CN102419786A - 聚合物驱提高原油采收率的动态规划方法 - Google Patents

Abstract

聚合物驱是一种重要的三次采油技术，但聚合物价格昂贵，见效期相对滞后。为了科学地制定开发方案，获得更好的经济效益，本发明基于动态规划技术提出了一种聚合物驱开发方案优化设计方法。聚合物驱方案优化可具体描述为一个带有状态和控制不等式约束的分布参数系统动态规划问题。针对固定段塞长度注入优化问题，提出了一种基于迭代动态规划的数值求解算法，将聚合物驱注采过程从时间和空间两个角度进行离散，利用迭代的方式补偿离散化带来的误差。针对段塞长度不固定的注入优化问题，提出了一种级长可变的迭代动态规划数值求解算法，能够同时优化注入浓度和段塞长度。本发明在胜利油田孤东八区井组投入使用，显著提高了聚合物驱的经济效益。

Description

聚合物驱提高原油采收率的动态规划方法

一、技术领域

本技术涉及工业优化技术，尤其是一种聚合物驱提高原油采收率的动态规划方法。

二、背景技术

当今世界范围内，利用活性水开发技术，石油的采收率大约在30-60％之间，仍有约65-70％的原始石油储量在油藏中。石油作为不可再生的能源，储量有限，提高石油采收率显得极为迫切，国内外的专家学者对此进行了大量研究。多数发达国家高度重视和支持提高采收率方法及基础研究，众所周知聚合物驱能够大幅度提高原油采收率。在国内，聚合物驱油技术在大港、胜利、大庆等油田也展开了研究。

聚合物驱的投入高，生产周期长，风险大等特点决定了它需要在真正投入实施前进行大量的前期试验，从而预测各因素和各方案对提高原油采收率的影响，为最终方案的确定提供参考数据。也正是基于此，若能够科学地设计聚合物驱开发方案，并且将矿场的实际情况也考虑在内显得非常重要。

对于提高原油采收率开发方案的优化方法，通过大量的国内外文献调研发现，动态规划理论是确定开发方案的一种有效的方法，可实现方案的优化过程自动化，过程的连续寻优，对多变量同步优化，支配方程、目标泛函、约束条件可公式化等。动态规划方法通常将原油开采过程的渗流流体力学方程作为支配方程，将采收率或经济效益作为目标函数，注入井和生产井的注采参数作为控制变量，最终通过对动态规划问题求解得到最优的设计方案。

早在1958年Aronofsky和Lee就应用了优化方法来研究油田开发的决策问题，但是这些研究仍处于探索阶段，在油田开发决策中应用优化方法仍没有得到足够重视。1985年之后，随着计算机技术、优化方法的迅猛发展以及油田开发的迫切需要，前苏联、美国和我国等一些研究机构开始积极地应用优化技术研究油田开发中遇到的各种问题，依据所研究问题模型的不同，线性规划、非线性规划、随机规划、模糊规划、动态规划、最优控制、遗传算法等优化方法均在油田开发决策问题中得到应用。

Leon Lasdon运用非线性规划中的BFGS法求解了气藏的产量分配问题。葛家理研究了成组气田开发优化配产的非线性混合整数规划模型。北京石油勘探开发研究院的齐与峰对注水开发油田稳产规划自适应模型进行了研究。Raphad Amit则建立了包含一次和二次采油的两阶段的动态规划模型。

聚合物驱提高采收率问题中采用动态规划技术具有重要的理论与实际意义。由于聚合物驱模型为强非线性的三维分布参数模型，模型求解十分复杂，基于动态规划理论，采用迭代动态规划方法可以获得全局最优的聚合物开发方案。且动态规划方法容易实现并行化，意味着该方法可以在大规并行机群上实现。目前国内关于聚合物驱提高采收率的动态规划方法的专利尚无。

三、发明内容

为解决聚合物驱的最优注采问题，本发明提出了基于动态规划的开发方案优化方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

聚合物驱提高原油采收率的动态规划方法研究，所述的聚合物驱动态规划方法包括以下步骤：

1、聚合物驱提高原油采收率的离散动态规划模型

将整个油藏离散化为n_b个网格，其中各个网格标号为i，i＝1，2，...n_b。连续性能指标中的注入项q_in和产油项f_wq_out均可以用井的实际注入量Q_in和产油量Q_o表示。设油藏区块有N_w口注入井和N_p口生产井，其序号集合分别为κ_w和κ_p。令控制向量

表示各水井的聚合物注入浓度，其中v_j表示第j口注入井聚合物的注入浓度c_pinj，j＝1，2，...，N_w，则聚合物驱的离散最优控制模型可以表示为：

$\underset{v}{\max }J=\underset{n=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{J}^n=\underset{n=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\τ}}^n({\mathrm{\ξ}}_o\underset{j\∈{\mathrm{\κ}}_p}{\mathrm{\Σ}}{Q}_{\mathrm{oj}}^n{\mathrm{\ξ}}_p-\underset{j\∈{\mathrm{\κ}}_w}{\mathrm{\Σ}}{Q_{\mathrm{in}}}_j^n{v}_j^n){(1+r)}^{-t^n}---\left(1\right)$

s.t.gⁿ(uⁿ⁺¹，uⁿ，vⁿ，n)＝0                                        (2)

$\underset{n=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\τ}}^n\underset{j\∈{\mathrm{\κ}}_n}{\mathrm{\Σ}}{Q}_{\mathrm{inj}}^n{v}_j^n\≤m_{p\max }---\left(3\right)$

0≤v≤v_max                                                        (4)

uⁿ|_n＝0＝u⁰                                                       (5)

模型中的τⁿ表示离散时间步长(d)，其中n＝1，...，P，ξ_p和ξ_o分别为聚合物的价格系数(万元/kg)和原油的价格系数(万元/m³)，r为折现率，

为折现系数，r为年折现率，tⁿ为时间(年)。性能指标J为累积净现值。式(2)为离散的聚合物驱渗流物理方程，

表示离散的状态向量，即u＝(p，S_w，c_p)^T，其中p表示油藏压力，S_w表示含水饱和度，c_p表示聚合物浓度，式(2)为聚合物驱渗流物理方程组，式(3)为聚合物的用量约束，式(4)为聚合物注入浓度约束。

2、求解聚合物驱动态规划问题的迭代动态规划算法

对于离散聚合物驱动态规划模型，可采用迭代动态规划方法进行求解，其具体求解步骤为：

1)将聚合物驱的整个注聚过程分为P个离散时间段；

2)选取初始状态网格数N，控制网格数R，收缩因子γ和最大迭代次数；给定各离散时间段的初始最优决策变量v^*(k)，k＝1，2，...，P，选取搜索区域r(k)；令迭代步数j＝0；

3)在各离散时间段内产生R个决策变量v_i(k)，i＝1，...，R，通过有限差分方法联立求解系统渗流物理方程得到每个离散时间段的N个状态网格；

4)根据Bellman最优性原理，从末端时间段起依次向前计算，获得本次迭代各离散时间段上的最优决策变量v^*(k)；

5)重新修正寻优区间r(k)＝γr(k)，返回3)步直到满足最大迭代次数。

决策变量采用随机生成方法，指在每个离散的时间段内控制策略的允许的寻优区间内随机选择生成。

v(k)＝v^*j(k)+Dr^j(k)

上式中v^*j(k)是前次迭代中所得到的的最优决策变量，D表示(m×m)对角矩阵，对角元素是-1到1之间的不同随机数。

每次迭代过程中，在R个随机决策变量产生之后，还需要在上次迭代产生的决策变量附近确定性地产生三个额外的控制策略，其具体产生方法如下：

For 1＜k＜P

${\left[v_c\left(k\right)\right]}_{R+1}^j={\left[v_s(k-1)\right]}^{j-1}---\left(6\right)$

${\left[v_c\left(k\right)\right]}_{R+2}^j={\left[v_s(k+1)\right]}^{j-1}---\left(7\right)$

${\left[v_c\left(k\right)\right]}_{R+3}^j=\mathrm{\φ}{\left[v_s(k-1)\right]}^{j-1}+(1-2\mathrm{\φ}){\left[v_s\left(k\right)\right]}^{j-1}+\mathrm{\φ}{\left[v_s(k+1)\right]}^{j-1}---\left(8\right)$

For k＝1

${\left[v_c\left(1\right)\right]}_{R+1}^j={\left[v_s\left(2\right)\right]}^{j-1}---\left(9\right)$

${\left[v_c\left(1\right)\right]}_{R+2}^j=(1-\mathrm{\φ}){\left[v_s\left(1\right)\right]}^{j-1}+\mathrm{\φ}{\left[v_s\left(2\right)\right]}^{j-1}---\left(10\right)$

${\left[v_c\left(1\right)\right]}_{R+3}^j=\mathrm{\φ}{\left[v_s\left(1\right)\right]}^{j-1}+(1-\mathrm{\φ}){\left[v_s\left(2\right)\right]}^{j-1}---\left(11\right)$

For k＝P

${\left[v_c\left(P\right)\right]}_{R+1}^j={\left[v_s(P-1)\right]}^{j-1}---\left(12\right)$

${\left[v_c\left(P\right)\right]}_{R+2}^j=(1-\mathrm{\φ}){\left[v_s\left(P\right)\right]}^{j-1}+\mathrm{\φ}{\left[v_s(P-1)\right]}^{j-1}---\left(13\right)$

${\left[v_c\left(P\right)\right]}_{R+3}^j=\mathrm{\φ}{\left[v_s\left(P\right)\right]}^{j-1}+(1-\mathrm{\φ}){\left[v_s(P-1)\right]}^{j-1}---\left(14\right)$

其中φ为平滑因子，在0≤φ≤0.5中取值。

表示第j次迭代第k个时间段中第i个决策变量。[v_s(k)]^j-1表示第j-1次迭代第k个时间段的最优决策变量。首先在可行寻优区间内产生R个离散的控制变量，再根据(6)～(14)式确定性的产生三个决策变量。所以在每个时间段内共有决策变量数为M＝R+3。

由(6)，(10)，(9)和(12)式产生决策变量的方法称为平移方法，可以有效避免寻优过程陷于局部最优，尤其是最优轨迹存在切换结构的动态系统。由(8)，(10)，(11)，(13)和(14)式产生决策变量的方法称为平滑方法，φ称为平滑因子，在0-0.5之间取值，平滑方法可以使得控制轨迹更加连续，加快收敛速度，降低计算量。

3、利用级长可变迭代动态规划处理自由时间问题

问题求解过程中引入级长可变的迭代动态规划算法求解聚合物驱的动态规划问题。不仅可以实现聚合物注入浓度的优化，还可以同时优化段塞的切换时刻和整个油藏注聚开采的时间，因此，其优化结果将更符合实际生产的需求。

油藏聚合物驱模型为一组偏微分方程，其高精度数值求解为公认的非常耗时的。而迭代动态规划方法在其迭代过程中将频繁的进行聚合物驱模型的求解，而且优化问题给定的优化变量越多，迭代动态规划需求的油藏模型求解次数将越多。因此，如何以最少的优化变量实现聚合物驱动态规划问题的求解是实现聚合物驱动态规划问题高效求解的关键因素。可变级长的迭代动态规划方法可以很好的解决这一问题。

级长可变算法的思想的核心为对问题的时间域进行了调整，在对问题进行分段优化的同时，对每段的长度也进行优化。为避免时间长度优化对问题求解带来的麻烦，对每一分段长度均进行了归一化处理。而将分级长度作为需要优化变量引入问题模型中。因此将此算法引入到聚合物驱动态规划问题中，也仅需对问题中与系统动态有关的方程进行处理。

离散形式的聚合物驱动态规划模型将问题在时间域与空间域同时离散化，离散化后模型表述为

gⁿ(uⁿ⁺¹，uⁿ)＝0                                        (15)

其中，u＝(p，S_w，c_p)^T表示各网格节点上的状态向量。现根据归一化思想，与时间有关的导数可采用差分近似，如

在分区优化方法中，对每一分区均需对时间变量进行替换，如下

$\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{d\τ}}=\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dt}}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{d\τ}}\≈\mathrm{\Δ}{t}_i=\frac{\mathrm{\ΔX}}{\mathrm{\ΔT}}.---\left(16\right)$

其中，Δt_i表示聚合物驱问题在第i分段的时间长度。即本算法需要在聚合物驱模型隐式求解过程中，对与时间有关的项引入时间尺度变量Δt_i，并将其作为优化变量。因此聚合物驱全隐式模型(15)需更新为如下形式

g_new ⁿ(u_i ⁿ⁺¹，u_i ⁿ)＝0                                            (17)

其中，状态向量u变为u_i＝(p，S_w，c_p，Δt_i)^T。通常聚合物的注入采用三段塞形式，因此只需定义4个级长变量，分别为Δt₁，Δt₂，Δt₃，Δt₄，即式(17)中i＝1，2，3，4，Δt₄为聚合物驱后水驱时间.

因此聚合物驱动态规划问题可写为如下形式

$\underset{v}{\max }J=\underset{n=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{J}^n=\underset{n=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\τ}}^n({\mathrm{\ξ}}_o\underset{j\∈{\mathrm{\κ}}_p}{\mathrm{\Σ}}{Q}_{\mathrm{oj}}^n{\mathrm{\ξ}}_p-\underset{j\∈{\mathrm{\κ}}_w}{\mathrm{\Σ}}{Q_{\mathrm{in}}}_j^n{v}_j^n){(1+r)}^{-t^n}$

s.t.g_new ⁿ(u_i ⁿ⁺¹，u_i ⁿ)＝0，i＝1，2，3，4，n＝1，2，…P，        (18)

c(u_i ⁿ)≤0.

其中，v表示控制变量，c(u_i ⁿ)≤0表示聚合物驱优化问题所要考虑的不等式约束。

在控制向量参数化的基础上，结合聚合物驱分段注入和系统模型求解计算量大的实际，利用级长可变的迭代动态规划进行求解。可以实现注入浓度和段塞长度的同时优化。

本发明的有益效果主要表现在：本发明方法可以在无人为干预下，自动获得聚合物驱最优开发方案，且较传统的数模试凑方法有无人为干预，更好的优化结果，优化速度快等优点。

四、附图说明

图1是本发明的方案求解框图；

图2是胜利油田孤东八区井组井位图；

图3是胜利油田孤东八区井组各井采用固定级长迭代动态规划获得的三段塞方案的聚合物注入浓度；

图4是胜利油田孤东八区井组各井采用固定级长迭代动态规划获得的三段塞方案的原油采出含水率；

图5是胜利油田孤东八区井组各井采用可变级长迭代动态规划获得的三段塞方案的聚合物注入浓度；

图6是胜利油田孤东八区井组各井采用可变级长迭代动态规划获得的三段塞方案的原油采出含水率。

五、具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1，聚合物驱提高原油采收率的最优控制方法，所述方法包括如下步骤：

1)、利用全隐式方法将聚合物驱模型离散化，将求解过程离散为N个时间步，则支配方程(聚合物驱渗流物理方程组)的计算过程为：

步骤一：令n＝0，模型初始化，初值为u⁰；

步骤二：已知uⁿ，利用Newton-Raphson法求解问题模型获得uⁿ⁺¹，保存

τⁿ和vⁿ；

步骤三：令n＝n+1，若n＜N返回步骤二继续执行，否则结束。

2)、可变级长迭代动态规划的步骤：

步骤一：将整个动态系统离散化为P个相同长度时间段，各离散阶段长度均为L；

步骤二：在给定的寻优区间r_in内选取R个决策变量，在初始级长容许域s_in内选择初始级长；选取收缩参数r和还原参数η，给定最大的循环次数N_qmax以及最大迭代次数N_jmax；

步骤三：令每次循环的次数为q，并令q＝1；设每次迭代的代数为j，令j＝1；

步骤四：选取本次迭代的寻优区间r＝η^q-1r_in，s＝η^q-1s_in；

步骤五：根据本次迭代获得的决策变量以及系统的初始状态值，前向求解支配方程(聚合物驱渗流物理方程组)得到本次迭代各离散时间段的系统状态值u(k)，k＝1，...，P；

步骤六：设当前离散段数为P，更新阶段数令k＝P-1；在允许寻优区域r和s内，取R个可行决策变量，包括控制的值和级长：

v(P)＝v^*j(P)+Dr^j(P)，

Δt(P)＝Δt^*j(P)+ωs^j(P)，

其中D为m×m维的矩阵，其元素为-1到+1间的随机数。ω为-1到+1间的随机数。v^*j(P)为控制的最优值，Δt^*j(P)为级长的最优值，两者均为当前迭代步特殊网格节点获得的值。

根据产生的决策变量、已有的系统状态u(k)和该阶段之后的各时间段的最优决策变量，求解获得该阶段之后每个阶段的系统状态，然后计算目标函数J，即取得该阶段的最优决策变量v^*(k)；阶段计数减1，即k＝k-1；如果k＝0当前循环的迭代结束；

步骤七：为下一步迭代做准备，收缩容许域：

r^j+1(k)＝γr^j(k)，k＝1，2，…P

s^j+1(k)＝γs^j(k)，k＝1，2，…P

其中γ为收缩因子，j为迭代索引。

令当前迭代次数加1，即j＝j+1；达到最大次数N_jmax后结束，更新j＝1；

步骤八：令q＝q+1；若达到最大循环次数N_qmax，结束整个迭代步骤。

实例：针对胜利油田孤东八区井组，油藏模型的井网为五点法井网，共有四口注入井，九口生产井，井位如图2所示。油藏的长、宽和厚度分别为421.02m、443.8m和14m，油藏的孔隙体积为5.8857×10⁵m³。原始含水饱和度0.35，原始含油饱和度0.65，原油密度为950kg/m³，原油地质储量为36.34万吨。将油藏按x，y，z三个方向划分网格，网格数为20×20×3。油藏的参数以及流体性质参数如表1和表2所示。每口注入井采用相同的注聚方案。

油藏的初始条件由静态平衡初始化方法确定，即流体处于静态平衡状态，油水两相的压力由各相本身的压力梯度计算，毛管力为两相压力之差。

表1油田某区块油藏描述

表2流体数据

对于上述油藏模型，采用油藏数值模拟软件获得的优化方案为在水驱4800天后开始注入聚合物，每口注入井的聚合物注入浓度均为1.8g/L，注入1200天后停止注入聚合物。在生产过程中，注入井的注入量Q_in＝30m³/d，，生产井产液量为Q_out＝120m³/d。

采用所提出的聚合物驱迭代动态规划算法对聚合物驱开发方案进行优化，其注入过程分为三个段塞，聚合物价格为20000￥/t，原油价格为3250￥/t，年折现率r＝0.12，获得生产净现值J^*＝181910万元，而采用油藏数值模拟软件优化获得生产净现值J＝181570万元，聚合物驱油结束时间均为t_f＝1726天。可见迭代动态规划算法优化的聚合物驱开发方案可以获得更大的经济效益。聚合物驱注入浓度和含水率曲线见图3和4。

应用可变级长迭代动态规划算法，求解终端时间不固定的聚合物驱动态规划问题。每口注入井采用相同的注聚方案。在终端时刻不固定的情况下，实现注入浓度与段塞长度的同时优化，获得的生产净现值为J^*＝182090万元，聚合物驱油结束时间t_f＝1178天，高于油藏数值模拟软件产生的优化方案性能指标J＝181570万元，聚合物驱油结束时间t_f＝1726天。聚合物驱注入浓度和含水率曲线见图5和6。由图5可以看出，采用级长可变的迭代动态规划方法优化得到的聚合物驱注入方式，其注聚开采时间显著减少。更少的油田注聚开采时间，意味着更高的油田开采效率。图6的含水率曲线显示，优化后的含水率曲线有更低的含水率最低点。由于某时刻含水率越低代表此时采出液中含油量越高，因此通常生产中将更低的含水曲线看做一个方案是否更好的标准。

1)固定级长迭代动态规划求解结果见图3，图4；

2)可变级长迭代动态规划求解结果见图5，图6。

以上阐述的是本发明给出的实例表现出的优良效果，显然本发明不只是限于上述实例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。本发明对求解其他行业过程优化问题有一定借鉴意义，可推广应用于能源、交通、冶金、石化、轻工、医药、建材、纺织等行业的优化问题。

Claims (4)

1.一种聚合物驱提高原油采收率的动态规划方法，其特征在于：所述动态规划方法包括以下步骤：

1)、建立聚合物驱提高原油采收率的离散动态规划模型；

2)、基于迭代动态规划求解聚合物驱动态规划问题；

3)、利用级长可变迭代动态规划处理自由时间问题。

2.根据权利要求1所述的聚合物驱提高原油采收率的动态规划方法，其特征是，步骤1)中，所述建立聚合物驱提高原油采收率的离散动态规划模型，具体为：根据油藏中原油的渗流机理和聚合物驱油机理，建立三维油藏聚合物驱油模型；以净现值最大为指标，考虑聚合物用量约束和注入浓度约束；采用全隐式差分将问题离散化，获得聚合物驱提高原油采收率的离散动态规划模型，具体为：

$\underset{v}{\max }J=\underset{n=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{J}^n=\underset{n=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\τ}}^n({\mathrm{\ξ}}_o\underset{j\∈{\mathrm{\κ}}_p}{\mathrm{\Σ}}{Q}_{\mathrm{oj}}^n{\mathrm{\ξ}}_p-\underset{j\∈{\mathrm{\κ}}_w}{\mathrm{\Σ}}{Q_{\mathrm{in}}}_j^n{v}_j^n){(1+r)}^{-t^n}$

s.t.

gⁿ(uⁿ⁺¹，uⁿ，vⁿ，n)＝0，

$\underset{n=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\τ}}^n\underset{j\∈{\mathrm{\κ}}_n}{\mathrm{\Σ}}{Q}_j^n{v}_j^n\≤m_{p\max },$

0≤v≤v_max，

uⁿ|_n＝0＝u⁰.

3.根据权利要求1所述的聚合物驱提高原油采收率的动态规划方法，其特征是，步骤2)中，所述基于迭代动态规划求解聚合物驱动态规划问题，具体为：

1)将聚合物驱的整个注聚过程分为P个离散时间段；

2)选取初始状态网格数N，控制网格数R，收缩因子γ和最大迭代次数；给定各离散时间段的初始最优决策变量v^*(k)，k＝1，2，...，P，选取搜索区域r(k)；令迭代步数j＝0；

3)在各离散时间段内产生R个决策变量v_i(k)，i＝1，...，R，通过有限差分方法联立求解系统渗流物理方程得到每个离散时间段的N个状态网格；

4)根据Bellman最优性原理，从末端时间段起依次向前计算，获得本次迭代各离散时间段上的最优决策变量v^*(k)；

5)重新修正寻优区间r(k)＝γr(k)，返回(3)步直到满足最大迭代次数。

4.根据权利要求1所述的聚合物驱提高原油采收率的动态规划方法，其特征是，步骤3)中，所述利用级长可变迭代动态规划处理自由时间问题，具体为：

步骤一：将整个动态系统离散化为P个相同长度时间段，各离散阶段长度均为L；

步骤二：在给定的寻优区间r_in内选取R个决策变量，在初始级长容许域s_in内选择初始级长；选取收缩参数r和还原参数η，给定最大的循环次数N_qmax以及最大迭代次数N_jmax；

步骤三：令每次循环的次数为q，并令q＝1；设每次迭代的代数为j，令j＝1；

步骤四：选取本次迭代的寻优区间r＝η^q-1r_in，s＝η^q-1s_in；

步骤五：根据本次迭代获得的决策变量以及系统的初始状态值，前向求解支配方程(聚合物驱渗流物理方程)得到本次迭代各离散时间段的系统状态值u(k)，k＝1，...，P；

步骤六：设当前离散段数为P，更新阶段数令k＝P-1；在允许寻优区域r和s内，取R个可行决策变量，包括控制的值和级长：

u(P)＝u^*j(P)+Dr^j(P)，

Δt(P)＝Δt^*j(P)+ωs^j(P)，

其中D为m×m维的矩阵，其元素为-1到+1间的随机数。ω为-1到+1间的随机数。v^*j(P)为控制的最优值，Δt^*j(P)为级长的最优值，两者均为当前迭代步特殊网格节点获得的值；

根据产生的决策变量、已有的系统状态u(k)和该阶段之后的各时间段的最优决策变量，求解获得该阶段之后每个阶段的系统状态，然后计算目标函数J，即取得该阶段的最优决策变量u^*(k)；阶段计数减1，即k＝k-1；如果k＝0当前循环的迭代结束；

步骤七：为下一步迭代做准备，收缩容许域：

r^j+1(k)＝γr^j(k)，k＝1，2，…P

s^j+1(k)＝γs^j(k)，k＝1，2，…P

其中γ为收缩因子，j为迭代索引；

令当前迭代次数加1，即j＝j+1；达到最大次数后结束，更新j＝1；

步骤八：令q＝q+1；若达到最大循环次数N_jmax，结束整个迭代步骤。

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