CN102982210B - 一种钟形振子式角速率陀螺模型建立方法 - Google Patents

一种钟形振子式角速率陀螺模型建立方法 Download PDF

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Abstract

一种针对钟形振子式角速率陀螺的模型建立方法，该方法包括下列步骤：（1）利用简化弹性薄板弯曲振动理论化简钟形振子；（2）求解钟形振子圆柱面形部分；（3）求解钟形振子半球面形部分；（4）求解钟形振子底部边缘部分振动形式；（5）将步骤（2）、（3）、（4）进行融合，得出钟形振子的频率计算公式和动力学方程。本发明采用简化的弹性薄板弯曲振动理论进行分析，简化了计算过程，大大缩短了钟形振子的设计周期，从而缩短了整个钟形振子式角速率陀螺开发的时间，为钟形振子式角速率陀螺的合理设计提供了依据。

Description

一种钟形振子式角速率陀螺模型建立方法
技术领域
本发明属于角速率陀螺技术领域，具体涉及一种钟形振子式角速率陀螺的振子模型建立方法。
背景技术
陀螺作为敏感载体角运动的惯性器件，是惯性导航、制导的核心部件。基于哥氏力原理的振动陀螺具有所有的惯性品质，其在惯性技术领域的地位越来越重要，已被人们当作新一代的惯性仪表受到广泛的关注。在科学技术发展和市场需求的推动下，各种振动陀螺相继出现。
专利号为：ZL201010215745.1，发明名称为：钟形振子式角速率陀螺的专利申请提供了一种钟形振子式角速率陀螺，该钟形振子式角速率陀螺是一种基于哥氏力原理的振动陀螺，其敏感器件采用熔融石英材料的钟形谐振子。目前，基于该钟形振子式角速率陀螺的振子设计，是依靠经验判断法和试凑法得来的，这两种方法研发成本高，研制周期长。且对于钟形振子的具体振动过程缺乏理论上的分析。
发明内容
本发明的目的是为了克服经验判断法和参数试凑法设计的钟形振子式角速率陀螺振子的研发成本高、研制周期长等缺点，提出一种钟形振子式角速率陀螺振子的模型建立方法，该方法给出了钟形振子的谐振频率振动方法和动力学模型，分析了钟形振子的振动过程，有助于科研人员熟悉钟形振子的振动机理，从而缩短钟形振子的设计周期，节约了整个钟形振子式角速率陀螺的开发时间。
为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：
一种钟形振子式角速率陀螺振子结构设计方法，包括以下步骤：
步骤1，利用简化的弹性薄板弯曲振动理论对钟形振子进行化简；
步骤2，计算钟形振子中圆柱面形部分振动模型；
步骤3，计算钟形振子中半球面形部分振动模型；
步骤4，计算钟形振子中底部边缘部分振动模型；
步骤5，对步骤2、步骤3、步骤4进行融合，得到钟形振子整体振动模型。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
（1） 本发明提供的钟形振子式角速率陀螺振子模型建立方法，利用简化的弹性薄板弯曲振动微分方程作为基础，为钟形振子的模型分析奠定了基础；
（2） 本发明提供的钟形振子式角速率陀螺振子模型建立方法提高了验证分析能力和准确性，为钟形振子的合理设计提供了依据；
（3） 本发明提供的钟形振子式角速率陀螺振子模型建立方法通过对钟形振子各曲面结构进行分析，简化了分析过程，避免了对复杂旋转曲面的直接求解；
（4） 本发明提供的钟形振子式角速率陀螺振子模型建立方法可以得到指导设计的有效分析数据，方便设计人员总结出结构设计的经验，从而归纳形成设计的规范和标准。
附图说明
图1为钟形振子式角速率陀螺振子结构设计方法流程图；
图2为钟形振子示意图；
图3为钟形振子圆柱面形部分坐标示意图；
图4为钟形振子半球面形部分坐标示意图。
具体实施方式
钟形振子式角速率陀螺的原理是利用发生谐振的钟形振子旋转时引起的振型角度的进动，来确定陀螺基座绕惯性空间旋转的角度。为使钟形振子能产生环向波数n=2的理想振型，必须准确地控制钟形振子的激振频率，而这一频率正是钟形振子在该振型下的固有频率，因此我们就要对钟形振子的结构进行合理设计，使得到的钟形振子能产生理想振型，并按照要求的振动模式进行振动。
本发明提供的钟形振子式角速率陀螺模型建立方法的流程如图1所示，具体如下：
步骤1，利用简化的弹性薄板弯曲振动理论简化钟形振子；
钟形振子结构示意图如图2所示。在弹性薄板弯曲振动理论中，薄板小挠度弯曲的问题是从位移角度进行求解的，将薄板的挠度                                                取为基本未知函数，所谓弹性曲面微分方程就是将所有的其他物理量，都用
Figure 369479DEST_PATH_IMAGE001
来表示，最终建立
Figure 442477DEST_PATH_IMAGE001
的微分方程如下：
                   
Figure 410433DEST_PATH_IMAGE002
             (1)
其中，
Figure 506565DEST_PATH_IMAGE003
，称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是
Figure 546066DEST_PATH_IMAGE004
。
求解薄板小挠度弯曲的问题时，须按照薄板侧面上（即板边上）的边界条件，由这个微分方程求出挠度
Figure 676833DEST_PATH_IMAGE001
，然后求取相应应力分量。
钟形振子是一个振动体，可视为无穷多个微小薄板弯曲的组成，所以需要根据薄板曲面微分方程推导出薄板振动的方程（在振子实际工作过程中，只受到垂直于中面方向的横向振动，故只研究薄板在垂直于中面方向的横向振动问题）。
设薄板在平衡位置的挠度为，薄板所受的横向静载荷为
Figure 930276DEST_PATH_IMAGE006
。按照薄板的弹性曲面微分方程，有薄板自由振动微分方程如下：
                        
Figure 445571DEST_PATH_IMAGE007
                  (2)
其中，
Figure 430845DEST_PATH_IMAGE008
为薄板每单位面积内的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振动的质量），微分方程(2)有如下形式的解：
           
Figure 740604DEST_PATH_IMAGE009
       (3)
在这里，薄板上每一点
Figure 873645DEST_PATH_IMAGE010
对应的挠度，被表示为在无数多个简谐振动情况下，各挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是
Figure 927051DEST_PATH_IMAGE011
。另一方面，薄板在每一瞬时
Figure 766831DEST_PATH_IMAGE012
的挠度，则被表示成为无数多种振型下的挠度相叠加，而每一种振型下的挠度是由振型函数
Figure 309808DEST_PATH_IMAGE013
表示的。
为了求出各种振型下的振型函数
Figure 867828DEST_PATH_IMAGE014
以及与之相应的频率，令
                   
Figure 419213DEST_PATH_IMAGE015
             (4)
代入自由振动微分方程(2)，然后消去因子
Figure 867511DEST_PATH_IMAGE016
，得出所谓振型微分方程
                    
Figure 647249DEST_PATH_IMAGE017
                      (5)
如果可以由这一微分方程求得
Figure 42458DEST_PATH_IMAGE018
满足边界条件的非零解，即可求出
                       
Figure 856830DEST_PATH_IMAGE019
                       (6)
其中，自由振动的频率
Figure 4259DEST_PATH_IMAGE020
，也可称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。
根据上述理论描述，将钟形振子按进行划分，如图1所示，钟形振子包括半球面形部分（1-1）、圆柱面形部分（1-2）和圆环形部分（1-3）。
步骤2，计算钟形振子中圆柱面形部分振动模型；
首先建立钟形振子圆柱面形部分的坐标表示，见图3所示。其中，在柱坐标系中，拉氏算符为：
          
Figure 271292DEST_PATH_IMAGE021
           (7)
圆柱面形薄壳，厚度方向为
Figure 470192DEST_PATH_IMAGE022
，即
Figure 935809DEST_PATH_IMAGE022
方向为薄壳弯曲振动的方向。小幅度振动过程中，薄壳的r方向厚度基本保持不变。设薄壳中面半径为R，那么，圆柱面形薄壳上一点的坐标可用
Figure 929173DEST_PATH_IMAGE023
表示，驻波的振幅分布函数仅与
Figure 683502DEST_PATH_IMAGE023
有关。因此，圆柱面形薄壳弯曲振动的微分方程为
              
Figure 686093DEST_PATH_IMAGE024
        (8)
圆柱面形薄壳底端固定，顶端自由，在此种情况下，边界上满足纵横力和弯矩均为零，推导出其挠度
Figure 271795DEST_PATH_IMAGE001
的边界条件为
    
Figure 436060DEST_PATH_IMAGE025
                                                        (9)
在圆柱面形振子的振动过程当中，圆柱面形振子壳的弯曲振动为多个简谐振动的叠加。因此可以把微分方程(8)的解答取为无数多简谐振动的叠加，令圆柱面形薄壳振动的挠度函数为
              (10)
其中，
Figure 218389DEST_PATH_IMAGE011
为各个简谐振动的频率，
Figure 924176DEST_PATH_IMAGE014
为响应的振型函数。将上式代入方程(2)，从中可得其空间部分并化简得到振动微分方程如下：
                    
Figure 524922DEST_PATH_IMAGE027
             (11)
取振型函数为如下形式：，代入上述方程并化简可得表述如下：
                
Figure 332658DEST_PATH_IMAGE029
          (12)
其中，
Figure 361794DEST_PATH_IMAGE030
 ，通过约束关系，对上述方程进行求解，由于振子材料较硬、较厚，则，即可求得：
                
Figure 84079DEST_PATH_IMAGE032
             (13)
              (14)
其中，
Figure 646965DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 589513DEST_PATH_IMAGE035
、
Figure 27448DEST_PATH_IMAGE036
、、
Figure 982951DEST_PATH_IMAGE038
为微分方程对应常数。根据边界条件有：
        
Figure 96401DEST_PATH_IMAGE039
  (15)
将所得通解形式代入上述方程，可得
    
Figure 21631DEST_PATH_IMAGE040
                                                  (16)
在上述方程中，
Figure 245939DEST_PATH_IMAGE041
和
Figure 369753DEST_PATH_IMAGE042
相互独立，且
Figure 388525DEST_PATH_IMAGE043
不恒为零，
Figure 801051DEST_PATH_IMAGE044
不恒为零，因此它的系数应恒为零，则
Figure 829050DEST_PATH_IMAGE045
  (17)
其中，
Figure 341459DEST_PATH_IMAGE046
。
这是关于
Figure 796711DEST_PATH_IMAGE047
和
Figure 430955DEST_PATH_IMAGE048
的方程组，这样一旦振子的几何尺寸和振动阶次
Figure 997065DEST_PATH_IMAGE049
给定后，
Figure 95471DEST_PATH_IMAGE047
和
Figure 721624DEST_PATH_IMAGE048
便可求出，一般来说
Figure 843164DEST_PATH_IMAGE047
和
Figure 212966DEST_PATH_IMAGE048
的跟有无穷多个，以下标
Figure 431457DEST_PATH_IMAGE050
表示上面方程求出的第
Figure 228512DEST_PATH_IMAGE051
 个根。求出
Figure 837348DEST_PATH_IMAGE047
和
Figure 745261DEST_PATH_IMAGE048
便可求出对应固有频率和相应振型函数。为方便描述，设此根已经求出，则振子谐振频率为：
                               (18)
振型函数为：
      
Figure 51795DEST_PATH_IMAGE053
  (19)
步骤3，求解钟形振子半球面形部分；
半球面形部分的坐标表示如图4所示。同步骤2中所述，球面坐标系中，拉氏算符为：
Figure 147927DEST_PATH_IMAGE054
            (20)
其对应的振动微分方程和边界条件为：
Figure 656268DEST_PATH_IMAGE055
     (21)
Figure 521456DEST_PATH_IMAGE056
     (22)
从而求得的半球面形部分的振动频率为：
Figure 660313DEST_PATH_IMAGE057
                      (23)
对应的振型函数为：
Figure 243742DEST_PATH_IMAGE058
         (24)
步骤4，求解钟形振子底部边缘部分振动形式；
环形部分的振动方程，国内外学者已给出相关模型，其振动频率为：
                     
Figure 86933DEST_PATH_IMAGE059
                 (25)
其中，J为环的横截面相对中性轴的惯性矩；S为环的横截面面积；E为杨氏模量。
振型函数为：
     (26)
步骤5，对步骤2、步骤3、步骤4进行融合，得到钟形振子整体振动模型。
综合以上三种主体结构的固有频率计算函数，由于在实际应用中，球面主体和环形主体所占部分较少，且球面部分在振动过程中接近于完全封闭，即位移基本不变主要起到顶端约束作用，钟形振子的最主要结构为圆柱面形结构。这样，可将钟形振子的频率求解模型表述如下：
                                                            (27)
式中，
Figure 187110DEST_PATH_IMAGE062
——对应钟形振子特有值。
在分析钟形振子的各结构部件时，选取不同结构的振型函数进行分析，电容检测传感器所在部分可近似认为在钟形振子的环形结构上，对其进行误差分析时，选取钟形振子的振型函数按照环形结构的振型函数即可。
本发明提供的钟形振子角速率陀螺的模型建立方法，给出了钟形振子的谐振频率振动方法和动力学模型，分析了钟形振子的振动过程，有助于科研人员熟悉钟形振子的振动机理，从而缩短钟形振子的设计周期，节约了整个钟形振子式角速率陀螺的开发时间。
最后应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (3)

1.一种针对钟形振子式角速率陀螺的模型建立方法，其特征在于：包括以下步骤，
步骤1，利用简化的弹性薄板弯曲振动理论对钟形振子进行化简；
步骤2，计算钟形振子中圆柱面形部分振动模型；
步骤3，计算钟形振子中半球面形部分振动模型；
步骤4，计算钟形振子中底部边缘部分振动模型；
步骤5，对步骤2、步骤3、步骤4进行融合，得到钟形振子整体振动模型。
2.根据权利要求1所述的一种钟形振子式角速率陀螺振子结构设计方法，其特征在于：钟形振子的频率求解模型为：
                                                      
Figure 662329DEST_PATH_IMAGE001
。
3.根据权利要求1所述的一种钟形振子式角速率陀螺振子结构设计方法，其特征在于：钟形振子包括半球面形部分、圆柱面形部分和圆环形部分，其中，钟形振子中半球面形部分振动模型为：
Figure 360026DEST_PATH_IMAGE002
；
圆柱面形部分振动模型：
Figure 516201DEST_PATH_IMAGE003
；
圆环形部分振动模型为：
Figure 313256DEST_PATH_IMAGE004
 。
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