CN102930258A - 一种人脸图像识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于图像处理和模式识别技术领域，具体涉及一种人脸图像识别方法，该方法主要包括如下步骤，步骤a：构建人脸样本图像数据库；步骤b：构建人脸样本图像的训练样本矩阵；步骤c：训练样本矩阵

的近似分解，在该步骤中，在基矩阵W中增加常数矩阵C，并在损失函数上，将系数矩阵H不同列之间的方差作为罚项；步骤d：人脸图像识别过程。由于在基矩阵W中增加光滑常数矩阵C，从而增强了基矩阵的光滑性，消弱了噪声点的影响，使得迭代过程更加快速，大大减少迭代次数，另外将系数矩阵H不同列之间的方差作为罚项，增大系数矩阵H不同列之间的区分度，更好地区分不同人脸图像，提高了人脸识别的准确率。

Description

一种人脸图像识别方法

技术领域

本发明属于图像处理和模式识别技术领域，具体涉及一种人脸图像识别方法。

背景技术

近二三十年来，由于人脸识别具有的广泛研究和实用价值，使得其已成为模式识别与计算机智能领域中的一个热门课题。研究人员提出了一系列方法应用于人脸识别，包括线性统计的方法，如主成分分析（Principal Component Analysis,PCA），线性判别分析（Linear Discriminant Analysis,LDA），局部保持投影（Locality Preserving Projections,LPP），以及在其基础上形成的基于核函数的核方法和基于流行学习的非线性方法，这些方法的共同点是，首先学习训练样本集，得到合适的方向（或成分），称为基矩阵，然后把测试集人脸图像投影到基矩阵上，达到降维和特征提取的目的，最后对降维后的数据进行识别。但是传统的人脸识别算法，如PCA、LDA、LPP等，所得到的基图像数据都包含负成分，然而这些负成分没有实际的物理含义，却在一定程度上影响人脸识别的正确率。

针对上述缺点，Lee和Seung（LEE D.D,SEUNG H.S.Learning the Parts ofObjects by Nonnegative Matrix Factorization[J].Nature,1999,401:788–791）提出了非负矩阵分解方法（Nonnegative Matrix Factorization,NMF），NMF的基本思想可以简单描述为：对任意给定的一个非负矩阵E，NMF算法能够寻找一个非负的基矩阵W和一个非负的系数矩阵H（即特征向量矩阵），使其满足E≈WH，从而将一个非负的矩阵分解为左右两个非负矩阵的乘积。由于非负矩阵分解在迭代过程中始终保持了分解矩阵的非负性，从而确保了数据的整体特征是局部特征的非负线性组合，局部特征在构成整体特征时不会产生正负抵消的情况。利用这一特点，Guillamet等人（GUILLAMET D,VITRIA J,Non-negative MatrixFactorization for Face Recognition[C]//Catalonian Conference on ArtificialIntelligence.Castellon,Spain,Topics in Artificial Intelligence Proceedings:2002,336-344.）首先把非负矩阵分解方法应用于人脸识别，基于非负矩阵分解方法对基矩阵有非负限制，使得在人脸数据矩阵的分解过程中会得到原始人脸数据的部分表示，从而能更好的反映局部特征，提高人脸识别的准确率。为了进一步提高识别的准确率，很多研究人员在NMF算法的基础上作出了一系列的改进，比如局部非负矩阵分解（Local Non-negative Matrix Factorization，LNMF）、保持拓扑性非负矩阵分解法（Topology Preserving Nonnegative Matrix Factorization,TPNMF）等，尽管基于非负矩阵分解的这些算法在人脸识别中取得了比较好的效果，但是这些算法用于人脸识别时十分耗时，比如NMF一般需要迭代100次左右才能够取得最高的识别率，改进的LNMF则需要迭代几百次左右，而且这些方法在迭代较少的情况下所得到的基图像，即基矩阵T包含很多的噪声，基图像很不光滑，使得其在实际应用中受到了限制。

发明内容

针对现有技术存在的上述问题，本发明要解决的技术问题是：如何提供一种方法在缩短人脸识别时间的基础上，提高识别的准确率。

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：一种人脸图像识别方法，具体包括如下步骤：

步骤a：构建人脸样本图像数据库：

在人脸库中任意选取n张人脸图像，对选取的人脸图像归一化为a×b像素的人脸样本图像；

步骤b：构建人脸样本图像的训练样本矩阵：

b1：把人脸样本图像转化为高维向量，将步骤a构建的人脸样本图像数据库中的n张人脸样本图像分别转化为m维向量，且m=a×b；

b2：通过b1把人脸样本图像转化为高维向量后得到人脸样本图像的训练样本矩阵V，所述训练样本矩阵V大小为m×n，记为

其中代表训练样本矩阵V中第i列的列向量，且i＝1,2,…,n，R^m表示m维欧式空间，该训练样本矩阵V的每一列代表一张人脸样本图像；

步骤c：训练样本矩阵V的近似分解：

c1：输入特征维数r和常数矩阵C,其中 $C=\frac{1}{10m}{\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\\ 1& 1& ...& 1\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ 1& 1& ...& 1\end{array}\right)}_{m\&times;r},$ 且r满足(m+n)r<mn，并由计算机随机生成非负的基矩阵W和系数矩阵H，其中，基矩阵W的大小为m×r，系数矩阵H的大小为r×n，且基矩阵W满足

其中w_ik为基矩阵第i行，第k列的元素；

c2：定义损失函数f,如式（1）：

$f=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(v_{\mathrm{ij}}-u_{\mathrm{ij}})}^2-\mathrm{\&alpha;}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(h_{\mathrm{kj}}-l_k)}^2+\mathrm{\&beta;}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_{\mathrm{kj}}^2---\left(1\right);$

式（1）中l_k表示系数矩阵H第k行的均值，且

α和β为常数，且α,β∈[10^-3,10^-6]，v_ij表示训练样本矩阵V的第i列，第j行的元素；U表示中间矩阵，且U=(W+C)H，u_ij表示矩阵U中第i行，第j列的元素；

c3：采用乘性迭代法求解式（1），具体迭代方式如下：

c31：固定系数矩阵H不变，以

更新元素w_ik；

c32：在更新完w_ik的基础上，固定基矩阵W不变，以

$h_{\mathrm{kj}}\frac{{\left({(W+C)}^{T}V\right)}_{\mathrm{kj}}+\mathrm{\&alpha;}{h}_{\mathrm{kj}}}{{\left({(W+C)}^T(W+C)H\right)}_{\mathrm{kj}}+\mathrm{\&beta;}{h}_{\mathrm{kj}}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_{\mathrm{kj}}}$ 更新元素h_kj；

c33：按所述式（1）计算更新完各个元素w_ik和各个元素h_kj后所对应的损失函数f；

重复执行步骤c31~c33所述的迭代过程，直至满足

的条件时停止迭代；

其中，f_x和f_x-1分别表示第x次迭代计算的损失函数值和第x-1次迭代计算的损失函数值，x≥2；记录停止迭代时更新产生的新的基矩阵W′和新的系数矩阵H'，由所述新的基矩阵W'和新的系数矩阵H'近似地分解训练样本矩阵V，即如式（2）所示：

V≈W′H′    (2)

记

其中

代表H’中第i列的列向量，且

i=1,2,…,n，R^r代表r维欧式空间，故此，训练样本矩阵V的第i列的列向量对应于系数矩阵H'的第i列列向量

步骤d：人脸图像识别过程：

d1：采集获取人脸图像测试样本，对人脸图像测试样本归一化为a×b像素的测试样本图像；

d2：把测试样本图像转化为高维向量，将步骤d1获得的测试样本图像转化为m维向量，m=a×b，得到测试样本图像的高维向量记为

且

t=1,2,…,n；

d3：将步骤d2得到的测试样本图像的高维向量投影到步骤c33中新的基矩阵W’上，得到该测试样本图像的系数向量h_t，其中

且h_t∈R^r，R^r表示m维欧式空间；

d4：分别计算测试样本图像的系数向量h_t和系数矩阵H'各列的列向量

之间的欧式距离，i＝1,2,…,n，找出其中的欧式距离最小值对应的列向量

作为测试样本图像的系数向量h_t的识别匹配向量，进而判定测试样本图像与所述识别匹配向量对应的人脸样本图像来自于同一人。

相对于现有技术，本发明具有如下有益效果：

1、本发明通过在基矩阵W中增加光滑常数矩阵C，这样原来的基矩阵由W变成了(W+C)，从而增强了基矩阵的光滑性，消弱了噪声点的影响，使得迭代过程更加快速，大大减少迭代次数。

2、本发明还在原非负矩阵分解损失函数上，将系数矩阵H不同列之间的方差作为罚项，增大系数矩阵H不同列之间的区分度，更好地区分不同人脸图像，提高了人脸识别的准确率。

附图说明

图1：NMF，LNMF与本发明在PIE人脸库的基图像对比图。

图2：特征维数固定下，人脸识别率随迭代次数变化图。

图3：迭代次数固定下，人脸识别率随压缩维数变化图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的技术做进一步的说明。

一种人脸图像识别方法，具体包括如下步骤：

步骤a：构建人脸样本图像数据库

在人脸库中任意选取n张人脸图像，对选取的人脸图像归一化为a×b像素的人脸样本图像。该步骤可使用图像归一化处理，图像归一化已是目前非常成熟的技术。

步骤b：构建人脸样本图像的训练样本矩阵

b1：把人脸样本图像转化为高维向量，将步骤a构建的人脸样本图像数据库中的n张人脸样本图像分别转化为m维向量，且m=a×b。将人脸图像转转化为m维向量的过程是，把经过步骤a处理的每张人脸样本图像的第二列放在第一列下面，将第三列接着放在第二列下面，直到取完，就可以得到一个m维的向量。

b2：通过b1把人脸样本图像转化为高维向量后得到人脸样本图像的训练样本矩阵V，所述训练样本矩阵V大小为m×n，记为

其中

代表训练样本矩阵V中第i列的列向量，且

i＝1,2,…,n，R^m表示m维欧式空间，该训练样本矩阵V的每一列代表一张人脸样本图像；

步骤c：训练样本矩阵

的近似分解：

c1：输入特征维数r和常数矩阵C,其中 $C=\frac{1}{10m}{\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\\ 1& 1& ...& 1\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ 1& 1& ...& 1\end{array}\right)}_{m\&times;r},$ 且r满足(m+n)r<mn，并由计算机随机生成非负的基矩阵W和系数矩阵H，其中，基矩阵W的大小为m×r，系数矩阵H的大小为r×n，且基矩阵W满足

其中w_ik为基矩阵第i行，第k列的元素；

c2：定义损失函数f,如式（1）：

$f=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(v_{\mathrm{ij}}-u_{\mathrm{ij}})}^2-\mathrm{\&alpha;}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(h_{\mathrm{kj}}-l_k)}^2+\mathrm{\&beta;}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_{\mathrm{kj}}^2---\left(1\right);$

式（1）中l_k表示系数矩阵H第k行的均值，且

α和β为常数，且α,β∈[10^-3,10^-6]，v_ij表示训练样本矩阵V的第i列，第j行的元素；U表示中间矩阵，且U=(W+C)H，u_ij表示矩阵U中第i行，第j列的元素；

c3：采用乘性迭代法求解式（1），具体迭代方式如下：

c31：固定系数矩阵H不变，以更新元素w_ik；

c32：在更新完w_ik的基础上，固定基矩阵W不变，以

$h_{\mathrm{kj}}\frac{{\left({(W+C)}^{T}V\right)}_{\mathrm{kj}}+\mathrm{\&alpha;}{h}_{\mathrm{kj}}}{{\left({(W+C)}^T(W+C)H\right)}_{\mathrm{kj}}+\mathrm{\&beta;}{h}_{\mathrm{kj}}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_{\mathrm{kj}}}$ 更新元素h_kj；

c33：按所述式（1）计算更新完各个元素w_ik和各个元素h_kj后所对应的损失函数f；

重复执行步骤c31~c33所述的迭代过程，直至满足

的条件时停止迭代；

其中，f_x和f_x-1分别表示第x次迭代计算的损失函数值和第x-1次迭代计算的损失函数值，x≥2；记录停止迭代时更新产生的新的基矩阵W′和新的系数矩阵H'，由所述新的基矩阵W'和新的系数矩阵H'近似地分解训练样本矩阵V，即如式（2）所示：

V≈W′H′    (2)

记其中代表H’中第i列的列向量，且

i=1,2,…,n，R^r代表r维欧式空间，故此，训练样本矩阵V的第i列的列向量对应于系数矩阵H'的第i列列向量

步骤c3采用乘性迭代法求解式（1），其具体迭代方式是的理解是：

第一次迭代：

c31：首先，令 $w_{\mathrm{ik}\left(1\right)}=w_{\mathrm{ik}}\frac{{\left(V{H}^T\right)}_{\mathrm{ik}}}{{\left((W+C)H{H}^T\right)}_{\mathrm{ik}}},$ w_ik(1)表示基矩阵中第i行第k列的元素第一次更新后值，由此分别对各个w_ik进行第一次更新，从而得到第一次更新后的基矩阵W₁；

c32：然后，令 $h_{\mathrm{kj}\left(1\right)}=h_{\mathrm{kj}}\frac{{\left({(W_1+C)}^{T}V\right)}_{\mathrm{kj}}+\mathrm{\&alpha;}{h}_{\mathrm{kj}}}{{\left({(W_1+C)}^T(W_1+C)H\right)}_{\mathrm{kj}}+\mathrm{\&beta;}{h}_{\mathrm{kj}}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_{\mathrm{kj}}},$ h_kj(1)表示系数矩阵中第i行第k列的元素第一次更新后的值，由此分别对各个h_kj进行第一次更新，从而得到第一次更新后的系数矩阵H₁；

c33：按所述式（1）计算更新完各个元素w_ik和各个元素h_kj后所对应的损失函数f，得到第一次迭代的损失函数值f₁；

第x次迭代，x≥2：

c31：首先，令 $w_{\mathrm{ik}\left(x\right)}=w_{\mathrm{ik}(x-1)}\frac{{\left(V{H}_{x-1}^T\right)}_{\mathrm{ik}}}{{\left((W_{x-1}+C)H_{x-1}{H}_{x-1}^T\right)}_{\mathrm{ik}}},$ w_ik(x)表示基矩阵中第i行第k列的元素第x次更新后值，w_ik(x-1)表示基矩阵中第i行第k列的元素第x-1次更新后值，W_x-1和H_x-1分别表示第x-1次更新后的基矩阵和系数矩阵；由此分别对各个w_ik进行第x次更新，从而得到第x次更新后的基矩阵W_x；

c32：然后，令 ${h_{\mathrm{kj}\left(x\right)}=h}_{\mathrm{kj}(x-1)}\frac{{\left({(W_x+C)}^{T}V\right)}_{\mathrm{kj}}+\mathrm{\&alpha;}{h}_{\mathrm{kj}(x-1)}}{{\left({(W_x+C)}^T(W_x+C)H_{x-1}\right)}_{\mathrm{kj}}+\mathrm{\&beta;}{h}_{\mathrm{kj}(x-1)}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_{\mathrm{kj}(x-1)}}$

h_kj(x)表示系数矩阵中第i行第k列的元素第x次更新后的值，h_kj(x-1)表示系数矩阵中第i行第k列的元素第x-1次更新后的值，由此分别对各个h_kj进行第一次更新，从而得到第一次更新后的系数矩阵H_x；

c33：按所述式（1）计算更新完各个元素w_ik和各个元素h_kj后所对应的损失函数f，得到第x次迭代的损失函数值f_x；

重复执行步骤c31~c33所述的迭代过程，直至满足

时停止迭代。

基于光滑性和主成分的非负矩阵分解，在现有技术的基矩阵W的基础上增加一个常数矩阵C，从而增强了基矩阵W的光滑性，消弱了噪声点的影响，使得迭代过程更加快速，大大减少迭代次数。

上述迭代过程采用了类似主成分分析的思想，即特征值越大，原始数据在该特征值所对应的特征向量上投影的方差越大，该特征方向包含了原始数据的较多的信息，因此就要选取基矩阵W，使得人脸样本图像在基矩阵W上的投影的系数矩阵H具有较大的方差，从而获得原始数据的大部分信息。为了使得系数矩阵H不同列之间有较大的方差，本发明在现有非负矩阵分解损失函数的基础上，增加了系数矩阵H不同列之间的方差作为罚项，即

其中表示系数矩阵H第k行的均值，该项中α为常数，其取值为α∈[10^-3,10^-6]，其为权重系数，是发明人经过多次试验和数据分析确定的，这使得不同的人脸样本图像在基矩阵W上的系数矩阵H之间的差距尽量大，从而有利于区分不同的人脸样本图像。

基于上述的分析，将损失函数定义为如式（3）所示：

$f=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(v_{\mathrm{ij}}-u_{\mathrm{ij}})}^2-\mathrm{\&alpha;}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(h_{\mathrm{kj}}-l_k)}^2---\left(3\right)$

然而，利用乘性迭代法解（3）式时，系数矩阵H中的元素是发散的，随着迭代次数的增加，系数矩阵H中某些元素会越来越大，因此损失函数不能收敛。为了解决这个问题，本发明在（3）式中增加了另一项

通过该

项来限制系数矩阵H中元素的发散，该

项中β为常数，其取值为β∈[10^-3,10^-6]，其为权重系数，是发明人经过多次试验和数据分析确定的，从而得到式（1）中的损失函数。

步骤d：人脸图像识别过程：

d1：采集获取人脸图像测试样本，对人脸图像测试样本归一化为a×b像素的测试样本图像；

d2：把测试样本图像转化为高维向量，将步骤d1获得的测试样本图像转化为m维向量，m=a×b，得到测试样本图像的高维向量记为

且

t=1,2,…,n；

d3：将步骤d2得到的测试样本图像的高维向量

投影到步骤c33中新的基矩阵W’上，得到该测试样本图像的系数向量h_t，其中

且h_t∈R^r，R^r表示m维欧式空间；

d4：分别计算测试样本图像的系数向量h_t和系数矩阵H′各列的列向量

之间的欧式距离，i＝1,2,…,n，找出其中的欧式距离最小值对应的列向量

作为测试样本图像的系数向量h_t的识别匹配向量，进而判定测试样本图像与所述识别匹配向量对应的人脸样本图像来自于同一人。

实施例：

本实施例中采用的人脸库为CMU PIE人脸库和FERET人脸库，CMU PIE人脸库共包括68个人的41368幅图像，其中包括了每个人的13种姿态条件、43种光照条件和4种表情下的图像。FERET人脸库是公认的识别算法测试的标准人脸图像库，由取自l199个人的14000多幅不同姿态、不同表情、不同光照和不同时期的大小为256×384像素的图像组成。

选取CMU PIE人脸库中每人45张人脸图片作为PIE人脸数据库，将图片中人脸归一化为64×64像素。PIE实验库选择每人的前22张图片，共1496幅图片做训练样本集，剩余的每人23张图片，共1564幅图片做测试样本集。

选取FERET人脸库中72人正面人脸图像，每人6幅图像，构成一个FERET人脸数据库，将人脸图片归一化为112×92大小。FERET实验库均选择每人的前3张图片，共216幅图片做训练样本集，剩余每人的3张图片，共216幅图片做测试样本集。

迭代过程中，α=β=0.0001。

图1表示NMF，LNMF与本发明方法（记为SPNMF）在PIE人脸库的基图像对比图，其中图1(a)表示NMF迭代50次得到的基矩阵W，图1(b)表LNMF迭代500次得到的基矩阵W，图1(c)表示本发明所述算法迭代20次得到的基矩阵W。可以看出，本发明提出的算法只需迭代20次左右就可以得到非常光滑的基矩阵W，而NMF迭代50次和LNMF迭代500所得到的基图像仍包含大量噪声点。因此本发明增强了基矩阵的光滑性，消弱了噪声点的影响，大大减少迭代次数。

图2表示NMF与本发明方法（记为SPNMF）在PIE人脸库的关于迭代次数与图像识别率的对比图，在特征维数固定下，人脸识别率随迭代次数变化图，其中特征维数r=68，纵坐标表示识别率，横坐标表示迭代次数。从图中可以看出，本发明提出的方法只需迭代二十次左右即可达到最高的识别率，而NMF需要迭代100次左右才能达到最高识别率，而且本发明的最高识别率高于NMF。随着迭代次数的增加，本发明算法的识别率慢慢下降，这是因为基矩阵W之间的差异越来越小，W更多的是体现不同人脸图像的共性，较少的体现人脸之间的差异，从而使得识别率的下降。因此利用本发明可以人为的设定迭代次数为二十或者二十五，这样可以得到较高的识别率，同时大大减少迭代次数。

图3表示，对于FERET人脸库，在迭代次数固定下，人脸识别率随特征维数的变化图，纵坐标表示识别率，横坐标表示压缩维数。其中NMF固定迭代100次，本发明方法固定迭代20次，从图3可以看出，虽然本发明方法仅仅迭代20左右，而NMF需要迭代100次，对于不同的特征维数，采用本发明方法的识别效果还是和NMF识别效果明显好于NMF。

表1表示对于PIE人脸库，NMF、LNMF和本发明方法（记为SPNMF）最高识别率和得到该最高识别率所需要的时间。表2表示对于FERET人脸库，NMF、LNMF和本发明方法（记为SPNMF）最高识别率和得到该最高识别率所需要的时间。

表1

表2

从表1和表2可以看出，本发明方法不但识别率高于NMF、LNMF，而且识别速度相比NMF、LNMF要快二到十倍。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种人脸图像识别方法，其特征在于：具体包括如下步骤：

步骤a：构建人脸样本图像数据库：

在人脸库中任意选取n张人脸图像，对选取的人脸图像归一化为a×b像素的人脸样本图像；

步骤b：构建人脸样本图像的训练样本矩阵：

b1：把人脸样本图像转化为高维向量，将步骤a构建的人脸样本图像数据库中的n张人脸样本图像分别转化为m维向量，且m=a×b；

b2：通过b1把人脸样本图像转化为高维向量后得到人脸样本图像的训练样本矩阵V，所述训练样本矩阵V大小为m×n，记为

其中

代表训练样本矩阵V中第i列的列向量，且

i＝1,2,…,n，R^m表示m维欧式空间，该训练样本矩阵V的每一列代表一张人脸样本图像；

步骤c：训练样本矩阵V的近似分解：

c1：输入特征维数r和常数矩阵C,其中 $C=\frac{1}{10m}{\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\\ 1& 1& ...& 1\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ 1& 1& ...& 1\end{array}\right)}_{m\&times;r},$ 且r满足(m+n)r<mn，并由计算机随机生成非负的基矩阵W和系数矩阵H，其中，基矩阵W的大小为m×r，系数矩阵H的大小为r×n，且基矩阵W满足

其中w_ik为基矩阵第i行，第k列的元素；

c2：定义损失函数f,如式（1）：

$f=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(v_{\mathrm{ij}}-u_{\mathrm{ij}})}^2-\mathrm{\&alpha;}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(h_{\mathrm{kj}}-l_k)}^2+\mathrm{\&beta;}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_{\mathrm{kj}}^2---\left(1\right);$

式（1）中l_k表示系数矩阵H第k行的均值，且α和β为常数，且α,β∈[10^-3,10^-6]，v_ij表示训练样本矩阵V的第i列，第j行的元素；U表示中间矩阵，且U=(W+C)H，u_ij表示矩阵U中第i行，第j列的元素；

c3：采用乘性迭代法求解式（1），具体迭代方式如下：

c31：固定系数矩阵H不变，以

更新元素w_ik；

c32：在更新完w_ik的基础上，固定基矩阵W不变，以

$h_{\mathrm{kj}}\frac{{\left({(W+C)}^{T}V\right)}_{\mathrm{kj}}+\mathrm{\&alpha;}{h}_{\mathrm{kj}}}{{\left({(W+C)}^T(W+C)H\right)}_{\mathrm{kj}}+\mathrm{\&beta;}{h}_{\mathrm{kj}}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_{\mathrm{kj}}}$ 更新元素h_kj；

c33：按所述式（1）计算更新完各个元素w_ik和各个元素h_kj后所对应的损失函数f；

重复执行步骤c31~c33所述的迭代过程，直至满足的条件时停止迭代；

其中，f_x和f_x-1分别表示第x次迭代计算的损失函数值和第x-1次迭代计算的损失函数值，x≥2；记录停止迭代时更新产生的新的基矩阵W′和新的系数矩阵H'，由所述新的基矩阵W'和新的系数矩阵H'近似地分解训练样本矩阵V，即如式（2）所示：

V≈W′H′    (2)

记

其中

代表H’中第i列的列向量，且

i=1,2,…,n，R^r代表r维欧式空间，故此，训练样本矩阵V的第i列的列向量对应于系数矩阵H'的第i列列向量

步骤d：人脸图像识别过程：

d1：采集获取人脸图像测试样本，对人脸图像测试样本归一化为a×b像素的测试样本图像；

d2：把测试样本图像转化为高维向量，将步骤d1获得的测试样本图像转化为m维向量，m=a×b，得到测试样本图像的高维向量记为

且

t=1,2,…,n；

d3：将步骤d2得到的测试样本图像的高维向量

投影到步骤c33中新的基矩阵W’上，得到该测试样本图像的系数向量h_t，其中

且h_t∈R^r，R^r表示m维欧式空间；

d4：分别计算测试样本图像的系数向量h_t和系数矩阵H'各列的列向量之间的欧式距离，i＝1,2,…,n，找出其中的欧式距离最小值对应的列向量作为测试样本图像的系数向量h_t的识别匹配向量，进而判定测试样本图像与所述识别匹配向量对应的人脸样本图像来自于同一人。

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