CN102298766A - 一种基于加权隐写图像的对lsb信息隐藏的检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于加权隐写图像的对LSB信息隐藏的检测方法，属于模式识别中的信息隐藏和图像处理技术领域。该方法是通过加权的方式对隐写图像进行建模，然后通过证明将估计秘密信息长度的问题转化为一个二次方程最优化问题，对该方程进行求导运算，令结果为0即可估算出秘密信息所占图像像素的比例。本发明针对LSB信息隐藏检测框架，提出了一种快速有效的隐藏分析的方法，不仅仅满足从L＝1到L＞1的情况，并且该方法还从LSB-I推广到LSB-II，且回避了高度复杂的运算，并使用了统一的框架将LSB-I和LSB-II都包含于其中，大大提高了最后的错误估计率和检测精确率。

Description

一种基于加权隐写图像的对LSB信息隐藏的检测方法

技术领域

本发明涉及一种基于加权隐写图像的对LSB信息隐藏的检测方法，属于模式识别中的信息隐藏和图像处理技术领域。 

背景技术

信息隐藏检测是针对信息隐藏的攻击技术，通过信息隐藏的检测技术，可以判断图像等载体中是否存在信息的隐藏和嵌入。信息隐藏检测包括了载体图像特征分析、检测算法和实现技术。文献中有详细讨论信息隐藏检测的面临的各种问题，如信息隐藏载体的多样性，信息隐藏方法的多样性，信息隐藏经常和加密结合使用等等。而一般信息隐藏检测方法可以划分为一类针对具体信息隐藏方法的检测：如对具体文件结构法、针对调色板信息隐藏的检测法、针对LSB信息隐藏[1]的检测方法；另一类称之为通用盲检测方法：如不同位平面成像的差异、位平面某种统计特性的差异，图像质量等。本发明主要针对LSB信息隐藏设计对LSB信息隐藏的检测。假如需要嵌入到图像中的隐秘信息的容量有L*K位，一般来说，有两类信息隐藏检测方法：一是随机选择K个像素，然后用隐秘信息替换该像素的后L个LSB位，称之为LSB-I；另一是随机选择K个像素，分别将其末尾的LSB位(假设为n位)用隐秘信息替换，然后再次随机选择K个像素，分别将其次末尾的LSB位(第n-1位)用隐秘信息替换，直至所有的隐秘信息被嵌入到图像中，称之为LSB-II。 

文献中有大量的有关对LSB信息隐藏的检测方法，如Fridrich et.al.^[8]等人提出的颜色对方法。一些方法利用自然图像统计特性的某种对称性如采样对分析法(Sample Pairs analysis(SPA))^[9]。还有的一些方法是采用基于加权图像分析的方法^[1]。该方法首先由Fridrich等人提出，只能分析L＝1的情况，我们在^[2，3]将它扩充到最低有效位L＞1的情况。Ker^[4，5，6]将其扩充到顺序LSB信息隐藏方法， 

将该方法扩充到检测JPEG图像中的信息隐藏。 

参考文献如下： 

[1]J.Fridrich，M.Goljan，“On Estimation of Secret Message Length in LSB Steganography in Spatial Domain，”In Proceedings of EI SPIE Electronic Imaging，San Jose，CA，Jan.2004. 

[2]X.Yu，T.Tan，and Y.Wang，“Extended optimization method of LSB steganalysis，”in Proc.IEEE Int.Conf.Image Processing，2005，vol.2，pp.1102-1105. 

[3]X.Yu and N.Babaguchi，″Weighted Stego-Image Based Steganalysis in Multiple Least  Significant Bits″，Proc.2008 IEEE International Conference on Multimedia and Expo(ICME2008)，pp.265-268，Hannover(2008-06). 

[4]A.D.Ker.Optimally weighted least-squares steganalysis.In Security，Steganography，and Watermarking of of Multimedia Contents IX，Proc.SPIE 6505，pages 0601-0616.SPIE，2007. 

[5]A.D.Ker.A Weighted Stego Image Detector for Sequential LSB Replacement.In Proc.2007 International Workshop on Data Hiding for Information and Multimedia Security attached to IAS 07.IEEE Computer Society Press，2007. 

[6]A.D.Ker and R. 

“Revisiting Weighted Stego-Image Steganalysis，”In SecurityForensics，Steganography，and Watermarking of Multimedia Contents X，Proc.SPIE 6819，pages0501-0517.SPIE，2008. 

[7]R. 

“Weighted Stego-Image Steganalysis for JPEG Covers，”In Proc.Information Hiding：10th International Workshop，IH 2008，Pages：178-194 2008. 

[8]J.Fridrich，Du R.and L.Meng，“Steganalysis of LSB Encoding in Color Images，”In Proceedings of ICME，2000. 

[9]S.Dumitrescu，X.Wu，and Z.Wang，“Detection of LSB Steganography via Sample Pair Analysis，”In IEEE transactions on Signal Processing，Volume.51，Issue 7，pp.1995-2007，July2003. 

[10]A.Ker，“Steganalysis of embedding in two least significant bits，”In IEEE Transactions on Information Forensics and Security，Volume.2，Issuel，pp.46-54，March 2007. 

综上所述，前面提及的对LSB信息隐藏检测的方法都只针对LSB-I信息隐藏方式，没有考虑到LSB-II。Ker^[10]提出一种方法能够检测采用LSB-II方法嵌入的信息，然而只能考虑到L＝2，而且检测的估计误差随着嵌入信息量的增大误差也增大。另一个缺点是该方法需要求解高阶多项式方程。 

发明内容

为了解决上述问题，克服上述缺陷，本发明提出了一种基于加权隐写图像的对LSB信息隐藏的检测方法，采用此方法不仅仅能针对LSB-I信息隐藏方法的隐藏信息检测，同时也能检测采用LSB-II信息隐藏方法的隐藏信息。 

为了实现上述目的，本发明的技术方案如下： 

一种基于加权隐写图像的对LSB信息隐藏的检测方法，该方法是通过加权的方式的对隐写图像进行建模，然后通过证明将估计秘密信息长度的问题转化为一个二次方程最优化问题， 对该方程进行求导运算，令结果为0即可估算出秘密信息所占图像像素的比例，具体包括： 

步骤S1：首先对隐写图像进行加权建模，通过证明将估计秘密信息长度的问题转化为二次方程最优化问题，主要内容为： 

本发明的目的是为了计算出秘密信息所占图像像素的比例，设为q，但无法直接计算q值，因此本发明提出了一种基于加权隐写图像的对LSB信息隐藏的检测方法，首先对原始图像X＝{x_i}，(i＝1，2L n)，n∈N(其中x_i表示原始图像的像素)使用LSB-I或者LSB-II信息隐藏方法，得到了隐写图像S＝{s_i}，(i＝1，2L n)，n∈N(其中s_i表示隐写图像的像素)，然后对隐写图像进行加权运算得到 

s_i∈S，p为权值，其中定义 

L为LSB位的个数，L∈N，并且构造证明出： 

q＝arg min_pE(p) 

$E\left(p\right)=\frac{1}{n}{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{(s_i^{\left(p\right)}-x_i)}^2---\left(1\right)$

那么问题变转化为求二次方程E(p)取最小值时p的值。 

步骤S2：然后定义三个基本矩阵，主要内容为：。 

为了使得E(p)的表示变得简洁并且求导运算方便，需要事先定义三个基本矩阵，然后将E(p)表示为这三个矩阵以及转移矩阵的函数。具体定义如下： 

$C=\left\{c_i\right\}={\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{cccccccc}{2}^L-1& 2^L-3& \mathrm{\Λ}& 1& -1& \mathrm{\Λ}& {-2}^L+3& -2^L+1\end{array}\right]}_{1\×2^L}^T---\left(2\right)$

$I={\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \mathrm{\Λ}& 1\end{array}\right]}_{1\×2^L}---\left(3\right)$

$D=\left\{d_{j,k}\right\}={\left[\begin{array}{ccccc}0& -1& -2& \mathrm{\Λ}& {-2}^L+1\\ 1& 0& -1& \mathrm{\Λ}& -2^L+2\\ 2& 1& 0& \mathrm{\Λ}& {-2}^L+3\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}\\ 2^L-1& 2^L-2& 2^L-3& \mathrm{\Λ}& 0\end{array}\right]}_{2^L\×2^L}---\left(4\right)$

在C，I，D这三个矩阵中，L∈N，在前面已经定义了。定义这三个矩阵是为了方便步骤S3的代数变换。 

步骤S3：然后通过代数变换，提出通用的证明形式，主要内容为： 

为了证明(1)需要将E(p)进行基本的代数变化，将E(p)表示为步骤S2定义的基本矩阵的函数。将其转化为通用的证明形式，如下： 

$E\left(p\right)=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(s_i^{\left(p\right)}-x_i)}^2$

$=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(s_i-x_i+(2^L-1-2(s_i\%2^L))p/2)}^2$

$=\frac{1}{n}\underset{j=0}{\overset{2^L-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=0}{\overset{2^L-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{\underset{x_i=j}{s_i=k}}{\mathrm{\Σ}}{(s_i-x_i+(2^L-1-2(s_i\%2^L))\frac{p}{2})}^2---\left(6\right)$

$=\frac{1}{n}\underset{j=0}{\overset{2^L-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=0}{\overset{2^L-1}{\mathrm{\Σ}}}{n}_j{t}_{j,k}{(d_{j,k}+c_j\frac{p}{2})}^2$

其中d_j，k∈D，c_j∈C并且定义n_j＝h(j)来进行代数变换，其中h(0)＝h(1)＝L h(2^L-1)＝n/2^L，其中j，k∈{0，1，L，2^L-1}。 

定义向量： 

$N={[n_0,n_1,\mathrm{\Λ},n_{2^L-1}]}^T---\left(7\right)$

t_j，k＝P(x_i＝j，s_i＝k)是从x_i＝j到s_i＝k转移概率。 

步骤S4：然后分别针对LSB-I和LSB-II完成该证明，计算出秘密信息所占图片像素的比例，主要内容为： 

将E(p)转化为通用证明形式后，由于本发明中使用了LSB-I或者LSB-II两种信息隐藏算法，那么证明时需要针对这两种算法分别进行，LSB-I算法和LSB-II算法的证明过程中的主要差别在于转移矩阵的差别，LSB-II中转移矩阵的构造更加的复杂。 

对LSB-I的证明过程如下：像素转移矩阵T_I的每个元素的值代表转移概率t_j，k＝P(x_i＝j，s_i＝k)，那么对于LSB-I，T_I为： 

$T_I=\left\{t_{j,k}^{\left(I\right)}\right\}={\left[\begin{array}{cccc}1-\frac{2^L-1}{2^L}q& \frac{q}{2^L}& \mathrm{\Λ}& \frac{q}{2^L}\\ \frac{q}{2^L}& 1-\frac{2^L-1}{2^L}q& \mathrm{\Λ}& \frac{q}{2^L}\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \\ \frac{q}{2^L}& \frac{q}{2^L}& \mathrm{\Λ}& 1-\frac{2^L-1}{2^L}q\end{array}\right]}_{2^L\×2^L}$

带入E(p)中后，可以将E(p)转化为： 

$E\left(p\right)=\frac{1}{2^L}I(T_I\·\mathrm{NI}\·(D+\frac{p}{2}\mathrm{CI})\·(D+\frac{p}{2}\mathrm{CI}))I^T$

将E(p)求导后，令求导后的结果为0，可以得到： 

$\frac{\mathrm{dE}\left(p\right)}{\mathrm{dp}}=\frac{1}{2^{L}n}(I(T_I\·\mathrm{NI}\·D\·\mathrm{CI})I^T+\frac{p}{2}I(T_I\·\mathrm{NI}\·\mathrm{CI}\·\mathrm{CI})I^T)=0$

上面等式前面的部分可以转换为： 

$I(T_I\·\mathrm{NI}\·D\·\mathrm{CI})I^T$

$=I(\left[\begin{array}{cccc}1-(2^L-1)q/2^L& q/2^L& \mathrm{\Λ}& q/2^L\\ q/2^L& 1-(2^L-1)q/2^L& \mathrm{\Λ}& q/2^L\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}\\ q/2^L& q/2^L& \mathrm{\Λ}& 1-(2^L-1)q/2^L\end{array}\right]$

$\·\left[\begin{array}{cccc}{n}_0& n_0& \mathrm{\Λ}& n_0\\ n_1& n_1& \mathrm{\Λ}& n_1\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}\\ n_{2^L-1}& n_{2^L-1}& \mathrm{\Λ}& n_{2^L-1}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccc}0& -1& \mathrm{\Λ}& -2^L+1\\ 1& 0& \mathrm{\Λ}& -2^L+2\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}\\ 2^L-1& 2^L-2& \mathrm{\Λ}& 0\end{array}\right]$

$\·\left[\begin{array}{cccc}{2}^L-1& 2^L-1& \mathrm{\Λ}& 2^L-1\\ 2^L-3& 2^L-3& \mathrm{\Λ}& 2^L-3\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}\\ -2^L+1& -2^L+1& \mathrm{\Λ}& -2^L+1\end{array}\right])I^T=-\frac{q}{2}I\left[\begin{array}{c}{(2^L-1)}^2{n}_0\\ {(2^L-3)}^2{n}_1\\ \mathrm{\Λ}\\ {(-2^L+1)}^2{n}_{2^L-1}\end{array}\right]$

后面部分可以转换为： 

$\frac{p}{2}I{(T_I\·\mathrm{NI}\·\mathrm{CI}\·\mathrm{CI})I}^T$

$=\frac{p}{2}I(\left[\begin{array}{cccc}1-(2^L-1)q/2^L& q/2^L& \mathrm{\Λ}& q/2^L\\ q/2^L& 1-(2^L-1)q/2^L& \mathrm{\Λ}& q/2^L\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}\\ q/2^L& q/2^L& \mathrm{\Λ}& 1-(2^L-1)q/2^L\end{array}\right]$

$\·\left[\begin{array}{cccc}{n}_0& n_0& \mathrm{\Λ}& n_0\\ n_1& n_1& \mathrm{\Λ}& n_1\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}\\ n_{2^L-1}& n_{2^L-1}& \mathrm{\Λ}& n_{2^L-1}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccc}{2}^L-1& 2^L-1& \mathrm{\Λ}& 2^L-1\\ 2^L-3& 2^L-3& \mathrm{\Λ}& 2^L-3\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}\\ -2^L+1& -2^L+1& \mathrm{\Λ}& -2^L+1\end{array}\right]$

$\·\left[\begin{array}{cccc}{2}^L-1& 2^L-1& \mathrm{\Λ}& 2^L-1\\ 2^L-3& 2^L-3& \mathrm{\Λ}& 2^L-3\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}\\ -2^L+1& -2^L+1& \mathrm{\Λ}& -2^L+1\end{array}\right])I^T=\frac{p}{2}I\left[\begin{array}{c}{(2^L-1)}^2{n}_0\\ {(2^L-3)}^2{n}_1\\ \mathrm{\Λ}\\ {({-2}^L+1)}^2{n}_{2^L-1}\end{array}\right]$

然后可以解得q＝p，这就完成了对于LSB-I的证明。 

对于LSB-II的证明过程如下：如果隐秘信息嵌入到第l个最低有效位，像素 

将以q/2的概率变成 

保持不变的概率为1-q/2，如此变化概率可以由下式表示： 

$t_{l,j,k}^{\left(\mathrm{II}\right)}=\left\{\begin{array}{cc}1-q/2& j=k\\ q/2& j=k+2^{l-1}-2(k\%2^l-k\%2^{l-1})\\ 0& \mathrm{else}\end{array}\right.$

( 

表示采用LSB-II时从x_i＝j到s_i＝k转移概率)            (8) 

$T_{l,\mathrm{II}}=\left\{t_{l,j,k}^{\left(\mathrm{II}\right)}\right\}$ (T_l，II表示采用LSB-II时的转移矩阵) 

式中0≤j，k≤2^L-1，1≤l≤L.

方程式(8)可以写成矩阵形式： 

式中 

表示Kronecker内积，I₂是维数为2×2的单位矩阵 $I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],$ $Q=\left[\begin{array}{cc}1-q/2& q/2\\ q/2& 1-q/2\end{array}\right]$ (Q是定义的基本矩阵，用于代数变换)，0≤q≤1。 

对于LSB-II信息隐藏来说，每次选择像素都是独立的，嵌入过程有L回独立选择过程，所以转移概率矩阵可以按照如下公式计算： 

$T_{\mathrm{II}}=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Π}}}{T}_{l,\mathrm{II}}$

根据应用Kronecker内积特性，我们有： 

所以公式(6)可以写成下式所示的矩阵形式： 

$E\left(p\right)=\frac{1}{2^L}I(T_{\mathrm{II}}\·(D+\frac{p}{2}\mathrm{CI})\·(D+\frac{p}{2}\mathrm{CI}))I^T$

对上式E(p)进行求导，然后令E(p)求导后的结果为0，这样计算出来的p值即是秘密信息所占图像像素的比例。 

E(p)的极小值可以用下式进行求解： 

$\mathrm{dE}\left(p\right)/\mathrm{dp}=\frac{1}{2^L}(I(T_{\mathrm{II}}\·D\·\mathrm{CI})I^T+\frac{p}{2}I(T_{\mathrm{II}}\·\mathrm{CI}\·\mathrm{CI})I^T)=0---\left(11\right)$

上式是未知量p的矩阵方程，求解该方程得到q＝p，但求解该方程有一些难度，我们可以分别取L＝1，2，3以及4以降低求解难度，最后得到q＝p。 

我们举L＝2为例说明。 

对L＝2的情况，方程(11)可以分解成： 

$I(\left[\begin{array}{cccc}{(1-q/2)}^2& (1-q/2)q/2& (1-q/2)q/2& q^2/4\\ (1-q/2)q/2& {(1-q/2)}^2& q^2/4& (1-q/2)q/2\\ (1-q/2)q/2& q^2/4& {(1-q/2)}^2& (1-q/2)q/2\\ q^2/4& (1-q/2)q/2& (1-q/2)q/2& {(1-q/2)}^2\end{array}\right]$

$\·\left[\begin{array}{cccc}{n}_0& n_0& n_0& n_0\\ n_1& n_1& n_1& n_1\\ n_2& {\text{n}}_2& n_2& n_2\\ n_3& n_3& n_3& n_3\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccc}0& -1& -2& -3\\ 1& 0& -1& -2\\ 2& 1& 0& -1\\ 3& 2& 1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccc}3& 3& 3& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ -1& -1& -1& -1\\ -3& -3& -3& -3\end{array}\right])I^T$

$+\frac{p}{2}I(\left[\begin{array}{cccc}{(1-q/2)}^2& (1-q/2)q/2& (1-q/2)q/2& q^2/4\\ (1-q/2)q/2& {(1-q/2)}^2& q^2/4& (1-q/2)q/2\\ (1-q/2)q/2& q^2/4& {(1-q/2)}^2& (1-q/2)q/2\\ q^2/4& (1-q/2)q/2& (1-q/2)q/2& {(1-q/2)}^2\end{array}\right]$

$\·\left[\begin{array}{cccc}{n}_0& n_0& n_0& n_0\\ n_1& n_1& n_1& n_1\\ n_2& n_2& n_2& n_2\\ n_3& n_3& n_3& n_3\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccc}3& 3& 3& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ -1& -1& -1& -1\\ -3& -3& -3& -3\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccc}3& 3& 3& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ -1& -1& -1& -1\\ -3& -3& -3& -3\end{array}\right])I^T=0$

对上式进行化简，最后可以得到q＝p。对L取其他值，我们可以得到类似的结果。 

从上述技术方案可以看出，本发明具有以下有益效果： 

1.本发明针对LSB信息隐藏检测框架，提出了一种快速有效的隐藏分析的方法，不仅仅满足从L＝1到L＞1的情况，并且该方法还从LSB-I推广到LSB-II。 

2.本发明的优势在于所提出的方法的简洁易懂的数学求导运算。该方法易于实现，并且不需要像Ker^[10]中所提出方法求解四次方程，因而回避了高度复杂的运算，从而使得算法更加的高效，易于被接受。 

3.本发明中所提出的方法使用了统一的框架将LSB-I和LSB-II都包含于其中，相比较于其他的加权隐写图像检测方法和Ker^[10]中所提出方法，最后的错误估计率和检测精确率都 大大提高了。 

附图说明

图1是LSB-I嵌入方法在L＝4的情况； 

图2是LSB-II嵌入方法在L＝2的情况。 

具体实施方式

类似于文献[3]，我们首先定义一些矩阵和向量： 

$C=\left\{c_i\right\}={\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{cccccccc}{2}^L-1& 2^L-3& \mathrm{\Λ}& 1& -1& \mathrm{\Λ}& {-2}^L+3& -2^L+1\end{array}\right]}_{1\×2^L}^T---\left(2\right)$

$I={\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \mathrm{\Λ}& 1\end{array}\right]}_{1\×2^L}---\left(3\right)$

$D=\left\{d_{j,k}\right\}={\left[\begin{array}{ccccc}0& -1& -2& \mathrm{\Λ}& {-2}^L+1\\ 1& 0& -1& \mathrm{\Λ}& -2^L+2\\ 2& 1& 0& \mathrm{\Λ}& {-2}^L+3\\ \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}& \mathrm{\Λ}\\ 2^L-1& 2^L-2& 2^L-3& \mathrm{\Λ}& 0\end{array}\right]}_{2^L\×2^L}---\left(4\right)$

前面三式中，L∈{1，2，Λ r}。 

定理1：列向量 

为原始图像像素值，范围为[0，255]，图像的大小为n＝M_x×N_x。令S＝{si}表示用L＞0的随机LSB-I或者LSB-II信息隐藏方式嵌入信息量为qn隐秘信息后的图像，其中0≤q≤1。令 

为加权信息隐藏图像，其中定义  $s_i^{\left(p\right)}=s_i+(2^L-1-2(s_i\%2^L))p/2,$ 0≤p≤1，i＝1，L，n，那么： 

q＝arg min_pE(p) 

$E\left(p\right)=\frac{1}{n}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n(s_i^{\left(p\right)}-x_i)}^2---\left(5\right)$

证明： 

$E\left(p\right)=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(s_i^{\left(p\right)}-x_i)}^2$

$=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(s_i-x_i+(2^L-1-2(s_i\%2^L))p/2)}^2$

$=\frac{1}{n}\underset{j=0}{\overset{2^L-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=0}{\overset{2^L-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{\underset{x_i=j}{s_i=k}}{\mathrm{\Σ}}{(s_i-x_i+(2^L-1-2(s_i\%2^L))\frac{p}{2})}^2$

$=\frac{1}{n}\underset{j=0}{\overset{2^L-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=0}{\overset{2^L-1}{\mathrm{\Σ}}}{n}_j{t}_{jk}{(d_{jk}+c_j\frac{p}{2})}^2---\left(6\right)$

式中j，k∈{0，1，Λ，2^L-1}，d_jk、c_j见(4)和(2)，n_j＝h(j)，式中h(0)＝h(1)＝L h(2^L-1)＝n/2^L. 

定义向量： 

$N={[n_0,n_1,\mathrm{\Λ},n_{2^L-1}]}^T---\left(7\right)$

t_j ,k＝P(x_i＝j，s_i＝k)是从经x_i＝j到s_i＝k转移概率。LSB-I和LSB-II所形成的转移概率差别很大，我们分别考虑两种不同的嵌入方法。 

对LSB-I，证明过程如文献[3]所示。下面我们考虑LSB-II。如果隐秘信息嵌入到第l个最低有效位，像素 

将以q/2的概率变成 

保持不变的概率为1-q/2，如此变化概率可以由下式表示： 

$t_{l,j,k}^{\left(\mathrm{II}\right)}=\left\{\begin{array}{cc}1-q/2& j=k\\ q/2& j=k+2^{l-1}-2(k\%2^l-k\%2^{l-1})\\ 0& \mathrm{else}\end{array}\right.---\left(8\right)$

$T_{l,\mathrm{II}}=\left\{t_{l,j,k}^{\left(\mathrm{II}\right)}\right\}$

式中0≤j，k≤2^L-1，1≤l≤L.

方程式(8)可以写成矩阵形式： 

式中 

表示Kronecker内积，I₂是维数为2×2的单位矩阵 $I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],$ $Q=\left[\begin{array}{cc}1-q/2& q/2\\ q/2& 1-q/2\end{array}\right],$ 0≤q≤1。 

对于LSB-II信息隐藏来说，每次选择像素都是独立的，嵌入过程有L回独立选择过程，所以 转移概率矩阵可以按照如下公式计算： 

$T_{\mathrm{II}}=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Π}}}{T}_{l,\mathrm{II}}$

根据应用Kronecker内积特性，我们有： 

所以公式(6)可以写成下式所示的矩阵形式： 

$E\left(p\right)=\frac{1}{2^L}I(T_{\mathrm{II}}\·(D+\frac{p}{2}\mathrm{CI})\·(D+\frac{p}{2}\mathrm{CI}))I^T$

E(p)的极小值可以用下式进行求解： 

$\mathrm{dE}\left(p\right)/\mathrm{dp}=\frac{1}{2^L}(I(T_{\mathrm{II}}\·D\·\mathrm{CI})I^T+\frac{p}{2}I(T_{\mathrm{II}}\·\mathrm{CI}\·\mathrm{CI})I^T)=0---\left(11\right)$

上式是未知量p的矩阵方程，求解该方程有一些难度。我们可以分别对L＝1，2，3以及4以降低求解难度。我们举L＝2为例说明。 

对L＝2的情况，方程(11)可以分解成： 

$I(\left[\begin{array}{cccc}{(1-q/2)}^2& (1-q/2)q/2& (1-q/2)q/2& q^2/4\\ (1-q/2)q/2& {(1-q/2)}^2& q^2/4& (1-q/2)q/2\\ (1-q/2)q/2& q^2/4& {(1-q/2)}^2& (1-q/2)q/2\\ q^2/4& (1-q/2)q/2& (1-q/2)q/2& {(1-q/2)}^2\end{array}\right]$

$\·\left[\begin{array}{cccc}{n}_0& n_0& n_0& n_0\\ n_1& n_1& n_1& n_1\\ n_2& {\text{n}}_2& n_2& n_2\\ n_3& n_3& n_3& n_3\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccc}0& -1& -2& -3\\ 1& 0& -1& -2\\ 2& 1& 0& -1\\ 3& 2& 1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccc}3& 3& 3& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ -1& -1& -1& -1\\ -3& -3& -3& -3\end{array}\right])I^T$

$+\frac{p}{2}I(\left[\begin{array}{cccc}{(1-q/2)}^2& (1-q/2)q/2& (1-q/2)q/2& q^2/4\\ (1-q/2)q/2& {(1-q/2)}^2& q^2/4& (1-q/2)q/2\\ (1-q/2)q/2& q^2/4& {(1-q/2)}^2& (1-q/2)q/2\\ q^2/4& (1-q/2)q/2& (1-q/2)q/2& {(1-q/2)}^2\end{array}\right]$

$\·\left[\begin{array}{cccc}{n}_0& n_0& n_0& n_0\\ n_1& n_1& n_1& n_1\\ n_2& n_2& n_2& n_2\\ n_3& n_3& n_3& n_3\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccc}3& 3& 3& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ -1& -1& -1& -1\\ -3& -3& -3& -3\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccc}3& 3& 3& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ -1& -1& -1& -1\\ -3& -3& -3& -3\end{array}\right])I^T=0$

对上式进行化简，最后可以得到q＝p。对L取其他值，我们可以得到类似的结果。 

定理2：列向量 为原始图像像素值，范围为[0，255]，图像的大小为n＝M_x×N_x；令S＝{si}表示用L＞0的随机LSB-I或者LSB-II信息隐藏方式嵌入信息量qnL隐秘信息后的图像，其中0≤q≤1；令 

为加权信息隐藏图像，其中定义 

0≤p≤1，i＝1，L，n；令 

是对x_i的估计值，那么： 

$\stackrel{\‾}{q}={\arg \min }_p{E}_1\left(p\right)=-2\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n(s_i-{\stackrel{\‾}{s}}_i)(2^L-1-2(s_i\%2^L))}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n(2^L-1-2(s_i\%2^L))(2^L-1-2(s_i\%2^L))}---\left(12\right)$

式中 

估计的信息容量， $E_1\left(p\right)=\left({\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{(s_i^{\left(p\right)}-{\stackrel{\‾}{s}}_i)}^2\right)/n.$

证明过程与文献[3]一样。 

然后为了从实验上验证检测算法，我们设计了四个实验。实验是针对L＞0的随机LSB-I和LSB-II信息隐藏的信息隐藏检测，实验中考虑L＝1，2，3和4这几种情况来说明基于优化的检测算法。 

选定Corel图像库(10000幅JPEG图像)作为测试图像库，对图像库中的每一副图像分别依次嵌入20％，40％，60％和80％的总容量的信息量，嵌入的方法采用L＞0的随机LSB信息隐藏方法，对应于p＝0.2，0.4，0.6，0.8。这样可以得到4个嵌入了信息的图像库。图1和图2 分别显示的是扩充方法检验结果，为了显示方便，这里只显示了L＝2、4时的部分实验结果。平均估计误差指的是估计出来的值与实际嵌入值的差值，从图上看我们的估计误差比现有的方法要好。 

以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。 

Claims (1)

1.一种基于加权隐写图像的对LSB信息隐藏的检测方法，该方法是通过加权的方式对隐写图像进行建模，然后通过证明将估计秘密信息长度的问题转化为一个二次方程最优化问题，对该方程进行求导运算，令结果为0即可估算出秘密信息所占图像像素的比例，具体包括：

步骤S1：首先对隐写图像进行加权建模，通过证明将估计秘密信息长度的问题转化为二次方程最优化问题，主要内容为：

设q为秘密信息所占图像像素的比例，但无法直接计算q值，首先对原始图像X＝{x_i}使用LSB-I或者LSB-II信息隐藏方法，得到了隐写图像S＝{s_i}，其中，i＝1，2Λn，n∈N，x_i表示原始图像的像素，s_i表示隐写图像的像素，然后对隐写图像进行加权运算得到 

s_i∈S，p为权值，其中定义 

L为LSB位的个数，L∈N，并且构造证明出：

q＝arg min_pE(p)

即转化为求二次方程E(p)取最小值时p的值；

步骤S2：定义三个基本矩阵，主要内容为：

为了使得E(p)的表示变得简洁并且求导运算方便，需要事先定义三个基本矩阵，然后将E(p)表示为这三个矩阵以及转移矩阵的函数，具体定义如下：

在C，I，D这三个矩阵中，定义这三个矩阵是为了方便步骤S3的代数变换；

步骤S3：通过代数变换，提出通用的证明形式，主要内容为：

为了证明公式(1)需要将E(p)进行基本的代数变化，将E(p)表示为步骤S2定义的基本矩阵的函数，将其转化为通用的证明形式，具体如下： 

其中d_jk∈D，c_j∈C，并且定义n_j＝h(j)来进行代数变换，其中h(0)＝h(1)＝L h(2^L-1)＝n/2^L，其中j，k∈{0，1，L，2^L-1}；

定义向量：

t_j，k＝P(x_i＝j，s_i＝k)是从x_i＝j到s_i＝k转移概率；

步骤S4：分别针对LSB-I和LSB-II完成该证明，计算出秘密信息所占图片像素的比例，主要内容为：

对LSB-I的证明过程如下：像素转移矩阵T_I的每个元素的值代表转移概率t_j，k＝P(x_i＝j，s_i＝k)，那么对于LSB-I，T_I为：

带入E(p)中后，可以将E(p)转化为：

将E(p)求导后，令求导后的结果为0，可以得到：

上面等式前面的部分可以转换为： 

后面部分可以转换为：

然后可以解得q＝p，这就完成了对于LSB-I的证明；

对于LSB-II的证明过程如下：如果隐秘信息嵌入到第l个最低有效位，像素 将以q/2的概率变成 

保持不变的概率为1-q/2，如此变化概率可以由下式表示：

其中， 

表示采用LSB-II时从x_i＝j到s_i＝k转移概率； 

其中T_l，II表示采用LSB-II时的转移矩阵，式中0≤j，k≤2^L-1，1≤l≤L.

方程式(8)可以写成矩阵形式：

式中 

表示Kronecker内积，I₂是维数为2×2的单位矩阵

其中Q是定义的基本矩阵，用于代数变换，0≤q≤1；

对于LSB-II信息隐藏来说，每次选择像素都是独立的，嵌入过程有L回独立选择过程，所以转移概率矩阵按照如下公式计算：

根据应用Kronecker内积特性，我们有：

所以公式(6)可以写成下式所示的矩阵形式：

对上式E(p)进行求导，然后令E(p)求导后的结果为0，这样计算出来的p值即是秘密信息所占图像像素的比例；

E(p)的极小值可以用下式进行求解：

上式是未知量p的矩阵方程，求解该方程最后得到q＝p。 

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