CN103267106A - 具有斐波那契螺旋线齿形的斜齿圆柱齿轮 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有斐波那契螺旋线齿形的斜齿圆柱齿轮。该斜齿圆柱齿轮从齿根圆到齿顶圆的端面齿形为斐波那契螺旋线齿形，即压力角a＝17°～28°的一段为斐波那契螺旋线。本发明与相同分度圆直径的渐开线齿形相比，斐波那契齿形具有更大的曲率半径，由此能有效减小接触应力，提高齿轮的接触疲劳强度，从而延长齿轮的使用寿命，提高齿轮承载能力；与相同曲率半径的渐开线齿形相比，斐波那契齿形的分度圆半径更小，因此齿轮尺寸更小，重量更轻，齿轮高速运转时转动惯量小、噪音小、运转平稳，能很好地满足齿轮的高速需求；斐波那契齿形通过对齿宽的限定，能提高其重合度，保证齿轮的连续传动条件，同时也增大啮合接触面积，提高齿轮承载能力。

Description

具有斐波那契螺旋线齿形的斜齿圆柱齿轮

技术领域

本发明涉及一种用于传送运动的齿轮，尤其是涉及一种具有斐波那契螺旋线齿形的斜齿圆柱齿轮。

背景技术

随着机械设备向重载和高速发展方向，缩小机件尺寸、提高它的承载能力已成为亟待解决的问题。众所周知，齿轮啮合点的曲率半径越大，所受的接触应力越小，齿轮的承载能力越高。而另一方面，而为了保证其高速运转的平稳性，齿轮的尺寸不宜过大。然而对于渐开线齿轮而言，由于其曲率半径受齿轮尺寸大小的限制，它已经难以满足现在日益提高的高速和重载需求。因此如何研究出新型齿形使其在齿轮尺寸一定情况下曲率半径尽可能大，是解决问题的关键。

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……，在数学上，可以用关于黄金分割数φ的第n个斐波那契数公式来表示：

$E_n=\frac{{\mathrm{\φ}}^n-{(1-\mathrm{\φ})}^n}{\sqrt{5}},n\∈N---\left(1\right)$

$\mathrm{\φ}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618043......\left(2\right)$

以斐波那契数列为半径的四分之一圆弧前后相连接而成即为斐波那契螺旋线。该螺旋线的曲率半径相对较大，这为研究一种能满足高速与重载条件的新型的齿形提供了思路。

发明内容

本发明的目的在于提供一种具有斐波那契螺旋线齿形的斜齿圆柱齿轮，斐波那契齿形在齿轮尺寸一定的情况下能达到较大的曲率半径，从而能提高齿轮的承载能力，提高齿轮的高速运转性能。

本发明采用的技术方案是：

发明的圆柱齿轮从齿根圆到齿顶圆的端面齿形为斐波那契螺旋线齿形，即压力角a＝17°～28°的一段为斐波那契螺旋线，。

所述的斐波那契螺旋线由以下的公式（1）确定；

$\left\{\begin{array}{c}x=\cos (\mathrm{\θ}+\frac{\mathrm{\π}}{2}n)F_n+x_n^{\′}\\ y=\sin (\mathrm{\θ}+\frac{\mathrm{\π}}{2}n)F_n+y_n^{\′}\end{array}\right.,\mathrm{\θ}\∈[0,\frac{\mathrm{\π}}{2}]---\left(1\right)$

公式（1）中的x、y分别为该斐波那契螺旋线上任意点A（x，y）的横坐标与纵坐标值，xoy坐标系以曲率半径为F₀的斐波那契螺旋线的曲率中心为坐标原点，具有斐波那契螺旋线齿形的圆柱齿轮的圆心0_n为斐波那契螺旋线上θ＝0°处的点，而θ为任意点A绕0_n0_n+1的一段斐波那契螺旋线的曲率中心0_n'、以0_n'0_n为基准逆时针旋转的角度，其中，斐波那契数列数公式F_n、黄金分割数φ、0_n'的坐标x'_n、y'_n分别由以下公式（2）、（3）、（4）、（5）计算得到；

$F_n=\frac{{\mathrm{\φ}}^{n+1}-{(1-\mathrm{\φ})}^{n+1}}{\sqrt{5}},n\∈N---\left(2\right)$

$\mathrm{\φ}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618043......\left(3\right)$

$x_n^{\′}=\left\{\begin{array}{c}0,n=0;\\ F_0-F_1,n=\mathrm{1,2}\\ F_0-F_1+\underset{k=1}{\overset{\frac{n-1}{2}}{\mathrm{\Σ}}}\left[{(-1)}^{k+1}{F}_{2k-1}\right],n\≥3\end{array}\right.---\left(4\right)$

$y_n^{\′}=\left\{\begin{array}{c}0,n=0,1\\ \underset{k=0}{\overset{\frac{n-2}{2}}{\mathrm{\Σ}}}\left[{(-1)}^{k+1}{F}_{2k}\right],n\≥2\end{array}\right.---\left(5\right).$

所述的斐波那契螺旋线齿形的齿宽b满足公式（6）；其中，P_x为轴向齿距，β为螺旋角，m_n为法向模数，ε_β轴向重合度。

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}=\frac{b}{P_x}=\frac{b\sin \mathrm{\β}}{\mathrm{\π}{m}_n}\≥1.25---\left(6\right)$

本发明具有的有益效果是：

1、与相同分度圆直径的渐开线齿形相比，斐波那契齿形具有更大的曲率半径，由此能有效减小接触应力，提高齿轮的接触疲劳强度，从而延长齿轮的使用寿命，提高齿轮承载能力。

2、与相同曲率半径的渐开线齿形相比，斐波那契齿形的分度圆半径更小，因此齿轮尺寸更小，重量更轻，齿轮高速运转时转动惯量小、噪音小、运转平稳，能很好地满足齿轮的高速需求；

3、斐波那契齿形通过对齿宽的限定，能提高其重合度，保证齿轮的连续啮合条件，同时也增大啮合接触面积，提高齿轮承载能力。

附图说明

图1是斐波那契螺旋线示意图。

图2是具有斐波那契齿形的圆柱齿轮示意图。

图3是斐波那契齿形齿轮啮合示意图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的说明。

如图2所示，本发明的圆柱齿轮从齿根圆到齿顶圆的端面齿形为斐波那契螺旋线齿形，即压力角a＝17°～28°的一段为斐波那契螺旋线。

如图1、图2所示，斐波那契螺旋线为一系列以斐波那契数列为半径值的四分之一圆弧前后连接而成。所述的斐波那契螺旋线由以下的公式（1）计算得到。

$\left\{\begin{array}{c}x=\cos (\mathrm{\θ}+\frac{\mathrm{\π}}{2}n)F_n+x_n^{\′}\\ y=\sin (\mathrm{\θ}+\frac{\mathrm{\π}}{2}n)F_n+y_n^{\′}\end{array}\right.,\mathrm{\θ}\∈[0,\frac{\mathrm{\π}}{2}]---\left(1\right)$

公式（1）中的x、y分别为该斐波那契螺旋线上任意点A（x，y）的横坐标与纵坐标值，xoy坐标系以曲率半径为F₀的斐波那契螺旋线的曲率中心为坐标原点，具有斐波那契螺旋线齿形的圆柱齿轮的圆心0_n为斐波那契螺旋线上θ＝0°处的点，而θ为任意点A绕0_n0_n+1的一段斐波那契螺旋线的曲率中心0_n'、以0_n'0_n为基准逆时针旋转的角度，其中，斐波那契数列数公式F_n、黄金分割数φ、0_n'的坐标x'_n、y'_n分别由以下公式（2）、（3）、（4）、（5）计算得到；

$F_n=\frac{{\mathrm{\φ}}^{n+1}-{(1-\mathrm{\φ})}^{n+1}}{\sqrt{5}},n\∈N---\left(2\right)$

$\mathrm{\φ}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618043......\left(3\right)$

$x_n^{\′}=\left\{\begin{array}{c}0,n=0;\\ F_0-F_1,n=\mathrm{1,2}\\ F_0-F_1+\underset{k=1}{\overset{\frac{n-1}{2}}{\mathrm{\Σ}}}\left[{(-1)}^{k+1}{F}_{2k-1}\right],n\≥3\end{array}\right.---\left(4\right)$

$y_n^{\′}=\left\{\begin{array}{c}0,n=0,1\\ \underset{k=0}{\overset{\frac{n-2}{2}}{\mathrm{\Σ}}}\left[{(-1)}^{k+1}{F}_{2k}\right],n\≥2\end{array}\right.---\left(5\right)$

由图1中的几何关系易得斐波那契螺旋线上任意点压力角α公式：

$\mathrm{\α}=\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-\cos \mathrm{\θ}}=2\mathrm{\θ}---\left(6\right)$

如图2所示，结合公式（6）可得，取斐波那契螺旋线上α＝20°处的点即为θ＝40°的A点，过该点做分度圆，向上取一个齿顶高h_a在斐波那契螺旋线上截得点C，使得该处的θ＝56°，压力角为28°，向下取一个齿根高h_f在斐波那契螺旋线上截得点D，使得该处的θ＝34°，压力角为17°，所截得的CD即为斐波那契齿形。所述的斐波那契齿形上任意点的曲率半径ρ_n、分度圆半径r由公式（7）、（8）得到。

ρ_n＝F_n        （7）

r＝2ρ_nsin20°        （8）

与渐开线齿轮的分度圆直径公式（9）相比较可得，相同分度圆半径r下，斐波那契齿形的曲率半径ρ_n比渐开线齿形大，由此能有效减小接触应力，提高齿轮的接触疲劳强度和承载能力。而相同曲率半径ρ_n下，斐波那契齿形的分度圆半径r比渐开线齿轮小，因此相同承载能力下，前者齿轮的尺寸更小，重量更轻，速运转时转动惯量小、噪音小、运转平稳，能很好地满足齿轮的高速需求。

如图3所示，所述的斐波那契齿形的齿宽b满足公式（6）。其中，P_x为轴向齿距，β为螺旋角，m_n为法向模数，ε_β轴向重合度。通过对齿宽的限定，能提高其重合度，保证齿轮的连续啮合条件，同时也增大接触面积，提高齿轮承载能力。

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}=\frac{b}{P_x}=\frac{b\sin \mathrm{\β}}{\mathrm{\π}{m}_n}\≥1.25---\left(10\right)$

最后，需要补充的是，当设计重载齿轮时，n取大值，当设计轻载齿轮时，n取小值，其中n≥0。

上述具体实施方式用来解释说明本发明，而不是对本发明进行限制，在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种具有斐波那契螺旋线齿形的斜齿圆柱齿轮，其特征在于：所述的斜齿圆柱齿轮从齿根圆到齿顶圆的端面齿形为斐波那契螺旋线齿形，即压力角a＝17°～28°的一段为斐波那契螺旋线。

2.根据权利要求1所述的一种具有斐波那契螺旋线齿形的斜齿圆柱齿轮，其特征在于：所述的斐波那契螺旋线由以下的公式（1）确定；

$\left\{\begin{array}{c}x=\cos (\mathrm{\θ}+\frac{\mathrm{\π}}{2}n)F_n+x_n^{\′}\\ y=\sin (\mathrm{\θ}+\frac{\mathrm{\π}}{2}n)F_n+y_n^{\′}\end{array}\right.,\mathrm{\θ}\∈[0,\frac{\mathrm{\π}}{2}]---\left(1\right)$

公式（1）中的x、y分别为该斐波那契螺旋线上任意点A（x，y）的横坐标与纵坐标值，xoy坐标系以曲率半径为F₀的斐波那契螺旋线的曲率中心为坐标原点，具有斐波那契螺旋线齿形的圆柱齿轮的圆心0_n为斐波那契螺旋线上θ＝0⁰处的点，而θ为任意点A绕0_n0_n+1的一段斐波那契螺旋线的曲率中心0_n'、以0_n'0_n为基准逆时针旋转的角度，其中，斐波那契数列数公式F_n、黄金分割数φ、0_n'的坐标x'_n、y'_n分别由以下公式（2）、（3）、（4）、（5）计算得到；

$F_n=\frac{{\mathrm{\φ}}^{n+1}-{(1-\mathrm{\φ})}^{n+1}}{\sqrt{5}},n\∈N---\left(2\right)$

$\mathrm{\φ}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618043......\left(3\right)$

$x_n^{\′}=\left\{\begin{array}{c}0,n=0;\\ F_0-F_1,n=\mathrm{1,2}\\ F_0-F_1+\underset{k=1}{\overset{\frac{n-1}{2}}{\mathrm{\Σ}}}\left[{(-1)}^{k+1}{F}_{2k-1}\right],n\≥3\end{array}\right.---\left(4\right)$

$y_n^{\′}=\left\{\begin{array}{c}0,n=0,1\\ \underset{k=0}{\overset{\frac{n-2}{2}}{\mathrm{\Σ}}}\left[{(-1)}^{k+1}{F}_{2k}\right],n\≥2\end{array}\right.---\left(5\right).$

3.根据权利要求2所述的一种具有斐波那契螺旋线齿形的斜齿圆柱齿轮，其特征在于：所述的斐波那契螺旋线齿形的齿宽b满足公式（6）；其中，P_x为轴向齿距，β为螺旋角，m_n为法向模数，ε_β轴向重合度。

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}=\frac{b}{P_x}=\frac{b\sin \mathrm{\β}}{\mathrm{\π}{m}_n}\≥1.25---\left(6\right)$

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