CN102940530B - 一种虚拟构建前交叉韧带在股骨和胫骨隧道的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种虚拟构建前交叉韧带在股骨和胫骨隧道的方法。首先对前交叉韧带损伤患者的双膝关节进行伸直位核磁共振扫描和屈曲位CT扫描，然后将双膝关节的扫描资料导入医学影像重建软件中进行三维重建，之后再将三维数据导入逆向工程软件进一步地修整，美化，最后再应用计算机对股骨，胫骨和前交叉韧带的各种数据进行整理计算，虚拟出前交叉韧带在胫骨、股骨上的出口和入口，以及在胫骨及股骨表面的标记点。本发明有助于实现适合于个体化的ACL准确定位植入，是提高ACL修复重建疗效的一条卓有成效的新途径。可以让初级的外科医生借助虚拟环境中的信息进行术前规划、手术模拟演练、手术教学、指导手术实际操作和术后康复等工作。

Description

一种虚拟构建前交叉韧带在股骨和胫骨隧道的方法

技术领域

本发明属于计算机辅助医学技术领域，涉及前交叉韧带重建时的术前规划虚拟技术，具体涉及一种虚拟构建前交叉韧带在股骨和胫骨隧道的方法。

背景技术

前交叉韧带（Anterior Cruciate Ligament，ACL）损伤是膝关节常见损伤。近年来，随着交通事故增多及我国竞技体育水平的提高和群众性体育运动的广泛开展，ACL损伤的发病率更是日益增加。ACL损伤难以自愈，治疗不当会导致膝关节不稳，引起膝关节继发半月板、软骨损伤和关节过早退变，严重影响关节功能及患者的生活和工作质量。

对损伤的ACL必须及时进行修复， ACL重建手术为骨科及运动医学最常见的手术之一，尽管关节镜下ACL重建手术已日趋成熟，但文献报道中仍有10%-15%的失败率和高达10%-20%的翻修率。而前交叉韧带重建时不正确的隧道位置是重建手术失败的主要原因，将直接导致膝关节失稳，膝关节活动范围改变，膝关节滑膜炎，创伤性膝关节炎，交叉韧带撞击等严重后果。因此，如何对前交叉韧带重建术中的骨隧道位置进行精确定位是ACL重建的研究热点和难题之一。

目前，关节镜下ACL重建术是最为广泛开展的ACL重建术，该手术虽可以缩小切口，减少软组织创伤，但也给术者带来了失去组织结构形态全面观的危险，容易导致ACL在胫骨和股骨错误的定位从而引起移植物骨隧道位置的偏移，使得前交叉移植物与股骨髁间窝撞击，并伴随移植物粘连、膝关节持续性屈曲挛缩及继发功能障碍。而随着计算机辅助外科技术的兴起，其相关技术手段有望为解决以上问题提供有效解决办法，其工作原理是利用数字化影像信息如CT、MRI等，通过媒介体输入计算机工作站，经运算处理后重建三维模型影像，手术医生通过相关软件，在此影像基础上进行术前计划并模拟手术进程，制定合理的手术方案，完成术前规划并辅助完成微创或无创手术。

发明内容

本发明的目的在于针对现有前交叉韧带重建技术的不足，提供一种精确、便捷、费用低廉的，虚拟构建前交叉韧带在股骨和胫骨隧道的方法，为ACL损伤的临床术前计划、远程医疗和教学培训提供技术支持。

本发明的目的通过以下技术方案实现。

本发明的技术方案主要基于以下认识：前交叉韧带（ACL）重建手术要取得良好效果，必须要使重建的前交叉韧带与原来的前交叉韧带的解剖结构等长，即达到解剖重建，只有这样才能保证功能的完全恢复。而成功进行解剖重建的关键点在于重建后的ACL两端必须位于前交叉韧带损伤前的胫骨和股骨附着点。这就能保证重建后的ACL在膝关节伸屈活动过程中，长度和张力基本不变，既可在任何屈伸位置限制胫骨前移，又不会限制膝关节的活动范围，也不致因活动过程中张力变化太大使重建的前交叉韧带过早松弛或断裂而失败。而应用虚拟现实技术，先在膝关节三维模型上精确定位并进行虚拟ACL解剖重建，再应用到实际操作过程中，就能够使ACL重建手术更加安全和准确。

一种虚拟构建前交叉韧带在股骨和胫骨隧道的方法，具体包括以下步骤：

第一步，对前交叉韧带损伤患者的双膝关节进行伸直位核磁共振成像（Magnetic Resonance Imaging, MRI）扫描，成像扫描参数为：TR 11000ms ，TE 25ms ；层厚1.0 mm；层间距0mm；回波链14；激励2次；矩阵 192/320；FOV 18 ；每个实体扫描分别获得50层冠状位、50层矢状位、50层额状位图像，在工作站上将图像以DICOM格式存储得到MRI资料；

第二步，对该患者的双膝关节进行屈曲位电子计算机 X 射线断层扫描（Computerized Tomography, CT）扫描, CT设备为128排螺旋CT（SIEMENS公司，德国），对膝关节进行连续扫描，扫描范围为从髌骨上极上方15cm至胫骨结节下方10cm， 扫描条件：电压120kv, 电流150mA，层厚0.625mm、矩阵512×512，CT图像在工作站上以DICOM格式存储得到CT资料；

第三步，将双膝关节的MRI资料和CT资料导入医学影像重建软件Mimics10.01（Materialise公司，比利时）中，对双膝关节的中的胫骨、股骨、髌骨、腓骨、前交叉韧带、后交叉韧带、半月板进行三维重建,并进行修整，加工处理；

第四步，将膝关节三维模型以STLs格式存储，导入逆向工程软件Geomagic Studio 2012、对膝关节三维模型中的各种解剖结构进行进一步地修整，美化，均以OBJ格式储存；

第五步，应用计算机对股骨，胫骨和前交叉韧带ACL的OBJ格式文件进行以下操作：

（1）计算ACL相交面积

在三维空间中，计算ACL模型与股骨和胫骨模型的相交面，从而确定ACL起止点在股骨和胫骨模型的初始范围，计算公式如下：

C=A∩B={x/x∈Aandx∈B}             (i)

式中A 代表ACL模型的三角面片集合，B代表股骨或胫骨模型三角面片集合，C是A与B的交集，形成一个封闭的三维面片；

（2）ACL起止点聚类分析

使用EM聚类分析算法，对步骤（1）中计算得到ACL相交面进行聚类分析，具体步骤如下：

① 对相交面进行采样，取n个样例间独立的三维坐标数据点{x(1),…,x(n)}；

② 对选定的训练样本{x(1),…,x(n)}，每个样例隐含的类别为c，能使得p(x,c)最大；p(x,c)的最大似然估计如下：

$l\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\log p(x;\mathrm{\θ})=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\log \underset{c}{\mathrm{\Σ}}p(x,c;\mathrm{\θ})---\left(\mathrm{ii}\right)$

（3）计算伸直位ACL角度

根据每个聚类数据的均值，确定ACL在股骨和胫骨面上的聚类中心fc1,tc1为ACL起止点；连接fc1,tc1作为ACL拟合直线L_(fc1,tc1)，计算ACL伸直位状态下，直线L_(fc,tc)与标准坐标系的夹角(α1,β1,γ1)， 计算公式如下：

其中，A为标准坐标系的X，Y，Z轴。ψ为三维空间中，直线L_(fc1,tc1)与坐标轴的夹角；

（4）伸直位及屈膝位模型配准

应用MRI数据重建伸直位状态下三维模型，包括股骨，胫骨和ACL, 但在屈膝位状态下，无法从MRI图像中提取出精确的ACL模型，因此采集了屈膝位状态下股骨和胫骨CT图像数据，并重建出股骨，胫骨三维模型；

由于MRI三维模型与CT三维模型大小比例可能不一致，因此首先应统一三维模型的大小，然后提取模型中轴线，进行模型配准；具体步骤如下：

①三维模型大小比例统一

计算三维模型所有顶点之间的最大距离，并将该距离归一化，得到三维模型的缩放比例系数S，然后使用S统一三维模型大小；

②提取三维模型中轴

由于原始数据MRI与CT的差异，曲面噪声点的干扰，重建后三维模型轮廓具有很大的差异性，所以采用计算模型中轴线方法，从而减小匹配误差；

设置股骨或胫骨表面上的任意点，根据hesselink 的整数中轴算法可得：

n∈N,N={n∈V³|||n||=1})             (iv)

V³为模型内部的体素点，当m=r+n/2时，

||m-f_t(r+n)||=||m-f_t(r)||                (v)

m为整数中轴上的一个点，f_t(r)为点r的特征变换函数；

（5）三维模型匹配

通过伸直位与屈膝位三维模型中轴线，计算相应两套股骨和胫骨中轴线的旋转变换矩阵，并应用该矩阵对股骨，胫骨和ACL起止点模型从伸直位变换至屈膝位；

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\\ z^{\′}\\ w^{\′}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)---\left(\mathrm{vi}\right)$

（6）计算屈膝位ACL角度

伸直位状态下的ACL起止点经过配准，变换为屈膝位ACL起止点fc2,tc2，从而可确定屈膝位状态下ACL拟合直线L_(fc2,tc2)；通过公式（iii）可求得屈膝位状态下ALC与标准坐标系的夹角(α2,β2,γ2)；

（7）ACL隧道模拟

屈膝位状态下ACL起止点位置确定了股骨隧道和胫骨隧道的位置，在已求得数据的基础上，计算求解并模拟ACL在股骨和胫骨的隧道，具体步骤如下：

①通过直线L_(fc2,tc2)，首先用圆柱体拟合重建出屈膝位状态下ACL（ACL_cly）；

②计算配准后股骨和胫骨模型与ACL_cly的差集；

C=M-ACL_cly={x/x∈M}             (vii)

其中M为配准后的股骨和胫骨模型，C是模型差运算后的剩余模型；

最终根据计算出的参数，虚拟出正常侧膝关节ACL在股骨及胫骨附着点的中心点、面积和角度信息和数据，在计算机上虚拟出前交叉韧带在胫骨及股骨表面的附着点，以及胫骨、股骨上的出口和入口，并虚拟出ACL重建术的隧道，完成ACL重建术的术前规划及虚拟手术。

相对于现有技术，本发明具有以下有益效果

本发明的虚拟构建方法可以让初级的外科医生借助虚拟环境中的信息进行术前规划、手术模拟演练、手术教学、指导手术实际操作和术后康复等工作。还能定量评估膝关节的稳定性，获得良好的等距性能，避免移植腱与股骨髁间窝切迹的撞击。有助于实现适合于个体化的ACL准确定位植入，提高手术精度，重建接近正常的ACL功能，是提高ACL修复重建疗效的一条卓有成效的新途径。它在ACL重建中的辅助应用可完善术前评估和规划，大大提高隧道位置的准确性，减少手术并发症的发生率，手术时间以及外科医生培训时间。

附图说明

图1 为MRI矢状位扫描膝关节后获取的膝关节及ACL的二维图像（红色箭头所示为正常ACL）

图2 为ＣＴ扫描并获取的膝关节横截面的二位图像；

图３已建立的三维数字化模型的三维坐标系 （正面观）；

图４为已建立的三维数字化模型的三维坐标系 （侧面观）；

图５为基于MRI和CT二维影像资料重建出的三维人体膝关节骨性结构和前、后交叉韧带；

图６ 为前交叉韧带在伸直位膝关节三维模型上胫骨和股骨上附着部位和面积（绿色所示为前交叉韧带，箭头所指红线标示部分为ACL在胫骨和股骨上附着范围）；

图７为膝关节伸直位时前交叉韧带与空间中各个坐标平面的夹角（红色箭头所指为空间坐标系）；

图8 为膝关节屈曲位时前交叉韧带与空间中各个坐标平面的夹角；

图9 为在伸直位膝关节三维模型上虚拟ACL重建术（红色箭头所指黄色柱形直线为虚拟ACL隧道）；

图10为伸直位膝关节三维模型上虚拟的ACL在胫骨和股骨上的隧道（箭头示）；

图11 为屈曲位膝关节三维模型上虚拟ACL在胫骨和股骨上的隧道；

图12 为屈曲位膝关节三维模型上虚拟的ACL在胫骨和股骨上的隧道入口（红色箭头示）；

图13 为根据虚拟的ACL上各点于三维坐标平面的角度获得的波形图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步地详细说明，但附图和实施例并不是对本发明技术方案的限定。所有基于本发明教导所作出的等同替换，均应属于本发明的保护范围。

实施例1

1.选择1例ACL损伤患者,女，21岁，因“打球时撞伤致右膝肿痛伴不稳1周”入院，入院查体后，初步诊断为：右膝关节前交叉韧带损伤，行双膝关节伸直位核磁共振（MRI）和屈曲位CT扫描，膝关节伸直位的扫描体位为：膝关节自然伸直并外旋10°～15°度，用头线圈作为接收线圈，MRI设备为GE 1.5T超导型磁共振机（GE公司，美国），选择扫描矢状位3D质子密度加权成像序列。成像扫描参数为： TR 11000ms ，TE 25ms ；层厚 1.0 mm；层间距0mm；回波链 14；激励2次；矩阵192/320；FOV 18 。每个实体扫描分别获得50层冠状位、50层矢状位、50层额状位图像，在工作站上将MRI二维图像以DICOM格式存储（图1）。膝关节屈曲位CT扫描的体位为仰卧屈膝位，CT设备为128排螺旋CT（SIEMENS公司，德国），对膝关节行连续扫描，扫描范围为从髌骨上极上方15cm至胫骨结节下方10cm，扫描条件：电压120kv, 电流150mA，层厚0.625mm、矩阵512×512，将CT二维图像以DICOM格式存储（图2）。

2.在计算机工作站(Dell 7500, 美国)上，将膝关节MRI二维图像资料(DICOM格式)导入交互式医学图像控制系统Mimics10.01，定义上、下、左、右、前、后方向后，Mimics 10.01中显示出矢状位、冠状位、额状位的二维图像，用MIMICs10.01软件中的Edit Masks、Calculate 3D from Masks、Remesh等功能对膝关节其进行三维重建及加工。将膝关节CT 资料(DICOM格式)导入交互式医学图像控制系统Mimics10.01，用MIMICs10.01软件中的Edit Masks、Calculate 3D from Masks、Remesh等功能对膝关节其进行三维重建及加工。建立三维坐标系来定位各平面，以穿过膝关节远端关节面水平线为X轴（指向膝关节外侧为X轴的正方向），关节中心点O为坐标中心，与X轴垂直过中心点的线为Y轴（指向膝关节上方为Y轴正方向），过该中心的垂线为Z轴（指向膝关节前方为Z轴正方向），建立坐标轴可使解剖测量有统一标准（图3、4 ）。

3. 将MIMICs10.01软件重建出的伸直位和屈曲位膝关节三维模型的各解剖结构以STL格式保存并导入到逆向工程软件Geomagic Studio 2012中，利用Geomagic Studio 2012（Geomagic公司，美国）软件中的Sandpaper、Relax及Fill hole等功能，将膝关节三维模型加工、美化后，使其结构更为平滑，将修饰过的膝关节以MRI为基础的三维模型中的胫骨、股骨、前交叉韧带、后交叉韧带图像和以CT资料为基础的三维模型中的胫骨、股骨图像储存为OBJ格式，再次导入Mimics10.01中，并用图像编辑器edit对图像进行修饰，最终形成形态较为光滑的含有前、后交叉韧带的膝关节三维模型（图5）。

4. 应用计算机对格式为OBJ的胫骨、股骨、前交叉韧带、后交叉韧带文件进行以下处理：

（1）计算ACL相交面积

在三维空间中，计算ACL模型与股骨和胫骨模型的相交面，从而确定ACL起止点在股骨和胫骨模型的初始范围。计算过程如下：

C=A∩B={x/x∈Aandx∈B}      (i)

其中A 代表ACL模型的三角面片集合，B代表股骨或胫骨模型三角面片集合，C是A与B的交集，形成一个封闭的三维面片，如图6、7所示，得出该患者正常侧ACL在胫骨附着点的面积为90.53mm²，在股骨附着点的面积为133.38mm²。

（2）ACL起止点聚类分析（图8）

聚类分析是根据数据本身的特征，将数据分类到不同的类或簇的过程，同一个类中的数据有很大的相似性，而不同类之间的数据有很大的差异性。使用聚类分析算法，算法是进行极大似然估计的一种有效方法，它不是直接对复杂的后验分布进行极大化或模拟，而是在观察数据的基础上添加一些“潜在数据”，从而简化计算并完成一系列简单的极大化。利用最大期望算法（该算法用于寻找依赖于不可观察的隐性变量的概率模型中，参数的最大似然估计，在统计计算中，最大期望算法是在概率模型中寻找参数最大似然估计的算法，经常应用在数据聚类和机器学习领域。）经过两个步骤交替进行计算，第一步是计算期望利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大似然估计值，第二步是最大化，最大化在第一步上求得得最大似然值来计算参数的值。第二步上找到的参数估计值被用于下一个第一步计算中，这个过程不断交替进行。

对步骤（1）中计算得到ACL相交面进行聚类分析，具体步骤如下：

① 对相交面进行采样，取n个样例间独立的三维坐标数据点{x(1),…,x(n)}；

② 对选定的训练样本{x(1),…,x(n)}，每个样例隐含的类别为c，能使得p(x,c)最大。p(x,c)的最大似然估计如下：

$l\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\log p(x;\mathrm{\θ})=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\log \underset{c}{\mathrm{\Σ}}p(x,c;\mathrm{\θ})---\left(\mathrm{ii}\right)$

第一步是对极大似然取对数，第二步是对每个数据的每个可能类别c求联合分布概率和。但是直接求θ一般比较困难，因为有隐藏变量c，但如果c确定后，便可求解。

（3）计算伸直位ACL角度

根据每个聚类数据的均值，确定ACL在股骨和胫骨面上的聚类中心fc1,tc1为ACL起止点。连接ffc1,tc1作为ACL拟合直线L_(fc1,tc1)，计算ACL伸直位状态下，直线L_(fc,tc)与标准坐标系的夹角(α1,β1,γ1) 计算公式如下：

其中，A为标准坐标系的X，Y，Z轴。ψ为三维空间中，直线L_(fc1,tc1)与坐标轴A的夹角。(图7), 计算出该患者ACL隧道与坐标系的夹角 α1、β1、γ1分别为48.23， 69.08，26.81 。

（4）伸直位及屈膝位模型配准

应用MRI数据重建伸直位状态下三维模型，包括股骨，胫骨和ACL, 但在屈膝位状态下，无法从MRI图像中提取出精确的ACL模型，因此采集了屈膝位状态下股骨和胫骨CT图像数据，并重建出股骨，胫骨三维模型。

用于MRI三维模型与CT三维模型大小比例可能不一致，因此首先应统一三维模型的大小，然后提取模型中轴线，进行模型配准。具体步骤如下：

①三维模型大小比例统一

计算三维模型所有顶点之间的最大距离，并将该距离归一化，得到三维模型的缩放比例系数S，然后使用S统一三维模型大小。

②提取三维模型中轴

由于原始数据MRI与CT的差异，曲面噪声点的干扰，重建后三维模型轮廓具有很大的差异性，所以采用计算模型中轴线方法，从而减小匹配误差。

设置股骨或胫骨表面上的任意点，根据hesselink 的整数中轴算法可得：

n∈N,N={n∈V³|||n||=1})       (iv)

V³为模型内部的体素点。当m=r+n/2时，

||m-f_t(r+n)||=||m-f_t(r)||      (v)

m为整数中轴上的一个点，f_t(r)为点r的特征变换函数。

（5）三维模型匹配

通过伸直位与屈膝位三维模型中轴线，计算相应两套股骨和胫骨中轴线的旋转变换矩阵。并应用该矩阵对股骨，胫骨和ACL起止点模型从伸直位变换至屈膝位。如图10所示。

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\\ z^{\′}\\ w^{\′}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)$     公式序号   （vi）

（6）计算屈膝位ACL角度

伸直位状态下的ACL起止点经过配准，变换为屈膝位ACL起止点fc2,tc2，从而可确定屈膝位状态下ACL拟合直线L_(fc2,tc2)。通过公式（iii）可求得屈膝位状态下ALC与标准坐标系的夹角(α2,β2,γ2),如图8所示，计算出该患者ACL轴线与三维坐标系的夹角 α2、β2、γ2分别为42.49， 67.18，23.77。

（7）ACL隧道模拟

屈膝位状态下ACL起止点位置确定了股骨隧道和胫骨隧道的位置，在已求得数据的基础上，为能更进一步辅助ACL手术，计算求解并模拟了ACL在股骨和胫骨隧道。具体步骤如下：

①过直线fc2,tc2，首先用圆柱体拟合重建出屈膝位状态下ACL（ACL_cly）；

②算配准后股骨和胫骨模型与ACL_cly的差集。

C=M-ACL_cly={x/x∈M}             (vii)

其中M为配准后的股骨和胫骨模型，C是模型差运算后的剩余模型，从而重建得到ACL在伸直和屈曲位时股骨和胫骨的隧道（图9、10、11、12）。

5. 得出ACL与各坐标平面的角度，根据波形图上各点的数据，可进一步构建虚拟ACL隧道（图13）。

Claims (1)

1.一种虚拟构建前交叉韧带在股骨和胫骨隧道的方法，具体包括以下步骤：

第一步，对前交叉韧带损伤患者的双膝关节进行伸直位核磁共振成像MRI扫描，成像扫描参数为：TR11000ms，TE25ms；层厚1.0mm；层间距0mm；回波链14；激励2次；矩阵192/320；FOV18；每个实体扫描分别获得50层冠状位、50层矢状位、50层额状位图像，在工作站上将图像以DICOM格式存储得到MRI资料；

第二步，对该患者的双膝关节进行屈曲位电子计算机X射线断层扫描CT扫描,CT设备为128排螺旋CT，对膝关节进行连续扫描，扫描范围为从髌骨上极上方15cm至胫骨结节下方10cm，扫描条件：电压120kv,电流150mA，层厚0.625mm、矩阵512×512，CT图像在工作站上以DICOM格式存储得到CT资料；

第三步，将双膝关节的MRI资料和CT资料导入医学影像重建软件Mimics10.01中，对双膝关节中的胫骨、股骨、髌骨、腓骨、前交叉韧带、后交叉韧带、半月板分别进行三维重建,并进行修整，加工处理；

第四步，将膝关节三维模型以STLs格式存储，导入逆向工程软件Geomagic Studio2012、对膝关节三维模型中的各种解剖结构进行进一步地修整，并进行美化，均以OBJ格式储存；

第五步，应用计算机对股骨，胫骨和前交叉韧带ACL的OBJ格式文件进行以下操作：

（1）计算ACL相交面积

在三维空间中，计算ACL模型与股骨和胫骨模型的相交面，从而确定ACL起止点在股骨和胫骨模型的初始范围，计算公式如下：

C＝A∩B＝{x/x∈A and x∈B}    (i)

式中A代表ACL模型的三角面片集合，B代表股骨或胫骨模型三角面片集合，C是A与B的交集，形成一个封闭的三维面片；

（2）ACL起止点聚类分析

使用EM聚类分析算法，对步骤（1）中计算得到ACL相交面进行聚类分析，具体步骤如下：

①对相交面进行采样，取n个样例间独立的三维坐标数据点{x(1),...,x(n)}；

②对选定的训练样本{x(1),...,x(n)}，每个样例隐含的类别为c，能使得p(x,c)最大；p(x,c)的最大似然估计如下：

$l\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\log p(x;\mathrm{\θ})=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\log \underset{c}{\mathrm{\Σ}}p(x,c;\mathrm{\θ})---\left(\mathrm{ii}\right)$

（3）计算伸直位ACL角度

根据每个聚类数据的均值，确定ACL在股骨和胫骨面上的聚类中心fc1,tc1为ACL起止点；连接fc1,tc1作为ACL拟合直线L_(fc1,tc1)，计算ACL伸直位状态下，直线L_(fc1,tc1)与标准坐标系的夹角(α1,β1,γ1)，计算公式如下：

其中，A为标准坐标系的X，Y，Z轴。ψ为三维空间中，直线L_(fc1,tc1)与坐标轴A的夹角；

（4）伸直位及屈膝位模型配准

应用MRI数据重建伸直位状态下三维模型，包括股骨，胫骨和ACL,但在屈膝位状态下，无法从MRI图像中提取出精确的ACL模型，因此采集了屈膝位状态下股骨和胫骨CT图像数据，并重建出股骨，胫骨三维模型；

由于MRI三维模型与CT三维模型大小比例可能不一致，因此首先应统一三维模型的大小，然后提取模型中轴线，进行模型配准；具体步骤如下：

①三维模型大小比例统一

计算三维模型所有顶点之间的最大距离，并将该距离归一化，得到三维模型的缩放比例系数S，然后使用S统一三维模型大小；

②提取三维模型中轴

由于原始数据MRI与CT的差异，曲面噪声点的干扰，重建后三维模型轮廓具有差异性，所以采用计算模型中轴线方法，从而减小匹配误差；

设置股骨或胫骨表面上的任意点，根据hesselink的整数中轴算法可得：

n∈N,N＝{n∈V³|||n||＝1})      (iv)

V³为模型内部的体素点，当m＝r+n/2时，

||m-f_t(r+n)||＝||m-f_t(r)||       (v)

m为整数中轴上的一个点，f_t(r)为点r的特征变换函数；

（5）三维模型匹配

通过伸直位与屈膝位三维模型中轴线，计算相应两套股骨和胫骨中轴线的旋转变换矩阵，并应用该矩阵对股骨，胫骨和ACL起止点模型从伸直位变换至屈膝位；

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\\ z^{\′}\\ w^{\′}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)---\left(\mathrm{vi}\right)$

（6）计算屈膝位ACL角度

伸直位状态下的ACL起止点经过配准，变换为屈膝位ACL起止点fc2,tc2，从而可确定屈膝位状态下ACL拟合直线L_(fc2,tc2)；通过公式（iii）可求得屈膝位状态下ALC与标准坐标系的夹角(α2,β2,γ2)；

（7）ACL隧道模拟

屈膝位状态下ACL起止点位置确定了股骨隧道和胫骨隧道的位置，在已求得数据的基础上，计算求解并模拟ACL在股骨和胫骨的隧道，具体步骤如下：

①通过直线L_(fc2,tc2)，首先用圆柱体拟合重建出屈膝位状态下ACL（ACL_cly）；

②计算配准后股骨和胫骨模型与ACL_cly的差集；

C＝M-ACL_cly＝{x/x∈M}     (vii)

其中M为配准后的股骨和胫骨模型，C是模型差运算后的剩余模型；

最终根据计算出的参数，虚拟出正常侧膝关节ACL在股骨及胫骨附着点的中心点、面积和角度信息和数据，在计算机上虚拟出前交叉韧带在胫骨及股骨表面的附着点，以及胫骨、股骨上的出口和入口，并虚拟出ACL隧道。