CN103344198B - 用于微小球面表面轮廓检测的测量仪及测量方法 - Google Patents

Abstract

一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪及测量方法，涉及光学检测领域。解决了传统时域移相干涉测量装置存在单次测量检测范围过小和测量精度低的问题。它包括短相干激光器、空间滤波器、分光棱镜、直角反射镜、偏振分光棱镜、λ/4波片、4f扩束系统、显微物镜、平面反射镜、角锥棱镜、移相器、光纤耦合镜、单模光纤和光纤准直镜、λ/2波片、偏振分光棱镜、偏振片、面阵CCD和计算机，通过计算机控制移相器使面阵CCD获得四幅干涉图样，计算机通过干涉图样获得干涉图像间的定位关系，从而求解出干涉场内每一像素点对应的初始相位差，进而求出光程差，实现球面形貌测量。本发明适用于微小球面表面轮廓检测。

Description

用于微小球面表面轮廓检测的测量仪及测量方法

技术领域

本发明涉及光学检测领域，具体涉及光学检测空间物体三维形貌的技术领域。

背景技术

微小球面作为最常用的元器件形态之一，被应用于航天、军事、工业、医疗等诸多领域，其表面面型精度对其性能有着至关重要的影响。传统的检测手段，如原子力显微镜、共聚焦显微镜等虽然具有很高的纵向测量精度，当单次测量范围非常小，且需要配合高精度机械扫描运动装置才能实现整体三维形貌测量，受机械运动误差影响严重，同时由于采用单点式扫描测量，存在检测效率低、横向分辨能力差、孤立缺陷点容易遗漏等问题。而检测范围相对较大的干涉式测量方法又需要理想球面作为参考面，存在着参考面精度不高，制造困难等问题。此外，传统移相干涉测量方法对杂散光干扰、环境振动、空气扰动等因素较为敏感，影响干涉系统的测量精度。

发明内容

本发明为了解决传统时域移相干涉测量装置存在单次测量检测范围过小和测量精度低的问题，提供了一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪及测量方法。

一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪，它包括短相干激光器、空间滤波器、分光棱镜、直角反射镜、一号偏振分光棱镜、λ/4波片、4f扩束系统、显微物镜、平面反射镜、角锥棱镜、移相器、光纤耦合镜、单模光纤和光纤准直镜、λ/2波片、二号偏振分光棱镜、偏振片、面阵CCD和计算机，短相干激光器发射出的线偏振激光束经空间滤波器滤波扩束后入射至分光棱镜，线偏振激光束经分光棱镜分为第一反射光和第一透射光，第一反射光入射至一号偏振分光棱镜，第一反射光在一号偏振分光棱镜的分光面上完全透射形成第二透射光，第二透射光经λ/4波片改变偏振方向后入射至4f扩束系统，改变偏振方向的第二透射光经入射至4f扩束系统，经4f扩束系统扩束后入射至显微物镜，扩束的第二透射光经显微物镜会聚到被测微球的表面，

会聚的第二透射光的光束会聚中心与被测微球的球心重合，并经被测微球沿会聚的第二透射光的光路反向入射至4f扩束系统，反向的第二透射光经4f扩束系统处理后经λ/4波片入射至一号偏振分光棱镜，反向的第二透射光在一号偏振分光棱镜的分光面上完全反射，形成第二反射光，第二反射光垂直入射至平面反射镜，平面反射镜将第二反射光原路反射，形成第三反射光，第三反射光入射至一号偏振分光棱镜，第三反射光在一号偏振分光棱镜的分光面上完全反射，形成第四反射光，第四反射光经λ/4波片改变偏振方向和4f扩束系统扩束后入射至显微物镜，扩束的第四反射光经显微物镜会聚到被测微球的表面，

会聚的第四反射光的光束会聚中心与被测微球的球心重合，并经被测微球沿会聚的第四反射光的光路反向入射至4f扩束系统，反向的第四反射光经4f扩束系统处理后经λ/4波片入射至一号偏振分光棱镜，反向的第四反射光在一号偏振分光棱镜的分光面上完全透射形成第三透射光，第三透射光入射至分光棱镜，第三透射光在分光棱镜的分光面上完全透射形成第四透射光，第四透射光经λ/2波片改变偏振方向后入射至二号偏振分光棱镜，改变偏振方向的第四透射光在二号偏振分光棱镜的分光面上完全透射形成第五透射光，

第一透射光入射至直角反射镜，第一透射光经直角反射镜和角锥棱镜的反射后形成第五反射光，移相器安装在角锥棱镜上，将第五反射光入射至光纤耦合镜进行耦合，耦合的第五反射光经单模光纤入射至光纤准直镜进行准直，将准直后的第五反射光入射至二号偏振分光棱镜并在二号偏振分光棱镜的分光面上完全反射形成第六反射光，第六反射光与第五透射光在二号偏振分光棱镜的分光面上合束，形成合束光束，

合束光束入射至偏振片，合束光束经偏振片进行检偏后入射至面阵CCD，计算机的图像信号输入端与面阵CCD的图像信号输出端连接。

一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪的测量方法的区别在于，它是由以下方式实现的：

所述合束光束经偏振片进行检偏并产生相干光后射在面阵CCD上，通过计算机控制移相器移动，使面阵CCD接收相干光并产生明暗变化的干涉图样，根据短相干激光器发射的激光的波长确定移相器每次移动的距离，计算机控制移相器移动三次，每次移动π/2步长，面阵CCD采集到四幅干涉图样，干涉场光强分布表示为：

I_（x,y)=A_(x,y)[1+γ_(x,y)cos(φ_(x,y)+ψ)]

式中，(x,y)为面阵CCD上的像素坐标，A_(x,y)为条纹光强的直流分量，γ_(x,y)为条纹的对比度，φ_(x,y)为第一反射光与第一透射光的初始相位差，ψ为引入的相位可变量；

令移相器实际移相步长为(1-ε)×π/2，其中，ε为线性误差因子，以初始第一帧为基准，则移相器的移相量分别为0、(1-ε)×π/2、2×(1-ε)×π/2和3×(1-ε)×π/2，令(1-ε)×π/2＝β，得到四帧光强方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_{1(x,y)}=A_{(x,y)}\[1+{\mathrm{\γ}}_{(x,y)}\·\cos ({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+0\·\mathrm{\β})\]\\ I_{2(x,y)}=A_{(x,y)}\[1+{\mathrm{\γ}}_{(x,y)}\·\cos ({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+1\·\mathrm{\β})\]\\ I_{3(x,y)}=A_{(x,y)}\[1+{\mathrm{\γ}}_{(x,y)}\·\cos ({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+2\·\mathrm{\β})\]\\ I_{4(x,y)}=A_{(x,y)}\[1+{\mathrm{\γ}}_{(x,y)}\·\cos ({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+3\·\mathrm{\β})\]\end{array}\right.$

由前三帧的方程解得：

$tan({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+\mathrm{\β})=tan(\mathrm{\β}/2)\·\frac{I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}{2I_{2(x,y)}-I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}$

由后三帧的方程解得：

$tan({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+2\mathrm{\β})=tan(\mathrm{\β}/2)\·\frac{I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}{2I_{3(x,y)}-I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}$

令 $\frac{I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}{2I_{2(x,y)}-I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}=I_a,\frac{I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}{2I_{3(x,y)}-I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}=I_b,$

公式变形为：

tan(φ_(x,y)+β)=tan(β/2)·I_a

tan(φ_(x,y)+2β)=tan(β/2)·I_b

将上述两个变形后的公式联立解得：

${\mathrm{\φ}}_{(x,y)}=\arctan (\sqrt{\frac{I_a-I_b+2}{I_a-I_b-2\·I_a\·I_b}}\·I_a)-2\·\arctan \left(\sqrt{\frac{I_a-I_b+2}{I_a-I_b-2\·I_a\·I_b}}\right)$

进而计算出测量表面偏离理想参考面的高度差：

λ为短相干激光器发射激光的波长，计算出测量表面偏离理想参考面的高度差△H_(x,y)，将该高度差作为球面形貌的检测结果，完成对球面形貌的检测。

有益效果：本发明利用4f扩束系统将光束进行扩束后，实现了以被测微小球面上的球冠为单次检测范围，从而增大了单次测量的覆盖面积的目的；采用偏振分光棱镜结合平面反射镜及λ/4波片的光路结构，实现测量光束在被测微球表面与平面反射镜间的一次折返，从而实现被测表面对测量波前的二次调制，同时由高精度光学移相器带动角锥棱镜运动，实现移相操作，同时，通过采用线性误差免疫的相位解算方法，能够提取出精确的相位信息，使检测精度提高了一倍以上。

附图说明

图1为一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪的结构示意图。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1说明本具体实施方式，一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪，它包括短相干激光器1、空间滤波器2、分光棱镜3、直角反射镜4、偏振分光棱镜5、λ/4波片6、4f扩束系统7、显微物镜8、平面反射镜9、角锥棱镜10、移相器11、光纤耦合镜12、单模光纤13和光纤准直镜14、λ/2波片15、偏振分光棱镜16、偏振片17、面阵CCD18和计算机19，短相干激光器1发射出的线偏振激光束经空间滤波器2滤波扩束后入射至分光棱镜3，线偏振激光束经分光棱镜3分为第一反射光和第一透射光，第一反射光入射至偏振光分棱镜5，第一反射光在偏振光分棱镜5的分光面上完全透射形成第二透射光，第二透射光经λ/4波片6改变偏振方向后入射至4f扩束系统7，改变偏振方向的第二透射光经入射至4f扩束系统7，经4f扩束系统7扩束后入射至显微物镜8，扩束的第二透射光经显微物镜8会聚到被测微球的表面，

会聚的第二透射光的光束会聚中心与被测微球的球心重合，并经被测微球沿会聚的第二透射光的光路反向入射至4f扩束系统7，反向的第二透射光经4f扩束系统7处理后经λ/4波片6入射至偏振光分棱镜5，反向的第二透射光在偏振光分棱镜5的分光面上完全反射，形成第二反射光，第二反射光垂直入射至平面反射镜9，平面反射镜9将第二反射光原路反射，形成第三反射光，第三反射光入射至偏振光分棱镜5，第三反射光在偏振分光棱镜5的分光面上完全反射，形成第四反射光，第四反射光经λ/4波片6改变偏振方向和4f扩束系统7扩束后入射至显微物镜8，扩束的第四反射光经显微物镜8会聚到被测微球的表面，

会聚的第四反射光的光束会聚中心与被测微球的球心重合，并经被测微球沿会聚的第四反射光的光路反向入射至4f扩束系统7，反向的第二透射光经4f扩束系统7处理后经λ/4波片6入射至偏振光分棱镜5，反向的第四反射光在偏振光分棱镜5的分光面上完全透射形成第三透射光，第三透射光入射至分光棱镜3，第三透射光在分光棱镜3的分光面上完全透射形成第四透射光，第四透射光经λ/2波片15改变偏振方向后入射至偏振分光棱镜16，改变偏振方向的第四透射光在偏振分光棱镜16的分光面上完全透射形成第五透射光，

第一透射光入射至直角反射镜4，第一透射光经直角反射镜4和角锥棱镜10的反射后形成第五反射光，移相器11安装在角锥棱镜10上，将第五反射光入射至光纤耦合镜12进行耦合，耦合的第五反射光经单模光纤13入射至光纤准直镜14进行准直，将准直后的第五反射光入射至偏振分光棱镜16并在偏振分光棱镜16的分光面上完全反射形成第六反射光，第六反射光与第五透射光在偏振分光棱镜16的分光面上合束，形成合束光束，

合束光束入射至偏振片17，合束光束经偏振片17进行检偏后入射至面阵CCD18，计算机19的图像信号输入端与面阵CCD18的图像信号输出端连接。

本实施方式中，通过采用偏振分光棱镜5结合平面反射镜10及λ/4波片6的光路结构，实现测量光束在被测微球9表面与平面反射镜10间的一次折返，从而实现被测微球9表面对测量波前的二次调制，获得更高的检测精度。

本实施方式所述的短相干激光器1发射的激光波长为523nm，输出功率为300mw，十小时功率稳定性小于1％。

本实施方式所述的显微物镜8放大倍率为10倍，数值孔径为0.3。

本实施方式所述的计算机20为专业工控机。

具体实施方式二、本实施方式与具体实施方式一所述的一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪的区别在于，所述移相器11的移相控制信号输入端与计算机19的移相控制信号的移相控制信号输出端连接。

本实施方式所述的移相器12的运动精度为0.1nm，行程为2μm，通过移相器12带动角锥棱镜11运动，实现移相操作，从而提取出更为精确地相位信息。

具体实施方式三、本实施方式与具体实施方式一所述的一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪的区别在于，所述单模光纤13的纤芯直径为1.5μm-2μm。

本实施方式所述的单模光纤14的纤芯很细，因此单模光纤14自身就具有良好的滤波作用，同时利用光纤的弯曲损失特性，恰好消除空间波前失真。

具体实施方式四、本实施方式与具体实施方式一所述的一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪的区别在于，所述的面阵CCD18的分辨率为2048×2048，像元尺寸为7μm，最大支持位深为10位。

具体实施方式五、本实施方式与具体实施方式一至四任一项所述的一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪的测量方法的区别在于，它是由以下方式实现的：

所述合束光束经偏振片17进行检偏并产生相干光后射在面阵CCD18上，通过计算机19控制移相器11移动，使面阵CCD18接收相干光并产生明暗变化的干涉图样，根据短相干激光器1发射的激光的波长确定移相器11每次移动的距离，计算机19控制移相器11移动三次，每次移动π/2步长，面阵CCD18采集到四幅干涉图样，干涉场光强分布表示为：

式中，(x,y)为面阵CCD18上的像素坐标，A_(x,y)为条纹光强的直流分量，γ_(x,y)为条纹的对比度，φ_(x,y)为第一反射光与第一透射光的初始相位差，ψ为引入的相位可变量；

令移相器11实际移相步长为(1-ε)×π/2，其中，ε为线性误差因子，以初始第一帧为基准，则移相器11的移相量分别为0、(1-ε)×π/2、2×(1-ε)×π/2和3×(1-ε)×π/2，令(1-ε)×π/2＝β，得到四帧光强方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_{1(x,y)}=A_{(x,y)}\[1+\mathrm{\γ}(x,y)\·cos({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+0\·\mathrm{\β})\]\\ I_{2(x,y)}=A_{(x,y)}\[1+\mathrm{\γ}(x,y)\·\cos ({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+1\·\mathrm{\β})\]\\ I_{3(x,y)}=A_{(x,y)}\[1+\mathrm{\γ}(x,y)\·\cos ({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+2\·\mathrm{\β})\]\\ I_{4(x,y)}=A_{(x,y)}\[1+\mathrm{\γ}(x,y)\·\cos ({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+3\·\mathrm{\β})\]\end{array}\right.$

由前三帧的方程解得：

$tan({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+\mathrm{\β})=tan(\mathrm{\β}/2)\·\frac{I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}{2I_{2(x,y)}-I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}$

由后三帧的方程解得：

$tan({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+2\mathrm{\β})=tan(\mathrm{\β}/2)\·\frac{I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}{2I_{3(x,y)}-I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}$

令 $\frac{I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}{2I_{2(x,y)}-I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}=I_a,\frac{I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}{2I_{3(x,y)}-I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}=I_b,$

公式变形为：

tan(φ_(x,y)+β)=tan(β/2)·I_a

tan(φ_(x,y)+2β)=tan(β/2)·I_b

将上述两个变形后的公式联立解得：

${\mathrm{\φ}}_{(x,y)}=\arctan (\sqrt{\frac{I_a-I_b+2}{I_a-I_b-2\·I_a\·I_b}}\·I_a)-2\·\arctan \left(\sqrt{\frac{I_a-I_b+2}{I_a-I_b-2\·I_a\·I_b}}\right)$

进而计算出测量表面偏离理想参考面的高度差：

λ为短相干激光器1发射激光的波长，计算出测量表面偏离理想参考面的高度差△H_(x,y)，将该高度差作为球面形貌的检测结果，完成对球面形貌的检测。

Claims (5)

1.一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪，其特征在于，它包括短相干激光器(1)、空间滤波器(2)、分光棱镜(3)、直角反射镜(4)、一号偏振分光棱镜(5)、λ/4波片(6)、4f扩束系统(7)、显微物镜(8)、平面反射镜(9)、角锥棱镜(10)、移相器(11)、光纤耦合镜(12)、单模光纤(13)和光纤准直镜(14)、λ/2波片(15)、二号偏振分光棱镜(16)、偏振片(17)、面阵CCD(18)和计算机(19)，短相干激光器(1)发射出的线偏振激光束经空间滤波器(2)滤波扩束后入射至分光棱镜(3)，线偏振激光束经分光棱镜(3)分为第一反射光和第一透射光，第一反射光入射至一号偏振分光棱镜(5)，第一反射光在一号偏振分光棱镜(5)的分光面上完全透射形成第二透射光，第二透射光经λ/4波片(6)改变偏振方向后入射至4f扩束系统(7)，改变偏振方向的第二透射光经入射至4f扩束系统(7)，经4f扩束系统(7)扩束后入射至显微物镜(8)，扩束的第二透射光经显微物镜(8)会聚到被测微球的表面，

会聚的第二透射光的光束会聚中心与被测微球的球心重合，并经被测微球沿会聚的第二透射光的光路反向入射至4f扩束系统(7)，反向的第二透射光经4f扩束系统(7)处理后经λ/4波片(6)入射至一号偏振分光棱镜(5)，反向的第二透射光在一号偏振分光棱镜(5)的分光面上完全反射，形成第二反射光，第二反射光垂直入射至平面反射镜(9)，平面反射镜(9)将第二反射光原路反射，形成第三反射光，第三反射光入射至一号偏振分光棱镜(5)，第三反射光在一号偏振分光棱镜(5)的分光面上完全反射，形成第四反射光，第四反射光经λ/4波片(6)改变偏振方向和4f扩束系统(7)扩束后入射至显微物镜(8)，扩束的第四反射光经显微物镜(8)会聚到被测微球的表面，

会聚的第四反射光的光束会聚中心与被测微球的球心重合，并经被测微球沿会聚的第四反射光的光路反向入射至4f扩束系统(7)，反向的第四反射光经4f扩束系统(7)处理后经λ/4波片(6)入射至一号偏振分光棱镜(5)，反向的第四反射光在一号偏振分光棱镜(5)的分光面上完全透射形成第三透射光，第三透射光入射至分光棱镜(3)，第三透射光在分光棱镜(3)的分光面上完全透射形成第四透射光，第四透射光经λ/2波片(15)改变偏振方向后入射至二号偏振分光棱镜(16)，改变偏振方向的第四透射光在二号偏振分光棱镜(16)的分光面上完全透射形成第五透射光，

第一透射光入射至直角反射镜(4)，第一透射光经直角反射镜(4)和角锥棱镜(10)的反射后形成第五反射光，移相器(11)安装在角锥棱镜(10)上，将第五反射光入射至光纤耦合镜(12)进行耦合，耦合的第五反射光经单模光纤(13)入射至光纤准直镜(14)进行准直，将准直后的第五反射光入射至二号偏振分光棱镜(16)并在二号偏振分光棱镜(16)的分光面上完全反射形成第六反射光，第六反射光与第五透射光在二号偏振分光棱镜(16)的分光面上合束，形成合束光束，

合束光束入射至偏振片(17)，合束光束经偏振片(17)进行检偏后入射至面阵CCD(18)，计算机(19)的图像信号输入端与面阵CCD(18)的图像信号输出端连接。

2.根据权利要求1所述的一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪，其特征在于，移相器(11)的移相控制信号输入端与计算机(19)的移相控制信号的移相控制信号输出端连接。

3.根据权利要求1所述的一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪，其特征在于，所述单模光纤(13)的纤芯直径为1.5μm-2μm。

4.根据权利要求1所述的一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪，其特征在于，所述面阵CCD(18)的分辨率为2048×2048，像元尺寸为7μm，最大支持位深为10位。

5.根据权利要求1-4任一项所述的一种用于微小球面表面轮廓检测的倍程式移相衍射干涉测量仪的测量方法，其特征在于，它是由以下方式实现的：

所述合束光束经偏振片(17)进行检偏并产生相干光后射在面阵CCD(18)上，通过计算机(19)控制移相器(11)移动，使面阵CCD(18)接收相干光并产生明暗变化的干涉图样，根据短相干激光器(1)发射的激光的波长确定移相器(11)每次移动的距离，计算机(19)控制移相器(11)移动三次，每次移动π/2步长，面阵CCD(18)采集到四幅干涉图样，干涉场光强分布表示为：

I_(x,y)＝A_(x,y)[1+γ_(x,y)cos(φ_(x,y)+ψ)]

式中，(x,y)为面阵CCD(18)上的像素坐标，A_(x,y)为条纹光强的直流分量，γ_(x,y)为条纹的对比度，φ_(x,y)为第一反射光与第一透射光的初始相位差，ψ为引入的相位可变量；

令移相器(11)实际移相步长为(1-ε)×π/2，其中，ε为线性误差因子，以初始第一帧为基准，则移相器(11)的移相量分别为0、(1-ε)×π/2、2×(1-ε)×π/2和3×(1-ε)×π/2，令(1-ε)×π/2＝β，得到四帧光强方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_{1\left(x,y\right)}=A_{\left(x,y\right)}\[1+{\mathrm{\γ}}_{\left(x,y\right)}\·\cos \left({\mathrm{\φ}}_{\left(x,y\right)}+0\·\mathrm{\β}\right)\]\\ I_{2\left(x,y\right)}=A_{\left(x,y\right)}\[1+{\mathrm{\γ}}_{\left(x,y\right)}\·\cos \left({\mathrm{\φ}}_{\left(x,y\right)}+1\·\mathrm{\β}\right)\]\\ I_{3\left(x,y\right)}=A_{\left(x,y\right)}\[1+{\mathrm{\γ}}_{\left(x,y\right)}\·\cos \left({\mathrm{\φ}}_{\left(x,y\right)}+2\·\mathrm{\β}\right)\]\\ I_{4\left(x,y\right)}=A_{\left(x,y\right)}\[1+{\mathrm{\γ}}_{\left(x,y\right)}\·\cos \left({\mathrm{\φ}}_{\left(x,y\right)}+3\·\mathrm{\β}\right)\]\end{array}\right.$

由前三帧的方程解得：

$tan({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+\mathrm{\β})=tan(\mathrm{\β}/2)\·\frac{I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}{2I_{2(x,y)}-I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}$

由后三帧的方程解得：

$tan({\mathrm{\φ}}_{(x,y)}+2\mathrm{\β})=tan(\mathrm{\β}/2)\·\frac{I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}{2I_{3(x,y)}-I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}$

令 $\frac{I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}{2I_{2(x,y)}-I_{1(x,y)}-I_{3(x,y)}}=I_a,\frac{I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}{2I_{3(x,y)}-I_{2(x,y)}-I_{4(x,y)}}=I_b,$

公式变形为：

tan(φ_(x,y)+β)＝tan(β/2)·I_a

tan(φ_(x,y)+2β)＝tan(β/2)·I_b

将上述两个变形后的公式联立解得：

${\mathrm{\φ}}_{(x,y)}=arctan(\sqrt{\frac{I_a-I_b+2}{I_a-I_b-2\·I_a\·I_b}}\·I_a)-2\·arctan\left(\sqrt{\frac{I_a-I_b+2}{I_a-I_b-2\·I_a\·I_b}}\right)$

进而计算出测量表面偏离理想参考面的高度差：

λ为短相干激光器(1)发射激光的波长，计算出测量表面偏离理想参考面的高度差△H_(x,y)，将该高度差作为球面形貌的检测结果，完成对球面形貌的检测。