CN103196740B - 一种用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台，变频器调节所述变频电机的转速，动力传输机构将变频电机的动力进行传动输出，执行机构对核桃进行破壳处理，破壳力测试系统测试核桃破壳力的大小，破壳能量测试系统测试执行机构撞击核桃前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量，破壳裂纹产生监测系统摄录核桃破壳时裂纹产生过程；该试验台可测试核桃破壳时果壳开裂的力学特性及破壳能量，在不同的加载力和不同的加载方位下测试果壳的开裂情况，寻找最佳的加载位置，准确测定核桃破壳力的大小、破壳所需能量以及破壳裂纹产生过程，该试验台结构简单，实用性强，将对核桃破壳加工设备的设计与开发提供重要的理论依据和试验基础。

Description

一种用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台

技术领域

本发明属于农业机械技术领域，尤其涉及一种用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台。

背景技术

核桃的结构复杂，外壳坚硬，难以用手剥开，需借助于专用工具如小锤、专用钳子等进行破壳，食用非常不便。必须探索机械化核桃破壳方法，开发工厂化核桃破壳设备，才能满足消费者对核桃日益增长的需求。

目前，国内外学者对于核桃机械化破壳的研究做了大量的工作，也研究出不少核桃破壳设备。这些破壳设备虽然种类繁多，但普遍存在破壳率低、果仁破碎率高等问题。设计开发核桃破壳设备需要充分研究核桃的力学开裂特性，目前学者们基本采用数据处理终端力学分析软件(如有限元法分析软件ANSYS等)对核桃进行虚拟力学特性分析，然后把分析的结果作为核桃破壳设备设计与开发的依据，因为缺少实际用于核桃破壳力学特性分析的试验平台，单纯利用仿真软件进行力学特性参数分析不能保证分析结果的准确性，无法对核桃破壳设备的设计与开发提供切实有效的理论依据和试验基础。

发明内容

本发明提供了一种用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台，旨在解决目前破壳设备普遍存在破壳率低、果仁破碎率高，同时因缺少实际用于核桃破壳力学特性分析的试验平台，单纯利用仿真软件进行力学特性参数分析不能保证分析结果的准确性，无法对核桃破壳设备的设计与开发提供切实有效的理论依据和试验基础的问题。

本发明的目的在于提供一种用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台，该试验台包括：

变频电机；

变频器，输入端与交流电源相连接，输出端与所述变频电机相连接，用于调节所述变频电机的转速；

动力传输机构，与所述变频电机传动连接，用于将所述变频电机的动力进行传动输出；

执行机构，与所述动力传输机构传动连接，用于对核桃进行破壳处理；

破壳力测试系统，用于测试核桃破壳力的大小；

破壳能量测试系统，用于测试所述执行机构撞击核桃前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量；

破壳裂纹产生监测系统，用于摄录核桃破壳时裂纹产生过程。

进一步，该试验台还设置有支架、试验台面、控制台，所述变频器、变频电机、动力传输机构、执行机构及试验台面安装在所述支架上，所述试验台面中央设置有用于放置试验核桃的凹槽，所述控制台与所述变频器、破壳力测试系统及破壳能量测试系统相连接，所述控制台上还设置有显示屏；

进一步，所述动力传输机构包括：小带轮、皮带、大带轮、传动轴和滚动轴承，所述变频电机的输出轴上安装有所述小带轮，所述小带轮通过皮带与所述大带轮传动连接，所述大带轮安装在所述传动轴上，所述传动轴安装在所述滚动轴承上；

进一步，所述执行机构包括：转盘、驱动连杆、滑动冲头，所述转盘的动力输入端与所述动力传输机构中的传动轴传动连接，所述转盘的动力输出端与所述驱动连杆传动连接，所述驱动连杆与所述滑动冲头传动连接；

进一步，所述破壳能量测试系统包括：加速度传感器、前置放大电路、信号调理电路、模数转换电路、数据处理终端，所述加速度传感器与所述前置放大电路相连接，所述前置放大电路与所述信号调理电路相连接，所述信号调理电路与所述模数转换电路相连接，所述模数转换电路与所述数据处理终端相连接，所述数据处理终端与所述控制台上的显示器相连接，显示器对滑动冲头撞击核桃前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量进行显示；

进一步，所述破壳力测试系统包括：压力传感器、信号放大器，所述试验台面的凹槽下方设置有所述压力传感器，所述压力传感器与所述信号放大电路相连接，所述信号放大电路与所述模数转换电路相连接，所述模数转换电路与所述数据处理终端相连接，所述数据处理终端通过控制台上的显示屏显示出破壳力的大小；

进一步，所述破壳裂纹产生监测系统中设置有高速摄像机，试验台面上设置有对核桃破壳裂纹产生全过程进行摄录的高速摄像机，所述高速摄像机与所述数据处理终端相连接，同时核桃破壳裂纹产生全过程通过控制台上的显示屏显示。

进一步，所述试验台破壳所需的能量的测定方法为：设λ＝R/L，活塞组件的位移x为

x＝L+R-(Lcosβ+Rcosα)(1)

Lsinβ＝Rsinα

sinβ＝(R/L)sina＝λsina

$\cos \mathrm{\β}=\sqrt{1-{\sin }^2\mathrm{\β}}=\sqrt{1-{\mathrm{\λ}}^2{\sin }^2\mathrm{\α}}---\left(2\right).$

本发明提供的用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台，变频器调节所述变频电机的转速，动力传输机构将变频电机的动力进行传动输出，执行机构对核桃进行破壳处理，破壳力测试系统测试核桃破壳力的大小，破壳能量测试系统测试执行机构撞击核桃前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量，破壳裂纹产生监测系统摄录核桃破壳时裂纹产生过程；该试验台可测试核桃破壳时果壳开裂的力学特性及破壳能量，在不同的加载力和不同的加载方位下测试果壳的开裂情况，寻找最佳的加载位置，准确测定核桃破壳力的大小、破壳所需能量以及破壳裂纹产生过程，该试验台结构简单，实用性强，将对核桃破壳加工设备的设计与开发提供重要的理论依据和试验基础，具有较强的推广与应用价值。

附图说明

图1是本发明实施例提供的用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台的结构框图；

图2是本发明实施例提供的破壳力测试系统、破壳能量测试系统及破壳裂纹产生监测系统的结构框图；

图3是本发明实施例提供的简化曲柄活塞连杆机构示意图；

图4是本发明实施例提供的用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台的结构示意图。

图中：1-变频器2-电机3-小带轮4-皮带5-支架6-滚动轴承7-传动轴8-大带轮9-控制台10-转盘11-连杆12-滑动冲头13-核桃14-加速度传感器15-压力传感器16-高速摄像机。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步的详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定发明。

图1示出了本发明实施例提供的用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台的结构。为了便于说明，仅示出了与本发明相关的部分。

该试验台包括：

变频电机；

变频器，输入端与交流电源相连接，输出端与变频电机相连接，用于调节变频电机的转速；

动力传输机构，与变频电机传动连接，用于将变频电机的动力进行传动输出；

执行机构，与动力传输机构传动连接，用于对核桃进行破壳处理；

破壳力测试系统，用于测试核桃破壳力的大小；

破壳能量测试系统，用于测试执行机构撞击核桃前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量；

破壳裂纹产生监测系统，用于摄录核桃破壳时裂纹产生过程。

在本发明实施例中，该试验台还设置有支架、试验台面、控制台，变频器、变频电机、动力传输机构、执行机构及试验台面安装在支架上，试验台面中央设置有用于放置试验核桃的凹槽，控制台与变频器、破壳力测试系统及破壳能量测试系统相连接，控制台上还设置有显示屏；

动力传输机构包括：小带轮、皮带、大带轮、传动轴和滚动轴承，变频电机的输出轴上安装有小带轮，小带轮通过皮带与大带轮传动连接，大带轮安装在传动轴上，传动轴安装在滚动轴承上；

执行机构包括：转盘、驱动连杆、滑动冲头，转盘的动力输入端与动力传输机构中的传动轴传动连接，转盘的动力输出端与驱动连杆传动连接，驱动连杆与滑动冲头传动连接；

如图2所示，破壳能量测试系统包括：加速度传感器、前置放大电路、信号调理电路、模数转换电路、数据处理终端，加速度传感器与前置放大电路相连接，前置放大电路与信号调理电路相连接，信号调理电路与模数转换电路相连接，模数转换电路与数据处理终端相连接，数据处理终端与控制台上的显示器相连接，显示器对滑动冲头撞击核桃前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量进行显示；

破壳力测试系统包括：压力传感器、信号放大器，试验台面的凹槽下方设置有压力传感器，压力传感器与信号放大电路相连接，信号放大电路与模数转换电路相连接，模数转换电路与数据处理终端相连接，数据处理终端通过控制台上的显示屏显示出破壳力的大小；

破壳裂纹产生监测系统中设置有高速摄像机，试验台面上设置有对核桃破壳裂纹产生全过程进行摄录的高速摄像机，高速摄像机与数据处理终端相连接，同时核桃破壳裂纹产生全过程通过控制台上的显示屏显示。

本发明涉及一种用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台，用以解决的技术问题是：测试核桃破壳时果壳开裂的力学特性及破壳能量，即在不同的加载力和不同的加载方位下测试果壳的开裂情况，寻找最佳的加载位置，准确测定核桃破壳力的大小、破壳所需能量以及破壳裂纹产生过程。

本发明涉及一种用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台，该试验台采用先进传感技术、单片机控制技术和图像分析显示模块，利用可靠的对心曲柄滑块机构，可对核桃整个破壳过程的开裂特性进行力学分析。该试验台结构简单，实用性强，将对核桃破壳加工设备的设计与开发提供重要的理论依据和试验基础，具有很高的开发应用价值。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：该试验台的动力来自于变频电机，变频器接交流电源，变频电机可通过变频器进行调速，这样可间接控制对核桃加载力的大小。变频电机通过动力传输机构将动力传递到执行机构，动力传输机构由小带轮、皮带、大带轮、传动轴和滚动轴承组成，小带轮安装在变频电机的输出轴上，变频电机提供的动力通过小带轮和皮带传递到大带轮上。大带轮安装在传动轴上，传动轴通过一对滚动轴承固定在支架上，传动轴联接执行机构，并带动执行机构运转，执行机构为一对心曲柄滑块机构，它是由转盘、连杆、滑动冲头构成，该执行机构是核桃破壳力学特性参数测试试验平台的核心工作部件，该试验台用于测定山核桃破壳所需的能量、冲击加速度、冲击力、破壳所需的功率。

破壳所需的能量的测定方法：图3为简化的曲柄活塞连杆机构示意图，OB为曲柄回转半径R，AB为连杆的长度，A为活塞(冲击锤)销轴与连杆中心线的交点。设λ＝R/L，活塞组件的位移x为

x＝L+R-(Lcosβ+Rcosα)(1)

Lsinβ＝Rsinα

sinβ＝(R/L)sina＝λsina

$\cos \mathrm{\β}=\sqrt{1-{\sin }^2\mathrm{\β}}=\sqrt{1-{\mathrm{\λ}}^2{\sin }^2\mathrm{\α}}---\left(2\right)$

按级数展开有：

$\cos \mathrm{\β}=1-\frac{1}{2}{\mathrm{\λ}}^2{\sin }^2\mathrm{\α}-\frac{1}{8}{\mathrm{\λ}}^4{\sin }^4\mathrm{\α}-\frac{1}{16}{\mathrm{\λ}}^6{\sin }^6\mathrm{\α}-\·\·\·\left(3\right)$

将式中α的高次sin函数代以α的倍角一次cos函数：

${\sin }^2\mathrm{\α}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{\α}$

${\sin }^4\mathrm{\α}=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{\α}+\frac{1}{8}\cos 4\mathrm{\α}$

${\sin }^6\mathrm{\α}=\frac{5}{16}-\frac{15}{32}\cos 2\mathrm{\α}-\frac{3}{16}\cos 4\mathrm{\α}-\frac{1}{32}\cos 6\mathrm{\α}---\left(4\right)$

代人3式：

$\cos \mathrm{\β}=[1-\frac{1}{4}{\mathrm{\λ}}^2-\frac{3}{64}{\mathrm{\λ}}^4-\frac{1}{256}{\mathrm{\λ}}^6-\·\·\·]$

$+[\frac{1}{4}{\mathrm{\λ}}^2+\frac{1}{16}{\mathrm{\λ}}^4+\frac{1}{512}{\mathrm{\λ}}^6+\·\·\·]\cos 2\mathrm{\α}$

$-[\frac{1}{64}{\mathrm{\λ}}^4+\frac{3}{256}{\mathrm{\λ}}^6+\·\·\·\·\·\·]\cos 4\mathrm{\α}$

$+[\frac{1}{512}{\mathrm{\λ}}^6+\·\·\·\·\·\·]\cos 6\mathrm{\α}-\·\·\·\·\·\·---\left(5\right)$

将5式代人1式：

$x=R+\frac{R}{4}\mathrm{\λ}-R\cos \mathrm{\α}-\frac{R}{4}\mathrm{\λ}\cos 2\mathrm{\α}+\frac{R}{64}{\mathrm{\λ}}^3\cos 4\mathrm{\α}-\·\·\·---\left(6\right)$

因λ值较小，λ³以上的各项数值较小，无实际意义，可省略。由此得到

$x=R[1+\frac{\mathrm{\λ}}{4}]-R[\cos \mathrm{\α}+\frac{\mathrm{\λ}}{4}\cos 2\mathrm{\α}]$

$=R[(1-\cos \mathrm{\α})+\frac{\mathrm{\λ}}{4}(1-\cos 2\mathrm{\α})]$

活塞组件的速度

随曲柄旋转中心转角α变化的活塞组件的速度为

$U=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{d\α}}\·\frac{\mathrm{d\α}}{\mathrm{dt}}$

为曲柄的角速度，因此有 $U=\mathrm{\ωR}(\sin \mathrm{\α}+\frac{\mathrm{\λ}}{2}\sin 2\mathrm{\α})---\left(7\right)$

求动能的时候，需要求最大动能，即其最大速度时候的动能。活塞组件的速度峰值并不是在α为π/2或3π/2时。

$\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{d\α}}=\mathrm{\ωR}(\cos \mathrm{\α}+\mathrm{\λ}\cos 2\mathrm{\α})$

$=\mathrm{\ωR}[\cos \mathrm{\α}+\mathrm{\λ}(2\mathrm{co}{s}^2\mathrm{\α}-1)]=0$

由此可以得到曲柄销处在活塞组件达到最大值时的转角α_m为：

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{in}}=\arccos \frac{1}{4\mathrm{\λ}}(\sqrt{1+{8\mathrm{\λ}}^2}-1)---\left(8\right)$

活塞组件的最大动能，即是活塞组件达到速度最大时所具有的动能，即

$E=\frac{1}{2}M{U}_{\max }^2$

$U_{\max }=\mathrm{\ωR}(\sin {\mathrm{\α}}_{\max }+\frac{\mathrm{\λ}}{2}\sin 2{\mathrm{\α}}_{\max })$

由能量计算公式如下：

$E=\frac{1}{2}M[\mathrm{\ωR}(\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{in}}+\frac{\mathrm{\λ}}{2}\sin 2{\mathrm{\α}}_{\mathrm{in}}){]}^2(N.m)$

式中：M----连杆活塞组件的质量Kg；

ω----曲柄回转角频率；

R---曲柄长度，即回转半径m；

α_m---当活塞速度最大时的回转角；

λ＝R/L，其中R为曲柄回转半径长度，L为连杆长度。

冲击加速度、冲击力、破壳所需的功率的测定：冲击加速度由加速度传感器获得，冲击力f由压力传感器获得力的信号，图1中的压力传感器为破壳力的大小测定的敏感元件，测试的信号通过信号放大器放大处理至模数转换电路，模数转换电路输出的数字信号送至单片机处理，处理后通过输出外设显示出力的大小。

破壳所需的功率的测定：

采用体积小质量小带宽高的IEPE加速度计进行加速度信号测量，并基于一次数值积分得到速度得大小v。

p＝f·v9

由9式，代人f与v即可获得功率。

执行机构的正下方是试验台面，台面中央设有凹槽，用以放置试验核桃。凹槽的下方装有压力传感器，该压力传感器为破壳力大小测定的敏感元件，测试的信号通过信号放大器放大处理至模数转换电路，模数转换电路输出的数字信号送至数据处理终端处理，处理后通过输出外设(控制台的显示屏)显示出破壳力的大小。在核桃受到撞击载荷时可以测定其加载力的大小。在试验台面旁边安装有一高速摄像机，可摄录核桃破壳时裂纹产生的过程。整个试验平台由控制台操控，试验测试的结果(如核桃破壳力的大小、破壳所需能量、破壳裂纹产生过程等)将通过控制台的显示屏显示。

试验台的结构设计，对心曲柄滑块机构的运用，高速摄像机对核桃开裂过程的追踪，加速度传感器和压力传感器的应用。

本发明的明显效果是：搭建了一种用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台，可以准确测定核桃破壳力的大小、破壳所需能量以及破壳裂纹产生过程，解决了单纯利用仿真软件进行力学特性参数分析准确性得不到保证的问题。

在图1中，变频电机安装在支架上，变频电机接通电源转动，变频电机的转速大小可以通过变频器进行调节；变频电机驱动小带轮转动，小带轮通过皮带将动力传递给安装在传动轴上的大带轮；大带轮带动通过一对滚动轴承固联在支架上的传动轴转动，进而把动力传递给执行机构中的转盘，执行机构中，转盘转动，驱动连杆带动滑动冲头往复运动，核桃在滑动冲头的加载压力下破壳，破壳过程中，加速度传感器的敏感元件将测试点的加速度信号转换为相应的电信号，进入前置放大电路，经过信号调理电路改善信号的信噪比，再进行模数转换电路得到数字信号，然后送入数据处理终端处理，数据处理终端再进行数据存储和显示，即将测试的滑动冲头撞击核桃前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量显示在控制台的显示屏上，于此同时，试验台面凹槽下方的压力传感器将测试的信号通过信号放大器放大处理至模数转换电路，模数转换电路将输出的数字信号送至数据处理终端处理，处理后通过控制台的显示屏显示出破壳力的大小。试验台面旁边的高速摄像机，对核桃破壳时裂纹产生的全过程进行摄录，并通过控制台的显示屏显示。

下面结合附图及具体实施例对本发明的应用原理作进一步描述。

如图4所示，电机2安装在支架5上，电机2接通电源转动，电机2的转速大小可以通过变频器1进行调节；电机2驱动小带轮3转动，小带轮3通过皮带4将动力传递给安装在传动轴7上的大带轮8；大带轮8带动通过一对滚动轴承6固联在支架5上的传动轴7转动，进而把动力传递给执行机构中的转盘10。执行机构中，转盘10转动，驱动连杆11带动滑动冲头12往复运动，核桃13在滑动冲头12的加载压力下破壳。破壳过程中，加速度传感器14的敏感元件将测试点的加速度信号转换为相应的电信号，进入前置放大电路，经过信号调理电路改善信号的信噪比，再进行模数转换得到数字信号，然后送入计算机处理，计算机再进行数据存储和显示，即将测试的滑动冲头12撞击核桃13前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量显示在控制台9的显示屏上。于此同时，试验台面凹槽下方的压力传感器15将测试的信号通过放大器放大处理至A/D转化器，A/D转化器将输出的数字信号送至计算机处理，处理后通过控制台9的显示屏显示出破壳力的大小。试验台面旁边的高速摄像机16，对核桃13破壳时裂纹产生的全过程进行摄录，并通过控制台9的显示屏显示。

本发明实施例提供的用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台，变频器调节变频电机的转速，动力传输机构将变频电机的动力进行传动输出，执行机构对核桃进行破壳处理，破壳力测试系统测试核桃破壳力的大小，破壳能量测试系统测试执行机构撞击核桃前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量，破壳裂纹产生监测系统摄录核桃破壳时裂纹产生过程；该试验台可测试核桃破壳时果壳开裂的力学特性及破壳能量，在不同的加载力和不同的加载方位下测试果壳的开裂情况，寻找最佳的加载位置，准确测定核桃破壳力的大小、破壳所需能量以及破壳裂纹产生过程，该试验台结构简单，实用性强，将对核桃破壳加工设备的设计与开发提供重要的理论依据和试验基础，具有较强的推广与应用价值。

以上仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种用于核桃破壳力学特性参数测试的试验台，其特征在于，该试验台包括：

变频电机；

变频器，输入端与交流电源相连接，输出端与所述变频电机相连接，用于调节所述变频电机的转速；

动力传输机构，与所述变频电机传动连接，用于将所述变频电机的动力进行传动输出；

执行机构，与所述动力传输机构传动连接，用于对核桃进行破壳处理；

破壳力测试系统，用于测试核桃破壳力的大小；

破壳能量测试系统，用于测试所述执行机构撞击核桃前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量；

破壳裂纹产生监测系统，用于摄录核桃破壳时裂纹产生过程；

该试验台还设置有支架、试验台面、控制台，所述变频器、变频电机、动力传输机构、执行机构及试验台面安装在所述支架上，所述试验台面中央设置有用于放置试验核桃的凹槽，所述控制台与所述变频器、破壳力测试系统及破壳能量测试系统相连接，所述控制台上还设置有显示屏；

所述动力传输机构包括：小带轮、皮带、大带轮、传动轴和滚动轴承，所述变频电机的输出轴上安装有所述小带轮，所述小带轮通过皮带与所述大带轮传动连接，所述大带轮安装在所述传动轴上，所述传动轴安装在所述滚动轴承上；

所述执行机构包括：转盘、驱动连杆、滑动冲头，所述转盘的动力输入端与所述动力传输机构中的传动轴传动连接，所述转盘的动力输出端与所述驱动连杆传动连接，所述驱动连杆与所述滑动冲头传动连接；

所述破壳能量测试系统包括：加速度传感器、前置放大电路、信号调理电路、模数转换电路、数据处理终端，所述加速度传感器与所述前置放大电路相连接，所述前置放大电路与所述信号调理电路相连接，所述信号调理电路与所述模数转换电路相连接，所述模数转换电路与所述数据处理终端相连接，所述数据处

理终端与所述控制台上的显示器相连接，显示器对滑动冲头撞击核桃前后的速度和加速度的大小以及破壳所需能量进行显示；

所述破壳力测试系统包括：压力传感器、信号放大器，所述试验台面的凹槽下方设置有所述压力传感器，所述压力传感器与所述信号放大电路相连接，所述信号放大电路与所述模数转换电路相连接，所述模数转换电路与所述数据处理终端相连接，所述数据处理终端通过控制台上的显示屏显示出破壳力的大小；

所述破壳裂纹产生监测系统中设置有高速摄像机，试验台面上设置有对核桃破壳裂纹产生全过程进行摄录的高速摄像机，所述高速摄像机与所述数据处理终端相连接，同时核桃破壳裂纹产生全过程通过控制台上的显示屏显示；

所述试验台破壳所需的能量的测定方法为：设λ＝R/L，活塞组件的位移x为

x＝L+R-(Lcosβ+Rcosα)(1)

Lsinβ＝Rsinα

sinβ＝(R/L)sina＝λsina

$cos\mathrm{\β}=\sqrt{1-{\sin }^2\mathrm{\β}}=\sqrt{1-{\mathrm{\λ}}^2{\sin }^2\mathrm{\α}}---\left(2\right).$