CN102601951B - 基于超声信号的塑料注射过程模腔压力检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于超声信号的塑料注射过程模腔压力检测方法。该方法首先获取注射成型过程中模腔壁与熔体界面间超声回波信号、模具温度以及注射油缸压力，然后构建基于贝叶斯准则的高斯过程软测量模型，将步骤1中所采集到的数据作为训练数据，模型输入为超声回波信号、模具温度以及注射油缸压力，模型输出为模腔内熔体压力，模型构建完成后利用最小化负边界似然函数对数方法对模型进行最优化，最后将经过优化的高斯过程软测量模型以C语言的形式写入注射成型装备控制器中，并实现模腔压力的实时在线软测量；本发明能够实现注塑过程中模腔内熔体压力的在线软测量，具有价格低廉、使用方便的特点。

Description

基于超声信号的塑料注射过程模腔压力检测方法

技术领域

本发明涉及塑料注射成型领域，尤其涉及一种注射成型过程中模腔内熔体压力在线软测量方法及装置。

背景技术

塑料是合成的高分子化合物，又称为聚合物。大多数塑料质轻，化学特性稳定，不会锈蚀，耐冲击性、绝缘性好，导热性低，可一次成型。塑料以其性能优良，易于加工成型等特点广泛应用于医疗、汽车、电子等各个行业。塑料制品的加工成型方法主要包括模压成型、挤出成型、注射成型以及中空成型等，其中注射成型为塑料的主要加工方法。在国内，注射成型装备（Injection Molding Machine）占塑料加工机械总量的40％，而在德国、日本以及美国等塑料工业发达国家这一比重达到了50％－80％。注射成型可以一次加工形状复杂的塑料制品，成型周期短，生产效率高并能保证较高的制品尺寸精度和表面质量，同时有较好的装配互换性。此方法还可以加工带有金属嵌件的塑料制品，大大简化了工艺过程。注射成型过程主要包括塑化、充模和保压三个阶段，而对制品质量产生决定性影响的则是对充模和保压过程中一些关键变量的检测与控制。

充模阶段完成后，模腔内将充满熔融态的塑料，这些温度高达200度的熔体在接触温度为数十度的模具内壁后温度迅速下降，同时体积不断缩小，为了避免最终制品出现收缩，此时注射喷嘴必须向模腔内的熔体输出持续的压力，这个过程称为保压补缩。保压阶段对制品质量起到至关重要的作用，将影响制品的尺寸、收缩、翘曲、飞边以及内应力等重要质量表征。由于缺乏模腔内熔体压力的有效检测方法，目前工业生产中多以注射油缸内的压力等效实际的保压压力。但上述两者之间的关系十分复杂，无法建立对应的显式数学模型，对注射油缸压力的检测与分析也难以保证获得最优的工艺参数。一些高端注塑成型机在模具上配备了嵌入式的温度/压力传感器，见Zhang, J. Fault diagnosis in thermoplastic injection molding via mold cavity pressure signal analysis. Louisville, Kentucky, University of Louisville, 2006。但此方法需要在模具上钻孔，很难确保其保持高强度，同时考虑到模具自身高昂的价格以及较长的加工时间，在安装模具中出现问题将导致巨大的经济损失，因此这种方法始终难以广泛的应用。

发明内容

本发明的目的在于针对现有模腔内熔体压力检测方法的不足，提供一种基于超声信号的保压过程模腔内熔体压力高斯软测量方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于超声信号的塑料注射过程模腔压力检测方法，包括以下步骤：

（1）利用数据采集卡对模腔内压力传感器、模具温度传感器以及注射油缸压力传感器以相同的频率进行采集；利用超声检测卡对模腔壁与熔体界面间的回波信号进行采集；

（2）利用Matlab构建基本高斯过程软测量模型，并利用步骤1中所采集到的数据对模型进行训练与优化；

（3）将步骤2中构建的高斯软测量模型以C语言的形式写入注塑机的注射成型装备控制器；

（4）在一个控制周期内对采集到的超声回波信号、模具温度以及注射油缸压力进行低通滤波，并将滤波后的信号代入高斯软测量模型进行运算，得出均值及相应的方差，其中，均值即为实时的模腔压力预测值，从而完成对注射过程中模腔压力的高斯过程软测量。

进一步地所述步骤2包括以下子步骤：

（1）构建高斯软测量模型：

模腔内熔体压力与超声回波信号、模具温度以及注射油缸压力之间的函数为f（x），f（x）即为高斯过程中的随机变量，且此高斯过程的均值函数                                                

与协方差函数

分别为：

，                                             

；

    式中，

是辅助变量，是矢量，

是模型参数，也是矢量，均无具体物理意义，

为从低维到高维的映射；

是

的一部分，为

 的核函数；  

X为已观测到的n组输入向量所组成的矩阵，X*为任意组待观测输入向量所组成的矩阵，n为自然数，则相应的协方差矩阵分别为K（X, X）及K（X*, X*）；根据高斯过程的性质，输入X,X *所对应的输出向量f和f*符合联合高斯分布：

，                                           

；                                            

则基于高斯先验的观测输出向量f与预测输出向量f*所构成的多元高斯向量的联合高斯分布为：

；                                 

其中，K（X, X）、K（X, X*）、K（X*, X）以及K（X*, X*）分别为n×n、n×n*、n*×n以及n*×n*维协方差矩阵；由于协方差矩阵可由给定的协方差函数确定，这就大大简化了计算；上式给出了待预测输出的高斯先验，因此，即可求出符合已观测点的系统预测输出后验分布，也就是给定已观测输入输出及预测输入条件下的预测输出分布：

；        

上式给出了不考虑噪声情况下的预测输出后验分布，加入独立同分布的高斯噪声ε，协方差函数与协方差矩阵

如下：

；

式中，

表示主导变量，无具体物理意义，

表示方差；δ为克罗内克参数，当x＝x^时，δ为1，其他情况下，δ为0；

为单位矩阵；因此上式改写为：

；                              

至此我们得到了预测输出的最终表达式：

；                                         

其中：

，                         

；            

设K＝K（X, X），K*＝K（X, X*）＝K（X*, X）^T；在实际应用中，在一个控制周期中我们只需要得到一个预测点的值，在这种情况下我们用向量k（x*）＝k*代替K*表达待预测点与n个观测点之间的协方差，构建高斯软测量模型如下：

；                                             

；                                

上式分别可求出系统在预测点x*处的均值及相应的方差；

（2） 对模型进行训练与优化：

从函数的角度看，高斯过程是服从高斯分布的随机变量集合；高斯过程的输出由均值函数和协方差函数唯一确定，所以高斯过程是概率化的非参数模型，所谓非参数模型是指系统的数学模型中非显式地包含可估参数；而协方差函数是影响辨识模型的最关键因素，因此将协方差函数中的参数 θ 视为高斯过程的超参数；因此，系统输出为 y ，输入为 X ，参数为向量 θ ，通过已知的输入输出推断模型参数的问题可以表达为求p（ θ | y , X ）极大值的问题，由贝叶斯准则可知：

；                                      

其中p（ θ | y , X ）为后验，p（ y  | X , θ ）为似然，p（ θ ）为先验，而p（ y  | X ）为边界似然，边界似然为似然与先验积的积分，如下式所示：

；                                       

边界似然用来表示系统函数f的边际性，为了方便计算引入对数运算，由以上两式可得在超参数 θ 条件下的边界似然函数：

；            

上述负边界似然函数对数最小值法即为对模型超参数进行推断即超参数的优化。 

本发明的有益效果是：

1. 本发明提出了一种基于超声信号的塑料注射过程模腔压力高斯软测量方法，相比模腔压力的传统检测方法，新方法不需对模具进行特殊设计与改造，减少了模具设计方面的工作难度，同时避免了由钻孔带来的模具整体刚度下降，利用超声无损检测方法与高斯软测量方法实现了模腔压力的在线检测，具有价格低廉、结构简单、使用方便的优点。

2. 本发明所提出的模腔压力检测方法不受检测位置约束，传统的模腔压力嵌入式检测方法需要对模具钻孔，检测位置无法改变，而新方法基于超声检测，超声探头的位置可随待测位置的改变而改变，因此本发明所提出的方法具有更高的效率以及更广的应用范围。

3. 本发明实现了模腔压力的在线检测，给注射成型过程的工艺优化提供了一个新的途径。传统的注射工艺优化由于无法实时获得模腔内熔体信息，多采用试模的方法，并对注射油缸压力这个次相关变量进行检测与控制，为工艺参数的设定带来了困难。新方法解决了模腔内熔体压力难以在线检测的问题，可以大大提高生产效率与制品成型精度。

附图说明

图1为本发明实施例的实施流程示意图；

图2为本发明实施例模腔压力与超声回波信号检测系统示意图；

图3为本发明实施例模具结构示意图；

图4为本发明实施例注射过程超声信号回波幅值波形图；

图5为本发明实施例注射过程模腔压力值波形图；

图6为本发明实施例模腔压力高斯软测量系统框架图；

图7为本发明实施例模腔压力高斯软测量程序流程图；

图8为本发明实施例软测量结果参考值波形图；

图9为本发明实施例高斯过程软测量结果示意图；

图10为本发明实施例神经网络软测量结果示意图；

图11为本发明实施例高斯过程与神经网络软测量结果误差对比图；

图中：1.模具，2.模腔，3.流道，4.超声探头，5.模腔压力传感器，6.定模板，7.定位圈，8.浇口套导柱，9.楔块，10.动模型腔，11.动模芯，12.锁紧块，13.定模型腔，14.定模芯，15.高斯过程软测量结果误差，16.神经网络软测量结果误差。

具体实施方式

本发明基于超声信号的塑料注射过程模腔压力检测方法包括以下步骤：

1. 利用数据采集卡对模腔内压力传感器、模具温度传感器以及注射油缸压力传感器以相同的频率进行采集；利用超声检测卡对模腔壁与熔体界面间的回波信号进行采集。超声信号的发射与接收采用同一超声换能器，由于模腔壁较薄，因此每发射一次超声波会产生多重超声回波信号，设置超声信号采集软件使其记录每次多重回波信号中的第m次回波信号幅值，m的选择准则为总回波次数的1/2，m为自然数。调整超声采集软件使其采集频率与传感器采集频率相同，并对所有采集到的信号进行低通滤波，减小噪声，提高信噪比。

超声信号采集软件可以采用NI公司LABVIEW软件产品来实现，但不限于此。

2. 利用Matlab构建基本高斯过程软测量模型，并利用步骤1中所采集到的数据对模型进行训练与优化。

Matlab为Mathworks公司的数值模拟分析软件，该步骤具体实施子步骤如下：

（1）构建高斯软测量模型

在本方法，模腔内熔体压力与超声回波信号、模具温度以及注射油缸压力之间的函数为f（x），f（x）即为高斯过程中的随机变量，且此高斯过程的均值函数

与协方差函数分别为：

，                                            

；

    式中，

是辅助变量，是矢量，

是模型参数，也是矢量，均无具体物理意义，

为从低维到高维的映射。

是

的一部分，为

 的核函数。  

X为已观测到的n组输入向量所组成的矩阵，X*为任意组待观测输入向量所组成的矩阵，n为自然数，则相应的协方差矩阵分别为K（X, X）及K（X*, X*）。根据高斯过程的性质，输入X,X *所对应的输出向量f和f*符合联合高斯分布：

，                                           

；                                            

则基于高斯先验的观测输出向量f与预测输出向量f*所构成的多元高斯向量的联合高斯分布为：

；                                 

其中K（X, X）、K（X, X*）、K（X*, X）以及K（X*, X*）分别为n×n、n×n*、n*×n以及n*×n*维协方差矩阵。由于协方差矩阵可由给定的协方差函数确定，这就大大简化了计算。上式给出了待预测输出的高斯先验，因此，即可求出符合已观测点的系统预测输出后验分布，也就是给定已观测输入输出及预测输入条件下的预测输出分布：

；        

上式给出了不考虑噪声情况下的预测输出后验分布，加入独立同分布的高斯噪声ε，协方差函数

与协方差矩阵

如下：

；

式中，

表示主导变量，无具体物理意义，

表示方差；δ为克罗内克参数，当x＝x^时，δ为1，其他情况下，δ为0；

为单位矩阵；因此上式改写为：

；                              

至此我们得到了预测输出的最终表达式：

；                                         

其中：

，                         

；            

设K＝K（X, X），K*＝K（X, X*）＝K（X*, X）^T。在实际应用中，在一个控制周期中我们只需要得到一个预测点的值，在这种情况下我们用向量k（x*）＝k*代替K*表达待预测点与n个观测点之间的协方差，构建高斯软测量模型如下：

。                                             

；                                

上式分别可求出系统在预测点x*处的均值及相应的方差。

（2） 对模型进行训练与优化：

从函数的角度看，高斯过程是服从高斯分布的随机变量集合。高斯过程的输出由均值函数和协方差函数唯一确定，所以高斯过程是概率化的非参数模型，所谓非参数模型是指系统的数学模型中非显式地包含可估参数。而协方差函数是影响辨识模型的最关键因素，因此将协方差函数中的参数 θ 视为高斯过程的超参数。因此，系统输出为 y ，输入为 X ，参数为向量 θ ，通过已知的输入输出推断模型参数的问题可以表达为求p（ θ | y , X ）极大值的问题，由贝叶斯准则可知：

；                                      

其中p（ θ | y , X ）为后验，p（ y  | X , θ ）为似然，p（ θ ）为先验，而p（ y  | X ）为边界似然，边界似然为似然与先验积的积分，如下式所示：

；                                       

边界似然用来表示系统函数f的边际性，为了方便计算引入对数运算，由以上两式可得在超参数 θ 条件下的边界似然函数：

；            

上述负边界似然函数对数最小值法即为对模型超参数进行推断即超参数的优化。

3、将步骤2中构建的高斯软测量模型以C语言的形式写入注塑机的注射成型装备控制器。

4、在一个控制周期内对采集到的超声回波信号、模具温度以及注射油缸压力进行低通滤波，并将滤波后的信号代入高斯软测量模型进行运算，得出均值及相应的方差，其中，均值即为实时的模腔压力预测值，从而完成对注射过程中模腔压力的高斯过程软测量。

实施例：

本实施例中，注射材料选用聚氯乙烯（PVC），如图1所示，本实例用于基于超声信号的塑料注射过程模腔压力高斯软测量方法的实施步骤如下：

1. 模腔壁与熔体间超声回波信号的获取：

本方法利用超声信号对模腔内熔体密度进行检测，进而通过熔体的PVT特性以及高斯软测量模型建立起熔体温度、密度与压力之间的关系，实现对压力的实时在线测量。为此本方法构建了模腔压力的超声检测平台，此系统中模腔、熔体以及超声传感器的位置关系如图2所示。将频率为5MHz的超声探头通过耦合剂和夹持装置固定在模腔外壁，模腔内壁与熔体接触，构成一个异质界面，模具材料为nak80模具钢。理想情况下假设超声经过的介质是均匀的，即相邻两波峰之间的幅值差可通过介质的衰减与异质界面的反射率计算得到。设反射系数为R，且：

；                                                                          

其中Z ₁ 为不锈钢材质模腔的声阻抗，是已知量。当熔体未充满模腔时，模腔内部与超声传感器相对应部分仍残留一定的空气，此时Z ₂ 为空气的声阻抗。由于不锈钢的声阻抗远远大于空气的声阻抗，几乎所有的超声信号能量在不锈钢－空气这个异质界面都会被反射回来再由超声传感器接收，即R=1。而当熔体充满模腔后，超声信号所携带的一部分能量由于发生透射而被消耗，超声传感器所能接收的反射能量将变小，即R<1，因此可以通过判断R的值来确定充模是否结束，由注射过程转换为保压过程。当模腔被熔体充满后，Z ₂ 为熔体的声阻抗，且：

；                                                 

其中ρ为熔体的密度，即待测变量，C为超声在熔体中的传播速度，由上式可知：

；                                                   

；                                                       

为了直观表示注射过程中模腔内熔体压力和超声信号间的关系，本发明设计了可同时检测模腔压力与超声回波信号的模具，如图3所示。

其中11是定模芯，为了获得模腔内熔体的压力值作为参照，在其内嵌入了两个Kistler 6190A型压力传感器5；14为动模芯，在其右侧与压力传感器相对应的放置超声探头4，超声传感器通过耦合剂和夹持装置固定在模腔外壁1，模腔内壁2与熔体接触，构成一个异质界面。在注射过程中，采集平台程序同时对模腔压力传感器及超声信号的第n个回波信号进行采集，所得到信号如图4、5所示，其中图4为超声信号，图5为模腔压力传感器信号，均为未经过滤波的原始信号。同时，模具温度信号与油缸压力信号由相应传感器进行采集。

2. 模腔压力软测量模型建立与优化

在保压过程中模腔内壁与熔体间的超声回波信号a _n与熔体压力p _m有关，可以作为模腔压力高斯软测量模型的重要辅助变量，由材料的PVT特性关系可知，待测点处的模腔温度t _m与模腔压力也有很强的相关性，因此可以作为另一个辅助变量，此外，保压过程中注射油缸会给模腔提供持续的压力，因此油缸压力P ₁也可作为辅助变量，则模腔内熔体压力的高斯软测量模型为：

；                                                  

首先确定均值函数，由分析可知，模腔压力是一个有界变量，为了提高回归模型的柔性，可以用线性均值函数与常量均值函数组合成复合均值函数：

；                             

相对于充模过程中的熔体前端速度，保压过程中不存在大幅度的熔体流动，并且制品在逐步冷却凝固，压力由喷嘴缓慢传入模腔，因此这是一个变化更加连续平缓的主导变量，需要平方指数协方差函数反应主导变量的平滑性；由于注射过程是一个周期循环过程，工艺参数确定后每个保压周期中的模腔内熔体的压力变化是基本相同的，因此周期随机协方差函数将体现相应的周期性；注射保压过程中伺服电机的运行将带来大量的电磁干扰，超声探头、油缸压力传感器以及温度传感器都将受到不同程度的干扰，因此一个噪声单元是必要的；由于保压过程中模腔内熔体压力与超声回波信号等辅助变量之间的关系有着很强的非线性，因此需要在此复合协方差函数中引入神经网络协方差函数，神经网络协方差函数中的隐含层对于主导变量与辅助变量之间的隐含关系可以起到更好的全局最优化作用。因此此协方差函数的最终结构如下式所示：

      

；        

均值函数与协方差函数形式确定后，利用Mathworks公司的数值模拟分析软件Matlab构建基本高斯过程软测量模型，并利用步骤1中所采集到的数据对模型进行训练与优化。

3. 将步骤2中经过训练与优化的高斯过程软测量模型以C语言的形式写入注塑机控制器，并升级控制器程序使其对各项辅助变量进行采集、处理。 基于超声信号的塑料注射过程模腔压力高斯软测量方法的系统框架图如图6所示，软测量程序流程图如图7所示。

为了验证在相同注射工艺参数但实际工况略有差别的情况下模腔压力高斯软测量方法的有效性，本发明以相同的注射参数进行了10组注射实验，具体注射参数如下表所示：

并将10组注射中的9组数据作为训练数据集，对高斯模型进行训练，再将第十组注射的辅助变量即超声回波压力、模具温度以及油缸压力作为模型输入，参考值如图8所示，得到的高斯（GP）软测量模腔压力如图9所示，本研究同时用Matlab实现了神经网络（NN）回归分析，作为对比其结果如图10所示。图9、10中可见相比与后者，高斯软测量方法可以根据超声回波信号、模具温度以及油缸压力对模腔压力进行更好的预测，图11为相应的误差分析曲线，可见神经网络回归分析得到的结果与参考量间的误差最高达到了8％，而高斯软测量方法可将误差在全程控制在2％以内，同时由于其模型结构简单也更易实现，因此在可实现性和有效性两方面高斯过程都有显著的优势。

首先分析了保压过程中模腔内熔体的压力变化过程，并通过引入聚合物的PVT特性将对熔体压力的检测转化为对熔体密度的检测，进而利用模腔壁与熔体间超声回波信号与熔体压力的关系构建模腔内熔体压力的高斯软测量模型，利用训练数据集对模型超参数进行训练优化，并最终将软测量模型写入注射成型装备控制器，实现模腔内熔体压力的在线软测量。

本实例应用了用于注塑过程中模腔压力的在线软测量装置，包括传感器单元、数据采集单元和注塑机控制器控制器单元，所述传感器单元包括超声波检测单元、模具温度传感器5以及油缸压力传感器；所述超声波探测单元包括超声波探头4以及超声采集卡，所述温度传感器、超声波接收单元分别通过数据采集单元与注塑机控制器相连。

Claims (2)

1.一种基于超声信号的塑料注射过程模腔压力检测方法，其特征在于，包括以下步骤：

（1）利用数据采集卡对模腔内压力传感器、模具温度传感器以及注射油缸压力传感器以相同的频率进行采集；利用超声检测卡对模腔壁与熔体界面间的回波信号进行采集；

（2）利用Matlab构建基本高斯过程软测量模型，并利用步骤（1）中所采集到的数据对模型进行训练与优化；

（3）将步骤（2）中构建的高斯软测量模型以C语言的形式写入注塑机的注射成型装备控制器；

（4）在一个控制周期内对采集到的超声回波信号、模具温度以及注射油缸压力进行低通滤波，并将滤波后的信号代入高斯软测量模型进行运算，得出均值及相应的方差，其中，均值即为实时的模腔压力预测值，从而完成对注射过程中模腔压力的高斯过程软测量。

2.根据权利要求1所述基于超声信号的塑料注射过程模腔压力检测方法，其特征在于，所述步骤（2）包括以下子步骤：

（2.1）构建高斯软测量模型：

模腔内熔体压力与超声回波信号、模具温度以及注射油缸压力之间的函数为f（x），f（x）即为高斯过程中的随机变量，且此高斯过程的均值函数Ε[f(x)]与协方差函数Ε[f(x)f(x^)]分别为：

Ε[f(x)]=φ(x)^TΕ[w]=⁰，

Ε[f(x)f(x^)]=φ(x)^TΕ[ww^T]φ(x^)=φ(x)^T∑φ(x^)=k(x,x^)；

式中，x是辅助变量，是矢量，w是模型参数，也是矢量，均无具体物理意义，φ为从低维到高维的映射；x^是x的一部分，k(x,x^)为x和x^的核函数；

X为已观测到的n组输入向量所组成的矩阵，X*为任意组待观测输入向量所组成的矩阵，n为自然数，则相应的协方差矩阵分别为K（X,X）及K（X*,X*）；根据高斯过程的性质，输入X,X*所对应的输出向量f和f*符合联合高斯分布：

f～N(0,K(X,X))，

f^*～N(0,K(X^*,X^*))；

则基于高斯先验的观测输出向量f与预测输出向量f*所构成的多元高斯向量的联合高斯分布为：

$\left[\begin{array}{c}f\\ f^{*}\end{array}\right]~N\left(0\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}K(X,X)& K(X,X^{*})\\ K(X^{*},X)& K(X^{*},X^{*})\end{array}\right]\end{array}\right);$

其中，K（X,X）、K（X,X*）、K（X*,X）以及K（X*,X*）分别为n×n、n×n*、n*×n以及n*×n*维协方差矩阵；由于协方差矩阵可由给定的协方差函数确定，这就大大简化了计算；上式给出了待预测输出的高斯先验，因此，即可求出符合已观测点的系统预测输出后验分布，也就是给定已观测输入输出及预测输入条件下的预测输出分布：

f^*|X^*,X,f～N(K(X^*,X)K(X,X)^-1f,K(X^*,X^*)-K(X^*,X)K(X,X)^-1K(X,X^*))；

上式给出了不考虑噪声情况下的预测输出后验分布，加入独立同分布的高斯噪声ε，协方差函数cov(y,y^)与协方差矩阵cov(y)如下：

$\mathrm{cov}(y,y^)=k(x,x^)+{\mathrm{\&sigma;}}_n^2\mathrm{\&delta;};\mathrm{cov}\left(y\right)=K(X,X)+{\mathrm{\&sigma;}}_n^{2}I;$

式中，y表示主导变量，无具体物理意义，σ_n表示方差；δ为克罗内克参数，当x＝x^时，δ为1，其他情况下，δ为0；I为单位矩阵；因此上式改写为：

$\left[\begin{array}{c}y\\ f^{*}\end{array}\right]~N\left(0\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}K(X,X)+{\mathrm{\&sigma;}}_n^{2}I& K(X,X^{*})\\ K(X^{*},X)& K(X^{*},X^{*})\end{array}\right]\end{array}\right);$

至此我们得到了预测输出的最终表达式：

$f^{*}|X^{*},\mathrm{Xy}~N({\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{*},\mathrm{cov}\left(f^{*}\right));$

其中：

${\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{*}=E\left[f^{*}\right|X^{*},X,y]=K(X^{*},X){[K(X,X)+{\mathrm{\&sigma;}}_n^{2}I]}^{-1}y,$

$\mathrm{cov}\left(f^{*}\right)=K(X^{*},X^{*})-K(X^{*},X){[K(X,X)+{\mathrm{\&sigma;}}_n^{2}I]}^{-1}K(X,X^{*});$

设K＝K（X,X），K*＝K（X,X*）＝K（X*,X）^T；在实际应用中，在一个控制周期中我们只需要得到一个预测点的值，在这种情况下我们用向量k（x*）＝k*代替K*表达待预测点与n个观测点之间的协方差，构建高斯软测量模型如下：

${\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{*}=k^{*T}{(K+{\mathrm{\&sigma;}}_n^2)}^{-1}y;$

$V\left[f^{*}\right]=k(x^{*},x^{*})-k^{*T}{(K+{\mathrm{\&sigma;}}_n^{2}I)}^{-1}{k}^{*};$

上式分别可求出系统在预测点x*处的均值及相应的方差；

（2.2）对模型进行训练与优化：

从函数的角度看，高斯过程是服从高斯分布的随机变量集合；高斯过程的输出由均值函数和协方差函数唯一确定，所以高斯过程是概率化的非参数模型，所谓非参数模型是指系统的数学模型中非显式地包含可估参数；而协方差函数是影响辨识模型的最关键因素，因此将协方差函数中的参数θ视为高斯过程的超参数；因此，系统输出为y，输入为X，参数为向量θ，通过已知的输入输出推断模型参数的问题可以表达为求p（θ|y,X）极大值的问题，由贝叶斯准则可知：

$p\left(\mathrm{\&theta;}\right|y,X)=\frac{p\left(y\right|X,\mathrm{\&theta;})p\left(\mathrm{\&theta;}\right)}{p\left(y\right|X)};$

其中p（θ|y,X）为后验，p（y|X,θ）为似然，p（θ）为先验，而p（y|X）为边界似然，边界似然为似然与先验积的积分，如下式所示：

p(y|X)=∫p(y|f,X)p(f|X)df；

边界似然用来表示系统函数f的边际性，为了方便计算引入对数运算，由以上两式可得在超参数θ条件下的边界似然函数：

$\log p\left(y\right|X,\mathrm{\&theta;})=-\frac{1}{2}{y}^T{(K+{\mathrm{\&sigma;}}_n^{2}I)}^{-1}y-\frac{1}{2}\log |K+{\mathrm{\&sigma;}}_n^{2}I|-\frac{n}{2}\log 2\mathrm{\&pi;};$

上述负边界似然函数即为对模型超参数进行推断即超参数的优化。

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