CN102308244B

CN102308244B - 用于构造非金属全向多层反射镜的方法

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Publication number: CN102308244B
Application number: CN200980156222.XA
Authority: CN
Inventors: 弗朗索瓦丝·阿克塞尔; 雅克·佩里埃
Original assignee: Shi Yake
Current assignee: Shi Yake
Priority date: 2008-12-15
Filing date: 2009-12-15
Publication date: 2015-06-17
Anticipated expiration: 2029-12-15
Also published as: EP2376967A1; US20120229905A1; FR2939907B1; CN102308244A; IL213555A0; CA2747113C; US8928979B2; US9477017B2; WO2010076485A9; CA2747113A1; FR2939907A1; US20150085389A1; WO2010076485A1; IL213555A; HK1164452A1; EP2376967B1

Abstract

本发明提供一种用于构造用于任何预定波长或波长范围的全向非金属反射镜的方法，其包括以下步骤：A)定义包括不同非金属材料的至少两层的结构，基本矩阵关联于每层，基本矩阵包括层的物理参数和穿过所述层的光的参数；B)通过对步骤A)中定义的结构应用n次代换σ产生包括N层的另一结构，矩阵S_j关联于每层j(j从1到N)，矩阵S_j包括所讨论的层的物理参数和穿过所述层的光的特征；C)基于N个矩阵S_j并使用由代换σ定义的分块递归技术，计算表示步骤B)中产生的结构的矩阵M_N，然后对矩阵M_N计算透射系数T；D)确定所产生的透射系数T是否使步骤B)中定义的结构能够有资格成为反射镜。

Description

用于构造非金属全向多层反射镜的方法

发明领域

本发明涉及用于构造“全向”非金属反射镜的方法，也就是说，反射任何入射角的光的反射镜，其包括几层并可以通过计算机实现。

本发明还涉及通过这种方法获得并包括几层的全向非金属反射镜。

这样的反射镜也称为全向异质结构多层非金属反射镜。

本发明在可采用全向非金属反射镜的所有情况中得到应用。例如并且非限制性地，本发明在波导、激光器中或者更一般地在光学领域中得到应用：在波导领域中，尤其有益的是，有其壁最佳地反射入射光的波导，以便限制波导中的线损，并且这样做而无论到达波导的壁处的光的入射角如何。

现有技术的描述和评估

反射镜例如我们熟悉的以及从最早的古代已知和使用的反射镜是金属的，不管这是整个由金属制成的块，还是薄金属层固定到另一材料（玻璃）。但对于不可见但具有技术利益的某些光波长范围，它们吸收入射光的重要部分。试图制造介电反射镜以及此外对非金属薄层的堆栈的兴趣的发展特别避免这种困难。

多层非金属反射镜包括两层或更多层，其可在它们的成分和/或它们的厚度上不同，并且在现有技术中通常形成按照周期性排列重复几次的基本结构。

但是这样的反射镜也可由根据非周期代换序列重复的这些层的两个或更多个构成。我们谈到非周期异质结构。构成反射镜的这种异质结构具有表面，其上折射率实际上是恒定的，且折射率垂直于这个表面变化。

异质结构可借助于单个代换序列获得，使得每层是单一材料的简单层。它可借助于仅仅一个代换序列获得，使得每层是本身具有结构的基本层的组合。最后，异质结构可借助几个代换序列获得，使得它由层的几个子集组成，每层使用代换序列获得。

这样的代换序列的两个众所周知的实例是准周期的Fibonacci序列或者非准周期的Thue-Morse序列。

在现有技术中，对于给定波长λ和给定入射角θ，在称为“横电”（TE）和“横磁”（TM）的两个基本模式中，已知如何确定这样的异质结构如何关于光工作。在TE模式中，光的电场垂直于入射平面极化。在TM模式中，光的磁场垂直于入射平面极化。入射平面由入射光线界定并且垂直于多层的平面。任何入射辐射在这两种模式TE和TM的基础上被完整地描述。

可在下列文件中找到有用的详细资料：

- D1: F. Abelès, Annales de Physique vol. 5 (1950) 596-640 and 707-782, Recherche sur la propagation des ondes électromagnétiques sinusoïdales dans les milieux stratifiés. Application aux couches minces [关于分层介质中正弦电磁波的传播的研究。薄层的应用],

- D2: "Principles of Optics", M. Born, E. Wolf, 7th edition 1999, Cambridge University Press,

- D3: Photonic Crystals, J. D. Joannopoulos, R. D. Meade, J. N. Winn, （Princeton U. P. Publisher 1995.),

- (D4): Optical waves in layered media, P. Yeh, John Wiley and sons, publisher。

管理传播的麦克斯韦方程的合适解采用这种分层介质中的称为“转移矩阵”M_N的2×2矩阵的形式，M_N涉及在多层的入口平面中和在出口平面中的光的特性，以及其本身是N个基本转移矩阵S_j的乘积，每个S_j表征在构成异质结构的N层的每个的入口和出口平面中的光的特性。

在记为a和b的两种不同类型的层的常见情况下，表征层j（j从1到N）的基本矩阵S^a、S^b具有如下形式：

其中：

λ为入射光的波长，

n_a是层a的折射率，

d_a是层a的厚度，

θ_a是层a中的折射角，

以及当考虑称为“横电”（TE）的基本模式时，p_a = n_a.cos(θ_a)，对于TE模式，电场垂直于入射平面极化，

或者当考虑称为“横磁”（TM）的基本模式时，p_a = cos(θ_a)/n_a，对于TM模式，磁场垂直于入射平面极化，

这同样适用于类型b的层，只要用折射率b取代（R1）中任何地方的折射率a。

异质结构M_N的转移矩阵则是：

M_N = S_N S_N-1 S_N-2......S₂ S₁ (R2)

在现有技术中，为了计算M_N，基本转移矩阵因此直接相乘以获得异质结构的转移矩阵，并且如果后者具有N层，则执行基本转移矩阵的N-1次乘法。

在特别专注于Fibonacci序列的情况的早期工作（D5: M. Kohmoto, B. Sutherland, K. Iguchi, Phys. Rev. Lett. 58 (1987) 2436 Localization in Optics: quasiperiodic media.）中还表明（但这个结果是一般的），异质结构的透射系数T按照简单方式被表示为M_N的元素的平方和的函数，M_N本身按照非常简单的方式被表示为迹TrM_n （其两个对角线元素之和）和“逆迹”aTrM_n （其两个非对角线元素之差）的函数。我们有

透射强度与入射强度之比的透射系数T因此在反射镜的情况下等于零。

在现有技术中，已知的方法还用于依靠代换算法来产生行列式序列。

代换σ对记为a₁,a₂,...,a_k的k个字母的字母表A操作（当k= 2时，字母将往往被记为a和b，而不是a₁和a₂，当k=3时，字母将往往被记为a、b和c）。关于字母表A的字码是此字母表的字母的有限序列（其可能为空）。对于字母表A的每个字母u，字码被给定，记为σ_u，由该字母表的字母组成。这个数据称为对字母表A的代换。

如果现在w = u₁u₂...u_l是由字母u_j构成的字码，则通过按照字码出现的顺序使它们毗邻获得的字码将被记为σ(w)。我们说代换σ已经应用（即，“映射”）到字码w。如果σ应用于字码σ(w)，我们获得记为σ²(w)的字码，等等。按照惯例，我们使σ⁰(w)=w。

在数学方面，对A的代换是由A产生的自由独异点的自同态。

为了说明何谓代换序列以及其引起的方法，在下文提供了三个实例。

在第一实例中，代换序列由两个字母a和b的字母表A构成。这两个字母a和b可以表示异质结构的两层，其可在它们的成分和/或它们的厚度上不同。我们定义代换的两个字码：aab和ba。我们从字码w₀ = a开始。应用于字码w₀的代换σ然后在于用代换字码aab取代每个字母a和用代换字码ba取代每个字母b。因此，我们得到字码

w₁= σ (w₀) = aab.

如果在w₁中，这种代换操作通过用字码aab = σ_a取代字母a和用字码ba = σ_b取代字母b来迭代，则我们获得字码

w₂ = σ (w₁) = σ ² (w₀) = aabaabba

接着，如果操作再重复一次，则我们获得

w₃ = σ (w₂) = σ ³ (w₀) = aabaabbaaabaabbabaaab.

可以使用这个原理连续地重复几次代换操作。

在第二实例中，代换序列由包括三个字母a、b和c的字母表A构成。三个字母a、b和c可以表示异质结构的三层，其可以在它们的成分和/或它们的厚度上不同。给出三个代换字码：ab、bc和ac。我们从字码w₀= a开始。应用于字码w₀的代换σ然后在于用代换字码ab = σ_a取代每个字母a、用代换字码bc = σ_b取代每个字母b以及用代换字码ac = σ_c取代每个字母c。从w₀= a开始，通过连续代换，我们因此获得：

在上文所示的两个实例中，每个字码w_n-1 是字码w_n 的前缀。事实上，字码w_n-1 被发现在字码w_n 的开始处。并不总是这种情况，如第三实例所示。

在这个第三实例中，代换序列由减少到两个字母a和b的字母表A构成。两个字母a和b可以表示异质结构的两层，其可以在它们的成分和/或它们的厚度上不同。给出两个代换字码：bab和ab。我们从字码w₀= a开始。应用于字码w₀的代换σ在于用代换字码bab = σ_a取代每个字母a和用代换字码ab = σ_b取代每个字母b。从w₀= a开始，通过连续代换，我们因此获得：

由于每个代换σ关联于矩阵M_σ，对于上文提到的三个实例，这个矩阵可以分别写为：

事实上，对于第一实例，对字母a操作的代换σ_a = aab使字母a出现两次以及字母b出现一次，由此产生了矩阵M_σ,_{example 1}的第一列的系数。此外，对字母b操作的代换σ_b = ba使字母b出现一次以及字母a出现一次，由此产生了矩阵M_σ,_{example
1}的第二列的系数。

对于第二实例，对字母a操作的代换σ_a = ab使字母a出现一次以及字母b出现一次，但是没有使字母c出现，由此产生了矩阵M_σ,_{example
2}的第一列的系数。对字母b操作的代换σ_b = bc使字母b出现一次以及字母c出现一次，但是没有使字母a出现，由此产生了矩阵M_σ,_{example
2}的第二列的系数。最后，对字母c操作的代换σ_c = ac使字母a出现一次以及字母c出现一次，但是没有使字母b出现，由此产生了矩阵M_σ,_{example 2}的第三列的系数。

对于第三实例，对字母a操作的代换σ_a = bab使字母a出现一次以及字母b出现两次，由此产生了矩阵M_σ,_{example 3}的第一列的系数。此外，对字母b操作的代换σ_b = ab使字母a出现一次以及字母b出现一次，由此产生了矩阵M_σ,_{example
3}的第二列的系数。

这种类型的矩阵拥有以下特性：

- 矩阵M_σ具有正特征值ρ>1，并且其大于此矩阵M_σ的其他特征值的每个的模。对于上文提到的三个实例，因此定义的特征值ρ分别对应于值：

- 在从字码w₀开始的代换序列σ的n次代换后获得的字码w_n = σⁿ(w₀)的长度l_n约为ρⁿ。

因此，对于第一实例，字码w₀、w₁、w₂、w₃、w₄、w₅、w₆、w₇、w₈、w₉、w₁₀、w₁₁、w₁₂等的长度（字码中的字母数）分别等于1、3、8、21、55、144、377、987、2584、6765、17 711、46 368、121 393等。

对于第二实例，字码w₀、w₁、w₂、w₃、w₄、w₅、w₆、w₇、w₈、w₉、w₁₀等的长度分别等于1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024等。

对于第三实例，字码w₀、w₁、w₂、w₃、w₄、w₅、w₆、w₇、w₈、w₉、w₁₀等的长度分别等于1、3、7、17、41、99、239、577、1393、3363、8119等。

因此，应理解，字码w_n 的长度l_n随着所操作的代换的次数n非常迅速地增加。

这意味着，形成异质结构的、例如用于形成多层非金属反射镜的层的数量N随着所操作的迭代数n非常迅速地增加，更精确地例如数量ρⁿ。现在，在现有技术中，通过直接计算描述光在多层中的传播的N个转移矩阵的乘积来获得透射系数T，以及如果期望构造由非周期异质结构组成的、展现以给定应用为目的的特定特性的这样的反射镜，则定义反射镜的结构所需的计算量将很快变成禁止的：事实上，必须执行大量的计算以测试每个独立物理参数对反射镜的透射系数的相应影响。

此外，在于直接使转移矩阵相乘的技术的使用具有引起可能使所执行的计算的有效性迅速丧失的累积舍入误差的缺点，该缺点在计算的每个步骤处通过计算机产生，也就是说，在基本转移矩阵与前面的转移矩阵的每次额外的相乘时。因此，甚至不能肯定所执行的计算足够可靠。

由于这些原因，在现有技术中已经寻求使避免这些缺点成为可能的解决方案。

所遵循的一个方针是减少在多层非金属反射镜的构造中涉及的独立物理参数的数量。这是例如由2005年6月7日Joannopoulos等人的文件US 6 903 873 B1（D6）所提议的，该文件描述层的周期性堆栈。

D6提出了用于获得具有两种类型的层的周期性排列的多层非金属反射镜的方法，层的厚度通过由作者提出为必须优化反射的方程式相互关联。

D6中提议的方针因此从对采用周期结构有用的原理开始，周期结构的各个厚度有利于垂直入射处的反射。因此，例如用于层a、b的厚度d_a、d_b是“四分之一波”，也就是说，使得分别d_a = λ/4n_a和d_b = λ/4n_b，其中λ为入射光的波长。

根据D6的程序因此使得减少计算中涉及的物理参数的数量成为可能，并且因此，使得减少构造适于给定应用的反射镜所需的计算机计算时间成为可能。

此外，通过固定反射镜的有限数量的层，计算误差仍然是可接受的。

这个程序具有明显限制对给定的具体应用构造非金属反射镜的可能性的主要缺点。

事实上，反射镜的每层的厚度和这些层的材料的性质是强加的。此外，样本的周期单位的数量是有限的，以便避免计算误差，以及结构必然是周期性的。

为了改善其程序，D6建议，结构可以是非周期的。然而，D6没有描述用于获得由非周期异质结构组成的全向反射镜的可靠和快速的生产的任何计算程序。

在有关现有技术的这部分的一些可得到的已出版的著作中，使用公认非周期的多层工作的Dal Negro等人（D7: L. Dal Negro、M. Stolfi、Y. Yi、J. Michel、X. Duan、L.C. Kimerling、J. LeBlanc、J. Haavisto, Appl. Phys. Lett. 84, (2004) 5186, Photon band gap properties and omnidirectional reflectance in Si/SiO2 Thue-Morse quasicrystals。）不能够构造全向反射镜，他们通过选择光的波长范围来证明此，所述反射镜在该波长范围内反射，尤其是因为从一开始，他们将厚度限制到“四分之一波”值。

发明概述

本发明的主题是一种用于在任意但预定的入射角范围中以及针对任意但预定的波长或波长范围构造全向非金属反射镜的方法，该方法包括以下步骤：

A）将结构定义为包括至少两层不同非金属材料，每层关联于基本矩阵，基本矩阵包含该层的物理参数，特别是厚度和折射率，以及穿过所述层的光的参数，特别是波长和入射角；

B）借助于通过重复n次代换而获得的序列，产生由层数（N）、由这些层的排列和基本矩阵的每层的物理参数定义的结构；

C）通过分块递归并根据它们的排列来计算基本矩阵的乘积，以便获得表示步骤B）中定义的结构的矩阵，借助于该矩阵，计算所述结构的透射系数（T）；

D）所获得的透射系数（T）与根据全向反射镜的设想的使用选择的阈值T_thresh相比较，并且：

-在波长处或在所考虑的波长范围各处以及对于所考虑的入射角范围，如果透射系数（T）低于阈值（T_thresh），该结构是在该入射角范围上的全向反射镜；

-在波长处或在所考虑的波长范围内以及对于所考虑的入射角范围，如果透射系数（T）高于阈值（T_thresh），重复步骤B）至D），同时改变层的数量、它们的排列和/或层的至少一个物理参数。

根据其他实施方式：

• 在步骤A）期间可能定义包括不同非金属材料的k层a_j（1 ≤ j ≤ k）的结构，每层分别关联于包含层的物理参数以及穿过所述层的光的参数的基本矩阵A_j（1 ≤ j ≤ k），且为了获得步骤C）的矩阵，利用与伪装成2阶单位矩阵I与矩阵A_j,_n的线性组合的矩阵A_j,_n+1有关的递归关系式，其中，这些关系式的系数是取决于矩阵A_j,_n的迹的多项式，其中，j=(j₁, j₂,...,j_v)，使得1 ≤ v ≤ k和1 ≤ j₁< j₂< j_v ≤ k，以及A_j,_n = A_j1,n A_j2,n...A_jv,n是在矩阵A_j（1 ≤ j ≤ k）上代换序列的n次重复后获得的矩阵。

• 如果k=2，则在步骤A）期间可能定义包括不同非金属材料的两层a₁ = a、a₂ = b的结构，每层分别关联于包含层的物理参数以及穿过所述层的光的参数的基本矩阵A₁ = A、A₂ = B，以获得步骤C）的矩阵，下列递归关系式被使用：

其中：

- 矩阵I是2阶单位矩阵，

- 矩阵N_σ是3×4矩阵，其与代换序列σ关联并且它的系数N_σ _,i,j（1 ≤ i ≤ 3和1 ≤ j ≤ 4）是具有整数系数的三个变量x、y和z的多项式，以及

- TrA_n、TrB_n和TrA_nB_n分别是矩阵A_n的迹、矩阵B_n的迹和矩阵A_n B_n的迹；

•可能使迹映射与步骤C）的过程中的分块递归关联；

•可能通过下列公式计算步骤C）中获得的矩阵的透射系数T：

其中，TrA_n是步骤C）中获得的矩阵的迹，以及aTrA_n是其逆迹；

• 步骤B）的结构可借助于单个代换序列获得，每个非金属材料层是由单一材料制成的简单层；

• 步骤B）的结构可借助于应用于层的集合的单个代换序列获得，其中，每层本身是简单层的组合，每层由单一材料制成；和/或

• 步骤B）的结构可借助于几个代换序列获得，使得该结构由简单层的几个子集形成，每层由单一材料制成，每个子集通过代换序列获得，子集的组合通过另一代换序列获得。

本发明也涉及一种由先前的构造方法获得的用于一波长或任意但预定的波长范围的全向非金属反射镜，全向非金属反射镜包括至少两层不同非金属材料。

在先前的非金属反射镜中，层按照非周期方式堆叠。

本发明的目的是提议用于构造用于一波长或任意但预定的波长范围的全向非金属反射镜的方法，其中没有强加对这个构造中涉及的物理参数的预先约束。

根据代换序列以便构成可选地反射的结构的层的排列使得根据转移矩阵更“经济地”计算其光学特性和反射能力成为可能，并且对于给定波长和给定入射，通过从代换序列直接得出的递归公式BBR（“构造块递归”，如已知的），使这样做成为可能。

本发明提议实现称为构造块递归（BBR）的这种技术。

这种方法可由计算机实现。

让我们采用上文的第一实例，其中，σ(a) = aab σ(b) = ba。我们从字码w₀= a开始，我们看到

w₁= σ(w₀) = aab.

w₂ = σ(w₁) = σ²(w₀) = aabaabba

w₃ = σ(w₂) = σ³(w₀) = aabaabbaaabaabbabaaab。

等等。

如果a对应于某种材料的层，则这个情况对应于基本2×2“转移矩阵”，即A，对层b的矩阵B是同样的，矩阵B涉及在层的入口平面中以及在出口平面中的光的特性。

如果我们使A₀ = A, B₀ = B且我们通过递归定义

A_n+1 = A_nA_nB_n 和

B_n+1 = B_nA_n ,

则我们看到，知道A_n 和B_n ，为了计算A_n+1 和B_n+1 ，我们不得不执行2×2矩阵的3次乘积。因此，为了计算A_n 和B_n ，只需执行2×2矩阵的3n次乘积就足够了。显然，矩阵A_n 是对应于字码w_n 的异质结构的转移矩阵。如果，例如n=7，则矩阵是基本矩阵的987次乘积的结果。因此可见，在这种情况下，2×2矩阵的986次乘积的单纯计算由这样的矩阵的7×3 =21次乘积的计算取代。我们说通过分块递归（称为构造块递归或BBR）实现乘积。

在对字母表A的代换σ的一般情况下，在n次迭代后获得的异质结构的转移矩阵的先前单纯计算需要2×2矩阵的约ρⁿ次乘积，而BBR的使用只需要约n次乘积。

这因此表明考虑这样的结构的全部益处。事实上，将有必要确定对应于广受欢迎的规格的异质结构，以便测试大量代换（其中有900个对两个字母的字母表的长度小于或等于4的代换），以对所涉及的波长以入射角的足够精细的采样计算在TE情况和TM情况下的转移矩阵。

只有BBR通过挑剔地减少计算的时间和次数使得按照可靠方式实现这样的目标成为可能。

仍有待定义透射系数T_thresh的值，借助于该值，认为反射镜已被制造。通常对于全反射，T=0。但值T_thresh可以取决于预想的用途，例如，对于某些应用，0.02或者甚至0.05就足够。

本发明的目的因此是提议用于构造用于一波长或任意但预定的波长范围的全向非金属反射镜的方法，其中没有强加对这个构造中涉及的物理参数的预先约束。

为了实现这个目的，本发明提议用于构造全向非金属反射镜的方法，其包括以下步骤：

A）将基本结构定义为包括至少两层不同非金属材料，a和b，每层关联于基本矩阵，该基本矩阵包含该层的物理参数，特别是厚度d_a、d_b和折射率n_a、n_b，以及穿过所述层的光的参数，特别是波长λ和入射角θ；

B）借助于此基本结构和被应用n次的代换σ，产生由下列项定义的另一结构：

它的层数N，

由σ的迭代确定的这些层的排列，以及

A中的基本矩阵的每层的物理参数，

并且在此结构中，每层j（j从1到N）关联于其转移矩阵S_j，转移矩阵S_j包含所考虑的层的物理特征（厚度、折射率）以及穿过它的光的特征（波长、入射角、TE或TM模式）；

C）使用计算机对参数(θ、λ、d_a、d_b、n_a和n_b)的每个值计算基本矩阵的乘积（参考R2），

M_N = S_N S_N-1 S_N-2......S₂ S₁

但通过由σ定义的分块递归并根据它们的排列通过BBR，以获得步骤B）中定义的结构的转移矩阵M_N，借助于M_N，通过下列公式来计算它的透射系数T（参考R3）：

其中，TrM_N是步骤C）中获得的矩阵M_N的迹（参考R2），以及aTrM_N 是它的逆迹。

D）所获得的透射系数T与根据全向反射镜的预想的用途而选择的阈值T_thresh相比较，并且：

-对于任何入射角，在波长处（或所考虑的波长范围各处），对于所述TE模式和所述TM模式，如果透射系数T低于所述阈值T_thresh，则结构是全向反射镜；

-在波长处或在所考虑的波长范围中，对于所述TE模式或者对于所述TM模式，如果对于至少一个入射角透射系数T高于阈值T_thresh，则结构没有得到反射镜，并且有必要重复步骤C）和D），同时根据A）改变层的数量、它们的排列和/或层的至少一个物理参数，否则，有必要在步骤B）期间定义另一异质结构。

现在，为了定义它，可能没有限制地选择根据A）的异质结构的基本层的数量和性质、代换序列的性质、否则选择根据B）的应用于这个序列的代换的数量。

因此，必须重复计算，直到获得形成参考图1的反射镜的结构。

从上文推断出，本发明也能够实现以下较弱的目的：构造只对光的入射角的预定的有限范围反射的反射镜，也就是说，例如，对于位于θ₁和θ₂之间的θ（其中，θ₁和θ₂本身在0°和90°之间），而不是对于从0°到90°的入射角的所有值发生的反射。

该方法的步骤D）接着如下进行：

-对于位于θ₁和θ₂之间的任何入射角θ，在波长处或所考虑的波长范围各处，对于TE模式和TM模式，如果透射系数T低于阈值T_thresh，则结构是对于具有位于θ₁和θ₂之间的入射角θ的光的反射镜；

-在波长处或在所考虑的波长范围中，对于TE模式或者对于TM模式，如果对于位于θ₁到θ₂之间的至少一个入射角θ，透射系数T高于阈值T_thresh，则结构没有得到反射镜，并且有必要重复步骤C）和D），同时根据A）改变层的数量、它们的排列和/或层的至少一个物理参数，否则，有必要在步骤B）期间定义另一异质结构。

附图的简要说明

图1是根据本发明的反射非周期异质结构的简图，反射非周期异质结构由平放在基底上的两种类型的层a和b组成，这两层厚度为d_a、d_b以及各自的折射率为n_a、n_b，光的电场E和磁场B的约定指示是TE和TM模式。

图2是对于由基本参数：d_a = 28纳米、d_b = 34纳米、n_a = 3.2 和 n_b = 1.6以及4次迭代定义的结构，波长λ的序列σ(a) = aab、σ(b) = ba作为光的入射角θ的函数的实例的图。阴影部分指示所计算的透射系数T（参考R3）比强加的阈值T_thresh——在这里为0.01——小的区域。在图2中，结构按照全向方式对位于518纳米和531纳米之间的波长范围反射。

具有实例的本发明的详述

本发明提议实现称为分块递归（或其可称为“构造块递归”，如它被命名的，或BBR）的技术。

这种方法可由计算机实现。

在这里示出了对2个字母a和b的字母表的代换序列的BBR程序，其由上文第一实例中定义的代换σ产生，并且其中σ (a) = aab 和σ (b) = ba。这两个字母a和b表示异质结构的层，其在它们的成分和/或它们的厚度上可彼此不同。

让我们考虑2阶和行列式1的两个方矩阵A和B。如果在字码σ^j(a)中，a的每次出现由A取代并且b的每次出现由B取代，则我们获得矩阵的乘积，其结果记为A_j。同样，如果这些代换在σ ^j (b)中进行，则获得矩阵B_j 。另外规定，层a可与矩阵A₀关联，矩阵A₀包括层的每个物理参数，特别是厚度和折射率，以及穿过所述层的光的参数。在类似的方式中，可以有与层b关联的矩阵B₀，矩阵B₀包括层的每个物理参数，特别是厚度和折射率，以及穿过所述层的光的参数。如果A_n和B_n表示在代换σ的n次迭代后获得的矩阵，则BBR使简单地计算而没有计算近似成为可能，当A_n和B_n已知时：因此，在σ (a) = aab 和σ (b) = ba的情况下，我们有矩阵A_n+1和B_n+1

A_n+1 = A_n A_n B_n 和

B_n+1 = B_n A_n.

按照下列方式可以进一步改善此递归。矩阵A_n+1和B_n+1是矩阵I（2阶单位矩阵）、A_n和B_n的线性组合。

此递归关系式可以写成：

其中：

- 矩阵N_σ是3×4矩阵，其系数N_σ _,i,j（1 ≤ i ≤ 3和1 ≤ j ≤ 4）是具有整数系数的三个变量x、y和z的多项式，以及

- TrA_n = x_n、TrB_n = y_n和TrA_nB_n = z_n分别是矩阵A_n的迹、矩阵B_n的迹和矩阵A_n B_n的迹。

用于确定N_σ的系数、多项式N_σ _,i,j的程序在下列文档中被提出：

- D8：J. Peyrière，On an article by W. Magnus on the Fricke characters of free groups. J. of Algebra 228 (2000), 659-673，

- D9：J. Peyrière，Polynomial dynamical systems associated with substitutions. In Substitutions in Dynamics, Arithmetics and Combinatorics. Eds. V. Berthé、S. Ferenczi、C. Mauduit和 A. Siegel. Lecture Notes in Mathematics 1794. Springer 2002, ρ.321 - 342. ISSN 0075-8434, ISBN 3-540-44141-7)。

关系式R4、R5和R6可以写成如下形式：

其中，I指示2阶单位矩阵。

可以看出，在这个具体实例中，矩阵M_N= A_n表示在代换序列σ的n次代换后获得的包括N层的异质结构。

该方法使用关系式（R7）的矩阵的迹和逆迹。因此，对于迹，我们得到：

以及对于逆迹，记为“aTr”：

关系式（R8）被称为迹映射。它允许通过递归计算x_n、y_n和z_n，以及关系式（R9）允许计算逆迹。

有用的细节可在下列文档中找到：

- D10：J.-P. Allouche、J. Peyrière, Sur une formule de récurrence sur les traces de produits de matrices associés à certaines substitutions. [关于与某些代换关联的矩阵乘积的迹的递归公式] C. R. Acad. Sc. Paris, v. 302, Series II, (1986) No. 18, p. 1135，

- D11：J. Peyrière，Trace maps. In Beyond Quasicrystals. Eds. F. Axel 和D. Gratias. Editions de Physique and Springer, 1995, p. 465-480)。

因此可见，BBR含有迹映射，但在它可以使用A_n和B_n的系数的所有组合而不仅仅使用它们的迹的意义上，它更强大且不可缺少。

上文中的关系式（R4）至（R9）在它们不局限于特定代换序列而相反适用于借助于两个字母a和b的字母表构造的任何代换序列的意义上是一般的。

然而，依然遵循我们的实例，其中每个字母a用代换字码σ_a = aab取代，每个字母b用代换字码σ_b = ba取代，可以看出，关系式（R4）至（R6）可写成：

其中，x_n、y_n和z_n是A_n、B_n和A_nB_n的迹，从而使获得3×4矩阵N_σ成为可能

所有基本矩阵的乘积然后通过此分块递归并根据其排列来计算，以便在该实例中获得矩阵M_N = A_n，A_n允许结构的透射系数T的以下计算

从而在该实例的情况下完成允许该方法的实现的描述。

最后，分块递归（BBR）技术的使用可以明显推广到包括k 个字母a₁,a₂,..., a_k的字母表。这些不同的字母然后表示异质结构的k层，k层可在它们的成分和/或它们的厚度上彼此不同。

借助于对此字母表的代换σ：如果A₁,A₂,...,A_k是2阶和行列式1的方矩阵，则我们认为，对于位于1和k之间的每个j以及对于所有n≥0 ，矩阵A_j,_n通过用A_i取代字码σⁿ(a_j)中的每个字母a_i（i =1,2,..., k）来获得。

对于每个序列J=(j₁, j₂,...,j_v)使得1 ≤ v ≤ k和1 ≤ j₁< j₂< j_v ≤ k（存在2^k-1个这样的序列），我们使。

然后，矩阵A_J,_n+1是2阶单位矩阵I与矩阵A_J,_n的线性组合。这些关系式的系数是矩阵A_J,_n的迹中的多项式。

如果系数不再是多项式而是有理分式是可接受的，则可能得到具有较少项的公式。但是，这些新的公式在数值计算过程中不提供任何明显的优势，至少如果字母表具有几个字母。

一旦矩阵M_N（参考R2）已知，穿过异质结构的光的传播就通过用下列公式计算异质结构的N层的透射系数T来确认：

一旦该计算被执行，所获得的结构的透射系数值就与阈值T_thresh相比较，低于该阈值，就认为结构是反射镜。

对于入射角的任何值，阈值T_thresh将例如由具有约10^-5的近似的零值定义。对于某些应用，阈值将被定义为值0.02或者甚至0.05。

使用由本发明提议的方法，因此可能通过在合理的时间内并使用目前的计算装置对任意选取的层的不同厚度执行大量计算，来制造适于给定应用的全向多层非金属反射镜，而对此构造中涉及的物理参数没有任何预先约束。现在，通过这些计算产生的舍入误差因此对结果没有影响。

此外，也证明，可能获得具有比目前使用周期多层非金属反射镜提议的那些层厚度小的层厚度的全向反射镜。应理解，当进入制造步骤时，这种构造是非常有利的。

借助于通过MBE（分子束外延）或通过溅射沉积层的常规技术来完成制造，这些技术是被良好地掌握的普通技术。

根据本发明的方法因此是非常通用的，并且没有对代换σ的性质、对层a₁, a₂,..., a_k的厚度的值或者此外对物理参数组——波长λ、入射角θ、层的厚度和折射率——设置任何预先条件。

本发明的其他特征是：

• 异质结构可借助于单个代换序列获得，使得每层是单一材料的简单层

• 异质结构可借助于单个代换序列获得，使得每层是本身具有结构的基本层的组合

• 异质结构可借助于几个代换序列获得，使得异质结构由层的几个子集组成，每层通过代换序列获得。

Claims

1.一种用于一波长或任意但预定的波长范围的全向非金属反射镜的构造方法，该反射镜包括至少两层不同非金属材料，所述方法包括以下步骤：

A）定义一基本结构，该基本结构包括至少两层不同非金属材料，a和b，其中每层关联于基本矩阵，所述基本矩阵包含所述层的物理参数、即所述层的厚度d_a、d_b和折射率n_a、n_b，以及穿过所述层的光的参数、即穿过所述层的光的波长λ和入射角θ；

B）借助于此基本结构和被应用n次的选定代换σ，由下列项定义异质结构：

所述异质结构的层的数目N，

由σ的迭代确定的所述异质结构的层的排列，以及

在所述基本矩阵中涉及的每层的所述物理参数，

以及在此异质结构中，每层j关联于转移矩阵S_j，其中j从1到N，所述转移矩阵S_j包含所考虑的层的物理特征、即所考虑的层的厚度、折射率，以及包含穿过所考虑的层的光的特征、即穿过所考虑的层的光的波长、入射角、TE或TM模式；

C）通过由σ定义的分块递归并根据由σ的迭代确定的层的排列通过分块递归或构造块递归BBR，使用计算机对参数θ、λ、d_a、d_b、n_a和n_b的每个值计算所述基本矩阵的乘积，

M_N = S_N S_N-1 S_N-2......S₂ S₁

以获得步骤B）中定义的所述异质结构的转移矩阵M_N，借助于所述转移矩阵M_N，通过下列公式来计算所述异质结构的透射系数T：

其中，TrM_N是所述矩阵M_N的迹而aTrM_N 是所述矩阵M_N的逆迹，

D）将所获得的所述透射系数T与根据所述反射镜的预想的用途而选择的阈值T_thresh相比较，以及：

-对于所述TE模式和所述TM模式，在所考虑的波长处或波长范围的各处，如果对于位于θ₁和θ₂之间的任何入射角θ，其中，θ₁和θ₂本身在0°和90°之间，所述透射系数T低于所述阈值T_thresh，则所述异质结构是对具有位于θ₁和θ₂之间的入射角θ的光的全向反射镜；

-对于所述TE模式或者对于所述TM模式，在所述波长处或在所考虑的波长范围中，如果对于位于θ₁到θ₂之间的至少一个入射角θ，所述透射系数T高于所述阈值T_thresh，则这样获得的异质结构不是反射镜，并且然后根据B）定义另一异质结构，以及重复步骤C）和D）直到获得反射镜，否则根据A）定义另一基本结构，以及此后重复步骤B）、C）和D）。

2.如权利要求1所述的构造方法，特征在于，在步骤A）期间定义包括非金属材料的k层a_j的结构，其中1 ≤ j ≤ k，所述k层a_j在成分和/或厚度上能够不同。

3.如权利要求1或2所述的构造方法，特征在于，步骤B）的所述异质结构借助于单个代换序列获得，每个非金属材料层是由单一材料制成的单一层。

4.如权利要求1或2所述的构造方法，特征在于，步骤B）的所述异质结构借助于应用于如下层的集合的单个代换序列获得：这些层中的每层都是单一层的组合，每个单一层由单一材料制成。

5.如权利要求1或2所述的构造方法，特征在于，步骤B）的所述异质结构借助于几个代换序列获得，使得步骤B）的所述异质结构由层的几个子集组成，每层通过代换序列获得，或者其中步骤B）的所述异质结构包括使用几个代换序列获得的结构，使得步骤B）的所述异质结构由单一层的几个子集形成，每个子集使用一代换序列获得，所述子集使用另一代换序列被组合。

6.如权利要求1或2所述的构造方法，特征在于，步骤B）的所述异质结构借助于几个代换序列获得，使得所述异质结构由单一层的几个子集形成，每个单一层由单一材料制成，每个子集使用一代换序列获得。

7.如权利要求1或2所述的构造方法，特征在于，所构造的反射镜对任何入射角θ的光进行反射，也就是说，对位于θ₁=0°和θ₂=90°之间的θ。

8.如权利要求3所述的构造方法，特征在于，所构造的反射镜对任何入射角θ的光进行反射，也就是说，对位于θ₁=0°和θ₂=90°之间的θ。

9.如权利要求4所述的构造方法，特征在于，所构造的反射镜对任何入射角θ的光进行反射，也就是说，对位于θ₁=0°和θ₂=90°之间的θ。

10.如权利要求5所述的构造方法，特征在于，所构造的反射镜对任何入射角θ的光进行反射，也就是说，对位于θ₁=0°和θ₂=90°之间的θ。

11.如权利要求6所述的构造方法，特征在于，所构造的反射镜对任何入射角θ的光进行反射，也就是说，对位于θ₁=0°和θ₂=90°之间的θ。

12.一种由非金属层组成的反射镜，其中所述反射镜通过如权利要求1到11的一项所述的方法获得。