CN102571342A - 一种rsa算法数字签名方法 - Google Patents

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Abstract

本发明设计一种RSA算法数字签名方法，基于1024位的硬件协处理器实现1408位的RSA私钥运算技术，主要应用于智能卡安全计算领域，是利用小位长的模乘器计算大位长的RSA私钥运算中的参数，例如利用1024位的模乘器计算1408位或者2048位RSA私钥运算中的参数。RSA的私钥运算利用中国剩余定理，可以将其主要运算——模幂运算的运算长度降低，但是其中关键参数的运算，例如：C mod P、C mod Q和乘法运算。其中C表示明文，长度是P和Q的两倍。而乘法运算是利用模乘器进行了加速，其最终结果也超出了模乘器的运算能力。技术中主要是利用模运算算法变形，将C拆分成两个小位长的数，计算C mod P；通过四次乘法运算计算大于模乘器长度的乘法运算。

Description

一种RSA算法数字签名方法
技术领域：
本发明主要应用于智能卡安全计算领域。
背景技术：
RSA私钥运算主要涉及到两个关键技术：
1.使用蒙哥马利模乘算法：
记蒙哥马利模乘为MonMul(a，b，m)，则：
MonMul(a，b，m)＝a*b*R-1mod m，其中a，b，m的位长为L，R＝2L，R-1满足R-1*R modm＝1，mod为取模运算。
2.使用中国剩余定理进行加速：
记RSA私钥运算的输入数据为C，RSA的私钥参数为p，q，d和n，其中p和q的位长为L/2，d和n的位长为L，则RSA私钥运算Cd mod n，通过中国剩余定义可以转化为关于p和q的模幂运算，提高运行速度。以下是使用中国剩余定理进行RSA私钥运算的简要说明，本发明主要是对其中的参数Cp和Cq计算方法的改进。
准备：计算参数dp＝d mod(p-1)，dq＝d mod(q-1)和qInv，qInv满足qInv*q modp＝1。当RSA体系中的密钥固定时，这些参数可以作为常数预先计算出来，不必在每次进行RSA私钥运算时进行计算，因此计算上述参数不占用RSA私钥运算的时间，只是为了叙述方便，在这里简单介绍上述参数的来由。
1.计算Cp和Cq，Cp＝C mod p，Cq＝C mod q，其中C为RSA私钥运算的输入数据。
2.计算Mp和Mq，其中Mp＝Cpdp mod p，Mq＝Cpdq mod q
3.计算Mpq，Mpq＝(Mp-Mq)*qInv mod p
4.计算Res＝Mpq*q+Mq。
在步骤1中的取模运算中，由于软件取模函数计算效率低下，所以一般情况下使用硬件蒙哥马利模乘计算器计算。但是在实际应用中，上述中国剩余定理的计算过程中，步骤2和3中使用L/2位长的蒙哥马利模乘器可以满足需求，而在步骤1和4中，需使用L位长的硬件蒙哥马利模乘器。
发明内容：
本发明在步骤1和步骤4中使用L/2位长的蒙哥马利模乘器进行计算，因此可以在只需RSA私钥运算的芯片中采用小位长的模乘器，实现大于模乘器位长的公钥运算，以这种方式运算，对硬件的要求就减少一半位数，不考虑其他资源，小位长硬件协处理器可支持大于模乘器位长的私钥运算，同时，增添的软件开销也可以在应用接受的范围内。从而降低芯片成本，或者使用现有的有限资源应对市场变化，有助于产品快速上市。
步骤1中计算C mod P时使用以下方法：
1.将C分为等长度的两个部分，记CH为高L/2部分，CL为低L/2部分，这样，L长度的C被拆分为两个L/2长度的数据，并且C＝CH＜＜L/2+CL，其中“＜＜”为向左平移操作。
2.进一步分析CH＜＜L/2，L/2长度的CH向左平移L/2后，还是L长度，超出了蒙哥马利模乘器计算长度，因此此处还需要将转换，其实，CH＜＜L/2＝CH*2L/2。我们可以看到这里的2L/2是L/2位长的蒙哥马利模乘算法中的常数R。
3.那么C mod P可表示为(CH*R+CL)mod P，将括号展开后，可得到CH*R mod P+CL mod P。其中CL和P的长度一样，其取模操作可以用减法实现，记为CLP。
4.由于MonMul(a，b，m)＝a*b*R-1mod m，那么只需计算MonMul(CH，R2，p)，就可以得到CH*R mod P，也即CH＜＜L/2mod P，记为CHP。
5.最后计算CHP+CLP即所需的C mod P，用同样的方法，计算C mod Q。
步骤4中使用蒙哥马利算法计算乘法，由于最终结果是L长度，因此需要将Mpq和q的高位补“0”填充至L长，然后使用L位长的蒙哥马利模乘器计算乘法，此时，MonMul(a，b，m)中m＝2L-1，长度为L。改进的方法如下：
1.将Mpq和Q作为a*b的输入数据，将L/2位长的a和b拆分为等长度的两部分，其中aH表示a的高L/4部分，aL表示a的低L/4部分，bH表示b的高L/4部分，bL表示b的低L/4部分。
2.将aL用“0”填充至L/2长，记为aL0，将bL用“0”填充至L/2长，记为bL0，其实aL＝aL0，bL＝bL0。记L/2长的0xFF为m，用蒙哥马利模乘器计算MonMul(aL0，bL0，m)＝aL0*bL0*R-1 mod m，由于m为2L-1，那么R-1＝1，实际上，aL0*bL0*R-1mod m＝aL*bL。
3.用同样的步骤计算aH*bL，bH*aL，bH*aH，最后计算aLbL+aHbL＜＜(L/4)+bHaL＜＜(L/2)+bHaH＜＜(3L/4)，即可得到a*b。
附图说明：
图1是计算C mod P的改进方法示意图。
图2是使用小位长蒙哥马利模乘器计算L位长的乘法的示意图。
具体实施方式
使用本发明可以使L/2位长的模乘器计算L位长的RSA私钥运算，以便降低芯片成本，或者利用有限资源满足市场的变化，有助于产品的快速开发和上市。当需要使用小位长的模乘器来实现大位长的RSA私钥运算时可以采用本算法。具体步骤如下：
计算C mod P时使用以下方法：
1.将C分为等长度的两个部分，记CH为高L/2部分，CL为低L/2部分，这样，L长度的C被拆分为两个L/2长度的数据，并且C＝CH＜＜L/2+CL，其中“＜＜”为向左平移操作。
2.进一步分析CH＜＜L/2，L/2长度的CH向左平移L/2后，还是L长度，超出了蒙哥马利模乘器计算长度，因此此处还需要将转换，其实，CH＜＜L/2＝CH*2L/2。我们可以看到这里的2L/2是L/2位长的蒙哥马利模乘算法中的常数R。
3.那么C mod P可表示为(CH*R+CL)mod P，将括号展开后，可得到CH*R mod P+CL mod P。其中CL和P的长度一样，其取模操作可以用减法实现，记为CLP。
4.由于MonMul(a，b，m)＝a*b*R-1mod m，那么只需计算MonMul(CH，R2，p)，就可以得到CH*R mod P，也即CH＜＜L/2mod P，记为CHP。
5.最后计算CHP+CLP即所需的C mod P，用同样的方法，计算C mod Q。
步骤4中使用蒙哥马利算法计算乘法，由于最终结果是L长度，因此需要将Mpq和q的高位补“0”填充至L长，然后使用L位长的蒙哥马利模乘器计算乘法，此时，MonMul(a，b，m)中m＝2L-1，长度为L。改进的方法如下：
1.将Mpq和Q作为a*b的输入数据，将L/2位长的a和b拆分为等长度的两部分，其中aH表示a的高L/4部分，aL表示a的低L/4部分，bH表示b的高L/4部分，bL表示b的低L/4部分。
2.将aL用“0”填充至L/2长，记为aL0，将bL用“0”填充至L/2长，记为bL0，其实aL＝aL0，bL＝bL0。记L/2长的0xFF为m，用蒙哥马利模乘器计算MonMul(aL0，bL0，m)＝aL0*bL0*R-1mod m，由于m为2L-1，那么R-1＝1，实际上，aL0*bL0*R-1mod m＝aL*bL。
3.用同样的步骤计算aH*bL，bH*aL，bH*aH，最后计算aLbL+aHbL＜＜(L/4)+bHaL＜＜(L/2)+bHaH＜＜(3L/4)，即可得到a*b。

Claims (1)

1.一种RSA算法数字签名方法，其特征在于步骤如下：
(1)计算Cp和Cq，其中Cp＝C mod P，Cq＝C mod Q，C为RSA私钥运算的输入数据；P，Q，d和n为RSA的私钥参数，P和Q的位长为L/2，d和n的位长为L，mod为取模运算；
(2)将C分为等长度的两个部分，记CH为高L/2部分，CL为低L/2部分，并且C＝CH＜＜L/2+CL，其中“＜＜”为向左平移操作；CH＜＜L/2＝CH*2L/2，记R＝2L/2；
(3)C mod P＝(CH*R+CL)mod P，将括号展开后，得到CH*R mod P+CL modP，其中CL和P的长度一样，取模操作用减法实现，记为CLP；
(4)计算MonMul(CH，R2，P)，得到CH*R mod P，即CH＜＜L/2mod P，记为CHP；
(5)最后计算CHP+CLP得到C mod P，用同样的方法，计算C mod Q；
(6)计算Mp和Mq，其中Mp＝Cpdp mod P，Mq＝Cpdq mod Q；
(7)计算Mpq，Mpq＝(Mp-Mq)*qInv mod Q；
(8)计算Res＝Mpq*Q+Mq；将Mpq和Q的高位补“0”填充至L长，使用L位长的蒙哥马利模乘器计算乘法，将Mpq和Q作为a*b的输入数据，将L/2位长的a和b拆分为等长度的两部分，其中aH表示a的高L/4部分，aL表示a的低L/4部分，bH表示b的高L/4部分，bL表示b的低L/4部分；
(9)将aL用“0”填充至L/2长，记为aL0，将bL用“0”填充至L/2长，记为bL0，记L/2长的0xFF为m，用蒙哥马利模乘器计算MonMul(aL0，bL0，m)＝aL0*bL0*R-1 mod m；
(10)用同样的步骤计算aH*bL，bH*aL，bH*aH，最后计算aLbL+aHbL＜＜(L/4)+bHaL＜＜(L/2)+bHaH＜＜(3L/4)，即可得到a*b。
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