CN102814396B - 多道次缩颈凹模入模角的确定方法以及多道次缩颈凹模 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多道次缩颈凹模入模角的确定方法，相应的还公开了采用该方法获得的多道次缩颈凹模。其通过确定各道次缩颈凹模的小缩颈载荷与入模角之间的关系模型，来确定各道次缩颈凹模的入模角。本技术方案通过合理设计多道次缩颈凹模的形状，使各道缩颈成形的载荷最小化，从而实现降低缩颈起皱缺陷发生可能性的目的，进而改善缩颈成形条件。

Description

多道次缩颈凹模入模角的确定方法以及多道次缩颈凹模

技术领域

本发明涉及一种制罐用模具及其制作方法，尤其涉及一种两片罐的制罐用模具及其制作方法。

背景技术

用于啤酒、饮料等包装的两片易拉罐在制造过程中需要经过缩颈成形，使得其罐口半径减小。缩颈工艺主要包括两种：旋压缩颈和刚模缩颈，而在两片罐制造过程中主要采用的是钢模缩颈工艺。

刚模缩颈时，每套缩颈模具包括内、外模具(即凸模和凹模)各一个，内外模具同轴，且之间存在有一定的间隙。内模(凸模)形状较为简单，类似于圆柱状结构，而外模(凹模)则具有较为复杂的轮廓形状，而缩颈后罐口形状就主要取决于凹模的轮廓形状。在缩颈时，在罐底施加一个轴向的推力，并在罐的内部施加内压力支撑，罐口进入缩颈模具，并在缩颈凹模形状的作用下产生缩颈变形，其罐口进入缩颈的内外模具间隙之间，成形后罐口半径减小。由于两片式易拉罐壁厚很薄，罐型口径较大，因此单道次的缩颈无法完成所需的缩颈程度，需要多道次缩颈。

在缩颈变形过程中，如图1所示，罐体可划分为己变形区a、变形区b和待变形区c三部分。第一道次缩颈过程可视为锥形凹模缩颈，罐口沿着首道缩颈凹模(外模)A的内侧持续变形，首道缩颈入模角为接触面斜面的倾角α；而后续道次缩颈时罐体变形方式则不同，如图2所示，罐口直壁段d首先与后续道次缩颈凹模B接触并产生变形，即首道次缩颈中的已变形区成为当前道次缩颈中的主要变形区域。R_l为后道缩颈凹模B斜面缩颈入口下圆角切线。罐口直壁段d与后续道次缩颈凹模B的上圆角R_ρ接触，此时材料沿圆角向上滑动变形，而斜面区域不参与强制材料变形，因此，此斜面倾角β并非缩颈入模角，缩颈入模角为接触点做圆弧切线与轴线的夹角α。

多道次缩颈是制罐过程中的重要环节，罐体在缩颈过程极易出现起皱失稳等成形缺陷。减小成形过程中的缩颈载荷是消除缺陷的重要途径，而缩颈模具形状尤其是凹模的轮廓形状对于缩颈载荷有至关重要的影响，因此，不同缩颈模具设计的主要差别也在于凹模内侧形状参数。

公开号为US00571178A的美国专利，其通过后道缩颈时在凹模斜面缩颈入口下圆角R_l切线与轴向呈大角度，从而降低缩颈载荷。但是，对于两片罐缩颈而言，如图2所示，罐口首先接触点已经不在斜面上，更不是入口下圆角，而是凹模的上圆角R_ρ，因此，这种改变不适用于两片罐的多道次缩颈过程。而另一方面是，随着两片罐的持续减重，其罐型不断变化，这对于两片罐缩颈成形提出了越来越苛刻的要求。

发明内容

本发明的目的是提供一种多道次缩颈凹模入模角的确定方法，以及相应地根据该确定方法制得的多道次缩颈凹模，该多道次缩颈凹模用于两片罐的开口端缩颈，本技术方案通过合理设计多道次缩颈凹模的形状，使各道缩颈成形的载荷最小化，从而实现降低缩颈起皱缺陷发生可能性的目的，进而改善缩颈成形条件。

根据上述发明目的，本发明提供了一种多道次缩颈凹模入模角的确定方法，所述多道次缩颈凹模用于对两片罐进行多道次缩颈，该多道次缩颈凹模入模角的确定方法包括确定首道次缩颈凹模入模角α₁和若干个后续道次缩颈凹模的入模角α_n，其中首道次缩颈凹模入模角α₁采用下述步骤确定：

(1)建立首道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P₁与首道次缩颈凹模入模角α₁的关系模型：

$P_1=2\mathrm{\βK\π}{R}_0{t}_0(1+\mathrm{\μ}\cot {\mathrm{\α}}_1)(3-2\cos {\mathrm{\α}}_1)[(1+\frac{n}{2})(1-m_N)-n\frac{5-6{m_N}^2-{m_N}^3}{6}]$

式中，β为中间主应力影响系数，取β≈1.15；t₀为两片罐的初始边缘厚度，K为两片罐的应变硬化系数；R₀为两片罐在缩颈开始前的半径；μ为两片罐与当前道次缩颈凹模的摩擦系数；n为两片罐的应变硬化指数；m_N为缩口系数,即当前道次缩颈凹模的缩口半径与两片罐罐口初始半径的比值；

(2)根据上述关系模型对首道次缩颈凹模的入模角α₁进行求导

$\frac{{\mathrm{dP}}_1}{{\mathrm{d\α}}_1}2\mathrm{\βK\π}{R}_0{t}_0(2\mathrm{\μ}\cos {\mathrm{\α}}_1{\csc }^2{\mathrm{\α}}_1-3\mathrm{\μ}{\csc }^2{\mathrm{\α}}_1+2\mathrm{\μ}\cos {\mathrm{\α}}_1+2\sin {\mathrm{\α}}_1)[(1+\frac{n}{2})(1-m_N)-n\frac{5-6m_N^2-m_N^3}{6}]$

令得到首道次缩颈凹模的入模角α₁；

其中，若干个后续道次缩颈模具的入模角α_n均采用下述步骤确定：

(3)建立后续道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P_n与后续道次缩颈凹模的入模角α_n的关系模型：

式中，R_n为两片罐在各道次缩颈开始前的半径，t₀为两片罐的初始边缘厚度，β≈1.15，K为两片罐的应变硬化系数，μ为两片罐与当前道次缩颈凹模的摩擦系数，n为两片罐的应变硬化指数，r_n为两片罐在各道次缩颈结束后的半径，R_ρ为后续道次缩颈凹模的上圆角半径，

(4)根据上述P_n与α_n的关系模型对后续道次缩颈凹模的入模角α_n进行求导，令得到后续道次缩颈凹模的入模角α_n。

相应地，本发明还提供了一种多道次缩颈凹模，其包括首道次缩颈凹模和若干个后续道次缩颈凹模，所述各道次缩颈凹模均用于两片罐进行多道次缩颈，所述首道次缩颈凹模的入模角α₁为根据首道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P₁与首道次缩颈凹模入模角α₁的关系模型对首道次缩颈凹模的入模角α₁求导，令导数函数为0，求得的入模角α₁；所述各后续道次缩颈凹模的入模角α_n均相同，其为根据后续道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P_n与后续道次缩颈凹模的入模角α_n的关系模型对后续道次缩颈凹模的入模角α_n求导，令导数函数为0，求得的入模角α_n；其中

P₁与α₁的关系模型为：

$P_1=2\mathrm{\βK\π}{R}_0{t}_0(1+\mathrm{\μ}\cot {\mathrm{\α}}_1)(3-2\cos {\mathrm{\α}}_1)[(1+\frac{n}{2})(1-m_N)-n\frac{5-6{m_N}^2-{m_N}^3}{6}]$

上式中，β为中间主应力影响系数，取β≈1.15；t₀为两片罐的初始边缘厚度，K为两片罐的应变硬化系数；R₀为两片罐在缩颈开始前的半径；μ为两片罐与当前道次缩颈凹模的摩擦系数；n为两片罐的应变硬化指数；m_N为缩口系数,即当前道次缩颈凹模的缩口半径与两片罐罐口初始半径的比值；

P_n与α_n的关系模型为：

式中，R_n为两片罐在各道次缩颈开始前的半径，t₀为两片罐的初始边缘厚度，β≈1.15，K为两片罐的应变硬化系数，μ为两片罐与当前道次缩颈凹模的摩擦系数，n为两片罐的应变硬化指数，r_n为两片罐在各道次缩颈结束后的半径，R_ρ为后续道次缩颈凹模的上圆角半径，

优选地，所述P₁与α₁的关系模型、P_n与α_n的关系模型中μ取0.15。

需要说明的是，各道次缩颈模具的其他参数，在入模角已经确定的基础上，在满足罐型特征需求的前提下进行取值，其是本领域内普通技术人员所熟知的，因此发明人在此不再赘述。

本发明所述的技术方案，使得各道次缩颈凹模的入模角度更合理，可使得各道缩颈载荷的最小化，从而降低了缩颈起皱缺陷发生的可能性，有利于两片罐的缩颈成形。

附图说明

图1为首道次缩颈变形示意图。

图2为后续道次缩颈变形方式示意图。

图3为本发明所述的技术方案中首道次缩颈变形示意图。

图4为首道次缩颈变形区单元体应力分析示意图。

图5为缩颈自由弯曲区的变形示意图。

图6为首道次缩颈载荷随首道次缩颈凹模入模角变化的曲线。

图7为后续道次缩颈变形示意图。

图8为后续道次缩颈变形区单元体应力分析。

图9为后续道次缩颈载荷随后续道次缩颈凹模入模角变化的曲线。

具体实施方式

以下将结合说明书附图和具体实施例对本技术方案做进一步的详细说明。

选用不同的凹模上圆角将导致罐口直壁段变形方式不同，缩颈入模角也会发生变化。缩颈入模角对缩颈载荷的影响在不同的缩颈道次中并不相同。

(1)确定首道次缩颈凹模的入模角：

对于首道次缩颈来说，缩颈材料的变形示意图如图3所示，图中：t表示缩颈后边缘厚度，t₀表示缩颈前边缘厚度，r表示缩颈后半径，R₀表示缩颈前半径，两片罐缩颈后边缘厚度可根据简单压缩的应力应变状态条件求得，即

2πR₀t₀t₀＝2πrtt

$t=t_0\sqrt{\frac{R_0}{r}}---\left(1\right)$

又

$\sqrt{\frac{R_0}{r}}\≈1+\frac{(\frac{R_0}{r}-1)}{2}=\frac{(\frac{R_0}{r}+1)}{2}$

故两片罐料厚变化为：

$t=t_0\frac{(\frac{R_0}{r}+1)}{2}>t_0---\left(2\right)$

假设变形区材料与缩颈凹模间的摩擦系数μ为常数，而缩颈过程属于冷变形加工，加工硬化效应为幂函数规律σ＝Kεⁿ。在变形区任意位置相对应半径r(r₀＜r＜R₀)处，用两个相交的径向平面和两个平行的法向平面切取一单元体，作用在单元体上的应力分量如图4所示。图中，p为作用于变形区(法向平面)上的平均单位压力；A₁、A₂、A₃、A₄分别为单元体各个界面的面积，可由几何关系求得，分别为：

$A_3=\frac{\mathrm{tdr}}{\sin \mathrm{\α}}$

因为所以

沿单元体径向σ_r列出其平衡方程式为：

$({\mathrm{\σ}}_r+d{\mathrm{\σ}}_r)A_1-{\mathrm{\σ}}_r{A}_2-\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_H{A}_4-2{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}{A}_3\sin \frac{\mathrm{d\θ}}{2}=0$

略去高阶微量，且可取化简后得：

$r\frac{d{\mathrm{\σ}}_r}{\mathrm{dr}}={\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}(1+\mathrm{\μ}\cot \mathrm{\α})=0---\left(3\right)$

沿单元体法向N列出其平衡方程式为：

${\mathrm{\σ}}_H{A}_4-2{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}{A}_3\sin \frac{\mathrm{d\β}}{2}=0$

将得到的关系代入上式，又取经整理可得：

$p=\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}{t}_0\cos \mathrm{\α}}{2r}(1+\frac{R_0}{r})---\left(4\right)$

根据缩颈变形区为双向压应力的特点，按Mises屈服准则的塑性条件有

σ_θ＝βσ_T

式中，β——中间主应力影响系数，常取β≈1.15；

σ_T——材料的真实应力。

而真实应力应变的幂函数关系为

σ_T＝Kεⁿ

式中，ε——真实应变，

K——应变硬化系数；

n——应变硬化指数。

缩颈变形时，变形区坯料半径缩小，即r＜R₀，其真实应变ε为负值，故取绝对值|ε|，即

$\mathrm{\ϵ}=1n\frac{r}{R_0}\≈(\frac{r}{R_0}-1)-\frac{1}{2}{(\frac{r}{R_0}-1)}^2=\frac{2R}{R_0}-\frac{r^2}{2R_0^2}-\frac{3}{2}$

应取

$\left|\mathrm{\ϵ}\right|=\frac{3}{2}-\frac{2r}{R_0}+\frac{r^2}{2R_0^2}$

故有

${\left|\mathrm{\ϵ}\right|}^n={(\frac{3}{2}-\frac{2r}{R_0}+\frac{r^2}{2R_0^2})}^n\≈1+n(\frac{1}{2}-\frac{2r}{r_0}+\frac{r^2}{2R_0^2})=(1+\frac{n}{2})+n(\frac{r^2}{2R_0^2}-\frac{2r}{R_0})$

于是，可得到：

${\mathrm{\σ}}_T=K[(1+\frac{n}{2})+n(\frac{r^2}{2R_0^2}-\frac{2r}{R_0})]---\left(5\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\βK}[(1+\frac{n}{2})+n(\frac{r^2}{2R_0^2}-\frac{2r}{R_0})]---\left(6\right)$

将公式(6)代入(3)，得：

$r\frac{d{\mathrm{\σ}}_r}{\mathrm{dr}}+{\mathrm{\σ}}_r-\mathrm{\βK}[(1+\frac{n}{2})+n(\frac{r^2}{2R_0^2}-\frac{2r}{R_0})](1+\mathrm{\μ}\cot \mathrm{\α})=0$

将上式积分，得：

${\mathrm{\σ}}_r=\mathrm{\βK}(1+\mathrm{\μ}\cot \mathrm{\α})[(1+\frac{n}{2})+n(\frac{r^2}{6R_0^2}-\frac{r}{R_0})]+\frac{C}{r}$

考虑边界条件，r＝r₀时，σ_r＝0，故式中

$C=-\mathrm{\βK}{r}_0(1+\mathrm{\μ}\cot \mathrm{\α})[(1+\frac{n}{2})+n(\frac{{r_0}^2}{6R_0^2}-\frac{r_0}{R_0})]$

于是，有

${\mathrm{\σ}}_r=\mathrm{\βK}(1+\mathrm{\μ}\cot \mathrm{\α})[(1+\frac{n}{2})(1+\frac{r_0}{r})+n(\frac{r^2-6R_{0}r}{6{R_0}^2}-\frac{{r_0}^2-R_0{r_0}^2}{6{R_0}^{2}r})]---\left(7\right)$

将公式(6)代入(4)，得：

$p=\frac{\mathrm{\βK}{t}_0\cos \mathrm{\α}}{2r}(1+\frac{r_0}{r})[(1+\frac{n}{2})+n(\frac{r^2}{2R_0^2}-\frac{2r}{R_0})]---\left(8\right)$

坯料进入自由弯曲区时，母线的曲率半径由无穷大减小到缩颈凹模圆角半径R，如图5所示，将这一过程近似看作弯曲，弯曲导致曲率半径变化，引起相应的应力增量Δσ_r，同时，在上截面上受到弯矩M的作用。求解自由弯曲区的应力增量时，认为此区的σ_θ≈0，即自由弯曲区的曲率半径变化完全是由应力增量Δσ_r做功完成。考虑到Δσ_r相对σ_r而言小很多，故可认为单元边界上弯矩M仅与σ_r产生的弯矩相平衡。

单元体两截面间应力增量Δσ_r做功的平衡方程为：

而弯矩M可近似表示：

式中，σ为材料弯曲的真实应力

将公式(10)代入(9)中，可得：

$\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_r=\frac{{\mathrm{\σ}}_T{t}_0}{4r}---\left(11\right)$

又在上截面上弯矩M与σ_r产生的弯矩相平衡，故：

将公式(10)代入(12)得：

$r=\frac{{\mathrm{\σ}}_T{t}_0}{4{\mathrm{\σ}}_r(1-\cos \mathrm{\α})}---\left(13\right)$

将公式(13)代入(11)可得

Δσ_r＝σ_r(1-cosα)     (14)

变直过程是弯曲的逆过程，即母线的曲率半径从R增加到无穷大，变化量与弯曲过程是相同的，故变直过程引起的应力增量与弯曲过程的应力增量相同，即

Δσ_r＝σ_r(1-cosα)

所以，考虑自由弯曲区后的径向应力为

σ_r+2Δσ_r＝σ_r(3-2cosα)

故可得到考虑弯曲作用而迭加出的径向应力公式为：

${\mathrm{\σ}}_r=\mathrm{\βK}(1+\mathrm{\μ}\cot \mathrm{\α})[(1+\frac{n}{2})(1+\frac{r_0}{r})+n(\frac{r^2-6R_{0}r}{6{R_0}^2}-\frac{{r_0}^2-6R_0{r_0}^2}{6{R_0}^{2}r})](3-2\cos \mathrm{\α})---\left(15\right)$

则缩颈载荷为

$p=2\mathrm{\πRt}{\mathrm{\σ}}_r=1.15\mathrm{K\πr}{t}_0(1-\mathrm{\μ}\cot \mathrm{\α})(3-2\cos \mathrm{\α})(1-\frac{R_0}{r})[(1+\frac{n}{2})(1-\frac{r_0}{r})+n(\frac{r^1-6r{R}_0}{6R_0^2}-\frac{r_0^3-6R_0{r_0}^2}{6R_0^{2}r})]---\left(16\right)$

分析上式可知：函数P(r)在变形区间[r₀,R₀]是递增函数，即当r＝R₀时P有最小值；而且，最小值就是所需要的缩颈载荷。

故所求得的考虑弯曲影响的最小缩颈载荷为：

$P=2\mathrm{\βK\π}{R}_0{t}_0(1+\mathrm{\μ}\cot \mathrm{\α})(3-2\cos \mathrm{\α})[(1+\frac{n}{2})(1-m_N)-n\frac{5-6{m_N}^2-{m_N}^3}{6}]---\left(17\right)$

将公式(17)对α求导，得

$\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{d\α}}=2\mathrm{\βK\π}{R}_0{t}_0(2\mathrm{\μ}\cos \mathrm{\α}{\csc }^2\mathrm{\α}-3\mathrm{\μ}{\csc }^2\mathrm{\α}+2\mathrm{\μ}\cos \mathrm{\α}+2\sin \mathrm{\α})[(1+\frac{n}{2})(1-m_N)-n\frac{5-6m_N^2-m_N^3}{6}]$

令可得最佳入模角α。

由于上述推导过程是针对首道次缩颈凹模的，故式中的P即为本技术方案中的首道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P₁，α为本技术方案中的首道次缩颈凹模的入模角α₁，β为中间主应力影响系数，取β≈1.15；t₀为两片罐在首道次缩颈前的边缘厚度，K为应变硬化系数；R₀为两片罐在首道次缩颈前的半径；μ为两片罐与当前道次缩颈凹模的摩擦系数；n为材料的应变硬化指数；m_N为首道次缩颈的缩口系数,其为首道次缩颈凹模的缩口半径与两片罐罐口初始半径的比值。

该求解的过程可以采用计算软件算得，具体的解析过程属于数学问题，本技术方案中不再进行介绍。从上述模型可以看出，不同摩擦系数下载荷随缩颈凹模入模角变化，随着摩擦系数的增大，最佳入模角增大，而缩颈载荷也随之增大(如图6所示)。因此，确定两片罐缩颈过程的润滑条件即可确定缩颈凹模的最佳入模角。当实际缩颈过程中的摩擦条件为库伦摩擦时,摩擦系数为常数0.15，采用计算软件算得首道次缩颈凹模入模角为18°。

(2)确定后续2-15道次缩颈凹模的入模角：

后续道次的缩颈工艺中，缩颈凹模的锥面并没有起到强制坯料变形的决定性作用，影响缩颈变形结果的因素为缩颈凹模上圆角以上部位的形状尺寸。图7显示了本技术方案中后续道次缩颈变形的示意图。

在坯料变形过程中，其边缘从变形开始时半径r＝R_n减少到半径r_n，R_ρ为缩口凹模上圆角半径，与此相对应，在径向剖面内坯料边缘上的中心面切线与对称轴之间的夹角α是变化的，其逐渐减小为0(0＜α＜α₀，α₀为罐口直壁段与当前道次缩颈凹模初始接触时，直壁段与缩颈凹模上圆角圆弧切线间的夹角)，图7所示的夹角α可表示为：

$\sin \mathrm{\α}=\frac{r_n}{2R_{\mathrm{\ρ}}\tan \frac{\mathrm{\α}}{2}}$

即

r＝R_ρ+r_n-R_ρcosα     (18)

其中，R_ρ为后续道次缩颈凹模的上圆角半径，r_n为两片罐在缩颈结束后的半径。

在坯料变形区任意位置对应半径r(r_n＜r＜R_n)处用两个相交的径向平面和两个平行的法向平面切取一单元体，作用在单元体上的应力分量如图8所示。假设变形区材料与缩颈凹模间的摩擦系数μ为常数。图中，p为作用于变形区(法向平面)上的平均单位压力；A₁、A₂、A₃、A₄分别为单元体各个界面的面积，可由几何关系求得，分别为：

$A_3=\frac{\mathrm{tdr}}{\sin \mathrm{\α}}$

因为所以

沿单元体法向N列出其平衡方程式为：

$p{A}_4+2{\mathrm{\σ}}_r{A}_1\sin \frac{\mathrm{d\α}}{2}-2{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}{A}_3\sin \frac{\mathrm{d\β}}{2}=0$

将得到的关系代入上式，又取经整理可得：

$\frac{P}{t}=\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}}{R_{\mathrm{\θ}}}-\frac{{\mathrm{\σ}}_r}{R_{\mathrm{\ρ}}}---\left(19\right)$

沿单元体径向σ_r列出其平衡方程式为：

$({\mathrm{\σ}}_r+d{\mathrm{\σ}}_r)A_1-{\mathrm{\σ}}_r{A}_2-\mathrm{\μp}{A}_4-2{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}{A}_3\sin \left(\frac{\mathrm{d\θ}}{2}\right)=0$

略去高阶微量，且可取化简后得：

$r\frac{d{\mathrm{\σ}}_r}{\mathrm{dR}}+{\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}-\frac{\mathrm{\μpr}}{t\sin \mathrm{\α}}=0---\left(20\right)$

将式18式代入式20，得

$\begin{array}{c}r\frac{d{\mathrm{\σ}}_r}{\mathrm{dr}}+{\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}-\frac{\mathrm{\μr}}{\sin \mathrm{\α}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}}{R_{\mathrm{\θ}}}-\frac{{\mathrm{\σ}}_r}{R_{\mathrm{\ρ}}})=0\\ r\frac{d{\mathrm{\σ}}_r}{\mathrm{dR}}+(1+\frac{\mathrm{\μr}}{\sin \mathrm{\α}{R}_{\mathrm{\ρ}}}){\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}(1+\frac{\mathrm{\μr}}{\sin \mathrm{\α}{R}_{\mathrm{\θ}}})\end{array}---\left(21\right)$

变形区的应力状态是平面的，且在变形区中应力σ_r从零变到某个最大值，故边缘的主应力将是σ_θ和σ_H。按照最大主应力不变，塑性条件对此情况为

σ_θ＝σ_s

由式(18)、(19)代入式(21)，且有

$(R_{\mathrm{\ρ}}+r_n-R_{\mathrm{\ρ}}\cos \mathrm{\α})\frac{d{\mathrm{\σ}}_r}{R_{\mathrm{\ρ}}\sin \mathrm{\αd\α}}+[1+\frac{\mathrm{\μ}\left((R_{\mathrm{\ρ}}+r_n-R_{\mathrm{\ρ}}\cos \mathrm{\α})\right)}{R_{\mathrm{\ρ}}\sin \mathrm{\α}}]{\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_s(1+\mathrm{\μ}\cot \mathrm{\α})=0$

令 $b=\frac{R_{\mathrm{\ρ}}+r_n}{R_{\mathrm{\ρ}}},$ 则

$\begin{array}{c}(b-\cos \mathrm{\α})\frac{d{\mathrm{\σ}}_r}{\sin \mathrm{\αd\α}}+[1+\frac{\mathrm{\μ}(b-\cos }{\sin \mathrm{\α}}]{\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_s(1+\mathrm{\μ}\cot \mathrm{\α})=0\\ \frac{d{\mathrm{\σ}}_r}{\mathrm{d\α}}+[\mathrm{\μ}+\frac{\sin \mathrm{\α}}{b-\cos \mathrm{\α}}]{\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_s\frac{\sin \mathrm{\α}+\mathrm{\μ}\cos \mathrm{\α}}{b-\cos \mathrm{\α}}=0\end{array},---\left(22\right)$

求解一次线性微分方程，得

${\mathrm{\σ}}_r=[C+{\mathrm{\σ}}_s\∫\frac{\sin \mathrm{\α}+\mathrm{\μ}\cos \mathrm{\α}}{b-\cos \mathrm{\α}}{e}^{\∫(\mathrm{\μ}+\frac{\sin \mathrm{\α}}{b-\cos \mathrm{\α}})\mathrm{d\α}}\mathrm{d\α}]e^{-\∫(\mathrm{\μ}+\frac{\sin \mathrm{\α}}{b-\cos \mathrm{\α}})\mathrm{d\α}}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_r=[C+{\mathrm{\σ}}_s\∫\frac{\sin \mathrm{\α}+\mathrm{\μ}\cos \mathrm{\α}}{b-\cos \mathrm{\α}}{e}^{1n(b-\cos \mathrm{\α})+\mathrm{\μ\α}}\mathrm{d\α}]e^{-1n(b-\cos \mathrm{\α})-\mathrm{\μ\α}}\\ =[C+{\mathrm{\σ}}_s\∫(\sin \mathrm{\α}+\mathrm{\μ}\cos \mathrm{\α})e^{\mathrm{\μ\α}}\mathrm{d\α}]\frac{e^{-\mathrm{\μ\α}}}{b-\cos \mathrm{\α}}\end{array}$

对于边界条件，α＝0时，毛坯边缘σ_r＝0可求积分，化简得：

得到后续道次缩口的最小缩口载荷的计算公式为：

上式中，R_n为两片罐在缩颈开始前的半径，t₀为两片罐的初始边缘厚度，β≈1.15，K为两片罐的应变硬化系数，μ为两片罐与当前道次缩颈凹模的摩擦系数，n为两片罐的应变硬化指数，r_n为两片罐在缩颈结束后的半径，R_ρ为后续道次缩颈凹模的上圆角半径，此外，由于上述推导过程是针对后续道次缩颈凹模的，故式中的P即为本技术方案中的后续道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P_n，α为本技术方案中的首道次缩颈凹模的入模角α_n。

本实施例中后续各道次实际缩颈过程中的摩擦条件为库伦摩擦,因此摩擦系数为常数0.15，如图9所示，将后续道次缩口的最小缩口载荷的计算公式看做载荷P随角度α的函数，对其求导，取令导数函数为零，即可得后续道次缩颈入模角的大小为22.98°。该求解的过程可以采用计算软件算得，具体的解析过程属于数学问题，本技术方案中不再进行介绍。

对于薄壁两片罐而言，需要考虑罐口的弯曲与复直，同时提高成形精度，降低缩颈载荷，因此，缩颈凹模需采用圆角过渡的设计。缩颈凹模下圆角r₂应保证材料的顺利流动，特别是对于首道次的缩颈。而后续道次缩颈凹模的下圆角取值则可依据首道次缩颈凹模下圆角的大小适当确定。缩颈凹模上圆角R_ρ应该大于自由弯曲半径，否则罐口在弯曲区脱开缩颈凹模，所形成的直筒半径将比缩颈凹模洞口略小。自由弯曲半径可由公式近似算得，对于330ml罐型R_s＝5.07mm来说，变形区出口凹模圆角半径R_ρ要大于5.07mm。此外，在本实施例中，各个道次的缩颈凹模模具的上下圆角半径分别为2mm和6mm。

确定缩颈凹模的上下圆角大小后，两圆角之间需要切线过度，此即为后续道次缩颈凹模的斜面倾角。该角度的选取需保证当前道次缩颈变形段与上圆角接触变形，即罐口直壁段与模具接触点发生在上圆角部位(如图7所示)，而且斜面角度需要满足罐型设计和使用需求。因此，在本实施例中，第2道次缩颈凹模工作段上下圆角间的切线斜面角度为30°，3-15道次缩颈凹模工作段上下圆角间的切线斜面角度为36°，需要说明的是这两个角度并非缩颈凹模入模角，而只是为了满足罐型设计及使用需求，同时考虑上下圆角平滑过渡的选取的角度，入模角是各道缩颈前罐口直壁段与凹模上圆角切线的夹角。表1列出了本实施例中2-15道次的缩颈凹模的尺寸参数。

表1.

要注意的是，以上列举的仅为本发明的具体实施例，显然本发明不限于以上实施例，随之有着许多的类似变化。本领域的技术人员如果从本发明公开的内容直接导出或联想到的所有变形，均应属于本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种多道次缩颈凹模入模角的确定方法，所述多道次缩颈凹模用于对两片罐进行多道次缩颈，其特征在于，所述多道次缩颈凹模入模角的确定方法包括确定首道次缩颈凹模入模角α₁和若干个后续道次缩颈凹模的入模角α_n，其中首道次缩颈凹模入模角α₁采用下述步骤确定：

(1)建立首道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P₁与首道次缩颈凹模入模角α₁的关系模型：

$P_1=2\mathrm{\βK\π}{R}_0{t}_0(1+\mathrm{\μ}\cot {\mathrm{\α}}_1)(3-2\cos {\mathrm{\α}}_1)[(1+\frac{n}{2})(1-m_N)-n\frac{5-{{6m}_N}^2-{m_N}^3}{6}]---\left(1\right)$

式(1)中，β为中间主应力影响系数，取β≈1.15；t₀为两片罐的初始边缘厚度，K为两片罐的应变硬化系数；R₀为两片罐在缩颈开始前的半径；μ为两片罐与当前道次缩颈凹模的摩擦系数；n为两片罐的应变硬化指数；m_N为缩口系数,即当前道次缩颈凹模的缩口半径与两片罐罐口初始半径的比值；

(2)根据式(1)对首道次缩颈凹模的入模角α₁进行求导，得到

$\frac{{\mathrm{dP}}_1}{{\mathrm{d\α}}_1}=2\mathrm{\βK\π}{R}_0{t}_0(2\mathrm{\μ}\cos {\mathrm{\α}}_1{\csc }^2{\mathrm{\α}}_1-3\mathrm{\μ}{\csc }^2{\mathrm{\α}}_1+2\mathrm{\μ}\cos {\mathrm{\α}}_1+2\sin {\mathrm{\α}}_1)[(1+\frac{n}{2})(1-m_N)-n\frac{5-{6m}_N^2-m_N^3}{6}]$ 令得到首道次缩颈凹模的入模角α₁；

其中，若干个后续道次缩颈模具的入模角α_n均采用下述步骤确定：

(3)建立后续道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P_n与后续道次缩颈凹模的入模角α_n的关系模型：

式中，β为中间主应力影响系数，取β≈1.15；R_n为两片罐在各道次缩颈开始前的半径，t₀为两片罐的初始边缘厚度，K为两片罐应变硬化系数，μ为两片罐与当前道次缩颈凹模的摩擦系数，n为两片罐的应变硬化指数，r_n为两片罐在各道次缩颈结束后的半径，Rρ为后续道次缩颈凹模的上圆角半径， $b=\frac{R_{\mathrm{\ρ}}+r_n}{R_{\mathrm{\ρ}}};$

(4)根据后续道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P_n与后续道次缩颈凹模的入模角α_n的关系模型对后续道次缩颈凹模的入模角α_n进行求导，令得到后续道次缩颈凹模的入模角α_n。

2.一种多道次缩颈凹模，其包括首道次缩颈凹模和若干个后续道次缩颈凹模，所述各道次缩颈凹模均用于两片罐进行多道次缩颈，其特征在于，所述首道次缩颈凹模的入模角α₁为根据首道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P₁与首道次缩颈凹模入模角α₁的关系模型对首道次缩颈凹模的入模角α₁求导，令导数函数为0，求得的入模角α₁；所述各后续道次缩颈凹模的入模角α_n均相同，其为根据后续道次缩颈凹模的最小缩颈载荷P_n与后续道次缩颈凹模的入模角α_n的关系模型对后续道次缩颈凹模的入模角α_n求导，令导数函数为0，求得的入模角α_n；其中

P₁与α₁的关系模型为：

$P_1=2\mathrm{\βK\π}{R}_0{t}_0(1+\mathrm{\μ}\cot {\mathrm{\α}}_1)(3-2\cos {\mathrm{\α}}_1)[(1+\frac{n}{2})(1-m_N)-n\frac{5-{{6m}_N}^2-{m_N}^3}{6}]$

上式中，β为中间主应力影响系数，取β≈1.15；t₀为两片罐的初始边缘厚度，K为两片罐的应变硬化系数，R₀为两片罐在缩颈开始前的半径，μ为两片罐与当前道次缩颈凹模的摩擦系数，n为两片罐的应变硬化指数，m_N为缩口系数,即当前道次缩颈凹模的缩口半径与两片罐罐口初始半径

的比值；

P_n与α_n的关系模型为：

式中，R_n为两片罐在各道次缩颈开始前的半径，t₀为两片罐的初始边缘厚度，β≈1.15，K为两片罐的应变硬化系数，μ为两片罐与当前道次缩颈凹模的摩擦系数，n为两片罐的应变硬化指数，r_n为两片罐在各道次缩颈结束后的半径，R_ρ为后续道次缩颈凹模的上圆角半径，

3.如权利要求2所述的多道次缩颈凹模，其特征在于，所述P₁与α₁的关系模型、P_n与α_n的关系模型中μ取0.15。