CN102508999A - 共面圆轨道间的小推力调相机动方法 - Google Patents

Abstract

本发明为一种共面圆轨道间的小推力调相机动方法，第一步：计算初始相位差；第二步：计算内外旋策略机动参数；第三步：确定调相机动参数；本发明以轨道平近点角描述追踪航天器和目标航天器的相位关系，得到初始相位差与推力方向等参数的关系，在此基础上根据调相任务特点，得到了两种可行的调相策略，简化了算法复杂度；然后利用轨道平均技术，建立了调相变向时间和平均半长轴满足的非线性方程组，该方法组可通过简单的Newton迭代求解，增强了算法鲁棒性，提高了设计效率。该方法提供了调相方向的快速判别方法，能够为小推力调相轨道的精确设计提供合理可行的初值猜测。

Description

共面圆轨道间的小推力调相机动方法

技术领域

本发明涉及一种共面圆轨道间的小推力调相机动方法，适用于地球卫星小推力调相轨道的初始设计，属于航天器轨道机动技术领域。 

背景技术

调相机动在空间探测任务中有着广泛的应用，是空间交会对接、地球同步卫星入轨等任务实现的必要途径。相比传统脉冲发动机，采用高效的小推力发动机实现航天器轨道调相机动可有效降低任务过程中的燃料消耗，但小推力发动机长时间作用、轨道呈非开普勒的特性也给调相机动设计带来了难题。采用传统脉冲发动机进行轨道调相机动时，只需要根据航天器当前和目标的轨道状态，在解算Lambert问题的基础上搜索调相时间便可获得最优的调相机动；而当采用小推力发动机时，其对应的调相机动设计问题是一个连续强非线性控制问题，不存在简单快速的解算方法。求解此类问题的通常作法是将其视为最优控制控制问题，采用直接法或间接法等数值解法加以解决，但在关键设计参数无预知信息的情况下，数值解法很难获得收敛。因此如何快速有效的解算出小推力调相机动关键设计参数，提高小推力调相轨道的设计效率是当前科技人员关注的热点问题之一。 

在已发展的航天器调相轨道设计方法中，在先技术[1](空间交会目标航天器相位调整策略[J].中国空间科学技术，2011，1：33-41.)，针对非固定时间脉冲调相机动设计问题，从调相的基本原理出发，分析了摄动因素对相位角的影响，在此基础上给出了调相机动的设计参数快速估计算法。然而，该方法是针对脉冲式调相轨道展开研究的，无法适用于小推力轨道。 

在先技术[2](参见Hal l C D，Collazo-Perez V.Minimum-Time Orbital Phasing Maneuvers[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2003，26(6)：934-941.)，在平面极坐标系模型下，采用庞德利亚金极大值原理，推导了协状态变量与调相机动控制参数的关系式，进一步通过归一化处理，将终端轨道状态约束简化成简单的三角函数形式，并对归结的非线性参数优化问题采用数值打靶法进行求解。该方法能够应用于时间最省小推力调相轨道机动的设计问题，但由于采用了数值打靶解法，算法的收敛性受制于初值猜测的准确与否，鲁棒性较差，仅适用于推力较大的情况。并且当需要调整的相角差为180度左右时，该方法由于无法预判调相方向(前向或后向)，很容易陷入局部极小，导致求解失败。 

发明内容

本发明针对目前的设计方法无法对小推力调相轨道进行快速设计、无法预判调相方向等问题，给出了一种共面圆轨道间的小推力调相机动方法，该方法适用于共面圆轨道间的小推力调相问题。 

首先以轨道根数动力学模型为基础，给出了推力方向对航天器相位影响规律；然后，运用轨道平均法推导了调相时间的解析表达式，并给出了初始相位差与调相时间的对应关系，提供了调相方向的判定方法，提高了调相机动的设计效率。 

该共面圆轨道间的小推力调相机动方法，包括以下步骤： 

第一步：计算初始相位差；在任务起始t₀时刻，追踪航天器A的平近点角为M_A(t₀)，目标航天器B的平近点角为M_B(t₀)，则初始相位差为 

ΔM(t₀)＝M_B(t₀)-M_A(t₀) 

第二步：分别计算内外旋策略计算参数；首先建立外旋策略中变向时间和平均轨道半长轴满足的非线性方程组 

$f_1=(\stackrel{\‾}{a},t_m)=t_m-\frac{3\mathrm{\ΔM}\left(t_0\right)\stackrel{\‾}{a}}{u_{\mathrm{\θ}}}=0$

$f_2(\stackrel{\‾}{a},t_m)=\stackrel{\‾}{a}-a\left(t_0\right)-\frac{{\stackrel{\‾}{a}}^{3/2}}{\sqrt{\mathrm{\μ}}}{u}_{\mathrm{\θ}}{t}_m=0$

采用Newton迭代对方程组进行求解，迭代公式为 

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{a}}^{k+1}\\ t_m^{k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{a}}^k\\ t_m^k\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂f_1^k}{\∂{\stackrel{\‾}{a}}^k}& \frac{\∂f_1^k}{\∂t_m^k}\\ \frac{\∂f_2^k}{\∂{\stackrel{\‾}{a}}^k}& \frac{\∂f_2^k}{\∂t_m^k}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_1^k\\ f_2^k\end{array}\right],$ $f_1^k=f_1({\stackrel{\‾}{a}}^k,t_m^k),$ $f_2^k=f_2({\stackrel{\‾}{a}}^k,t_m^k)$

其中t_m为推力变向时间，u_θ为推力在切向上分量， 

为轨道的平均半长轴，μ为中心引力场常数；当满足迭代精度时可得到外旋调相变向时间 

同理计算得到内旋调相变向时间 

第三步：确定调相策略和机动参数；首先推力沿u_θ方向使航天器A加速，造成轨道外旋，到达时刻t_m时，调整推力使其沿u_θ反方向，造成轨道内旋，达到调相目的称为外旋策略；推力沿u_θ反方向使航天器A减速，造成轨道内旋，到达某一时刻t_m时，调整推力使其沿u_θ方向，造成轨道外旋，达到调相目的，称为内旋策略； 

若 

则采用外旋调相策略，调相机动控制律为 

$u_{\mathrm{out}}=\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{\&theta;}},t_0\&le;t\&le;t_m\\ -u_{\mathrm{\&theta;}},t_m<t\&le;t_f\end{array}\right.$

若 

则采用内旋调相策略，调相机动控制律为 

$u_{\mathrm{in}}=\left\{\begin{array}{c}-u_{\mathrm{\&theta;}},t_0\&le;t\&le;t_m\\ u_{\mathrm{\&theta;}},t_m<t{\&le;t}_f\end{array}\right..$

本发明的有益效果： 

本发明以轨道平近点角描述追踪航天器和目标航天器的相位关系，得到初始相位差与推力方向等参数的关系，在此基础上根据调相任务特点，得到了两种可行的调相策略，简化了算法复杂度；然后利用轨道平均技术，建立了调相变向时间和平均半长轴满足的非线性方程组，该方法组可通过简单的Newton迭代求解，增强了算法鲁棒性，提高了设计效率。该方法提供了调相方向的快速判别方法，能够为小推力调相轨道的精确设计提供合理可行的初值猜测。 

附图说明

图1为航天器轨道示意图。 

具体实施方式

该共面圆轨道间小推力调相机动方法分为初始相位差计算、内外旋策略机动参数计算、调相机动参数确定三个部分 

追踪航天器A和目标航天器B运行于同一圆轨道上，轨道的半长轴为a，采用轨道平近点角描述航天器在轨道上的相角，航天器A的初始平近点角为M_A(t₀)，航天器B的初始平近点角为M_B(t₀)。航天器A配置常值小推力发动机，要求利用小推力发动机调相航天器A的相位，使其在最短时间内实现与航天器B的交会，即满足M_A(t_f)＝M_B(t_f)。 

由高斯行星运动方程可知，航天器A的半长轴a和偏心率e微分方程为 

$\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dt}}=\frac{{2a}^{2}v}{\mathrm{\&mu;}}{u}_{\mathrm{\&theta;}}$

$\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{v}[2(e+\cos \mathrm{\&theta;})u_{\mathrm{\&theta;}}-\frac{r}{a}\sin \mathrm{\&theta;}{u}_r]$

其中μ为中心引力场常数，v为航天器A的速度大小，θ为航天器A的真近点角，r为航天器A的矢径大小，u_θ为推力在切向上分量，u_r为推力在径向上分量。 

根据航天器轨道运行规律，在t时刻航天器A和B的平近点角分别为 

$M_A\left(t\right)=M_A\left(t_0\right)+{\&Integral;}_{t_0}^t{n}_A\left(t\right)\mathrm{dt}$

$M_B\left(t\right)=M_B\left(t_0\right)+{\&Integral;}_{t_0}^t{n}_B\left(t\right)\mathrm{dt}$

其中n_A和n_B分别为航天器A和B的平均运动角速度，由于航天器B始终运行于圆轨道上，因此n_B为常数。 

不失一般性，假定t₀＝0，则t时刻两航天器的相角差为 

$\mathrm{\&Delta;M}\left(t\right)=M_B\left(t\right)-M_A\left(t\right)=\mathrm{\&Delta;M}\left(t_0\right)+n_{B}t-{\&Integral;}_{t_0}^t{n}_A\left(t\right)\mathrm{dt}$

根据分部积分法则， 

可以改写成 

${\&Integral;}_{t_0}^t{n}_A\left(t\right)\mathrm{dt}=n_A\left(t\right)t-{\&Integral;}_{t_0}^t\mathrm{td}{n}_A$

则ΔM(t)可以改写成 

$\mathrm{\&Delta;M}\left(t\right)=\mathrm{\&Delta;M}\left(t_0\right)+n_{B}t-n_A\left(t\right)t+{\&Integral;}_{t_0}^t\mathrm{td}{n}_A=\mathrm{\&Delta;M}\left(t_0\right)+{\&Integral;}_{t_0}^t\mathrm{td}{n}_A$

由于有 

${\mathrm{dn}}_A=-\frac{3}{2}\frac{\sqrt{\mathrm{\&mu;}}}{a^{5/2}}\mathrm{da}=-\frac{3v}{\sqrt{\mathrm{\&mu;a}}}{u}_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{tdt}$

则当航天器A和B实现交会时应满足如下关系 

$\mathrm{\&Delta;M}\left(t_f\right)=\mathrm{\&Delta;M}\left(t_0\right)-{\&Integral;}_{t_0}^{t_f}\frac{3v}{\sqrt{\mathrm{\&mu;a}}}{u}_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{tdt}=0$

由上式可知，当推力始终沿u_θ方向时，小推力发动机调整航天器A的相位效率是最高的，即所需要的时间最省，但调相结束时半长轴的改变量为 

$\mathrm{\&Delta;a}={\&Integral;}_{t_0}^{t_f}\frac{2a^{2}v}{\mathrm{\&mu;}}{u}_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{dt}>0$

这是不满足调相任务要求的，因此可行的调相方案存在如下两种： 

1)首先推力沿u_θ方向使航天器A加速，造成轨道外旋，到达某一时刻t_m时，调整推力使其沿u_θ反方向，造成轨道内旋，达到调相目的，称为外旋策略； 

2)首先推力沿u_θ反方向使航天器A减速，造成轨道内旋，到达某一时刻t_m时，调整推 力使其沿u_θ方向，造成轨道外旋，达到调相目的，称为内旋策略。 

上述两种策略实质上都给出了航天器A调相机动控制律，但存在的问题是，在何种情况下使用外旋策略或内旋策略，推力变向时间t_m如何确定，下面将针对这两个问题进行分析。 

由于小推力发动机提供的推力很小，其对轨道的偏心率改变是有限的，可以作如下假设：调相过程中航天器A的偏心率始终为零，则有 以外旋策略为例计算合适的t_m，为达到调相目的应该有 

$\mathrm{\&Delta;a}={\&Integral;}_{t_0}^{t_m}\frac{{2a}^{3/2}}{\sqrt{\mathrm{\&mu;}}}{u}_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{dt}-{\&Integral;}_{t_m}^{t_f}\frac{2a^{3/2}}{\sqrt{\mathrm{\&mu;}}}(-u_{\mathrm{\&theta;}})\mathrm{dt}=0$

由上述函数的对称性可知 

$t_m=\frac{t_f+t_0}{2}$

由于t₀＝0，根据外旋策略控制律，可以得到 

$\mathrm{\&Delta;M}\left(t_0\right)={\&Integral;}_0^{t_m}\frac{3}{a}{u}_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{tdt}-{\&Integral;}_{t_m}^{3t_m}\frac{3}{a}{u}_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{tdt}$

根据函数对称性，上式可以简化为 

$\mathrm{\&Delta;M}\left(t_0\right)={\&Integral;}_0^{t_m}\frac{6}{a}{u}_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{tdt}$

由于航天器A的半长轴a为慢变量，并且在外旋策略的前半段轨道其变化趋势基本呈线性增加趋势，因此可以采用平均半长轴 

对上式进行处理得到 

$t_m=\frac{3\mathrm{\&Delta;M}\left(t_0\right)\stackrel{\&OverBar;}{a}}{u_{\mathrm{\&theta;}}}$

另外，根据半长轴微分方程可知，平均半长轴可以表示为 

$\stackrel{\&OverBar;}{a}=a\left(t_0\right)+\frac{1}{2}{\&Integral;}_0^{t_m}\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dt}}\mathrm{dt}=a\left(t_0\right)+\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^{3/2}}{\sqrt{\mathrm{\&mu;}}}{u}_{\mathrm{\&theta;}}{t}_m$

上面上式建立了关于t_m和 

的非线性方程组，可采用Newton迭代公式进行求解，令 

$f_1=(\stackrel{\&OverBar;}{a},t_m)=t_m-\frac{3\mathrm{\&Delta;M}\left(t_0\right)\stackrel{\&OverBar;}{a}}{u_{\mathrm{\&theta;}}}$

$f_2(\stackrel{\&OverBar;}{a},t_m)=\stackrel{\&OverBar;}{a}-a\left(t_0\right)-\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^{3/2}}{\sqrt{\mathrm{\&mu;}}}{u}_{\mathrm{\&theta;}}{t}_m$

则在给定t_m和 

初值的情况下，迭代公式为 

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^{k+1}\\ t_m^{k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^k\\ t_m^k\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{\&PartialD;f_1^k}{\&PartialD;{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^k}& \frac{\&PartialD;f_1^k}{\&PartialD;t_m^k}\\ \frac{\&PartialD;f_2^k}{\&PartialD;{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^k}& \frac{\&PartialD;f_2^k}{\&PartialD;t_m^k}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_1^k\\ f_2^k\end{array}\right]$

其中 $f_1^k=f_1({\stackrel{\&OverBar;}{a}}^k,t_m^k),$ $f_2^k=f_2({\stackrel{\&OverBar;}{a}}^k,t_m^k).$

当迭代满足要求精度时就可获得外旋策略的推力变向时间 

此时得到相应的调相机动控制律为 

$u_{\mathrm{out}}=\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{\&theta;}},t_0\&le;t\&le;t_m\\ -u_{\mathrm{\&theta;}},t_m<t\&le;t_f\end{array}\right.$

同理可以获得内旋策略的推力变向时间 

相应的控制律为 

$u_{\mathrm{in}}=\left\{\begin{array}{c}-u_{\mathrm{\&theta;}},t_0\&le;t\&le;t_m\\ u_{\mathrm{\&theta;}},t_m<t{\&le;t}_f\end{array}\right.$

在实际的调相机动设计中，对于给定的初始相位差ΔM(t₀)，分别计算 

和 若 则采用外旋策略，若 

则采用内旋策略。 

Claims (1)

1.共面圆轨道间的小推力调相机动方法，其特征在于包括以下步骤：

第一步：计算初始相位差；在任务起始t₀时刻，追踪航天器A的平近点角为M_A(t₀)，目标航天器B的平近点角为M_B(t₀)，则初始相位差为

ΔM(t₀)＝M_B(t₀)-M_A(t₀)；

第二步：分别计算内外旋策略计算参数；首先建立外旋策略中变向时间和平均轨道半长轴满足的非线性方程组

$f_1=(\stackrel{\&OverBar;}{a},t_m)=t_m-\frac{3\mathrm{\&Delta;M}\left(t_0\right)\stackrel{\&OverBar;}{a}}{u_{\mathrm{\&theta;}}}=0$

$f_2(\stackrel{\&OverBar;}{a},t_m)=\stackrel{\&OverBar;}{a}-a\left(t_0\right)-\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^{3/2}}{\sqrt{\mathrm{\&mu;}}}{u}_{\mathrm{\&theta;}}{t}_m=0$

采用Newton迭代对方程组进行求解，迭代公式为

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^{k+1}\\ t_m^{k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^k\\ t_m^k\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{\&PartialD;f_1^k}{\&PartialD;{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^k}& \frac{\&PartialD;f_1^k}{\&PartialD;t_m^k}\\ \frac{\&PartialD;f_2^k}{\&PartialD;{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^k}& \frac{\&PartialD;f_2^k}{\&PartialD;t_m^k}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_1^k\\ f_2^k\end{array}\right],$ $f_1^k=f_1({\stackrel{\&OverBar;}{a}}^k,t_m^k),$ $f_2^k=f_2({\stackrel{\&OverBar;}{a}}^k,t_m^k)$

其中t_m为推力变向时间，u_θ为推力在切向上分量，a为轨道的平均半长轴，μ为中心引力场常数；当满足迭代精度时可得到外旋调相变向时间

同理计算得到内旋调相变向时间

第三步：确定调相策略和机动参数；首先推力沿u_θ方向使航天器A加速，造成轨道外旋，到达时刻t_m时，调整推力使其沿u_θ反方向，造成轨道内旋，达到调相目的称为外旋策略；推力沿u_θ反方向使航天器A减速，造成轨道内旋，到达某一时刻t_m时，调整推力使其沿u_θ方向，造成轨道外旋，达到调相目的，称为内旋策略；

若

则采用外旋调相策略，调相机动控制律为

$u_{\mathrm{out}}=\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{\&theta;}},t_0\&le;t\&le;t_m\\ -u_{\mathrm{\&theta;}},t_m<t\&le;t_f\end{array}\right.$

若

则采用内旋调相策略，调相机动控制律为

$u_{\mathrm{in}}=\left\{\begin{array}{c}-u_{\mathrm{\&theta;}},t_0\&le;t\&le;t_m\\ u_{\mathrm{\&theta;}},t_m<t{\&le;t}_f\end{array}\right..$

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