CN102564653A - 高地应力地区存在岩芯饼化现象时测量地应力的方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于原岩地应力测量技术领域，特别涉及一种对高地应力地区地应力的测量方法。其技术方案是：一种高地应力地区存在岩芯饼化现象时测量地应力的方法，包括以下步骤：a、原岩岩饼取样；b、确定每个岩饼三个主应力的方向；c、做岩石的巴西圆盘劈裂试验，确定每个岩饼的岩石抗拉强度S_t；d、确定每个岩饼三个主应力的大小；e、对各块岩饼确定出的地应力大小数据取算术平均值，作为该地区地应力大小的数值。本发明可以解决岩饼持续出现时传统地应力测量方法(主要是应力解除法)不能测定原岩地应力的问题，经实际使用验证，使用本发明确定出三维原岩地应力大小和方向结果可靠，并具有简便、实用和科学的优点。

Description

高地应力地区存在岩芯饼化现象时测量地应力的方法

技术领域

本发明属于原岩地应力测量技术领域，特别涉及一种对高地应力地区地应力的测量方法。

背景技术

目前，越来越多的地下工程向深部发展，高地应力下岩芯饼化现象时地应力的测量是一个尚未解决的难题。在高地应力条件下，工程设计和建设更加需要准确快速测量工程区的原岩三维地应力，而当钻孔过程中出现岩芯饼化现象时，传统的地应力测量方法(主要是应力解除法)难以实施。《水利水电工程岩石试验规程SL264-2001》(中国水利电力出版社，2001)8.1.1、8.2.1、8.3.1明确提出“应力解除法适用于完整和较完整岩体，其测段内及测段附近岩性应均一完整”。《岩石工程试验监测手册》(中国建筑工业出版社，2005)3.9.2.2、3.9.3.2、3.9.4.2直接指出“应力解除法在破碎岩体、薄层或出现饼状岩芯处不宜采用”。同时，传统测量方法，不论是应力解除法，还是水压致裂法，都需要来回的下钻、穿线等繁琐测量工序和笨重的测量设备，有的方法需要多个不同方向的钻孔；其结果更依赖于传感器、解调仪等大量电子仪器，在地下工程恶劣的测量环境下仪器误差和可靠性都较难控制。

发明内容

本发明的目的是：提供一种简便、实用、科学、可靠的地应力测量方法。

本发明的技术方案是：一种高地应力地区存在岩芯饼化现象时测量地应力的方法，包括以下步骤：

a、原岩岩饼取样

取2倍洞径以外典型的原岩岩饼至少3块，要求各岩饼的孔深相差在1m以内，岩饼形态类似，记录每个岩饼发生处的埋深和孔深；

b、确定每个岩饼三个主应力的方向

b1、设：岩石在力学上是均匀且各向同性的；岩饼表面和岩芯根部的平均赝轴拉应力σ_sz方向近似垂直，其方位角和最小主应力σ₃一致；

b2、建立X-Y-Z坐标系：钻孔钻进方向为Z轴，最大主应力σ₁在Z轴法平面上的投影为X轴，由右手准则确定Y轴；地磁北极到Y轴的夹角为θ₀，三维地应力在三个坐标轴上的分量分别为σ_x、σ_y、σ_z；

b3、建立岩饼外沿高度曲线z和σ₁、σ₂、σ₃三个主应力方向的数学模型设σ₂为中间主应力；

b3.1当σ₃＝σ_z和σ₁＞σ₂时，岩饼外沿的高度曲线z由下式给出：

z＝A_mcos²(θ-θ₀)(1)

其中Am是岩饼外沿高度变化的幅度；θ是岩饼外沿上点在X-Y平面投影的角度，以正北方向为0°，以逆时针为正；此时σ₃的方向和钻孔轴向即Z轴一致，凹、凸面轴分别与σ₁即X轴、σ₂即Y轴的方向一致，即θ₀＝θ₂；θ₂为σ₂的方位角；

b3.2当σ₃≠σ_z和σ₁＞σ₂时，岩饼形态的对称性被破坏；为描述岩饼外沿的高度，将b2步骤中建立的X-Y-Z坐标绕X轴旋转α角到X′-Y′-Z′坐标，再绕Y′轴旋转β角到X″-Y″-Z″坐标，最终坐标轴Z″和σ_sz的方向一致；这种条件下岩饼外沿的高度z在X-Y-Z坐标系中的表示由下式给出：

$z=\frac{A_m{\cos }^2(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)+R[\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)+\sin \mathrm{\β}\sin (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)]}{\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}}---\left(2\right)$

其中R是岩饼的半径；设：φ_sz为σ_sz的倾角，θ₃为最小主应力σ₃的方位角，也是σ_sz的方位角，则θ₀＝θ₂仍然成立，各个角度之间有如下关系：

$\tan ({\mathrm{\θ}}_3-{\mathrm{\θ}}_0)=\frac{\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}---\left(3\right)$

cosφ_sz＝cosαcosβ(4)

${\tan \mathrm{\φ}}_2=\frac{1}{{\tan \mathrm{\φ}}_3\cos ({\mathrm{\θ}}_3-{\mathrm{\θ}}_0)}---\left(5\right)$

φs_z＝58.8ξ-151.3ξ²+141.2ξ³(6)

${\mathrm{\φ}}_3=\frac{{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{sz}}}{0.142+0.296\mathrm{\ξ}}---\left(7\right)$

其中φ₂、φ₃分别是σ₂、σ₃的倾角；θ₁、φ₁分别是σ₁的方位角、倾角；ξ是中间变量，其定义为：

ξ＝(σ_z-σ₃)/σ_m    (8)

其中 ${\mathrm{\σ}}_m=\frac{1}{3}({\mathrm{\σ}}_x+{\mathrm{\σ}}_y+{\mathrm{\σ}}_z)=\frac{1}{3}({\mathrm{\σ}}_1+{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3),$ 是平均主应力；

根据三个主应力相互垂直的理论要求，当σ₂、σ₃的方向确定后，σ₁的方向也随之确定；

b4.测量岩饼外沿高度曲线

以正北方向为0°，以逆时针为正，记录岩饼外沿各点的高度z和角度θ，画出z-θ高度曲线；

b5.根据z-θ高度曲线和以下判据确定三个主应力的方向：

b5.1如果α＝β＝0，且A_m＝0，即岩饼形态呈轴对称，则σ₃的方向和钻孔轴向平行，且σ₁＝σ₂；

b5.2如果α＝β＝0，且A_m≠0，即岩饼形态呈单个平面对称，则σ₃的方向和钻孔轴向平行，σ₁、σ₂的方向垂直于钻孔轴向；利用计算机函数曲线拟合程序找出相应的参数θ₀，确定σ₁、σ₂的方位角；

b5.3如果α、β有一个不为零或者都不为零，且A_m≤0.01，即岩饼形态呈单个平面对称，z-θ高度曲线显示的周期近似为360°，则利用计算机函数曲线拟合程序找出最佳的α、β、θ₀，再利用公式(3)、(4)、(6)、(7)求出θ₃、φ₂、φ₃，确定相应的θ₁、φ₁，从而确定出三个主应力的方向；

b5.4如果α、β有一个不为零或者都不为零，且A_m≠0，即岩饼形态呈单个平面对称，高度曲线显示的周期近似为180°，则利用计算机函数曲线拟合程序找出最佳的Am、α、β、θ₀，再利用公式(3)、(4)、(6)、(7)求出θ₃、φ₂、φ₃，确定相应的θ₁、φ₁，从而确定出三个主应力的方向；

c、做岩石的巴西圆盘劈裂试验，确定每个岩饼的岩石抗拉强度S_t；

d、确定每个岩饼三个主应力的大小

根据三个主应力的方向确定真实的X-Y-Z坐标系，求出三个主应力在X-Y-Z坐标系下的方向余弦l_i＝cosθ_icosφ_i，m_i＝sinθ_icosφ_i，n_i＝sinφ_i，其中下标i＝1，2，3；σ_x、σ_y、σ_z在坐标系X-Y-Z下可由σ₁、σ₂、σ₃来表示如下：

${\mathrm{\σ}}_x=l_1^2{\mathrm{\σ}}_1+l_2^2{\mathrm{\σ}}_2+l_3^2{\mathrm{\σ}}_3---\left(9\right)$

${\mathrm{\σ}}_y=m_1^2{\mathrm{\σ}}_1+m_2^2{\mathrm{\σ}}_2+m_3^2{\mathrm{\σ}}_3---\left(10\right)$

${\mathrm{\σ}}_z=n_1^2{\mathrm{\σ}}_1+n_2^2{\mathrm{\σ}}_2+n_3^2{\mathrm{\σ}}_3---\left(11\right)$

当岩芯根部区域两个的赝轴拉应力等值面在岩心轴线附近交于一点时，可能产生岩饼，此时岩芯根部的最大平均赝轴拉应力就是临界拉应力σ_tc，临界拉应力和岩饼产生时岩芯所受三维应力状态的关系为：

$\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{tc}}}{{\mathrm{\σ}}_m}=-A+B\frac{{\mathrm{\σ}}_x}{{\mathrm{\σ}}_m}-C{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_x}{{\mathrm{\σ}}_m}\right)}^2-D\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_x-{\mathrm{\σ}}_y}{{\mathrm{\σ}}_m}\right)---\left(12\right)$

其中A、B、C、D是岩芯的临界拉应力系数；只有当临界拉应力达到岩石的抗拉强度S_t时，即：

σ_tc＝S_t    (13)

岩饼才能产生；设岩饼产生后孔底残留的根部岩芯——即岩台的长度是L，岩饼的半径是R，L和岩饼厚度t有如下关系：

$\frac{L}{R}=\frac{t/R}{1+0.00261{(t/R)}^{-4.37}}-0.0716---\left(14\right)$

对于确定的岩饼厚度t，L一定，进而根据实验室岩石力学数据绘制的岩台长度曲线图，确定岩芯的临界拉应力系数——公式(12)中的A、B、C、D四个系数，结合步骤c中测得的岩石抗拉强度S_t和公式(12)，得到σ_x、σ_y、σ_z的一个等式(13)；

X-Y-Z坐标系确定后，可算出垂直朝上方向在此坐标系中的方向余弦l_v、m_v、n_v，对于岩石埋深一定，垂直应力可估算为：σ_v＝ρgh，其中ρ是岩石的天然密度，g是重力加速度，h是岩饼发生处的埋深；此时垂直应力σ_v可用σ₁、σ₂、σ₃表示为：

σ_v＝(l₁l_v+m₁m_v+n₁n_v)²σ₁+(l₂l_v+m₂m_v+n₂n_v)²σ₂+(l₃l_v+m₃m_v+n₃n_v)²σ₃(15)由公式(8)、(9)(10)、(11)、(13)、(15)算出三个主应力σ₁、σ₂、σ₃的大小。

e、对各块岩饼确定出的地应力大小数据取算术平均值，作为该地区地应力大小的数值。

本发明可以解决岩饼持续出现时传统地应力测量方法(主要是应力解除法)不能测定原岩地应力的问题，经实际使用验证，使用本发明确定出三维原岩地应力大小和方向结果可靠，并具有简便、实用和科学的优点。

附图说明

附图1为本发明b3.1步骤中有关坐标和角度示意图；

附图2为本发明b3.2步骤中有关坐标和角度示意图；

附图3本发明d步骤中所使用的临界拉应力系数——岩台长度曲线图，引自《第八届国际岩石力学大会深部岩体地应力测量研究分会论文集》1995年(19-24页)中Haimson.B等人发表的《Estimating deep in situ stresses from borehole breakout and coredisking——experimental results in granite》(从钻孔崩落和岩饼现象估计深部原岩应力——花岗岩的实验结果分析)，《国际岩石力学与采矿科学杂志》2003年第40期(653-665页)Kaga.N等发表的《The in situ states associated with core disking estimated by analysis ofprincipal tensile stress》(通过岩饼的主拉应力估计原岩地应力状态)；

附图4为本发明实施例2中岩饼1的z-θ高度曲线和拟合曲线；

附图5为本发明实施例2中岩饼2的z-θ高度曲线和拟合曲线；

附图6为本发明实施例2中岩饼3的z-θ高度曲线和拟合曲线。

具体实施方式

实施例1：参见附图1，2，3，一种高地应力地区存在岩芯饼化现象时测量地应力的方法，包括以下步骤：

a、原岩岩饼取样

取2倍洞径以外典型的原岩岩饼至少3块，要求各岩饼的孔深相差在1m以内，岩饼形态类似，记录每个岩饼发生处的埋深和孔深；

b、确定每个岩饼三个主应力的方向

b1、设：岩石在力学上是均匀且各向同性的；岩饼表面和岩芯根部的平均赝轴拉应力σ_sz方向近似垂直，其方位角和最小主应力σ₃一致；

b2、建立X-Y-Z坐标系：钻孔钻进方向为Z轴，最大主应力σ₁在Z轴法平面上的投影为X轴，由右手准则确定Y轴；地磁北极到Y轴的夹角为θ₀，三维地应力在三个坐标轴上的分量分别为σ_x、σ_y、σ_z；

b3、建立岩饼外沿高度曲线z和σ₁、σ₂、σ₃三个主应力方向的数学模型设σ₂为中间主应力；

b3.1当σ₃＝σ_z和σ₁＞σ₂时，岩饼外沿的高度曲线z由下式给出：

z＝A_mcos²(θ-θ₀)(1)

其中A_m是岩饼外沿高度变化的幅度；θ是岩饼外沿上点在X-Y平面投影的角度，以正北方向为0°，以逆时针为正；此时σ₃的方向和钻孔轴向即Z轴一致，凹、凸面轴分别与σ₁即X轴、σ₂即Y轴的方向一致，即θ₀＝θ₂；θ₂为σ₂的方位角；

b3.2当σ₃≠σ_z和σ₁＞σ₂时，岩饼形态的对称性被破坏；为描述岩饼外沿的高度，将b2步骤中建立的X-Y-Z坐标绕X轴旋转α角到X′-Y′-Z′坐标，再绕Y′轴旋转β角到X″-Y″-Z″坐标，最终坐标轴Z″和σ_sz的方向一致；这种条件下岩饼外沿的高度z在X-Y-Z坐标系中的表示由下式给出：

$z=\frac{A_m{\cos }^2(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)+R[\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)+\sin \mathrm{\β}\sin (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)]}{\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}}---\left(2\right)$

其中R是岩饼的半径；设：φ_sz为σ_sz的倾角，θ₃为最小主应力σ₃的方位角，也是σ_sz的方位角，则θ₀＝θ₂仍然成立，各个角度之间有如下关系：

$\tan ({\mathrm{\θ}}_3-{\mathrm{\θ}}_0)=\frac{\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}---\left(3\right)$

cosφ_sz＝cosαcosβ(4)

${\tan \mathrm{\φ}}_2=\frac{1}{{\tan \mathrm{\φ}}_3\cos ({\mathrm{\θ}}_3-{\mathrm{\θ}}_0)}---\left(5\right)$

φ_sz＝58.8ξ-151.3ξ²+141.2ξ³(6)

${\mathrm{\φ}}_3=\frac{{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{sz}}}{0.142+0.296\mathrm{\ξ}}---\left(7\right)$

其中φ₂、φ₃分别是σ₂、σ₃的倾角；θ₁、φ₁分别是σ₁的方位角、倾角；ξ是中间变量，其定义为：

ξ＝(σ_z-σ₃)/σ_m    (8)

其中 ${\mathrm{\σ}}_m=\frac{1}{3}({\mathrm{\σ}}_x+{\mathrm{\σ}}_y+{\mathrm{\σ}}_z)=\frac{1}{3}({\mathrm{\σ}}_1+{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3),$ 是平均主应力；

根据三个主应力相互垂直的理论要求，当σ₂、σ₃的方向确定后，σ₁的方向也随之确定；

b4.测量岩饼外沿高度曲线

以正北方向为0°，以逆时针为正，记录岩饼外沿各点的高度z和角度θ，画出z-θ高度曲线；

b5.根据z-θ高度曲线和以下判据确定三个主应力的方向：

b5.1如果α＝β＝0，且A_m＝0，即岩饼形态呈轴对称，则σ₃的方向和钻孔轴向平行，且σ₁＝σ₂；

b5.2如果α＝β＝0，且A_m≠0，即岩饼形态呈单个平面对称，则σ₃的方向和钻孔轴向平行，σ₁、σ₂的方向垂直于钻孔轴向；利用计算机函数曲线拟合程序找出相应的参数θ₀，确定σ₁、σ₂的方位角；

b5.3如果α、β有一个不为零或者都不为零，且A_m≤0.01，即岩饼形态呈单个平面对称，z-θ高度曲线显示的周期近似为360°，则利用计算机函数曲线拟合程序找出最佳的α、β、θ₀，再利用公式(3)、(4)、(6)、(7)求出θ₃、φ₂、φ₃，确定相应的θ₁、φ₁，从而确定出三个主应力的方向；

b5.4如果α、β有一个不为零或者都不为零，且A_m≠0，即岩饼形态呈单个平面对称，高度曲线显示的周期近似为180°，则利用计算机函数曲线拟合程序找出最佳的A_mα、β、θ₀，再利用公式(3)、(4)、(6)、(7)求出θ₃、φ₂、φ₃，确定相应的θ₁、φ₁，从而确定出三个主应力的方向；

c、做岩石的巴西圆盘劈裂试验，确定每个岩饼的岩石抗拉强度S_t；

d、确定每个岩饼三个主应力的大小

根据三个主应力的方向确定真实的X-Y-Z坐标系，求出三个主应力在X-Y-Z坐标系下的方向余弦l_i＝cosθ_icosφ_i，m_i＝sinφ_icosφ_i，n_i＝sinφ_i，其中下标i＝1，2，3；σ_x、σ_y、σ_z在坐标系X-Y-Z下可由σ₁、σ₂、σ₃来表示如下：

${\mathrm{\σ}}_x=l_1^2{\mathrm{\σ}}_1+l_2^2{\mathrm{\σ}}_2+l_3^2{\mathrm{\σ}}_3---\left(9\right)$

${\mathrm{\σ}}_y=m_1^2{\mathrm{\σ}}_1+m_2^2{\mathrm{\σ}}_2+m_3^2{\mathrm{\σ}}_3---\left(10\right)$

${\mathrm{\σ}}_z=n_1^2{\mathrm{\σ}}_1+n_2^2{\mathrm{\σ}}_2+n_3^2{\mathrm{\σ}}_3---\left(11\right)$

当岩芯根部区域两个的赝轴拉应力等值面在岩心轴线附近交于一点时，可能产生岩饼，此时岩芯根部的最大平均赝轴拉应力就是临界拉应力σ_tc，临界拉应力和岩饼产生时岩芯所受三维应力状态的关系为：

$\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{tc}}}{{\mathrm{\σ}}_m}=-A+B\frac{{\mathrm{\σ}}_x}{{\mathrm{\σ}}_m}-C{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_x}{{\mathrm{\σ}}_m}\right)}^2-D\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_x-{\mathrm{\σ}}_y}{{\mathrm{\σ}}_m}\right)---\left(12\right)$

其中A、B、C、D是岩芯的临界拉应力系数；只有当临界拉应力达到岩石的抗拉强度S_t时，即：

σ_tc＝S_t    (13)

岩饼才能产生；设岩饼产生后孔底残留的根部岩芯——即岩台的长度是L，岩饼的半径是R，L和岩饼厚度t有如下关系：

$\frac{L}{R}=\frac{t/R}{1+0.00261{(t/R)}^{-4.37}}-0.0716---\left(14\right)$

对于确定的岩饼厚度t，L一定，进而根据实验室岩石力学数据绘制的岩台长度曲线图，确定岩芯的临界拉应力系数——公式(12)中的A、B、C、D四个系数，结合步骤c中测得的岩石抗拉强度S_t和公式(12)，得到σ_x、σ_y、σ_z的一个等式(13)；

X-Y-Z坐标系确定后，可算出垂直朝上方向在此坐标系中的方向余弦l_v、m_v、n_v，对于岩石埋深一定，垂直应力可估算为：σ_v＝ρgh，其中ρ是岩石的天然密度，g是重力加速度，h是岩饼发生处的埋深；此时垂直应力σ_v可用σ₁、σ₂、σ₃表示为：

σ_v＝(l₁l_v+m₁m_v+n₁n_v)²σ₁+(l₂l_v+m₂m_v+n₂n_v)²σ₂+(l₃l_v+m₃m_v+n₃n_v)²σ₃(15)由公式(8)、(9)(10)、(11)、(13)、(15)算出三个主应力σ₁、σ₂、σ₃的大小。

e、对各块岩饼确定出的地应力大小数据取算术平均值，作为该地区地应力大小的数值。

实施例2：参见各附图，某深埋地下工程，巷道毛跨6m，岩性为花岗岩，在孔深6.5m以后岩芯饼化严重，取孔深12m以外的典型岩饼(R＝5.4cm)，岩饼厚度平均为2.2mm，由此计算出的岩台长度L＝15.567mm，对应的临界拉应力系数为：A＝0.244，B＝0.289，C＝0.0001，D＝0.136。根据巴西圆盘试验结果，发生岩饼的岩石抗拉强度为13.5MPa；钻孔方位角为341°，倾角86°，测得岩饼1、岩饼2、岩饼3的外沿高度曲线分别如附图4、5、6所示：

根据z-θ高度曲线拟合出的计算参数如下表所示：

根据公式(3)、(4)、(5)、(6)、(7)，及三个主应力相互垂直，算出各主应力方向；再根据公式(8)、(9)(10)、(11)、(13)、(15)算出三个主应力平均值大小。

下表是同附近没有岩芯饼化处使用应力解除法测得地应力结果的对比：

注：方位角取逆时针为正。

由上表可知：本发明测出的地应力方向同应力解除法相比，倾角差别较小，最大为9°，方位角相差在7°～18°；测出的最大主应力值约大于应力解除法的值，本实例两者差值为5MPa，中间主应力和最小主应力差值在3MPa以内。这说明本发明的测量数据是可靠的。

采用本发明测量地应力时，由于捕捉到了更多的地应力信息，因而测得的地应力值更接近于原岩真实地应力值。

Claims (1)

1.一种高地应力地区存在岩芯饼化现象时测量地应力的方法，包括以下步骤：

a、原岩岩饼取样

取2倍洞径以外典型的原岩岩饼至少3块，要求各岩饼的孔深相差在1m以内，岩饼形态类似，记录每个岩饼发生处的埋深和孔深；

b、确定每个岩饼三个主应力的方向

b1、设：岩石在力学上是均匀且各向同性的；岩饼表面和岩芯根部的平均赝轴拉应力σ_sz方向近似垂直，其方位角和最小主应力σ₃一致；

b2、建立X-Y-Z坐标系：钻孔钻进方向为Z轴，最大主应力σ₁在Z轴法平面上的投影为X轴，由右手准则确定Y轴；地磁北极到Y轴的夹角为θ₀，三维地应力在三个坐标轴上的分量分别为σ_x、σ_y、σ_z；

b3、建立岩饼外沿高度曲线z和σ₁、σ₂、σ₃三个主应力方向的数学模型

设σ₂为中间主应力；

b3.1当σ₃＝σ_z和σ₁＞σ₂时，岩饼外沿的高度曲线z由下式给出：

z＝A_mcos²(θ-θ₀)(1)

其中Am是岩饼外沿高度变化的幅度；θ是岩饼外沿上点在X-Y平面投影的角度，以正北方向为0°，以逆时针为正；此时σ₃的方向和钻孔轴向即Z轴一致，凹、凸面轴分别与σ₁即X轴、σ₂即Y轴的方向一致，即θ₀＝θ₂；θ₂为σ₂的方位角；

b3.2当σ₃≠σ_z和σ₁＞σ₂时，岩饼形态的对称性被破坏；为描述岩饼外沿的高度，将b2步骤中建立的X-Y-Z坐标绕X轴旋转α角到X′-Y′-Z′坐标，再绕Y′轴旋转β角到X″-Y″-Z″坐标，最终坐标轴Z″和σ_sz的方向一致；这种条件下岩饼外沿的高度z在X-Y-Z坐标系中的表示由下式给出：

$z=\frac{A_m{\cos }^2(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)+R[\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)+\sin \mathrm{\β}\sin (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)]}{\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}}---\left(2\right)$

其中R是岩饼的半径；设：φ_sz为σ_sz的倾角，θ₃为最小主应力σ₃的方位角，也是σ_sz的方位角，则θ₀＝θ₂仍然成立，各个角度之间有如下关系：

$\tan ({\mathrm{\θ}}_3-{\mathrm{\θ}}_0)=\frac{\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}---\left(3\right)$

cosφ_sz＝cosαcosβ(4)

${\tan \mathrm{\φ}}_2=\frac{1}{{\tan \mathrm{\φ}}_3\cos ({\mathrm{\θ}}_3-{\mathrm{\θ}}_0)}---\left(5\right)$

φ_sz＝58.8ξ-151.3ξ²+141.2ξ³(6)

${\mathrm{\φ}}_3=\frac{{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{sz}}}{0.142+0.296\mathrm{\ξ}}---\left(7\right)$

其中φ₂、φ₃分别是σ₂、σ₃的倾角；θ₁、φ₁分别是σ₁的方位角、倾角；ξ是中间变量，其定义为：

ξ＝(σ_z-σ₃)/σ_m    (8)

 其中 ${\mathrm{\σ}}_m=\frac{1}{3}({\mathrm{\σ}}_x+{\mathrm{\σ}}_y+{\mathrm{\σ}}_z)=\frac{1}{3}({\mathrm{\σ}}_1+{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3),$ 是平均主应力；

根据三个主应力相互垂直的理论要求，当σ₂、σ₃的方向确定后，σ₁的方向也随之确定；

b4.测量岩饼外沿高度曲线

以正北方向为0°，以逆时针为正，记录岩饼外沿各点的高度z和角度θ，画出z-θ高度曲线；

b5.根据z-θ高度曲线和以下判据确定三个主应力的方向：

b5.1如果α＝β＝0，且A_m＝0，即岩饼形态呈轴对称，则σ₃的方向和钻孔轴向平行，且σ₁＝σ₂；

b5.2如果α＝β＝0，且A_m≠0，即岩饼形态呈单个平面对称，则σ₃的方向和钻孔轴向平行，σ₁、σ₂的方向垂直于钻孔轴向；利用计算机函数曲线拟合程序找出相应的参数θ₀，确定σ₁、σ₂的方位角；

b5.3如果α、β有一个不为零或者都不为零，且A_m≤0.01，即岩饼形态呈单个平面对称，z-θ高度曲线显示的周期近似为360°，则利用计算机函数曲线拟合程序找出最佳的α、β、θ₀，再利用公式(3)、(4)、(6)、(7)求出θ₃、φ₂、φ₃，确定相应的θ₁、φ₁，从而确定出三个主应力的方向；

b5.4如果α、β有一个不为零或者都不为零，且A_m≠0，即岩饼形态呈单个平面对称，高度曲线显示的周期近似为180°，则利用计算机函数曲线拟合程序找出最佳的A_mα、β、θ₀，再利用公式(3)、(4)、(6)、(7)求出θ₃、φ₂、φ₃，确定相应的θ₁、φ₁，从而确定出三个主应力的方向；

c、做岩石的巴西圆盘劈裂试验，确定每个岩饼的岩石抗拉强度S_t；

d、确定每个岩饼三个主应力的大小

根据三个主应力的方向确定真实的X-Y-Z坐标系，求出三个主应力在X-Y-Z坐标系下的方向余弦l_i＝cosθ_icosφ_i，m_i＝sinθ_icosφ_i，n_i＝sinφ_i，其中下标i＝1，2，3；σ_x、σ_y、σ_z在坐标系X-Y-Z下可由σ₁、σ₂、σ₃来表示如下：

${\mathrm{\σ}}_x=l_1^2{\mathrm{\σ}}_1+l_2^2{\mathrm{\σ}}_2+l_3^2{\mathrm{\σ}}_3---\left(9\right)$

${\mathrm{\σ}}_y=m_1^2{\mathrm{\σ}}_1+m_2^2{\mathrm{\σ}}_2+m_3^2{\mathrm{\σ}}_3---\left(10\right)$

${\mathrm{\σ}}_z=n_1^2{\mathrm{\σ}}_1+n_2^2{\mathrm{\σ}}_2+n_3^2{\mathrm{\σ}}_3---\left(11\right)$

当岩芯根部区域两个的赝轴拉应力等值面在岩心轴线附近交于一点时，可能产生岩饼，此时岩芯根部的最大平均赝轴拉应力就是临界拉应力σ_tc，临界拉应力和岩饼产生时岩芯所受三维应力状态的关系为：

$\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{tc}}}{{\mathrm{\σ}}_m}=-A+B\frac{{\mathrm{\σ}}_x}{{\mathrm{\σ}}_m}-C{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_x}{{\mathrm{\σ}}_m}\right)}^2-D\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_x-{\mathrm{\σ}}_y}{{\mathrm{\σ}}_m}\right)---\left(12\right)$

其中A、B、C、D是岩芯的临界拉应力系数；只有当临界拉应力达到岩石的抗拉强度S_t时，即：

σ_tc＝S_t(13)

岩饼才能产生；设岩饼产生后孔底残留的根部岩芯——即岩台的长度是L，岩饼的半径是R，L和岩饼厚度t有如下关系：

$\frac{L}{R}=\frac{t/R}{1+0.00261{(t/R)}^{-4.37}}-0.0716---\left(14\right)$

对于确定的岩饼厚度t，L一定，进而根据实验室岩石力学数据绘制的岩台长度曲线图，确定岩芯的临界拉应力系数——公式(12)中的A、B、C、D四个系数，结合步骤c中测得的岩石抗拉强度S_t和公式(12)，得到σ_x、σ_y、σ_z的一个等式(13)；

X-Y-Z坐标系确定后，可算出垂直朝上方向在此坐标系中的方向余弦l_y、m_v、n_v，对于岩石埋深一定，垂直应力可估算为：σ_v＝ρgh，其中ρ是岩石的天然密度，g是重力加速度，h是岩饼发生处的埋深；此时垂直应力σ_v可用σ₁、σ₂、σ₃表示为：

σ_v＝(l₁l_v+m₁m_v+n₁n_v)²σ₁+(l₂l_v+m₂m_v+n₂n_v)²σ₂+(l₃l_v+m₃m_v+n₃n_v)²σ₃(15)

 由公式(8)、(9)(10)、(11)、(13)、(15)算出三个主应力σ₁、σ₂、σ₃的大小。

e、对各块岩饼确定出的地应力大小数据取算术平均值，作为该地区地应力大小的数值。

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