CN102620855B - 一种基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量方法及系统，所述方法包括：测量已标定的电容式聚合物熔体温度场传感器电容极板间电容值；根据电容层析图像重建算法；将所测量电容值重构出聚合物熔体介电常数分布；建立聚合物熔体介电常数与温度的关系模型；根据关系模型将聚合物熔体介电常数分布转换为相对应的聚合物熔体温度场。本发明提高了人们对聚合物熔体温度获取能力，优于传统局部单点测量方式，解决现有测量温度方法难以测到聚合物熔体温度场难题，具有非侵入、响应速度快、结构简单等优点。

Description

一种基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量方法及系统

技术领域

本发明涉及聚合物熔体温度场的测量方法及系统，尤其涉及一种基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量方法及系统。

背景技术

从大飞机机身所用碳纤维到人工心脏搭桥所需支架，甚至到高铁、新能源汽车、海工装备等战略新兴产业，无不与现代聚合物成型机械制造产品紧密相连，聚合物成型机械未来发展前景十分广阔。研究表明，在聚合物加工过程中，聚合物熔体温度是否合适、稳定，不仅影响聚合物熔体流变性能、稳定性，还直接影响制品产量、质量、能效等。此外，其对制品最终产品性能，如尺寸精度、翘曲和残余应力等也具有重大影响，但是由于测量温度手段限制，只能测量机筒内壁温度或者机筒内某点熔体温度。目前还缺乏有效手段测量加工过程中聚合物熔体温度场，导致加工机械状态不稳定、制品尺寸精度低、壁厚均匀性差、废品率高，从而浪费大量原材料和能量。

目前，国内外用于测量聚合物熔体温度的传感器有接触式和非接触式两种：接触式温度传感器有热电偶和热电阻等，现有接触式测量温度方法难以测到聚合物熔体温度，如果将接触式温度传感器插入聚合物成型机械机筒内，会影响聚合物加工过程，使温度传感器寿命减短。非接触式温度传感器有红外测温仪、超声波温度传感器、光学温度计等，而光学温度计不适合测量加工过程中聚合物熔体温度，通常采用红外测温仪和超声波温度传感器。红外测温仪测量熔体表面温度，且为整体平均温度。该测量方法还与聚合物熔体透明度有关。此外需要根据特定材料对红外测温装置进行改造，测量温度精度受被测材料影响，温度标定难，这些缺点限制了红外测温仪在聚合物成型机械上的应用。超声波温度传感器具有非侵入、快速响应等优点，但超声波在熔体中的传播速度与聚合物熔体温度、压力、材料有关，因此需要根据它们之间关系事先标定，通过测量超声波传播速度、压力可以得到温度值。这种测量方法可测得截面平均温度，而不能提供截面温度分布，并且标定很复杂。

英国学者Kelly A.L.等人研制出一种新型热电偶网测量挤出机熔体温度分布，并对热电偶网进行标定及参数优化，为螺杆设计、塑料挤出加工工艺提供技术支持，但这种热电偶网的采集电路设置在热电偶网上，若采集电路出现故障，更换和维修相当麻烦。此外，热电偶网是侵入式，必定会对聚合物熔体流动造成影响。

综上所述，现有温度测量方法难以测量聚合物熔体温度场，而如何精确非侵入式测量熔体温度场是亟待解决的难题。

发明内容

为解决上述中存在的问题与缺陷，本发明提供了一种基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量方法及系统。所述技术方案如下：

一种基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量方法，包括：

A 测量已标定的电容式聚合物熔体温度场传感器电容极板间电容值；

B 根据电容层析图像重建算法；

C 将所测量电容值重构出聚合物熔体介电常数分布；

D 建立聚合物熔体介电常数与温度的关系模型；

E 根据关系模型将聚合物熔体介电常数分布转换为相对应的聚合物熔体温度场。

一种基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量系统，包括：

电容式聚合物熔体温度场传感器，包括电极板、绝缘管道、屏蔽罩、信号线；

聚合物熔体温度场数据采集系统，用于测量已标定的电容式聚合物熔体温度传感器电容极板间电容值；

聚合物熔体温度场成像系统，用所测量电容值推算测量区域内聚合物熔体介电常数分布，并根据聚合物熔体介电常数与温度关系模型将介电常数分布转换为相对应的聚合物熔体温度场。

本发明提供的技术方案的有益效果是：

该测量方法可提供聚合物熔体温度空间分布状况，大大提高了人们对聚合物熔体温度获取能力，优于传统局部单点测量方式，解决现有测量温度方法难以测到聚合物熔体温度场难题，具有非侵入、响应速度快、结构简单、成本低等优点。

附图说明

图1是基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量方法流程图；

图2是基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量系统结构原理图；

图3是基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量系统结构图；

图4是基于电容层析成像的电容式聚合物熔体温度场传感器；

图5是基于电容层析成像的聚合物熔体温度场数据采集系统结构图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地详细描述：

本实施例提供了一种基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量方法，其中，

参见图1，所述方法包括以下步骤：

步骤10测量已标定的电容式聚合物熔体温度场传感器电容极板间电容值；

步骤20根据电容层析图像重建算法；

步骤30将所测量电容值重构出聚合物熔体介电常数分布；

步骤40建立聚合物熔体介电常数与温度的关系模型；

步骤50根据关系模型将聚合物熔体介电常数分布转换为相对应的聚合物熔体温度场。

上述步骤30具体包括：根据电磁场理论，任何电磁场都可用麦克斯韦方程组表示：

$\left\{\begin{array}{c}\▿\·B=0\\ \▿\·D=\mathrm{\ρ}\\ \▿\×H=J_e\\ \▿\×E=-\frac{\∂B}{\∂t}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中B为磁感应强度，E为电场强度，H为磁场强度，D为电位移，ρ为电荷密度。对于各向同性介质，电场、磁场间各物理量存在如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}B=\mathrm{\ξH}\\ D=\mathrm{\ϵE}\\ J_e=\mathrm{\νE}\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中ε为介电常数，ξ为磁导率，ν为电导率，J_e为位移电流密度。聚合物熔体温度场传感器接受激励电压构成静电场，可用泊松方程形式描述如下：

▽·(ε(x，y)▽φ(x，y))＝-ρ(x，y)            (3)

式中以ε(x，y)为介电常数分布，为电位分布，ρ(x，y)为电荷分布，假设没有自由电荷，则ρ(x，y)＝0。电场强度E可表示为：

E＝-▽φ(x，y)           (4)

根据高斯定理，以电极i为激励，检测电极j感应电荷为：

式中Γ_j为包围检测电极的封闭曲线。电极i和电极j之间电容C_ij计算公式为：

式中U_ij为电极i-j之间电压。考虑电位▽φ(x，y)为介电常数分布ε(x，y)的函数，式(6)经积分变换为：

$C_{\mathrm{ij}}=\underset{D}{\∫\∫}\mathrm{\ϵ}(x,y)\·S_{\mathrm{ij}}(x,y,\mathrm{\ϵ}(x,y))\mathrm{dxdy}---\left(7\right)$

式中S_ij(x，y，ε(x，y))为敏感场函数，它与所处位置相关，同时也为介电常数分布ε(x，y)的函数；D为积分区域。电容层析成像技术实质为通过测量所得电容值求解介电常数分布ε(x，y)，即求解式(7)逆问题。由于缺乏足够测量数据，目前缺乏有效方法求解上述积分方程逆问题，难以获得积分区域内介质分布，只能获得一定假设条件下的近似解。

为求解方便，假设敏感场函数受聚合物熔体温度分布影响很小，则式子(7)可进一步表示为：

$C_{\mathrm{ij}}=\underset{D}{\∫\∫}\mathrm{\ϵ}(x,y)\·S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(8\right)$

式中S_ij(x，y)为敏感场函数，或称灵敏度分布函数。灵敏度定义为某一像素位置介质发生变化时引起的电容值变化，其计算公式为：

$S_{\mathrm{ij}}\left(e\right)=\mathrm{\ζ}\left(e\right)\frac{C_{\mathrm{ij}}\left(e\right)-C_{\mathrm{ij},l}}{(C_{\mathrm{ij},h}-C_{\mathrm{ij},l})({\mathrm{\ϵ}}_h-{\mathrm{\ϵ}}_l)}---\left(9\right)$

式中S_ij(e)为i-j电极间第e个测试单元灵敏度，C_ij(e)为当测试区域内第e个单元物质介电常数为ε_h，且其余单元物质介电常数都为ε_l时的电容值。C_ij，h、C_ij，l为测试区域内分别充满介电常数ε_h、ε_l物质时电容值。ζ(e)是与测试区域内第e个单元面积有关的修正因子。

基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量系统在实际分析过程中，为减小系统误差，对实际测量数据、理论数据都要采用归一化方法进行处理，将电容测量值归一化为Cr_ij：

${\mathrm{Cr}}_{\mathrm{ij}}=\frac{C_{\mathrm{ij}}-C_{\mathrm{ij},l}}{C_{\mathrm{ij},h}-C_{\mathrm{ij},l}}---\left(9\right)$

式中C_ij，l表示聚合物熔体温度最低(T＝T_l)时电容测量值，C_ij，h表示聚合物熔体温度最高(T＝T_h)时电容测量值。当聚合物熔体温度T最低时，即T＝T_l时，介电常数ε(x，y)＝ε_l，将其代入式(8)式可得：

$C_{\mathrm{ij},l}=\underset{D}{\∫\∫}{\mathrm{\ϵ}}_l\·S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(10\right)$

当聚合物熔体温度最低时，即T＝T_h时，介电常数ε(x，y)＝ε_h，将其代入式(8)式可得：

$C_{\mathrm{ij},h}=\underset{D}{\∫\∫}{\mathrm{\ϵ}}_h\·S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(11\right)$

将式(8)、(11)、(12)代入式(10)可得：

${\mathrm{Cr}}_{\mathrm{ij}}=\frac{\underset{D}{\∫\∫}\mathrm{\ϵ}(x,y)\·S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}-\underset{D}{\∫\∫}{\mathrm{\ϵ}}_l\·S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}{\underset{D}{\∫\∫}{\mathrm{\ϵ}}_h\·S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}-\underset{D}{\∫\∫}{\mathrm{\ϵ}}_l\·S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}---\left(12\right)$

$=\frac{\underset{D}{\∫\∫}(\mathrm{\ϵ}(x,y)-{\mathrm{\ϵ}}_l)\·S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}{({\mathrm{\ϵ}}_h-{\mathrm{\ϵ}}_l)\·\underset{D}{\∫\∫}{S}_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}$

定义敏感场函数归一化后为Sr_ij(x，y)，其表达式如下：

${\mathrm{Sr}}_{\mathrm{ij}}(x,y)=\frac{S_{\mathrm{ij}}(x,y)}{\underset{D}{\∫\∫}{S}_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}=\frac{S_{\mathrm{ij}}(x,y)}{\mathrm{\μ}}---\left(13\right)$

将式子(14)代入(13)可得：

${\mathrm{Cr}}_{\mathrm{ij}}=\frac{\underset{D}{\∫\∫}(\mathrm{\ϵ}(x,y)-{\mathrm{\ϵ}}_l)\·S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}{({\mathrm{\ϵ}}_h-{\mathrm{\ϵ}}_l)\·\mathrm{\μ}}$

$=\underset{D}{\∫\∫}\left(\frac{\mathrm{\ϵ}(x,y)-{\mathrm{\ϵ}}_l}{{\mathrm{\ϵ}}_h-{\mathrm{\ϵ}}_l}\right)\·\frac{S_{\mathrm{ij}}(x,y)}{\mathrm{\μ}}\mathrm{dxdy}---\left(14\right)$

$=\underset{D}{\∫\∫}\left(\frac{\mathrm{\ϵ}(x,y)-{\mathrm{\ϵ}}_l}{{\mathrm{\ϵ}}_h-{\mathrm{\ϵ}}_l}\right)\·{\mathrm{Sr}}_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}$

令称为归一化介电常数，将其代入上式得：

${\mathrm{Cr}}_{\mathrm{ij}}=\underset{D}{\∫\∫}f(x,y)\·{\mathrm{Sr}}_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(15\right)$

式中二重积分可转化成对微分单元面积求和运算。首先将管道截面按面积划分成K个微分单元，这里K不能太小，否则会增大计算量。假定在每个微分单元内灵敏度值不变。于是可将上式近似地表示为：

${\mathrm{Cr}}_{\mathrm{ij}}\≈\underset{n=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}f\left(n\right)\·{\mathrm{Sr}}_{\mathrm{ij}}\left(n\right)\·{\mathrm{\δ}}_i(n=\mathrm{1,2},...,K)---\left(16\right)$

将上式进一步化简化可得：

C＝SG       (17)

式中：

C为M维电容列向量，C＝[Cr₁，Cr₂，…，Cr_M]^T；

G为K维归一化介电常数列向量，G＝[f₁，f₂，…，f_K]^T；

S为M×K阶矩阵，称为敏感场矩阵。

$S=\left[\begin{array}{ccccc}{S}_{12}\left(1\right)& S_{12}\left(2\right)& S_{12}\left(3\right)& ...& S_{12}\left(K\right)\\ S_{13}\left(1\right)& S_{13}\left(2\right)& S_{13}\left(3\right)& ...& S_{13}\left(K\right)\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ S_{67}\left(1\right)& S_{67}\left(2\right)& S_{67}\left(3\right)& ...& S_{67}\left(K\right)\\ S_{68}\left(1\right)& S_{68}\left(2\right)& S_{68}\left(3\right)& ...& S_{68}\left(K\right)\\ S_{78}\left(1\right)& S_{78}\left(2\right)& S_{78}\left(3\right)& ...& S_{78}\left(K\right)\end{array}\right]---\left(18\right)$

式子(18)为电容层析成像系统正问题，即由物质分布求解电容向量，但实际中要由已知电容值求解介电常数分布，即由C和S快速有效地求出G，为电容层析成像系统逆问题，又称为图像重建。实现图像重建是电容层析成像检测系统中关键环节，直接影响聚合物熔体温度场图像质量、在线测量速度。自电容层析成像技术出现以来，国内外学者围绕图像重建算法开展了大量研究。目前，图像重建算法研究已经涵盖了计算数学、矩阵论、泛函分析等诸多领域。电容层析成像图像重建算法按其原理大体可以归为以下几类：非迭代算法、迭代算法、智能优化算法等。最简单图像重建算法LBP，即为公式(18)逆过程，即：

G＝S^TC       (19)

式中S^T为S的转置矩阵。敏感场矩阵S可以由仿真计算或者实验获得，电容矩阵C由聚合物熔体温度场数据采集系统测量后运算得到，根据此公式即可由电容向量C求得归一化介电常数列向量G。

上述步骤40和步骤50具体包括：聚合物熔体温度T与介电常数ε成单调函数关系，具体关系为k阶多项式为：

$T(x,y)=a_0+a_1\left(\frac{\mathrm{\ϵ}(x,y)-{\mathrm{\ϵ}}_l}{{\mathrm{\ϵ}}_h-{\mathrm{\ϵ}}_l}\right)+a_2{\left(\frac{\mathrm{\ϵ}(x,y)-{\mathrm{\ϵ}}_l}{{\mathrm{\ϵ}}_h-{\mathrm{\ϵ}}_l}\right)}^2+a_3{\left(\frac{\mathrm{\ϵ}(x,y)-{\mathrm{\ϵ}}_l}{{\mathrm{\ϵ}}_h-{\mathrm{\ϵ}}_l}\right)}^3+...+a_k{\left(\frac{\mathrm{\ϵ}(x,y)-{\mathrm{\ϵ}}_l}{{\mathrm{\ϵ}}_h-{\mathrm{\ϵ}}_l}\right)}^k---\left(20\right)$

$=a_0+a_{1}f(x,y)+a_2{\left(f(x,y)\right)}^2+a_3{\left(f(x,y)\right)}^3+...+a_k{\left(f(x,y)\right)}^k$

式中各个系数由实验数据确定。

前面已将管道截面划分为K个微分单元，假设每个微分单元内温度相同且为T(n)，其与归一化介电常数列向量G元素关系为：

T(n)＝a₀+a₁f(n)+a₂f²(n)+a₃f³(n)+…+a_kf^k(n)(n＝1，2，…，K)   (21)

至此，聚合物熔体温度场已经推导出来，为得到温度场图像，现将管道内每个微元温度归一化，归一化公式为：

$T_r\left(n\right)=\frac{T\left(n\right)-T_l}{T_h-T_l}---\left(22\right)$

式中T_r(n)称为聚合物熔体归一化温度，0≤T_r(n)≤1。由于成像算法对问题进行简化，另外问题本身就是“病态”，故测量过程中聚合物熔体归一化温度可能超出范围，因此要利用门限滤波函数限制其在范围内。当T_r(n)低于下限时使其值等于0，当T_r(n)高于上限时使其值等于1，若在范围内则保持原来值不变。具体表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{T}_r\left(n\right)=0,\mathrm{if}{T}_r\left(n\right)<0\\ T_r\left(n\right)=1,\mathrm{if}{T}_r\left(n\right)>1\end{array}\right.---\left(23\right)$

在图像处理中，图像灰度级数通常为256，即0～255。设图像灰度值为P(n)，其与聚合物熔体归一化温度对应关系为：

P(n)＝255T_r(n)         (24)

至此，可得到聚合物熔体温度场灰度向量P，P＝[P(1)，P(2)，P(3)，…，P(K)]^T。将聚合物熔体温度场灰度向量P一一对应到测量区域中K个微分单元，即可得到聚合物熔体温度场。

如图2和图3所示，为基于电容层析成像技术的聚合物熔体温度场测量系统原理流程和系统结构图，聚合物熔体温度场测量系统包括：

电容式聚合物熔体温度场传感器101，包括电极板、绝缘管道、屏蔽罩、信号线；

聚合物熔体温度场数据采集系统102，用于测量已标定的电容式聚合物熔体温度传感器电容极板间电容值；

聚合物熔体温度场成像系统103，用所测量电容值推算测量区域内聚合物熔体介电常数分布，并根据聚合物熔体介电常数与温度关系模型将介电常数分布转换为相对应的聚合物熔体温度场。

上述电容式聚合物熔体温度场传感器的结构参见图4，聚合物加工过程中，熔体处于高温高压环境，因此电容式聚合物熔体温度场传感器要能够工作于高温高压环境。电容式聚合物熔体温度场传感器主要由填充介质2、电极板3、绝缘管道4(管道形状可为圆形、方形、锥形等)、屏蔽罩1、信号线等构成。聚合物熔体位于聚合物熔体成像区域5。为防止外界电磁场干扰，电极板外部设置接地屏蔽罩、轴向保护电极104(如图3)。

上述聚合物熔体温度场数据采集系统主要作用：①将测量电容转换为电压信号并进行放大；②将电压信号转换为数字信号；③将数字信号传送给计算机；④控制数据采集过程。聚合物熔体温度场数据采集系统包括C/V转换电路、多路开关、放大电路、多通道数据采集控制、信号发生器、A/D转换及通讯接口等(如图2所示)。参见图5，聚合物熔体温度场传感器有N个阵列电极，电极间电容通过C/V转换电路转换为等比例电压信号。电压信号通过多路开关选择后进入差分运算放大器。图像重建需要动态信号，因此必须将空场电容值从测量信号中消除，补偿信号由数模转换器(DAC)生成后与测量信号一并进入差分运算放大器。差分运算放大器处理后将信号送入可编程增益放大器(PGA)，可满足不同测量要求。信号通过运算放大器放大后进入模数转换器(ADC)，转化为数字电压信号后通过通讯接口送给计算机，计算机则把采集信号进行处理，最终以图像形式显示传感器测量区域内聚合物熔体温度场。

其中C/V转换电路设计在聚合物熔体温度场测量系统中，被测电容变化量小，相邻极板组合之间电容通常在lpF以下，相对极板组合间电容值通常低于几十fF。而杂散电容大，屏蔽电缆分布电容值达上百pF。因此测量电路不仅需要具有微电容测量能力，还需要抗杂散电容能力强。C/V转换电路性能决定聚合物熔体温度场测量系统准确性和实时性，为实现稳定可视化测量，还要求C/V转换电路稳定性高和过渡时间短。

聚合物熔体温度场数据采集系统中多通道数据采集控制由多通道扫描电路完成。该电路根据数字采集卡指令选择测量电极对，同时使其它闲置电极可靠接地。

聚合物熔体温度场数据采集系统A/D转换模块负责对原始数据滤波处理，并将模拟信号转换为数字信号。转换完成后通过通讯接口与计算机进行通讯。

聚合物熔体温度场成像系统可采用工业PC机。工业PC机主要负责向外围接口电路发出指令，控制数据采集系统采集数据并从数据采集系统接收数据，首先用所测量电容值推算出测量区域内聚合物熔体介电常数分布，再根据聚合物熔体介电常数与温度关系模型将介电常数分布转换为测量区域内聚合物熔体温度分布，最后以图像显示(如图2)。图像重建实质是将测量所得电容值映射到图像灰度，应用环境不同，对图像重建要求也各不相同。在实时检测中，对图像重建速度要求较高，重建速度不低于24帧/秒；在非实时检测中对速度要求相对较低，但对精度要求则要高一些。由于温度场与测量电容之间复杂非线性关系，从所测量电容值反推聚合物熔体温度场是实现基于电容层析成像技术的聚合物熔体温度场测量方法的难点之一，已在本实施例中进行了详细阐述。

通过上述实施例，最终搭建出聚合物熔体温度场测量系统，实现了聚合物加工过程中熔体温度场的实时监测。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量方法，其特征在于，所述方法在于，所述方法包括：

A测量已标定的电容式聚合物熔体温度场传感器电容极板间电容值；

B根据电容层析图像重建算法；

C将所测量电容值重构出聚合物熔体介电常数分布；

D建立聚合物熔体介电常数与温度的关系模型；

E根据关系模型将聚合物熔体介电常数分布转换为相对应的聚合物熔体温度场；

所述步骤C具体为：通过测量电容式聚合物熔体温度场传感器电容极板之间电容重构出聚合物熔体介电常数分布；

根据电磁场理论，电磁场用麦克斯韦方程组表示：

$\left\{\begin{array}{c}\&dtri;\&CenterDot;B=0\\ \&dtri;\&CenterDot;D=\mathrm{\&rho;}\\ \&dtri;\&times;H=J_e\\ \&dtri;\&times;E=-\frac{\&PartialD;B}{\&PartialD;t}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中B为磁感应强度，E为电场强度，H为磁场强度，D为电位移，ρ为电荷密度；对于各向同性介质、电场、磁场间各物理量存在如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}B=\mathrm{\&xi;H}\\ D=\mathrm{\&epsiv;E}\\ J_e=\mathrm{vE}\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中ε为介电常数，ξ为磁导率，ν为电导率，J_e为位移电流密度；聚合物熔体温度场传感器接受激励电压构成静电场，用泊松方程形式描述如下：

▽·(ε(x,y)▽φ(x,y))＝-ρ(x,y)               (3)

式中以以ε(x,y)为介电常数分布，为电位分布，ρ(x,y)为电荷分布，假设没有自由电荷，则ρ(x,y)＝0；电场强度E表示为：

E＝-▽φ(x,y)                (4)

根据高斯定理，以电极i为激励，检测电极i感应电荷为：

式中Γ_j为包围检测电极的封闭曲线，电极i和电极j之间电容C_ij计算公式为：

式中U_ij为电极i-j之间电压，考虑电位▽φ(x,y)为介电常数分布ε(x,y)的函数，式(6)经积分变换为：

$C_{\mathrm{ij}}=\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}\mathrm{\&epsiv;}(x,y)\&CenterDot;S_{\mathrm{ij}}(x,y,\mathrm{\&epsiv;}(x,y))\mathrm{dxdy}---\left(7\right)$

式中S_ij(x,y,ε(x,y))为敏感场函数，它与所处位置相关，同时也为介电常数分布ε(x,y)的函数；D为积分区域；电容层析成像技术就是为通过测量所得电容值求解介电常数分布ε(x,y)，即求解式(7)逆问题；

为求解方便，假设敏感场函数受聚合物熔体温度分布影响很小，则式子(7)可进一步表示为：

$C_{\mathrm{ij}}=\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}\mathrm{\&epsiv;}(x,y)\&CenterDot;S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(8\right)$

式中S_ij(x,y)为敏感场函数，或称灵敏度分布函数；灵敏度定义为某一像素位置介质发生变化时引起的电容值变化，其计算公式为：

$S_{\mathrm{ij}}\left(e\right)=\mathrm{\&zeta;}\left(e\right)\frac{C_{\mathrm{ij}}\left(e\right)-C_{\mathrm{ij},l}}{(C_{\mathrm{ij},h}-C_{\mathrm{ij},l})({\mathrm{\&epsiv;}}_h-{\mathrm{\&epsiv;}}_l)}---\left(9\right)$

式中S_ij(e)为i-j电极间第e个测试单元灵敏度，C_ij(e)为当测试区域内第e个单元物质介电常数为ε_h，且其余单元物质介电常数都为ε_l时的电容值；C_ij,h、C_ij,l为测试区域内分别充满介电常数ε_h、ε_l物质时电容值；是与测试区域内第e个单元面积有关的修正因子；

基于电容层析成像的聚合物熔体温度场测量系统在实际分析过程中，为减小系统误差，对实际测量数据、理论数据都要采用归一化方法进行处理，将电容测量值归一化为Cr_ij：

${\mathrm{Cr}}_{\mathrm{ij}}=\frac{C_{\mathrm{ij}}-C_{\mathrm{ij},l}}{C_{\mathrm{ij},h}-C_{\mathrm{ij},l}}---\left(10\right)$

式中C_ij,l表示聚合物熔体温度最低T＝T_l时电容测量值，C_ij,h表示聚合物熔体温度最高T＝T_h时电容测量值，当聚合物熔体温度T最低时，即T＝T_l时，介电常数ε(x,y)＝ε_l，将其代入式(8)式可得：

$C_{\mathrm{ij},l}=\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}{\mathrm{\&epsiv;}}_l\&CenterDot;S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(11\right)$

当聚合物熔体温度最低时，即T＝T_h时，介电常数ε(x,y)＝ε_h，将其代入式(8)式可得：

$C_{\mathrm{ij},h}=\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}{\mathrm{\&epsiv;}}_h\&CenterDot;S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(12\right)$

将式(8)、(11)、(12)代入式(10)可得：

$\begin{array}{c}{\mathrm{Cr}}_{\mathrm{ij}}=\frac{\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}\mathrm{\&epsiv;}(x,y)\&CenterDot;S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}-\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}{\mathrm{\&epsiv;}}_l\&CenterDot;S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}{\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}{\mathrm{\&epsiv;}}_h\&CenterDot;S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}-\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}{\mathrm{\&epsiv;}}_l\&CenterDot;S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}\\ =\frac{\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}(\mathrm{\&epsiv;}(x,y)-{\mathrm{\&epsiv;}}_l)\&CenterDot;S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}{({\mathrm{\&epsiv;}}_h-{\mathrm{\&epsiv;}}_l)\&CenterDot;\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}{S}_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}\end{array}---\left(13\right)$

定义敏感场函数归一化后为Sr_ij(x,y)，其表达式如下：

${\mathrm{Sr}}_{\mathrm{ij}}(x,y)=\frac{S_{\mathrm{ij}}(x,y)}{\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}{S}_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}=\frac{S_{\mathrm{ij}}(x,y)}{\mathrm{\&mu;}}---\left(14\right)$

将式子(14)代入(13)可得：

$\begin{array}{c}{\mathrm{Cr}}_{\mathrm{ij}}=\frac{\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}(\mathrm{\&epsiv;}(x,y)-{\mathrm{\&epsiv;}}_l)\&CenterDot;S_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}}{({\mathrm{\&epsiv;}}_h-{\mathrm{\&epsiv;}}_l)\&CenterDot;\mathrm{\&mu;}}\\ =\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}(x,y)-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}{{\mathrm{\&epsiv;}}_h-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}\right)\&CenterDot;\frac{S_{\mathrm{ij}}(x,y)}{\mathrm{\&mu;}}\mathrm{dxdy}\\ =\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}(x,y)-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}{{\mathrm{\&epsiv;}}_h-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}\right)\&CenterDot;{\mathrm{Sr}}_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}\end{array}---\left(15\right)$

令称为归一化介电常数，将其代入上式得：

${\mathrm{Cr}}_{\mathrm{ij}}=\underset{D}{\&Integral;\&Integral;}f(x,y)\&CenterDot;{\mathrm{Sr}}_{\mathrm{ij}}(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(16\right)$

式中二重积分可转化成对微分单元面积求和运算；首先将管道截面按面积划分成K个微分单元，这里K不能太小，否则会增大计算量；假定在每个微分单元内灵敏度值不变；于是可将上式近似地表示为：

将上式进一步化简化可得：

C＝SG                  (18)

式中：

C为M维电容列向量，C＝[Cr₁,Cr₂,…,Cr_M]^T；

G为K维归一化介电常数列向量，G＝[f₁,f₂,…,f_K]^T；

S为M×K阶矩阵，称为敏感场矩阵；

$S=\left[\begin{array}{ccccc}{S}_{12}\left(1\right)& S_{12}\left(2\right)& S_{12}\left(3\right)& ...& S_{12}\left(K\right)\\ S_{13}\left(1\right)& S_{13}\left(2\right)& S_{13}\left(3\right)& ...& S_{13}\left(K\right)\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ S_{67}\left(1\right)& S_{67}\left(2\right)& S_{67}\left(3\right)& ...& S_{67}\left(K\right)\\ S_{68}\left(1\right)& S_{68}\left(2\right)& S_{68}\left(3\right)& ...& S_{68}\left(K\right)\\ S_{78}\left(1\right)& S_{78}\left(2\right)& S_{78}\left(3\right)& ...& S_{78}\left(K\right)\end{array}\right]---\left(19\right)$

式子(18)为电容层析成像系统正问题，即由物质分布求解电容向量，但实际中要由已知电容值求解介电常数分布，即由C和S快速有效地求出G，为电容层析成像系统逆问题，又称为图像重建；实现图像重建是电容层析成像检测系统中关键环节，直接影响聚合物熔体温度场图像质量、在线测量速度；最简单图像重建算法LBP，即为公式(18)逆过程，即：

G＝S^TC                     (20)

式中S^T为S的转置矩阵；敏感场矩阵S可以由仿真计算或者实验获得，电容矩阵C由聚合物熔体温度场数据采集系统测量后运算得到，根据此公式即可由电容向量C求得归一化介电常数列向量G；

上述步骤D和步骤E具体包括：聚合物熔体温度T与介电常数ε成单调函数关系，具体关系为k阶多项式为：

$\begin{array}{c}T(x,y)=a_0+a_1\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}(x,y)-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}{{\mathrm{\&epsiv;}}_h-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}\right)+a_2{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}(x,y)-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}{{\mathrm{\&epsiv;}}_h-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}\right)}^2+a_3{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}(x,y)-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}{{\mathrm{\&epsiv;}}_h-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}\right)}^3+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+a_k{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}(x,y)-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}{{\mathrm{\&epsiv;}}_h-{\mathrm{\&epsiv;}}_l}\right)}^k\\ =a_0+a_{1}f(x,y)+a_2{\left(f(x,y)\right)}^2+a_3{\left(f(x,y)\right)}^3+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+a_k{\left(f(x,y)\right)}^k\end{array}---\left(21\right)$

式中各个系数由实验数据确定；

前面已将管道截面划分为K个微分单元，假设每个微分单元内温度相同且为T(n)，其与归一化介电常数列向量G元素关系为：

T(n)＝a₀+a₁f(n)+a₂f²(n)+a₃f³(n)+…+a_kf^k(n)(n＝1,2,…,K)     (22)

至此，聚合物熔体温度场已经推导出来，为得到温度场图像，现将管道内每个微元温度归一化，归一化公式为：

$T_r\left(n\right)=\frac{T\left(n\right)-T_l}{T_h-T_l}---\left(23\right)$

式中T_r(n)称为聚合物熔体归一化温度，0≤T_r(n)≤1；故测量过程中聚合物熔体归一化温度可能超出范围，因此要利用门限滤波函数限制其在范围内；当T_r(n)低于下限时使其值等于0，当T_r(n)高于上限时使其值等于1，若在范围内则保持原来值不变；具体表达式为：

$\left\{\begin{array}{cc}{T}_r\left(n\right)=0,& \mathrm{if}{T}_r\left(n\right)<0\\ T_r\left(n\right)=1,& \mathrm{if}{T}_r\left(n\right)>1\end{array}\right.---\left(24\right)$

在图像处理中，图像灰度级数通常为256，即0～255；设图像灰度值为P(n)，其与聚合物熔体归一化温度对应关系为：

P(n)＝255T_r(n)                   (25)

至此，可得到聚合物熔体温度场灰度向量P，P＝[P(1),P(2),P(3),…,P(K)]^T；将聚合物熔体温度场灰度向量P一一对应到测量区域中K个微分单元，即可得到聚合物熔体温度场。