CN103162846B - 一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法 - Google Patents

Abstract

一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法，根据Zernike多项式系数与各阶Walsh函数系数之间的线性关系，确定各项Zernike多项式用Walsh函数展开的系数矩阵，从而实现Zernike多项式像差模式系数与Walsh函数像差模式系数之间的相互转换，若选取其中系数绝对值较大的Walsh函数阶，重新构建转换矩阵，则能有效地减小系数转换矩阵的尺度，以最少和最优的Walsh函数阶的系数信息获得Zernike多项式系数信息；本发明在实际应用中只需测得其中一种像差模式系数，就能通过转换矩阵确定另一种像差模式对应的系数，因此用两种像差模式分别描述波前相位畸变，实现两种像差模式的优势互补，同时也为新型波前传感技术的发展提供一定的帮助。

Description

一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法

技术领域

本发明涉及一种构建两类不同像差模式之间的系数转换矩阵的方法，尤其涉及一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法，用于自适应光学系统波前传感器中。

背景技术

波前传感技术顾名思义就是一种测量光波波前相位的技术手段。光波波前相位信息则是光学检测、光通信以及光学系统等领域的重要数据，而如何描述光波波前及其包含的像差成分也是非常重要问题。通常人们习惯使用幂级数展开的形式来描述光学系统的像差。由于Zernike多项式具有完备性，其形式和光学检测中观测到的常见的像差形式一致，且在单位圆上（可拓展至方域等形状）任意两项Zernike多项式是正交的，因而常常被作为像差模式基函数用于展开波前相位，描述波前像差畸变。

虽然Zernike多项式展开是目前最经典和最常用的波前展开方式，但由于Zernike多项式在定义域内是连续函数，这使得其在描述连续变化的波前时具有很好的效果，而对于描述存在相位突变和相位台阶的波前就显得力不从心。从另一方面来看，光波的波前只是一个值随坐标变化的二元函数，其自身并没有规定波前相位的展开形式，只要函数序列或者多项式序列是完备正交的，则都可以用来表示波前。发展非Zernike多项式的展开方法，不仅仅能够使波前的描述方式更加多元化，还能够为新型波前传感器的发展提供思路。

2009年美国华裔科学家Feiling Wang提出一种基于二元相位调制的波前传感技术，参见“Wavefront sensing through measurement of binary aberration”[Feiling Wang,Appl.Opt.48,2865(2009)]。该方法的理论基础就是用二元完备正交函数序列一Walsh函数序列作为二元像差模式来展开和描述波前相位。每一阶Walsh函数都只有+1和-1二值，非常简洁，同时也适合表示相位突变和相位台阶。但是Feiling Wang在文中也指出，该方法在实际使用时只能采用有限阶的Walsh函数，这些Walsh函数有限的空间频率导致其在复原常见的连续波前时会存在较大的残差，只能通过增加Walsh函数阶数来改善复原效果。但Walsh函数阶数的增加会提高波前复原计算的复杂度，同时也大大削弱了Feiling Wang的方法的速度优势，而且即使形如倾斜或离焦的简单连续像差，理论上也要无穷多阶Walsh函数才能够准确复原，就这点来看，Walsh函数展开法与Zernike多项式展开法相比，在波前相位复原效果上仍然存在一定的劣势。

发明内容

本发明技术解决问题：克服现有的基于探测Walsh函数像差模式的波前传感技术在复原连续波前相位时复原效果和精度上存在的不足，实现在完成探测Walsh函数像差模式信息的情况下，直接获得同一波前相位中对应的Zernike多项式像差模式信息，实现两种波前相位展开方式的相互对应及转换，丰富波前相位展开的形式，为此，本发明的目的是提供Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间的系数转换矩阵，在获得波前相位的任意一种波前展开形式的系数向量后，均可通过转换矩阵直接求出另一种波前展开形式的系数向量，尤其是在基于探测Walsh函数像差模式的波前传感技术获得某一连续波前的Walsh函数展开的系数向量后，即可直接求出该波前用Zernike多项式像差模式展开的系数向量，进而用Zernike多项式的形式来复原和描述该连续波前，回避了Walsh函数空间分辨率有限的问题，同时大大提高了基于探测Walsh函数像差模式的波前传感技术的波前复原精度，提升了波前复原效果。

为实现所述目的，本发明提供一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法，将常见的、连续形式的Zernike多项式像差模式的各项视为待展开的波前相位形式，用二元离散形式的Walsh函数像差模式分别展开各项Zernike多项式，得到一系列Walsh函数展开系数向量，进而构成Zernike多项式系数与Walsh函数系数之间的转换矩阵，从而在只测得波前相位中Walsh函数像差模式系数信息的情况下，通过系数转换矩阵直接得到波前相位中Zernike多项式像差模式的系数向量，进而实现以连续形式表示测得的波前相位信息，其特征在于通过以下步骤实现Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的建立：

步骤1：确定待测波前中包含的Zernike多项式项数N_Z与Walsh函数阶数N_W，其中N_W>N_Z，且N_W＝4^k，k为正整数；生成各项Zernike多项式和各阶Walsh函数的二维矩阵，矩阵大小为M×N，M、N均为正整数，由于波前展开一般都在方形定义域上，因此M、N一般情况下取值相等；分别将各项Zernike多项式和各阶Walsh函数二维矩阵改写成1×(M×N)的一维向量形式Z_i，即第i项Zernike多项式向量，i∈[1,N_Z]和W_l即第l阶Walsh函数向量,l∈[0,N_W-1]；

步骤2：用N_W阶Walsh函数作为波前展开的像差模式分别展开各项Zernike多项式其中为第i项Zernike多项式展开的第l阶Walsh函数系数，εi为对应的展开误差向量，由此得到Zernike多项式与Walsh函数关系矩阵:

Z＝A·W+ε（1）

Z为N_Z项Zernike多项式向量矩阵，A为N_Z项Zernike多项式N_W阶Walsh函数展开的系数矩阵，W为N_W阶Walsh函数向量矩阵，ε为N_Z项Zernike多项式用N_W阶Walsh函数展开的展开误差向量矩阵；

步骤3：求解上述方程中的系数矩阵A,采用矩阵W的广义逆W⁺表示:

A＝Z·W⁺（2）

矩阵A即为N_Z项Zernike多项式像差模式系数C_Z与N_W阶Walsh函数像差模式系数C_W之间的转换矩阵，C_Z为1×N_Z向量，C_W为1×N_W向量，有:

C_W＝C_Z·A，C_Z＝C_W·A⁺（3）

利用矩阵A和矩阵A的广义逆A⁺,根据式(3)的两个关系式，即可在确定某个波前相位用N_W阶Walsh函数像差模式展开的系数向量的情况下，直接求出同一波前用N_Z项Zernike多项式像差模式展开的系数向量，从而以连续形式重构待测波前信息；反之，当测得某个波前相位中包含的各项Zernike多项式像差模式的系数信息时，可以直接求出该波前相位中各阶Walsh函数像差模式的系数成分；

步骤4：根据需求确定是否要用最少和最优的Walsh函数序列的系数信息复原波前相位中各项Zernike多项式像差模式的系数向量，若不需要则用步骤3中的矩阵A即为最终的系数转换矩阵；若需要，则继续执行以下步骤；

步骤5：从步骤3中的系数矩阵A中选出最优的N_Z阶Walsh函数，用该N_Z阶Walsh函数重新构建步骤2中的关系矩阵：

Z＝A′·W′+ε′（4）

式中W′表示选出的N_Z阶Walsh函数向量矩阵，A′为N_Z项Zernike多项式用N_Z阶Walsh函数像差模式展开的系数矩阵，ε′为N_Z项Zernike多项式用N_Z阶Walsh函数像差模式展开的展开误差向量矩阵；

步骤6：方程（4）的系数矩阵A′的解采用矩阵W′的广义逆(W′)⁺表示:

A′＝Z·(W′)⁺（5）

矩阵A′即为N_Z项Zernike多项式像差模式系数C_Z与选出的N_Z阶Walsh函数像差模式系数C′_W之间的转换矩阵，C_Z、C′_W均为1×N_Z向量，有:

C′_W＝C_Z·A′，C_Z＝C′_W·(A′)⁺（6）

利用矩阵A′和矩阵A′的广义逆(A′)⁺和式（6）的两个关系式，若确定某个波前相位的该N_Z阶Walsh函数展开的系数向量C′_W，即可求出同一波前的N_Z项Zernike多项式展开系数向量C_Z，由于Zernike多项式是连续形式的，最终实现在测得离散的Walsh函数像差模式系数的情况下，仍可用常见的连续形式表示波前相位，反之也可根据波前相位中N_Z项Zernike多项式像差模式的系数向量C_Z，求出该波前相位用N_Z阶Walsh函数像差模式展开的展开系数向量C′_W。

本发明与现有技术相比有如下优点：

（1）本发明给出了Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式两种波前相位展开基函数的对应关系，能够方便、直观地用其中一种像差模式表示另一种像差模式，丰富了波前展开的形式；

（2）本发明在用Walsh函数展开波前相位时，能够用有限阶的Walsh函数系数向量求出同一波前相位的Zernike多项式展开系数向量，进而以对应的Zernike多项式形式来描述波前，实现只需有限阶的Walsh函数系数信息即可获得原本需要无穷阶Walsh函数系数信息才能准确复原的连续波前，不仅大大减少了基于探测Walsh函数像差模式的波前传感技术（如基于二元相位调制波前传感技术）需要探测的Walsh函数阶数，明确了需要探测的Walsh函数阶次，同时显著提高了该类技术的波前复原精度，回避了精度与速度的矛盾，大大提升了对连续波前的波前复原效果。

附图说明

图1为本发明一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法的流程图；

图2为256阶Walsh函数像差模式直接复原波前的仿真结果（左图为原波前，中图为复原波前，右图为复原残差）；

图3为根据256阶Walsh函数系数通过系数转换矩阵求出35项Zernike多项式系数后的波前复原仿真结果（左图为原波前，中图为复原波前，右图为复原残差）；

图4为根据256阶Walsh函数系数通过系数转换矩阵求出的35项Zernike多项式系数及误差（左图为复原系数与理论值对比图，右图为复原系数误差分布图）；

图5为100组用随机方式挑选35阶Walsh函数序列重新构建的系数转换矩阵的条件数；

图6为用最优35阶Walsh函数系数通过对应的系数转换矩阵求出35阶Zernike多项式系数后的波前复原仿真结果（左图为原波前，中图为复原波前，右图为复原残差）；

图7为根据最优35阶Walsh函数系数通过对应的系数转换矩阵求出的35项Zernike多项式系数及误差（左图为复原系数与理论值对比图，右图为复原系数误差分布图）；

图8为原波前含前23项Zernike多项式像差模式成分时，根据最优35阶Walsh函数系数通过对应的系数转换矩阵求出的35项Zernike多项式系数及误差（左图为复原系数与理论值对比图，右图为复原系数误差分布图）；

图9为原波前含有前65项Zernike多项式像差模式成分时，根据最优35阶Walsh函数系数通过对应的系数转换矩阵求出的35项Zernike多项式系数及误差（左图为复原系数与理论值对比图，右图为复原系数误差分布图）。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实施例，并参照附图，对本发明进一步详细说明。

通常情况下波前相位分布被认为是连续的，而且低阶项的Zernike多项式分布与实际光学系统常见的像差种类分布相吻合，因此Zernike多项式作为像差模式，已经成为描述波前相位和像差种类信息最为经典的方式。常见的波前传感器（如哈特曼-夏克波前传感器）不仅给出波前相位分布形式，而且也提供波前相位中包含的各项Zernike多项式系数信息，让使用者明确波前相位中的像差种类和成分。但是波前相位实际上也存在“台阶式”的跃变，用连续的Zernike多项式很难准确地描述此类波前跃变，而且用非Zernike多项式形式来展开波前也会为波前探测提供新的思路。目前已经提出的基于二元相位调制的波前传感技术就是一种探测波前相位中Walsh函数像差模式成分，进而复原波前的技术方案。Walsh函数本身就是-1、1二值的完备正交函数序列，适合于描述相位跃变。由于该技术探测是Walsh函数像差模式，其自身原理结构具有高速波前探测的潜力。但探测连续变化的波前相位分布时，用二元离散的Walsh函数描述非常困难，理论上需要无穷多阶Walsh函数才能准确描述一个连续相位分布。然而，若将连续形式的Zernike多项式像差模式的各项视为待展开的波前相位形式，根据Zernike多项式系数与各阶Walsh函数系数之间的线性关系，确定各项Zernike多项式用Walsh函数像差模式展开的系数矩阵，建立Zernike多项式系数与Walsh函数系数之间的转换矩阵，就可实现Zernike多项式与Walsh函数两种不同像差模式的系数之间的相互转换，在测量到波前相位中以任意一类像差模式展开的系数向量后，直接就可通过系数转换矩阵求出同一波前相位以另一类像差模式展开的系数向量，将离散的像差模式与连续的像差模式相对应。

图1是种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法的流程图，具体的实施过程为：

步骤1：确定待测波前中需探测的Zernike多项式项数为35阶，Walsh函数阶数为256,即以前35阶Zernike多项式和前256阶Walsh为例，构建两种像差模式之间的系数转换矩阵；依次生成前35项的Zernike多项式矩阵（单位圆域内且RMS归一化为1），每项的矩阵大小均为512×512，然后以一定顺序（矩阵每列数据依次首尾相接排列）将每项Zernike多项式512×512矩阵改写为1×262144的一维向量形式Z_i（第i项Zernike多项式向量，i∈[1,65]），依次生成前256阶Walsh函数矩阵（单位圆域内且RMS归一化为1），矩阵大小均为512×512，按照与Zernike多项式相同的方法将每阶Walsh函数的512×512矩阵改写为1×262144的一维向量形式W_l（第l阶Walsh函数向量,l∈[0,255]）。

步骤2：用256阶Walsh函数像差模式展开第i项Zernike多项式其中为第l阶Walsh函数系数，ε_i为对应的展开误差向量（1×262144的一维向量），由此得到第i项单位圆内归一化Zernike多项式像差模式用256阶Walsh函数像差模式展开的矩阵形式：

$Z_i=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_0^{\left(i\right)}& a_1^{\left(i\right)}& a_2^{\left(i\right)}& ...& a_{255}^{\left(i\right)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{W}_0\\ W_1\\ W_2\\ .\\ .\\ .\\ W_{255}\end{array}\right]+{\mathrm{\ϵ}}_i---\left(1\right)$

将35项Zernike多项式分别展开，得到35项Zernike多项式与256阶Walsh函数关系矩阵为：

$\left[\begin{array}{c}{Z}_1\\ Z_2\\ Z_3\\ .\\ .\\ .\\ Z_{35}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_0^{\left(1\right)}& a_1^{\left(1\right)}& a_2^{\left(1\right)}& ...& a_{255}^{\left(1\right)}\\ a_0^{\left(2\right)}& a_1^{\left(2\right)}& a_2^{\left(2\right)}& ...& a_{255}^{\left(2\right)}\\ a_0^{\left(3\right)}& a_1^{\left(3\right)}& a_2^{\left(3\right)}& ...& a_{255}^{\left(3\right)}\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& ...& .\\ .& .& .& & .\\ a_0^{\left(35\right)}& a_2^{\left(35\right)}& a_2^{\left(35\right)}& ...& a_{255}^{\left(35\right)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{W}_0\\ W_1\\ W_2\\ .\\ .\\ .\\ W_{255}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\mathrm{\ϵ}}_2\\ {\mathrm{\ϵ}}_3\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ϵ}}_{35}\end{array}\right]$

记为：Z＝A·W+ε（2）

Z为35项Zernike多项式向量矩阵，大小为35×262144，A为35项Zernike多项式分别以255阶Walsh函数展开的展开系数矩阵，大小为35×255，W为255阶Walsh函数向量矩阵，大小为255×262144，ε为35项Zernike多项式展开后的展开误差向量矩阵，大小为35×262144。

步骤3：Z矩阵和W矩阵中的元素均已知，求解上述方程中的系数矩阵A,可用矩阵W的广义逆W⁺表示:

A＝Z·W⁺（3）

矩阵A即为35项Zernike多项式像差模式系数C_Z与255阶Walsh函数像差模式系数C_W之间的转换矩阵，C_Z为1×35向量，C_W为1×255向量，有：

C_W＝C_Z·A，C_Z＝C_W·A⁺（4）

如果以Walsh函数作为测量时的目标像差模式，在测得波前相位中各阶Walsh函数像差模式的系数后，可以根据式（4）求出对应的Zernike多项式像差模式的系数向量，从而以Zernike多项式像差模式描述重构的波前。

图2为用256阶Walsh函数，以残差RMS最小为目标，直接迭代获得各阶Walsh函数系数，再用256阶Walsh函数作为像差模式重构波前的仿真结果图，从图中可以看到虽然复原的波前与原波前有很大的相似性，复原残差波前的RMS和PV均有显著减小，但是残差仍然显得较大，且残差中可以很明显地观察到因复原的Walsh函数空间频率有限而导致的毛刺。

图3为256阶Walsh函数系数通过上述步骤生成的系数转换矩阵得到对应的35项Zernike系数，并以Zernike多项式的形式描述复原波前，从图中可以看到复原波前与原波前非常接近，残差的RMS和PV均只有原波前的千分之一量级左右；将通过系数转换矩阵得到的35项Zernike系数与生成原波前的35项Zernike多项式系数理论值进行对比，如图4所示，两者之间的差异很小，均在千分之一量级附近，系数转换矩阵A的条件数为2.0194，接近1，因此系数转换求解的结果是稳定的。

步骤4：只构建256阶Walsh函数像差模式和35项Zernike多项式像差模式系数转换矩阵，用256阶Walsh函数像差模式系数来求解35项Zernike多项式像差模式系数在实际应用时存在两个问题：一是256阶Walsh函数系数求解对于实际的波前探测方法来说负担较重，以基于二元相位调制的波前传感技术为例，需要探测的Walsh函数阶数越高，系数求解就越复杂，且理论的探测速度就越低，大大削弱了该技术的速度优势；二是以256阶Walsh函数系数求解35项Zernike多项式系数的方式从信息量的角度看是存在一定的信息冗余的，上述两个问题均指向同一个需求，即在保证求解稳定，波前复原精度可保证的情况下，减少求解所需的Walsh函数阶数。

步骤5：从步骤3构建的系数矩阵A中选出35阶Walsh函数，选择的方法为：

a，系数矩阵A的第一行表示第1项Zernike多项式像差模式被256

阶Walsh函数展开的系数向量，找出其中展开系数绝对值的最大值（第1列忽略，既忽略第0阶Walsh函数），该系数对应的Walsh函数在展开项中所占比重最大，将该阶Walsh函数放入最优展开的阶数序列中，并且将系数矩阵A中该最大值所在列的所有值均置为0，以避免该阶Walsh函数被重复选出；

b，对第2项至第35项Zernike多项式像差模式的Walsh函数像差模式展开的系数向量重复a的过程，直至选出最优的35阶Walsh函数；

c，将选出的35阶Walsh函数按阶数从小到大依次排序，则有选出的35阶Walsh函数阶次依次为：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、17、18、19、20、21、22、23、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、81、82、83。

用该35阶Walsh函数重新构建步骤2中的关系矩阵：

$\left[\begin{array}{c}{Z}_1\\ Z_2\\ Z_3\\ .\\ .\\ .\\ Z_{N_Z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{c1}^{\left(1\right)}& a_{c2}^{\left(1\right)}& a_{c3}^{\left(1\right)}& ...& a_{N_Z}^{\left(1\right)}\\ a_{c1}^{\left(2\right)}& a_{c2}^{\left(2\right)}& a_{c3}^{\left(2\right)}& ...& a_{N_Z}^{\left(2\right)}\\ a_{c1}^{\left(3\right)}& a_{c2}^{\left(3\right)}& a_{c3}^{\left(3\right)}& ...& a_{N_Z}^{\left(3\right)}\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& ...& .\\ .& .& .& & .\\ a_{c1}^{\left(N_Z\right)}& a_{c2}^{\left(N_Z\right)}& a_{c3}^{\left(N_Z\right)}& ...& a_{N_Z}^{\left(N_Z\right)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{W}_{c1}\\ W_{c2}\\ W_{c3}\\ .\\ .\\ .\\ W_{N_Z}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1^{\′}\\ {\mathrm{\ϵ}}_2^{\′}\\ {\mathrm{\ϵ}}_3^{\′}\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ϵ}}_{N_Z}^{\′}\end{array}\right]$

记为：Z＝A′·W′+ε′（5）式中i∈[1,35],表示第i项Zernike多项式像差模式用上述35阶Walsh函数展开中第cj阶Walsh函数系数,cj中j∈[1,35],表示选出的35阶Walsh函数经排序后的第j项Walsh函数的阶数，如c1表示第2阶，c35表示第83阶，而W_cj表示相应的第cj阶Walsh函数向量,ε′_i表示第i项Zernike多项式像差模式的Walsh函数像差模式展开的展开误差向量；W′表示选出的35阶Walsh函数向量矩阵，A′为35项Zernike多项式像差模式用35阶Walsh函数像差模式展开的展开系数矩阵，ε′为35项Zernike多项式像差模式用35阶Walsh函数展开的展开误差向量矩阵；

步骤6：方程（5）的系数矩阵A′的解可用矩阵W′的广义逆(W′)⁺表示:

A′＝Z·(W′)⁺（6）

矩阵A′即为35项Zernike多项式像差模式系数C_Z与选出的35阶Walsh函数像差模式系数C′_W之间的转换矩阵，C_Z、C′_W均为1×35向量，有：

C′_W＝C_Z·A′，C_Z＝C′_W·(A′)⁺（7）

用该方法得到的系数转换矩阵A′的条件数为4.2034，比之前的系数转换矩阵A的条件数略大，但是还是控制在10以下，能够保证像差模式系数求解的稳定性，若是采用随机从256阶Walsh函数中选出35阶的方法，则构成的系数转换矩阵条件数会非常大。如图5所示，随机选出100组35阶Walsh函数组合，根据其生成的100个系数转换矩阵，条件数最大达到5.3532×10²¹，最小的也有6.1977×10¹⁶，均值在2.3365×10²⁰，显然与之前所述通过挑选展开系数绝对值最大的方法的结果相去甚远。

图6为利用35阶Walsh函数系数以及对应的系数转换矩阵进行波前复原的仿真结果，从图中可以看到复原波前与原波前符合得非常好，复原残差也在非常小的水平；图7给出了用35阶Walsh函数系数转换得到的35项Zernike多项式系数与生成原波前时的35项Zernike多项式系数的对比情况，两者一致性非常好，系数差距在千分之一数量级。若是原波前相位中所含有的Zernike多项式像差模式项数小于35阶（如23阶Zernike多项式生成原波前），通过图8的仿真结果可以看出，转换矩阵仍然能够保证求出的Zernike多项式模式系数具有很高的准确性；若是原波前相位中所含有的Zernike多项式像差模式的项数大于35阶（如65阶Zernike多项式生成原波前），图9所示的仿真结果虽然表明通过系数转换矩阵求得的Zernike多项式系数的误差较之前两种情况有一定的增大，但是求解系数较真实系数的偏差在0.1量级范围内，与原来的系数还是能够很好地吻合。

以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内。

Claims (4)

1.一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法，其特征在于通过以下步骤实现：

步骤1：确定待测波前中包含的Zernike多项式项数N_Z与Walsh函数阶数N_W，其中N_W>N_Z，且N_W＝4^k，k为正整数；生成各项Zernike多项式和各阶Walsh函数的二维矩阵，矩阵大小为M×N，M、N均为正整数，由于波前展开一般都在方形定义域上，因此M、N一般情况下取值相等；分别将各项Zernike多项式和各阶Walsh函数二维矩阵改写成1×(M×N)的一维向量形式Z_i，即第i项Zernike多项式向量，i∈[1,N_Z]和W_l即第l阶Walsh函数向量,l∈[0,N_W-1]；

步骤2：用N_W阶Walsh函数作为波前展开的像差模式分别展开各项Zernike多项式其中为第i项Zernike多项式展开的第l阶Walsh函数系数，ε_i为对应的展开误差向量，由此得到Zernike多项式与Walsh函数关系矩阵：

Z＝A·W+ε   (1)

Z为N_Z项Zernike多项式向量矩阵，A为N_Z项Zernike多项式N_W阶Walsh函数展开的系数矩阵，W为N_W阶Walsh函数向量矩阵，ε为N_Z项Zernike多项式用N_W阶Walsh函数展开的展开误差向量矩阵；

步骤3：求解上述方程中的系数矩阵A,采用矩阵W的广义逆W⁺表示：

A＝Z·W⁺     (2)

矩阵A即为N_Z项Zernike多项式像差模式系数C_Z与N_W阶Walsh函数像差模式系数C_W之间的转换矩阵，C_Z为1×N_Z向量，C_W为1×N_W向量，有：

C_W＝C_Z·A，C_Z＝C_W·A⁺     (3)

利用矩阵A和矩阵A的广义逆A⁺,根据式(3)的两个关系式，即可在确定某个波前相位用N_W阶Walsh函数像差模式展开的系数向量的情况下，直接求出同一波前用N_Z项Zernike多项式像差模式展开的系数向量，从而以连续形式重构待测波前信息；反之，当测得某个波前相位中包含的各项Zernike多项式像差模式的系数信息时，可以直接求出该波前相位中各阶Walsh函数像差模式的系数成分；

步骤4：根据需求确定是否要用最少和最优的Walsh函数序列的系数信息复原波前相位中各项Zernike多项式像差模式的系数向量，若不需要则用步骤3中的矩阵A即为最终的系数转换矩阵；若需要，则继续执行以下步骤；

步骤5：从步骤3中的系数矩阵A中选出最优的N_Z阶Walsh函数，用该N_Z阶Walsh函数重新构建步骤2中的关系矩阵：

Z＝A′·W′+ε′   (4)

式中W′表示选出的N_Z阶Walsh函数向量矩阵，A′为N_Z项Zernike多项式用N_Z阶Walsh函数像差模式展开的系数矩阵，ε′为N_Z项Zernike多项式用N_Z阶Walsh函数像差模式展开的展开误差向量矩阵；

所述步骤5中的最优的N_Z阶Walsh函数通过以下步骤选出：

步骤a：系数矩阵A的第一行表示第1项Zernike多项式像差模式用N_W阶Walsh函数像差模式展开的系数向量，找出其中展开系数绝对值的最大值(其中第1列忽略，忽略第0阶Walsh函数)，该系数对应的Walsh函数在展开项中所占比重最大，将该阶Walsh函数放入最优展开的阶数序列中，并且将系数矩阵A中该最大值所在列的所有值均置为0，以避免该阶Walsh函数被重复选出；

步骤b：对第2项至第N_Z项Zernike多项式的Walsh函数像差模式展开系数向量重复上述步骤a的过程，直至选出最优的N_Z阶Walsh函数；

步骤c：将选出的N_Z阶Walsh函数按阶数从小到大依次排序；

步骤6：方程(4)的系数矩阵A′的解采用矩阵W′的广义逆(W′)⁺表示：

A′＝Z·(W′)⁺     (5)

矩阵A′即为N_Z项Zernike多项式像差模式系数C_Z与选出的N_Z阶Walsh函数像差模式系数C′_W之间的转换矩阵，C_Z、C′_W均为1×N_Z向量，有：

C′_W＝C_Z·A′，C_Z＝C′_W·(A′)⁺     (6)

利用矩阵A′和矩阵A′的广义逆(A′)⁺和式(6)的两个关系式，若确定某个波前相位的该N_Z阶Walsh函数展开的系数向量C′_W，即可求出同一波前的N_Z项Zernike多项式展开系数向量C_Z，由于Zernike多项式是连续形式的，最终实现在测得离散的Walsh函数像差模式系数的情况下，仍可用常见的连续形式表示波前相位，反之，根据波前相位中N_Z项Zernike多项式像差模式的系数向量C_Z，求出该波前相位用N_Z阶Walsh函数像差模式展开的展开系数向量C′_W。

2.根据权利要求1所述的一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法，其特征在于：所述步骤3中的Zernike多项式与Walsh函数关系矩阵Z＝A·W+ε具有如下形式：

$\left[\begin{array}{c}{Z}_1\\ Z_2\\ Z_3\\ .\\ .\\ .\\ Z_{N_Z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_0^{\left(1\right)}& a_1^{\left(1\right)}& a_2^{\left(1\right)}& ...& a_{N_w-1}^{\left(1\right)}\\ a_0^{\left(2\right)}& a_1^{\left(2\right)}& a_2^{\left(2\right)}& ...& a_{N_w-1}^{\left(2\right)}\\ a_0^{\left(3\right)}& a_1^{\left(3\right)}& a_2^{\left(3\right)}& ...& a_{N_w-1}^{\left(3\right)}\\ .& \text{.}& .& ...& .\\ .& .& \text{.}& ...& .\\ .& .& .& ...& .\\ a_0^{\left(N_z\right)}& a_2^{\left(N_z\right)}& a_2^{\left(N_z\right)}& ...& a_{N_w-1}^{\left(N_z\right)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{W}_0\\ W_1\\ W_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ W_{N_w-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\mathrm{\ϵ}}_2\\ {\mathrm{\ϵ}}_3\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\ϵ}}_{N_Z}\end{array}\right]$

记为：     Z＝A·W+ε

式中Z_i，i∈[1,N_Z]表示第i项Zernike多项式像差模式向量，W_l，l∈[0,N_W-1]表示第l阶Walsh函数像差模式向量，表示第i项Zernike多项式用N_W阶Walsh函数像差模式展开中第l阶Walsh函数的系数，ε_i为对应的展开误差向量，若Z_i、W_l均为1×(M×N)向量，M、N均为正整数，则Z矩阵大小为N_Z×(M×N)，W矩阵大小为N_W×(M×N)，A矩阵大小为N_Z×N_W，ε矩阵大小为N_Z×(M×N)。

3.根据权利要求1所述的一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法，其特征在于：所述步骤5中重构的关系矩阵具体形式为：

$\left[\begin{array}{c}{Z}_1\\ Z_2\\ Z_3\\ .\\ .\\ .\\ Z_{N_Z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{c1}^{\left(1\right)}& a_{c2}^{\left(1\right)}& a_{c3}^{\left(1\right)}& ...& a_{N_Z}^{\left(1\right)}\\ a_{c1}^{\left(2\right)}& a_{c2}^{\left(2\right)}& a_{c3}^{\left(2\right)}& ...& a_{N_Z}^{\left(2\right)}\\ a_{c1}^{\left(3\right)}& a_{c2}^{\left(3\right)}& a_{c3}^{\left(3\right)}& ...& a_{N_Z}^{\left(3\right)}\\ .& \text{.}& .& ...& .\\ .& .& \text{.}& ...& .\\ .& .& .& ...& .\\ a_{c1}^{\left(N_z\right)}& a_{c2}^{\left(N_z\right)}& a_{c3}^{\left(N_z\right)}& ...& a_{N_Z}^{\left(N_z\right)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{W}_{c1}\\ W_{c2}\\ W_{c3}\\ \·\\ \·\\ \·\\ W_{N_Z}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1^{\′}\\ {\mathrm{\ϵ}}_2^{\′}\\ {\mathrm{\ϵ}}_3^{\′}\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\ϵ}}_{N_Z}^{\′}\end{array}\right]$

记为：     Z＝A′·W′+ε′

式中Z_i，i∈[1,N_Z]表示第i项Zernike多项式像差模式向量，表示第i项Zernike多项式像差模式的展开式中第cj阶Walsh函数像差模式系数,i∈[1,N_Z],cj中j∈[1,N_Z],表示选出的N_Z阶Walsh函数经排序后的第j项Walsh函数像差模式的阶数，W_cj表示相应的第cj阶Walsh函数像差模式向量,ε′_i表示第i项Zernike多项式像差模式的展开误差向量；若Z_i、W_cj均为1×(M×N)向量，M、N均为正整数，则Z、W′矩阵大小均为为N_Z×(M×N)，A′为N_Z×N_Z方矩阵，ε′矩阵大小为N_Z×(M×N)。

4.根据权利要求1所述的一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法，其特征在于：所述的Walsh函数与Zernike多项式形式需保持统一，同为圆域或者方域。