CN103218482B - 一种动力学系统中不确定参数的估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种动力学系统中不确定参数的估计方法。本发明基于多模型自适应估计算法，通过预置动力学系统中不确定参数、改变条件概率密度函数的计算方法、增加一个用于求取动力学系统中不确定参数的步骤，从而完成了对多模型自适应估计算法的适应性改进，进而利用改进的多模型自适应估计算法实现了对动力学系统中状态参数和不确定参数的同步估计。本发明在对动力学系统进行状态估计的同时，同步进行对动力学系统中不确定参数的精确估计，无需专门增设用于测量动力学系统中不确定参数的部件，从而降低了重量、体积、能耗和成本。

Description

一种动力学系统中不确定参数的估计方法

技术领域

本发明属于航天技术领域，尤其是涉及一种动力学系统中不确定参数的估计方法。

背景技术

对动力学系统中不确定参数的传统估计方法需要对被估参数进行直接或间接测量并基于被估不确定参数的统计特征进行滤波估计，因而需要在动力学系统中增加相应的测量部件，这样就增加了重量、体积、能耗和成本，而且基于统计特征的滤波估计方法所估计出的参数值往往有较多高频波动甚至跳变，难以客观准确地反映参数的真实状态，对系统稳定性也会带来不利影响。譬如，在航天器再入地球或进入火星大气的过程中，初始状态参数和气动参数中的不确定性会给航天器状态参数的确定造成很多不利影响。因此，发展一种新型的动力学系统中不确定参数的估计方法，以实现在不额外增加专门的测量部件的条件下对动力学系统中不确定参数的自适应精确估计就是一个十分迫切的任务。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于克服现有技术的不足,提出一种动力学系统中不确定参数的估计方法；所述方法在不增设专门用于测量动力学系统中不确定参数测量部件的条件下,仅利用动力学系统中已有的状态参数测量部件，在知道待估的动力学系统中不确定参数的变化范围的情况下，对动力学系统中的不确定参数在每一个状态时刻的具体参数值进行实时精确估计，并使得对动力学系统中不确定参数的精确估计与动力学系统状态估计同时进行。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：一种动力学系统中不确定参数的估计方法，包括下列步骤：

步骤A，预置动力学系统中不确定参数：

找出动力学系统中待估的不确定参数ρ及其参数值的变化范围[ρ_min,ρ_max]，在该区间上按照设定的概率分布或者预定义的规则，取N个不同的设定值ρ_i，i＝1,2,…,N；其中，ρ_min是该不确定参数变化范围的最小值，ρ_max是该不确定参数变化范围的最大值，ρ_i代表不确定参数ρ的第i个设定值，N是自然数；

步骤B，建立系统动力学模型集，其过程如下：

步骤B-1，建立系统的动力学模型，如下式所示：

其中，X(t)是n维状态向量，t是时间变量，f(X(t),t)是n维非线性矢量连续函数，F(t)是n×r维系数矩阵，h(X(t),t)是m维非线性矢量连续函数，r,n,m是自然数，W(t),V(t)均为彼此不相关的零均值白噪声；

步骤B-2，将ρ_i代入上式中，得到第i个动力学模型，其解析式为:

其中，X_i(t)是n维状态向量，f_i(X_i(t),t)是n维非线性矢量连续函数，F_i(t)是n×r维系数矩阵，h_i(X_i(t),t)是m维非线性矢量连续函数，W_i(t),V_i(t)均为彼此不相关的零均值白噪声，且满足如下协方差矩阵：

其中，X₀是n维初始状态向量，δ(t-τ)是Dirac-δ函数，τ是时间常数，Q_i(t)为过程噪声方差矩阵是非负定对称矩阵，R_i(t)为测量噪声方差阵是对称正定矩阵，Q_i(t)和R_i(t)都对t连续，至此即得到了由N个动力学模型组成的动力学模型集，E(·)为数学期望，(·)^T为矩阵转置；

步骤C，设计扩展卡尔曼滤波器组：

对应于步骤B中的第i个动力学模型，采用扩展卡尔曼滤波方法，得到第i个扩展卡尔曼滤波器的滤波方程组如下：

其中，t_k是第k时刻，k是自然数，T是采样周期，I是单位矩阵，是第i个扩展卡尔曼滤波器由u时刻的系统状态得到的v时刻的系统状态估计，P_i,v/u是第i个扩展卡尔曼滤波器由u时刻的系统状态得到的v时刻的系统状态估计的误差方差协方差矩阵，u,v代表第k时刻或第k+1时刻，Φ_i,k+1/k是第i个扩展卡尔曼滤波器由k时刻到k+1时刻的系统状态转移矩阵，Z_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的观测量，K_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的增益，Q_i,k是第i个扩展卡尔曼滤波器在k时刻的系统过程噪声方差矩阵，R_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的测量噪声方差矩阵，Γ_i,k+1/k是第i个扩展卡尔曼滤波器由k时刻到k+1时刻的系统过程噪声系数矩阵，H_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的灵敏矩阵，

Γ_i,k+1/k＝Φ_i,k+1/kF_i(t_k)T

t_k+1是第k+1时刻，由此就得到了由N个扩展卡尔曼滤波器的组成的滤波器组；

步骤D，利用改进后的假设检验算法计算在t_k+1时刻第i个扩展卡尔曼滤波器所输出的第i组参数估计值的权重系数：

其中，G(i|k)是G(i|k+1)前一时刻的值，且G(i|k)的计算初值由步骤A中所选用的预置规则唯一确定，l是自然数；第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻的量测值为Z_k+1的条件概率密度函数p(i|k+1)被改进为：

e_i＝Z_i,k+1-h_i(X_i,k+1/k)

其中，κ为计算步数，ε是指定的一个无量纲常值参数；e_i为残差向量；A_i为方差矩阵；(·)^-1为矩阵求逆，exp(·)为指数函数；

步骤E，计算动力学系统状态参数和不确定参数在t_k+1时刻的估计值；

步骤E-1，计算动力学系统中状态参数在t_k+1时刻的估计值：

步骤E-2，计算动力学系统中不确定参数在t_k+1时刻的估计值：

其中，是第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻所估计出的动力学系统中状态参数的估计值，是第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻所估计出的动力学系统中不确定参数的估计值。

本发明的有益效果：本发明提出了一种动力学系统中不确定参数的估计方法。所述方法通过增加一个对动力学系统中不确定参数的预置步骤、改变条件概率密度函数的计算方法、增加一个用于求取动力学系统中不确定参数的步骤，从而完成了对多模型自适应估计算法的适应性改进，进而利用改进的多模型自适应估计算法实现了对动力学系统中状态参数和不确定参数的同步估计；所述方法无需增设专门用于测量动力学系统中不确定参数的部件，降低了重量、体积、能耗和成本；在对动力学系统进行状态估计的同时，同步进行对动力学系统中不确定参数的精确估计，而且估计过程平滑无高频波动和跳变，这对系统稳定性更为有利；采用改进的多模型自适应估计算法，使得对动力学系统中不确定参数的估计具有更强的自适应性，从而提高了系统整体的鲁棒性。

附图说明

图1是本发明不确定参数估计方法的流程示意图。

图2动力学系统参数估计仿真模块框图。

图3改进的多模型自适应算法的仿真框图。

图4对速度状态的估计偏差。

图5对位置状态的估计偏差。

图6对不确定参数的估计偏差。

具体实施方式

如图1展示了本发明不确定参数估计方法的流程示意图，如图1所示，本发明一种动力学系统中不确定参数的估计方法，其实施过程如下：

步骤A，动力学系统中不确定参数的预置：

找出动力学系统中待估的不确定参数ρ及其参数值的变化范围[ρ_min,ρ_max]，在该区间上选择一种最能反映被估不确定参数的分布特征的已有的常用的概率分布规律(譬如：均匀分布、正态分布、指数分布、泊松分布等)或者按照自定义规则取N个不同的设定值ρ_i，i＝1,2,…,N；其中，ρ_min是该不确定参数变化范围的最小值，ρ_max是该不确定参数变化范围的最大值，ρ_i代表不确定参数ρ的第i个设定值，N是自然数；

步骤B，建立系统动力学模型集：

(a)建立系统的动力学模型，并写成如下形式：

其中，X(t)是n维状态向量，t是时间变量，f(X(t),t)是n维非线性矢量连续函数，F(t)是n×r维系数矩阵，h(X(t),t)是m维非线性矢量连续函数，r,n,m是自然数，W(t),V(t)均为彼此不相关的零均值白噪声；

(b)将ρ_i代入(1)式中，得到第i个动力学模型的具体解析表达式:

其中，X_i(t)是n维状态向量，f_i(X_i(t),t)是n维非线性矢量连续函数，F_i(t)是n×r维系数矩阵，h_i(X_i(t),t)是m维非线性矢量连续函数，W_i(t),V_i(t)均为彼此不相关的零均值白噪声，且满足如下协方差矩阵：

其中，X₀是n维初始状态向量，δ(t-τ)是Dirac-δ函数，τ是时间常数，Q_i(t)为过程噪声方差阵是非负定对称矩阵，R_i(t)为测量噪声方差阵是对称正定矩阵，Q_i(t)和R_i(t)都对t连续，至此即得到了由n个动力学模型组成的动力学模型集，E(·)为数学期望，(·)^T为矩阵转置；

步骤C，设计扩展卡尔曼滤波器组：

对应于步骤B中的第i个动力学模型，套用已有的扩展卡尔曼滤波算法理论，得到第i个扩展卡尔曼滤波器的滤波方程组如下：

其中，t_k是第k时刻，k是自然数，T是采样周期，I是单位矩阵，是第i个扩展卡尔曼滤波器由u时刻的系统状态得到的v时刻的系统状态估计，P_i,v/u是第i个扩展卡尔曼滤波器由u时刻的系统状态得到的v时刻的系统状态估计的误差方差协方差矩阵，u,v代表第k时刻或第k+1时刻，Φ_i,k+1/k是第i个扩展卡尔曼滤波器由k时刻到k+1时刻的系统状态转移矩阵，Z_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的观测量，K_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的增益，Q_i,_k是第i个扩展卡尔曼滤波器在k时刻的系统过程噪声方差矩阵，R_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的测量噪声方差矩阵，Γ_i,k+1/k是第i个扩展卡尔曼滤波器由k时刻到k+1时刻的系统过程噪声系数矩阵，H_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的灵敏矩阵，

Γ_i,k+1/k＝Φ_i,k+1/kF_i(t_k)T (6)

t_k+1是第k+1时刻，由此就得到了由N个扩展卡尔曼滤波器的组成的滤波器组；

步骤D，利用改进后的假设检验算法计算在t_k+1时刻第i个扩展卡尔曼滤波器所输出的第i组参数估计值的权重系数：

其中，G(i|k)是G(i|k+1)前一时刻的值，且G(i|k)的计算初值由步骤A中所选用的预置规则来唯一确定，l是自然数，第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻的量测值为Z_k+1的条件概率密度函数p(i|k+1)被改进为：

e_i＝Z_i,k+1-h_i(X_i,k+1/k) (12)

式中，κ为计算步数，ε是一个无量纲的小量常值参数，ε的值可取为10^-3，ε也可根据具体情况和经验设定，e_i为残差向量，A_i为方差矩阵；(·)^-1为矩阵求逆，exp(·)为指数函数；

步骤E，计算动力学系统中状态参数在t_k+1时刻的估计值：

计算动力学系统中不确定参数在t_k+1时刻的估计值：

其中，是第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻所估计出的动力学系统中状态参数的估计值，是第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻所估计出的动力学系统中不确定参数的估计值。

以下是根据上述原理提出的实施例：

由于火星大气的不确定性导致航天器在进入火星大气这个阶段所涉及的动力学系统中包含了火星大气密度ρ这一不确定参数，而对火星的探测也包含了对火星大气密度的探测。为了节省航天器的重量、体积、能耗和成本，期望在不增设专门用于探测火星大气密度的仪器设备的情况下，仅利用航天器的自主导航系统来准确估计火星大气密度。这就需要航天器在进入火星大气的飞行过程中不仅要能实时估计自身状态，还要能同步估计出火星大气密度ρ。

计算平台：MATLAB(2010b)

实施步骤：

步骤A，动力学系统中不确定参数的预置。由上述背景可知，火星大气密度ρ即为航天器在进入火星大气这个阶段所涉及的动力学系统中的不确定参数，又从美国宇航局公布的资料中查知：火星大气密度ρ是在美国宇航局所提供的火星大气密度拟合模型“MarsGRAM”基础上±10％的范围内变化，为了计算简便，这里仅仅在上述范围内等间距地选取5个不同的火星大气密度设定值： 其中是根据航天器飞行过程的动力学系统模型利用火星大气密度拟合模型“MarsGRAM”实时计算得到的；

步骤B，建立系统动力学模型集：

(a)定义状态变量X(t)＝[r^T v^T Ω^T]^T，动力学模型写成：

其中，r,v,Ω分别表示航天器在火星质心惯性系下的位置矢量、速度矢量和姿态角向量，a^v为航天器在速度坐标系下的三轴加速度，为航天器本体坐标系Σ^b到火星地理坐标系Σ^g的坐标变换矩阵，为火星质心惯性系Σⁱ到火星地理坐标系Σ^g的坐标变换矩阵，a和ω为真实的加速度和角速度，和为加速度和角速度的测量值，b_a和b_ω为加速度计和陀螺常值漂移，η_a和η_ω为测量噪声且均为零均值白噪声，g为地理坐标系下的火星重力加速度矢量，V是测量噪声矩阵，

V_j＝(r_s-r_oj)^T(v_s-v_oj)/R_j (20)

式中，其中，ζ_R和ζ_V为测量噪声(均为零均值白噪声)，下标s表示航天器，oj表示第j个测量信标，j是自然数。

(b)ρ_i代表不确定参数ρ的第i个设定值,i＝1,2,3,4,5。将ρ_i代入(1)式中，利用MATLAB得到第i个动力学模型的具体解析表达式(从这一步骤开始直至最后一个步骤均按照所列公式由MATLAB编程计算完成):

其中，X_i(t)是9维状态向量，t是时间变量，f_i(X_i(t),t)是9维非线性矢量连续函数，F_i(t)是9×6维系数矩阵，h_i(X_i(t),t)是9维非线性矢量连续函数，W_i(t),V_i(t)分别为9维和6维彼此不相关的零均值白噪声，且满足如下协方差矩阵：

其中，X₀是9维初始状态向量，δ(t-τ)是Dirac-δ函数，τ是时间常数，Q_i(t)为系统过程噪声方差矩阵是非负定对称矩阵，R_i(t)为测量噪声方差矩阵是对称正定矩阵，Q_i(t)和R_i(t)都对t连续，至此即得到了由5个动力学模型组成的动力学模型集；

步骤C，得出第i个扩展卡尔曼滤波器的滤波方程组：

其中，t_k是第k时刻，k是自然数，T是采样周期，I是单位矩阵，是第i个扩展卡尔曼滤波器由u时刻的系统状态得到的v时刻的系统状态估计，P_i,v/u是第i个扩展卡尔曼滤波器由u时刻的系统状态得到的v时刻的系统状态估计的误差方差协方差矩阵，u,v代表第k时刻或第k+1时刻，Φ_i,k+1/k是第i个扩展卡尔曼滤波器由k时刻到k+1时刻的系统状态转移矩阵，Z_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的观测量，K_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的增益，Q_i,_k是第i个扩展卡尔曼滤波器在k时刻的系统过程噪声方差矩阵，R_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的测量噪声方差矩阵，Γ_i,k+1/k是第i个扩展卡尔曼滤波器由k时刻到k+1时刻的系统过程噪声系数矩阵，H_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的灵敏矩阵，

Γ_i,k+1/k＝Φ_i,k+1/kF_i(t_k)T (25)

t_k+1是第k+1时刻，由此就得到了由N个扩展卡尔曼滤波器的组成的滤波器组；

步骤D，利用改进后的假设检验算法计算在t_k+1时刻第i个扩展卡尔曼滤波器所输出的第i组参数估计值的权重系数：

其中，G(i|k)是G(i|k+1)前一时刻的值，且G(i|k)的计算初值由步骤A中所选用的预置规则来唯一确定，l是自然数，第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻的量测值为Z_k+1的条件概率密度函数p(i|k+1)取为：

其中，e_i＝Z_i,k+1-h_i(X_i,k+1/k)，κ为计算步数；

步骤E，计算动力学系统中状态参数在t_k+1时刻的估计值：

计算动力学系统中不确定参数在t_k+1时刻的估计值：

其中，是第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻所估计出的动力学系统中状态参数的估计值，是第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻所估计出的动力学系统中不确定参数的估计值。

仿真验证：

(1)仿真计算的初始条件设定如表1，表1中所设定的参数值用于在仿真计算中确定公式(13)、(14)、(15)、(16)的初始值。

表1信标的初始状态及误差

仿真中，信标1的后续参数按照二体模型得到，信标2和信标3的参数为定值。仿真时间350秒，火星引力常数μ＝4.283×10¹³km³/s²，系统模型中加速度计和陀螺的常值漂移误差为3×10^-3m/s²和5×10^-6rad/s，加速度和角速度的测量噪声方差分别为5×10^-8(m/s²)²和9×10^-8(rad/s)²，导航测量模型中的距离和速度测量噪声方差分别设为400m²和0.4(m/s)²。初始状态误差协方差矩阵P取为diag(10⁶I_3×3,10I_3×3,10^-4I_3×3)，系统过程噪声方差矩阵Q取为diag(10²I_3×3,I_3×3,10^-9I_3×3)，其中diag(·)表示对角矩阵。避免明显的加权关系，这里假定真实的火星大气密度是在的基础上偏小6.39％。(2)仿真模块框图如图2、3所示。其中图2是全系统仿真的框图，图3是本发明所述的改进的多模型自适应估计方法的仿真框图。仿真结果如图4、5、6所示。图4和图5展示了对于系统动力学状态估计的偏差，其中图4展示的是改进的多模型自适应估计算法与传统的扩展卡尔曼滤波算法对速度状态估计的偏差的对比，图5展示的是改进的多模型自适应估计算法与传统的扩展卡尔曼滤波算法对位置状态估计的偏差的对比。图4和图5反映出采用改进的多模型自适应估计算法比传统的扩展卡尔曼滤波算法对系统状态参数的估计精度有了很大提高。图6展示了采用改进的多模型自适应估计算法对火星大气密度这一不确定参数进行实时估计时的估计偏差。图6反映出本发明所述方法对不确定参数ρ的最终估计偏差仅为0.1％，表明本发明在保证对动力学系统状态参数的良好的估计品质的同时能够对动力学系统中不确定参数进行精确估计。

Claims (1)

1.一种动力学系统中不确定参数的估计方法，其特征在于，包括下列步骤：

步骤A，预置动力学系统中不确定参数：

找出动力学系统中待估的不确定参数ρ及其参数值的变化范围[ρ_min,ρ_max]，在该区间上按照设定的概率分布或者预定义的规则，取N个不同的设定值ρ_i，i＝1,2,…,N；其中，ρ_min是该不确定参数变化范围的最小值，ρ_max是该不确定参数变化范围的最大值，ρ_i代表不确定参数ρ的第i个设定值，N是自然数；

步骤B，建立系统动力学模型集，其过程如下：

步骤B-1，建立系统的动力学模型，如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=f(X\left(t\right),t)+F\left(t\right)W\left(t\right)\\ Z\left(t\right)=h(X\left(t\right),t)+V\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，X(t)是n维状态向量，t是时间变量，f(X(t),t)是n维非线性矢量连续函数，F(t)是n×r维系数矩阵，h(X(t),t)是m维非线性矢量连续函数，r,n,m是自然数，W(t),V(t)均为彼此不相关的零均值白噪声；

步骤B-2，将ρ_i代入上式中，得到第i个动力学模型，其解析式为:

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{X}}_i\left(t\right)=f_i(X_i\left(t\right),t)+F_i\left(t\right)W_i\left(t\right)\\ Z_i\left(t\right)=h_i(X_i\left(t\right),t)+V_i\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，X_i(t)是n维状态向量，f_i(X_i(t),t)是n维非线性矢量连续函数，F_i(t)是n×r维系数矩阵，h_i(X_i(t),t)是m维非线性矢量连续函数，W_i(t),V_i(t)均为彼此不相关的零均值白噪声，且满足如下协方差矩阵：

$\left\{\begin{array}{c}E\left(W_i\left(t\right)\right)=0,E\left(W_i\left(t\right){W_i}^T\left(t\right)\right)=Q_i\left(t\right)\mathrm{\δ}(t-\mathrm{\τ})\\ E\left(V_i\left(t\right)\right)=0,E\left(V_i\left(t\right){V_i}^T\left(t\right)\right)=R_i\left(t\right)\mathrm{\δ}(t-\mathrm{\τ})\\ E\left(W_i\left(t\right){V_i}^T\left(t\right)\right)=0,E\left(X_0{W_i}^T\left(\mathrm{\τ}\right)\right)=0,E\left(X_0{V_i}^T\left(\mathrm{\τ}\right)\right)=0\end{array}\right.$

其中，X₀是n维初始状态向量，δ(t-τ)是Dirac-δ函数，τ是时间常数，Q_i(t)为过程噪声方差矩阵是非负定对称矩阵，R_i(t)为测量噪声方差矩阵是对称正定矩阵，Q_i(t)和R_i(t)都对t连续，至此即得到了由N个动力学模型组成的动力学模型集，E(·)为数学期望，(·)^T为矩阵转置；

步骤C，设计扩展卡尔曼滤波器组：

对应于步骤B中的第i个动力学模型，采用扩展卡尔曼滤波方法，得到第i个扩展卡尔曼滤波器的滤波方程组如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{X}}_{i,k+1/k}={\hat{X}}_{i,k/k}+f_i({\hat{X}}_{i,k/k},t_k)T\\ {\hat{X}}_{i,k+1/k+1}={\hat{X}}_{i,k+1/k}+\mathrm{\δ}{\hat{X}}_{i,k+1/k+1}\\ \mathrm{\δ}{\hat{X}}_{i,k+1/k+1}=K_{i,k+1}(Z_{i,k+1}-h_i({\hat{X}}_{i,k+1/k},t_{k+1}\left)\right)\\ K_{i,k+1}=P_{i,k+1/k}{H}_{i,k+1}^T{(H_{i,k+1}{P}_{i,k+1/k}{H}_{i,k+1/k}^T+R_{i,k+1})}^{-1}\\ P_{i,k+1/k}={\mathrm{\Φ}}_{i,k+1/k}{P}_{i,k/k}{\mathrm{\Φ}}_{i,k+1/k}^T+{\mathrm{\Γ}}_{i,k+1/k}{Q}_{i,k}{\mathrm{\Γ}}_{i,k+1/k}^T\\ P_{i,k+1/k+1}=(I-K_{i,k+1}{H}_{i,k+1})P_{i,k+1/k}{(I-K_{i,k+1}{H}_{i,k+1})}^T+K_{i,k+1}{R}_{i,k+1}{K}_{i,k+1}^T\end{array}\right.$

其中，t_k是第k时刻，k是自然数，T是采样周期，I是单位矩阵，是第i个扩展卡尔曼滤波器由u时刻的系统状态得到的v时刻的系统状态估计，P_i,v/u是第i个扩展卡尔曼滤波器由u时刻的系统状态得到的v时刻的系统状态估计的误差方差协方差矩阵，u,v代表第k时刻或第k+1时刻，Φ_i,k+1/k是第i个扩展卡尔曼滤波器由k时刻到k+1时刻的系统状态转移矩阵，Z_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的观测量，K_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的增益，Q_i,k是第i个扩展卡尔曼滤波器在k时刻的系统过程噪声方差矩阵，R_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的测量噪声方差矩阵，Γ_i,k+1/k是第i个扩展卡尔曼滤波器由k时刻到k+1时刻的系统过程噪声系数矩阵，H_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的灵敏矩阵，

${\mathrm{\Φ}}_{i,k+1/k}=I+\frac{\∂f_i\left(X_i\right(t_k),t_k)}{\∂X_i\left(t_k\right)}T$

Γ_i,k+1/k＝Φ_i,k+1/kF_i(t_k)T

$H_{i,k+1}=\frac{\∂h\left(X_i\right(t_{k+1}),t_{k+1})}{\∂X_i\left(t_{k+1}\right)}{|}_{X_i\left(t_{k+1}\right)={\hat{X}}_{i,k+1/k}}$

$Q_{i,k}=\frac{Q_i\left(t\right)}{T}$

$R_{i,k+1}=\frac{R_i\left(t\right)}{T}$

t_k+1是第k+1时刻；由此就得到了由N个扩展卡尔曼滤波器的组成的滤波器组；

步骤D，利用改进后的假设检验算法计算在t_k+1时刻第i个扩展卡尔曼滤波器所输出的第i组参数估计值的权重系数：

$G\left(i\right|k+1)=\frac{p\left(i\right|k+1)G\left(i\right|k)}{\underset{l=1}{\overset{N}{\Σ}}p\left(l\right|k+1)G\left(l\right|k)}$

其中，G(i|k)是G(i|k+1)前一时刻的值，且G(i|k)的计算初值由步骤A中所选用的预置规则唯一确定，l是自然数；第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻的量测值为Z_k+1的条件概率密度函数p(i|k+1)被改进为：

$p\left(i\right|k+1)=\exp ({-10}^{-5}\exp (\mathrm{\κ}\·\mathrm{\ϵ})\·e_i^T{A}_i^{-1}{e}_i)$

e_i＝Z_i,k+1-h_i(X_i,k+1/k)

$A_i=H_{i,k+1}{P}_{i,k+1/k}{H}_{i,k+1}^T+R_{i,k+1}$

其中，κ为计算步数，ε是指定的一个无量纲常值参数；e_i为残差向量；A_i为方差矩阵；(·)^-1为矩阵求逆，exp(·)为指数函数；

步骤E，计算动力学系统状态参数和不确定参数在t_k+1时刻的估计值；

步骤E-1，计算动力学系统中状态参数在t_k+1时刻的估计值：

${\hat{X}}_{MMAE}\left(t_{k+1}\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\hat{X}}_i\left(t_{k+1}\right)G\left(i\right|k+1)$

步骤E-2，计算动力学系统中不确定参数在t_k+1时刻的估计值：

${\widehat{\mathrm{\ρ}}}_{MMAE}\left(t_{k+1}\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\widehat{\mathrm{\ρ}}}_i\left(t_{k+1}\right)G\left(i\right|k+1)$

其中，是第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻所估计出的动力学系统中状态参数的估计值，是第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻所估计出的动力学系统中不确定参数的估计值。