CN101470598A - 提高大整数Montgomery模乘运算速度的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明为一种提高大整数Montgomery模乘运算速度的方法，其包括的步骤为：步骤a：将两个大整数乘数X、Y分别拆分为高数位Xha＝X/r，Yhb＝Y/rn－，和低数位Xla＝X mod r，Y1b＝Y mod rn－；步骤b：并行计算XhaYhb，XhaY1br－nmod M，X1aYhbr－mod M，XlaYlbr－nmod M；步骤c：计算(XhaYhb+XhaY1br－nmodM+XlaYhbr－mod M+X1aY1br－nmod M)mod M的值，得到最终结果；其中M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数。
Description
技术领域
本发明涉及的是一种加密算法，特别涉及的是一种提高大整数Montgomery模乘运算速度的方法。
背景技术
随着Internet的迅猛发展，网络安全问题显得越来越重要，相关网络安全协议应运而生，而这些协议又是以高效安全的加密算法为前提的。
加密算法分为对称加密算法和非对称加密算法。在网络上进行数据传输时，通常使用对称加密算法加密所要传输的数据，而用非对称加密算法加密密钥。
就非对称加密算法来说，目前RSA与ECC的应用比较普及。RSA与大素数域上的ECC的底层运算都离不开大整数模乘运算，大整数模乘运算的速度直接决定了RSA与ECC加密算法的速度。
在目前的所有有效的大整数模乘算法中，Montgomery算法在大多数环境下被认为是最为高效的。而在具体以字为单位实现Montgomery算法的方法中，CIOS(Coarsely Integrated Operand Scanning)算法复杂度最低。现将此算法描述如下：
假设Montgomery算法的参数为(M，M′[0]，r，n，X，Y)，M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数的字个数。M′[0]＝M-1[0]mod r。X，Y为要计算Montgomery模乘的乘数。CIOS算法如下：
for i＝0 to n-1{
C＝0；
for j＝0 to n -1{
(C，S)＝T[j]+Xha[j]*Ylb[i]+C；
}
(C，S)＝T[n]+C；
T[n]＝S；
T[n+1]＝C；
C＝0；
m＝T[0]*M′[0]mod r；
(C，S)＝T[0]+m*M′[0]
for j＝1 to n -1{
(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；
T[j-1]＝S；
}
(C，S)＝T[n]+C；
T[n-1]＝S；
T[n]＝T[n+1]+C；
}
在大整数运算中，关键运算为乘法运算，加法运算时间都可忽略不计，上述CIOS中乘法的次数为2n2+n。如何减少乘法运算的次数，成为改进MontgomeryCIOS算法的关键。
一些学者注意到了这一点，文章《Dual-Residue Montgomery Multiplication》也阐述了一种提高速度的方案，该文章的主要创新点如下：
为了提高运算速度，他将乘数中的一个拆分为高低项之和，Y＝YHra+YL，然后并行计算XYHr-b mod M，XYLr-n mod M的值。
因为b<n所以XYHr-b mod M通过CIOS算法比原来的运算量小，而XYLr-nmod M中的YL的字数比原来少，而两项的计算又是并行的，所以运算速度比原来得到提高。
但是该文章中仅对一个乘数进行了拆分，XYLr-nmod M的计算中乘法的运算量在取
时约为6n2/4+n。
鉴于上述问题，本发明创作者经过长时间的研究和试验，在此算法的基础上获得一种提高大整数运算速度的方法。
发明内容
本发明的目的在于，提供一种提高大整数Montgomery模乘运算速度的方法，用以克服上述缺陷。
为实现上述目的，本发明采用的技术方案在于，提供一种提高大整数Montgomery模乘运算速度的方法，其包括的步骤为：
步骤a：将两个大整数乘数X、Y分别拆分为高数位
和低数位
步骤b：并行计算
，
，XlaYlbr-n modM；
步骤c：计算
的值，得到最终结果；
其中M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数。
其中，所述步骤b中计算
的步骤为：
步骤b11：取i＝0；
步骤b12：令C＝0，从j＝0到
依次计算(C，S)＝T[j]+Xha[j]*Ylb[i]+C；T[j]＝S；从
到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+C；T[j]＝S；
步骤b13：令(C，S)＝T[n]+C；T[n]＝S；T[n+1]＝C；C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b14：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b15：令(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b16：如果
返回T[0]...T[n-1]；否则令i＝i+1，执行上述步骤b12；
其中，i、j、C为变量，M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数，M′[0]＝M-1[0]mod r。
其中，所述步骤b中计算
的步骤为：
步骤b21：令i＝0；
步骤b22：令C＝0，从j＝0到依次计算(C，S)＝T[j]+Xha[j]*Ylb[i]+C；T[j]＝S；从
到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+C；T[j]＝S；
步骤b23：令(C，S)＝T[n]+C；T[n]＝S；T[n+1]＝C；C＝0；m＝T[0]*M′[0]modr；
步骤b24：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b25：令(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b26：如果
返回T[0]..T[n-1]；否则令i＝i+1，执行上述步骤b22；
其中，i、j、C为变量，M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数，M′[0]＝M-1[0]mod r。
其中，所述步骤b中计算XlaYlbr-n mod M的步骤为：
步骤b31：令i＝0；
步骤b32：令C＝0，从j＝0到依次计算(C，S)＝T[j]+Xha[j]*Ylb[i]+C；T[j]＝S；
从
到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+C；T[j]＝S；
步骤b33：令(C，S)＝T[n]+C；T[n]＝S；T[n+1]＝C；C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b34：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b35：(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b36：如果
则i＝i+1，执行上述步骤b32；
步骤b37：令
步骤b38：令C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b39：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b3A：(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b3B：如果i<n-1，则令i＝i+1并执行上述步骤b38；否则返回T[0]...T[n-1]；
其中，i、j、C为变量，M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数，M′[0]＝M-1[0]mod r。
与现有技术相比本发明的优点在于，首先其是针对Montgomery算法本身的改进；其次在n充分大时，本发明比Montgomery CIOS实现节省约的时间37.5％，比《Dual-Residue Montgomery Multiplication》中的对偶剩余算法的还要快，该算法约节省时间25％。
具体实施方式
申请人认为具体实施方式里，阐述的比较清楚不需要在配合附图进行说明，对本发明上述的和另外的技术特征和优点下边将作更详细的说明。
本发明的提高大整数Montgomery模乘运算速度的方法的流程，其是以Montgomery算法为基础的，利用对偶剩余原理，将两个乘数分别拆分为高低项之和，然后并行计算拆分后的Montgomery模乘，从而使得大整数模乘速度提高0.6倍。其包括的步骤为：
步骤a：将两个大整数乘数X、Y分别拆分为高数位
和低数位
步骤b：并行计算
，
，XlaYlbr-nmodM；
步骤c：计算
的值，得到最终结果；
其中M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数。
其中，所述步骤b中计算的步骤为：
步骤b11：取i＝0；
步骤b12：令C＝0，从j＝0到
依次计算(C，S)＝T[j]+Xha[j]*Ylb[i]+C；T[j]＝S；从
到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+C；T[j]＝S；
步骤b13：令(C，S)＝T]n]+C；T[n]＝S；T[n+1]＝C；C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b14：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b15：令(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b16：如果
，返回T[0]...T[n-1]；否则令i＝i+1，执行上述步骤b12；
其中，i、j、C为变量，M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数，M′[0]＝M-1[0]mod r。
其中，所述步骤b中计算
的步骤为：
步骤b21：令i＝0；
步骤b22：令C＝0，从j＝0到
依次计算(C，S)＝T[j]+Xha[j]*Ylb[i]+C；T[j]＝S；从到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+C；T[j]＝S；
步骤b23：令(C，S)＝T[n]+C；T[n]＝S；T[n+1]＝C；C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b24：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b25：令(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b26：如果
返回T[0]...T[n-1]；否则令i＝i+1，执行上述步骤b22；
其中，i、j、C为变量，M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数，M′[0]＝M-1[0]mod r。
其中，所述步骤b中计算XlaYlbr-n mod M的步骤为：
步骤b31：令i＝0；
步骤b32：令C＝0，从j＝0到
依次计算(C，S)＝T[j]+Xha[j]*Ylb[i]+C；T[j]＝S；
从
到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+C；T[j]＝S；
步骤b33：令(C，S)＝T[n]+C；T[n]＝S；T[n+1]＝C；C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b34：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b35：(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b36：如果
则i＝i+1，执行上述步骤b32；
步骤b37：令
步骤b38：令C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b39：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b3A：(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b3B：如果i<n-1，则令i＝i+1并执行上述步骤b38；否则返回T[o]...T[n-1]；
其中，i、j、C为变量，M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数，M′[0]＝M-1[0]mod r。
以16进制表示如下：
M：6C7511628CC295716464B4F4D98AB347C452724FF9B5A55FB
F792769BEC2A64AA187B72835E72610A8679317B867061131
F583F34943021745C1F45A7EF5066D13E6241DBCF3307A82A
605E653891
M′[0]：25758871
r：232
n：32
X：6C7511628CC295716464B4F4D98AB347C452724FF9B5A55FB
F792769BEC2A64AA187B72835E72610A8679317B867061131
F583F34943021745C1F45A7EF1043D24E7341BBBF12019287
5012613337
Y：6C7511628CC295716464B4F4D98AB347C452724FF9B5A55FB
F792769BEC2A64AA187B72835E72610A8679317B867061131
F583F34943021745C1F45A7EF2734B6597211CCEF15015253
E012E11732
按照上述方法，首先对X，Y进行拆分，然后并行计算，最后进行模加运算，即可得到最终结果。
以上所述仅为本发明的较佳实施例，对本发明而言仅仅是说明性的，而非限制性的。本专业技术人员理解，在本发明权利要求所限定的精神和范围内可对其进行许多改变，修改，甚至等效，但都将落入本发明的保护范围内。
Claims (4)
1、一种提高大整数Montgomery模乘运算速度的方法，其特征在于，其包括的步骤为：
步骤a：将两个大整数乘数X、Y分别拆分为高数位 
和低数位
步骤b：并行计算XhaYhb，
XlaYlbr-n modM；
步骤c：计算
的值，得到最终结果；
其中M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数。
2、根据权利要求1所述的提高大整数Montgomery模乘运算速度的方法，其特征在于，所述步骤b中计算
mod M的步骤为：
步骤b11：取i＝0；
步骤b12：令C＝0，从j＝0到
依次计算(C，S)＝T[j]+Xha[j]*Ylb[i]+C；T[j]＝S；从
到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+C；T[j]＝S；
步骤b13：令(C，S)＝T[n]+C；T[n]＝S；T[n+1]＝C；C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b14：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b15：令(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b16：如果
返回T[0]...T[n-1]；否则令i＝i+1，执行上述步骤b12；
其中，i、j、C为变量，M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数，M′[0]＝M-1[0]mod r。
3、根据权利要求1所述的提高大整数Montgomery模乘运算速度的方法，其特征在于，所述步骤b中计算
的步骤为：
步骤b21：令i＝0；
步骤b22：令C＝0，从j＝0到依次计算(C，S)＝T[j]+Xha[j]*Ylb[i]+C；T[j]＝S；从
到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+C；T[j]＝S；
步骤b23：令(C，S)＝T[n]+C；T[n]＝S；T[n+1]＝C；C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b24：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b25：令(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b26：如果返回T[0]...T[n-1]；否则令i＝i+1，执行上述步骤b22；
其中，i、j、C为变量，M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数，M′[0]＝M-1[0]mod r。
4、根据权利要求1所述的提高大整数Montgomery模乘运算速度的方法，其特征在于，所述步骤b中计算XlaYlbr-nmod M的步骤为：
步骤b31：令i＝0；
步骤b32：令C＝0，从j＝0到
依次计算(C，S)＝T[j]+Xha[j]*Ylb[i]+C；T[j]＝S；
从
到j＝n-1；依次计算(C，S)＝T[j]+C；T[j]＝S；
步骤b33：令(C，S)＝T[n]+C；T[n]＝S；T[n+1]＝C；C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b34：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b35：(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b36：如果则i＝i+1，执行上述步骤b32；
步骤b37：令
步骤b38：令C＝0；m＝T[0]*M′[0]mod r；
步骤b39：令(C，S)＝T[0]+m*M′[0]，从j＝1到j＝n-1依次计算(C，S)＝T[j]+m*M[j]+C；T[j-1]＝S；
步骤b3A：(C，S)＝T[n]+C；T[n-1]＝S；T[n]＝T[n+1]+C；
步骤b3B：如果i<n-1，则令i＝i+1并执行上述步骤b38；否则返回T[0]...T[n-1]；
其中，i、j、C为变量，M为大整数，r＝2w为最小字处理单元，n为大整数M的字个数，M′[0]＝M-1[0]mod r。
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| C06 | Publication | ||
| PB01 | Publication | ||
| C10 | Entry into substantive examination | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| C12 | Rejection of a patent application after its publication | ||
| RJ01 | Rejection of invention patent application after publication |
Open date: 20090701 |