CN102325372A - 一种无线传感器网络的混合定位方法 - Google Patents

Abstract

一种无线传感器网络的混合定位方法属于无线网络信息技术领域。该方法包括两个阶段：分布式阶段和集中式阶段。在分布式阶段相邻传感器节点互换与公有相邻传感器节点间的测距信息，而后传感器节点基于测距信息依次判断是否位于由相邻传感器节点构成的三角形中并计算相应的重心坐标；在集中式阶段，传感器节点将计算出的重心坐标、锚节点将已知的位置信息通过多跳路由传输到汇聚节点，汇聚节点根据接收到的信息估计未知传感器节点的位置信息，保持锚节点的位置不变并使无线传感器网络满足由重心坐标揭示的相对结构，最后汇聚节点将估计出的位置信息通过多跳路由传输给相应的传感器节点。该方法极大提高了传感器节点的定位精度。

Description

一种无线传感器网络的混合定位方法

技术领域

本发明涉及无线传感器网络定位，具体是一种利用已知传感器节点的位置和相邻传感器节点间的测距来估计未知传感器节点位置的方法，适合于部分传感器节点位置已知、相邻传感器节点能测距的无线传感器网络的定位，属于无线网络信息技术领域。

背景技术

由多个能感知信息、处理信息、有通信能力的传感器节点自组织构成的无线传感器网络被广泛应用在环境监测、目标跟踪等应用中，在这些应用中传感器节点的位置信息至关重要。给每个传感器节点配备GPS定位模块不仅花费过高，GPS模块的耗电也会大大缩短整个无线传感器网络的使用寿命。目前，最主流的无线传感器网络定位方法是根据部分已知传感器节点(锚节点)的位置和相邻传感器节点间的测距来估计未知传感器节点的位置，可分为集中式定位方法和分布式定位方法。集中式定位方法首先将传感器节点间的测距及锚节点的位置信息通过多跳路由传输到汇聚节点(一般，汇聚节点信息处理能力强大、电源能量充足。可将汇聚节点看作无线传感器网络中一个特殊的传感器节点。)，而后汇聚节点根据接收到的信息估计未知传感器节点的位置，最后再将估计出的传感器节点的位置信息通过多跳路由传输到相应的传感器节点上。2003年Shang Y.等人基于Multidimensional Scaling(MDS)技术提出基于MDS的无线传感器网络定位方法MDS-MAP(Shang Y.，Ruml W.，Zhang Y.Localization from Mere Connectivity.In Proceedings of the4th ACM International Symposium on Mobile Ad Hoc Networking andComputing，2003)，这种方法对传感器节点分布比较分散的无线传感器网络效果较差。分布式定位方法则通过交换相邻传感器节点间的信息使传感器节点相互协作来估计未知传感器节点的位置，可分为自适应多边测量定位法(adapted multilateration methods)和迭代优化法(successive refinementmethods)。自适应多边测量定位法通过在整个无线传感器网络上泛洪锚节点的位置信息来估计每跳的距离进而估计未知传感器节点与锚节点间的距离，而后再基于多边测量定位技术来估计未知传感器节点的位置。当锚节点分布比较稀疏时，估计出的未知传感器节点与锚节点间的距离误差比较大，进而估计出的传感器节点位置误差比较大。迭代优化法则是通过传感器节点间的相互协作迭代优化目标函数来估计传感器节点的位置信息。2006年Costa等人通过分布式迭代优化权重MDS目标函数，提出dwMDS定位算法(Costa J.A.，Patwari N.，Hero III A.O.Distributed Weighted-Multidimensional Scaling forNode Localization in Wireless Sensor Networks.ACM Transaction on SensorNetworks，2(1)：2006：39-64.)，这种方法的估计精度比较差。2009年Khan等人基于重心坐标系提出分布式定位算法(Khan U.A.，Kar S.，Moura J.M.F.Distributed Sensor Localization in Random Environments Using Minimal Numberof Anchor Nodes.IEEE Transactions on Signal Processing，2009，57(5)：2000-2016.)，这种方法运行速度快并证明是收敛的，但它要求所有未知传感器节点都位于由锚节点构成的凸壳中，这一条件在现实应用中很难满足。

发明内容

本发明的目的在于提供一种无线传感器网络的定位算法，用于估计无线传感器网络中未知传感器节点的位置信息。本发明的执行分为两个阶段：分布式阶段和集中式阶段。在分布式阶段，相邻传感器节点互换测距信息，并根据与相邻节点间的测距信息计算相应的重心坐标；在集中式阶段，将所有传感器节点的重心坐标、已知传感器节点的位置信息通过多跳路由传输给汇聚节点，汇聚节点根据得到的信息估计无线传感器网络中未知传感器节点的位置信息，并通过多跳路由将估计出的位置信息传递给相应的传感器节点。

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：

整个技术方案包括分布式阶段和集中式阶段两个阶段。

a1分布式阶段

分布式阶段包括以下具体步骤：

a1.1

传感器节点i向所有相邻传感器节点发送自己的邻居节点集N_i；

a1.2

传感器节点i根据接收到的集合N_j，j∈N_i，确定与相邻传感器节点j间的公有相邻节点集C_ij＝{k|k∈N_i∧k∈N_j}；

a1.3传感器节点i向相邻传感器节点j j∈N_i发送传感器节点i与公有相邻节点集C_ij中传感器节点的测距集{p_ik|k∈C_ij}，其中传感器节点i到传感器节点k的测距p_ik为传感器节点i基于RSSI(Received Signal StrengthIndication)技术计算出的到传感器节点k的距离；

a1.4

传感器节点i穷举由相邻节点构成的三角形，并判断是否位于这些三角形中；计算完传感器节点i所在的所有由相邻节点构成的三角形的重心坐标并累加；

每个传感器节点的相邻节点都比较少，因此穷举由其相邻节点构成的三角形复杂度比较小，判断传感器节点i是否位于由相邻传感器节点j，k，l构成的三角形中的准则是由j，k，l构成的三角形Tr_jkl的面积A(Tr_jkl)是否等于三角形Tr_ikl、Tr_jil和Tr_jki的面积之和A(Tr_ikl)+A(Tr_jil)+A(Tr_jki)，其中三角形Tr_jkl面积的平方为： $A^2\left({\mathrm{Tr}}_{\mathrm{jkl}}\right)=\frac{2^m{(m!)}^2}{{(-1)}^{m+1}}\left|\begin{array}{cc}0& O^T\\ O& P\end{array}\right|,$ 其中m是传感器节点所处空间的维数加1，如果设传感器节点所处空间的维数为D，则m＝D+1，本发明主要考虑传感器传感器节点处于平面时的定位问题，因此可认为m为3，O是由1构成的m维列向量，P是由元素

构成的m×m矩阵，

是传感器节点j与传感器节点k测距的平方；

a1.5

设置传感器节点i与传感器节点j j∈N_i间的重心系数a_ij＝0，如果传感器节点i位于由相邻节点j，k，l构成的三角形内，则计算相应的重心坐标b_ij，b_ik，b_il，并更新a′_ij＝a_ij+b_ij，a′_ik＝a_ik+b_ik，a′_il＝a_il+b_il，a_ij＝a′_ij，a_ik＝a′_ik，a_il＝a′_il；

当传感器节点i位于由其相邻传感器节点构成的三角形内，则相应的重心坐标存在且唯一。如传感器节点i位于由相邻传感器节点j，k，l构成的三角形内，则相应的重心坐标b_ij，b_ik，b_il存在且唯一，同时传感器节点i又位于由其相邻节点h，u，v构成的三角形内，则相应的重心坐标b_ih，b_iu，b_iv存在且唯一，其中，

Tr_{i}\{j}表示由节点{j，k，l}+{i}-{j}构成的三角形，A(Tr_jkl)表示传感器节点j，k，l构成的三角形Tr_jkl的面积。

a2集中式阶段

集中式阶段包括以下具体步骤：

a2.1锚节点将已知的位置信息通过多跳路由传输给汇聚节点，

当a_ij≠0传感器节点i将重心系数通过多跳路由传输给汇聚节点，所有不能被相邻传感器节点构成的三角形包围的传感器节点将它与相邻节点的测距集通过多跳路由传输给汇聚节点；

a2.2汇聚节点优化如下目标函数，估计未知传感器节点的位置。由于目标函数比较复杂，直接优化代价较高，本发明基于Majorization方法，将目标函数近似为一系列二次规划问题。通过对这一系列二次规划问题的优化，求得目标函数的最优解，具体步骤为a2.2.1到a2.2.5。

$x^{*}=\underset{x\∈X}{\arg \min }Q\left(x\right)=\underset{x\∈X}{\arg \min }(1-\mathrm{\α})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|C_i{x}_i-\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{a}_{\mathrm{ij}}{x}_j\left|\right|}^2+\mathrm{\α}\underset{i\∈U}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{(p_{\mathrm{ij}}-d_{\mathrm{ij}}\left(x\right))}^2,$

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中，α∈(0，1)是权重因子，当无线传感器网络中不能被邻居节点构成的三角形包含的传感器节点所占比较较高时，α在取值范围内取较大值；反之当无线传感器网络中不能被邻居节点构成的三角形包含的传感器节点所占比较较低时，α在取值范围内取较小值，一般可取中间值0.5。x^*为目标函数的最优解，即本发明所估计的无线传感器网络中所有传感器节点的位置矩阵，D为传感器节点所处空间的维数，x_i是一个D维列向量，表示传感器节点i的估计位置，x＝[x₁，x₂，...，x_n]表示无线传感器网络中所有传感器节点的位置信息，||x_i||表示向量x_i的二范数，X是一个D×n的矩阵空间，表示x的取值范围，C_i是由传感器节点i的相邻节点构成的能包含传感器节点i的三角形的个数，N_i是传感器节点i的相邻节点集，a_ij是传感器节点i在所有不同三角形中对应于传感器节点j的重心坐标之和，也称传感器节点i与传感器节点j间的重心系数，U是不能由相邻节点构成的三角形包含的传感器节点的集合，p_ij是传感器节点i与传感器节点j的实际测距，d_ij(x)＝||x_i-x_j||是根据x计算出的传感器节点i与传感器节点j间的欧式距离，K是锚节点集，

是锚节点i的位置向量。

目标函数的前一项基于重心坐标系约束传感器节点的估计位置尽量满足由传感器节点间的测距揭示的相对结构，而后一项

约束不能由邻居节点构成的三角形包含的节点与邻居节点的测距尽量保持不变。

a2.2.1令迭代次数t＝1，给每个未知传感器节点的初始位置向量x_i(0)赋D维0向量，完成初始化D×n位置矩阵x⁺(0)，令位置矩阵y(1)＝x⁺(0)，取ε为一极小正数；

a2.2.2通过对a2.2中的目标函数Q(x)做变换，构造n×n的矩阵H₁，H₂；

a_i是由传感器节点i相应的重心系数构成的列向量，

基于a_i构造n×n的矩阵

构造n×n矩阵{M₂}_ij＝C_ia_ij，构造由C₁，C₂，...，C_n元素构成的n×n对角矩阵M₁，得n×n的矩阵H₁＝M₁-2*M₂+M₃；

定义w_ij为指示变量，即

构造第l个对角元素为

的n×n对角矩阵M₄，构造n×n矩阵{M₅}_ij＝w_ij，得n×n的矩阵H₂＝M₄-2*M₅；

a2.2.3基于Majorization方法，构造矩阵

并优化如下二次规划问题，估计传感器网络中传感器节点的位置，

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中D是每个变量x_i的维数，

是位置矩阵x的第i行，

是位置矩阵y(t)的第i行。

矩阵

为Majorization方法用

近似Q(x)推导所得，具体构造过程为：构造n×n的对角矩阵

第j个对角元素为构造n×n的对角矩阵第i个对角元素为

构造n×n的矩阵

第i行第j列元素为得n×n的矩阵 $H_3^t=F_1^t+F_2^t-F_3^t-{\left(F_3^t\right)}^T.$

a2.2.4如果Q(y(t))-Q(x⁺(t))＜ε，转步骤a2.3；

a2.2.5令y(t+1)←x⁺(t)，t←t+1，转步骤a2.2.3；

a2.3汇聚节点将估计出的位置信息x^*通过多跳路由传输给相应的传感器节点。

本发明在几乎不增加无线传感器网络通信代价的前提下，大大提高了传感器节点的定位精度。

附图说明

图1例1无线传感器网络示意图

图2.本发明步骤a2.2.3_1在图1所示无线传感器网络上的执行结果

图3.本发明步骤a2.2.3_2在图1所示无线传感器网络上的执行结果

图4.本发明步骤a2.2.3_5在图1所示无线传感器网络上的执行结果

图5.本发明步骤a2.2.3_10在图1所示无线传感器网络上的执行结果

图6.本发明步骤a2.2.3_100在图1所示无线传感器网络上的执行结果

图7.本发明在图1所示无线传感器网络上所得结果

图8.例2无线传感器网络示意图

图9.例2运行结果示意图

图10.例3无线传感器网络示意图

图11.例3运行结果示意图

图12.例4无线传感器网络示意图

图13.例4运行结果示意图

具体实施方式

本发明基于重心坐标系，采用分布式和集中式相结合的方法估计未知传感器节点的位置信息。本发明在不多增加无线传感器网络通信量的同时，提高了无线传感器网络定位的精度。

实施例1

本发明实施例1在一个由15个随机分布在80m×80m平地上的传感器节点构成的无线传感器网络上，传感器节点间的通信距离是40m，如图1所示。为简洁清楚表示，图1未表示汇聚节点。在实际应用中，汇聚节点可处于80m×80m平地上的任一位置。在执行算法前，系统参数已定为α＝0.5，ε＝0.0001。随机选取5个传感器节点为锚节点，本例所取锚节点为：节点5、节点9、节点10、节点11、节点13，由三角形表示，例1执行结果如图2到图7所示，其中圆圈表示传感器节点的实际位置，圆点表示估计出的传感器节点位置。本发明在图1所示的无线传感器上的具体实施步骤如下：

a1分布式阶段

分布式阶段包括以下具体步骤：

a1.1

传感器节点i向所有相邻传感器节点发送自己的邻居节点集N_i，如传感器节点8向传感器节点4、传感器节点5、传感器节点6、传感器节点7、传感器节点9、传感器节点11、传感器节点12发送自己的邻居节点集N₈＝{4，5，6，7，9，11，12}；

a1.2

传感器节点i根据接收到的集合N_j，j∈N_i，确定与相邻传感器节点j间的公有相邻节点集C_ij＝{k|k∈N_i∧k∈N_j}，如传感器节点8收到N₄＝{1，2，3，5，6，7，8，12，13，14}、N₅＝{2，3，4，6，7，8，12，14}、N₆＝{3，4，5，7，8}、N₇＝{4，5，6，8，9，12}、N₉＝{7，8，10，11，12}、N₁₁＝{8，9，10，12，13}和N₁₂＝{4，5，7，8，9，10，11，13，14}，确定与节点4的公有相邻节点集C₈₄＝{5，6，7，12}，确定与节点5的公有相邻节点集C₈₅＝{4，6，7，12}，确定与节点6的公有相邻节点集C₈₆＝{4，5，7}，确定与节点7的公有相邻节点集C₈₇＝{4，5，6，9，12}，确定与节点9的公有相邻节点集C₈₉＝{7，11，12}，确定与节点11的公有相邻节点集C_{8_11}＝{9，12}，确定与节点12的公有相邻节点集C_{8_12}＝{4，5，7，9，11}；

a1.3

传感器节点i向相邻传感器节点j，j∈N_i发送传感器节点i与公有相邻节点集C_ij中传感器节点的测距集{p_ik|k∈C_ij}，如传感器节点8向传感器节点4发送{p₈₅，p₈₆，p₈₇，p_{8_12}}，向传感器节点5发送{p₈₄，p₈₆，p₈₇，p_{8_12}}，向传感器节点6发送{p₈₄，p₈₅，p₈₇}、向传感器节点7发送{p₈₄，p₈₅，p₈₆，p₈₉，p_{8_12}}、向传感器节点9发送{p₈₇，p_{8_11}，p_{8_12}}、向传感器节点11发送{p₈₉，p_{8_12}}、向传感器节点12发送{p₈₄，p₈₅，p₈₇，p₈₉，p_{8_11}}

a1.4

传感器节点i穷举由相邻节点构成的三角形，并判断是否位于这些三角形中，如传感器节点8的相邻节点构成的三角形的节点集有{4，5，6}、{4，5，7}、{4，5，9}、{4，5，11}、{4，5，12}、{5，6，7}、{5，6，9}、{5，6，11}、{5，6，12}、{6，7，9}、{6，7，11}、{6，7，12}、{7，9，11}、{7，9，12}、{9，11，12}等，通过比较三角形的面积，如下节点集构成的三角形包含节点8：{4，7，12}和{5，7，12}；

a1.5设置重心系数a_ij＝0，

j∈N_i，如果传感器节点i位于由相邻节点j，k，l构成的三角形内，则计算相应的重心坐标b_ij，b_ik，b_il并更新a′_ij＝a_ij+b_ij，a′_ik＝a_ik+b_ik，a′_il＝a_il+b_il，a_ij＝a′_ij，a_ik＝a′_ik，a_ij＝a′_ij，如传感器节点8位于由{4，7，12}构成的三角形，则计算 $b_{84}=\frac{A\left({\mathrm{Tr}}_{7\_8\_12}\right)}{A\left(T{r}_{4\_7\_12}\right)}=0.0044,$ $b_{87}=\frac{A\left({\mathrm{Tr}}_{4\_8\_12}\right)}{A\left({\mathrm{Tr}}_{4\_7\_12}\right)}=0.7259,$ $b_{8\_12}=\frac{A\left({\mathrm{Tr}}_{4\_7\_8}\right)}{A\left({\mathrm{Tr}}_{4\_7\_12}\right)}=0.2697,$ 更新a′₈₄＝a₈₄+b₈₄＝0.0044，a′₈₇＝a₈₇+b₈₇＝0.7259，a′_{8_12}＝a_{8_12}+b_{8_12}＝0.2697，a₈₄＝a′₈₄，a₈₇＝a′₈₇，a_{8_12}＝a′_{8_12}；同时传感器节点8又位于{5，7，12}构成的三角形中，则计算 $b_{85}=\frac{A\left({\mathrm{Tr}}_{7\_8\_12}\right)}{A\left({\mathrm{Tr}}_{5\_7\_12}\right)}=0.0056,$ $b_{87}=\frac{A\left({\mathrm{Tr}}_{5\_8\_12}\right)}{A\left({\mathrm{Tr}}_{5\_7\_12}\right)}=0.7241,$ $b_{8\_12}=\frac{A\left({\mathrm{Tr}}_{5\_7\_8}\right)}{A\left({\mathrm{Tr}}_{5\_7\_12}\right)}=0.2703,$ 更新a′₈₅＝a₈₅+b₈₅＝0.0056，a′₈₇＝a₈₇+b₈₇＝1.4500，a′_{8_12}＝a_{8_12}+b_{8_12}＝0.5400，a₈₄＝a′₈₄，a₈₇＝a′₈₇，a_{8_12}＝a′_{8_12}；

a2集中式阶段

集中式阶段包括以下具体步骤：

a2.1锚节点K＝{5，9，10，11，13}将已知的位置信息 $\stackrel{\‾}{x_5}=\left(\begin{array}{c}24.7132\\ 38.1994\end{array}\right),$ $\stackrel{\‾}{x_9}=\left(\begin{array}{c}57.5656\\ 67.4571\end{array}\right),$ $\stackrel{\‾}{x_{10}}=\left(\begin{array}{c}79.6925\\ 73.7866\end{array}\right),$ $\stackrel{\‾}{x_{11}}=\left(\begin{array}{c}70.9235\\ 56.3472\end{array}\right),$ $\stackrel{\‾}{x_{13}}=\left(\begin{array}{c}62.6298\\ 18.9156\end{array}\right)$ 通过多跳路由传输给汇聚节点；

当a_ij≠0传感器节点i将重心系数通过多跳路由传输给汇聚节点，即将传感器节点4将a₄₂＝0.3761，a₄₃＝0.2699，a₄₅＝1.1971，a_{4_14}＝0.1568，传感器节点5将a₅₄＝1.3859，a₅₆＝0.3931，a₅₇＝0.1219，a₅₈＝0.992，传感器节点8将a₈₄＝0.0044，a₈₅＝0.0056，a₈₇＝1.4500，a_{8_12}＝0.5400通过多跳路由传输给汇聚节点；所有不能被相邻传感器节点构成的三角形包围的传感器节点：U＝{1，2，3，6，7，9，10，11，12，13，14，15}将它与相邻节点的测距集p_ij i∈U，j∈N_i，如p₁₂＝31.5418，p₁₃＝23.3888，p₁₄＝36.2504，p₉₇＝29.7695，p₉₈＝23.0598，p_{9_10}＝23.0144，p_{9_11}＝17.3742，p_{9_12}＝17.5675通过多跳路由传输给汇聚节点。

a2.2形成如下目标函数：

$x^{*}=\underset{x\∈X}{\arg \min }Q\left(x\right)=\underset{x\∈X}{\arg \min }(1-\mathrm{\α})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|C_i{x}_i-\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{a}_{\mathrm{ij}}{x}_j\left|\right|}^2+\mathrm{\α}\underset{i\∈U}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{(p_{\mathrm{ij}}-d_{\mathrm{ij}}\left(x\right))}^2,$

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中，α＝0.5，n＝15，除a₄₂＝0.3761，a₄₃＝0.2699，a₄₅＝1.1971，a_{4_14}＝0.1568，a₅₄＝1.3859，a₅₆＝0.3931，a₅₇＝0.1219，a₅₈＝0.992，a₈₄＝0.0044，a₈₅＝0.0056，a₈₇＝1.4500，a_{8_12}＝0.5400外其余a_ij均为0；基于a_ij可得C₄＝2，C₅＝2，C₈＝2其余C_i均为0；可得U＝{1，2，3，6，7，9，10，11，12，13，14，15}；p_ij i∈U，j∈N_i为传感器节点i到传感器节点j间的测距，如p₁₂＝31.5418，p₁₃＝23.3888，p₁₄＝36.2504，p₉₇＝29.7695，p₉₈＝23.0598，p_{9_10}＝23.0144，p_{9_11}＝17.3742，p_{9_12}＝17.5675，K＝{5，9，10，11，13}， $\stackrel{\‾}{x_5}=\left(\begin{array}{c}24.7132\\ 38.1994\end{array}\right),$ $\stackrel{\‾}{x_9}=\left(\begin{array}{c}57.5656\\ 67.4571\end{array}\right),$ $\stackrel{\‾}{x_{10}}=\left(\begin{array}{c}79.6925\\ 73.7866\end{array}\right),$ $\stackrel{\‾}{x_{11}}=\left(\begin{array}{c}70.9235\\ 56.3472\end{array}\right),$ $\stackrel{\‾}{x_{13}}=\left(\begin{array}{c}62.6298\\ 18.9156\end{array}\right).$

a2.2.1令迭代次数t＝1，给每个未知传感器节点的初始位置向量x_i(0)赋向量 $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],$ 锚节点的初始位置向量赋已知位置值，完成初始化2×15的位置矩阵 $x^{+}\left(0\right)=\left[\begin{array}{ccccccccccccccc}0& 0& 0& 0& 24.7132& 0& 0& 0& 57.5656& 79.6925& 70.9235& 0& 62.6298& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 38.1994& 0& 0& 0& 67.4571& 73.7866& 56.3472& 0& 56.3472& 0& 0\end{array}\right],$ 令位置矩阵y(1)＝x⁺(0)，取ε为0.0001；

a2.2.2构造15×15的矩阵H₁，H₂；

ai是由传感器节点i相应的重心系数构成的列向量，

如 $a_4^T=\left[\mathrm{0,0.3761,0.2699,0,1.1971,0,0,0,0,0,0,0,0,0.1568,0}\right]$ $a_5^T=\left[\mathrm{0,0,0,1.3859,0,0.3931,0.1219,0.992,0,0,0,0,0,0,0}\right]$ $a_8^T=\left[\mathrm{0,0,0,0.0044,0.0056,0,1.4500,0,0,0,0,0.5400,0,0,0}\right],$ 其余均为 $a_i^T=[\mathrm{0,0},...,0],$ 基于a_i构造15×15的矩阵

M₃是一个稀疏矩阵，大部分元素为0，如第1、9、10、11、13、15行均为[0，0，...，0]，第8行为[0，0，0，0.1375，0，0.0390，0.0121，0.0098，0，...，0]；构造15×15的矩阵{M₂}_ij＝C_ia_ij，矩阵M₂除第4、5、8行均为[0，0，...0]，第4、5、8行分别为

构造由C₁，C₂，...，C_n元素构成的15×15的对角矩阵M₁，得H₁＝M₁-2*M₂+M₃，H₁是一个稀疏矩阵，大部分元素为0，少部分元素取值为非0，如1、9、10、11、13、15行均为[0，0，...，0]，第2行为[0，0.1415，0.1015，0，0.4503，0，0，0，0，0，0，0，0.0590，0]，第14行为[0.0590，0.0423，0，0.1878，0，0，0，0，0，0，0，0，0.0246，0]；

定义w_ij为指示变量，即构造第l个对角元素为

的15×15对角矩阵M₄，M₄的对角元素为{5，10，10，8，6，7，9，5，9，6，9，15，11，12，4}，其中第一个对角元素 $M_4\left(1\right)=\underset{r=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{r1}+\underset{s=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{1s}=w_{21}+w_{31}+w_{12}+w_{13}+w_{14}=5$ (传感器节点1的邻居节点是{2，3，4}，因此w_1s中只有w₁₂，w₁₃，w₁₄为1，其余均为0，而又由于传感器节点4不属于集合U，因此w_r1中只有w₂₁，w₃₁为1，其余为0。)；构造15×15矩阵{M₅}_ij＝w_ij，M₅是一稀疏矩阵，如第4、5、8行均为[0，0，...，0]，第1行为[0，1，1，1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0]，第9行为[0，0，0，0，0，0，1，1，0，1，1，1，0，0，0]；则H₂＝M₄-2×M₅，H₂是一个稀疏矩阵，大部分元素为0，少部分元素取值为非0，如第1行为[5，-2，-2，-2，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0]，第8行为[0，0，0，0，0，0，0，5，0，0，0，0，0，0，0]；

a2.2.3_1构造15×15对角矩阵

第2个对角元素为 $F_1^1\left(2\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{w_{i2}\×p_{i2}}{d_{i2}\left(y\left(1\right)\right)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{w_{i2}\×p_{i2}}{\left|\right|y_i\left(1\right)-y_2\left(1\right)\left|\right|}=0+...+\frac{1\×29.5716}{\sqrt{{(62.6298-0)}^2+{(18.9156-0)}^2}}+...0=0.4520$ (传感器节点2的邻居节点为{1，3，4，5，13，14}，而只有{1，3，13，14}属于集合U，因此w_i2中只有w_i2，w₃₂，w_{13_2}，w_{14_2}为1，其余均为0，位置矩阵y(1)中 $y_2\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],$ 只有 $y_5\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}24.7132\\ 38.1994\end{array}\right],$ $y_9\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}57.5656\\ 67.4571\end{array}\right],$ $y_{10}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}72.6925\\ 73.7866\end{array}\right]$ $y_{11}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}70.9235\\ 56.3472\end{array}\right],$ $y_{13}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}62.6298\\ 18.9156\end{array}\right]$ 为非0向量，因此在计算

时只有项 $\frac{w_{13\_2}\×p_{13\_2}}{\left|\right|y_{13}\left(1\right)-y_2\left(1\right)\left|\right|}=\frac{1\×29.5716}{\sqrt{{(62.6298-0)}^2+{(18.9156-0)}^2}}$ 分子非0且分母有意义，其中y_i(1)为矩阵y(1)的第i列)，所有对角元素为{0，0.4520，0，0.5611，3.5110，0，0.3357，0.6421，2.5338，2.2966，3.1586，1.1319，2.3920，0.1309，0.3305}；构造15×15对角矩阵

第2个对角元素为 $F_2^1\left(2\right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{w_{2j}\×p_{2j}}{d_{2j}\left(y\left(1\right)\right)}=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{w_{2j}\×p_{2j}}{\left|\right|y_2\left(1\right)-y_j\left(1\right)\left|\right|}=$ $0+...+\frac{1\×21.9149}{\sqrt{{(0-24.7132)}^2+{(0-38.1994)}^2}}+...+\frac{1\×29.5716}{\sqrt{{(0-62.6298)}^2+{(0-18.9156)}^2}}+...+0=0.9337$ ，(传感器节点2的邻居节点为{1，3，4，5，13，14}，因此w_2j中只有w₂₁，w₂₃，w₂₄，w₂₅，w_{2_13}，w_{2_14}为1，其余均为0，位置矩阵y(1)中只有对应锚节点的y₅(1)，y₉(1)，y₁₀(1)，y₁₁(1)，y₁₃(1)为非0向量，因此在计算

时只有项 $\frac{w_{25}\×p_{25}}{\left|\right|y_2\left(1\right)-y_5\left(1\right)\left|\right|}=\frac{1\×21.9149}{\sqrt{{(0-24.7132)}^2+{(0-38.1994)}^2}}$ 和项 $\frac{w_{2\_13}\×p_{2\_13}}{\left|\right|y_2\left(1\right)-y_{13}\left(1\right)\left|\right|}=\frac{1\×29.5716}{\sqrt{{(0-62.6298)}^2+{(0-18.9156)}^2}}$ 分子非0且分母有意义)，所有对角元素为{0，0.9337，0.4，0，0，0.4712，0.8579，0，2.7938，2.2966，3.5406，1.9092，2.9531，0.9893，0.3305}；构造15×15矩阵

第2行第5列元素为 $F_3^1\left(\mathrm{2,5}\right)=\frac{w_{25}\×p_{25}}{d_{25}\left(y\left(1\right)\right)}=\frac{1\×21.9149}{\sqrt{{(0-24.7132)}^2+{(0-38.1994)}^2}}=0.4817,$

是一个稀疏矩阵，如第2行为[0，0，0，0，0.4817，0，0，0，0，0，0，0，0.4520，0，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，0.2966，0，0，0]；得15×15的矩阵

矩阵

是一个稀疏矩阵，如第2行为[0，1.3857，0，0，-0.4817，0，0，0，0，0，0，0，-0.9040，0，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，-2，4.5931，-2，-0.5931，0，0，0]；

基于矩阵H₁，H₂，

优化如下二次规划问题：

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中D是每个变量x_i的维数取值为2，变量表示位置矩阵x的第i行，是位置矩阵y(1)的第i行，K＝{5，9，10，11，13}；二次规划问题的最优解与变量的初始取值无关，但为了充分利用上一步的优化结果令的初始值为x⁺(0)的第i行，即 $X_1^T\left(0\right)=\left[\begin{array}{ccccccccccccccc}0& 0& 0& 0& 24.7132& 0& 0& 0& 57.5656& 79.6925& 70.9235& 0& 62.6298& 0& 0\end{array}\right],$ $X_2^T\left(0\right)=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc}0& 0& 0& 0& 38.1994& 0& 0& 0& 67.45& 71& 73.7866& 56.3472& 0& 56.3472& 0& 0\end{array}\right];$ 优化结果x⁺(1)如图2所示，具体值为： $x_1^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}29.0737\\ 23.6520\end{array}\right],$ $x_2^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}29.6106\\ 20.5840\end{array}\right],$ $x_3^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}28.7034\\ 24.1125\end{array}\right],$ $x_4^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}28.7405\\ 28.8671\end{array}\right],$ $x_5^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}24.7132\\ 38.1994\end{array}\right],$ $x_6^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}28.0607\\ 29.6793\end{array}\right],$ $x_7^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}32.4171\\ 34.0664\end{array}\right],$ $x_8^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}35.8916\\ 35.6328\end{array}\right],$ $x_9^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}57.5656\\ 67.4571\end{array}\right],$ $x_{10}^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}79.6925\\ 73.7866\end{array}\right],$ $x_{11}^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}70.9235\\ 56.3472\end{array}\right],$ $x_{12}^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}39.6501\\ 34.1582\end{array}\right],$ $x_{13}^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}62.6298\\ 18.9156\end{array}\right],$ $x_{14}^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}34.5027\\ 21.5133\end{array}\right],$ $x_{15}^{+}\left(1\right)=\left[\begin{array}{c}38.2174\\ 17.0889\end{array}\right].$

a2.2.4_1分别将y(1)和x⁺(1)代入a2.2的目标函数Q(x)中得 $Q\left(y\left(1\right)\right)-Q\left(x^{+}\left(1\right)\right)=(1-\mathrm{\α})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|C_i{y}_i\left(1\right)-\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{a}_{\mathrm{ij}}{y}_j\left(1\right)\left|\right|}^2+\mathrm{\α}\underset{i\∈U}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}(p_{\mathrm{ij}}-d_{\mathrm{ij}}\left(y\left(1\right)\right))$ $-[(1-\mathrm{\α})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|C_i{x}_i^{+}\left(1\right)-\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{a}_{\mathrm{ij}}{x}_i^{+}\left(1\right)\left|\right|}^2+\mathrm{\α}\underset{i\∈U}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}(p_{\mathrm{ij}}-d_{\mathrm{ij}}\left(x^{+}\left(1\right)\right))];$ $=24225>\mathrm{\ϵ}$

a2.2.5_1令y(2)←x+(1)，t＝2，转步骤a2.2.3_2；

a2.2.3_2构造15×15对角矩阵

第2个对角元素为 $F_1^2\left(2\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{w_{i2}\×p_{i2}}{d_{i2}\left(y\left(2\right)\right)}=0+\frac{w_{12}\×p_{12}}{\left|\right|y_1\left(2\right)-y_2\left(2\right)\left|\right|}+\frac{w_{32}\×p_{32}}{\left|\right|y_3\left(2\right)-y_2\left(2\right)\left|\right|}+\frac{w_{13\_2}\×p_{13\_2}}{\left|\right|y_{13}\left(2\right)-y_2\left(2\right)\left|\right|}+\frac{w_{14\_2}\×p_{14\_2}}{\left|\right|y_{14}\left(2\right)-y_2\left(2\right)\left|\right|}+0$ $=0+\frac{1\×31.5418}{\sqrt{{(29.0737-29.6106)}^2+{(23.6520-20.5840)}^2}}+\frac{1\×16.0602}{\sqrt{{(28.7034-29.6106)}^2+{(24.1125-20.5840)}^{\text{2}}}}$ $+\frac{1\×29.5716}{\sqrt{{(62.6298-29.6106)}^2+{(18.9156-20.5840)}^2}}+\frac{1\×22.7438}{\sqrt{{(34.5027-29.6106)}^2+{(21.5133-20.5840)}^2}}...0$ $=19.9969$ (传感器节点2的邻居节点为{1，3，4，5，13，14}，而只有{1，3，13，14}属于集合U，因此w_i2中只有w₁₂，w₃₂，w_{13_2}，w_{14_2}为1，其余均为0，因此在计算

时只有项

所有对角元素为 $\begin{array}{c}\{\mathrm{49.7079,19.9969,56.0078,51.6058,11.8058,9.1364,8.3536}\\ \mathrm{12.2115,3.1768,2.5717,3.3746,9.5905,4.2163,17.8675,5.1530}\}\end{array};$ 构造15×15对角矩阵

第2个对角元素为 $\begin{array}{c}{F}_2^2\left(2\right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{w_{2j}\×p_{2j}}{d_{2j}\left(y\left(2\right)\right)}=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{w_{2j}\×p_{2j}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_j\left(2\right)\left|\right|}=0+\frac{w_{21}\×p_{21}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_1\left(2\right)\left|\right|}+\frac{w_{23}\×p_{23}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_3\left(2\right)\left|\right|}\\ +\frac{w_{24}\×p_{24}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_4\left(2\right)\left|\right|}+\frac{w_{25}\×p_{25}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_5\left(2\right)\left|\right|}+\frac{w_{2\_13}\×p_{2\_13}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_{13}\left(2\right)\left|\right|}+\frac{w_{2\_14}\×p_{2\_14}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_{14}\left(2\right)\left|\right|}+0\\ =22.8078\end{array},$ (传感器节点2的邻居节点为{1，3，4，5，13，14}，因此w_2j中只有w₂₁，w₂₃，w₂₄，w₂₅，w_{2_13}，w_{2_14}为1，其余均为0，因此在计算时只有项 $\frac{w_{21}\×p_{21}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_1\left(2\right)\left|\right|},\frac{w_{23}\×p_{23}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_3\left(2\right)\left|\right|},\frac{w_{24}\×p_{24}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_4\left(2\right)\left|\right|},\frac{w_{25}\×p_{25}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_5\left(2\right)\left|\right|},\frac{w_{2\_13}\×p_{2\_13}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_{13}\left(2\right)\left|\right|},\frac{w_{2\_14}\×p_{2\_14}}{\left|\right|y_2\left(2\right)-y_{14}\left(2\right)\left|\right|}$ 非0)，所有对角元素为 $\begin{array}{c}\{\mathrm{56.6449,22.8078,60.0903,0,0,42.0162,18.2819,0},\\ \mathrm{3.7757,2.5717,4.2249,20.631,5.2556,23.323,5.1530}\}\end{array};$ 构造15×15矩阵

第2行第5列元素为 $F_3^2\left(\mathrm{2,5}\right)=\frac{w_{25}\×p_{25}}{d_{25}\left(y\left(2\right)\right)}=\frac{1\×21.9149}{\sqrt{{(29.6106-24.7132)}^2+{(20.5840-38.1994)}^2}}=1.1986,$ 是一个稀疏矩阵，如第2行为[10.1269，0，4.4082，1.1623，1.1986，0，0，0，0，0，0，0，0.8944，4.5674，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，0.5717，0，0，0]；得15×15的矩阵

矩阵

是一个稀疏矩阵，如第2行为[-20.2538，42.8047，-8.8163，-1.1623，-1.1986，0，0，0，0，0，0，0，-1.7889，-9.1348，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，-2，5.1435，-2，-1.1435，0，0，0]；

基于矩阵H₁，H₂，

优化如下二次规划问题：

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中D是每个变量x_i的维数取值为2，变量

表示位置矩阵x的第i行，是位置矩阵y(2)的第i行，K＝{5，9，10，11，13}；二次规划问题的最优解与变量的初始取值无关，但为了充分利用上一步的优化结果令的初始值为x⁺(1)的第i行，即 $\begin{array}{c}{X}_1^T\left(0\right)=[29.073729.610628.703428.740524.713228.060732.4171\\ 35.891657.565679.692570.923539.650162.629834.502738.2174]\end{array};$ $\begin{array}{c}{X}_2^T\left(0\right)=[23.652020.584024.112528.867138.199429.679334.0664\\ 35.632867.457173.786656.347234.158218.915621.513317.0889]\end{array};$ 优化结果x+(2)如图3所示，具体值为： $x_1^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}29.2750\\ 16.6617\end{array}\right],$ $x_2^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}29.2639\\ 8.2591\end{array}\right],$ $x_3^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}20.5180\\ 23.1342\end{array}\right],$ $x_4^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}26.0617\\ 31.0141\end{array}\right],$ $x_5^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}24.7132\\ 38.1994\end{array}\right],$ $x_6^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}19.0908\\ 40.5990\end{array}\right],$ $x_7^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}35.0853\\ 46.8222\end{array}\right],$ $x_8^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}40.6444\\ 48.2585\end{array}\right],$ $x_9^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}57.5656\\ 67.4571\end{array}\right],$ $x_{10}^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}79.6925\\ 73.7866\end{array}\right],$ $x_{11}^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}70.9235\\ 56.3472\end{array}\right],$ $x_{12}^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}55.9761\\ 45.3652\end{array}\right],$ $x_{13}^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}62.6298\\ 18.9156\end{array}\right],$ $x_{14}^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}47.5919\\ 13.6846\end{array}\right],$ $x_{15}^{+}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}52.2609\\ 6.04772\end{array}\right].$

a2.2.4_2 $Q\left(y\left(2\right)\right)-Q\left(x^{+}\left(2\right)\right)=(1-\mathrm{\α})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|C_i{y}_i\left(2\right)-\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{a}_{\mathrm{ij}}{y}_j\left(2\right)\left|\right|}^2+\mathrm{\α}\underset{i\∈U}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}(p_{\mathrm{ij}}-d_{\mathrm{ij}}\left(y\left(2\right)\right))$ $-[(1-\mathrm{\α})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|C_i{x}_i^{+}\left(2\right)-\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{a}_{\mathrm{ij}}{x}_i^{+}\left(2\right)\left|\right|}^2+\mathrm{\α}\underset{i\∈U}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}(p_{\mathrm{ij}}-d_{\mathrm{ij}}\left(x^{+}\left(2\right)\right))];$ $=52118>\mathrm{\ϵ}$

a2.2.5_2令y(3)←x⁺(2)，t＝3，转步骤a2.2.3_3；

…

a2.2.3_5构造15×15对角矩阵

对角元素为 $\begin{array}{c}\{\mathrm{2.8653,4.4437,3.9125,9.1543,6.1305,2.0393,3.1228,5.3094},\\ \mathrm{4.0119,3.0294,4.1157,6.2485,4.5839,5.0423,2.0710}\}\end{array};$ 构造15×15对角矩阵

对角元素为 $\begin{array}{c}\{\mathrm{5.0462,5.6852,6.1628,0,0,5.1125,6.8409,0,5.0077},\\ \mathrm{3.0294,5.1913,9.2267,5.5540,7.1527,2.0710}\}\end{array};$ 构造15×15矩阵

是一个稀疏矩阵，如第2行为[1.8425，0，0.7564，0.5520，0.6895，0，0，0，0，0，0，0，0.8707，0.9741，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，1.0294，0，0，0]；得

矩阵

是一个稀疏矩阵，如第2行为[-3.6850，10.1289，-1.5128，-0.5520，-0.6895，0，0，0，0，0，0，0，-1.7414，-1.9481，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，-2，6.0589，-2，2.0589，0，0，0]；

基于矩阵H₁，H₂，

优化如下二次规划问题：

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中D是每个变量x_i的维数取值为2，

是位置矩阵x的第i行，是位置矩阵y(5)的第i行，K＝{5，9，10，11，13}；优化结果x⁺(5)如图4所示。

a2.2.4_5Q(y(5))-Q(x⁺(5))＝1463＞ε；

a2.2.5_5令y(6)←x⁺(5)，t＝6，转步骤a2.2.3_6

…

a2.2.3_10构造15×15对角矩阵

对角元素为 $\begin{array}{c}\{\mathrm{1.8838,4.1186,3.9542,8.8712,6.1505,2.0437,3.0993,5.0977},\\ \mathrm{4.0162,3.0209,4.0678,6.1598,4.9951,5.3642,2.0104}\}\end{array};$ 构造15×15对角矩阵

对角元素为 $\begin{array}{c}\{\mathrm{3.2548,5.7260,6.9879,0,0,4.9988,6.2627,0,5.0189}\\ \mathrm{3.0209,5.0974,9.1137,5.9814,7.3806,2.0104}\}\end{array};$ 构造15×15矩阵

是一个稀疏矩阵，如第2行为[1.1480，0，1.1105，0.7654，0.8419，0，0，0，0，0，0，0，0.9340，0.9261，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，1.0209，0，0，0]；得

矩阵

是一个稀疏矩阵，如第2行为[-2.2960，9.8446，-2.2211，-0.7654，-0.8419，0，0，0，0，0，0，0，-1.8681，-1.8522，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，-2，6.0589，-2，2.0589，0，0，0]。

基于矩阵H₁，H₂，

优化如下二次规划问题：

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中D是每个变量x_i的维数取值为2，

是位置矩阵x的第i行，

是位置矩阵y(10)的第i行，K＝{5，9，10，11，13}；优化结果x⁺(10)如图5所示。

a2.2.4_10Q(y(10))-Q(x⁺(10))＝29.9211＞ε；

a2.2.5_10令y(11)←x⁺(10)，t＝11，转步骤a2.2.3_11

…

a2.2.3_100构造15×15对角矩阵

对角元素为 $\begin{array}{c}\{\mathrm{1.7890,4.0569,3.9250,9.2289,6.2447,2.0580,3.0296,5.0213},\\ 3.\mathrm{9959,2.9967,3.9968,5.9870,5.0279,5.0810,1.9985}\}\end{array};$ 构造15×15对角矩阵

对角元素为 $\begin{array}{c}\{\mathrm{3.3398,5.8754,7.2055,0,0,4.9618,6.0256,0,4.9987},\\ \mathrm{2.9967,5.0009,8.9760,6.0255,7.0327,1.9985}\}\end{array};$ 构造15×15矩阵

是一个稀疏矩阵，如第2行为[1.0227，0，1.0637，0.9014，0.9170，0，0，0，0，0，0，0，0.9948，0.9756，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，0.9967，0，0，0]；得

矩阵是一个稀疏矩阵，如第2行为[-2.0455，9.9322，-2.1274，-0.9014，-0.9170，0，0，0，0，0，0，0，-1.9896，-1.9513，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，-2，5.9934，-2，-1.9934，0，0，0]。

基于矩阵H₁，H₂，

优化如下二次规划问题：

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中D是每个变量x_i的维数取值为2，是位置矩阵x的第i行，是位置矩阵y(100)的第i行，K＝{5，9，10，11，13}；优化结果x⁺(100)如图6所示。

a2.2.4_100Q(y(100))-Q(x⁺(100))＝29.9211＞ε；

a2.2.5_100令y(101)←x⁺(100)，t＝101，转步骤a2.2.3_101

…

a2.2.3_631构造15×15对角矩阵

对角元素为{2，4，4，8，6，2，3，5，4，3，4，6，5，5，2}；构造15×15对角矩阵

对角元素为{3，6，6，0，0，5，6，0，5，3，5，9，6，7，2}；构造15×15矩阵

是一个稀疏矩阵，如第2行为[1，0，1，1，1，0，0，0，0，0，0，0，1，1，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，1，0，0，0]；得

矩阵

是一个稀疏矩阵，如第2行为[-2，9.999，-2，-1，-1，0，0，0，0，0，0，0，-2，-2，0]，第10行为[0，0，0，0，0，0，0，0，-2，6，-2，-2，0，0，0]；

基于矩阵H₁，H₂，

优化如下二次规划问题：

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中D是每个变量x_i的维数取值为2，是位置矩阵x的第i行，

是位置矩阵y(631)的第i行，K＝{5，9，10，11，13}；优化结果x⁺(631)如图7所示。

a2.2.4_631Q(y(631))-Q(x+(631))＝0.00009＜ε，转步骤a2.3；

a2.3汇聚节点将估计出的位置信息x^*＝x⁺(631) $x_1^{*}=\left[\begin{array}{c}6.6074\\ 0.7842\end{array}\right],$ $x_2^{*}=\left[\begin{array}{c}33.0742\\ 17.9422\end{array}\right],$ $x_3^{*}=\left[\begin{array}{c}17.4186\\ 21.5244\end{array}\right],$ $x_4^{*}=\left[\begin{array}{c}27.7159\\ 30.2549\end{array}\right],$ $x_5^{*}=\left[\begin{array}{c}24.7132\\ 38.1994\end{array}\right]$ $x_6^{*}=\left[\begin{array}{c}10.0524\\ 53.8425\end{array}\right],$ $x_7^{*}=\left[\begin{array}{c}28.3627\\ 61.6763\end{array}\right],$ $x_8^{*}=\left[\begin{array}{c}36.3756\\ 58.3610\end{array}\right],$ $x_9^{*}=\left[\begin{array}{c}57.5656\\ 67.4571\end{array}\right],$ $x_{10}^{*}=\left[\begin{array}{c}79.6925\\ 73.7866\end{array}\right]$ 通过多跳路 $x_{11}^{*}=\left[\begin{array}{c}70.9235\\ 56.3472\end{array}\right],$ $x_{12}^{*}=\left[\begin{array}{c}58.0884\\ 49.8973\end{array}\right],$ $x_{13}^{*}=\left[\begin{array}{c}62.6298\\ 18.9156\end{array}\right],$ $x_{14}^{*}=\left[\begin{array}{c}55.5030\\ 14.1699\end{array}\right],$ $x_{15}^{*}=\left[\begin{array}{c}77.7007\\ 3.41279\end{array}\right]$ 由传输给相应的传感器节点。

实施例2

本发明实施例2在一个呈网格状由7×7的传感器节点构成的无线传感器网络上，该无线传感器网络分布在100m×100m的平地上，传感器节点间的通信距离是40m，如图8所示。在执行定位算法前，系统参数已定为α＝0.5，ε＝0.0001。随机选取5个传感器节点为锚节点，由三角形表示，例2执行结果如图9所示，其中圆圈表示传感器节点的实际位置，圆点表示估计出的传感器节点位置。

实施例3

本发明实施例3在一个呈C形的无线传感器网络上，该无线传感器网络分布在100m×100m的平地上，传感器节点间的通信距离是40m，如图10所示。在执行定位算法前，系统参数已定为α＝0.5，ε＝0.0001。随机选取5个传感器节点为锚节点，由三角形表示，例3执行结果如图11所示，其中圆圈表示传感器节点的实际位置，圆点表示估计出的传感器节点位置。

实施例4

本发明实施例4在一个由160个传感器节点随机分布在100m×100m的平地上构成的无线传感器网络上，传感器节点间的通信距离为20m，如图12所示。在执行定位算法前，系统参数已定为α＝0.5，ε＝0.0001。随机选取5个传感器节点为锚节点，由三角形表示，例4执行结果如图13所示，其中圆圈表示传感器节点的实际位置，圆点表示估计出的传感器节点位置。

本发明实施在图8、图10和图12的无线传感器网络上，随机选取不同个数的传感器节点作为锚节点，在三个实例无线传感器网络上均设置ε＝0.0001，在前两个实例无线传感器网络上设置α＝0.4，在第三个实例无线传感器网络上设置α＝0.006，独立运行本发明50次的位置估计误差

如表1、表2和表3所示。

表1在图8所示无线传感器网络上的位置估计误差统计

Num of anchor	4	5	6	7	8	9
							本发明	0.9103	0.2620	0.5896	0.4268	0.1023	4.8e-5
MDS-MAP	0.3452	0.2870	0.2582	0.2699	0.2658	0.2405
							dwMDS	17.0599	14.4302	11.0286	9.7793	7.3375	6.9809

表2在图10所示无线传感器网络上的位置估计误差统计

Num of anchor	4	5	6	7	8	9
							本发明	15.9638	6.2791	4.4317	4.5554	3.2902	2.3112
MDS-MAP	25.3290	18.4862	15.7209	15.3436	13.9844	13.6395
							dwMDS	15.7344	14.9158	13.7587	8.9176	7.0352	6.3800

表3在图12所示无线传感器网络上的位置估计误差统计

Num of anchor	5	10	15	20	25
						本发明	1.0529	0.3102	0.1880	0.1986	0.2153
MDS-MAP	0.9236	0.7353	0.7240	0.6699	0.6546
						dwMDS	19.6219	12.6133	7.7523	5.4551	3.7802

本发明在图8、图10、图12所示的实例无线传感器网络上的位置估计误差与MDS-MAP算法、dwMDS算法进行比较。在绝大部分情况下，本发明的位置估计误差要低于MDS-MAP算法；在所有情况下，本发明的位置估计误差都远低于dwMDS算法。

本发明的通信代价包括两部分：分布式通信代价和集中式通信代价。分布式通信代价主要包括相邻传感器节点间邻居节点集、测距信息的互换；集中式通信代价主要包括将a_ij i＝1，2，...，n j∈N_i、p_ij i∈U，j∈N_i、

通过多跳路由传输到汇聚节点，再将估计好的位置信息从汇聚节点传输给相应的传感器节点。假设整数和浮点数的通信代价分别为1u和2u，而每个传感器节点的相邻节点数为|N_i|，则本发明的最大分布式通信代价为

由于在无线传感器网络中传感器节点的相邻节点占整体节点的比例非常小，因此在本发明中，分布式通信代价所占比例比较小。

与MDS-MAP算法相比，本发明虽然增加了分布式通信代价，但集中式通信代价要低于MDS-MAP算法，如在图8所示的无线传感器网络中，本发明需要传输338个a_ij和158个p_ij，而MDS-MAP算法则要传输746个测距p_ij。综上，本发明的通信代价与MDS-MAP算法的通信代价基本相当。

dwMDS是一种分布式定位算法，其迭代次数是影响通信代价的决定性因素。如果假设传感器节点每次发送数据时所耗能量相同，则可用2×ave_hop×num_element来估计集中式定位算法的通信代价，用2×ave_iter×num_node来估计分布式定位算法的通信代价，其中ave_hop表示将传感器节点上的数据传输到汇聚节点的平均跳数，num_element表示要传输的数据总数，ave_iter表示算法的平均迭代次数，num_node表示无线传感器网络中传感器节点的个数。以图8所示的无线传感器网络为例，如若dwMDS算法与集中式算法MDS-MAP的通信代价相当，则 $\mathrm{ave}\_\mathrm{hop}=\frac{\mathrm{ave}\_\mathrm{iter}*\mathrm{num}\_\mathrm{node}}{\mathrm{num}\_\mathrm{element}}=\frac{358.12*49}{746}=23.52,$ 这一数据远大于实际的平均跳数，其中358.12是锚节点数为5时dwMDS算法的平均迭代次数。以上事实说明dwMDS算法的通信代价远大于MDS-MAP算法和本发明。

由以上讨论可知，本发明在几乎不增加无线传感器网络通信代价的前提下，大大提高了传感器节点的定位精度。

Claims (1)

1.一种无线传感器网络的混合定位方法，其特征在于，包括分布式阶段和集中式阶段两个阶段：

a1分布式阶段

分布式阶段包括以下具体步骤：

a1.1

传感器节点i向所有相邻传感器节点发送自己的邻居节点集N_i；

a1.2

传感器节点i根据接收到的集合N_j，j∈N_i，确定与相邻传感器节点j间的公有相邻节点集C_ij＝{k|k∈N_i∧k∈N_j}；

a1.3

传感器节点i向相邻传感器节点j j∈N_i发送传感器节点i与公有相邻节点集C_ij中传感器节点的测距集{p_ik|k∈C_ij}，其中传感器节点i到传感器节点k的测距p_ik为传感器节点i计算出的到传感器节点k的距离；

a1.4

传感器节点i穷举由相邻节点构成的三角形，并判断是否位于这些三角形中；

a1.5

设置传感器节点i与传感器节点j j∈N_i间的重心系数a_ij＝0，如果传感器节点i位于由相邻节点j，k，l构成的三角形内，则计算相应的重心坐标b_ij，b_ik，b_il，并更新a′_ij＝a_ij+b_ij，a′_ik＝a_ik+b_ik，a′_il＝a_il+b_il，a_ij＝a′_ij，a_ik＝a′_ik，a_il＝a′_il；计算完传感器节点i所在的所有由相邻节点构成的三角形的重心坐标并累加；

当传感器节点i位于由其相邻传感器节点构成的三角形内，则相应的重心坐标存在且唯一；如传感器节点i位于由相邻传感器节点j，k，l构成的三角形内，则相应的重心坐标b_ij，b_ik，b_il存在且唯一，同时传感器节点i又位于由其相邻节点h，u，v构成的三角形内，则相应的重心坐标b_ih，b_iu，b_iv存在且唯一，其中，

Tr_{i}\{j}表示由节点{j，k，l}+{i}-{j}构成的三角形，A(Tr_jkl)表示传感器节点j，k，l构成的三角形Tr_jkl的面积；

a2集中式阶段

集中式阶段包括以下具体步骤：

a2.1锚节点将已知的位置信息通过多跳路由传输给汇聚节点，当a_ij≠0传感器节点i将重心系数通过多跳路由传输给汇聚节点，所有不能被相邻传感器节点构成的三角形包围的传感器节点将它与相邻节点的测距集通过多跳路由传输给汇聚节点；

a2.2汇聚节点优化如下目标函数，估计未知传感器节点的位置；将目标函数近似为一系列二次规划问题；通过对这一系列二次规划问题的优化，求得目标函数的最优解，具体步骤为a2.2.1到a2.2.5；

$x^{*}=\underset{x\∈X}{\arg \min }Q\left(x\right)=\underset{x\∈X}{\arg \min }(1-\mathrm{\α})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|C_i{x}_i-\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{a}_{\mathrm{ij}}{x}_j\left|\right|}^2+\mathrm{\α}\underset{i\∈U}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{(p_{\mathrm{ij}}-d_{\mathrm{ij}}\left(x\right))}^2,$

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中，α∈(0，1)是权重因子，x^*为目标函数的最优解，即所估计的无线传感器网络中所有传感器节点的位置矩阵，D为传感器节点所处空间的维数，x_i是一个D维列向量，表示传感器节点i的估计位置，x＝[x₁，x₂，...，x_n]表示无线传感器网络中所有传感器节点的位置信息，||x_i||表示向量x_i的二范数，X是一个D×n的矩阵空间，表示x的取值范围，C_i是由传感器节点i的相邻节点构成的能包含传感器节点i的三角形的个数，N_i是传感器节点i的相邻节点集，a_ij是传感器节点i在所有不同三角形中对应于传感器节点j的重心坐标之和，也称传感器节点i与传感器节点j间的重心系数，U是不能由相邻节点构成的三角形包含的传感器节点的集合，p_ij是传感器节点i与传感器节点j的实际测距，d_ij(x)＝||x_i-x_j||是根据x计算出的传感器节点i与传感器节点j间的欧式距离，K是锚节点集，

是锚节点i的位置向量；

目标函数的前一项

基于重心坐标系约束传感器节点的估计位置尽量满足由传感器节点间的测距揭示的相对结构，而后一项

约束不能由邻居节点构成的三角形包含的节点与邻居节点的测距尽量保持不变；

a2.2.1令迭代次数t＝1，给每个未知传感器节点的初始位置向量x_i(0)赋D维0向量，完成初始化D×n位置矩阵x⁺(0)，令位置矩阵y(1)＝x⁺(0)，取ε为一极小正数；

a2.2.2通过对a2.2中的目标函数Q(x)做变换，构造n×n的矩阵H₁，H₂；

a_i是由传感器节点i相应的重心系数构成的列向量，

基于a_i构造n×n的矩阵构造n×n矩阵{M₂}_ij＝C_ia_ij，构造由C₁，C₂，...，C_n元素构成的n×n对角矩阵M₁，得n×n的矩阵H₁＝M₁-2*M₂+M₃；

定义w_ij为指示变量，即构造第l个对角元素为

的n×n对角矩阵M₄，构造n×n矩阵{M₅}_ij＝w_ij，得n×n的矩阵H₂＝M₄-2*M₅；

a2.2.3构造矩阵

并优化如下二次规划问题，估计传感器网络中传感器节点的位置，

s.t. $x_i=\stackrel{\‾}{x_i}$ $\∀i\∈K$

其中D是每个变量x_i的维数，

是位置矩阵x的第i行，

是位置矩阵y(t)的第i行；

矩阵

为用

近似Q(x)推导所得，具体构造过程为：构造n×n的对角矩阵

第j个对角元素为

构造n×n的对角矩阵

第i个对角元素为

构造n×n的矩阵

第i行第j列元素为

得n×n的矩阵 $H_3^t=F_1^t+F_2^t-F_3^t-{\left(F_3^t\right)}^T;$

a2.2.4如果Q(y(t))一Q(x⁺(t))＜ε，转步骤a2.3；

a2.2.5令y(t+1)←x⁺(t)，t←t+1，转步骤a2.2.3；

a2.3汇聚节点将估计出的位置信息x^*通过多跳路由传输给相应的传感器节点。

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