性方程组来得到形变后的四面体网格顶点坐标X的增量ΔX，在对齐后的四面体网格模型顶点坐标X₀上累加增量ΔX得到形变后的四面体网格顶点坐标X：

其中g(X)为表示总能量的近似梯度，H(X)为表示总能量的近似海森，C(X)为表面保面积约束，λ为拉格朗日乘数，为表面保面积约束的雅克比矩阵，为表面保面积约束雅克比矩阵的转置；

4)根据表面法向朝向和四面体网格形变中的保形要求以及用户对几何特征的控制，建立如公式2所示的能量方程，再用步骤3)中修改后的拉格朗日-牛顿法对公式2的能量方程进行优化，从而得到形变后的四面体网格；

其中，X表示形变后的四面体网格顶点坐标，E_total为总能量，E₁(X)表示表面法向对齐能量，E_δ(X)表示四面体网格在形变过程中的保形约束，E_η(X)表示几何特征控制能量，E_e(X)表示与表面边相关的区域光滑及特征保持能量，α表示表面法向对齐能量调节权重，argmin_X表示以X为变量的最优化能量，s.t.表示在约束下；

5)重复步骤2)～4)至形变后的四面体网格表面质量达到与表面保面积约束C(X)满足程度对应的要求；

6)从步骤5)中最终得到的形变后的四面体网格中抽取Polycube结构，修改其中的退化部分，得到Polycube映射。

2.根据权利要求1所述的一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法，其特征在于：所述的步骤2)中的旋转矩阵R通过对表面法向取面积加权的一范数，再沿表面积分得到全局法向对齐能量，同时约束旋转矩阵R为旋转变换，建立公式3求解得到：

其中，b_i为三角形，A(b_i,X)代表三角形b_i在顶点坐标X下的面积，n(b_i,X)表示三角形b_i在顶点坐标X下归一化之后的法向，‖.‖₁表示L1范数，I为单位矩阵，argmin_R表示以R为变量的最优化能量。

3.根据权利要求2所述的一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法，其特征在于：所述的L1范数|x|通过以下公式4～公式6进行一种近似计算：

其中，ε为L1近似系数，为一范数|x|的近似梯度，为x的梯度，为L1范数|x|的近似海森，x为任意向量，为一范数的近似值，为的转置。

4.根据权利要求1所述的一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法，其特征在于：所述的步骤4)公式2中的表面法向对齐能量E₁(X)是对对齐后的四面体网格模型表面法向取面积加权的L1范数并沿表面积分得到的法向对齐能量，即采用公式7进行计算：

其中，b_i为三角形，A(b_i,X)代表三角形b_i在顶点坐标X下的面积，n(b_i,X)表示三角形b_i在顶点坐标X下归一化之后的法向。

5.根据权利要求1所述的一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法，其特征在于：所述的步骤4)中的表面保面积约束C(X)用形变后的四面体网格的表面总面积与原始四面体网格模型的表面总面积相等作为硬约束，即采用公式8进行计算：

其中，表示原始四面体网格模型的初始坐标，表示在坐标下b_i的面积。

6.根据权利要求1所述的一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法，其特征在于：所述的步骤4)公式2中的四面体网格在形变过程中的保形约束E_δ(X)采用公式9进行计算，作为形变光顺程度的度量：

其中，t_i是每一个四面体，G_i是梯度算子，polar(.)表示通过极分解得到的旋转矩阵，‖.‖_F是Frobenius范数。

7.根据权利要求1所述的一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法，其特征在于：所述的步骤4)公式2中的几何特征控制能量E_η(X)由公式10计算得到，

其中，b_i,b_jadjacent表示以边相邻的三角形b_i,b_j，b_k为三角形，带面积加权的相邻法向差异及防翻转控制项η(b_i,b_j,X)采用下列公式11计算得到，

其中，β为相邻法向差异调节系数，γ为防翻转控制调节系数，为在坐标下三角形b_j的面积，n(b_j,X)为在坐标X下三角形b_j的法向。

8.根据权利要求1所述的一种基于一范数优化的Polycube可控生成方法，其特征在于：所述的步骤4)公式2中的与表面边相关的区域光滑及特征保持能量E_e(X)由公式12～公式14计算得到：

E_e(X)＝ω₁E_ef(X)+ω₂E_es(X)(12)

E_ef(X)＝∑[n(b_i,X)·n(b_j,X)-1]²(13)

E_es(X)＝∑[n(b_i,X)·n(b_j,X)]²(14)

其中，E_ef是区域光滑能量，E_es是特征保持能量，ω₁为第一权重调节系数，ω₂为第二权重调节系数。