CN102577134A - 非二元码的解码方法 - Google Patents

Abstract

本发明关于一种用于非二元码的解码方法，特别是非二元低密度同位检查码，可通过表示N变数及M限制的二分图表示，变数自非二元字母A画它们的数值并通过在A中具有系数的矩阵(H)而被线性限制。各个变数对应至接收或读取的一段资讯并且以二元数值的p-元组的形式表现。对于各个变数，

延伸二元数值通过变数的二元数值的

个线性组合的手段被产生(620)。这些延伸二元数值遵守通过限制在变数上引发的称为延伸同位检查的同位检查。使传递变数的延伸二元数值至延伸同位检查为可能的同位矩阵(630)，通过执行信息传递迭代解码过程(650)的手段定义了延伸二分图(640)。

Description

非二元码的解码方法

技术领域

本发明关于在电信(telecommunications)或数据记录(data recording)的领域中错误更正码(error correction codes)的解码。更明确地，本发明关于用于非二元码的信息传递解码方法，特别是用于非二元低密度同位检查(Low-Density Parity Check，LDPC)码。

背景技术

低密度同位检查码(LDPC codes)系通过R.Gallager在他发表的标题为「低密度同位检查码」的论文中(IEEE Trans.Inform.Theory，Vol.IT-8，pages 21-28，1962)被引入。且当涡轮码(turbo-codes)中迭代解码的力量被强调时，其有趣的特性仅于最近被重新发现。通过C.Berrou et al.发表的标题为「接近最佳错误更正的编码及解码：涡轮码」的开创性论文中(IEEE Trans.Inform.Theory，Vol.44，No.10，pages 1261-1271，1996)，发现涡轮码的迭代解码的叙述。

相似于涡轮码，低密度同位检查码适合通过二分图来表示。

二分图一词系指一个无向图(undirected graph)，其顶点套组(vertex set)由两个独立的子套组(subset)所组成，这样一来没有相同子套组的二顶点会通过所述图形的边缘而连接。

通常，某些错误连接码(error connection codes)可以通过二分图表示。此图形被分割成顶点伴随组成编码字(code word)的符号(symbol)的第一子套组(first subset)，其称为变数顶点(variable vertices)，以及顶点伴随编码限制(code constraints)的第二子套组(second subset)，其称为检查顶点(checkvertices)。伴随一组限制的二分图也被称为谭能图(Tanner graph)。当编码字的符号为二元时，编码限制则被称为同位检查。因此，接下来为清晰起见，当涉及二元码时，则我们将使用特定名词同位检查(parity check)，以及当涉及非二元码时，则我们将使用更普遍的名词限制(constraint)。

编码字中的符号系为加洛瓦场(Galois field)F₂＝{0，1}的普遍元素(arbitrary characteristic)，除此之外也已被称为位元(bits)，但他们可更普遍地作为尺寸q≥2的字母(alphabet)的元素(element)，例如具有任意特征2的场

也就是2^p-ary字母(因此q＝2^p)。

可通过二分图表示的编码可利用迭代信息传递解码而被解码，这也称为信息传递(Message Passing，MP)或信任传播(Belief Propagation，BP)。这个解码方法的广泛描述可在N.Wiberg标题为「一般图形上的编码与解码」的论文(1996)中找到。信息传递型态的迭代解码事实上是解码的领域中所熟悉的演算法的概括(generalization of algorithms)，也就是用于涡轮码的前向后向演算法(forward-backward algorithm)以及用于低密度同位检查码的盖拉格演算法(Gallager algorithm)。

非二元码的信息传递解码不同于二元码的信息传递解码。

事实上，对例如二元低密度同位检查码的二元码而言，各个变数顶点代表一个编码位元。当对于位元的数值有不确定性(uncertainty)时，其利用所述数值0或1的概率(probability)表示，或者更常利用对数相似度比(logarithmic likelihood ratio)，称为LLR(Log Likelihood Ratio)，其定义为那些概率的比值的对数值。在二分图的顶点间相互交换的信息接着视情况而定而被加上概率或对数相似度比的标记(tagged)。

对于非二元码，各个变数顶点代表一个编码符号(coded symbol)，其为所述编码字母的一个元素。当对于符号的数值有不确定性时，这个不确定性可通过q-1概率或是q-1对数相似度比数值的向量(vector)表示，其中q为字母的大小(size)(由于q概率的总和等于1，所以q-1概率系为足够的)。在二分图的顶点间传递的信息也视情况而定，由q-1概率数值或是q-1对数相似度比数值的向量的形式表示。

图1显示用于非二元码的二分图的一个实施例，更特别是定义为具有矩阵大小M×N的F₈作为其同位矩阵的低密度同位检查码，其中N＝6为变数的数量以及M＝3为限制的数量：

$H=\left(\begin{array}{cccccc}1& 3& 4& 6& 0& 0\\ 0& 2& 0& 7& 1& 5\\ 5& 0& 1& 0& 2& 4\end{array}\right)---\left(1\right)$

其应当被注意的是所述矩阵的系数系为F₈的元素。变数顶点X₁，...，X_N被显示于所述图形的左部分，以及限制顶点Y₁，...，Y_M被显示于右部分。在本情形中：

Y₁：X₁+3X₂+4X₃+6X₄＝0

Y₂：X₂+7X₄+X₅+5X₆＝0

Y₃：5X₁+X₃+2X₅+4X₆＝0            (2)

变数X₁，...，X₆以及限制Y₁，...，Y₃的信息可个别用大小7的概率的向量表示。

所述图形的关联矩阵(incidence matrix)对应于所述编码的同位矩阵，换句话说，分配给所述图形边缘的权重(weight)代表矩阵H的系数。依照惯例，当权重为零时，则所述对应的边缘自所述图形中被忽略。

虽然非二元低密度同位检查码与二元低密度同位检查码相比，提供较佳的更正能力，但在另一方面则较难解码。事实上，所述解码演算法的复杂度通常与q成正比，也就是与所述字母的大小的平方成正比。通过V.Savin发表的标题为「用于非二元低密度同位检查码的最小-最大解码(Min-Maxdecoding)」的论文(IEEE Int.Symp.on Information Theory(ISIT)，Toronto，Canada，2008)，一种用以解码非二元低密度同位检查码的方法被描述作为例子。

在发明所属技术领域具通常知识者可想到解码非二元码的自然方法系为利用同位矩阵的等效二元表示。然而，如同我们将看到的，这个「自然」的二元表示会造成差的解码效能及高错误率。

已知二元及非二元低密度同位检查码都具有在同位矩阵中表现低密度非零系数(nonzero coefficients)的特性。这特性造成在二分图中的短循环(shortcycles)数量稀少。这些循环往往导致所述变数的自我确认以及在迭代解码过程中的检查。这就表示，一个顶点的错误数值(erroneous value)可基于通过其邻居传递给其的信息系为本身依赖于顶点传递给他们的信息的简单事实而被确认。为了对抗这种自我确认的现象，所述的解码过程必须遵守所谓的外在资讯原则(extrinsic information principle)：除了来自接收顶点(receivingvertex)的信息，从所有通过传送顶点(sending vertex)接收的信息，计算通过传送顶点传送至接收顶点的信息。然而，由于在二分图中出现的所述循环中，短循环会造成更加频繁的自我确认，因此遵守外在资讯原则并不能排除在较高阶(higher orders)的自我确认。

外在资讯原则以示意图于图2中说明。如图所示，其为二分图的一部分，其中Y₁，Y₂，Y₃为检查顶点(check vertices)以及X₁，...，X₄为变数顶点。从变数顶点X₂，X₃，X₄通过Y₁接收的信息，不考虑从X₁接收的信息而计算导向至变数顶点X₁的限制顶点Y₁的信息。相反地，从检查顶点Y₂及Y₃通过X₁接收的信息，不考虑接收自Y₁的信息，而计算来自导向至检查顶点Y₁的检查顶点X₁的信息。

图3说明由二分图中循环的出现所造成的自我确认的现象。如前所述，显示所述图形的一部分，变数顶点由圆形表示，且检查顶点由方块表示。图中的循环以粗线表示。在这个循环后揭示了通过变数顶点X₅接收的信息m₆，经过连续的信息m₂至m₅，而间接依赖于在数个解码迭代之前通过相同顶点传送的信息m₁。

以下视为字母A与q元素。A的元素应被称为「符号」。我们假设q＝2^p是2的次方，以简化起见，但不失主要的部份(generality)。接着存在一个A与

的双射(bijection)。

其中F₂＝{0，1}为一个二元素场(two-element field)。假如ω(X)＝x，二元向量则被称为符号X∈A的「二元影像(binaryimage)」。

双射ω提供了向量F₂-空间结构(space structure)给A。我们以

作为A的F₂-自同态(endomorphisms)的代数，也就是提供其向量F₂-空间结构给A的自同态。L的元素对于A的符号的评估，定义了L对A的行动，其被注记为倍增地(multiplicatively)：

使H∈M_M，N(L)，也就是说使H成为大小M×N的矩阵，其元素来自L。

一个非二元码

被定义为：

$\begin{array}{c}C=\mathrm{Ker}\left(H\right)\⋐A^N\\ =\{(X_1,...,X_N)\∈A^N|\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{m,n}{X}_n=0,\∀m=1,...,M\}\end{array}---\left(5\right)$

H将被称为编码C的限制矩阵。利用双射ω，我们可以通过将各个符号X_n置换为其二元影像，而将各个符号的序列(X₁，...，X_N)∈A^N与二元序列 $(x_{\mathrm{1,0}},x_{\mathrm{1,1}},...,x_{1,p-1},......,x_{N,0},x_{N,1},...,x_{N,p-1})\∈F_2^{\mathrm{Np}}$ 配对。此二元序列(具有长度N_p)应被称为序列(X₁，...，X_N)∈A^N的「二元影像」。所述的所有编码文字

的二元影像，形成了称为「C的二元影像」的二元码 $C_{\mathrm{bin}}\⋐F_2^{\mathrm{Np}}.$

A与

之间的同构(isomorphism)ω引起了与

之间的同构：

因此，通过以其经由上述式(6)的影像置换矩阵H的各个元素h_m，n，得到一个二元矩阵H_bin∈M_Mp，Np(F₂)。此矩阵为二元码C_bin的同位矩阵。

其将被注意定义于F_q上的非二元码，也就是在具有q元素的有限域(finite field)上，于非二元码中代表一个特殊的情况。这样编码的字母为A＝F_q，并通过内部添加F_q，而引发其向量F₂-空间结构。除此之外，F_q的乘法运算定义为嵌入F_q作为一个

(也就是

)的向量子空间。假如其定义为矩阵

的核心，我们则说「编码C定义于F_q上」。在此情况中，矩阵H的所有元素皆属于F_q、h_m，n∈F_q，以及在(5)中的乘法h_m，nX_n为在场F_q中简单地内部乘法。

为说明起见，我们将举一个简单非二元码的二元表示的例子。

我们认为字母A具有8个元素，因此与F₈具同构。我们将传统地采用F₈的原始表示。更特别地是，F₈与F₂[D]/P(D)为同构，通过不可约多项式(irreducible polynomial)P(D)＝1+D+D³通过理想的产生F₂[D]的商环(quotient ring)。在F₈里的加法(addition)与乘法(multiplication)被定义为多项式模数(modulo)P(D)的加法与乘法。为了简化，我们将假设F₈＝{0，1，...，7}。因此，符号X∈F₈＝{0，1，...，7}的二元影像为对应于多项式表示的二元序列(x₀，x₁，x₂)。一般而言，X系通过多项式

表示，其系数系通过其二元影像而给予。二个符号X，Y∈F₈＝{0，1，...，7}的总和对应于X及Y的位元总和(bitwise sum)。他们的乘积(product)系通过余数(remainder)、二多项式

及

的乘积的模数P(D)而被定义。

我们将考虑通过对F₈单一线性限制(single linear constraint)而被定义的非二元码：

3X+4Y+6Z＝0             (7)

回想在此情况下L＝A＝F₈。

通过利用F₈的元素的二元表示，及更明确地同构(6)以表示3，4，6∈L与同构(3)以表示X，Y，Z ∈A，上述方程式变为：

(1+D)(x₀+x₁D+x₂D²)

+D²(y₀+y₁D+y₂D²)

+(D²+D)(z₀+z₁D+z₂D²)＝0        (8)

进一步，回想D³＝1+D[P(D]：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0+x_2+y_1+z_1+z_2=0\\ x_0+x_1+x_2+y_1+y_2+z_0+z_1=0\\ x_1+x_2+y_0+y_2+z_0+z_1+z_2=0\end{array}\right.---\left(9\right)$

表达式(expression)(10)也可以矩阵形式表现：

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{z}_0\\ z_1\\ z_2\end{array}\right)=0---\left(10\right)$

限制矩阵H∈M_1，3(F₈)及其二元影像H_bin∈M_3，9(F₂)，分别自方程式(7)及(10)中被得到，我们最终有：

H＝(3 4 6)           (11)

以及

$H_{\mathrm{bin}}=\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 1\end{array}\right)---\left(12\right)$

分别对应于非二元码的限制矩阵H及其二元影像的同位矩阵H_bin的二分图，系分别显示于图4A及4B中。于二元图形中发现出现许多短循环(长度4)，然而在非二元图形则是无循环(acyclic)。

一般而言，非二元或无循环、或具有少量循环的编码的二元影像，可包含大量的循环，仅是因为所选择的二元表示。在发明所属技术领域具通常知识者将理解，从代数的观点来看，某些二元表示可以是均等的，但导致在解码方面有不同的表现。

本发明基于以上的问题，因而提出一种用于非二元码的解码方法，其可通过二分图来表示，举例来说，非二元低密度同位检查码，其不具有上述的缺点，也就是其具有低解码复杂度及低错误率。

发明内容

本发明被定义为用于非二元码的解码方法，特别是非二元低密度同位检查码，可通过具有N变数顶点及M限制顶点的二分图表示。变数自非二元字母A画出它们的数值并且通过限制矩阵的手段而被线性限制，各个变数通过复数个二元数值的p而被表示。按照这种方法：

-对于各个变数，复数个二元数值的

其称为延伸二元数值，通过

显著线性组合、利用所述p二元数值的F₂中的系数而被产生及获得，排除零组合；

-计算同位矩阵

其称为延伸同位矩阵，表示于变数的延伸二元数值上进行同位检查，其称为延伸同位检查，通过所述变数上的限制而引发所述延伸同位检查；

-利用第二二分图执行迭代信息传递解码，其称为延伸图形，表示延伸同位矩阵并将同位检查与变数的延伸二元数值连接；

-基于其在迭代解码完成而获得的延伸二元数值，确定各个变数的二元数值。

举例来说，字母A可由q＝2^p元素及

所组成。

所述延伸同位矩阵

通过增加额外的行而利于完成，所述额外的行系通过已存在的行的显著线性组合的手段并利用F₂中的系数而获得，排除零组合，矩阵的各个行因此完成定义延伸同位检查，因此完成延伸图形接着将变数的延伸二元数值的套组与矩阵

的延伸同位检查的套组连接。

举例来说，增加的行的数量将会是q-p-1。

较佳地，利用其本身的二元数值，起始至少部分各个变数的延伸二元数值。

根据第一变体(variant)，对于至少一迭代解码的迭代，各个变数的延伸二元数值被执行最大相似度解码以得到估计延伸二元数值，确认通过所述

线性组合引发的一组限制。对于各个变数，为了继续迭代解码，所述延伸二元数值接着通过所述估计延伸二元数值被置换。

根据第二变体，对于至少一迭代解码的迭代，通过各个变数的延伸二元数值传递的信息在最大相似度的意义上被更正，以确认通过所述

线性组合引发的一组限制。对于各个变数，为了继续迭代解码，所述已传送的信息将接着通过所述已更正的信息而被置换。

根据第三变体，对于至少一迭代解码的迭代，通过延伸二元数值接收的信息在最大相似度的意义上被更正，以确认通过所述

线性组合引发的一组限制。对于各个变数，为了继续迭代解码，所述已接收的信息接着通过所述已更正的信息而被置换。

根据一特定实施例，连接二元数值与变数的延伸二元数值的辅助图也被使用，所述辅助图代表允许后者自前者产生的线性组合。

在此情况中，迭代解码步骤可以包含信息通过所述辅助图传递于二元数值与变数的延伸二元数值之间的至少一第一相位，以及信息通过所述延伸图传递于变数的二元数值与延伸同位检查的第二相位。

附图说明

图1显示非二元低密度同位检查码范例的二分图；

图2显示迭代信息传递解码过程中外在资讯原则的示意图；

图3显示二分图中循环的范例；

图4A及4B分别显示非二元码的二分图以及对应其二元影像的二分图；

图5显示二元码范例、其二元影像、以及其延伸二元影像分别的同位矩阵；

图6显示根据本发明的一实施例中利用延伸二元表示用于非二元码的解码方法的示意图。

图7表示相关于非二元码的延伸二元表示并允许根据图6的方法进行解码的二分图的第一范例。

图8表示相关于相同的非二元码的延伸二元表示并允许根据图6的方法进行解码的二分图的第二范例。

具体实施方式

我们再次认为定义于字母上的A的非二元错误更正码、大小为q的场、并且可通过具有N变数及M限制的二分图表示。我们将假设其后的此更正码为非二元低密度同位检查码，且不失去主要的部份。

通过定义，非二元码被定义为一组在从A画出它们的数值的N未知(或变数)中的M线性方程式(或限制)。其被假设q＝2^p，再次不失去主要的部份。各个编码符号可以接着由二元数值p的向量而被找出，也就是说

的元素，感谢向量空间同构(3)。向量或二元数值的p-元组(tuple)，给予非二元字母的符号的二元表示。在线性方程式的范围内，从A通过属于L的系数，符号的乘法可与F₂-自同态在A上被辨认出，以符合惯例(4)。这个L的系数及因此A上F₂-自同态可通过具有维数p×p与来自F₂的系数的矩阵而被概括表示。

本发明基于的主要想法为利用A的符号的延伸二元表示与A上的F₂-自同态。通过场A的元素的延伸二元表示，利用一定大于p位元的数量

(通常大于log₂(q))，我们通常意味着此元素的多余的二元表示。

此延伸二元表示的各个

位元系为有利于作为于F₂中具有系数的二元表现的P  元数值的线性组合的表现。举例来说，来自A的符号X可通过于二元表示中的(x₀，x₁，...，x_p-1)及通过延伸二元表示中的(a₁，a₁，...，a_q-1)而被表示，与：

$a_i=\underset{j=0}{\overset{p-1}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i^j{x}_j,s_i^j\∈F_2---\left(13\right)$

其中

i＝1，...，q-1叙述p位元的q-1种可能的组合(排除零组合的q组合)。在此情形中，我们具有

关系(Relation)(13)也可以矩阵形式表现：

(a₁，a₁，...，a_q-1)＝(x₀，x₁，...，x_p-1)S_p    (14)

其中S_p为大小p×(q-1)的矩阵，它的列为p位元的q-1种可能组合。换句话说，S_p系为编码(a₁，a₁，...，a_q-1)的生成矩阵(generating matrix)。

A的任何延伸二元表示以典型方式引发了A上的自同态的延伸二元表示。事实上，使维数

的向量u_e作为元素X∈A的延伸二元表示，然后

系为也具有延伸二元表示v_e的A的一个元素。自同态

可因此通过大小为

的二元矩阵而表示。

具有M限制及N变数的非二元码可接着通过维数为

的延伸二元矩阵而被描述。

我们将认为非二元码的延伸二元表示，其中A为大小为q＝2^p的一组，并且因而与

同构。非二元码通过矩阵H∈M_M，N(L)而被定义，它的元素h_m，n∈L在A上为自同态：

$\begin{array}{c}C=\mathrm{Ker}\left(H\right)\⋐A^N\\ =\left\{(X_1,...,X_N)\right|\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{m,n}{X}_n=0,\∀m=1,...,M\}\end{array}---\left(15\right)$

出现于(15)中的各个M方程式各对应至一个限制(也就是至非二元变数X_n中的线性方程式)。矩阵H系为非二元码C的「同位矩阵」。

以同构(6)的角度而言，使h∈L及m_h ∈M_p(F₂)为其二元影像。

具体而言，假如p＝3且假如h在A上为自同态，对于各个元素X，其创造对应的元素3X，h的二元影像可被写为，如同我们已在上述看到关于表达式(11)及(12)：

$m_h=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)---\left(16\right)$

回到一般情形下，并考虑整数模数(integers modulo)q的套组Z_q＝{0，1，...，q-1}，矩阵m_h∈M_p(F₂)在Z_q上引发自同态φ_h：

其中η为双射，其将整数z＝b₀+b₁2¹+b₂2²+...+b_p-12^p-1与各个p-元组(b₀，b₁，...，b_p-1)联合在一起。相反地，η^-1与Z_q中的各个整数联合在一起，其于p位元上的二元分解(binary decomposition)。

在

上的位元异或逻辑运算(XOR)操作，提供了向量F₂-空间结构给Z_q。操作∧在Z_q上被定义，其通过：

i∧j＝η(η^-1(i)XORη^-1(j))(18)

φ_h接着确认特性：

φ_h(i∧j)＝φ_h(i)∧φ_h(j)， $\∀i,j\∈Z_q---\left(19\right)$

大小为(q-1)×(q-1)的矩阵M_h∈M_q-1(F₂)并定义，其通过：

$M_h(i,j)=\left\{\begin{array}{c}1,\mathrm{ifj}={\mathrm{\φ}}_h\left(i\right)\\ 0,\mathrm{otherwise}\end{array}\right.,\∀i,j\∈Z_q^{*}---\left(20\right)$

其中

这表示不是呼吁Z_q的零元素，因为我们具有平凡地φ_h(0)＝0。

矩阵M_h被称为与自同态h∈L相关联的「延伸二元矩阵」。在前述的定义中，可注意的是套组

仅用以与整数(i，j)∈Z_q×Z_q一起编矩阵M_h∈M_q-1(F₂)的行与列的索引，而非与来自字母A的符号。

可注意的是，假如h∈L为不可逆的自同态(或等同地，假如m_h∈M_p(F₂)为不可逆的矩阵)，那么φ_h在Z_q上引发排列(permutation)并且因此M_h便为排列矩阵(permutation matrix)，每个行或每个列皆只含有单一个的「1」。

我们将在前述范例A＝F₈、h＝3∈L的框架范围内，阐明延伸二元矩阵的结构回想其二元影像为：

$m_h=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

m_h的行分别定义为φ(1)、φ(2)及φ(4)。因此φ(1)＝5，整数的二元分解对应至m_h的第一排。同样地，我们有φ(2)＝7及φ(4)＝6。

利用(19)，我们推导出索引A的Z₈的其他元素的数值：

φ(3)＝φ(1)∧φ(2)＝2

φ(5)＝φ(1)∧φ(4)＝3

φ(6)＝φ(2)∧φ(4)＝1

φ(7)＝φ(1)∧φ(2)∧φ(4)＝4             (21)

最后，与h相关联的延伸二元矩阵M_h如下式给出：

$M_h=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right)---\left(22\right)$

因此，我们继续为各个M×N系数(也就是为各个自同态)h_m，n∈L。通过(20)定义的相关联延伸二元矩阵M_h∈M_q-1(F₂)置换H∈M_M，N(L)的各个元素h_m，n而得的矩阵，系为表示为

的矩阵，其称为与非二元码C的同位矩阵H相关联的延伸二元矩阵。

二元码被称为与非二元码

相关联的延伸二元码。

图5给了如前所述建构的同位矩阵H、其二元影像H_bin、及其延伸二元影像

的一个范例。为简化起见，只有非零数值已被显示于后者的影像中。

同位矩阵H系为一个定义于F₈上非二元低密度同位检查码的同位矩阵，具有N＝6变数以及M＝3检查。

其二元影像H_bin系为基于3×3的初等矩阵(elementary matrix)建构的大小为9×18的矩阵，各个初等矩阵对应至F₈上的自同态H的系数，并且给其一个二元表示(binary representation)(按照(6))。各个矩阵在行与列的数量对应于二元权重(binary weight)2⁰，2¹，2²的意义上而被「加权」。

延伸二元影像系为基于7×7的初等矩阵建构的大小为21×42的矩阵，各个初等矩阵也对应至F₈上的自同态矩阵H的系数，并且给其一个延伸二元表示(按照(20))。不同于二元影像，在此初等矩阵的行与列并无「加权」，但皆对应到F₈的元素(排除零元素)。

可注意的是，矩阵

不是非常密集。在此情况下，散布在42中的每排只包含四个非零(「1」)数值。因此，相较于二元影像H_bin，与此矩阵相关联的图形显著地显示了较少的循环。

非二元码C的文字可以利用A的元素的延伸二元表示而表现。事实上，使

作为非二元码的文字。

我们表示

为X_n的二元影像以及

为其延伸二元影像，通过(14)获得，也就是：

(a_n，1，a_n，2，...，a_n，q-1)＝(x_n，0，x_n，1，...，x_n，p-1)S_p    (23)

接着 $(a_{\mathrm{1,1}}{a}_{\mathrm{1,2}},...,a_{1,q-1},...,a_{N,1},a_{N,2},...,a_{N,q-1})\∈{\stackrel{\‾}{C}}_{\mathrm{bin}}\⋐F_2^{N(q-1)}.$ 接下来，我们将通过S_p表示二元码，其产生矩阵(generating matrix)为S_p。

相反地，使二元序列：

$(a_{\mathrm{1,1}}{a}_{\mathrm{1,2}},...,a_{1,q-1},...,a_{N,1}{,a}_{N,2},...,a_{N,q-1})\∈{\stackrel{\‾}{C}}_{\mathrm{bin}}\⋐F_2^{N(q-1)}---\left(24\right)$

为这样的 $\∀n\∈\{1,...,N\},$ $(a_{n,1},a_{n,2},...,a_{n,q-1})\∈S_q\⋐F_2^{q-1},$ 换句话说，使得：使得(a_n，1，a_n，2，...，a_n，q-1)＝(x_n，0，x_n，1，...，x_n，p-1)S_p

使X_n∈A，作为其二元影像为

的符号。接着

为非二元码文字以及

为X_n的延伸二元影像，对于所有n∈{1，...，N}。因此，使非二元码文字(X₁，...，X_N)∈C与其延伸二元影像 $(a_{\mathrm{1,1}},a_{\mathrm{1,2}},...,a_{1,q-1},...,a_{N,1},a_{N,2},...,a_{N,q-1})\∈{\stackrel{\‾}{C}}_{\mathrm{bin}}$ 相关联的应用在上为C的同构，其中

为产生于N个副本的S_p的向量空间。

以下我们将提供非二元码的二元表示的一个简单的范例。使非二元码通过单一同位方程式(single parity equation)(7)在A＝F₈上被定义。我们有p＝3及q＝8。矩阵S₃被定义：

$S_3=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\end{array}\right)---\left(25\right)$

A中的元素X的延伸二元表示(a₁，a₂，...，a₇)可以通过(a₁，a₂，...，a₇)＝(x₀，x₁，x₂)S₃的手段自其二元表示(x₀，x₁，x₂)而取得，或更进一步：

a₁＝x₀，a₂＝x₁，a₃＝x₀+x₁，a₄＝x₂，a₅＝x₀+x₂，a₆＝x₁+x₂，a₇＝x₀+x₁+x₂

(26)

其将被理解变数a₁，a₂，...，a₇代表二元数值x₀，x₁，x₂的可能线性F₂-组合。

Y的延伸二元表示(b₁，b₂，...，b₇)及Z的延伸二元表示(c₁，c₂，...，c₇)可以相同方式而取得，也就是(b₁，b₂，...，b₇)＝(y₀，y₁，y₂)S₃及(c₁，c₂，...，c₇)＝(z₀，z₁，z₂)S₃。

方程式(10)的系统可接着被改写为以下形式：

$\left\{\begin{array}{c}(x_0+x_2)+y_1+{(z}_1+z_2)=0\\ (x_0+x_1+x_2)+(y_1+y_2)+{(z}_0+z_1)=0\\ (x_1+x_2)+{(y}_0+y_2)+{(z}_0+z_1+z_2)=0\end{array}\right.---\left(27\right)$

或同等地，通过请求延伸二元表示：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_5+b_2+c_6=0\\ a_7+b_6+c_5=0\\ a_6+b_5+c_7=0\end{array}\right.---\left(28\right)$

其提供矩阵形式：

$\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right.|\begin{array}{ccccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\end{array}|\left.\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)u=0---\left(29\right)$

其中

这矩阵包含3个初等矩阵，皆对应至F₈(非线性编码的系数)上的自同态且三行对应至系统(28)的三个方程式。

可被注意的是，前述的矩阵并未对于X，Y，Z的延伸二元表示的某些位元定义任何同位检查。为了使各个21位元a₁，..，a₇，b₁，..，b₇，c₁，..，c₇皆参与在同位检查中，额外的行被加到此可从已存在的行的线性组合中推断出的矩阵中。因此，举例来说，通过增加矩阵(29)的前两行，或是通过等效地添加系统(28)的前二个方程式，我们得到：

(a₅+a₇)+(b₂+b₆)+(c₅+c₆)＝0         (30)

其中鉴于a₅+a₇＝x₀+x₂+x₀+x₁+x₂＝x₁＝a₂、b₂+b₆＝b₄及c₅+c₆＝c₃，可被改写作为矩阵的第3行：

a₂+b₄+c₃＝0        (31)

相似地，通过增加第1与第4行，我们得到第5行：

a₃+b₇+c₁＝0        (32)

通过增加第2与第4行，我们得到第6行

a₁+b₃+c₂＝0        (33)

以及最后，通过增加第1、第2与第4行，我们得到第7行：

a₄+b₁+c₄＝0        (34)

最终，因此完成的矩阵为延伸二元矩阵

莫属：

${\stackrel{\‾}{H}}_{\mathrm{bin}}=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right.|\begin{array}{ccccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}0|\left.\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right)---\left(35\right)$

与此同位矩阵相关联的二分图并不包含任何循环，各个位元a_i、b_i或c_i只出现在单一同位检查中。通常，延伸二元矩阵

包含范围只限于非二元矩阵H本身包含某些的循环：出现在

中的循环事实上是通过已出现在H中的循环而被引发。

在给予非二元码的延伸二元表示后，以下我们将根据实施此表示的发明，揭露解码方法。

根据本发明的一实施例，图6以流程图来作为用于非二元码的解码方法的表示示意图。

如前，我们认为非二元错误更正码C可通过二分图G来表示，通过一组N变数X₁，...，X_N而被定义的编码自非二元字母A画它们的数值，以及通过由L中的系数所组成的限制矩阵H的手段，一组M限制线性依赖于所述变数。我们表示q＝Card(A)及p为最小的整数，使得p≥log₂(q)，换句话说p为允许A的符号的二元表示的位元中最小的数字。

变数X₁，...，X_N的数值在步骤610被考虑在内。这些数值可以自发射器(transmitter)通过通信通道(communication channel)被接收或是自记录媒体(recording medium)被读取。更明确地，各个变数X_n通过p个二元数值x_n，0，x_n，1，...，x_n，p而被表示，其中x_n，0为最低有效位元(LSB)且x_n，p为最高有效位元(MSB)。以已知的方式，这些二元数值可为本质上的硬或软。相似地，各个非二元限制Y_m对应于p个同位检查y_m，0，y_m，1，...，y_m，p，其必须通过二元数值x_n，0，x_n，1，...，x_n，p而被确认。

此外，限制矩阵H对解码器为已知。

在步骤620，对于各个变数X_n，通过显著线性组合的复数个

与来自其二元数值x_n，0，x_n，1，...，x_n，p的F₂的系数的手段，产生X_n的延伸二元表示使得

数值

被称为X_n的延伸二元表示的二元数值，更简单地，X_n的延伸二元数值。这是可能以此方式产生至q-1个延伸二元数值。

在步骤630，延伸同位矩阵

被计算，基于不同变数X₁，...，X_N的延伸二元数值，使其可能获得与各个限制(非二元)相关联的同位检查。因此，所获得的检查被称为延伸同位检查。

在步骤640，有利地但非必要地通过增加额外的行，完成同位矩阵

所述额外的行系通过已存在的行的显著线性组合的手段利用F₂中的系数而获得，排除零组合。其也可能增加至q-p-1个额外的行，以获得每个限制总共q-1个行，因此矩阵的每个行完成与延伸同位检查相关联，也就是应用于变数的延伸二元数值。

更一般地说，在每个限制中可以自

个显著线性组合中取得一个同位矩阵利用F₂中的系数，它们每一个皆为已存在的行的组合，(排除零组合)。这些组合不需要包含部分已存在的行，或甚至全部。

在步骤650，通过连接变数的延伸二元数值至检查的延伸二元数值的二分图G的手段，执行迭代信息传递解码过程。在变数顶点与检查顶点之间交换的信息可以为概率、对数相似度比(LLRs)、或简单地二元数值。信息可用本质上已知的方式，利用「和-积(sum-product)」或「最小-和(min-sum)」形式的演算法，或甚至它们的更正后变体「常态化最小-和(normalizedmin-sum)」、「自我更正最小-和(self-corrected min-sum)」。举例来说，上述前两种形式的叙述可在较早前引用的N.Wiberg的论文中找到。对于「常态化最小-和」变体，可以特别参照J.Chen et al标题为「接近最佳化通用信任传播为基础的低密度同位检查码的解码」的论文(IEEE Trans.on Comm.，50(3)，pages 406-414，2002)。对于「自我更正最小-和」变体，可以参照V.Savin标题为「低密度同位检查码的自我更正最小-和」的论文(IEEE Int.Symp.onInformation Theory(ISIT)，Toronto，Canada，2008)。

持续迭代解码直到截止标准(cutoff criterion)被确认(已确认同位检查、达到迭代的最大数量、对数相似度比的绝对值超过阈值等)。

在步骤660，各个变数的二元数值终于自其延伸二元数值而被决定，因而获得。

图7显示与非二元码C的延伸二元表示相关联并允许根据图6的方法进行解码的二分图的一个范例。

所显示的范例为通过在(1)中所给的同位矩阵H定义于字母A＝F₈上的非二元码。在此我们有q＝8及p＝3、N＝6及M＝3。变数以X₁，X₂，...，X₆表示，且限制以Y₁，Y₂，Y₃表示。每个变数为F₈的一个元素。

各个变数X_n  皆通过其二元影像而表示，也就是三个二元数值(x_n，0，x_n，1，x_n，2)。各个限制Y_m皆通过其二元影像而表示，也就是三个延伸同位检查(y_m，0，y_m，1，y_m，2)。

在显示的范例中，变数的表示已经被延伸至位元的最大数量，也就是q-1＝7个位元(换句话说，

)相似地，限制的表现已经被延伸至延伸检查的最大数量。变数X_n的延伸二元表示因此被记载为：(a_n，1，a_n，2，...，a_n，7)并且Y_m的延伸二元表示被记载为(b_m，1，b_m，2，...，b_m，7)。

以以下方式获得延伸表示：

对于变数X_n

a_n，1＝x_n，0

a_n，2＝x_n，1

a_n，3＝x_n，0+x_n，1

a_n，4＝x_n，2

a_n，5＝x_n，0+x_n，2

a_n，6＝x_n，1+x_n，2

a_n，7＝x_n，0+x_n，1+x_n，2           (36)

因此，我们看到变数的延伸二元表示的各个位元以其二元数值的组合被表现。

对于限制Y_m

b_m，1＝y_m，0

b_m，2＝y_m，1

b_m，3＝y_m，0+y_m，1

b_m，4＝y_m，2

b_m，5＝y_m，0+y_m，2

b_m，6＝y_m，1+y_m，2

b_m，7＝y_m，0+y_m，1+y_m，2          (37)

我们看到各个延伸同位检查以此限制的二元影像的同位检查的线性组合被表现。

其行对应至延伸同位检查b_j，m的矩阵的大小为M(q-1)×N(q-1)，也就是说21×42。这个矩阵列于图5中。

在图7的图形中，变数被显示为六角形，变数的延伸二元数值为圆形，以及延伸同位检查为方形。

只有对应于检查Y₁的图形部分已经被显示，以免有过多的图。当然，表现限制Y₂及Y₃的延伸二元检查也被连接至变数顶点的延伸二元数值，但对应的边缘并未显示。

用以初始解码的变数的初始数值(initial values)以灰色显示。更特别地，二元数值x_n，0，x_n，1，x_n，2被用以分别初始延伸二元数值a_n，1，a_n，2，a_n，4。其他延伸二元数值可以被视为擦除(erasures)，也就是视为未知(举例来说概率等于0.5，或对数相似度比值等于0)。根据一变体，利用上述方程式(36)，其他延伸二元数值也被初始。

迭代信息传递解码后，已解码的变数X₁，X₂，...，X₆的二元数值：

$x_{n,i}=a_{n,2^i}---\left(38\right)$

换句话说，我们已经简单地以镜射初始化步骤的方式，自延伸二元数值回复二元数值。

其将被了解变数的延伸二元表示并不一定包括这些变数的二元数值的所有线性F₂-组合。相似地，限制的延伸二元表示并不一定包括与这些限制相关联的同位检查的所有线性F₂-组合。

无论如何，为了变数及/或

同位方程式，延伸超过

二元数值的表示的使用，使其可能获得具有低密度与显示较小数量的循环的二分图的矩阵。一般而言，其将被注意矩阵

的同位方程式的数量

可与

不同。

在前述的实施例中，变数顶点710(非二元符号)及720(二元符号)只在初始相(initialization phase)期间以及在解码值回复相(decoded valuesrecovery phase)期间、在迭代解码过程结束时传递信息。

可以使用作为优势的事实为延伸二元数值a_n，1，a_n，2，...，a_n，q-1形成了S_p的编码文字，或当延伸二元数值的数字确认

时(在此情况下只有a_n，1，a_n，2，...，a_n，q-1的

个数值a_n，i被考虑在内)，形成缩写编码文字。

根据第一实施例的第一变体，我们定期检查，或达到满意的标准后，延伸二元数值确实确认编码限制(code constraints)(例如a_n，1+a_n，2＝a_n，3)。如果情况并非如此，根据一定的测量(汉明测量(Hamming metric)，举例而言)或在等效的概率意义上，我们可以在S_p中搜寻最接近a_n，1，a_n，2，...，a_n，q-1的编码文字其归结到在最大相似度的标准下对编码文字解码。文字a_n，1，a_n，2，...，a_n，q-1接着被所替换并且继续迭代解码。当被视为缩写编码S_p时，这个变体也找到应用，限制接着将延伸二元数值a_n，1，a_n，2，...，a_n，q-1.应用于

的子套组。

根据第二变体，我们利用应用于延伸二元变数(a_n，1，a_n，2，...，a_n，q-1被要求作为编码S_p中的文字)的限制也应用在信息的事实，也就是说应用在这些二元数值传递至检查顶点的外在资讯。在讯息回圈(ML)意义上被更正的信息接着被决定以满足这些限制，并且这些已更正的信息为了迭代解码中的以下步骤，而被用于上述信息的地方。在此，涉及一个后验更正(posterioricorrection)。当一个缩写编码被考虑时，结论仍然是有效的。

根据第三变体，我们利用应用于延伸二元变数(a_n，1，a_n，2，...，a_n，q-1被要求作为编码S_p中的文字)的限制也应用在通过它们接收的信息的事实，换句话说通过检查顶点传递给它们的内在资讯。接着收到的信息如前在讯息回圈(ML)意义上被更正已满足这些限制，并且被用以判定要传递至检查顶点的信息。当一个缩写编码被考虑时，结论仍然是有效的。

在全部这些变体中，其被了解变数顶点(通过六角形表示)随后可以被解读为额外的限制(缩写编码S_p的确认与否)。

图8显示相同非二元码的二分图的另一范例。

与各个变数的二元数值相关联的顶点已经被标示810。标示820与840分别相同于图7的标示720与740。

连接二元数值及变数的延伸二元数值的图形被指定为815。此图形代表使能够自第一传递至第二的线性组合。接下来，图形815将被称为延伸图800的辅助图。

迭代解码步骤包含信息通过辅助图815传递于二元数值与变数的延伸二元数值之间的至少第一相位，以及信息通过图形800传递于变数的延伸二元数值与延伸检查之间的第二相位。

因此，我们有三层的信息传递循环(message passing cycle)(810-＞820-＞840-＞820-＞810)。

其他信息传递策略可在不脱离本发明的范畴的情形下，被此技术领域具通常知识者构思。

Claims (10)

1.一种非二元码的解码方法，其特征在于，特别是非二元低密度同位检查码，可通过具有N变数顶点及M限制顶点的二分图代表，所述变数自非二元字母A画出其数值并通过限制矩阵(H)的手段而被线型限制，各个变数通过复数p个二元数值而被表示，其中：

复数

个二元数值，其称为延伸二元数值，对于各个变数而被产生(620)，通过线性结合

以及来自所述p个二元数值的F₂的系数被获得，排除所述零组合；

计算同位矩阵(630)，称为所述延伸同位矩阵，表示所述变数的所述延伸二元数值上同位检查，称为延伸同位检查，所述延伸同位检查系通过于所述变数上的所述限制而被引发；

使用第二二分图(700，800)执行迭代信息传递解码过程(650)，称为延伸图形，表示所述延伸同位矩阵并且将所述延伸同位检查与所述变数的所述延伸二元数值连接；

由其延伸二元数值决定各个变数的二元数值(660)，于所述迭代解码过程的所述结论获得。

2.如权利要求1所述的解码方法，其特征在于，其中字母A系由q＝2^p元素及所组成。

3.如权利要求1或2所述的解码方法，其特征在于，其中所述同位矩阵通过增加额外的行而完成(630)，通过显著线性组合的手段得到所述额外的行，以来自存在的行的F₂的系数，排除所述零组合，因此所述矩阵的各个行完成定义延伸同位检查，接着所述延伸图形将所述变数的所述套延伸二元数值与矩阵

的所述套延伸同位检查连接因此完成。

4.如权利要求2及3所述的解码方法，其特征在于，其中加入的额外的行的数量系为q-p-1。

5.如前述权利要求任一项所述的解码方法，其特征在于，其中各个变数的所述延伸二元数值的至少部分系利用其本身的二元数值而初始。

6.如前述权利要求任一项所述的解码方法，其特征在于，其中对于所述迭代解码过程的至少一迭代，各个变数的所述延伸二元数值进行最大相似度解码以获得确认通过所述个线性组合引发的一套限制的估计延伸二元数值，所述延伸二元数值被替换，对各个变数，通过所述估计延伸二元数值为了继续所述迭代解码过程的目的。

7.如权利要求1至5任一项所述的解码方法，其特征在于，其中对于所述迭代解码过程的至少一迭代，通过各个变数的所述延伸二元数值传递的信息于所述最大相似度的意义上被更正以确认通过所述

个线性组合引发的一套限制，并且所述传递信息被置换，对于各个变数，与所述已更正传递信息为了继续所述迭代解码过程的目的。

8.如权利要求第1至5项的任一项所述的解码方法，其特征在于，其中对于所述迭代解码过程的至少一迭代，通过各个变数的所述延伸二元数值接收的所述信息于所述最大相似度的意义上被更正以确认通过所述

个线性组合引发的一套限制，并且所述已接收信息被置换，对于各个变数，通过所述已更正信息为了继续所述迭代解码过程的目的。

9.如前述权利要求任一项所述的解码方法，其特征在于，其额外使用辅助图(815)将所述二元数值与所述变数的所述延伸二元数值连接，所述辅助图表示允许后者从前者而被产生的所述线性组合。

10.如权利要求9所述的解码方法，其特征在于，其中所述迭代解码步骤包含信息通过所述辅助图(815)传递于所述二元数值及所述变数的所述延伸二元数值的至少第一相位，以及信息通过所述延伸图(800)传递于所述变数的所述二元数值及所述延伸同位检查的第二相位。

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