CN102508937A - 接地体暂态建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种接地体暂态建模方法，属采用电磁理论对变电站接地装置建立的更为精确的理论计算方法。本发明将接地体等效为长l、半径为a的均匀圆柱体，并将其等分为N个尺寸相同的分段导体，在忽略导体自电阻及自阻抗情况下，将接地体视为N个分段串联的分布参数LCG传输线电路。本发明公开了接地体任一分段导体的对地电导，自电感以及对地电容的计算公式。无论对水平接地体或垂直接地体而言，在冲击电流作用下，本发明计算所得的注入点冲击电压升与实验结果基本吻合，完全满足接地网暂态计算。

Description

接地体暂态建模方法

技术领域

本发明涉及对电力系统输电线路以及变电站防雷系统中接地装置进行模拟的系统模型，特别是采用电磁埋理论对变电站接地装置建立的更为精确的理论计算方法。

背景技术

接地体是组成接地系统的基本部分，被广泛应用于电力系统输电线路、变电站防雷保护中。系统中，经接地装置向大泄散的不仅有直流、工频电流这一类稳态或似稳电流，而且有等值频率高达几兆至数十兆的雷电流，因此，现有接地装置的建模分析是以等效电阻替代来进行的。

上类等效电阻法由于未考虑电感、电导等因素的影响，其计算结果与现场实测数据之间差距较大，尤其是在冲击电流和变频电流条件下，计算结果误差大，不能准确反映接地体在雷击作用下的实际情况。

发明内容

本发明的目的是提供一种接地体暂态建模方法，旨在建立更为精确的埋设计算模型。

本发明的目的是这样实现的：一种接地体暂态建模方法，按以下步骤进行：

采用外表面积相等原则将任意形状接地体等效为长l的，半径为a的均匀圆柱体，对其等分分段为N个尺寸大小相同的分段导体，每一分段导体由对地电导G_i，自电感L_i，对地电容C_i表示，忽略导体自电阻R_i及自阻抗Z_i，则接地体视为N个分段串联的分布参数LCG传输线电路，该电路结构为：每一分段导体中，其对地电导G_i和对地电容C_i二者并联后的一端接公共端，二者并联后的另一端接于其自电感L_i的输出端，且后一分段导体的自电感L_i的输出端接于前一分段导体的自电感L_i+1的输入端，i＝1，2，……N；

上述接地体的分段数N由下式决定：

$\frac{2a}{10}\≤\frac{l}{N}\≤\frac{\mathrm{\λ}}{10}---\left(1\right)$

式中，a为接地体等值半径，l为接地体长度，λ为激励电源作用于分段导体时，在其周围产生的电磁波波长，

$\mathrm{\λ}=\frac{1}{f\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_s}{2}(\sqrt{1+\frac{1}{{\left(2\mathrm{\πf}\right)}^2{\mathrm{\ρ}}_s^2{\mathrm{\ϵ}}_s^2}}+1)}}---\left(2\right)$

式中f为作用于分段导体上的正弦激励电源频率，当计算接地体雷电暂态响应时，f为雷电流频谱分量中最大等值频率，μ₀为空气导磁系数，等于土壤导磁系数，ε_S土壤介电常数，ρ_s为土壤电阻率；

垂直接地体分段导体对地电导G_i、电容C_i由式(3)、(4)计算：

$G_i=\frac{2\mathrm{\πl}}{N{\mathrm{\ρ}}_s(\ln \frac{4l}{\mathrm{aN}}-1)}---\left(3\right)$

$C_i=\frac{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_{s}l}{N(\ln \frac{4l}{\mathrm{aN}}-1)}---\left(4\right);$

水平接地体分段导体对地电导G_i、电容C_i由式(5)、(6)计算：

$G_i=\frac{2\mathrm{\πl}}{N{\mathrm{\ρ}}_s[(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ρ}}_s-\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ρ}}_s+\mathrm{\ρ}}(\ln \frac{2l}{\mathrm{hN}}-1)]}---\left(5\right)$

$C_i=\frac{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_{s}l}{N(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_s-{\mathrm{\ϵ}}_0}{{\mathrm{\ϵ}}_s+{\mathrm{\ϵ}}_0}(\ln \frac{2l}{2\mathrm{hN}}-1))}---\left(6\right)$

式中：ρ为空气电阻率，h为接地体埋深，ε₀为空气介电常数；

导体自感L_i由式(7)表示：

$L_i=\frac{{\mathrm{\μ}}_{0}l}{N2\mathrm{\π}}(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)---\left(7\right);$

分段导体间互耦参数计算：

G_ij，L_ij，C_ij分别由以下方法推导而出；

求取L_ij：

当N＝1时， $L_{11}\left(l\right)=\frac{{\mathrm{\μ}}_{0}l}{2\mathrm{\π}}(\ln \frac{2l}{a}-1);$

当N＝2时， $L(l/2)=\left[\begin{array}{cc}{L}_{11}(l/2)& L_{12}(l/2)\\ L_{21}(l/2)& L_{22}(l/2)\end{array}\right];$

因为L₁₁(l/2)＝L₂₂(l/2)，L₁₂(l/2)＝L₂₁(l/2)，

所以 $L_{12}(l/2)=\frac{L_{11}\left(l\right)-L_{11}(l/2)}{2};$

当N＝3时， $L(l/3)=\left[\begin{array}{ccc}{L}_{11}(l/3)& L_{12}(l/3)& L_{13}(l/3)\\ L_{21}(l/3)& L_{22}(l/3)& L_{23}(l/3)\\ L_{31}(l/3)& L_{32}(l/3)& L_{33}(l/3)\end{array}\right];$

因为L₁₁(l/3)＝L₂₂(l/3)＝L₃₃(l/3)，L₁₂(l/3)＝L₃₁(l/3)，

所以 $L_{13}(l/3)=\frac{L_{11}\left(l\right)-3L_{11}(l/3)-4L_{12}(l/3)}{2};$

当N＝N时， $L(l/N)=\left[\begin{array}{cccc}{L}_{11}(l/N)& L_{12}(l/N)& \·\·\·& L_{1N}(l/N)\\ L_{21}(l/N)& L_{22}(l/N)& \·\·\·& L_{2N}(l/N)\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ L_{N1}(l/N)& L_{N2}(l/N)& \·\·\·& L_{\mathrm{NN}}(l/N)\end{array}\right];$

因为L₁₁(l/N)＝L₂₂(l/N)＝...＝L_NN(l/N)，L_ij(l/N)＝L_hk(l/N)，j-i＝k-h，

$L(l/N)=\underset{i=1,j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{\mathrm{ij}}(l/N)$

所以 $L_{1N}(l/N)=\frac{L\left(l\right)-{\mathrm{NL}}_{11}(l/N)-(N-1)L_{12}(l/N)-...-[N-(N-2)]L_{1N-1}(l/N)}{2};$

采用类似方法求取G_ij：

当N＝1时，当为垂直接地体时，

当为水平接地体时， $G_{11}=\frac{2\mathrm{\πl}}{N{\mathrm{\ρ}}_s[(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ρ}}_s-\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ρ}}_s+\mathrm{\ρ}}(\ln \frac{2l}{\mathrm{hN}}-1)]};$

当N＝2时， $G_{12}(l/2)=\frac{G_{11}\left(l\right)-G_{11}(l/2)}{2};$

当N＝3时， $G_{13}(l/3)=\frac{G_{11}\left(l\right)-3G_{11}(l/3)-4G_{12}(l/3)}{2};$

当N＝N时，

$G_{1N}(l/N)=\frac{G\left(l\right)-{\mathrm{NG}}_{11}(l/N)-(N-1)G_{12}(l/N)-...-[N-(N-2)]G_{1N-1}(l/N)}{2};$

同理，C_ij表示为：

当N＝1时，当为垂直接地体时，

当为水平接地体时， $C_i=\frac{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_{s}l}{N(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_s-{\mathrm{\ϵ}}_0}{{\mathrm{\ϵ}}_s+{\mathrm{\ϵ}}_0}(\ln \frac{2l}{2\mathrm{hN}}-1))};$

当N＝2时， $C_{12}(l/2)=\frac{C_{11}\left(l\right)-C_{11}(l/2)}{2};$

当N＝3时， $C_{13}(l/3)=\frac{C_{11}\left(l\right)-3C_{11}(l/3)-4C_{12}(l/3)}{2};$

当N＝N时，

$C_{1N}(l/N)=\frac{C\left(l\right)-{\mathrm{NC}}_{11}(l/N)-(N-1)C_{12}(l/N)-...-[N-(N-2)]C_{1N-1}(l/N)}{2}.$

与现有技术相比，本发明有益效果是：

1、无论对水平接地体或垂直接地体而言，在冲击电流作用下本模型计算所得的注入点冲击电位升与实验结果基本吻合。

2、在10MHz频段内的电流作用下，本模型对接地体的接地阻抗的计算结果与实验结果的误差在3％以内，完全满足接地网暂态(雷电流等值频率在1MHz以内)计算。

本发明的特点将在具体实施部分加以进一步阐述。

附图说明

图1是水平接地体在冲击电流作用下暂态电位升比较图(本模型计算结果与试验结果比较)。

图1-1是接地体示意图。

图1-2是接地体暂态电路模型。

图2是垂直接地体冲击电流作用下暂态电位升比较图(本模型计算结果与试验结果比较)。

图3是接地网中心及边角注入不同频率电流下接地阻抗比较图(本模型计算结果与试验结果比较)。

图4-1和图4-2分别是接地网边角注入冲击电流时1μs时刻和4μs时刻的地网电位升分布图。

图5-1和图5-2分别是接地网中心注入冲击电流时1μs时刻和4μs时刻的地网电位升分布图。

具体实施方式

1、接地体理论建模：

采用外表面积相等原则将任意形状接地体等效为均匀(半径处处相等)的圆柱体，对其进行等分分段处理，超高频电流作用时，需要考虑接地体电流不均匀分布及波传播过程时，则将接地体视为N个分段(图1)的分布参数LCG传输线电路，其等效电路如图1-2所示。图中μ₀，ε₀，ε_s，ρ，ρ_s分别为空气、土壤的导磁常数，空气介电常数，土壤介电常数，空气电阻率及土壤电阻率，h为接地体埋深，l为接地体长度，a为接地体等值半径。U(t)，I(t)分别为作用于接地体上时变暂态电压及电流。G_i，L_i，C_i分别为第i段导体对地电导，自电感及对地电容。第i段与第j段导体间电磁互耦参数互导，互感，互容分别采用G_ij，L_ij，C_ij表示。

2、接地体模型参数计算：

2.1：分段原则及尺寸选择

本方法将接地导体进行N等分分段。原则上其分段数N越大(即导体尺寸越小)，越接近实际情况，其计算结果也越真实。但分段数越大除计算量会增加外，由于导体参数计算基于诸多假设，分段越多带来的参数计算积累误差也会越严重。另一方面，如果分段尺寸过大(N＝1)，则又会等效为集总参数电路，从而限制其在冲击电流及高频电流条件下的应用。

本方法提出的接地体分段导体尺寸选择方法为：

$\frac{2a}{10}\≤\frac{l}{N}\≤\frac{\mathrm{\λ}}{10}---\left(1\right)$

$\mathrm{\λ}=\frac{1}{f\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_s}{2}(\sqrt{1+\frac{1}{{\left(2\mathrm{\πf}\right)}^2{\mathrm{\ρ}}_s^2{\mathrm{\ϵ}}_s^2}}+1)}}---\left(2\right)$

式中f为作用于导体上的激励频率，当计算接地体雷电暂态响应时，f为雷电流频谱分量中最大等值频率)

为频率为导体在f正弦激励源作用下，导体周围媒质中电磁波波长，当导体满足以上条件时，则可将其视为一小段载流导线(等效为单元辐射子)，即忽略导体上推迟效应，满足准静态场假设。

2.2：模型中参数数求取

G_i，L_i，C_i可分别由以下各式求出

垂直接地体分段导体对地电导G_i、电容C_i可由式(3)、(4)计算。

$G_i=\frac{2\mathrm{\πl}}{N{\mathrm{\ρ}}_s(\ln \frac{4l}{\mathrm{aN}}-1)}---\left(3\right)$

$C_i=\frac{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_{s}l}{N(\ln \frac{4l}{\mathrm{aN}}-1)}---\left(4\right)$

水平接地体分段导体对地电导G_i、电容C_i可由式(5)、(6)计算。

$G_i=\frac{2\mathrm{\πl}}{N{\mathrm{\ρ}}_s[(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ρ}}_s-\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ρ}}_s+\mathrm{\ρ}}(\ln \frac{2l}{\mathrm{hN}}-1)]}---\left(5\right)$

$C_i=\frac{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_{s}l}{N(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_s-{\mathrm{\ϵ}}_0}{{\mathrm{\ϵ}}_s+{\mathrm{\ϵ}}_0}(\ln \frac{2l}{2\mathrm{hN}}-1))}---\left(6\right)$

导体自感L_i可由式(7)表示。

$L_i=\frac{{\mathrm{\μ}}_{0}l}{N2\mathrm{\π}}(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)---\left(7\right)$

2.3分段导体间互耦参数计算

G_ij，L_ij，C_ij可分别由以方法推导而出，以L_ij推导为例

当N＝1时， $L_{11}\left(l\right)=\frac{{\mathrm{\μ}}_{0}l}{2\mathrm{\π}}(\ln \frac{2l}{a}-1);$

当N＝2时， $L(l/2)=\left[\begin{array}{cc}{L}_{11}(l/2)& L_{12}(l/2)\\ L_{21}(l/2)& L_{22}(l/2)\end{array}\right]$

因为L₁₁(l/2)＝L₂₂(l/2)，L₁₂(l/2)＝L₂₁(l/2)，

所以 $L_{12}(l/2)=\frac{L_{11}\left(l\right)-L_{11}(l/2)}{2};$

当N＝3时， $L(l/3)=\left[\begin{array}{ccc}{L}_{11}(l/3)& L_{12}(l/3)& L_{13}(l/3)\\ L_{21}(l/3)& L_{22}(l/3)& L_{23}(l/3)\\ L_{31}(l/3)& L_{32}(l/3)& L_{33}(l/3)\end{array}\right];$

因为L₁₁(l/3)＝L₂₂(l/3)＝L₃₃(l/3)，L₁₃(l/3)＝L₃₁(l/3)，

所以 $L_{13}(l/3)=\frac{L_{11}\left(l\right)-3L_{11}(l/3)-4L_{12}(l/3)}{2};$

当N＝N时， $L(l/N)=\left[\begin{array}{cccc}{L}_{11}(l/N)& L_{12}(l/N)& \·\·\·& L_{1N}(l/N)\\ L_{21}(l/N)& L_{22}(l/N)& \·\·\·& L_{2N}(l/N)\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ L_{N1}(l/N)& L_{N2}(l/N)& \·\·\·& L_{\mathrm{NN}}(l/N)\end{array}\right];$

因为L₁₁(l/N)＝L₂₂(l/N)＝...＝L_NN(l/N)，L_ij(l/N)＝L_hk(l/N)，j-i＝k-h，

$L(l/N)=\underset{i=1,j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{\mathrm{ij}}(l/N)$

所以 $L_{1N}(l/N)=\frac{L\left(l\right)-{\mathrm{NL}}_{11}(l/N)-(N-1)L_{12}(l/N)-...-[N-(N-2)]L_{1N-1}(l/N)}{2}$

采用类似方法求取G_ji：

当N＝1时，

$G_{11}=\frac{2\mathrm{\πl}}{N{\mathrm{\ρ}}_s(\ln \frac{4l}{\mathrm{aN}}-1)}$ (垂直接地体)；

$G_{11}=\frac{2\mathrm{\πl}}{N{\mathrm{\ρ}}_s[(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ρ}}_s-\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ρ}}_s+\mathrm{\ρ}}(\ln \frac{2l}{\mathrm{hN}}-1)]}$ (水平接地体)；

当N＝2时， $G_{12}(l/2)=\frac{G_{11}\left(l\right)-G_{11}(l/2)}{2}$

当N＝3时， $G_{13}(l/3)=\frac{G_{11}\left(l\right)-3G_{11}(l/3)-4G_{12}(l/3)}{2}$

当N＝N时，

$G_{1N}(l/N)=\frac{G\left(l\right)-{\mathrm{NG}}_{11}(l/N)-(N-1)G_{12}(l/N)-...-[N-(N-2)]G_{1N-1}(l/N)}{2}$

同理，C_ji可表示为：

当N＝1时， $C_{11}=\frac{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_{s}l}{N(\ln \frac{4l}{\mathrm{aN}}-1)}$ (垂直接地体)；

$C_i=\frac{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_{s}l}{N(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_s-{\mathrm{\ϵ}}_0}{{\mathrm{\ϵ}}_s+{\mathrm{\ϵ}}_0}(\ln \frac{2l}{2\mathrm{hN}}-1))}$ (水平接地体)；

当N＝2时， $C_{12}(l/2)=\frac{C_{11}\left(l\right)-C_{11}(l/2)}{2};$

当N＝3时， $C_{13}(l/3)=\frac{C_{11}\left(l\right)-3C_{11}(l/3)-4C_{12}(l/3)}{2};$

当N＝N时，

$C_{1N}(l/N)=\frac{C\left(l\right)-{\mathrm{NC}}_{11}(l/N)-(N-1)C_{12}(l/N)-...-[N-(N-2)]C_{1N-1}(l/N)}{2}$

3、工程应用：

3.1：水平接地体冲击电流作用下暂态响应

埋设于土壤中ρ_s＝71.43Ω/m，ε_s＝15，1＝15m，a＝6mm，h＝0.6m的水平接地体在35A，0.6/10us冲击电流作用下，注入点冲击电位升如图1所示。

3.2：垂直接地体冲击电流作用下暂态响应

埋设于土壤电阻率为ρ_s＝42Ω/m，土壤击穿电压E₀＝350kV/m，ε_s＝10，长1＝1m，a＝25mm垂直接地体在30kA，2.6/3us冲击电流作用下，计及土壤非线性效应情况下注处点冲击电位升如图2所示。

3.3：接地网不同频率电流作用下接地阻抗

在h＝0.5m，a＝0.007m，ρ_s＝1000Ω·m，ε_s＝36，ε_a＝1，μ₀＝1情况下，接地网在频率100Hz至10MHz激励电流作用于其中心及边角两种情况暂态情况计算结果如图3所示，本文计算结果与电磁场模型计算结果在低频情况时十分吻合，随着注入电流频率的增高，误差有所增大，这主要是由于激励频率增大时，接地导体分段数必须增多，参数计算积累误差扩大所至，但在10MHz频段内误差在3％以下，因此，该方法完全满足接地网暂态(电力系统考虑暂态计算最严重情况为雷击，雷电流等值频率一般在1MHz以内)计算。

3.4：接地网冲击电流作用下暂态响应

接地网(h＝0.5m，ρ_s＝500Ω·m，a＝0.006m，ε_s＝9，εa＝1，μ₀＝1)边角及中心注入幅值10kA，波头/波尾时间2.6/50μs时，其1μs及4μs时刻暂态电位升分布如图4，5所示。

Claims (1)

1.一种接地体暂态建模方法，其特征是，按以下步骤进行：

采用外表面积相等原则将任意形状接地体等效为长l的，半径为a的均匀圆柱体，对其等分分段为N个尺寸大小相同的分段导体，每一分段导体由对地电导G_i，自电感L_i，对地电容C_i表示，忽略导体自电阻R_i及自阻抗Z_i，则接地体视为N个分段串联的分布参数LCG传输线电路，该电路结构为：每一分段导体中，其对地电导G_i和对地电容C_i二者并联后的一端接公共端，二者并联后的另一端接于其自电感L_i的输出端，且后一分段导体的自电感L_i的输出端接于前一分段导体的自电感L_i+1的输入端，i＝1，2，……N；

上述接地体的分段数N由下式决定：

$\frac{2a}{10}\≤\frac{l}{N}\≤\frac{\mathrm{\λ}}{10}---\left(1\right)$

式中，a为接地体等值半径，l为接地体长度，λ为激励电源作用于分段导体时，在其周围产生的电磁波波长，

$\mathrm{\λ}=\frac{1}{f\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_s}{2}(\sqrt{1+\frac{1}{{\left(2\mathrm{\πf}\right)}^2{\mathrm{\ρ}}_s^2{\mathrm{\ϵ}}_s^2}}+1)}}---\left(2\right)$

式中f为作用于分段导体上的正弦激励电源频率，当计算接地体雷电暂态响应时，f为雷电流频谱分量中最大等值频率，μ₀为空气导磁系数，等于土壤导磁系数，ε_S土壤介电常数，ρ_s为土壤电阻率；

垂直接地体分段导体对地电导G_i、电容C_i由式(3)、(4)计算：

$G_i=\frac{2\mathrm{\πl}}{N{\mathrm{\ρ}}_s(\ln \frac{4l}{\mathrm{aN}}-1)}---\left(3\right)$

$C_i=\frac{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_{s}l}{N(\ln \frac{4l}{\mathrm{aN}}-1)}---\left(4\right)$

水平接地体分段导体对地电导G_i、电容C_i由式(5)、(6)计算：

$G_i=\frac{2\mathrm{\πl}}{N{\mathrm{\ρ}}_s[(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ρ}}_s-\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ρ}}_s+\mathrm{\ρ}}(\ln \frac{2l}{\mathrm{hN}}-1)]}---\left(5\right)$

$C_i=\frac{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_{s}l}{N(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_s-{\mathrm{\ϵ}}_0}{{\mathrm{\ϵ}}_s+{\mathrm{\ϵ}}_0}(\ln \frac{2l}{2\mathrm{hN}}-1))}---\left(6\right)$

式中：ρ为空气电阻率，h为接地体埋深，ε₀为空气介电常数；

导体自感L_i由式(7)表示：

$L_i=\frac{{\mathrm{\μ}}_{0}l}{N2\mathrm{\π}}(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)---\left(7\right)$

分段导体间互耦参数计算：

G_ij，L_ij，C_ij分别由以下方法推导而出；

求取L_ij：

当N＝1时， $L_{11}\left(l\right)=\frac{{\mathrm{\μ}}_{0}l}{2\mathrm{\π}}(\ln \frac{2l}{a}-1);$

当N＝2时， $L(l/2)=\left[\begin{array}{cc}{L}_{11}(l/2)& L_{12}(l/2)\\ L_{21}(l/2)& L_{22}(l/2)\end{array}\right];$

因为L₁₁(l/2)＝L₂₂(l/2)，L₁₂(l/2)＝L₂₁(l/2)，

所以 $L_{12}(l/2)=\frac{L_{11}\left(l\right)-L_{11}(l/2)}{2};$

当N＝3时， $L(l/3)=\left[\begin{array}{ccc}{L}_{11}(l/3)& L_{12}(l/3)& L_{13}(l/3)\\ L_{21}(l/3)& L_{22}(l/3)& L_{23}(l/3)\\ L_{31}(l/3)& L_{32}(l/3)& L_{33}(l/3)\end{array}\right];$

因为L₁₁(l/3)＝L₂₂(l/3)＝L₃₃(l/3)，L₁₃(l/3)＝L₃₁(l/3)，

所以 $L_{13}(l/3)=\frac{L_{11}\left(l\right)-3L_{11}(l/3)-4L_{12}(l/3)}{2};$

当N＝N时， $L(l/N)=\left[\begin{array}{cccc}{L}_{11}(l/N)& L_{12}(l/N)& \·\·\·& L_{1N}(l/N)\\ L_{21}(l/N)& L_{22}(l/N)& \·\·\·& L_{2N}(l/N)\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ L_{N1}(l/N)& L_{N2}(l/N)& \·\·\·& L_{\mathrm{NN}}(l/N)\end{array}\right];$

因为L₁₁(l/N)＝L₂₂(l/N)＝...＝L_NN(l/N)，L_ij(l/N)＝L_hk(l/N)，j-i＝k-h，

$L(l/N)=\underset{i=1,j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{\mathrm{ij}}(l/N)$

所以 $L_{1N}(l/N)=\frac{L\left(l\right)-{\mathrm{NL}}_{11}(l/N)-(N-1)L_{12}(l/N)-...-[N-(N-2)]L_{1N-1}(l/N)}{2};$

采用类似方法求取G_ij：

当N＝1时，当为垂直接地体时，

当为水平接地体时， $G_{11}=\frac{2\mathrm{\πl}}{N{\mathrm{\ρ}}_s[(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ρ}}_s-\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ρ}}_s+\mathrm{\ρ}}(\ln \frac{2l}{\mathrm{hN}}-1)]};$

当N＝2时， $G_{12}(l/2)=\frac{G_{11}\left(l\right)-G_{11}(l/2)}{2};$

当N＝3时， $G_{13}(l/3)=\frac{G_{11}\left(l\right)-3G_{11}(l/3)-4G_{12}(l/3)}{2};$

当N＝N时，

$G_{1N}(l/N)=\frac{G\left(l\right)-{\mathrm{NG}}_{11}(l/N)-(N-1)G_{12}(l/N)-...-[N-(N-2)]G_{1N-1}(l/N)}{2};$

同理，C_ij表示为：

当N＝1时，当为垂直接地体时，

当为水平接地体时， $C_i=\frac{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_{s}l}{N(\ln \frac{2l}{\mathrm{aN}}-1)+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_s-{\mathrm{\ϵ}}_0}{{\mathrm{\ϵ}}_s+{\mathrm{\ϵ}}_0}(\ln \frac{2l}{2\mathrm{hN}}-1))};$

当N＝2时， $C_{12}(l/2)=\frac{C_{11}\left(l\right)-C_{11}(l/2)}{2};$

当N＝3时， $C_{13}(l/3)=\frac{C_{11}\left(l\right)-3C_{11}(l/3)-4C_{12}(l/3)}{2};$

当N＝N，

$C_{1N}(l/N)=\frac{C\left(l\right)-{\mathrm{NC}}_{11}(l/N)-(N-1)C_{12}(l/N)-...-[N-(N-2)]C_{1N-1}(l/N)}{2}.$

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