CN103237357A - 一种lte系统中m2m用户接入的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种LTE系统中M2M用户接入的控制方法，所述LTE系统中只有H2H用户和M2M用户接入时，所述控制方法为：设LTE系统中有i个H2H用户接入，j个M2M用户接入，M2M用户的接入比率为α，H2H用户和M2M用户的到达率分别满足参数为λ_H和λ_M的泊松分布，P_H,succ为H2H用户随机接入成功的概率，P_M,succ为M2M用户随机接入成功的概率；当M2M用户的接入比率α为

时，M2M用户随机接入成功率最高。本发明通过设置最优的接入比率，使得大量M2M用户接入LTE系统时接入成功率最大，降低信道冲突的概率。

Description

一种LTE系统中M2M用户接入的控制方法

技术领域

本发明涉及LTE系统中M2M用户接入的控制方法。 

背景技术

当互联网的应用扩展到物联网的时候，传统的2G/3G网络已经不能满足大量终端对无线带宽资源的需求，3GPP在3G的基础上推出了LTE/LTE-A。LTE是长期演进技术（Long Term Evolution）的简称，LTE并不是4G，只能说是3G向4G过渡的一个阶段，可以称为3.9G，真正被视为“准4G”的是LTE-Advanced（简称LTE-A）。事实上，LTE已经逐渐地成为下一代蜂窝网络技术的实际标准。在第四代宽带无线多路访问系统中，数据率标准大概是每秒数百兆。对于一个带宽为20MHz的LTE系统而言，下行链路的数据率峰值目标是100Mbps，上行链路的数据率的峰值目标为50Mbps。在LTE系统中，下行链路多路访问机制采用正交频分复用（OFDM），上行链路多路访问机制采用单载波频分多路访问（SC-FDMA）。在LTE-A中，通过载波聚合进行了带宽扩展，带宽聚合允许部署高达100MHz的带宽，这使得下行链路峰值数据率超过1Gb/s，上行链路的峰值数据率达到500Mb/s成为可能。 

M2M是Machine to Machine的简称。在3GPP中，M2M通信被定义为机器类型通信，即MTC（Machine Type Communication）。M2M并不是一个新的概念，目前，M2M应用在了相当广泛的领域，工业、农业、运输业等等都是M2M大量应用的领域，像车队管理，智能电表，商品追踪等等都是M2M应用的例子。用在医疗方面的eHealth，可以随时监测病人的血压、心率等健康指标数值，并将这些信息汇总后进行反馈。根据预测，在下个十年中，由M2M通信带来的收益将大幅度的提高。在2014年蜂窝式M2M设备数量将达5亿个，在2015年期望收益为38亿美元。据调查，在对纽约市区、华盛顿郊区以及伦敦市区的小区内的智能电表进行了估值，可以看出M2M数量是惊人的，最坏的情况下，在小区半径2公里的纽约市区，智能电表的数量远远的超过了35000个。因此，根据目前对M2M需求的分析，可知M2M通信面临了这样的挑战：在一个小区内，需要能够支持大量的M2M设备同时进行通信；M2M要求低延迟和高可靠性，以及超低的功率消耗；最重要的一点是，H2H（Human to Human）通信（比如最普通的话音业务）不能被M2M通信所影响。 

LTE支持更高的数据率和小区容量，这样的LTE系统可以更好地满足物联网对宽带资源的需求。LTE系统时延比2G/3G低10倍，这更好地满足了对系统时延要求高的M2M设备，比如用于监控系统和报警系统中的M2M设备。可以预见，在4G系统中，无线网络用 户的数量和通信量将会呈指数性增长。LTE日益被视为一个为实时M2M通信需求服务的系统，在LTE中，非同步M2M用户通过双相接入预留协议（竞争阶段和数据阶段）进行接入访问。 

在有M2M大量接入的无线接入网络（RAN）中，一些已经被认可的挑战包括：对于基于竞争的带宽需求机制中将会在随机接入信道上发送冲突；当大量的设备试图同时接入网络，需要有一种机制可以区分设备的类型和优先级；对于固定的M2M设备和移动性强的M2M的移动管理的最优化；轻量级、低消耗的安全机制。当有大量的M2M设备同时在一个小区内进行随机接入，将会增加小区信道接入的冲突概率，如果不能得到及时地、有效地控制，那么可能最终会导致小区系统彻底瘫痪。 

发明内容

本发明的目的是提供一种通过控制不同类别的M2M节点的随机接入比率，或设置最优的不同类别用户的接入比率,使系统随机接入的成功率达到最高的LTE系统中M2M用户接入的控制方法。 

为实现上述目的，本发明的技术方案为：一种LTE系统中M2M用户接入的控制方法，其特征在于：所述LTE系统中只有H2H用户和M2M用户接入时，所述控制方法为： 

1）设LTE系统中有i个H2H用户接入，j个M2M用户接入，M2M用户的接入比率为α，H2H用户和M2M用户的到达率分别满足参数为λ_H和λ_M的泊松分布，P_H,succ为H2H用户随机接入成功的概率，P_M,succ为M2M用户随机接入成功的概率； 

2）当前时隙某一信道有i个H2H用户随机接入的概率为 

$p(n_H=i)=\frac{{\mathrm{\λ}}_H^i}{i!}{e}^{-{\mathrm{\λ}}_H}---(1-1);$

当前时隙某一信道有j个M2M用户随机接入的概率为 

$p(n_M=j)=\frac{{\left({\mathrm{\α\λ}}_M\right)}^j}{j!}{e}^{-{\mathrm{\α\λ}}_M}---(1-2);$

因H2H用户的时间容忍度比M2M用户的时间容忍度低，所以H2H用户的数据包一到达，H2H用户优先进行随机接入，此时，M2M用户就必须等待H2H用户使用完信道，释放信道，才可进行随机接入； 

3）当有且只有一个H2H用户进行随机接入时，H2H用户才能成功的进行随机接入，H2H用户随机接入成功的概率为 

$p_{H,\mathrm{succ}}=p(n_H=1)={\mathrm{\λ}}_H{e}^{{-\mathrm{\λ}}_H}---(1-3);$

4）M2M用户在没有H2H用户的数据包到达，且当前时隙当前信道有且只有一个M2M用户进行随机接入时，M2M用户才能随机接入成功，M2M用户随机接入成功的概率为 

$p_{M,\mathrm{succ}}=p(n_H=0)*p(n_M=1)=e^{{-\mathrm{\λ}}_H}*{\mathrm{\α\λ}}_M{e}^{{-\mathrm{\α\λ}}_M}---(1-4);$

因此，当前时隙某一信道随机接入成功的概率为 

$P_{\mathrm{success}}=p_{H,\mathrm{succ}}+p_{M,\mathrm{succ}}={\mathrm{\λ}}_H{e}^{{-\mathrm{\λ}}_H}+e^{{-\mathrm{\λ}}_H}*{\mathrm{\α\λ}}_M{e}^{{-\mathrm{\α\λ}}_M}---(1-5);$

5）当P_success取最大值时，对第（1-5）式进行求导，可得其一阶导数为 

$P_{\mathrm{success}}^{\text{'}}={\mathrm{\λ}}_M{e}^{{-\mathrm{\λ}}_H{-\mathrm{\α\λ}}_M}(1-{\mathrm{\α\λ}}_M)---(1-6);$

令（1-6）式等于0，则可得

对（1-6）式求二阶导数，可得 

$P_{\mathrm{success}}^{\text{'}\text{'}}={\mathrm{\λ}}_M{e}^{{-\mathrm{\λ}}_H{-\mathrm{\α\λ}}_M}({\mathrm{\α\λ}}_M^2-{2\mathrm{\λ}}_M)---(1-7)$

将代入第（1-7）式，可得 

$P_{\mathrm{success}}^{\&prime;\&prime;}=-{\mathrm{\&lambda;}}_M^2{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_H-1}<0,$ 所以P_success在

时取得最大值，即当令

时，M2M用户随机接入成功率最高。 

由以上的方法可知，当M2M用户的接入比率α为

时，M2M用户随机接入成功率最高。所以只有适当地控制M2M用户的接入，才能有效地提高系统性能。 

本发明还提供另一种LTE系统中M2M用户接入的控制方法，所述LTE系统中有一级用户、二级用户、三级用户接入时，所述控制方法为： 

1）设定一级用户的时间容忍度最低，二级用户的时间容忍度次之，三级用户的时间容忍度最高；一级用户、二级用户和三级用户的达到率分别满足参数为λ₁、λ₂、λ₃的泊松分布；一级用户到达时，优先发起随机接入；二级用户到达时，若此时没有一级用户发起随机接入，则让二级用户以比率α₂进行随机接入，而不管此时是否有三级用户到达；当三级用户到达时，若此时既没有一级用户进行随机接入，也没有二级用户进行随机接入，那么三级用户则以比率α₃进行随机接入；一级用户到达的个数用n₁表示，二级用户达到的个数用n₂ 表示，三级用户到达的个数用n₃表示； 

2）当前时隙某一信道有i个一级用户随机接入的概率为 

$p(n_1=i)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^i}{i!}{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_1}---(2-1);$

3）当前时隙某一信道有j个二级用户随机接入的概率为 

$p(n_2=j)=\frac{{\left({\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2\right)}^j}{j!}{e}^{-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-2);$

4）当前时隙某一信道有k个三级用户随机接入的概率为 

$p(n_3=k)=\frac{{\left({\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3\right)}^k}{k!}{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-3);$

5）则，一级用户随机接入成功的概率为： 

$P_{1,\mathrm{su}}=p(n_1=1)={\mathrm{\&lambda;}}_1{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}---(2-4);$

二级用户的随机接入成功的概率为： 

$P_{2,\mathrm{su}}=p(n_1=0)p(n_2=1)=e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-5);$

三级用户随机接入成功的概率为： 

$P_{3,\mathrm{su}}=p(n_1=0)p(n_2=0)p(n_3=1)=e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*e^{{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}*{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-6);$

6）因此，该时隙某一信道成功接入的概率为： 

$P_{\mathrm{su}}=P_{1,\mathrm{su}}+P_{2,\mathrm{su}}+P_{3,\mathrm{su}}={\mathrm{\&lambda;}}_1{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}+e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}+e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*e^{{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}*{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-7);$

7）当P_su取最大值时，需要对（2-7）式分别求关于α₂和α₃的一阶偏导和二阶偏导，则P_su对α₂的一阶偏导为： 

$P_{11}=\frac{{\&PartialD;P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2}={\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}$

$={\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3})---(2-8);$

P_su对α₃的一阶偏导为： 

$P_{12}=\frac{{\&PartialD;P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}={\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}$

$={\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)---(2-9);$

P_su对α₂的二阶偏导为： 

$P_{21}=\frac{{\&PartialD;}^2{P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2^2}=\frac{{\&PartialD;P}_{11}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2}={-\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3})-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}(2-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3})---(2-10);$

P_su对α₃的二阶偏导为： 

$P_{22}=\frac{{\&PartialD;}^2{P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3^2}=\frac{{\&PartialD;P}_{12}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)---(2-11);$

P_su对α₂、α₃的二阶混合偏导为： 

$P_{23}=\frac{{\&PartialD;}^2{P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}=\frac{{\&PartialD;P}_{11}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}={\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}({\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&alpha;}}_3)$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)---(2-12);$

令（2-8）式等于0，可得： 

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}}{{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-13);$

令（2-9）式等于0，可得： 

${\mathrm{\&alpha;}}_3=\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-14);$

将（2-14）式代入（2-13）式可得： 

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{1-e^{-1}}{{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-15);$

将（2-14）式和（2-15）式分别代入（2-10）、（2-11）、（2-12）式，可得： 

$P_{21}=-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}}(2-1+e^{-1}-e^{-1})=-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}}---(2-16);$

$P_{22}=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}-1}=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1+e^{-1}-2}---(2-17);$

$P_{23}=-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}-1}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)=0---(2-18);$

由（2-16）、（2-17）、（2-18）式可得： 

且P₂₁＜0； 

所以，P_su在 ${\mathrm{\&alpha;}}^2=\frac{1-e^{-1}}{{\mathrm{\&lambda;}}_2},$ ${\mathrm{\&alpha;}}_3=\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_3}$ 时得到最大值。 

根据以上的结论，为不同类别的用户设置不同的最优的接入比率时，当二级用户以 

的接入比率随机接入，三级用户以的接入比率随机接入，随机接入的成功率最高，系统达到最优化。 

本发明通过设置最优的接入比率，使得大量M2M用户接入LTE系统时接入成功率最大，降低信道冲突的概率；本发明还通过设置不同等级用户的最优接入比率，使得LTE系统的随机接入成功率最高，系统达到最优化。 

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明： 

图1为本发明实施例1中M2M用户数目与随机接入成功概率的关系； 

图2为本发明实施例2中M2M用户的接入比率与随机接入成功概率的关系； 

图3为本发明三个等级用户的接入用户数目与随机接入成功概率的关系。 

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明作进一步详细的说明： 

所述LTE系统中只有H2H用户和M2M用户接入时，所述控制方法为： 

1）设LTE系统中有i个H2H用户接入，j个M2M用户接入，M2M用户的接入比率为α，H2H用户和M2M用户的到达率分别满足参数为λ_H和λ_M的泊松分布，P_H,succ为H2H用户随机接入成功的概率，P_M,succ为M2M用户随机接入成功的概率； 

2）当前时隙某一信道有i个H2H用户随机接入的概率为 

$p(n_H=i)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_H^i}{i!}{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_H}---(1-1);$

当前时隙某一信道有j个M2M用户随机接入的概率为 

$p(n_M=j)=\frac{{\left({\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M\right)}^j}{j!}{e}^{-{\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M}---(1-2);$

因H2H用户的时间容忍度比M2M用户的时间容忍度低，所以H2H用户的数据包一到达，H2H用户优先进行随机接入，此时，M2M用户就必须等待H2H用户使用完信道，释放信道，才可进行随机接入； 

3）当有且只有一个H2H用户进行随机接入时，H2H用户才能成功的进行随机接入，H2H用户随机接入成功的概率为 

$p_{H,\mathrm{succ}}=p(n_H=1)={\mathrm{\&lambda;}}_H{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H}---(1-3);$

4）M2M用户在没有H2H用户的数据包到达，且当前时隙当前信道有且只有一个M2M用户进行随机接入时，M2M用户才能随机接入成功，M2M用户随机接入成功的概率为 

$p_{M,\mathrm{succ}}=p(n_H=0)*p(n_M=1)=e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H}*{\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M{e}^{{-\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M}---(1-4);$

因此，当前时隙某一信道随机接入成功的概率为 

$P_{\mathrm{success}}=p_{H,\mathrm{succ}}+p_{M,\mathrm{succ}}={\mathrm{\&lambda;}}_H{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H}+e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H}*{\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M{e}^{{-\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M}---(1-5);$

5）当P_success取最大值时，对第（1-5）式进行求导，可得其一阶导数为 

$P_{\mathrm{success}}^{\text{'}}={\mathrm{\&lambda;}}_M{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H{-\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M}(1-{\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M)---(1-6);$

令（1-6）式等于0，则可得

对（1-6）式求二阶导数，可得 

$P_{\mathrm{success}}^{\text{'}\text{'}}={\mathrm{\&lambda;}}_M{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H{-\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M}({\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M^2-{2\mathrm{\&lambda;}}_M)---(1-7)$

将

代入第（1-7）式，可得 

$P_{\mathrm{success}}^{\&prime;\&prime;}=-{\mathrm{\&lambda;}}_M^2{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_H-1}<0,$ 所以P_success在

时取得最大值，即当令

时，M2M用户随机接入成功率最高。 

由以上的方法可知，当M2M用户的接入比率α为时，M2M用户随机接入成功率最高。所以只有适当地控制M2M用户的接入，才能有效地提高系统性能。 

实施例1 

当大量的M2M用户与H2H一起进行随机接入时，此时设置每秒平均到达的H2H用户的数目为定值，M2M的用户的取值范围为0≤λ_M≤10000，此时设定不同的M2M接入比率，可得M2M用户数目与随机接入成功概率关系的图，如图1所示。 

由图1可知，当大量的M2M用户与H2H用户一起进行随机接入的时候，对M2M用户设置随机接入比率，在相同的用户数的情况下，可以提高随机接入成功概率。 

实施例2 

当设定H2H每秒到达的平均用户的数目与M2M每秒平均到达用户的数目相同，让M2M用户的随机接入比率取不同的数值时，可得M2M接入比率与随机接入成功概率之间的关系图，如图2所示。 

如图2可知，不管M2M用户随机接入比率α取何值，都可以在

处取得随机接入成功概率的最大值。 

本发明还提供另一种LTE系统中M2M用户接入的控制方法，所述LTE系统中有一级用户、二级用户、三级用户接入时，所述控制方法为： 

1）设定一级用户的时间容忍度最低，二级用户的时间容忍度次之，三级用户的时间容忍度最高；一级用户、二级用户和三级用户的达到率分别满足参数为λ₁、λ₂、λ₃的泊松分布；一级用户到达时，优先发起随机接入；二级用户到达时，若此时没有一级用户发起随机接入，则让二级用户以比率α₂进行随机接入，而不管此时是否有三级用户到达；当三级用户到达时，若此时既没有一级用户进行随机接入，也没有二级用户进行随机接入，那么三级用户则以比率α₃进行随机接入；一级用户到达的个数用n₁表示，二级用户达到的个数用n₂表示，三级用户到达的个数用n₃表示； 

2）当前时隙某一信道有i个一级用户随机接入的概率为 

$p(n_1=i)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^i}{i!}{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_1}---(2-1);$

3）当前时隙某一信道有j个二级用户随机接入的概率为 

$p(n_2=j)=\frac{{\left({\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2\right)}^j}{j!}{e}^{-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-2);$

4）当前时隙某一信道有k个三级用户随机接入的概率为 

$p(n_3=k)=\frac{{\left({\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3\right)}^k}{k!}{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-3);$

5）则，一级用户随机接入成功的概率为： 

$P_{1,\mathrm{su}}=p(n_1=1)={\mathrm{\&lambda;}}_1{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}---(2-4);$

二级用户的随机接入成功的概率为： 

$P_{2,\mathrm{su}}=p(n_1=0)p(n_2=1)=e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-5);$

三级用户随机接入成功的概率为： 

$P_{3,\mathrm{su}}=p(n_1=0)p(n_2=0)p(n_3=1)=e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*e^{{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}*{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-6);$

6）因此，该时隙某一信道成功接入的概率为： 

$P_{\mathrm{su}}=P_{1,\mathrm{su}}+P_{2,\mathrm{su}}+P_{3,\mathrm{su}}={\mathrm{\&lambda;}}_1{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}+e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}+e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*e^{{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}*{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-7);$

7）当P_su取最大值时，需要对（2-7）式分别求关于α₂和α₃的一阶偏导和二阶偏导，则P_su对α₂的一阶偏导为： 

$P_{11}=\frac{{\&PartialD;P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2}={\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}$

$={\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3})---(2-8);$

P_su对α₃的一阶偏导为： 

$P_{12}=\frac{{\&PartialD;P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}={\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}$

$={\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)---(2-9);$

P_su对α₂的二阶偏导为： 

$P_{21}=\frac{{\&PartialD;}^2{P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2^2}=\frac{{\&PartialD;P}_{11}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2}={-\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3})-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}(2-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3})---(2-10);$

P_su对α₃的二阶偏导为： 

$P_{22}=\frac{{\&PartialD;}^2{P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3^2}=\frac{{\&PartialD;P}_{12}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)---(2-11);$

P_su对α₂、α₃的二阶混合偏导为： 

$P_{23}=\frac{{\&PartialD;}^2{P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}=\frac{{\&PartialD;P}_{11}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}={\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}({\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3(1-{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&alpha;}}_3)}$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)---(2-12);$

令（2-8）式等于0，可得： 

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}}{{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-13);$

令（2-9）式等于0，可得： 

${\mathrm{\&alpha;}}_3=\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-14);$

将（2-14）式代入（2-13）式可得： 

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{1-e^{-1}}{{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-15);$

将（2-14）式和（2-15）式分别代入（2-10）、（2-11）、（2-12）式，可得： 

$P_{21}=-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}}(2-1+e^{-1}-e^{-1})=-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}}---(2-16);$

$P_{22}=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}-1}=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1+e^{-1}-2}---(2-17);$

$P_{23}=-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}-1}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)=0---(2-18);$

由（2-16）、（2-17）、（2-18）式可得： 

且P₂₁＜0； 

所以，P_su在 ${\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{1-e^{-1}}{{\mathrm{\&lambda;}}_2},$ ${\mathrm{\&alpha;}}_3=\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_3}$ 时得到最大值。 

根据以上的结论，为不同类别的用户设置不同的最优的接入比率时，当二级用户以 

的接入比率随机接入，三级用户以

的接入比率随机接入， 

随机接入的成功率最高，系统达到最优化。 

所述二级用户或三级用户可为M2M用户。 

实施例3 

所述LTE系统中有一级用户、二级用户、三级用户接入，当控制二级和三级用户的接入比率为很小的值时，由图3可以看出，随着用户数目的增加，信道接入的成功率变大。 

Claims (2)

1.一种LTE系统中M2M用户接入的控制方法，其特征在于：所述LTE系统中只有H2H用户和M2M用户接入时，所述控制方法为：

1）设LTE系统中有i个H2H用户接入，j个M2M用户接入，M2M用户的接入比率为α，H2H用户和M2M用户的到达率分别满足参数为λ_H和λ_M的泊松分布，P_H,succ为H2H用户随机接入成功的概率，P_M,succ为M2M用户随机接入成功的概率；

2）当前时隙某一信道有i个H2H用户随机接入的概率为

$p(n_H=i)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_H^i}{i!}{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_H}---(1-1);$

当前时隙某一信道有j个M2M用户随机接入的概率为

$p(n_M=j)=\frac{{\left({\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M\right)}^j}{j!}{e}^{-{\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M}---(1-2);$

因H2H用户的时间容忍度比M2M用户的时间容忍度低，所以H2H用户的数据包一到达，H2H用户优先进行随机接入，此时，M2M用户就必须等待H2H用户使用完信道，释放信道，才可进行随机接入；

3）当有且只有一个H2H用户进行随机接入时，H2H用户才能成功的进行随机接入，H2H用户随机接入成功的概率为

$p_{H,\mathrm{succ}}=p(n_H=1)={\mathrm{\&lambda;}}_H{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H}---(1-3);$

4）M2M用户在没有H2H用户的数据包到达，且当前时隙当前信道有且只有一个M2M用户进行随机接入时，M2M用户才能随机接入成功，M2M用户随机接入成功的概率为

$p_{M,\mathrm{succ}}=p(n_H=0)*p(n_M=1)=e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H}*{\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M{e}^{{-\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M}---(1-4);$

因此，当前时隙某一信道随机接入成功的概率为

$P_{\mathrm{success}}=p_{H,\mathrm{succ}}+p_{M,\mathrm{succ}}={\mathrm{\&lambda;}}_H{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H}+e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H}*{\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M{e}^{{-\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M}---(1-5);$

5）当P_success取最大值时，对第（1-5）式进行求导，可得其一阶导数为

$P_{\mathrm{success}}^{\text{'}}={\mathrm{\&lambda;}}_M{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H{-\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M}(1-{\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M)---(1-6);$

令（1-6）式等于0，则可得

对（1-6）式求二阶导数，可得

$P_{\mathrm{success}}^{\text{'}\text{'}}={\mathrm{\&lambda;}}_M{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_H{-\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M}({\mathrm{\&alpha;\&lambda;}}_M^2-{2\mathrm{\&lambda;}}_M)---(1-7)$

将

代入第（1-7）式，可得

$P_{\mathrm{success}}^{\&prime;\&prime;}=-{\mathrm{\&lambda;}}_M^2{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_H-1}<0,$ 所以P_success在

时取得最大值，即当令

时，M2M用户随机接入成功率最高。

2.一种LTE系统中M2M用户接入的控制方法，其特征在于：所述LTE系统中有一级用户、二级用户、三级用户接入时，所述控制方法为：

1）设定一级用户的时间容忍度最低，二级用户的时间容忍度次之，三级用户的时间容忍度最高；一级用户、二级用户和三级用户的达到率分别满足参数为λ₁、λ₂、λ₃的泊松分布；一级用户到达时，优先发起随机接入；二级用户到达时，若此时没有一级用户发起随机接入，则让二级用户以比率α₂进行随机接入，而不管此时是否有三级用户到达；当三级用户到达时，若此时既没有一级用户进行随机接入，也没有二级用户进行随机接入，那么三级用户则以比率α₃进行随机接入；一级用户到达的个数用n₁表示，二级用户达到的个数用n₂表示，三级用户到达的个数用n₃表示；

2）当前时隙某一信道有i个一级用户随机接入的概率为

$p(n_1=i)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^i}{i!}{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_1---(2-1);}$

3）当前时隙某一信道有j个二级用户随机接入的概率为

$p(n_2=j)=\frac{{\left({\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2\right)}^j}{j!}{e}^{-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-2);$

4）当前时隙某一信道有k个三级用户随机接入的概率为

$p(n_3=k)=\frac{{\left({\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3\right)}^k}{k!}{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-3);$

5）则，一级用户随机接入成功的概率为：

$P_{1,\mathrm{su}}=p(n_1=1)={\mathrm{\&lambda;}}_1{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}---(2-4);$

二级用户的随机接入成功的概率为：

$P_{2,\mathrm{su}}=p(n_1=0)p(n_2=1)=e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-5);$

三级用户随机接入成功的概率为：

$P_{3,\mathrm{su}}=p(n_1=0)p(n_2=0)p(n_3=1)=e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*e^{{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}*{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-6);$

6）因此，该时隙某一信道成功接入的概率为：

$P_{\mathrm{su}}=P_{1,\mathrm{su}}+P_{2,\mathrm{su}}+P_{3,\mathrm{su}}={\mathrm{\&lambda;}}_1{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}+e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}+e^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1}*e^{{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}*{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-7);$

7）当P_su取最大值时，需要对（2-7）式分别求关于α₂和α₃的一阶偏导和二阶偏导，则P_su对α₂的一阶偏导为：

$P_{11}=\frac{{\&PartialD;P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2}={\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}$

$={\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3})---(2-8);$

P_su对α₃的一阶偏导为：

$P_{12}=\frac{{\&PartialD;P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}={\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}$

$={\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)---(2-9);$

P_su对α₂的二阶偏导为：

$P_{21}=\frac{{\&PartialD;}^2{P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2^2}=\frac{{\&PartialD;P}_{11}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2}={-\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3})-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}(2-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3})---(2-10);$

P_su对α₃的二阶偏导为：

$P_{22}=\frac{{\&PartialD;}^2{P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3^2}=\frac{{\&PartialD;P}_{12}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)---(2-11);$

P_su对α₂、α₃的二阶混合偏导为：

$P_{23}=\frac{{\&PartialD;}^2{P}_{\mathrm{su}}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_2{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}=\frac{{\&PartialD;P}_{11}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_3}={\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}({\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2}{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&alpha;}}_3)$

$=-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1{-\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)---(2-12);$

令（2-8）式等于0，可得：

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3}}{{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-13);$

令（2-9）式等于0，可得：

${\mathrm{\&alpha;}}_3=\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_3}---(2-14);$

将（2-14）式代入（2-13）式可得：

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{1-e^{-1}}{{\mathrm{\&lambda;}}_2}---(2-15);$

将（2-14）式和（2-15）式分别代入（2-10）、（2-11）、（2-12）式，可得：

$P_{21}=-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}}(2-1+e^{-1}-e^{-1})=-{\mathrm{\&lambda;}}_2^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}}---(2-16);$

$P_{22}=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}-1}=-{\mathrm{\&lambda;}}_3^2{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1+e^{-1}-2}---(2-17);$

$P_{23}=-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_3{e}^{{-\mathrm{\&lambda;}}_1-1+e^{-1}-1}(1-{\mathrm{\&alpha;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_3)=0---(2-18);$

由（2-16）、（2-17）、（2-18）式可得：

且P₂₁＜0；

所以，P_su在 ${\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{1-e^{-1}}{{\mathrm{\&lambda;}}_2},$ ${\mathrm{\&alpha;}}_3=\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_3}$ 时得到最大值。

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