CN102663711A - 基于广义积分图的快速滤波算法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于广义积分图的快速滤波算法。该算法引入广义积分图，借助广义积分图和数学工具实现滤波器加权系数与积分过程的分离，实现快速滤波运算。具体实现过程包括以下步骤：1）读取图像数据，选定滤波窗口大小；2）确定卷积滤波核函数形式，写出广义积分图形式；3）计算待处理图像的广义积分图；4）对图像中各像素点，利用3）的广义积分图，实现快速滤波运算。本发明利用广义积分图实现图像的快速空域滤波，消除了传统卷积滤波的重复运算，本发明的算法时间与滤波窗口大小无关。

Description

基于广义积分图的快速滤波算法

技术领域

本发明涉及一种基于广义积分图的快速滤波算法，可显著提高滤波速度，属于实时图像检测领域。

背景技术

传统空域滤波是沿图像逐行逐列进行，扫描每行图像，逐像素进行卷积或相关运算，存在大量重复运算，处理时间受滤波核大小影响很大，不适合实时图像处理的应用要求。针对该问题，文献提出FMF算法（S.Rakshit,A.Ghosh,B.Uma Shankar.Fast mean filtering technique.Pattern Recognition.2007），文献（王科俊,熊新炎,任桢，高效均值滤波算法[J].计算机应用研究,2010,(2)）对FMFT算法进行了改进，提出一种高效均值滤波算法。对于小窗口均值滤波核，文献（黄文杰,陈斌.一种快速图像处理的积分图方法[J].2005，计算机应用）提出了一种快速积分图均值滤波方法。但该方法无法应用于任意大小和任意滤波核。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有空域卷积滤波的不足，提供一种基于广义积分图的快速滤波算法。该算法引入广义积分图，并将其应用于任意窗口大小和任意滤波核的快速滤波，该算法在处理效果上与传统卷积滤波相当，但处理速度远优于传统算法，特别是采用大滤波窗口时，效果更加显著。

为了实现上述目标，本发明采用以下技术实现方案：

一种基于广义积分图的快速滤波算法，其步骤为：

步骤一：读入待处理图像，选定滤波窗口大小；

步骤二：选定滤波核函数，写出各广义积分表达式；

步骤三：计算待滤波图像的广义积分图；

步骤四：行、列序号row，col赋初值，row=0,col=0；

步骤五：利用步骤三的结果求得图像(row，col)点的滤波像素值；

步骤六：col=col+1；

步骤七：判断col是否小于图像宽度，如果是就返回步骤五；如果否，表示已处理完本行图像，就进入步骤八，准备开始处理新的一行图像；

步骤八：row=row+1，col=0；

步骤九：判断row是否小于图像高度，如果是就返回步骤五；如果否，表示已完成整个图像的滤波处理，输出滤波后的图像。

所述步骤二中的广义积分表达式推导说明如下：

滤波通常用设定的滤波核矩阵，对图像进行卷积或相关运算。取滤波窗口边长为奇数（宽度W＝2*h+1，高度H＝2*h+1，h,w为窗口半宽和半高，取正整数）的核。滤波过程可表示为：

$P^{\′}(x_0,y_0)=$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}C(x+w-x_0,y+h-y_0)P(x,y)---\left(1\right)$

上式中D表示以（x₀-w,y₀-h）点和（x₀+w,y₀+h）点确定的矩形滤波窗口，C(x,y)是核元素,p(x,y)和p′(x,y)分别表示图像中(x,y)点滤波前后的该点的像素值。为防止越界，坐标值超过图像边缘时以同行或同列的的边缘点代替，如p(-1,y)＝p(0,y),p(x,-1)＝p(x,0)。

均值滤波时滤波核元素为常数，c(i,j)＝1/(w·h)，滤波计算式(1)简化：

$P^{\′}(x_0,y_0)$

$=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\frac{1}{W\·H}P(x,y)$

$=\frac{1}{W\·H}\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}P(x,y)---\left(2\right)$

上式中的积分项

具有明显含义，它表示原图像中矩形区域D内所有像素值和，于是得到，

$P^{\′}(x_0,y_0)=$

$\frac{1}{W\·H}[I(x_0+w,y_0+h)-I(x_0+w,y_0)$

$-I(x_0,y_0+h)+I(x_0-w,y_0-h)]---\left(3\right)$

通过上式可以看出，只需要预先做好积分图I(x,y)，均值滤波运算被表示为滤波窗口内的积分值，由于不再对每像素重复计算加权和，运算量不再随滤波模板的大小(H,W)而增加，大大提高了运算效率。

Gauss滤波器根据Gauss函数的形状来选择权值，二维Gauss函数：

$g[i,j]=\mathrm{\α}\·e^{-\frac{(i^2+j^2)}{{2\mathrm{\σ}}^2}}---\left(4\right)$

其中，α是用来保证滤波器积分1的常数因子，Gauss分布参数σ决定Gauss函数的宽度，[i,j]表示图像中(i,j)点对应的索引号。将滤波式(1)中核元素c(i.j)替换为Gauss函数，得到，

$P^{\′}(x_0,y_0)=$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·\exp (-\frac{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)---\left(5\right)$

上式中，A是规一化系数，σ是高斯分布系数，(x,y)表示图像中滤波窗口内各像素点坐标，(x₀,y₀)表示滤波窗口中心像素点坐标。由于滤波模板元素与位置相关，无法直接利用积分图来进行快速滤波。

根据泰勒公式，指数函数exp(x)幂级数展开可表示为：

$\exp \left(x\right)=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...---\left(6\right)$

为方便计算，取展开式(6)前两项，即exp(x)＝1+x，来对式(5)中的高斯核函数进行简化。

这种处理保留了核函数高斯分布特性，因此是合理的。于是（5）可简化为：

$P^{\′}(x_0,y_0)=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·(1-\frac{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)$

$=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·(1-\frac{{x_0}^2+{y_0}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2}+\frac{x_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·x+\frac{y_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·y-\frac{x^2+y^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)$

$=[A\·(1-\frac{{x_0}^2+{y_0}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{P(x,y)}]+[\frac{A\·x_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{x\·P(x,y)}]---\left(7\right)$

$+[\frac{A\·y_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{y\·P(x,y)}]-[\frac{A}{{2\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{(x^2+y^2)\·P(x,y)}]$

加权运算与求和运算已经分离，即积分项与目标点(x₀,y₀)不相关。于是可将积分图推广，使积分项不再局限于像素值p(x,y)，而是p(x,y)与坐标(x,y)的混合式，即用p(x,y),x·p(x,y),y·p(x,y),(x²+y²)·p(x,y)，I₁,I₂,I₃,I₄。式(7)中的积分项通过广义积分图来实现。

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}P(x,y)=I_1(x_0+w,y_0+h)-I_1(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_1(x_0-h-1,y_0+h)+I_1(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}x\·P(x,y)=I_2(x_0+w,y_0+h)-I_2(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_2(x_0-h-1,y_0+h)+I_2(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}y\·P(x,y)=I_3(x_0+w,y_0+h)-I_3(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_3(x_0-h-1,y_0+h)+I_3(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}(x^2+y^2)\·P(x,y)=I_3(x_0+w,y_0+h)-I_3(x_0+w,y_0-h-1)---\left(8\right)$

$-I_3(x_0-h-1,y_0+h)+I_3(x_0-w-1,y_0-h-1)$

所述步骤三的详细过程为：

对于任意滤波核函数C(x,y)，滤波操作过程可描述为，

$P^{\′}(x_0,y_0)=\underset{x,y\∈D}{\mathrm{\Σ}}C(x,y)P(x,y)---\left(9\right)$

将C(x,y)按照高斯滤波类似处理方法，进行幂级数展开，去高次项，则将滤波函数转化为以(x₀,y₀)的多项式为基的向量与以(x,y)的多项式为基的向量的内积，

$C(x,y)=\stackrel{\→}{A_{({x_0}^n,{y_0}^n)}}\·\stackrel{\→}{B_{(x^n,y^n)}}---\left(10\right)$

转化为内积形式后，加权与积分操作将完全分离，用广义积分图的方法实现快速滤波。

下面以较复杂的LoG滤波函数为例来说明。

将任意滤波核函数的广义积分图进行说明。

对高斯函数进行二阶微分，得到LoG函数，

$\mathrm{LoG}(x,y)=\frac{{\mathrm{\σ}}^2-r^2}{{\mathrm{\σ}}^4}{e}^{-\frac{r^2}{{2\mathrm{\σ}}^2}}---\left(11\right)$

其中r²＝(x-x₀)²+(y-y₀)²，式中r²是图像像素点(x,y)与模板中心点(x₀,y₀)的欧式距离平方。

将LoG函数中的指数项进行泰勒展开并去高次项后，得到，

$\mathrm{LoG}(x,y)=\frac{{\mathrm{\σ}}^2-r^2}{{\mathrm{\σ}}^4}(1-\frac{r^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^2}-\frac{{3r}^2}{{2\mathrm{\σ}}^4}+\frac{r^4}{{2\mathrm{\σ}}^6}---\left(12\right)$

将r²替换为(x-x₀)²+(y-y₀)²，并进行较为复杂的多项式计算，得到，

$\mathrm{LoG}(x,y)$

$=[\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^2}-\frac{3({x_0}^2+{y_0}^2)}{2{\mathrm{\σ}}^4}+\frac{{({x_0}^2+{y_0}^2)}^2}{{2\mathrm{\σ}}^6}]+(\frac{{3x}_0}{{\mathrm{\σ}}^4}-\frac{{{2x}_0}^3+{2x}_0{y_0}^2}{{\mathrm{\σ}}^6})\underset{\‾}{x}---\left(13\right)$

$+(\frac{{3y}_0}{{\mathrm{\σ}}^4}-\frac{{{2y}_0}^3+{2y}_0{x_0}^2}{{\mathrm{\σ}}^6})\underset{\‾}{y}+\frac{{4x}_0{y}_0}{{\mathrm{\σ}}^6}\underset{\‾}{\mathrm{xy}}+\frac{1}{2{\mathrm{\σ}}^6}\underset{\‾}{(x^2+y^2)}$

$+(\frac{{{3x}_0}^2+{y_0}^2}{{\mathrm{\σ}}^6}-\frac{3}{{2\mathrm{\σ}}^4}){\underset{\‾}{x}}^2+(\frac{{{3y}_0}^2+{x_0}^2}{{\mathrm{\σ}}^6}-\frac{3}{{2\mathrm{\σ}}^4}){\underset{\‾}{y}}^2$

$-\frac{2x_0}{{\mathrm{\σ}}^6}\underset{\‾}{(x^3+{\mathrm{xy}}^2)}-\frac{{2y}_0}{{\mathrm{\σ}}^6}\underset{\‾}{(y^3+{\mathrm{yx}}^2)}$

经过上面的变换，卷积操作已经转化成积分图运算。根据式(13)中加下划线的项，需要计算P(x,y),xP(x,y),y·P(x,y),x·y·P(x,y),(x²+y²)P(x,y),x²P(x,y),y²P(x,y),(x³+xy²)P(x,y),(y³+yx²)P(x,y)八个广义积分图。仿照式(8)，通过广义积分图将滤波计算中的卷积过程简化为加减运算

理论分析和实验表明，基于广义积分图的快速滤波算法，算法效率与滤波窗口大小无关，极大提高了运算速度，而滤波效果与传统卷积滤波方法相当，非常适合实时图像处理。

表1

本发明的有益效果：

1.通过广义积分图将滤波计算中的卷积过程简化为加减运算，

2.基于广义积分图的快速滤波算法，算法效率与滤波窗口大小无关，极大提高了运算速度，而滤波效果与传统卷积滤波方法相当，非常适合实时图像处理。

附图说明

图1为待处理原图像；

图2a为采用11*11滤波窗口时传统卷积滤波的效果图；

图2b为采用11*11滤波窗口时广义积分图滤波的效果图；

图3a为采用51*51滤波窗口时传统卷积的效果图；

图3b为采用51*51滤波窗口时广义积分图滤波的效果图；

图4为基于广义积分图滤波的流程图。

具体实施方式：

下面结合高斯快速滤波实例对本发明做进一步说明。

图1-图4中，图像在P的图像坐标为(x,y),该点像素值表示为P(x,y)，滤波后该点像素值表示为P′(x,y)

$P^{\′}(x_0,y_0)=$

$1)\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·\exp (-\frac{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)$

2）高斯函数做泰勒级数展开后，带入上式，简化为：

$P^{\′}(x_0,y_0)=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·(1-\frac{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)$

$=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·(1-\frac{{x_0}^2+{y_0}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2}+\frac{x_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·x+\frac{y_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·y-\frac{x^2+y^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)$

$=[A\·(1-\frac{{x_0}^2+{y_0}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{P(x,y)}]+[\frac{A\·x_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{x\·P(x,y)}]$

$+[\frac{A\·y_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{y\·P(x,y)}]-[\frac{A}{{2\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{(x^2+y^2)\·P(x,y)}]$

3）用p(x,y),x·p(x,y),y·p(x,y),(x²+y²)·p(x,y)，作积分项，进行积分运算，分别记作I₁,I₂,I₃,I₄

4）利用I₁,I₂,I₃,I₄分别按下面表达式计算 $\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}y\·P(x,y),$ $\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}(x^2+y^2)\·P(x,y):$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}P(x,y)=I_1(x_0+w,y_0+h)-I_1(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_1(x_0-h-1,y_0+h)+I_1(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}x\·P(x,y)=I_2(x_0+w,y_0+h)-I_2(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_2(x_0-h-1,y_0+h)+I_2(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}y\·P(x,y)=I_3(x_0+w,y_0+h)-I_3(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_3(x_0-h-1,y_0+h)+I_3(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}(x^2+y^2)\·P(x,y)=I_3(x_0+w,y_0+h)-I_3(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_3(x_0-h-1,y_0+h)+I_3(x_0-w-1,y_0-h-1)$

5）将按4）计算的广义积分图结果，带入2）完成P′(x₀,y₀)的计算。

本发明避免了传统空域卷积滤波在各像素点的重复计算，因而极大提高了运算速度，并且本算法时间复杂度不受Gauss核的窗口大小影响。

1．基于积分图的滤波原理：

滤波通常用设定的滤波核矩阵，对图像进行卷积或相关运算。取滤波窗口边长为奇数（宽度W=2*h+1，高度H=2*h+1，h,w为窗口半宽和半高，取正整数）的核。滤波过程可表示为：

$P^{\′}(x_0,y_0)=$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}C(x+w-x_0,y+h-y_0)P(x,y)---\left(1\right)$

上式中D表示以（x₀-w,y₀-h）点和（x₀+w,y₀+h）点确定的矩形滤波窗口，C(x,y)是核元素。为防止越界，坐标值超过图像边缘时以同行或同列的的边缘点代替，如p(-1,y)＝p(0,y),p(x,-1)＝p(x,0)。

均值滤波时滤波核元素为常数，c(i,j)＝1/(W·H)，滤波计算式(1)可以简化：

$P^{\′}(x_0,y_0)$

$=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\frac{1}{W\·H}P(x,y)$

$=\frac{1}{W\·H}\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}P(x,y)---\left(2\right)$

上式中的积分项

具有明显含义，它表示原图像中矩形区域D内所有像素值和，它可以在积分图中很容易的求出，于是得到，

$P^{\′}(x_0,y_0)=$

$\frac{1}{W\·H}[I(x_0+w,y_0+h)-I(x_0+w,y_0)$

$-I(x_0,y_0+h)+I(x_0-w,y_0-h)]---\left(3\right)$

通过上式可以看出，只需要预先做好积分图I(x,y)，均值滤波运算被表示为滤波窗口内的积分值，由于不再对每像素重复计算加权和，运算量不再随滤波模板的大小(H,W)而增加，大大提高了运算效率。

2.广义积分图及改进的高斯快速滤波算法

Gauss滤波器根据Gauss函数的形状来选择权值，二维Gauss函数：

$g[i,j]=\mathrm{\α}\·e^{-\frac{(i^2+j^2)}{{2\mathrm{\σ}}^2}}---\left(4\right)$

其中，α是用来保证滤波器积分1的常数因子，Gauss分布参数σ决定Gauss函数的宽度。将滤波式(1)中核元素c(i,j)替换为Gauss函数，得到，

$P^{\′}(x_0,y_0)=$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·\exp (-\frac{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)---\left(5\right)$

上式中，A是规一化系数，σ是高斯分布系数。由于滤波模板元素与位置相关，无法直接利用积分图来进行快速滤波。

根据泰勒公式，指数函数exp(x)幂级数展开可表示为：

$\exp \left(x\right)=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...---\left(6\right)$

为方便计算，取展开式(6)前两项，即exp(x)＝1+x，来对式(4)中的高斯核函数进行简化。

这种处理保留了核函数高斯分布特性，因此是合理的。于是（5）可简化为：

$P^{\′}(x_0,y_0)=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·(1-\frac{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)$

$=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·(1-\frac{{x_0}^2+{y_0}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2}+\frac{x_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·x+\frac{y_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·y-\frac{x^2+y^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)$

$=[A\·(1-\frac{{x_0}^2+{y_0}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{P(x,y)}]+[\frac{A\·x_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{x\·P(x,y)}]---\left(7\right)$

$+[\frac{A\·y_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{y\·P(x,y)}]-[\frac{A}{{2\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{(x^2+y^2)\·P(x,y)}]$

加权运算与求和运算已经分离，即积分项与目标点(x₀,y₀)不相关。于是可将积分图推广，使积分项不再局限于像素值P(x,y)，而可以是P(x,y)与坐标（x,y）的混合式，即用P(x,y),x·P(x,y),y·P(x,y),(x²+y²)·P(x,y)分别作积分项，进行积分图运算，这种积分图定义为广义积分图，分别记作I₁,I₂,I₃,I₄。式(7)中的积分项可以通过广义积分图来实现。

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}P(x,y)=I_1(x_0+w,y_0+h)-I_1(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_1(x_0-h-1,y_0+h)+I_1(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}x\·P(x,y)=I_2(x_0+w,y_0+h)-I_2(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_2(x_0-h-1,y_0+h)+I_2(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}y\·P(x,y)=I_3(x_0+w,y_0+h)-I_3(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_3(x_0-h-1,y_0+h)+I_3(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}(x^2+y^2)\·P(x,y)=I_3(x_0+w,y_0+h)-I_3(x_0+w,y_0-h-1)---\left(8\right)$

$-I_3(x_0-h-1,y_0+h)+I_3(x_0-w-1,y_0-h-1)$

3.广义积分图应用于任意滤波核函数的方法

对于任意滤波核函数C(x,y)，滤波操作过程可描述为，

$P^{\′}(x_0,y_0)=\underset{x,y\∈D}{\mathrm{\Σ}}C(x,y)P(x,y)---\left(9\right)$

将C(x,y)按照高斯滤波类似处理方法，进行幂级数展开，去高次项，则可以进将滤波函数转化为以（x₀,y₀）的多项式为基的向量与以（x,y）的多项式为基的向量的内积，

$C(x,y)=\stackrel{\→}{A_{({x_0}^n,{y_0}^n)}}\·\stackrel{\→}{B_{(x^n,y^n)}}---\left(10\right)$

上式中，

和

分别表示（x₀,y₀）的多项式为基的向量和(x,y)的多项式为基的向量。于是加权与积分操作完全分离，可用广义积分图的方法实现快速滤波。

下面以较复杂的LoG滤波函数为例来说明。

将任意滤波核函数的广义积分图进行说明。

对高斯函数进行二阶微分，得到LoG函数，

$\mathrm{LoG}(x,y)=\frac{{\mathrm{\σ}}^2-r^2}{{\mathrm{\σ}}^4}{e}^{-\frac{r^2}{{2\mathrm{\σ}}^2}}---\left(11\right)$

其中r²＝(x-x₀)²+(y-y₀)²，是（x,y）与模板中心(x₀,y₀)的欧式距离的平方。

将LoG函数中的指数项进行泰勒展开并去高次项后，得到，

$\mathrm{LoG}(x,y)=\frac{{\mathrm{\σ}}^2-r^2}{{\mathrm{\σ}}^4}(1-\frac{r^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^2}-\frac{{3r}^2}{{2\mathrm{\σ}}^4}+\frac{r^4}{{2\mathrm{\σ}}^6}---\left(12\right)$

将r²替换为(x-x₀)²+(y-y₀)²，并进行较为复杂的多项式计算，得到，

$\mathrm{LoG}(x,y)$

$=[\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^2}-\frac{3({x_0}^2+{y_0}^2)}{2{\mathrm{\σ}}^4}+\frac{{({x_0}^2+{y_0}^2)}^2}{{2\mathrm{\σ}}^6}]+(\frac{{3x}_0}{{\mathrm{\σ}}^4}-\frac{{{2x}_0}^3+{2x}_0{y_0}^2}{{\mathrm{\σ}}^6})\underset{\‾}{x}---\left(13\right)$

$+(\frac{{3y}_0}{{\mathrm{\σ}}^4}-\frac{{{2y}_0}^3+{2y}_0{x_0}^2}{{\mathrm{\σ}}^6})\underset{\‾}{y}+\frac{{4x}_0{y}_0}{{\mathrm{\σ}}^6}\underset{\‾}{\mathrm{xy}}+\frac{1}{2{\mathrm{\σ}}^6}\underset{\‾}{(x^2+y^2)}$

$+(\frac{{{3x}_0}^2+{y_0}^2}{{\mathrm{\σ}}^6}-\frac{3}{{2\mathrm{\σ}}^4}){\underset{\‾}{x}}^2+(\frac{{{3y}_0}^2+{x_0}^2}{{\mathrm{\σ}}^6}-\frac{3}{{2\mathrm{\σ}}^4}){\underset{\‾}{y}}^2$

$-\frac{2x_0}{{\mathrm{\σ}}^6}\underset{\‾}{(x^3+{\mathrm{xy}}^2)}-\frac{{2y}_0}{{\mathrm{\σ}}^6}\underset{\‾}{(y^3+{\mathrm{yx}}^2)}$

经过上面的变换，卷积操作已经转化成积分图运算。根据式(13)中加下划线的项，需要计算P(x,y),xP(x,y),yP(x,y),(x²+y²)P(x,y),x²P(x,y),y²P(x,y),(x³+xy²)P(x,y),(y³+yx²)P(x,y)八个广义积分图。仿照式(8)，通过广义积分图将滤波计算中的卷积过程简化为加减运算。

理论分析和实验表明，基于广义积分图的快速滤波算法，算法效率与滤波窗口大小无关，极大提高了运算速度，而滤波效果与传统卷积滤波方法相当，非常适合实时图像处理。

表1

表1为传统卷积滤波与广义积分图滤波的时间效果比较，测试环境为：处理器：Intel(R)Core(TM)2 Duo CPU E8400,处理速度3.00GHz.内存2.96G；操作系统：WindowsXP SP3；算法编译运行环境：Qt4，编译器为mingw.

上述虽然对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (2)

1.一种基于广义积分图的快速滤波算法，其特征是，其步骤为：

步骤一：读入待处理图像，选定滤波窗口大小；

步骤二：选定滤波核函数，写出各广义积分表达式；

步骤三：计算待滤波图像的广义积分图；

步骤四：行、列序号row，col赋初值，row=0,col=0；

步骤五：计算图像(row，col)点的滤波像素值；

步骤六：col=col+1；

步骤七：判断col是否小于图像宽度，如果是就返回步骤五；如果否就进入步骤八；

步骤八：row=row+1，col=0；

步骤九：判断row是否小于图像高度，如果是就返回步骤五；如果否就输出滤波后的图像。

2.如权利要求1所述的一种基于广义积分图的快速滤波算法，其特征是，所述步骤二中的广义积分表达式推导说明如下：

滤波通常用设定的滤波核矩阵，对图像进行卷积或相关运算；取滤波窗口边长为奇数的核，滤波窗口宽度W＝2*h+1，高度H＝2*h+1，h,w为窗口半宽和半高，取正整数；滤波过程表示为：

$P^{\′}(x_0,y_0)=$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}C(x+w-x_0,y+h-y_0)P(x,y)---\left(1\right)$

上式中D表示以（x₀-w,y₀-h）点和（x₀+w,y₀+h）点确定的矩形滤波窗口，c(x,y)是核元素；为防止越界，坐标值超过图像边缘时以同行或同列的边缘点代替，如p(-1,y)＝p(0,y),p(x,-1)＝p(x,0)；

均值滤波时滤波核元素为常数，c(i,j)＝1/(W·H)，滤波计算式(1)简化：

$P^{\′}(x_0,y_0)$

$=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\frac{1}{W\·H}P(x,y)$

$=\frac{1}{W\·H}\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}P(x,y)---\left(2\right)$

上式中的积分项

具有明显含义，它表示原图像中矩形区域D内所有像素值和，于是得到，

$P^{\′}(x_0,y_0)=$

$\frac{1}{W\·H}[I(x_0+w,y_0+h)-I(x_0+w,y_0)$

$-I(x_0,y_0+h)+I(x_0-w,y_0-h)]---\left(3\right)$

预先做好积分图I(x,y)，均值滤波运算被表示为滤波窗口内的积分值；

Gauss滤波器根据Gauss函数的形状来选择权值，二维Gauss函数：

$g[i,j]=\mathrm{\α}\·e^{-\frac{(i^2+j^2)}{{2\mathrm{\σ}}^2}}---\left(4\right)$

其中，α是用来保证滤波器积分1的常数因子，Gauss分布参数σ决定Gauss函数的宽度；将滤波式(1)中核元素c(i,j)替换为Gauss函数，得到，

$P^{\′}(x_0,y_0)=$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·\exp (-\frac{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)---\left(5\right)$

上式中，A是规一化系数，σ是高斯分布系数；由于滤波模板元素与位置相关，无法直接利用积分图来进行快速滤波；

根据泰勒公式，指数函数exp(x)幂级数展开表示为：

$\exp \left(x\right)=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...---\left(6\right)$

取展开式(6)前两项，即exp(x)＝1+x，式（5）简化为：

$P^{\′}(x_0,y_0)=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·(1-\frac{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)$

$=\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}A\·(1-\frac{{x_0}^2+{y_0}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2}+\frac{x_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·x+\frac{y_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·y-\frac{x^2+y^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\·P(x,y)$

$=[A\·(1-\frac{{x_0}^2+{y_0}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2})\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{P(x,y)}]+[\frac{A\·x_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{x\·P(x,y)}]---\left(7\right)$

$+[\frac{A\·y_0}{{\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{y\·P(x,y)}]-[\frac{A}{{2\mathrm{\σ}}^2}\·\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}\underset{\‾}{(x^2+y^2)\·P(x,y)}]$

加权运算与求和运算已经分离，即积分项与目标点(x₀,y₀)不相关；将积分图推广，使积分项不再局限于像素值P(x,y)，而是P(x,y)与坐标（x,y）的混合式，即用P(x,y),x·P(x,y),y·P(x,y),(x²+y²)·P(x,y)分别作积分项，进行积分图运算，这种积分图定义为广义积分图，分别记作I₁,I₂,I₃,I₄；式(7)中的积分项通过广义积分图来实现；

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}P(x,y)=I_1(x_0+w,y_0+h)-I_1(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_1(x_0-h-1,y_0+h)+I_1(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}x\·P(x,y)=I_2(x_0+w,y_0+h)-I_2(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_2(x_0-h-1,y_0+h)+I_2(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}y\·P(x,y)=I_3(x_0+w,y_0+h)-I_3(x_0+w,y_0-h-1)$

$-I_3(x_0-h-1,y_0+h)+I_3(x_0-w-1,y_0-h-1)$

$\underset{(x,y)\∈D}{\mathrm{\Σ}}(x^2+y^2)\·P(x,y)=I_3(x_0+w,y_0+h)-I_3(x_0+w,y_0-h-1)---\left(8\right).$

$-I_3(x_0-h-1,y_0+h)+I_3(x_0-w-1,y_0-h-1)$

3.如权利要求1所述的一种基于广义积分图的快速滤波算法，其特征是，所述步骤三的详细过程为：

对于任意滤波核函数C(x,y)，滤波操作过程描述为，

$P^{\′}(x_0,y_0)=\underset{x,y\∈D}{\mathrm{\Σ}}C(x,y)P(x,y)---\left(9\right)$

将C(x,y)按照高斯滤波类似处理方法，进行幂级数展开，去掉高次项，则将滤波函数转化为以（x₀,y₀）的多项式为基的向量与以(x,y)的多项式为基的向量的内积，即：

$C(x,y)=\stackrel{\→}{A_{({x_0}^n,{y_0}^n)}}\·\stackrel{\→}{B_{(x^n,y^n)}}---\left(10\right)$

上式中，

和

分别表示(x₀,y₀)的多项式为基的向量和(x,y)的多项式为基的向量,于是加权与积分操作将完全相分离，用广义积分图的方法实现快速滤波；通过广义积分图将滤波计算中的卷积过程简化为简单的加减运算。

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