CN102393239B - 一种利用汽轮机叶片称重装置的基于蚁群算法的汽轮机叶片排序方法 - Google Patents

Abstract

汽轮机叶片称重装置及基于蚁群算法的汽轮机叶片排序方法，具体涉及一种汽轮机叶片称重装置及排序方法。本发明为解决采用现有的称重装置称量精度低、无法保证同一叶轮的每片叶片和测量点的相对位置一致以及现有的汽轮机叶片排序方法收敛性差的问题。两个桥式称重传感器中的一个传感器水平设置且一端固装在凸台上，所述锥齿轮升降机固装在所述传感器另一端的上端面上；步骤A、称量叶片；步骤B、求得汽轮机叶轮圆心的理论力矩；步骤C、求得汽轮机叶片相对于叶轮圆心的实际力矩；步骤D：求解汽轮机叶片排序方式最优解；步骤E：采用蚁群算法进行叶片优化排序。本发明用于汽轮机叶片的称重和汽轮机叶片排序。

Description

一种利用汽轮机叶片称重装置的基于蚁群算法的汽轮机叶片排序方法

技术领域

本发明涉及一种汽轮机叶片称重装置及利用该称重装置进行汽轮机叶片排序的方法。

背景技术

汽轮机是将蒸汽的热能转换成机械功的一种旋转式原动机，叶轮是汽轮机转动部分中的重要部件。叶轮一个级别叶片安装后的残余不平衡量，是构成级轴系振动的主要因素之一，是影响稳定运行的安全隐患，必须予以重视。一个级别的所有叶片在制造质量和设计质量会存在一定的偏差，这是造成级安装后有残余不平衡量的主要因素。因此叶轮在装配之前必须逐个称量叶片的力矩，并优化叶片的排列顺序，以尽量降低装配后的叶轮残余不平衡量。

目前，力矩称量方式一般是采用两台电子秤来逐片称量叶片的叶根重量及叶顶重量，用米尺来测量电子秤之间的距离，然后计算出每片叶片的力矩，再根据配对对称的原理确定叶片安装顺序；采用电子秤和米尺的精度低，原始数据的精度有限，计算出来的力矩精度自然也有限；称量后计算所得的力矩都是相对于某个测量点的相对力矩，无法保证同一叶轮的每片叶片和测量点的相对位置一致，从而会给排序过程引入误差；即便是同一个叶片，反复测量也可能由于称量位置的变化计算出不同的力矩结果。

现有的配对对称法仅仅是根据矢量求和的原理，按照叶片力矩大小排序，依次相对安放，上述方法收敛性差，仅适用于叶片彼此力矩相差很小的情况，如果叶片彼此力矩相差稍大一些，该算法便较难将叶轮参与不平衡量控制在限定范围内。

综上，采用电子秤和米尺对汽轮机叶片称重存在称量精度低、无法保证同一叶轮的每片叶片和测量点的相对位置一致以及现有的汽轮机叶片排序方法收敛性差。

发明内容

本发明为解决采用现有的称重装置称量精度低、无法保证同一叶轮的每片叶片和测量点的相对位置一致以及现有的汽轮机叶片排序方法收敛性差的问题，进而提供一种汽轮机叶片称重装置及基于蚁群算法的汽轮机叶片排序方法。

本发明为解决上述技术问题采取的技术方案是：

本发明所述的汽轮机叶片称重装置包括工作台、托盘、托盘架、支撑架、限位挡板、台板、锥齿轮升降机、第一钢板、第二钢板、两根导轨、两个桥式称重传感器、两个可调位紧定手柄、两个限位块和多个滑块，所述台板安装在工作台的上端面上，所述两根导轨沿工作台的长度方向平行设置在台板的上端面上，所述第一钢板的下端面通过滑块安装在两根导轨上，所述第一钢板上端面的中部设有凸台，两个桥式称重传感器中的一个传感器水平设置且一端固装在凸台上，所述锥齿轮升降机固装在所述传感器另一端的上端面上，所述托盘架固装在锥齿轮升降机的上端面上，所述托盘位于托盘架的上端面上，所述第二钢板的下端面通过滑块安装在两根导轨上，所述支撑架通过两个桥式称重传感器中的余下的一个固装在第二钢板的上端面上，所述限位挡板固装在台板一端的上端面上，所述限位挡板与支撑架位于台板的同一端上，每块钢板的下端面上固装有一个限位块，每个限位块上安装有一个可调位紧定手柄，每个限位块通过对应的可调位紧定手柄锁紧在导轨上，所述工作台上沿工作台的长度方向开有凹槽。

本发明的基于蚁群算法的汽轮机叶片排序方法是按着以下步骤实现的：

步骤A、称量叶片：将所述汽轮机叶片称重装置的锥齿轮升降机和支撑架沿导轨滑动，使锥齿轮升降机与汽轮机叶顶的位置对应，支撑架与汽轮机叶根的位置对应，采用光栅尺测得汽轮机叶根与限位挡板之间的距离和汽轮机叶顶与限位挡板之间的距离，通过压力传感器读取叶根重量和叶顶重量；

步骤B、求得汽轮机叶轮圆心的理论力矩：

根据力学原理求得汽轮机叶片的重心到限位挡板的距离：

L=(N₁·L₁+N₂·L)/(N₁+N₂)     (1)

汽轮机叶片相对于叶轮圆心的理论力矩大小：

M=(N₁+N₂)·(L+R)=m·r     (2)

其中N1为叶根重量；N2为叶顶重量；L由公式（1）可求得；R为汽轮机叶轮半径；

步骤C、当考虑叶根到中心距离和叶片安装角度时，求得汽轮机叶片相对于叶轮圆心的实际力矩：

${\stackrel{\→}{M}}_i=m_i{r}_i{e}^{i{\mathrm{\θ}}_i}---\left(3\right)$

其中m_i为汽轮机叶片质量，m_i>0,i=1,2,…，n；

步骤D、求解汽轮机叶片排序方式最优解：

当叶轮的残余不平衡量最小时，汽轮机叶片排序方式为最优解，即

$\min \left\{{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{M}}_i\left|\right|}^2\right\}---\left(4\right)$

其中n表示汽轮机叶片数量；

其中

${\left|\right|\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{M}}_i\left|\right|}^2=\underset{i,j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({\stackrel{\→}{M}}_i,{\stackrel{\→}{M}}_j)=M^T\mathrm{\ΔM}---\left(5\right)$

其中

表示内积，M＝(m₁r₁,m₂r₂,…,m_nr_n)^T，△＝(△_i,j)_n×n＝(cos(θ_i-θ_j))_n×n；

由于汽轮机相邻两个叶片之间的夹角是固定的，可得到公式（6）和公式（7）：

${\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_j=\frac{2\mathrm{\π}|i-j|}{n}---\left(6\right)$

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{i{\mathrm{\θ}}_i}=0---\left(7\right)$

因此求解公式（4）转化为求解公式（8）：

$\underset{M\∈\mathrm{\Σ}}{\min }\left\{M^T\mathrm{\ΔM}\right\}---\left(8\right)$

其中∑为允许集；

由(△_i,j)_n×n＝(cos(θ_i-θ_j))_n×n及公式（6）可知△为对称半正定阵，存在可逆阵C，即

△＝C^TC     (9)

所以求解公式（8）转化为求解公式（10）：

$\underset{M\∈\mathrm{\Σ}}{\min }\left\{M^T{C}^T\mathrm{CM}\right\}=\underset{M\∈\mathrm{\Σ}}{\min }{\left|\right|\mathrm{CM}\left|\right|}_2^2---\left(10\right)$

其中C是一个确定的矩阵，只需确定M的分量m_ir_i的组合顺序即可；

步骤E、采用蚁群算法进行叶片优化排序：

步骤E1、初始化M的分量m_ir_i的每条路径上的信息激素浓度，如下式：

${\mathrm{\τ}}_{i,j}\left(0\right)=\frac{1}{\left|C\right|}---\left(11\right)$

步骤E2、把初始化M的分量m_ir_i随机地放置在圆周n个点上，把已访问的圆周点写入禁忌表；

步骤E3、如果第k＝1,2,…m个M的分量m_ir_i还有未访问的圆周点，则该第k＝1,2,…m个M的分量m_ir_i根据该分量当前所在点i和概率函数P_i,j在当前时刻的值选择下一个还没有访问的圆周点j，得到公式（12）：

$P_{i,j}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\τ}}_{i,j}\left(t\right)}{\underset{l\∈T}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\τ}}_{i,j}\left(t\right)},& j\∈T\\ 0,& j\∉T\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中

且

L(s)表示M的分量m_ir_i的点的集合，τ_i,j(t)表示在t时刻，边(i,j)上的信息浓度，则在t+1时刻的信息浓度为：

其中W为当前最优解，每个M的分量m_ir_i的W的第一个元素赋值为第一个点；ρ_t为挥发因子，此处取ρ_t＝e^-t；

依次把选择的点写入禁忌表，直到所有的点都访问完；

步骤E4、以C_i,j作为路径长度，计算k＝1，2，…m条路径的路径长度，根据每条路径选出每条路径的最优路径，根据最优路径更新最优解；

步骤E5、根据每条路径的访问情况更新每一条路径上的信息激素浓度，清空禁忌表；

步骤E6、判断是否满足结束条件，满足条件则结束；如果不满足结束条件转到步骤E2重新访问，直到全部访问完满足结束条件为止。

本发明的有益效果是：

本发明的汽轮机叶片称重装置采用两个桥式称重传感器、锥齿轮升降机和支撑架，并且锥齿轮升降机和支撑架可以沿导轨的长度方向滑动，与现有的电子秤称量汽轮机叶片相比，本发明的称重装置称量精度高，通过对锥齿轮升降机和支撑架的位置调节，保证了同一叶轮的每片叶片和测量点的相对位置一致；

本发明的基于蚁群算法的汽轮机叶片排序方法与现有的配对对称法相比，具有良好的收敛性。

附图说明

图1是本发明的汽轮机叶片称重装置主视剖视图，图2是图1的俯视图，图3是图1的左视剖视图，图4是汽轮机叶片力矩称量原理图。

具体实施方式

具体实施方式一：如图1～3所示，本实施方式的汽轮机叶片称重装置包括工作台1、托盘8、托盘架9、支撑架11、限位挡板12、台板14、锥齿轮升降机7、第一钢板23、第二钢板31、两根导轨3、两个桥式称重传感器10、两个可调位紧定手柄21、两个限位块22和多个滑块24，所述台板14安装在工作台1的上端面上，所述两根导轨3沿工作台1的长度方向平行设置在台板14的上端面上，所述第一钢板23的下端面通过滑块24安装在两根导轨3上，所述第一钢板23上端面的中部设有凸台23-1，两个桥式称重传感器10中的一个传感器水平设置且一端固装在凸台23-1上，所述锥齿轮升降机7固装在所述传感器另一端的上端面上，所述托盘架9固装在锥齿轮升降机7的上端面上，所述托盘8位于托盘架9的上端面上，所述第二钢板31的下端面通过滑块24安装在两根导轨3上，所述支撑架11通过两个桥式称重传感器10中的余下的一个固装在第二钢板31的上端面上，所述限位挡板12固装在台板14一端的上端面上，所述限位挡板12与支撑架11位于台板14的同一端上，第一钢板23和第二钢板25的下端面上分别固装有一个限位块22，每个限位块22上安装有一个可调位紧定手柄21，每个限位块22通过对应的可调位紧定手柄21锁紧在导轨3上，所述工作台1上沿工作台的长度方向开有凹槽1-1。

在现场的实际运行过程中，当有很多叶轮时，在安装的时候根据叶轮的设计有可能需要固定部分叶片在汽轮机叶轮的指定位置。

本发明的两个桥式称重传感器10的分辨率为0.6g，经重复称量测试精度完全满足≤4g/60kg的要求；

光栅尺的测距传感器分辨率为0.05mm，经重复测量测试精度完全满足≤1mm/2200mm的要求；

支撑架11与锥齿轮升降机7中心距可调，即汽轮机根部定位装置与汽轮机顶部定位装置中心距可以实现最小间距50mm，保证最短叶片能够测量；

根部定位装置和顶部定位装置均可沿导轨横向移动并且可以锁定。

具体实施方式二：如图1和图3所示，本实施方式所述锥齿轮升降机7包括内波纹手轮16、轴承19、轴承座20、涡轮25、蜗杆26、传动轴27、伞齿轮28和壳体29构成，所述轴承座20固装在壳体29上，所述轴承安装在轴承座20上，所述涡轮25和伞齿轮28均位于壳体29内，所述涡轮25安装在壳体29底部中心处的上端面上，所述蜗杆26的上端由下至上依次穿过壳体29的底端面、涡轮25和壳体29的上端面与托盘架9固接，所述传动轴27通过轴承19安装在壳体29上，所述传动轴27的一端穿过壳体29的侧壁与伞齿轮28固接为一体，所述伞齿轮28与涡轮25相啮合，所述内波纹手轮16安装在传动轴27的另一端上，所述蜗杆26的下端穿过凹槽1-1。如此设计，可以通过锥齿轮升降机7调节托盘8在垂直方向的位置。其他组成及连接关系与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：如图3所示，本实施方式所述锥齿轮升降机7还包括轴承盖18，所述轴承盖固装在轴承座20上。如此设计，对轴承19起到密封作用。其它组成及连接关系与具体实施方式二相同。

具体实施方式四：如图1所示，本实施方式的所述称重装置还包括固定锁紧手柄30，所述固定锁紧手柄30安装在托盘架9上。如此设计，可以通过锁紧手柄30将托盘8和汽轮机叶片锁紧在托盘架9上。其他组成及连接关系与具体实施方式一、二或三相同。

具体实施方式五：如图1～4所示，本实施方式的基于蚁群算法的汽轮机叶片排序方法的步骤如下：

步骤A、称量叶片：将所述汽轮机叶片称重装置的锥齿轮升降机7和支撑架11沿导轨3滑动，使锥齿轮升降机7与汽轮机叶顶的位置对应，支撑架11与汽轮机叶根的位置对应，采用光栅尺测得汽轮机叶根与限位挡板12之间的距离L1和汽轮机叶顶与限位挡板12之间的距离L2，通过压力传感器读取叶根重量N1和叶顶重量N2；

步骤B、求得汽轮机叶轮圆心的理论力矩：

根据力学原理求得汽轮机叶片的重心到限位挡板12的距离L：

L＝(N₁·L₁+N₂·L)/(N₁+N₂)     (1)

汽轮机叶片相对于叶轮圆心的理论力矩大小：

M＝(N₁+N₂)·(L+R)＝m·r     (2)

其中N1为叶根重量；N2为叶顶重量；L由公式（1）可求得；R为汽轮机叶轮半径；

步骤C、当考虑叶根到中心距离和叶片安装角度时，求得汽轮机叶片相对于叶轮圆心的实际力矩：

${\stackrel{\→}{M}}_i=m_i{r}_i{e}^{i{\mathrm{\θ}}_i}---\left(3\right)$

其中m_i为汽轮机叶片质量，m_i＞0,i＝1,2,…,n；

步骤D、求解汽轮机叶片排序方式最优解：

当叶轮的残余不平衡量最小时，汽轮机叶片排序方式为最优解，即

$\min \left\{{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{M}}_i\left|\right|}^2\right\}---\left(4\right)$

其中n表示汽轮机叶片数量；

其中

${\left|\right|\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{M}}_i\left|\right|}^2=\underset{i,j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({\stackrel{\→}{M}}_i,{\stackrel{\→}{M}}_j)=M^T\mathrm{\ΔM}---\left(5\right)$

其中

表示内积，M＝(m₁r₁,m₂r₂,…,m_nr_n)^T，△＝(△_i,j)_n×n＝(cos(θ_i-θ_j))_n×n；

由于汽轮机相邻两个叶片之间的夹角是固定的，可得到公式（6）和公式（7）：

${\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_j=\frac{2\mathrm{\π}|i-j|}{n}---\left(6\right)$

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{i{\mathrm{\θ}}_i}=0---\left(7\right)$

因此求解公式（4）转化为求解公式（8）：

$\underset{M\∈\mathrm{\Σ}}{\min }\left\{M^T\mathrm{\ΔM}\right\}---\left(8\right)$

其中∑为允许集；

由(△_i,j)_n×n＝(cos(θ_i-θ_j))_n×n及公式（6）可知△为对称半正定阵，存在可逆阵C，即

△＝C^TC     (9)

所以求解公式（8）转化为求解公式（10）：

$\underset{M\∈\mathrm{\Σ}}{\min }\left\{M^T{C}^T\mathrm{CM}\right\}=\underset{M\∈\mathrm{\Σ}}{\min }{\left|\right|\mathrm{CM}\left|\right|}_2^2---\left(10\right)$

其中C是一个确定的矩阵，只需确定M的分量m_ir_i的组合顺序即可；

步骤E、采用蚁群算法进行叶片优化排序：

步骤E1、初始化M的分量m_ir_i的每条路径上的信息激素浓度，如下式：

${\mathrm{\τ}}_{i,j}\left(0\right)=\frac{1}{\left|C\right|}---\left(11\right)$

步骤E2、把初始化M的分量m_ir_i随机地放置在圆周n个点上，把已访问的圆周点写入禁忌表；

步骤E3、如果第k＝1,2,…m个M的分量m_ir_i还有未访问的圆周点，则该第k＝1,2,…m个M的分量m_ir_i根据该分量当前所在点i和概率函数P_i,j在当前时刻的值选择下一个还没有访问的圆周点j，得到公式（12）：

$P_{i,j}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\τ}}_{i,j}\left(t\right)}{\underset{l\∈T}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\τ}}_{i,j}\left(t\right)},& j\∈T\\ 0,& j\∉T\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中

且

L(s)表示M的分量m_ir_i的点的集合，τ_i,j(t)表示在t时刻，边(i,j)上的信息浓度，则在t+1时刻的信息浓度为：

其中W为当前最优解，每个M的分量m_ir_i的W的第一个元素赋值为第一个点；ρ_t为挥发因子，此处取ρ_t＝e^-t；

依次把选择的点写入禁忌表，直到所有的点都访问完；

步骤E4、以C_i,j作为路径长度，计算k＝1，2，…m条路径的路径长度，根据每条路径选出每条路径的最优路径，根据最优路径更新最优解；

步骤E5、根据每条路径的访问情况更新每一条路径上的信息激素浓度，清空禁忌表；

步骤E6、判断是否满足结束条件，满足条件则结束；如果不满足结束条件转到步骤E2重新访问，直到全部访问完满足结束条件为止。

为了避免陷入局部最优解，若最优解已经持续多次没有更新了，则执行一只M的分量m_ir_i的寻径，找到后更新当前最优解和信息素，然后开始新一轮的循环；当循环的次数达到规定时或者所有M的分量m_ir_i都选择了同一种路径方式时或者特殊的M的分量m_ir_i回退的次数到达要求时或者特殊M的分量m_ir_i找到的路径等于当前最优解时，整个程序终止。

实施例：

根据基于蚁群算法的优化排序方法编制的叶片排序软件结合相关叶片称重装置已经试运行了一年多，期间积累了大量的测试数据，测试过的机组叶片从24片到200片不等，基于蚁群算法的优化排序方法均显示出了非常好的收敛性和优化结果。

以2009年12月17日至2011年2月3日实测的4700组叶片数据为基础数据，经基于蚁群算法的优化排序方法，得出的不平衡量分布状况（单位均为g*mm）如下所示：

18组测试数据叶轮不平衡量位于区间[0.01，0.1），占总测试数据的0.38%；

349组测试数据叶轮不平衡量位于区间[0.1，1），占总测试数据的7.43%；

2744组测试数据叶轮不平衡量位于区间[1，24），占总测试数据的58.38%；

1466组测试数据叶轮不平衡量位于区间[24,240），占总测试数据的31.19%；

103组测试数据叶轮不平衡量位于区间[240,2400），占总测试数据的2.19%；

20组测试数据叶轮不平衡量位于区间[2400,24000），占总测试数据的0.43%；

3组测试数据叶轮不平衡量位于区间[24000,240000]，占总测试数据的0.06%；

以上测试数据中叶轮不平衡量最大的为60488.4205，最小的为0.0239。

采用现有的配对对称安装法，对于叶轮残余不平衡量的标准设定为不能大于240000g*mm。通过如上所示数据我们可以看到，在应用了蚁群算法之后，有97.38%的叶片数据经排序后叶轮残余不平衡量降到了240g*mm以下，即小于原有标准的1‰。有99.57%的叶片数据经排序后叶轮残余不平衡量降到了2400g*mm以下，即小于原有标准的1%。其余测试数据经排序后叶轮残余不平衡量最大的也仅为60488.4205，比原有标准仍然降低了一个数量级。

这4700组叶片中，有1247组都存在需要锁定叶片的情况，从以上的结果可以看出，该特殊情况对于我们的优化排序方法收敛性并没有可见的影响。

从以上实验结果可以看出，在现场的长时间实测过程中，对于现场的各种实际情况，蚁群算法均能找到一个优化的排序方式，并且最终得出的叶轮残余不平衡量远低于原有的标准设定值；蚁群算法的收敛速度快、运算结果稳定等优势都得到了体现。而且由于蚁群算法的分布式控制性、自组织性等特点，还可以满足现场应用中固定叶片、替换叶片等特殊要求。

Claims (1)

1.一种利用汽轮机叶片称重装置的基于蚁群算法的汽轮机叶片排序方法，所述称重装置包括工作台（1）、托盘（8）、托盘架（9）、支撑架（11）、限位挡板（12）、台板（14）、锥齿轮升降机（7）、第一钢板（23）、第二钢板（25）、两根导轨（3）、两个桥式称重传感器（10）、两个可调位紧定手柄（21）、两个限位块（22）和多个滑块（24），所述台板（14）安装在工作台（1）的上端面上，所述两根导轨（3）沿工作台（1）的长度方向平行设置在台板（14）的上端面上，所述第一钢板（23）的下端面通过滑块（24）安装在两根导轨（3）上，所述第一钢板（23）上端面的中部设有凸台（23-1），两个桥式称重传感器（10）中的一个传感器水平设置且一端固装在凸台（23-1）上，所述锥齿轮升降机（7）固装在所述传感器另一端的上端面上，所述托盘架（9）固装在锥齿轮升降机（7）的上端面上，所述托盘（8）位于托盘架（9）的上端面上，所述第二钢板（25）的下端面通过滑块（24）安装在两根导轨（3）上，所述支撑架（11）通过两个桥式称重传感器（10）中的余下的一个固装在第二钢板（25）的上端面上，所述限位挡板（12）固装在台板（14）一端的上端面上，所述限位挡板（12）与支撑架（11）位于台板（14）的同一端上，第一钢板（23）和第二钢板（25）的下端面上分别固装有一个限位块（22），每个限位块（22）上安装有一个可调位紧定手柄（21），每个限位块（22）通过对应的可调位紧定手柄（21）锁紧在导轨（3）上，所述工作台（1）上沿工作台的长度方向开有凹槽（1-1）；其特征在于基于蚁群算法的汽轮机叶片排序方法的步骤如下：

步骤A、称量叶片：将所述汽轮机叶片称重装置的锥齿轮升降机（7）和支撑架（11）沿导轨（3）滑动，使锥齿轮升降机（7）与汽轮机叶顶的位置对应，支撑架（11）与汽轮机叶根的位置对应，采用光栅尺测得汽轮机叶根与限位挡板（12）之间的距离L1和汽轮机叶顶与限位挡板（12）之间的距离L2，通过压力传感器读取叶根重量（N1）和叶顶重量（N2）；

步骤B、求得汽轮机叶轮圆心的理论力矩：

根据力学原理求得汽轮机叶片的重心到限位挡板（12）的距离L：

L＝(N₁·L₁+N₂·L)/(N₁+N₂)     (1)

汽轮机叶片相对于叶轮圆心的理论力矩大小：

M＝(N₁+N₂)·(L+R)＝m·r     (2)

其中N1为叶根重量；N2为叶顶重量；L由公式（1）可求得；R为汽轮机叶轮半径；

步骤C、当考虑叶根到中心距离和叶片安装角度时，求得汽轮机叶片相对于叶轮圆心的实际力矩：

${\stackrel{\→}{M}}_i=m_i{r}_i{e}^{i{\mathrm{\θ}}_i}---\left(3\right)$

其中m_i为汽轮机叶片质量，m_i＞0,i＝1,2,…,n；

步骤D、求解汽轮机叶片排序方式最优解：

当叶轮的残余不平衡量最小时，汽轮机叶片排序方式为最优解，即

$\min \left\{{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{M}}_i\left|\right|}^2\right\}---\left(4\right)$

其中n表示汽轮机叶片数量；

其中

${\left|\right|\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{M}}_i\left|\right|}^2=\underset{i,j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(\stackrel{\→}{M_i},{\stackrel{\→}{M}}_j)=M^T\mathrm{\ΔM}---\left(5\right)$

其中表示内积，M＝(m₁r₁,m₂r₂,…,m_nr_n)^T，△＝(△_i,j)_n×n＝(cos(θ_i-θ_j))_n×n；

由于汽轮机相邻两个叶片之间的夹角是固定的，可得到公式（6）和公式（7）：

${\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_j=\frac{2\mathrm{\π}|i-j|}{n}---\left(6\right)$

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{i{\mathrm{\θ}}_i}=0---\left(7\right)$

因此求解公式（4）转化为求解公式（8）：

$\underset{M\∈\mathrm{\Σ}}{\min }\left\{M^T\mathrm{\ΔM}\right\}---\left(8\right)$

其中∑为允许集；

由(△_i,j)_n×n＝(cos(θ_i-θ_j))_n×n及公式（6）可知△为对称半正定阵，存在可逆阵C，即

△＝C^TC     (9)

所以求解公式（8）转化为求解公式（10）：

$\underset{M\∈\mathrm{\Σ}}{\min }\left\{M^T{C}^T\mathrm{CM}\right\}=\underset{M\∈\mathrm{\Σ}}{\min }{\left|\right|\mathrm{CM}\left|\right|}_2^2---\left(10\right)$

其中C是一个确定的矩阵，只需确定M的分量m_ir_i的组合顺序即可；

步骤E、采用蚁群算法进行叶片优化排序：

步骤E1、初始化M的分量m_ir_i的每条路径上的信息激素浓度，如下式：

${\mathrm{\τ}}_{i,j}\left(0\right)=\frac{1}{\left|C\right|}---\left(11\right)$

步骤E2、把初始化M的分量m_ir_i随机地放置在圆周n个点上，把已访问的圆周点写入禁忌表；

步骤E3、如果第k＝1,2,…m个M的分量m_ir_i还有未访问的圆周点，则该第k＝1,2,…m个M的分量m_ir_i根据该分量当前所在点i和概率函数P_i,j在当前时刻的值选择下一个还没有访问的圆周点j，得到公式（12）：

$P_{i,j}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\τ}}_{i,j}\left(t\right)}{\underset{l\∈T}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\τ}}_{i,j}\left(t\right)},& j\∈T\\ 0,& j\∉T\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中

且

L(s)表示M的分量m_ir_i的点的集合，τ_i,j(t)表示在t时刻，边(i,j)上的信息浓度，则在t+1时刻的信息浓度为：

其中W为当前最优解，每个M的分量m_ir_i的W的第一个元素赋值为第一个点；ρ_t为挥发因子，此处取ρ_t＝e^-t；

依次把选择的点写入禁忌表，直到所有的点都访问完；

步骤E4、以C_i,j作为路径长度，计算k＝1，2，…m条路径的路径长度，根据每条路径选出每条路径的最优路径，根据最优路径更新最优解；

步骤E5、根据每条路径的访问情况更新每一条路径上的信息激素浓度，清空禁忌表；

步骤E6、判断是否满足结束条件，满足条件则结束；如果不满足结束条件转到步骤E2重新访问，直到全部访问完满足结束条件为止。

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