CN102750714A - 基于快速搜寻最优核配置的张量分解截断遥感高光谱图象压缩方法 - Google Patents

Abstract

基于快速搜寻最优核配置的张量分解截断遥感高光谱图象压缩方法，它涉及高光谱图象处理方法。目的是针对目前基于张量分解的压缩方法难以在设定压缩质量和压缩比要求下快速的获得最优的张量核配置的问题，提出了一种基于快速搜寻最优核配置的张量分解截断遥感高光谱图象压缩方法。本发明的步骤为：将高光谱图象做完整Tucker分解；计算光谱维搜索起点，开始迭代搜索，获得光谱维最优配置；然后再微调迭代，获取空间维最优配置；最后截取完整分解结果得到最终压缩结果。本发明可以应用于星载或者地面的高光谱图象压缩，在保证了压缩恢复质量的同时，能够有效减少了压缩算法的计算量。

Description

基于快速搜寻最优核配置的张量分解截断遥感高光谱图象压缩方法

技术领域

本发明涉及一种遥感高光谱图象处理方法，属于图像处理领域。

背景技术

高光谱图象是目前国内外在遥感领域的研究热点之一，其突出特点是成象技术与光谱技术结合，实现了地物空间信息和光谱信息的同步获取，即图谱合一。已被广泛应用于环境监测、地质、气象、军事侦察等领域。然而，高光谱图象的优越性是以其较大的数据量及较高的数据维为代价的，例如一幅标准的高光谱AVIRIS(Airborne Visible/Infrared ImagingSpectrometer)图象就有224个连续谱段，而每个谱段的图象空间分辨力为512×614×16bits，这样一幅AVIRIS高光谱图象的数据量大约为140Mbytes。这样大的数据量给高光谱图象的传输和存储、甚至应用处理都带来较大的困难，同时也为通常的遥感图象应用方法提出新的挑战。可以说高光谱图象的海量数据已经成为制约高光谱遥感发展的一个技术瓶颈，因此，研究新的适合于高光谱图象特点的压缩方法，对于当前应用和利用高光谱图象的信息资源，是极其必要的。

高光谱图象不仅具有空间相关性，而且具有较强的光谱相关性，其压缩方法主要通过去除空间和光谱间的冗余，以实现减少数据量的目的。就国内外公开报道的文献来看，高光谱图象压缩方法主要包括基于预测的压缩、基于变换的压缩和基于矢量量化的压缩三大类。上述三类方法中，基于预测和VQ的方法主要利用了高光谱图象的局部相关性，而基于变换的方法更注重利用高光谱图象整体上的数据结构和分布。基于变换的方法中，基于KLT的PCA(Principal Component Analysis)方法和基于小波变换的方法被普遍认可。PCA方法是最优的去除谱间相关性的方法，通常利用PCA方法去除谱带间的光谱相关性，再利用如JPEG2000这样的空间压缩方法去除空间相关性。而基于小波变换的方法，如3D-SPIHT，3D-SPECK等，都是先针对高光谱图象的空间二维数据和光谱一维数据进行小波变换，再对小波系数进行量化和编码。

已有相关文献探讨了基于张量分解的压缩方法，这类方式的本质就是获得了高光谱图象高效地表达和“浓缩”，主要就是将高光谱图象进行Tucker张量分解后直接对核张量和三个模式矩阵进行截断。但是这样的方法面临的主要问题就是如何在满足压缩质量和压缩比要求下获得最优的张量核配置，也就是满足给定压缩比的情况下如何选择核张量的三个维度(P,Q,R)使压缩后恢复的信噪比达到最大。

综上，基于张量分解截断的高光谱图象压缩方法能够保持原数据结构特性，而且可以充分利用高光谱图象的空间和谱间冗余，而其中如何进行最优的张量核配置是这种压缩方法的关键。本发明研究对高光谱图象的有效压缩和进一步应用具有重要的理论意义和应用价值。

发明内容

本发明的目的是针对目前基于张量分解的压缩方法难以在设定压缩质量和压缩比要求下快速的获得最优的张量核配置的问题，提出了一种基于快速搜寻最优核配置的张量分解截断遥感高光谱图象压缩方法

基于快速搜寻最优核配置的张量分解截断遥感高光谱图象压缩方法，它的实现步骤如下：

步骤一、设定压缩比C_Rate和评价准则；

步骤二、将高光谱图象作为一个张量

I×J×K维，I、J、K分别代表空间维一、空间维二、光谱维；

当P=I、Q=J和R=K的条件下，对该高光谱图象采用张量Tucker分解的方式进行完整分解，从而获得Tucker完整分解的结果

A_f，B_f，C_f；

其中：P代表张量分解的空间变换维度一，Q代表张量分解的空间变换维度二，R代表张量分解的光谱变换维；其中

P×Q×R维，是分解得到的核张量，A_f、B_f、C_f分别是由特征向量按列排列而成的正交模式矩阵，分别是I×P维、J×Q维、K×R维；

步骤三：根据步骤一所设定的压缩比C_Rate，分别建立压缩比C_Rate和高光谱图像原始的三个维度空间维一I、空间维二J、光谱维K和张量分解的三个维度空间变换维度一P、空间变换维度二Q、光谱变换维R的关系公式：

步骤三一、根据压缩比C_Rate得： $R=(\frac{\mathrm{IJk}}{C_{\mathrm{Rate}}}-\mathrm{IP}-\mathrm{JQ})/(\mathrm{PQ}+K),---\left(13\right)$

由于P≤I,Q≤J，于是 $R\≥(\frac{\mathrm{IJk}}{C_{\mathrm{Rate}}}-I^2-J^2)/(\mathrm{IJ}+K),---\left(14\right)$

获得光谱维搜索起点R_minb：

其中

表示向上取整，                               (15)

同时记r＝R_min，其中r是整数变量，r≥1    （16）

步骤三二、将压缩比C_Rate带入公式

$P/I=Q/J\⇒Q=P\frac{J}{I};---\left(17\right)$

获得：

$P^2+\frac{I^2+I^2}{\mathrm{JR}}P=\frac{I^{2}K}{{\mathrm{RC}}_{\mathrm{Rate}}}-\frac{\mathrm{IK}}{J}---\left(18\right)$

解方程（18）得P和Q的表达式分别为公式（19）和公式（20）：

$P=\mathrm{sqrt}(\frac{I^{2}K}{{\mathrm{JC}}_{\mathrm{Rate}}}-\frac{\mathrm{IKr}}{J}+{\left(\frac{I^2+J^2}{2\mathrm{Jr}}\right)}^2)-\frac{I^2+J^2}{2\mathrm{Jr}};---\left(19\right)$

$Q=P\frac{J}{I};---\left(20\right)$

步骤四：将r带入步骤三二所得的P和Q的表达式(19)和(20)计算得到P和Q，然后执行步骤五；

步骤五：根据步骤一所设定的评价标准，计算

步骤六：若

时，则，执行步骤七，否则，将r=r+1后执行步骤四；

步骤七：得到光谱维度R的最优配置R_best=r-1；

步骤八：将R=R_best带入步骤三二中的公式(19)和公式（20），计算得到光谱维度的微调初值P0和Q0，即P=P0和Q=Q0，并设i＝1、N1_i=0、N2_i=0,其中i为整数变量，其中N1_i为正实数变量，其中N2_i为正实数变量；

步骤九：计算：      P_i=P0+i-1                      （22）

$Q_i=[(\frac{\mathrm{IJK}}{C_{\mathrm{Rate}}}-{\mathrm{KR}}_{\mathrm{best}}-{\mathrm{IP}}_i)/(P_i{R}_{\mathrm{best}}+J)]---\left(23\right)$

和

后，执行步骤十；

其中P_i为以i为自变量的整数变量，Q_i为以i为自变量的整数变量，[]表示取整；

步骤十:若N1_i≤N1_i-1,则，记P₊=P_i-1，M1＝N1_i-1，i=1后执行步骤十一，否则，将i=i+1后执行步骤九；

其中P₊、M1分别代表实数变量；

步骤十一：计算：

$P_i=P0-i,Q_i=[(\frac{\mathrm{IJK}}{C_{\mathrm{Rate}}}-{\mathrm{KR}}_{\mathrm{best}}-{\mathrm{IP}}_i)/(P_i{R}_{\mathrm{best}}+J)]---\left(25\right)$

和

后，执行步骤十二；

步骤十二：如果N2_i≤N2_i-1，将P_-=P_i-1，M2＝N2_i-1，执行步骤十三，否则将i=i+1后执行步骤十一；

其中P、M2分别代表实数变量；

步骤十三：如果M1≥M2，得到P这个维度方向上的最优配置P_best=P₊，否则得到P_best=P_-；然后执行步骤十四；

步骤十四：计算得到Q这个维度方向上的最优配置 $Q_{\mathrm{best}}=(\frac{\mathrm{IJK}}{C_{\mathrm{Rate}}}-{\mathrm{KR}}_{\mathrm{best}}-{\mathrm{IP}}_{\mathrm{best}})/(P_{\mathrm{best}}{R}_{\mathrm{best}}+J);---\left(27\right)$

步骤十五：按式

A_T=A_f(:,1:P)                                    （28）

B_T=B_f(:,1:Q)

C_T=C_f(:,1:R)

以(P_best，Q_best，R_best)截取步骤一张量Tucker完整分解结果

A_f,B_f,C_f，得到最终压缩结果

A_T,B_T,C_T：

A_T=A_f(:,1:P_best)          。                    （29）

B_T=B_f(:,1:Q_best)

C_T=C_f(:,1:R_best)

本发明的优点是：可以应用于星载或者地面的高光谱图象压缩，在保证了压缩恢复质量的同时，能够有效减少了压缩算法的计算量；本发明的基于张量分解的压缩方法，还可以在设定压缩质量和压缩比要求下快速的获得最优的张量核配置，从而缩短了压缩和解压时间。

附图说明

图1和图2为本发明的流程图；

图3为三阶张量Tucker分解示意图；

图4为肯尼迪航天中心高光谱遥感图象假彩色合成图；

图5为帕维亚大学高光谱遥感图象假彩色合成图；

图6为肯尼迪航天中心高光谱遥感图象的信噪比-压缩比曲线图；

图7为帕维亚大学高光谱遥感图象的信噪比-压缩比曲线图；

图8为肯尼迪航天中心高光谱遥感图象的压缩时间-压缩比曲线；

图9为帕维亚大学高光谱遥感图象的压缩时间-压缩比曲线；

图10为肯尼迪航天中心高光谱遥感图象的解压缩时间-压缩比曲线图；

图11为帕维亚大学高光谱遥感图象的解压缩时间-压缩比曲线图。

具体实施方式

具体实施方式一：下面结合图1说明本实施方式，本实施方式所述基于快速搜寻最优核配置的张量分解截断遥感高光谱图象压缩方法，它的实现步骤如下：

步骤一、设定压缩比C_Rate和评价准则；

步骤二、将高光谱图象作为一个张量

I×J×K维，I、J、K分别代表空间维一、空间维二、光谱维；

当P=I、Q=J和R=K的条件下，对该高光谱图象采用张量Tucker分解的方式进行完整分解，从而获得Tucker完整分解的结果

A_f，B_f，C_f；

其中：P代表张量分解的空间变换维度一，Q代表张量分解的空间变换维度二，R代表张量分解的光谱变换维；其中

P×Q×R维，是分解得到的核张量，A_f、B_f、C_f分别是由特征向量按列排列而成的正交模式矩阵，分别是I×P维、J×Q维、K×R维；

步骤三：根据步骤一所设定的压缩比C_Rate，分别建立压缩比C_Rate和高光谱图像原始的三个维度空间维一I、空间维二J、光谱维K和张量分解的三个维度空间变换维度一P、空间变换维度二Q、光谱变换维R的关系公式：

步骤三一、根据压缩比C_Rate得： $R=(\frac{\mathrm{IJk}}{C_{\mathrm{Rate}}}-\mathrm{IP}-\mathrm{JQ})/(\mathrm{PQ}+K),---\left(13\right)$

由于P≤I,Q≤J，于是 $R\≥(\frac{\mathrm{IJk}}{C_{\mathrm{Rate}}}-I^2-J^2)/(\mathrm{IJ}+K),---\left(14\right)$

获得光谱维搜索起点R_min：

其中

表示向上取整，                             (15)

同时记r＝R_min，其中r是整数变量，r≥1                        （16）

步骤三二、将压缩比C_Rate带入公式

$P/I=Q/J\⇒Q=P\frac{J}{I};---\left(17\right)$

获得：

$P^2+\frac{I^2+I^2}{\mathrm{JR}}P=\frac{I^{2}K}{{\mathrm{RC}}_{\mathrm{Rate}}}-\frac{\mathrm{IK}}{J}---\left(18\right)$

解方程（18）得P和Q的表达式分别为公式（19）和公式（20）：

$P=\mathrm{sqrt}(\frac{I^{2}K}{{\mathrm{JC}}_{\mathrm{Rate}}}-\frac{\mathrm{IKr}}{J}+{\left(\frac{I^2+J^2}{2\mathrm{Jr}}\right)}^2)-\frac{I^2+J^2}{2\mathrm{Jr}};---\left(19\right)$

$Q=P\frac{J}{I};---\left(20\right)$

步骤四：将r带入步骤三二所得的P和Q的表达式(19)和(20)计算得到P和Q，然后执行步骤五；

步骤五：根据步骤一所设定的评价标准，计算

步骤六：若

时，则，执行步骤七，否则，将r=r+1后执行步骤四；

步骤七：得到光谱维度R的最优配置R_best=r-1；

步骤八：将R=R_best带入步骤三二中的公式(19)和公式（20），计算得到光谱维度的微调初值P0和Q0，即P＝P0和Q=Q0，并设i＝1、N1_i=0、N2_i=0,其中i为整数变量，其中N1_i为正实数变量，其中N2_i为正实数变量；

步骤九：计算：        P_i=P0+i-1               （22）

$Q_i=[(\frac{\mathrm{IJK}}{C_{\mathrm{Rate}}}-{\mathrm{KR}}_{\mathrm{best}}-{\mathrm{IP}}_i)/(P_i{R}_{\mathrm{best}}+J)]---\left(23\right)$

和

后，执行步骤十；

其中P_i为以i为自变量的整数变量，Q_i为以i为自变量的整数变量，[]表示取整；

步骤十:若N1_i≤N1_i-1,则，记P₊=P_i-1，M1＝N1_i-1，i=1后执行步骤十一，否则，将i=i+1后执行步骤九；

其中P₊、M1分别代表实数变量；

步骤十一：计算：

$P_i=P0-i,Q_i=[(\frac{\mathrm{IJK}}{C_{\mathrm{Rate}}}-{\mathrm{KR}}_{\mathrm{best}}-{\mathrm{IP}}_i)/(P_i{R}_{\mathrm{best}}+J)]---\left(25\right)$

和

后，执行步骤十二；

步骤十二：如果N2_i≤N2_i-1，将P_-=P_i-1，M2=N2_i-1，执行步骤十三，否则将i=i+1后执行步骤十一；

其中P、M2分别代表实数变量；

步骤十三：如果M1≥M2，得到P这个维度方向上的最优配置P_best=P₊，否则得到P_best=P_-；然后执行步骤十四；

步骤十四：计算得到 Q 这个维度方向上的最优配置 $Q_{\mathrm{best}}=(\frac{\mathrm{IJK}}{C_{\mathrm{Rate}}}-{\mathrm{KR}}_{\mathrm{best}}-{\mathrm{IP}}_{\mathrm{best}})/(P_{\mathrm{best}}{R}_{\mathrm{best}}+J);---\left(27\right)$

步骤十五：按式

A_T=A_f(:,1:P)                                 （28）

B_T=B_f(:,1:Q)

C_T=C_f(:,1:R)

以(P_best,Q_best,R_best)截取步骤一张量Tucker完整分解结果

A_f,B_f,C_f，得到最终压缩结果

A_T,B_T,C_T：

A_T=A_f(:,1:P_best)       。                    （29）

B_T=B_f(:,1:Q_best)

C_T=C_f(:,1:R_best)

具体实施方式二：下面结合图1说明本实施方式，本实施方式为对实施方式一的设定压缩比C_Rate和评价准则的进一步说明，本实施方式所述的设定压缩比C_Rate和评价准则的方法分别为：

设定压缩比C_Rate的方法为：采用归一化的方式将核张量和模式矩阵元素化归到16bit；核张量和模式矩阵的归一化方式分别为：

核张量元素G的归一化处理为：

模式矩阵的归一化处理为：

u_n=[u_n×10⁴]                                  (4)

取每个元素的小数点后前4位有效数字参与计算，u_n分别代表模式矩阵A、B、C，n=1,2,3；两公式中的[]都表示四舍五入取整；

数据归一化后，分解前后都可用16bit表示，那么压缩比C_Rate就可以定义为：

$C_{\mathrm{Rate}}=\frac{16\mathrm{IJK}}{16(\mathrm{PQR}+\mathrm{IP}+\mathrm{JQ}+\mathrm{KR})}=\frac{\mathrm{IJK}}{\mathrm{PQR}+\mathrm{IP}+\mathrm{JQ}+\mathrm{KR}}---\left(5\right);$

评价准则

采用总体信噪比作为压缩效果的评价准则，信噪比SNR定义如下：

其中，表示重建张量，张量X与重建张量的差：

表示误差张量；

对式(6)分母部分进行展开：

由于模式矩阵A,B,C是标准正交矩阵，因此对和

的内积

有：

而且对有：

将公式(8)和公式(9)代入公式(7)可得：

代入公式(6)可将其改写成：

其中

是一常数，分解得到的核张量的范数

的公式为：

具体实施方式三：下面结合图1说明本实施方式，本实施方式为对实施方式一的采用张量Tucker分解的方式进行完整分解的方法的进一步说明，本实施方式所述的采用张量Tucker分解的方式进行完整分解的方法为：

将张量按照维度分解成核张量和正交模式矩阵：

其中，

是原始张量，I×J×K维；

是分解得到的核张量，P×Q×R维；

A、B、C分别是由特征向量按列排列而成的正交模式矩阵，分别是I×P维、J×Q维、K×R维，

Tucker分解是完整无压缩的条件是：P=I，Q=J，R=K，

得到

其中：a_pοb_qοc_r是特征向量的外积；×_n表示矩阵与张量的模乘。

实验数据使用两幅高光谱遥感图象，第一幅是美国佛罗里达州肯尼迪航天中心高光谱遥感图象(Kennedy Space Center)，由美国国家航空航天局下属的AVRIS传感器，于1996年3月23日获取，假彩色合成图如图4所示。AVIRIS传感器可获得从400nm到2500nm之间的224个波段，光谱分辨率10nm。传感器距地面20km拍摄，获得空间分辨率18m。去除水汽吸收带和信噪比较低的几个波段，剩下176个波段，图象大小614×512。第二幅是由德国航天航空中心设计的ROSIS传感器于2002年7月8日，上午10:30到12:00之间拍摄的意大利帕维亚大学高光谱遥感图象（University of Pavia）。传感器采集0.43-0.86μm可见光和近红外波段，空间分辨率1.3m，图象大小340×610的数据。去除受噪声干扰明显的波段，还剩下103个波段。由于具有较高的空间分辨率，空间分布连续性强，假彩色合成图如图5所示。

在不同的压缩比下，对比本发明方法和两种典型高光谱图象压缩方法即基于非对称小波变换的3D-SPIHT以及基于对称小波变换的3D-SPIHT方法，考察压缩恢复信噪比SNR和压缩时间、解压缩时间结果如图5-图10所示。由以上两组实验结果可见，本发明算法达到的信噪比相比典型方法提高了3~4dB，相比典型方法信噪比略低，但是在压缩和解压时间上要快得多。

本发明不局限于上述实施方式，还可以是上述各实施方式中所述技术特征的合理组合。

Claims (3)

1.基于快速搜寻最优核配置的张量分解截断遥感高光谱图象压缩方法，其特征在于：它的实现步骤如下：

步骤一、设定压缩比C_Rate和评价准则；

步骤二、将高光谱图象作为一个张量 

I×J×K维，I、J、K分别代表空间维一、空间维二、光谱维；

当P=I、Q=J和R=K的条件下，对该高光谱图象采用张量Tucker分解的方式进行完整分解，从而获得Tucker完整分解的结果 

A_f，B_f，C_f；

其中：P代表张量分解的空间变换维度一，Q代表张量分解的空间变换维度二，R代表张量分解的光谱变换维；其中 

P×Q×R维，是分解得到的核张量，A_f、B_f、C_f分别是由特征向量按列排列而成的正交模式矩阵，分别是I×P维、J×Q维、K×R维；

步骤三：根据步骤一所设定的压缩比C_Rate，分别建立压缩比C_Rate和高光谱图像原始的三个维度空间维一I、空间维二J、光谱维K和张量分解的三个维度空间变换维度一P、空间变换维度二Q、光谱变换维R的关系公式：

步骤三一、根据压缩比C_Rate得：

由于P≤I,Q≤J，于是

获得光谱维搜索起点R_min：

其中 

表示向上取整，                               (15)

同时记r＝R_min，其中r是整数变量，r≥1    （16）

步骤三二、将压缩比C_Rate带入公式

获得：

解方程（18）得P和Q的表达式分别为公式（19）和公式（20）：

步骤四：将r带入步骤三二所得的P和Q的表达式(19)和(20)计算得到P和Q，然后执行步骤五；

步骤五：根据步骤一所设定的评价标准，计算 

步骤六：若 

时，则，执行步骤七，否则，将r=r+1后执行步骤四；

步骤七：得到光谱维度R的最优配置R_best=r-1；

步骤八：将R=R_best带入步骤三二中的公式(19)和公式（20），计算得到光谱维度的微调初值P0和Q0，即P=P0和Q=Q0，并设i＝1、N1_i=0、N2_i=0,其中i为整数变量，其中N1_i为正实数变量，其中N2_i为正实数变量；

步骤九：计算：              P_i=P0+i-1                  （22）

和

后，执行步骤十；

其中P_i为以i为自变量的整数变量，Q_i为以i为自变量的整数变量，[]表示取整；

步骤十:若N1_i≤N1_i-1,则，记P₊=P_i-1，M1＝N1_i-1，i=1后执行步骤十一，否则，将i=i+1后执行步骤九；

其中P₊、M1分别代表实数变量；

步骤十一：计算：

和

后，执行步骤十二；

步骤十二：如果N2_i≤N2_i-1，将P_-=P_i-1，M2=N2_i-1，执行步骤十三，否则将i=i+1后执行步骤十一； 

其中P_-、M2分别代表实数变量；

步骤十三：如果M1≥M2，得到P这个维度方向上的最优配置P_best=P₊，否则得到P_best=P_-；然后执行步骤十四；

步骤十四：计算得到Q这个维度方向上的最优配置 

步骤十五：按式

A_T=A_f(:,1:P)                        （28）

B_T=B_f(:,1:Q)

C_T=C_f(:,1:R)

以(P_best,Q_best,R_best)截取步骤一张量Tucker完整分解结果 

A_f,B_f,C_f，得到最终压缩结果 

A_T,B_T,C_T：

A_T=A_f(:,1:P_best)                    （29）

B_T=B_f(:,1:Q_best)

C_T=C_f(:,1:R_best)。

2.根据权利要求1所述的基于快速搜寻最优核配置的张量分解截断遥感高光谱图象压缩方法，其特征在于，所述步骤一所述的设定压缩比C_Rate和评价准则的方法分别为：

设定压缩比C_Rate的方法为：采用归一化的方式将核张量和模式矩阵元素化归到16bit；核张量和模式矩阵的归一化方式分别为：

核张量元素G的归一化处理为：

模式矩阵的归一化处理为：

u_n=[u_n×10⁴]                          (4)

取每个元素的小数点后前4位有效数字参与计算，u_n分别代表模式矩阵A、B、C，n=1,2,3；两公式中的[]都表示四舍五入取整；

数据归一化后，分解前后都可用16bit表示，那么压缩比C_Rate就可以定义为：

设定评价准则的方法为：

采用总体信噪比作为压缩效果的评价准则，信噪比SNR定义如下：

其中， 表示重建张量，张量X与重建张量 的差： 

表示误差张量；

对式(6)分母部分进行展开：

由于模式矩阵A,B,C是标准正交矩阵，因此对 和 

的内积 

有：

而且对 

有：

将公式(8)和公式(9)代入公式(7)可得： 

代入公式(6)可将其改写成：

其中 

是一常数，分解得到的核张量的范数 

的公式为：

3.根据权利要求1所述的基于快速搜寻最优核配置的张量分解截断遥感高光谱图象压缩方法，其特征在于，所述采用张量Tucker分解的方式进行完整分解的方法为：

将张量按照维度分解成核张量和正交模式矩阵：

其中， 

是原始张量，I×J×K维； 是分解得到的核张量，P×Q×R维；

A、B、C分别是由特征向量按列排列而成的正交模式矩阵，分别是I×P维、J×Q维、K×R维，

Tucker分解是完整无压缩的条件是：P=I，Q=J，R=K， 

得到 

其中：a_pοb_qοc_r是特征向量的外积；×_n表示矩阵与张量的模乘。 

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