CN102509337A - 一种在计算机中建立任意投影面的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种在计算机中建立任意投影面并求取其上投影的方法，包括以下步骤：以目标投影面的法向作为一个新的坐标轴，在投影面上任取一向量(它与法向一定是垂直的)作为另一个新的坐标轴；以上述两向量的叉积为第3向量(必定在投影面上)，作为新的第三坐标轴。则目标投影面对应于这三个新坐标轴建立的新坐标体系的一个投影面，完成了任意投影面的建立。通过坐标变化的方式，将原坐标系下点的坐标变换为新坐标系下的坐标，取出目标投影面对应坐标平面的两个坐标，完成了点在任意投影面上的投影。本发明兼顾了画法几何的投影理论与计算机技术的优势，画法几何意义明显、直观，并且适用于任意投影面的投影。

Description

一种在计算机中建立任意投影面的方法

技术领域

本发明属画法几何技术领域和计算机图形技术领域，特别是涉及一种在计算机中建立任意投影面并求取点在其上投影的方法。

背景技术

画法几何主要利用投影的原理用平面上作图的方式表示形体并解决空间几何问题，这种方法几何意义明显，直观性强，在工程上具有广泛的应用。

投影是画法几何的基础，而投影要先建立投影面。例如，在画零件图前，要确定表达方案，确定主视图的方向，然后三投影面体系就建立起来了。还可以根据求解或工程图表达的需要，建立辅助投影面或变换投影面。例如得到表达倾斜结构的斜视图等。

实现画法几何的计算机化，需要一个可以建立任意一个投影面的统一方法。

目前，画法几何投影的计算机化主要有两种方法：一是代数化方法，一般是先假设有了投影图，然后，对画法几何的作图过程解析化计算出其代数表达式。二是通过纯几何的方法。这两种推导过程是个性化的，画法几何意义不明显，失去了画法几何学的特色。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种在计算机中实现建立任意一个投影面的方法，并给出在此投影面上点的正投影的求取方法，实现画法几何投影法的计算机化。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：提供一种在计算机中建立任意投影面的方法，所述的方法以任意平面为一个新坐标平面，建立一个新的坐标系，完成任意投影面的建立；具体包括以下步骤：

(1)以目标投影面的法向作为一个新的坐标轴；

(2)在投影面上任取一向量，该向量与法向一定是垂直的；

(3)以上述两向量的叉积为第3向量，其必定在投影面上。

所述的方法设任意平面∏的法向为P₁P₂；在原坐标系xyz下，P₁、P₂的坐标分别为P₁(x₁，y₁，z₁)，P₂(x₂，y₂，z₂)。

所述的步骤(1)为构筑任意平面∏法向的单位向量(a₁b₁c₁)

a₁＝(x₂-x₁)/Db₁＝(y₂-y₁)/D    c₁＝(z₂-z₁)/D，其中

所述的步骤(2)为取与P₁P₂垂直的单位向量(a₂，b₂，c₂)，当a₁与b₁不同时为0时，取

c₂＝0.0；否则有(a₁b₁c₁)＝(001)，表示所给两点平行于z轴，此时可取：a₂＝0，b₂＝1，c₂＝0.0。

所述的步骤(3)为作第三个单位向量

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_3& b_3& c_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\end{array}\right)\×\left(\begin{array}{ccc}{a}_2& b_2& c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{c}_1& a_1\\ c_2& a_2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1{c}_2-b_2{c}_1& c_1{a}_2-c_2{a}_1& a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)$

上述以点P₁为原点，互相垂直的三个单位向量构成新坐标系x^*y^*z^*。其中，单位向量(a₂b₂c₂)和(a₃b₃c₃)构筑的坐标平面对应于目标投影面∏。

一种在计算机中建立任意投影面的方法，所述的方法以任意平面∏为一个新坐标平面，建立一个新的坐标系，完成任意投影面的建立；求点在其上投影的具体方法包括以下步骤：

(a)将点的坐标变换到新坐标系；

(b)取出与投影面对应的坐标平面上的点的两个坐标。

所述的步骤(a)为在xyz坐标系下，求任意点P(x，y，z)向投影面∏的投影的步骤为：若这个新坐标系以P₁P₂为x^*轴，则∏为x^*＝0平面，此时，构筑矩阵

$T_{\mathrm{xyz}\_x^{*}{y}^{*}{z}^{*}}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& 0\\ b_1& b_2& b_3& 0\\ c_1& c_2& c_3& 0\\ d_1& d_2& d_3& 1\end{array}\right)$

其中，向量(d₁，d₂，d₃)根据新坐标系原点通过点P₁求得：

$\left\{\begin{array}{c}{d}_1=-(a_1{x}_1+b_{1}y+c_1{z}_1)\\ d_2=-(a_2{x}_1+b_2{y}_1+c_2{z}_1)\\ d_3=-(a_3{x}_1+b_3{y}_1+c_3{z}_1)\end{array}\right.$

则

就是向新坐标系变换矩阵，且有：

$\left(\begin{array}{cccc}{X}^{*},& Y^{*}& Z^{*}& H^{*}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}x& y& z& l\end{array}\right)T_{\mathrm{xyz}\_x^{*}{y}^{*}{z}^{*}}$

同理，可求得以∏为y^*＝0平面，或以∏为z^*＝0平面的新、旧坐标系的坐标变换矩阵。

所述的步骤(b)为设点P经过步骤(a)的坐标变换得到新坐标系下的坐标为P(x^*y^*z^*)，则P向任意投影面∏的投影p^*为：若这个新坐标系以P₁P₂为x^*轴，则∏对应y^*z^*坐标平面，投影为p^*(0，y^*，z^*)；若这个新坐标系以P₁P₂为y^*轴，则∏对应z^*x^*坐标平面，投影为p^*(x^*，0，z^*)；若这个新坐标系以P₁P₂为z^*轴，则∏对应x^*y^*坐标平面，投影为p^*(x^*，y^*，0)。

有益效果

本发明提供了在计算机中建立任意投影面以及求点在其上投影的统一方法。本发明兼顾了画法几何的投影理论与计算机技术的优势，画法几何意义明显、直观，并且适用于任意投影面的投影。

附图说明

图1是本发明以投影平面为一个新坐标平面构筑新坐标系的示意图；

图2是本发明分别以投影平面的法向为新的x^*，y^*，z^*轴对应不同的坐标平面的示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施例，进一步阐述本发明。应理解，这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。此外应理解，在阅读了本发明讲授的内容之后，本领域技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定的范围。

本发明以任意平面为一个新坐标平面，建立一个新的坐标系，完成任意投影面的建立。包括以下步骤：

(1)以目标投影面的法向作为一个新的坐标轴

(2)在投影面上任取一向量(它与法向一定是垂直的)

(3)以上述两向量的叉积为第3向量(必定在投影面上)

通过以上三个步骤，互相垂直的三个向量构成新坐标系，每个坐标平面对应一个投影面。

所述的三个步骤对应的具体实施方式为：

设任意平面∏为一个坐标平面，平面∏的法向为P₁P₂，其中，在xyz坐标系下，P₁、P₂的坐标分别为P₁(x₁，y₁，z₁)，P₂(x₂，y₂，z₂)。(图1)

1)构筑任意平面∏法向的单位向量(a₁b₁c₁)

a₁＝(x₂-x₁)/Db₁＝(y₂-y₁)/D    c₁＝(z₂-z₁)/D，

2)取与P₁P₂垂直的单位向量(a₂，b₂，c₂)

当a₁与b₁不同时为0时，取 c₂＝0.0。

否则有(a₁b₁c₁)＝(001)，表示所给两点平行于z轴，此时可取：a₂＝0，b₂＝1，c₂＝0.0。

3)作第三个单位向量

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_3& b_3& c_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\end{array}\right)\×\left(\begin{array}{ccc}{a}_2& b_2& c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{c}_1& a_1\\ c_2& a_2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1{c}_2-b_2{c}_1& c_1{a}_2-c_2{a}_1& a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)$

上述以点P₁为原点，互相垂直的三个单位向量构成新坐标系x^*y^*z^*。

本发明解决点在任意投影面投影技术方案分为两个步骤：

(1)将点的坐标变换到新坐标系。

(2)取出与投影面对应的坐标平面上的点的两个坐标。

步骤(1)对应的坐标变换矩阵的求解方法如下：

在xyz坐标系下，求任意点P(x，y，z)向投影面∏的投影的步骤为：

若这个新坐标系以P₁P₂为x^*轴，则∏为x^*＝0平面(图2a)，此时，构筑矩阵：

$T_{\mathrm{xyz}\_x^{*}{y}^{*}{z}^{*}}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& 0\\ b_1& b_2& b_3& 0\\ c_1& c_2& c_3& 0\\ d_1& d_2& d_3& 1\end{array}\right)$

其中，向量(d₁，d₂，d₃)根据新坐标系原点通过点P₁求得：

$\left\{\begin{array}{c}{d}_1=-(a_1{x}_1+b_{1}y+c_1{z}_1)\\ d_2=-(a_2{x}_1+b_2{y}_1+c_2{z}_1)\\ d_3=-(a_3{x}_1+b_3{y}_1+c_3{z}_1)\end{array}\right.$

则就是向新坐标系变换矩阵，且有：

$\left(\begin{array}{cccc}{X}^{*},& Y^{*}& Z^{*}& H^{*}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}x& y& z& l\end{array}\right)T_{\mathrm{xyz}\_x^{*}{y}^{*}{z}^{*}}$

同理，可求得以∏为y^*＝0平面(图2b，此时P₁P₂为y^*轴)，或以∏为z^*＝0平面(图2c，此时P₁P₂为z^*轴)的新、旧坐标系的坐标变换矩阵。

步骤(2)取点在任意投影面的投影的技术方案如下：

设点P经过步骤一的坐标变换的到新坐标系下的坐标为P(x^*y^*z^*)，则P向任意投影面∏的投影p^*为：

若这个新坐标系以P₁P₂为x^*轴，则∏对应y^*z^*坐标平面(图2a)。此时，投影为p^*(0，y^*，z^*)；

若这个新坐标系以P₁P₂为y^*轴，则∏对应z^*x^*坐标平面(图2b)。此时，投影为p^*(x^*，0，z^*)；

若这个新坐标系以P₁P₂为z^*轴，则∏对应x^*y^*坐标平面(图2c)。此时，投影为p^*(x^*，y^*，0)。

Claims (8)

1.一种在计算机中建立任意投影面的方法，其特征在于：所述的方法以任意平面∏为一个新坐标平面，建立一个新的坐标系，完成任意投影面的建立；具体包括以下步骤：

(1)以目标投影面的法向作为一个新的坐标轴；

(2)在投影面上任取一向量，该向量与法向一定是垂直的；

(3)以上述两向量的叉积为第3向量，其必定在投影面上。

2.根据权利要求1所述的一种在计算机中建立任意投影面的方法，其特征在于：所述的任意平面∏的法向为P₁P₂；在原坐标系xyz下，P₁、P₂的坐标分别为P₁(x₁，y₁，z₁)，P₂(x₂，y₂，z₂)。

3.根据权利要求1所述的一种在计算机中建立任意投影面的方法，其特征在于：所述的步骤(1)为构筑任意平面∏法向的单位向量(a₁b₁c₁)

a₁＝(x₂-x₁)/Db₁＝(y₂-y₁)/D    c₁＝(z₂-z₁)/D，其中

4.根据权利要求1所述的一种在计算机中建立任意投影面的方法，其特征在于：所述的步骤(2)为取与P₁P₂垂直的单位向量(a₂，b₂，c₂)，当a₁与b₁不同时为0时，取

c₂＝0.0；否则有(a₁ b₁ c₁)＝(001)，表示所给两点平行于z轴，此时可取：a₂＝0，b₂＝1，c₂＝0.0。

5.根据权利要求1所述的一种在计算机中建立任意投影面的方法，其特征在于：所述的步骤(3)为作第三个单位向量

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_3& b_3& c_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\end{array}\right)\×\left(\begin{array}{ccc}{a}_2& b_2& c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{c}_1& a_1\\ c_2& a_2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1{c}_2-b_2{c}_1& c_1{a}_2-c_2{a}_1& a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)$

上述以点P₁为原点，互相垂直的三个单位向量构成新坐标系x^*y^*z^*，其中，单位向量(a₂b₂c₂)和(a₃b₃c₃)构筑的坐标平面对应于目标投影面∏。

6.一种在计算机中建立任意投影面的方法，其特征在于：所述的方法以任意平面∏为一个新坐标平面，建立一个新的坐标系，完成任意投影面的建立；求点在其上投影的具体方法包括以下步骤：

(a)将点的坐标变换到新坐标系；

(b)取出与投影面对应的坐标平面上的点的两个坐标。

7.根据权利要求6所述的一种在计算机中建立任意投影面的方法，其特征在于：所述的步骤(a)为在xyz坐标系下，求任意点P(x，y，z)向投影面∏的投影的步骤为：若这个新坐标系以P₁P₂为x^*轴，则∏为x^*＝0平面，此时，构筑矩阵

$T_{\mathrm{xyz}\_x^{*}{y}^{*}{z}^{*}}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& 0\\ b_1& b_2& b_3& 0\\ c_1& c_2& c_3& 0\\ d_1& d_2& d_3& 1\end{array}\right)$

其中，向量(d₁，d₂，d₃)根据新坐标系原点通过点P₁求得：

$\left\{\begin{array}{c}{d}_1=-(a_1{x}_1+b_{1}y+c_1{z}_1)\\ d_2=-(a_2{x}_1+b_2{y}_1+c_2{z}_1)\\ d_3=-(a_3{x}_1+b_3{y}_1+c_3{z}_1)\end{array}\right.$

则就是向新坐标系变换矩阵，且有：

$\left(\begin{array}{cccc}{X}^{*},& Y^{*}& Z^{*}& H^{*}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}x& y& z& l\end{array}\right)T_{\mathrm{xyz}\_x^{*}{y}^{*}{z}^{*}}$

同理，可求得以∏为y^*＝0平面，或以∏为z^*＝0平面的新、旧坐标系的坐标变换矩阵。

8.根据权利要求6所述的一种在计算机中建立任意投影面的方法，其特征在于：所述的步骤(b)为设点P经过步骤(a)的坐标变换得到新坐标系下的坐标为P(x^*y^*z^*)，则P向任意投影面∏的投影p^*为：若这个新坐标系以P₁P₂为x^*轴，则∏对应y^*z^*坐标平面；此时，投影为p^*(0，y^*，z^*)；若这个新坐标系以P₁P₂为y^*轴，则∏对应z^*x^*坐标平面；此时，投影为p^*(x^*，0，z^*)；若这个新坐标系以P₁P₂为z^*轴，则∏对应x^*y^*坐标平面；此时，投影为p^*(x^*，y^*，0)。

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